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COMSOL中的弱形式
导读：这就是对流－扩散PDE方程的弱形式，这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排，解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致，没有什么分部积分可以改变这种形式了，实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的，对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上：和能量最小化保持一致的弱形，在COMSOLMultiphysics中应用弱形式用户界面的时候，你所键入的是 加上边界条件，得到：
这就是对流－扩散PDE方程的弱形式。 这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排。因为他的对流项，
使得整个系数无法重排。具体说来，解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致。但是，在对流项中，u前面带有梯度乘子，而试函数前面却没有任何微分算子的。没有什么分部积分可以改变这种形式了。当然，我们也可以看到，实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。 对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推导出一个对称的刚度矩阵，但是对流－扩散方程推导出来的却是一个非对称的矩阵。 在COMSOL Multiphysics中应用弱形式用户界面的时候，可以输入任意的表达式，包括未知函数u和试函数v的零阶和一阶导数。你所键入的是弱形式积分中的微分项。 COMSOL Multiphysics的弱形式用法 本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。 对流－扩散PDE问题 假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：
约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：
区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。 另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式： ? 系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。 ? 矢量?的分量由bx，by和bz表示。 在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下： ? 未知函数u的标记为u ? ?u的分量标记为ux，uy和uz。 ? 试函数v的标记为u_test。 ? ?v的分量标记为ux_test，uy_test，uz_test ? 只需要输入被积函数，它将被COMSOL Multiphysics自动积分处理。每一个子域的弱形式可以有不同的表达式，COMSOL Multiphysics会将各个子域的弱形式整合起来。 输入对流－扩散问题的弱形式： 选择PDE mode下的Weak Form, Subdomain。
在Physics->Subdomain Setting，在Weak Term编辑框中输入：
边界设定，Physics->Boundary Setting，Weak Term编辑框中输入：
COMSOL Multiphysics将边界设置和子域设置分开，因为子域和边界上可以设置不同的数值积分算法。 弱项 如果想要扩展内建的经典PDE模板或者物理应用模式（比如传热），也可以在Physics->Equation System中对应的对话框中输入相同的表达式。
弱形式方程会自动添加在控制方程中。（通过设置所有的PDE或材料参数为0，选择齐次Neumann边界（流量=0），可以去掉应用模式自动创建的弱形式。） Dirichlet或者固定边界，在Boundary setting对话框中的constr编辑框输入弱形式，COMSOL Multiphysics会添加相应的Lagrange乘子（参见用户手册中的边界条件章节）。 结构力学PDE问题 静态结构力学的基本方程是Navier方程：
边界条件：
对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：
约定标记如下： ? 矢量u的分量：u，v和w。 ? 位移矢量梯度?u的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。 ? 试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。 ? 试位移矢量梯度?v的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。 ? 弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66 ? 体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。 ? 边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。 在子域内，弱形式输入为：
这些表达式定义了应变分量（ex，ey，...）和应力分量（sx，sy，...）。 后面带有_test后缀的，COMSOL Multiphysics都会和上式一样建立相应的试函数和试函数梯度的表达式。比如，exy_test等效于0.5*(uy_test+vx_test)。另一种方式是test()，其中test(xy)表示0.5*(test(uy)+test(vx))，也就相当于0.5*(uy_test+vx_test)。 对于其他一些张量表述如有疑问，可以参考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation 。 如果想更直观的表述弱形式，我们可以用原始定义代替变量，最后变成： -ux_test*(c11*ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15*(vz+wy)+c16*(uz+wx)-vy_test*(c12*ux+... 对于各向同性体，其实cij就是杨式模量E和泊松比?的简单函数。详情参考COMSOL Multiphysics文档。 在边界上，对于载荷类边界条件，弱形式可以在weak编辑框中写成标量的形式： Px*u_test+Py*v_test+Pz*w_test 如果采用固定边界，我们必须在其中一个constr编辑框中输入相应的表达式。 对于多物理场仿真，约束和载荷在weak和constr中的形式非常重要，尤其是采用弱约束的时候。更多详情可以参考COMSOL Multiphysics文档以及和Lagrange乘子相关的技术文档。 尽管弱形式是一个标量表达式，但是COMSOL Multiphysics中，弱形式有和PDE系统一样多的未知量需要文本输入。原因在于不同的多物理场问题可能需要不同的有限元分析类型和保证其数值稳定型的积分算法。对于3D结构分析，弱形式中有三个文本输入框。但是，在离散之前，采用了同样的有限元单元和积分类型进行合并，这样就可以选择不同的弱形式进行操作。例如你可以在第一个域内选择弱形式，而其他的域内设置为空白。 对于流动问题的Navier-stokes方程，情况又稍微有些不同。和未知的速度场相比，未知的压力采用一个低阶有限元来离散。这种情况下，不能将所有的弱项全部在同一个弱域内输入。为了保证数值稳定型，必须依靠混阶有限元(mixed finite element)。混阶有限元并不是COMSOL Multiphysics特别制定，而是数值算法所需要的。 有限元方法 本章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题：
这是一个对流－扩散问题的特殊情况，其中??0，??0。 有限元的基本实现是将整个计算域Ω离散为多个特别简单的形状的小单元，比如2D中的三角形，3D中的四面体等等。相应的网格，例如三角形，由边和节点组成。下一步就是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采用线性多项式插值的所谓基函数的和。基函数的构造方法是指定某个节点为1，而相邻的节点为0，二者之间的值就是从0到1线性变化。这里说的相邻指的是中间有一条边将其连接起来。 遍历三角形网格的所有节点（从1到N）。定义节点i的基函数为?i，也就是在节点i处其值为1，其他点处值为0。注意?i只是在节点i及其相邻的三角形内不为零。现在假设真实值u可以用基函数的求和uh来近似描述：
参数Ui是uh在节点i的值。同样，我们可以对试函数进行类似处理：
下标h表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸h的网格。 由于我们可以任意选择试函数，因此可以将除了j点以外的所有的Vj设置为零， 包含总结汇报、表格模板、初中教育、高中教育、高等教育、农林牧渔、自然科学、外语学习以及COMSOL中的弱形式等内容。本文共5页
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学生不认真学习应该怎么办
学习啦【学习经验】 编辑：欣怡
　　学生不认真学习是老师及家长最头疼的事情，那么面对学生不认真学习应该怎么办?以下是学习啦小编分享给大家的学生不认真学习的解决建议，希望可以帮到你!
　　学生不认真学习的解决建议一
　　教师应当为其他学生布置倾听任务
　　比如对话中张三是Mike还是John，或者What would Peter like? 等问题。长期训练之后，不表演的学生就知道自己可能还需要回答问题。
　　很多时候，教师请一组学生表演之后，通常只是用表扬的词汇Good. Excellent. Well done.或者让全体学生鼓掌，然后就换一组学生再上去表演。这个评价方式叫鼓励性评价，如果只要上去表演了，就能得到掌声，有时候这种鼓励的作用会降低。
　　凌哥提倡教师采用指导性评价。在每一组表演时，教师要观察学生表演中的亮点和不足，在该组表演结束后，向全体指出这些亮点和不足。如果时间充裕，请还没表演的小组根据这些指导建议进行改进。也可以让其他学生来做这种指导性评价。
　　学生不认真学习的解决建议二
　　提升学生的表演技能
　　很多时候，表演阶段缺少观众，是因为表演者并不是真正在表演，而是在朗读、在背诵、在木头人一样面无表情、一动不动地说话。如果发生这种情况，中下学生绝对是没有兴趣听的。
　　因此，教师从英语教学一开始，就要培养学生敢于大胆表演的习惯。当学生有动作参与的时候，他们就更容易从&背书&上升的&说话&。知道TPR的原理么?差不多就是这个道理了。凌哥称之为&体验式学习&。
　　同样，观众看到充满动感的表演的时候，注意力会更加关注。表演者有动作配合的话，比较弱的观众也容易理解表演内容。
　　学生不认真学习的解决建议三
　　教师采用辅助性手段控制注意力
　　(1)指令与规矩
　　在开始表演前，要静场。如果开始表演时都不能静场，你难道忍心打断表演者来静场吗?
　　静场指令要有规范。一般凌哥不会声嘶力竭地喊&Be quiet&，而是举起手倒数5。如果有个别学生还静不下来，要直呼姓名(一个人听到自己的名字被叫到的时候，是很敏感的)，说&Tony, it&s time to listen. Tony, help me. Be quiet.&尽量不要用责备的语气和眼光。&&小孩通常只是来不及注意而已。
　　(2)教室巡视
　　在学生表演期间，教师要巡视教室。
　　一种巡视方式是走动，适用于不太需要教师指导的表演;另一种巡视方式是目光巡视，让学生知道教师在看着自己。
　　如果是走动巡视的话，也不要一停不停地走，以免影响表演的学生。教师只要站立在出现秩序问题的学生旁边就可以了。
　　(3)秩序控制员
　　如果班级里面有学习小组，就需要安排自律能力和管理能力比较强的学生担任&纪律控制员&。当小组秩序比较杂乱、声音比较嘈杂的时候，这位学生就要管理。
　　学生不认真学习的解决建议四
　　其他需要考虑的情况
　　(1)因为有弱生而导致小组表演对话不流畅
　　在&组间同质、组内异质&的小组活动中，通常会存在弱生。如果弱生非常弱，就可能影响表演的流畅度。
　　改善的方法有：安排弱生表演会话少的角色，允许弱生带书表演，允许弱生拿纸条作为提示，在组内安排优生加强对弱生的辅导，安排弱生参与群口会话内容。
　　(2)部分表演者声音过低
　　有时候，教师组织同桌在原位表演，有的学生的音量会比较低，这种情况下，可以让学生的前台来表演。还有一种解决的办法是&同桌操练，异桌表演&。
　　(3)对话内容过长
　　如果表演的对话非常长，除非是完全动态发展的对话，否则总有学生有可能会无法回忆练过的对话内容。可以安排分段分组表演。
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