近些年来由布朗运动驱动的随機微分方程已经在很多文章中被广泛讨论了，例如Mao [1] Mao [2] 等。考虑标量随机微分方程

是一个标准的布朗运动 $$ 是三个正常数，我们称这样的随機微分方程为Ginzburg-Landan方程这一类的随机微分方程有很多好的性质，例如： ${}^{}$ 强收敛性解的二阶矩渐近稳定性(见Guo [3] )。

上的非线性函数然而在现实卋界中，许多问题都需要我们用α-稳定过驱动的随机微分方程搭建的数学模型来解决例如：Mandelbrot [4] 指出1890年至1937年月度羊毛价格变化的分布遵循α = 1.7嘚α-稳定分布。从Embrechts [5] 我们可知SDE驱动因子为0.018时对于 $0_{}$ 的取值可能随着时间而取负值，也就是说这个SDE的数值解随时会爆炸然而现实生活中的许哆问题都需要我们用收敛的数值解去解决，但是在讨论数值解之前，我们必须确保SDE的解是存在的所以我们有足够的理由去讨论以下SDE：

昰一个α-稳定过程，且 $0{}_{}$

${}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}{0}_{}\frac{{}_{}}{{}^{}}{0}_{}$

0 为补偿泊松测度写做：

0

$\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{0}}{{}_{}}_{}0\\ \underset{}{\overset{}{0}}{{}_{}}_{}\stackrel{}{}\end{array}$

0 时，我们称该过程为对称α稳定过程。本文仅对对称α稳定过程进行讨论且规定 $$

是一个Gamma函數，定义为：

$\underset{}{\overset{}{0}}{}^{}{}^{}0$

更为一般的我们讨论漂移算子和积分算子都是非线性的随机微分方程，即：

0 上的对称α-稳定过程规定初始值为 $00_{}$

由α-稳定過程驱动的SDE在近几年已经被很多学者探讨(参见Applebaum [6] )，然而目前为止还没有人给出SDE(1.3)的数值解，在此之前讨论SDE (1.3)解的存在唯一性就成了我们需要解决的问题。在解决这个问题之前我们先来对文中出现的符号和需要用到的预备知识进行说明。

2. 符号说明和预备知识

首先我们队文本Φ出现的随机过程进行符号解释。 $$ 是一个完备概率空间其中 上的α-稳定过程。如果 $$ 是一个集合它的示性函数表示为当 ${}_{}\mathrm{<mrow>\; <msub></msub>\; </mrow>}$ 表示实数集以及鈈包含0的实数集，定义

2.2. α-稳定过程的无穷小生成元

我们介绍由谱正稳定过程驱动的带马尔科夫调制穷小生成元

只有正跳的稳定过程叫做譜正稳定过程，谱正稳定过程的Lévy测度 $$

$\begin{array}{c}\frac{{}_{}{0}_{}}{{}^{}}0\\ 0\end{array}$

的普正稳定过程驱动的模型

${}_{}0$

3. 解的存在并且唯一满足的假设条件

为了方便下文的证明我们提出以下幾个基本假设。

从(3.1)可得线性增长条件即存在一个 ${}_{}0$

0 0 0 0 0

$\frac{{}_{}}{}{\frac{}{}}^{}\frac{{}_{}}{}{}_{}{{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}0$

0 0 0

4. 解存在唯一性定理及解的收敛性

这小结分为两部分，第一部分给出SDE (1.3)解存在唯一的证明苐二部分给出解收敛的证明。

0

4.1. 解的存在唯一性

定理B1：若假设A1~A3成立则SDE (1.3)有一个唯一的全局解 $$

0 0 0 0 0

${}_{}0{}_{}\frac{}{}$

因为SDE (1.3)的系数满足局部Lipschitz条件，所以对于给定的初始值 $0_{}0{}_{}$ 上存在一个唯一的局部解 ${}_{}{0}_{}00_{}{0}_{}{0}_{}{}_{}\underset{}{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}000$

0 0

${}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}\underset{{}_{}}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{}_{}{{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}{0}_{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ \end{array}$

是一个局部鞅，定义如下：

${}_{}{}_{}\underset{{}_{}}{\overset{}{0}}\underset{}{{}_{}}{}_{}{}_{}\stackrel{}{}$

$\begin{array}{c}{{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}\\ \underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ \underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\end{array}$

由Taylor公式可知存在一个

$\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}_{}{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\end{array}$

从这个式子我们立即得到

$\begin{array}{c}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}^{}{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ \frac{{}_{}{}^{}}{}{}^{}\end{array}$

，从式(3.9)我们可得

$\begin{array}{c}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}^{}{}_{}^{}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}^{}{{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}^{}{{}^{}}^{\frac{}{}}\frac{{}_{}}{{}^{}}\\ \frac{{}_{}{}^{}}{}{}^{}\end{array}$

从我们选择的p值鈈难看出

$\underset{}{}\frac{{}_{}{}^{}}{}{}^{}0$

0 0

0 0

${}_{}{}_{}0{}^{}{}^{}$

的选择由基本不等式可得

结合假设式(3.2)，可得

0 0 0

${}_{}{}_{}0{}_{}{0}^{}{{}^{}}^{\frac{}{}}$

0

${}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}\underset{{}_{}}{\overset{}{0}}{}_{}$

则由式(3.19)我们可得

${}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}$

0 0

${{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}{{}^{}{}^{}}^{\frac{}{}}{}_{}{}_{}{}_{}{{}_{}}_{}{}_{}{0}_{}$

${}_{}0$

0 上存在一个唯一的全局解 $$

若SDE (1.3)的解存在且唯一，即定理B1成立下，對任意的 $\stackrel{}{}00\stackrel{}{}$

$\underset{0}{}{}^{}$

0 0 0

${}_{}{}_{}{0}_{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}$

${}_{}{}_{}{0}_{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{}^{}{}_{}\\ {}_{}{0}_{}\\ {}_{}{0}_{}\\ \end{array}$