&p&摘要：解释了何种&b&物理现象&/b&是产生&b&常微分&/b&方程，何种产生&b&偏微分&/b&方程。进一步回答了题主所说的&b&“为何不是‘直接的方程’？”。&/b&补充了&b&“无穷维”&/b&和&b&“连续”&/b&的&b&异同。&/b&［图文混排，举例说明］&/p&&br&&p&我回答的第一个问题是“&b&为什么物理化学方程往往是偏微分方程，而常微分方程少见？&/b&”&/p&&br&&p&&b&另外补充了：&/b&&br&&/p&&blockquote&&b&题主：我可能没说清楚 我的意思是为什么是微分而不是直接的关系&/b&&/blockquote&题主评论中问题的答案。&br&&p&&b&－－－－－－－－－－－－－－－－前言－－－－－－－－－－－－－－－&/b&&/p&&br&&p&&b&物理化学方程往往描述的是“状态”与“时间”的关系&/b&，任何方程中，时间都是一样的，那么关键之处就在于“状态”上了。&b&“状态”的形式，决定了到底是常微分方程还是偏微分方程。&/b&&/p&&br&&p&&b&常微分&/b&方程：是描述&b&“有限维自由度”的状态&/b&随时间变化的规律。&/p&&p&&b&偏微分&/b&方程：描述“&b&连续系统”的状态&/b&随时间变化的规律。&/p&&br&&p&那么回到题主的问题，&b&为什么物理化学方程往往都是偏微分方程呢？&/b&因为描述大多数物理化学的这些&b&“状态”&/b&往往是&b&“连续系统”。&/b&&/p&&br&&p&&b&－－－－－－－－－－－－－－举例－－－－－－－－－－－－－&/b&&/p&&br&&p&为了能更清楚的让大家理解这个问题，下面通过几个例子来说明什么是“状态的自由度”，以及“有限维”和“无穷维”自由度的区别。&/p&&p&简单来讲，&b&自由度（&/b&degree of freedom&b&）是描述一种物理状态所需要坐标的个数。&/b&（不含时间）&/p&&br&&p&&b&例1，单自由度自由振动。&/b&&/p&&br&&p&如图所示，所谓单自由度，就是只通过一个物理量就能够完全确定系统的状态。这个例子中的位置坐标“x”就可以完全确定物体的空间位置。&/p&&img data-rawwidth=&1120& data-rawheight=&554& src=&/52d6ea9a287a_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1120& data-original=&/52d6ea9a287a_r.png&&&br&&br&&p&这个例子中的振动方程是一个常微分方程：&/p&&img src=&///equation?tex=m%5Cddot%7Bx%7D%3D-kx& alt=&m\ddot{x}=-kx& eeimg=&1&&&br&&br&&p&&b&例2，双自由度自由振动系统。&/b&&/p&&br&&p&如图所示是一个双自由度系统，有两个物体，现在要确定系统的状态就需要两个物体的位置了。&/p&&img data-rawwidth=&998& data-rawheight=&498& src=&/ebb1ccda4b4d8aa9b688ca_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&998& data-original=&/ebb1ccda4b4d8aa9b688ca_r.png&&&br&&p&这个例子中的微分方程也是一个常微分方程（组）：&/p&&br&&br&&img src=&///equation?tex=m%5Cddot%7Bx_1%7D%3D-kx_1%2Bk%28x_2-x_1%29%3Cbr%2F%3E%3Cbr%2F%3E& alt=&m\ddot{x_1}=-kx_1+k(x_2-x_1)&br/&&br/&& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=2m%5Cddot%7Bx_2%7D%3D-k%28x_2-x_1%29-kx_2& alt=&2m\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1)-kx_2& eeimg=&1&&&br&&br&&p&&b&例3，多自由度（有限维）自由度系统。&/b&&/p&&p&如图所示是一个多层房屋的结构，中间有斜杠的代表刚梁（注意我写的是“刚”，代表“刚体”的意思，不发生内部变形，可以近似代表楼板，有质量），细线代表柱子，可以发生弯曲等变形。&/p&&img data-rawwidth=&984& data-rawheight=&588& src=&/7e34bdbaddb6a_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&/7e34bdbaddb6a_r.png&&&br&&p&这个系统的动力学方程也是常微分方程，如下：&/p&&img src=&///equation?tex=M%5Cddot%7BX%7D%2BC%5Cdot%7BX%7D%2BKX%3DF& alt=&M\ddot{X}+C\dot{X}+KX=F& eeimg=&1&&&br&&br&&p&其中M是惯性矩阵（质量矩阵），C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，F是外力矩阵。&/p&&br&&b&-------------------以上是常微分，下面是偏微分方程-----------&/b&&br&&br&&br&&br&&p&&b&例4，弦振动方程，连续振动系统（vibration of continuous system），这个是典型的“连续系统”。（重点来了）&/b&&/p&&br&&p&如下图所示，我们观察一下这个问题和上面常微分方程问题的区别是什么？在上述问题中，我们都能够&b&通过有限个物理量，唯一的确定系统的状态（位置）&/b&。而弦作为一个连续系统，如果仅仅是有限个点的位置固定，总有其他没有固定的位置可以发生位移。&b&即使点的个数越来越多&/b&，在整根弦上分布的越来越密集，自由度也逐渐升高，&b&也不可能做到弦上所有点的位置都能够唯一确定。&/b&&/p&&img data-rawwidth=&1194& data-rawheight=&430& src=&/35cf6e75eb9c762f21dbe3_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1194& data-original=&/35cf6e75eb9c762f21dbe3_r.png&&&br&&p&因此，只能对微元进行受力分析！这也是产生偏微分方程的关键！在有限自由度的问题上，可以使用（x1,x2,x3｀｀｀）等坐标表示系统的状态，从而描述和时间的关系；而连续问题就必须要用“dx”进行上下振动来描述和时间的关系，这样就产生了偏微分。如下9.1.2方程为弦的振动方程，是偏微分方程。&/p&&img data-rawwidth=&1132& data-rawheight=&582& src=&/7f914c345afad9a33b59_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1132& data-original=&/7f914c345afad9a33b59_r.png&&&br&&blockquote&&p&&b&以上图片引用自：&/b&&/p&&br&&p&Thomson W T. Theory of Vibration with Applications / W.T. Thomson.[M]// Theory of vibration with applications /. Prentice-Hall, .&/p&&/blockquote&&br&&p&&b&例5，平板二维热传导，连续系统。&/b&&/p&&br&&p&如下图所示，平板上的每一点都有温度（颜色和数值标识），同样不能通过有限个点的温度确定全部的温度，因此也是无穷个自由度的问题。建立方程时，也需要针对“微元”建立方程，所以最终的方程是偏微分方程。&/p&&img data-rawwidth=&1006& data-rawheight=&598& src=&/be3c9f216c7c_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1006& data-original=&/be3c9f216c7c_r.png&&&br&&br&&img data-rawwidth=&770& data-rawheight=&470& src=&/01c52fd70aacc99c1e947c5ee14f3f0b_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/01c52fd70aacc99c1e947c5ee14f3f0b_r.png&&&br&&p&上图是平板的一个微元，对微元进行分析，产生一个偏微分方程。&/p&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B%5Ckappa%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D& alt=&\frac{\sigma}{\kappa}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}& eeimg=&1&&&br&&br&&blockquote&&p&以上图片引自：&/p&&br&&p&Fourier analysis:an introduction[M]. World Scientific, 2006.&/p&&/blockquote&&br&&b&－－－－－－－－－－以上截止日11:15-－－－－－－&/b&&br&&br&&br&&blockquote&&b&题主：我可能没说清楚 我的意思是为什么是微分而不是直接的关系&/b&&/blockquote&&br&&p&通过以上的论述，不管是常微分方程还是偏微分方程，都只能描述内部所满足的方程，但不能描述“直接的关系”。那么为什么不是“直接关系”呢？&b&如何才能描述“直接关系”呢？&/b&&/p&&br&&p&&b&这个就涉及到数学物理方程中的一个很重要的概念“定解条件”！&/b&从上述方程的推导过程中，没有涉及到初始条件，边界条件等等的问题。但众所周知，初始条件或边界条件不同，对系统后续的状态有很大的影响。&/p&&br&&p&例如，对同一个粉笔头，做竖直上抛和自由落体运动的动力学微分方程是一样的。但是这两种状态完全不同。如果从一维的情况来看，这个方程是一个二阶常微分方程，通解有两个待定常数，因此需要两个条件来的出题主所说的“直接关系”！&/p&&br&&p&再例如弦振动方程，同一根弦，初始条件可以是不同的位置，后续运动状态也不同。热传导方程，一开始的温度分布也会影响后续的情况。所以对于一大类问题，也不能直接给出“直接关系”！&/p&&br&&img src=&/bb5b6b8f26a3d443beb1_b.png& data-rawwidth=&802& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&802& data-original=&/bb5b6b8f26a3d443beb1_r.png&&&br&&br&&p&相信大家对常微分方程已经比较熟悉了，&b&下面简单说说偏微分方程的“定解条件”，就是题主所想要确定的“直接关系”。&/b&&/p&&br&&p&&b&定解条件粗略的分为“初值问题”和“边值问题”。&/b&&/p&&br&&p&&b&初值定解条件为：&/b&能描述所有初始状态所有特征的方程。如一个质点初始的位移和速度；弦在初始条件下的形状，弦上每一点的速度；平板温度扩散，初始时每一点的温度。&/p&&br&&p&&b&［例6］波动方程和热传导方程初值定解条件如下图：&/b&&/p&&img src=&/fbe41bec8bfe3acc8f580ee_b.png& data-rawwidth=&898& data-rawheight=&682& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&898& data-original=&/fbe41bec8bfe3acc8f580ee_r.png&&&br&&p&&b&边值定解条件为：&/b&在边界位置需要满足的条件。如弦的两端固定，或者一段固定，另一端以某种规律发生位移；热传导平板边界的位置，有恒温热源，还是绝热。&/p&&br&&p&&b&［例7］杆的纵振动边值定解条件如下图：&/b&&/p&&img src=&/fd1633baa7ab9e_b.png& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&646& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/fd1633baa7ab9e_r.png&&&br&&p&&b&当定解条件确定时，再结合前面的偏微分方程，就能得到一个“具体的”，“唯一的”，“确定性的”，“直接关系”！&/b&&/p&&br&&p&上述图片引自：&/p&&p&吴崇试，数学物理方法，讲课的ppt。&/p&&p&&b&网址可参见我的另一篇答案，干货。&/b&&/p&&br&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何在两周内搞定数学物理方法？ - 曾彦的回答&/a&&/p&&br&&p&综上所述，&b&是否是偏微分方程，&/b&和系统的“状态”的形式非常相关，关键在于，&b&是否可以用有限的“自由度”唯一的确定系统的状态。&/b&若为有限自由度，则为常微分方程，&b&若为无穷自由度（连续）则为偏微分方程。&/b&&/p&&br&&p&最后回答题主的问题：&b&因为物理和化学中，大多数都是连续系统，所以基本都是偏微分方程！&/b&&/p&题主补充的问题：&b&想要得到一个确定的方程，需要定解条件&/b&，而定解条件也是数理方程的一部分&b&！&/b&&br&&br&&br&－－－－－－以上更新截止至日11:08-－－－－－－－&br&&br&我看到下面有人回复“连续性”，突然让我想到另外一个问题。我把前面所有的&b&“无穷维自由度”&/b&全部备注了&b&“连续”。&/b&怕让人产生误解，下面来解释一下&b&“无穷维”和“连续”的区别。&/b&&br&&br&&br&学过《数学分析》，或者《实变函数》的知友可能知道，&b&“无穷”也是有大小的。有种无穷&/b&，它的基数（势，base）&b&和自然数对应&/b&（countable）；&b&有种无穷&/b&，它的基数&b&与实数对应&/b&（uncountable）。&br&&br&我考虑的问题是，如果自由度是“无穷维”的，&b&无穷维的“基数”和自然数对应，可能会无穷个常微分方程&/b&（每常微分方程对应唯一一个自然数）；&b&如果“基数”与实数对应（连续统），则产生偏微分方程。&/b&&br&&br&有关“无穷”的知识，可以看《测度论》，《实变函数》，某些《数学分析》（卓里奇）也有。&br&&br&下面是一些相关知识的链接&br&可数集，不可数集，来自维基百科，英文。也可以自己百度中文的。&br&&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Countable_set& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Countable set&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Uncountable set&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&p&时间仓促，难免有不当的地方，望大家谅解，欢迎一切正当的指教！&/p&&br&&p&&b&您的赞同是对我的写下更多优质答案的鼓励，&/b&如果有表述不清楚的地方，可以在&b&评论中留言&/b&，我再完善。谢谢！&/p&
摘要：解释了何种物理现象是产生常微分方程，何种产生偏微分方程。进一步回答了题主所说的“为何不是‘直接的方程’？”。补充了“无穷维”和“连续”的异同。［图文混排，举例说明］ 我回答的第一个问题是“为什么物理化学方程往往是偏微分方程，而常微分…
讲一个调和分析中很经典的反例吧。1917年日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya)提出了如下的问题：&br&&blockquote&设某个日本武士在上厕所时被偷袭，他只能挥动长为1的武士刀应战。请问在他将刀挥动一周的过程中，扫过的面积最小为多少？&/blockquote&好吧，虽然我觉得问题背景不用叙述得这么具体啦……不过用数学语言描述的话，这其实就是下面的问题：&br&&blockquote&设平面点集S在每个方向上都含有一条长为1的线段(这样的集合称为Kakeya集)，请问S的面积(测度)最小为多少？&/blockquote&当然按Kakeya的本意，应该要求长为1的线段能够连续转动(相应的集合称为Kakeya needle集)，不过这算是个小的技术问题，暂时不用在意。&br&&br&经过简单的尝试，容易猜想在凸集情形，最小面积由高长为1的正三角形实现，其值为&img src=&///equation?tex=1%2F%5Csqrt%7B3%7D& alt=&1/\sqrt{3}& eeimg=&1&&；这点后来被Pál所证明。对于非凸集，Kakeya本人猜测最小面积应由某个三尖内摆线实现，但一直无人能够证明或否认这点。&br&&br&到了1919年，前苏联数学家Besicovitch在对其他问题的研究中也遇到了上述集合。结果他证明了令人惊讶的结论：&br&&blockquote&Kakeya集的测度可以为0。&/blockquote&这当然完全解决了Kakeya问题；利用Pál的一个技巧，我们可以从测度为0的Kakeya set构造出测度任意小的Kakeya needle集(注意Kakeya needle集的测度不能为0)。因为Besicovitch的贡献，现在我们有时也称Kakeya集为Besicovitch集。&br&&br&Besicoovitch的构造后来被Perron, Rademacher, Schoenberg，Fisher等人改进过；这里我们介绍一种称为“Perron树”的较为简单的构造。限于篇幅我们只证稍弱一些的结论，即Kakeya集的测度可以任意小。以下证明取自Markus Furtner的学位论文(见[2])。&br&&br&固定实数&img src=&///equation?tex=%5Calpha%5Cin%281%2F2%2C1%29& alt=&\alpha\in(1/2,1)& eeimg=&1&&和正整数k，以|*|表示面积。对任何三角形T，考虑如下的构造步骤：&br&&blockquote&作T底边上的中线，将T分成两个小三角形L和R。将右边的小三角形R平移至R'，使其底边与L重叠，且重叠部分长为T底边长的&img src=&///equation?tex=%281-%5Calpha%29& alt=&(1-\alpha)& eeimg=&1&&倍。记&img src=&///equation?tex=T%5E%2A%3DR%27%5Ccup+L& alt=&T^*=R'\cup L& eeimg=&1&&，由初等几何可证明&img src=&///equation?tex=T%5E%2A%3DB%5Ccup+C%5Ccup+D& alt=&T^*=B\cup C\cup D& eeimg=&1&&，其中B是与T相似的三角形，相似比为&img src=&///equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&；C和D是两个三角形，其面积各为&img src=&///equation?tex=%281-%5Calpha%29%5E2%7CT%7C& alt=&(1-\alpha)^2|T|& eeimg=&1&&，如图所示。为简便起见我们将称B为&img src=&///equation?tex=T%5E%7B%2A%7D& alt=&T^{*}& eeimg=&1&&的“核心”，C和D称为“分支”。&/blockquote&&img src=&/ea4618ead8df39efe539f433eedfdb83_b.png& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&316& class=&content_image& width=&403&&&img src=&/9d5714bea2bbc9359571_b.png& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&349& class=&content_image& width=&403&&&br&现在取一个高长为1的正三角形T，将T的底边作&img src=&///equation?tex=2%5Ek& alt=&2^k& eeimg=&1&&等分，记所得的小三角形从左至右为&img src=&///equation?tex=T_0%5E0%2C%5Ccdots%2CT_0%5E%7B2%5Ek-1%7D& alt=&T_0^0,\cdots,T_0^{2^k-1}& eeimg=&1&&。对每个&img src=&///equation?tex=0%5Cleq+j%5Cleq+2%5E%7Bk-1%7D-1& alt=&0\leq j\leq 2^{k-1}-1& eeimg=&1&&，对三角形&img src=&///equation?tex=T_0%5E%7B2j%7D%5Ccup+T_0%5E%7B2j%2B1%7D& alt=&T_0^{2j}\cup T_0^{2j+1}& eeimg=&1&&进行操作(实际上操作是对两个三角形&img src=&///equation?tex=T_0%5E%7B2j%7D& alt=&T_0^{2j}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=T_0%5E%7B2j%2B1%7D& alt=&T_0^{2j+1}& eeimg=&1&&进行的)，设所得图形为&img src=&///equation?tex=S_1%5Ej& alt=&S_1^j& eeimg=&1&&，其核心为&img src=&///equation?tex=T_1%5E%7Bj%7D& alt=&T_1^{j}& eeimg=&1&&。对&img src=&///equation?tex=0%5Cleq+j%5Cleq+2%5E%7Bk-2%7D-1& alt=&0\leq j\leq 2^{k-2}-1& eeimg=&1&&，容易证明&img src=&///equation?tex=T_1%5E%7B2j%7D& alt=&T_1^{2j}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=T_1%5E%7B2j%2B1%7D& alt=&T_1^{2j+1}& eeimg=&1&&(在适当平移后)可以作为某个大三角形对应的L和R，因此对这两个三角形进行操作，得到图形&img src=&///equation?tex=S_2%5Ej& alt=&S_2^j& eeimg=&1&&(注意，此时&img src=&///equation?tex=S_1%5Ej& alt=&S_1^j& eeimg=&1&&的分支部分也进行了相应的平移)，设其核心为&img src=&///equation?tex=T_2%5Ej& alt=&T_2^j& eeimg=&1&&。如此继续下去，最后得到一个图形&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&。下面我们证明&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&的面积不超过T的面积的&img src=&///equation?tex=%5Calpha%5E%7B2k%7D%2B2%281-%5Calpha%29& alt=&\alpha^{2k}+2(1-\alpha)& eeimg=&1&&倍。&br&&br&实际上，对&img src=&///equation?tex=0%5Cleq+m%5Cleq+k& alt=&0\leq m\leq k& eeimg=&1&&，记&img src=&///equation?tex=A_m%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7B2%5E%7Bk-m%7D-1%7D%7CS_m%5Ej%7C& alt=&A_m=\sum_{j=0}^{2^{k-m}-1}|S_m^j|& eeimg=&1&&。首先&img src=&///equation?tex=A_0%3D%7CT%7C& alt=&A_0=|T|& eeimg=&1&&；对于&img src=&///equation?tex=A_1& alt=&A_1& eeimg=&1&&，它将等于所有&img src=&///equation?tex=S_1%5Ej& alt=&S_1^j& eeimg=&1&&核心与分支部分面积之和。易知核心部分面积之和为&img src=&///equation?tex=%5Calpha%5E2%7CT%7C& alt=&\alpha^2|T|& eeimg=&1&&，而分支部分面积之和不超过&img src=&///equation?tex=2%281-%5Calpha%29%5E2%7CT%7C& alt=&2(1-\alpha)^2|T|& eeimg=&1&&。因此&img src=&///equation?tex=A_1%5Cleq+%28%5Calpha%5E2%2B2%281-%5Calpha%29%5E2%29%7CT%7C& alt=&A_1\leq (\alpha^2+2(1-\alpha)^2)|T|& eeimg=&1&&。对于&img src=&///equation?tex=A_2& alt=&A_2& eeimg=&1&&，它不超过所有&img src=&///equation?tex=S_2%5Ej& alt=&S_2^j& eeimg=&1&&核心部分与其对应的分支部分面积之和，再加上所有&img src=&///equation?tex=S_1%5Ej& alt=&S_1^j& eeimg=&1&&分支部分面积之和。因此&img src=&///equation?tex=A_2%5Cleq+%28%5Calpha%5E4%2B2%5Calpha%5E2%281-%5Calpha%29%5E2%2B2%281-%5Calpha%29%5E2%29%7CT%7C& alt=&A_2\leq (\alpha^4+2\alpha^2(1-\alpha)^2+2(1-\alpha)^2)|T|& eeimg=&1&&。如此下去，我们得到&img src=&///equation?tex=A_k%5Cleq+%5Cbigg%5C%7B%5Calpha%5E%7B2k%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D2%5Calpha%5E%7B2n%7D%281-%5Calpha%29%5E2%5Cbigg%5C%7D%7CT%7C%5Cleq+%28%5Calpha%5E%7B2k%7D%2B2%281-%5Calpha%29%29%7CT%7C& alt=&A_k\leq \bigg\{\alpha^{2k}+\sum_{n=0}^{k-1}2\alpha^{2n}(1-\alpha)^2\bigg\}|T|\leq (\alpha^{2k}+2(1-\alpha))|T|& eeimg=&1&&，即所欲证。&br&&br&现在我们取&img src=&///equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&充分接近1，然后取k充分大，即可使&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&的面积任意小。接下来我们证明，对位于T的顶角及其对顶角内的任一方向，&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&均含有该方向上长为1的线段。这实际上是显然的；注意&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&等于&img src=&///equation?tex=T_0%5Ej%280%5Cleq+j%5Cleq+2%5Ek-1%29& alt=&T_0^j(0\leq j\leq 2^k-1)& eeimg=&1&&这些小三角形的适当平移的并。因为对所说的任一方向，存在该方向上的一条线段完全位于某个&img src=&///equation?tex=T_0%5Ej& alt=&T_0^j& eeimg=&1&&中(只需取从顶角顶点出发，沿该方向的线段)，因此也存在该方向上的一条线段完全位于&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&中。&br&&br&最后我们取&img src=&///equation?tex=S_k%5E0& alt=&S_k^0& eeimg=&1&&的三个适当的旋转的并集，就可以得到面积任意小的Kakeya集。&br&&br&至此问题就完全解决了。然而当时并没有人意识到，这个集合对调和分析的命运也有很大的关系。当然那就是另外一个故事了。&br&&br&参考文献：&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/K&/span&&span class=&invisible&&akeya_set&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] &a href=&///?target=http%3A//www.mathematik.uni-muenchen.de/%7Elerdos/Stud/furtner.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&mathematik.uni-muenchen.de&/span&&span class=&invisible&&/~lerdos/Stud/furtner.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
讲一个调和分析中很经典的反例吧。1917年日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya)提出了如下的问题： 设某个日本武士在上厕所时被偷袭，他只能挥动长为1的武士刀应战。请问在他将刀挥动一周的过程中，扫过的面积最小为多少？好吧，虽然我觉得问题背景不用叙述得…
谢谢 &a data-hash=&79b988ec04a51afb1f3ea& href=&///people/79b988ec04a51afb1f3ea& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@王希& data-tip=&p$b$79b988ec04a51afb1f3ea& data-hovercard=&p$b$79b988ec04a51afb1f3ea&&@王希&/a&邀请。&br&&br&可以这么来看：&br&常微分方程（组）描述的是n维动力学空间中的一个点随着时间变化而演化形成的一个轨迹。&br&&br&偏微分方程（组）描述的是一个n维动力学空间所描述的一个曲线、曲面、超曲面随着时间变化而演化产生的一个变化过程。&br&&br&常微分方程组的各个变量都可以看做是其自身的函数，偏微分方程组所描述的则是多变量的函数的变化。因此常微分方程是偏微分方程的一个简单的特例。&br&&br&为什么物理、化学方程常用PDE呢？因为我们研究一个具体的物体的时候，关注的东西是一个多个变量的函数的变化。比如琴弦，我们关注的东西是它作为一个整体在各处振动起来的高或低的分布情形，而不仅仅关注弦上的一个点的运动，它是时间和位置的函数，所以我们用PDE来描述这个东西所对应的动力学空间中的一个曲线的变化（一个空间的维度，一个时间的维度）。还比如二维的反应扩散系统中的图灵斑图，我们现在关注的是某种化学物质在各处的浓度作为一个整体呈现给我们的在一个面上的分布样子（有些地方浓度高，有些地方浓度低，整体的分布呈现一定的规律）；因此我们用PDE来描述这个动力学空间中的曲面的变化，它在空间上需要两个维度，时间上需要一个维度。
谢谢 邀请。 可以这么来看： 常微分方程（组）描述的是n维动力学空间中的一个点随着时间变化而演化形成的一个轨迹。 偏微分方程（组）描述的是一个n维动力学空间所描述的一个曲线、曲面、超曲面随着时间变化而演化产生的一个变化过程。 常微分方程组的…
&p&谢不邀：对于初学者，最重要的是明白几个点，&/p&&p&第一个是“极限”的概念，也就是“ &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon-%5Cdelta+& alt=&\epsilon-\delta & eeimg=&1&& ”必须学得很好，一开始“细抠”，也就是说必须严格按照这个定义来，这样你就能避免“为什么这个需要证” ，“为什么这个证明起来那么麻烦”这种问题。&/p&&p&第二个：摧毁自己的三观。 多看一些反例：连续但是不可导的，原函数存在但是黎曼不可积的，处处不连续的函数，处处连续但是处处不单调的函数，处处连续但是处处不可导的函数，处处可导但是处处不单调的函数。 只要知道这些深井冰一样的函数存在，你做证明的时候就”不敢随意“了。欢迎看 《实分析中的反例》，这实在是一个函数的精神病院。&/p&&p&第三：做题适量，几米多维奇别刷，效率太低，可以做一些精简版本的，理解第一，然后才是计算。别动不动就把极限和积分交换了，别动不动就把两个极限交换了。 别什么函数都敢泰勒展开。我觉得裴礼文的《数学分析中的典型例题》比较好，但是难度有点大。 初学者也别看什么rudin，把自己玩死没意思。有一套三卷的“俄罗斯数学教材选译”《微积分学教程》(by 菲赫金哥尔茨)（说是微积分，但是严格性是足够的），写得比较朴实无华，适合入门，内容多，看的时候可以省略自己不敢兴趣的部分。我大一还在物理系的时候看的就是这套，然后到数学系又看了一次rudin的《数学分析原理》，我觉得rudin最好第二次学（复习的时候）看。还有，如果对怎么算积分有兴趣，可以看一个书：&/p&&p&Paul J. Nahin Inside Interesting Integrals&/p&&p&第四：题目还是要做的，学数学也怕那种自认为学懂的情况，很多知乎上的高中生就自称学会了数学分析。为了检验自己，课后习题还是要做的，至少做对80%-90%才可以，多做一些理解／证明的题目，计算题适量做。就算做不出来也要问人，不可以为了学习速度放弃质量，最后的结果就是坑死自己。 &/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&下面是关于学习“反直觉”数学的一点建议&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/question/4904&/span&&span class=&invisible&&6240/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&
谢不邀：对于初学者，最重要的是明白几个点，第一个是“极限”的概念，也就是“ \epsilon-\delta ”必须学得很好，一开始“细抠”，也就是说必须严格按照这个定义来，这样你就能避免“为什么这个需要证” ，“为什么这个证明起来那么麻烦”这种问题。第二个…
&b&多读证明。理解书上或者例题中是如何证明的。&/b&很多教科书中的证明实际上都略过了思考的过程。一般你要注意几个问题：&br&&br&1. 定义是用来刻画数学对象的。换句话说，定义提供了证明“证明某个对象是什么”的途径。所以如果你看到某个结论需要证明某个对象是什么，那么你就首先要看他在证明过程中是否采用定义中所叙述的描述方式。&br&&br&&b&例如：&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的连续函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E2& alt=&f(x)=x^2& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上不是一致连续的。&br&那么你首先得知道“一致连续”的描述，从而推知“不一致连续”如何描述。&br&&br&2. 有时候通过定义来证明比较复杂。那么，你就要看有哪些结论是直接和定义相关的。例如，证明收敛性时会用到的各种判据。&br&&br&&b&例如：&/b&要证明某个级数一致收敛。&br&从柯西准则出发估计很困难，但是可以简单地使用Weierstrass 判别法或者Abel, Dirichlet的判别法。当然，这些定理的使用也是有条件的，你要先验证条件。&br&&br&3. 如果需要证明的东西不是通过直接验证可得到的话，那么就要构造一些特殊的形式来转化问题。&br&构造性证明确实比较困难。不过如果一般的课后习题或者考试的话，用的都是常见的方法。这些肯定都包含在书本的范围内。&br&&br&4. 不要忘了反证法。有些感觉很显然的，没有什么可下手的结论，可以通过反证法来增加可采用的工具。&br&&br&&b&例如：&/b&Bolzano定理。&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是闭区间&img src=&///equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&上的连续函数，且&img src=&///equation?tex=f%28a%29f%28b%29%3C0& alt=&f(a)f(b)&0& eeimg=&1&&，则有&img src=&///equation?tex=%5Cxi%5Cin%28a%2Cb%29& alt=&\xi\in(a,b)& eeimg=&1&&使得&img src=&///equation?tex=f%28%5Cxi%29%3D0& alt=&f(\xi)=0& eeimg=&1&&。&br&这是很直观的结论，乍看没有什么可操作的。但是通过反证法，我们可以采取划分区间的策略来构造一个闭区间套。然后用闭区间套定理来进行反证。你可以参考：徐森林等人著的《数学分析（第一册）》。&br&&br&也就是说，反证法通过假设一个相反的事实，把原来难以证明的结论，转化为一个容易实现的矛盾。&br&&br&最后，证明的方法有很多，很难概括全面。但是我觉得数学证明光靠阅读是不行的（至少对于我这样的人而言）必须自己写，把每一个细节都补上，一句话一句话的展开。所以书中说“容易验证”，或者“易知”的地方都要自己补全。书中说使用了哪个结论，你一定要清楚，这个结论的适用范围并自己验证。如果细致地做好每一步，你会慢慢有感觉的。
多读证明。理解书上或者例题中是如何证明的。很多教科书中的证明实际上都略过了思考的过程。一般你要注意几个问题： 1. 定义是用来刻画数学对象的。换句话说，定义提供了证明“证明某个对象是什么”的途径。所以如果你看到某个结论需要证明某个对象是什么，…
已更新圆到直线的一一映射和和实数不可数证明。&br&&br&我们先来说一个故事。&br&&br&说有一家很大很大的旅馆，大到什么程度呢？大到它所有的房间能够用自然数标号。也就是说，你随便说一个自然数，都能找到一个房间，该房间的标号是这个自然数——当然，有可能你要骑自行车一个小时才能找到一个编号一万多的房间。&br&好吧，不论这样的旅馆存不存在，我们姑且假设他存在，而且今天居然住满了！这时候，长途跋涉一天的你呼哧带喘的走到这家旅馆门前，却被一脸黑线的旅店老板告知已经住满了，请另寻旅馆。其实他也是很无奈的，平常不管来多少人都住不满，今天来了个有理数集，一下就住满了。当你们俩一脸懵X时，机智的答主路过，双手背后说道&br&&blockquote&让所有人搬到编号大1的房间不就把1号房间空出来了吗？&br&&/blockquote&旅店老板闻言大喜，连忙让所有人收拾行李，搬到编号比自己原来房间大1的房间。1号房间的老人带着一只猫慢悠悠的走出来，看见二号房间急性子的小伙子在敲3号房间的门，但是3号房间里面好像正在做一些重要的事情，不能脱身...&br&你却不管这些，连忙带着行李搬进了一号房间。虽然还有一些猫毛，但是总比没有地方住要好。累了一天的你很快就睡着了，却没有注意到一件很奇怪的事情——&br&&blockquote&为什么自然数的数量等于自然数的数量+1？&br&&/blockquote&&br&实际上，在数学中，当我们衡量这种无穷大量时，常常引进一个概念，“等势”。&br&说白了就是两个无穷集合若是等势，那么能够构造一个两个集合间元素的一一映射，如果能构造出这种映射，那么两个无穷集合元素的“多少”就是“等势”的。&br&在这个例子中，两个集合分别是&img src=&///equation?tex=A%3D& alt=&A=& eeimg=&1&&{&img src=&///equation?tex=x%7Cx%5Cin+N& alt=&x|x\in N& eeimg=&1&&}以及&img src=&///equation?tex=B%3D& alt=&B=& eeimg=&1&&{&img src=&///equation?tex=x%7Cx%5Cin+N%2Cx%5Cne+1& alt=&x|x\in N,x\ne 1& eeimg=&1&&}，不妨想想，A与B之间如何构造一一对应关系？&br&&br&&br&&br&下面给出直线和圆的一一对应关系。&br&&img src=&/0d56fce534e6f8e1a6a3_b.png& data-rawwidth=&823& data-rawheight=&551& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&823& data-original=&/0d56fce534e6f8e1a6a3_r.png&&找到圆和圆的一条切线，将直线水平放置，如图所示。此时过圆的最高点任意做直线，直线和线、圆的交点是二者的一一对应......&br&&br&&br&&br&&br&才怪。&br&&br&少了圆的顶点自己对吗？回想一下之前自然数的例子，你就懂了。&br&&br&&br&结论是&br&&blockquote&圆上点的数量和直线上点的数量“一样多”。&br&&/blockquote&&br&------------百赞更新------------&br&&br&承蒙厚爱。&br&&br&本题故事出自希尔伯特旅馆。故事中的无穷大是“可数的”（可列的）。一个可数的无穷集合意味着你能将所有这些集合里的元素排成一列，对于任何一个事后指定的元素，从这一列的开始一个一个数一定会有一天能够数到。显然，旅馆的房间已经排成一列了，所以是可数的。&br&例如自然数集合按照其良序排列（从小到大），那么任何一个数我们都能够显然的知道能够数到。但是与之不同的，实数集，直线、圆上点的个数，平面中点的个数等，都是更大的无穷大。他们不能一个一个排成一列，所以这些无穷大也称为“不可数的”（不可列的）。&br&&br&已更新实数不可数证明。&br&&br&这几个例子都是和实数等势的不可数无穷大，还有一种无穷大，比实数的个数还要多——&br&&br&R上所有可能函数的个数。&br&&br&&br&关于圆与直线的一一映射，下面给出严格的构造。&br&&br&显见，只需给出[0,1)到实数集的一一映射，就可以给出圆到直线的一一映射。&br&下考虑[0,1)到(0,1)的一一映射：&br&&br&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2Cx%3D0%3Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D+%2Cx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Bf%28x%29%3Dx%2Cx%5Cne+0%2Cx%5Cne+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D++%28n%5Cin+Z%5E%7B%2A%7D+%29& alt=&f(x)=\frac{1}{2} ,x=0;f(x)=\frac{1}{n+1} ,x=\frac{1}{n};f(x)=x,x\ne 0,x\ne \frac{1}{n}
(n\in Z^{*} )& eeimg=&1&&&br&&br&(0,1)到R的一一映射：&br&&br&&img src=&///equation?tex=g%28x%29%3D0%2Cx%3D1%2F2%3Bg%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%2Cx%5Cin+%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5Cbigcup_%7B%7D%5E%7B%7D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5D%3B& alt=&g(x)=0,x=1/2;g(x)=\frac{1}{x-\frac{1}{2} },x\in [\frac{1}{3},\frac{1}{2})\bigcup_{}^{} (\frac{1}{2},\frac{2}{3}];& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=g%28x%29%3D18%28x-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29%2Cx%5Cin%28%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C1%29%3Bg%28x%29%3D18%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%2Cx%5Cin+%280%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29& alt=&g(x)=18(x-\frac{2}{3} ),x\in(\frac{2}{3},1);g(x)=18(x-\frac{1}{3} ),x\in (0,\frac{1}{3} )& eeimg=&1&&&br&&br&此时，f与g的复合即为[0,1)到实数集的一一映射，从而给出了圆到直线的一一映射。&br&&br&----------两百赞更新----------&br&&br&前面提到实数数量的无穷大要比自然数数量的无穷大要大很多。&br&有理数和自然数都是可数的无穷大，也称为可列的无穷大。自然数排成一列的构造很自然。那么，有理数也可以排成一列呢？要知道，有理数可是稠密的呀。（有理数稠密是说，任找一个有理数，包含这个有理数的任意小区间内都有另外一个有理数。）可见，若是能排成一列，从小到大排列是不可取的。&br&我们知道，有理数是那些能表示成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&\frac{m}{n}& eeimg=&1&&的数，其中&img src=&///equation?tex=%28m%2Cn%29%3D1& alt=&(m,n)=1& eeimg=&1&&。而&img src=&///equation?tex=m%2Cn%5Cin+Z& alt=&m,n\in Z& eeimg=&1&&，即，&img src=&///equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&本身都是可列的。所以，一个比较自然的想法是按照&img src=&///equation?tex=%7Cm%7C%2B%7Cn%7C& alt=&|m|+|n|& eeimg=&1&&从小到大排列:&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B1%7D+%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+%2C%5Cfrac%7B-1%7D%7B1%7D+%2C%5Cfrac%7B0%7D%7B2%7D+%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2C%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D+%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B1%7D+%2C%5Cfrac%7B-2%7D%7B1%7D+%2C%5Cfrac%7B0%7D%7B3%7D+%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2C%5Cfrac%7B-1%7D%7B3%7D+%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D+......& alt=&\frac{0}{1} ,\frac{1}{1} ,\frac{-1}{1} ,\frac{0}{2} ,\frac{1}{2} ,\frac{-1}{2} ,\frac{2}{1} ,\frac{-2}{1} ,\frac{0}{3} ,\frac{1}{3} ,\frac{-1}{3} ,\frac{2}{2} ......& eeimg=&1&&&br&我们不在乎重复，只要排出来后删掉重复的数就可以了。值得注意的一点是，对于任意&img src=&///equation?tex=%7Cm%7C%2B%7Cn%7C& alt=&|m|+|n|& eeimg=&1&&给定，可以写出来的有理数必须是有限的，此构造才合题。不过幸运的是，这的确是有限的。所以，有理数也是可数的无穷大。&br&&br&&br&实数不可数的充分条件是一个实数的子集不可数。我们考虑所有这些实数：&br&&img src=&///equation?tex=a%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B10x%5E%7B-i%7D+%5Ctimes+a_i%7D+%2Cai%5Cin+%7B%5Cleft%5C%7B+0%2C1%5Cright%5C%7D%7D& alt=&a=\sum_{i=1}^{\infty }{10x^{-i} \times a_i} ,ai\in {\left\{ 0,1\right\}}& eeimg=&1&&&br&即，所有[0,1)内的，小数部分只有0,1两种数字的实数。&br&我们下面通过用反证法证明这些数是不可数的，证明实数是不可数的。&br&&br&若不然，存在一个排列，使得所有这些数都在这个排列里。我们不妨把这个排列从1开始标上编号。&br&&img src=&///equation?tex=1%3A0....& alt=&1:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=2%3A0....& alt=&2:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=3%3A0....& alt=&3:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=4%3A0....& alt=&4:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=5%3A0....& alt=&5:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=6%3A0....& alt=&6:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=7%3A0....& alt=&7:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=8%3A0....& alt=&8:0....& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=............& alt=&............& eeimg=&1&&&br&&br&&b&我们考虑这样一个数，他一定不在上述排列内，却满足上述排列数的形式：&/b&&br&&b&1，第i个数第i位为1，则这个数第i位取0；&/b&&br&&b&2，第i个数第i位为0，则这个数第i位取1。&/b&&br&&br&&br&可见这个数也是在[0,1)内的，小数部分仅由0,1构成的实数。但是因为这个数和上述排列中任意第i个数的第i位不一样，所以他一定不在上述排列中。所以这个实数的子集不可数，从而实数集不可数。&br&证毕。&br&&br&&br&请各位观众老爷关注一下我最近的另一个回答&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&平常的场景能写出什么脑洞大开的故事? - 晓生的回答&/a&&br&观众老爷的赞是我写字的动力&br&&img data-rawwidth=&720& data-rawheight=&720& src=&/05d232a3b7e879dc8a631a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/05d232a3b7e879dc8a631a_r.jpg&&
已更新圆到直线的一一映射和和实数不可数证明。 我们先来说一个故事。 说有一家很大很大的旅馆，大到什么程度呢？大到它所有的房间能够用自然数标号。也就是说，你随便说一个自然数，都能找到一个房间，该房间的标号是这个自然数——当然，有可能你要骑自行…
&p&谢邀。这个问题或许首先应当追溯到1600s提出的Basel problem，问的是&img src=&///equation?tex=1%2B%5Cfrac+1+%7B2%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E2%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%2B%5Ccdots& alt=&1+\frac 1 {2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots& eeimg=&1&& 这个求和值是多少. 通过一点点放缩和拆项的技巧，人们很容易发现这个级数是收敛的，但是具体的和却求不出来. 后来欧拉给了一个很有趣的解法. &/p&&p&首先，当时人们已经知道&img src=&///equation?tex=%5Csin+x& alt=&\sin x& eeimg=&1&&的级数展开，&img src=&///equation?tex=%5Csin+x%3Dx-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%21%7D-%5Ccdots& alt=&\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&那么把x除掉，就可以得到&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%3D1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B5%21%7D-%5Ccdots& alt=&\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&同时，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&\frac{\sin x}{x}& eeimg=&1&& 的根是&img src=&///equation?tex=%5Cpm%5Cpi%2C+%5Cpm2%5Cpi%2C%5Ccdots& alt=&\pm\pi, \pm2\pi,\cdots& eeimg=&1&& ，所以理应有&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%3D%281-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%29%281-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%29%5Ccdots& alt=&\frac{\sin x}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&那么比较一下两边展开式中&img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&& 的系数，就可以得到&img src=&///equation?tex=1%2B%5Cfrac+1+%7B2%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E2%7D%2B%5Ccdots%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D& alt=&1+\frac 1 {2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}& eeimg=&1&& .&/p&&p&这样子就把结果给算出来了. 当时人们对这种神秘力量一无所知，恐怕纷纷惊呼这tm也行. 虽然对于多项式而言，天经地义地可以写成一次式的乘积的形式，但是换成无穷多个一次式按道理来说就不能这么直接类比了. 但欧拉当时并没有严格化这个证明.&/p&&p&那么怎么能够让上面的无穷乘积的等式成立呢，一个很简单的思路就是我们看看sin这个函数有什么样的特点. 根据二倍角公式，&img src=&///equation?tex=%5Csin+2x%3D2%5Csin+x%5Ccos+x%3D2%5Csin+x%5Csin%28x%2B%5Cfrac%5Cpi+2%29& alt=&\sin 2x=2\sin x\cos x=2\sin x\sin(x+\frac\pi 2)& eeimg=&1&& ，那么如果我们能够证明两件事情，等式就能成立：&/p&&p&1
如果&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&满足&img src=&///equation?tex=f%282x%29%3D2f%28x%29f%28x%2B%5Cfrac%5Cpi+2%29& alt=&f(2x)=2f(x)f(x+\frac\pi 2)& eeimg=&1&& ，那么一定有&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Csin+x& alt=&f(x)=\sin x& eeimg=&1&& ；&/p&&p&2
&img src=&///equation?tex=%281-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%29%281-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%29%5Ccdots& alt=&(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})\cdots& eeimg=&1&& 这个函数满足上述性质.&/p&&p&利用一些复变函数的技巧，这并不是特别难证明. 但是这里的性质只对sin成立，也就没办法回答一个进一步的问题：什么样的函数能够写成无穷乘积的形式. 试想，如果能够写成无穷乘积，那么就能够利用Viete定理和Newton公式，来看到这个函数的根的一些求和的等式，这应当是极好的. 所以说，我们希望的事情是：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28z%29& alt=&f(z)& eeimg=&1&&是个整函数，&img src=&///equation?tex=f%280%29%3D1& alt=&f(0)=1& eeimg=&1&& ，&img src=&///equation?tex=z_1%2Cz_2%2C%5Ccdots& alt=&z_1,z_2,\cdots& eeimg=&1&& 是f的根全体（全纯函数的性质保证了无穷是这一列复数唯一可能的极限点），同时为了保证无穷乘积收敛我们需要假定&img src=&///equation?tex=%5Csum%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cz_n%7C%7D%3C%5Cinfty& alt=&\sum\frac{1}{|z_n|}&\infty& eeimg=&1&& . 那么就有&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D%5Cprod%281-%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%29& alt=&f(z)=\prod(1-\frac{z}{z_n})& eeimg=&1&& . 进一步，如果&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D1%2Ba_1z%2Ba_2z%5E2%2B%5Ccdots& alt=&f(z)=1+a_1z+a_2z^2+\cdots& eeimg=&1&& ，那就有Viete公式：&img src=&///equation?tex=-a_1%3D%5Csum_i+%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_i%7D& alt=&-a_1=\sum_i \frac{1}{z_i}& eeimg=&1&& ，&img src=&///equation?tex=a_2%3D%5Csum_%7Bi%5Cne+j%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_iz_j%7D& alt=&a_2=\sum_{i\ne j}\frac{1}{z_iz_j}& eeimg=&1&& 等等.&/p&&p&当然了，希望与现实总是违背的，因为有个鬼东西叫做&img src=&///equation?tex=e%5Ez& alt=&e^z& eeimg=&1&& ，这个玩意在复平面上是没有零点的，所以&img src=&///equation?tex=e%5Ezf%28z%29& alt=&e^zf(z)& eeimg=&1&&的零点是跟f一样的，但是这么一乘就能把系数变得他妈妈都不认得. 进一步随便拿一个整函数g来，&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bg%28z%29%7Df%28z%29& alt=&e^{g(z)}f(z)& eeimg=&1&& 的零点同样没变化，但系数就更加离谱了. 所以对于一开始的函数，就必须要有一些条件去限制. 下面我们给出一个充分条件.&/p&&p&我们称整函数f具有不超过p的阶，如果存在常数C，对任意正数R，&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7B%7Cz%7C%3CR%7D%7Cf%28z%29%7C%5Cleqslant+C%5E%7BR%5Ep%7D& alt=&\sup_{|z|&R}|f(z)|\leqslant C^{R^p}& eeimg=&1&& . &/p&&p&&b&记&img src=&///equation?tex=z_1%2Cz_2%2C%5Ccdots& alt=&z_1,z_2,\cdots& eeimg=&1&& 是f的非零根全体，那么如果f具有不超过p的阶，其中p&1，那么&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3DAz%5Em%5Cprod%281-%5Cfrac+z%7Bz_n%7D%29& alt=&f(z)=Az^m\prod(1-\frac z{z_n})& eeimg=&1&& .&/b&&/p&&p&证明：证明还是放在后面吧.&/p&&p&怎么理解这个定理呢？基本上来说，一个整函数f 一定能写成一个相应的无穷乘积再乘上e^g(z) 的形式，无穷乘积的增长是可以证明跟开始的f 是一样的，但是对于e^g(z) 来说，如果g不是常数，那么这样的函数一定具有一个大于等于1的阶，所以反过来，如果f的阶小于1，那么就意味着不能有什么指数的东西乘上去了，也就是说f 恰好就是无穷乘积的形式. 这也顺便说明了小于号不能改成小于等于，因为e^z 恰好是一个阶等于1的整函数，但是显然不能写成乘积形式. 除非能够对那个C做出更加进一步的估计，否则这种临界情形是处理不了的. &/p&&p&那么回到最开始的问题，如果我们令&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Csqrt+z%7D%7B%5Csqrt+z%7D& alt=&f(z)=\frac{\sin\sqrt z}{\sqrt z}& eeimg=&1&&
，因为&img src=&///equation?tex=%7C%5Csin+z%7C%5Cleqslant+e%5E%7B%7Cz%7C%7D& alt=&|\sin z|\leqslant e^{|z|}& eeimg=&1&& ，所以f的阶不超过&img src=&///equation?tex=%5Cfrac+1+2& alt=&\frac 1 2& eeimg=&1&& ，所以f可以展开成用其零点表达的无穷乘积形式，从而得到了欧拉的证明的一个严格化. 另外呢，如果令&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Csqrt+z%7D%7B%5Csqrt+z%7D-%5Ccos%5Csqrt+z& alt=&f(z)=\frac{\sin\sqrt z}{\sqrt z}-\cos\sqrt z& eeimg=&1&& ，类似前面，就能得到&img src=&///equation?tex=%5Ctan+z%3Dz& alt=&\tan z=z& eeimg=&1&& 的方程的根的求和关系了，具体的计算和题主给的图片是类似的. &/p&&br&&p&一般的，假定&img src=&///equation?tex=z_1%2Cz_2%2C%5Ccdots& alt=&z_1,z_2,\cdots& eeimg=&1&& 是整函数f的非零根全体，我们有如下两个分解定理(Weierstrass, Hadamard)：&/p&&p&1 存在整函数g，使得&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3De%5E%7Bg%28z%29%7Dz%5Em%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5B%281-%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%29%5Cexp%28%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%2B%5Cfrac+1+2%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7Bz%5E2_n%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac+1+n%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bz_n%5En%7D%29%5D& alt=&f(z)=e^{g(z)}z^m\prod_{n=1}^\infty [(1-\frac{z}{z_n})\exp(\frac{z}{z_n}+\frac 1 2\frac{z^2}{z^2_n}+\cdots+\frac 1 n\frac{z^n}{z_n^n})]& eeimg=&1&&&/p&&p&2 若f具有不超过p的有限阶，记q是不超过p的最大整数，则存在次数不超过p的多项式g，使得(最后的1/n改成1/p)&/p&&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3De%5E%7Bg%28z%29%7Dz%5Em%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5B%281-%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%29%5Cexp%28%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%2B%5Cfrac+1+2%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7Bz%5E2_n%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac+1+n%5Cfrac%7Bz%5Ep%7D%7Bz_n%5Ep%7D%29%5D& alt=&f(z)=e^{g(z)}z^m\prod_{n=1}^\infty [(1-\frac{z}{z_n})\exp(\frac{z}{z_n}+\frac 1 2\frac{z^2}{z^2_n}+\cdots+\frac 1 n\frac{z^p}{z_n^p})]& eeimg=&1&&&p&这里的无穷乘积里面除了应该有的一项以外，后面还挂了一个exp，这是为了要保证无穷乘积收敛，因为我们并没有直接假定&img src=&///equation?tex=%5Csum%5Cfrac+1+%7B%7Cz_n%7C%7D%3C%5Cinfty& alt=&\sum\frac 1 {|z_n|}&\infty& eeimg=&1&& . 这里的证明与下面写的过程是几乎完全一样的，但是最重要的地方在于怎么去构造后面那个exp来让本来不收敛的无穷乘积收敛. 取个对数就可以发现，每一项后面的多项式刚好把前面的log展开的低阶项消掉了.&/p&&br&&p&最后，证明：假设f在0处具有m重零点，记&img src=&///equation?tex=h%28z%29%3Dz%5Em%5Cprod%281-%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%29& alt=&h(z)=z^m\prod(1-\frac{z}{z_n})& eeimg=&1&& ，根据[S.L.]，h是一个阶不超过p的整函数，那么&img src=&///equation?tex=l%28z%29%3A%3Df%28z%29%2Fh%28z%29& alt=&l(z):=f(z)/h(z)& eeimg=&1&& 也是一个阶数不超过p的整函数，并且在复平面上没有零点. 复变函数经典技巧，没有零点的全纯函数是可以取对数的，也就是存在整函数g，使得&img src=&///equation?tex=l%3De%5Eg& alt=&l=e^g& eeimg=&1&& ，此时&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7B%7Cz%7C%3CR%7D%7Ce%5Eg%28z%29%7C%5Cleqslant+C%5E%7BR%5Ep%7D& alt=&\sup_{|z|&R}|e^g(z)|\leqslant C^{R^p}& eeimg=&1&& ，而&img src=&///equation?tex=%7Ce%5E%7Bg%28z%29%7D%7C%3De%5E%7B%5Cmathrm%7BRe%7D+g%28z%29%7D& alt=&|e^{g(z)}|=e^{\mathrm{Re} g(z)}& eeimg=&1&& ，所以&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7B%7Cz%7C%3CR%7D%5Cmathrm%7BRe%7Dg%28z%29%5Cleqslant+CR%5Ep& alt=&\sup_{|z|&R}\mathrm{Re}g(z)\leqslant CR^p& eeimg=&1&& . 根据 Borel–Carathéodory theorem，&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7B%7Cz%7C%3CR%7D%7Cg%28z%29%7C%5Cleqslant+CR%5Ep& alt=&\sup_{|z|&R}|g(z)|\leqslant CR^p& eeimg=&1&& ，所以根据复变函数的Cauchy不等式，g是常数. 所以得到f(z)=Ah(z).&/p&&p&Ref: [S.L.] Serge Lang, complex analysis.&/p&&br&&p&ps. 关于题主的问题的一个小问题，&b&tanz=z的根都是实数吗？&/b&留给读者……&/p&
谢邀。这个问题或许首先应当追溯到1600s提出的Basel problem，问的是1+\frac 1 {2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots 这个求和值是多少. 通过一点点放缩和拆项的技巧，人们很容易发现这个级数是收敛的，但是具体的和却求不出来. 后来欧拉给了一…
&p&-----补充了几个有趣的泛函反例-------&/p&&p&谢邀。这样不是完全不行，但是之所以用“泛函”这个词是因为它有它的特殊性。它的性质和一般多元函数的差别是非常非常大的，&b&你一定要意识到这点&/b&。随便举一个例子吧，连续函数在有界闭集上可以达到最大最小值，连续泛函做不到。下面是实际例子：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=X%3DC%5B0%2C1%5D& alt=&X=C[0,1]& eeimg=&1&& ,&img src=&///equation?tex=F%28f%29%3A%3D%5Cint_0%5E1+f%5E2%28t%29+dt& alt=&F(f):=\int_0^1 f^2(t) dt& eeimg=&1&&
,这个泛函&img src=&///equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 是连续的，但是在有界闭集&img src=&///equation?tex=V%3D%5C%7B%5C%7Cf%5C%7C%5Cleq+1%2C+f%280%29%3D0%2Cf%281%29%3D1%5C%7D& alt=&V=\{\|f\|\leq 1, f(0)=0,f(1)=1\}& eeimg=&1&& 上不能达到最小值。取 &img src=&///equation?tex=f_n%28t%29%3Dt%5E%7Bn%7D& alt=&f_n(t)=t^{n}& eeimg=&1&& ,&img src=&///equation?tex=F%28f_n%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%2B1%7D& alt=&F(f_n)=\frac{1}{2n+1}& eeimg=&1&& ,所以最小值为0，但是&img src=&///equation?tex=F%28f%29%3D0%5Cimplies+f%3D0& alt=&F(f)=0\implies f=0& eeimg=&1&& ,&img src=&///equation?tex=f%5Cnotin+V& alt=&f\notin V& eeimg=&1&&。&/p&&p&根本的原因在于一般的拓扑向量空间比有限维的欧式空间差多了。&b&你认为函数成立的结果基本不可能简单的迁移到泛函&/b&，实质在于拓扑性质的畸变。&/p&&p&再补充一个区别吧，欧式空间上任何线性的函数肯定是连续的，但是&b&线性的泛函不一定是连续的&/b&。设&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&是所有多项式构成的空间，给予范数&img src=&///equation?tex=%5C%7Cp%5C%7C%3D%5Cmax_%7B-1%5Cleq+x%5Cleq+1%7D%7Cp%28x%29%7C& alt=&\|p\|=\max_{-1\leq x\leq 1}|p(x)|& eeimg=&1&&，注意这里我们让多项式可以定义在整个实轴上，取泛函&img src=&///equation?tex=F%28p%29%3Dp%283%29& alt=&F(p)=p(3)& eeimg=&1&&，自然他是线性的，但是它却不是连续的，实际上我们取&img src=&///equation?tex=p_n%28x%29%3D%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%29%5En& alt=&p_n(x)=(\frac{x}{2})^n& eeimg=&1&&,显然&img src=&///equation?tex=%5C%7Cp_n%5C%7C%5Cto+0& alt=&\|p_n\|\to 0& eeimg=&1&&(&img src=&///equation?tex=n%5Cto%5Cinfty& alt=&n\to\infty& eeimg=&1&&),但是&img src=&///equation?tex=F%28p_n%29%5Cto%5Cinfty& alt=&F(p_n)\to\infty& eeimg=&1&&.&/p&&p&再再补充一个区别，一个连续函数在单位球上肯定是有界的，&b&可是一个连续泛函却不一定啊&/b&！设&img src=&///equation?tex=c_0& alt=&c_0& eeimg=&1&&是所有收敛到0的数列&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D& alt=&\{x_n\}& eeimg=&1&&的集合，这个空间上的范数为&img src=&///equation?tex=%5C%7C%5C%7Bx_n%5C%7D%5C%7C%3D%5Csup_%7Bn%7D%7Cx_n%7C& alt=&\|\{x_n\}\|=\sup_{n}|x_n|& eeimg=&1&&,我们定义泛函&/p&&p&&img src=&///equation?tex=F%28%5C%7Bx_n%5C%7D%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+x_n%5En& alt=&F(\{x_n\})=\sum_{n=1}^\infty x_n^n& eeimg=&1&&,这个泛函是连续的，但是我们可以却可以取&img src=&///equation?tex=e_n%3D%281%2C1%2C%5Ccdots%2C+1%2C0%2C0%2C0%29& alt=&e_n=(1,1,\cdots, 1,0,0,0)& eeimg=&1&&（也就是前n个全是1，后面都是0）,那么这个情况下&img src=&///equation?tex=F%28e_n%29%3Dn& alt=&F(e_n)=n& eeimg=&1&&,所以在单位球上它是无界的。&br&&/p&&br&&p&之所以数学家给泛函一个名字是因为它很特别，但是用得比较多，比如一个拓扑向量空间上所有线性连续泛函构成的空间对刻画这个空间具有非常大的作用，每次都说“无限维的函数”，不如“泛函”经济省力得多，可以拯救很多树和体能。还有，你把泛函看成“函数”没有什么特别的优点，还不如&b&把多元函数看成一个泛函的特例。&/b&&/p&
-----补充了几个有趣的泛函反例-------谢邀。这样不是完全不行，但是之所以用“泛函”这个词是因为它有它的特殊性。它的性质和一般多元函数的差别是非常非常大的，你一定要意识到这点。随便举一个例子吧，连续函数在有界闭集上可以达到最大最小值，连续泛函…
&p&谢邀，不知道你说的“联系”是指什么。不过，这两个数的搞基关系数蛮大，比较重要的，比如&/p&&p&欧拉公式： &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi}+1=0& eeimg=&1&& ,&/p&&p&正态分布： &img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B2%7D%7Ddt%3D1& alt=&\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1& eeimg=&1&&&/p&&p&傅立叶分析 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B+2%5Cpi+%7D%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7De%5E%7Bi%28x-y%29+t+%7Ddt%3D%5Cdelta_%7Bx%3Dy%7D& alt=&\frac{1}{ 2\pi }\int_{\mathbb{R}}e^{i(x-y) t }dt=\delta_{x=y}& eeimg=&1&&&/p&&p&不怎么重要的，比如Stirling公式
&img src=&///equation?tex=+n%21%5Csim%5Csqrt%7B2%5Cpi+n%7D%5Cleft%28%5Cfrac+%7Bn%7D%7Be%7D%5Cright%29%5En& alt=& n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac {n}{e}\right)^n& eeimg=&1&& ，还有一堆奇奇怪怪的等式。我就不去列了，反正很多就是了。&/p&&p&至于回到你开头的那个问题， &img src=&///equation?tex=%5Cpi%2Be& alt=&\pi+e& eeimg=&1&&&b&是不是无理数还是一个未解决的问题&/b&，类似的还有 &img src=&///equation?tex=%5Cpi-e& alt=&\pi-e& eeimg=&1&& , &img src=&///equation?tex=%5Cpi+e& alt=&\pi e& eeimg=&1&& , &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Be%7D& alt=&\frac{\pi}{e}& eeimg=&1&& 这几个都不能被证明是无理数，有理数，代数数或者超越数。虽然难以置信，不过好像是这样的：&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Transcendental number&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。对于这个问题的研究很早就停滞了。有兴趣的同学可以去试试看。对了， &img src=&///equation?tex=%5Cpi%2Be%5E%7B%5Cpi%7D& alt=&\pi+e^{\pi}& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+e%5E%7B%5Cpi%7D& alt=&\pi e^{\pi}& eeimg=&1&& 都被证明是超越数了。&/p&&p&哦，还有，可以证明 &img src=&///equation?tex=%5Cpi%2Be& alt=&\pi+e& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+e& alt=&\pi e& eeimg=&1&& 至少有一个是无理数，而且思路出奇的简单: &a href=&///?target=https%3A///questions/1095416/proof-that-at-most-one-of-e-pi-and-e-pi-can-be-rational& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Proof that at most one of $e\pi$ and $e+\pi$ can be rational&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
谢邀，不知道你说的“联系”是指什么。不过，这两个数的搞基关系数蛮大，比较重要的，比如欧拉公式： e^{i\pi}+1=0 ,正态分布： \int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1傅立叶分析 \frac{1}{ 2\pi }\int_{\mathbb{R}}e^{i(x-y) t }d…
非负实数&img src=&///equation?tex=a%2Bb%2Bc%2Bd%3D6& alt=&a+b+c+d=6& eeimg=&1&&&br&证明:&br&&img src=&///equation?tex=%28a-b%29%28a-c%29%28a-d%29%28b-c%29%28b-d%29%28c-d%29%5Cleq+27& alt=&(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\leq 27& eeimg=&1&&&br&可以猜猜看等号成立条件，亮瞎狗眼&br&据说是集训队老师出给韦东奕的题【未经证实】&br&等号成立条件&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&==========================================&br&&img src=&///equation?tex=a%3D4%5Ccos%5E2%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B18%7D%29%2Cb%3D4%5Ccos%5E2%28%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B18%7D%29%2Cc%3D4%5Ccos%5E2%28%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B18%7D%29%2Cd%3D0& alt=&a=4\cos^2(\frac{\pi}{18}),b=4\cos^2(\frac{5\pi}{18}),c=4\cos^2(\frac{7\pi}{18}),d=0& eeimg=&1&&&br&当然这个题不能算非常难，高中时候做出来过，有时间的话会补充一下解答。但是确实极其匪夷所思，形式简单，所有数字都是整数，取等条件却是一组奇怪的无理数。&br&==========================================&br&补充一个，在竞赛圈应该挺有名的Vasile不等式&br&&img src=&///equation?tex=%28a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%29%5E2%5Cgeq3%28a%5E3b%2Bb%5E3c%2Bc%5E3a%29& alt=&(a^2+b^2+c^2)^2\geq3(a^3b+b^3c+c^3a)& eeimg=&1&&&br&取等条件：&br&&img src=&///equation?tex=a%3Db%3Dc& alt=&a=b=c& eeimg=&1&&或&img src=&///equation?tex=a%3Ab%3Ac%3D%5Csin%5E2%28%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B7%7D%29%3A%5Csin%5E2%28%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B7%7D%29%3A%5Csin%5E2%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B7%7D%29& alt=&a:b:c=\sin^2(\frac{4\pi}{7}):\sin^2(\frac{2\pi}{7}):\sin^2(\frac{\pi}{7})& eeimg=&1&&及轮换&br&证明：&br&左边-右边=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bcyc%7D+%28a%5E2-c%5E2%2Bac%2Bbc-2ab%29%5E2%5Cgeq0& alt=&\frac{1}{2}\sum_{cyc} (a^2-c^2+ac+bc-2ab)^2\geq0& eeimg=&1&&
非负实数a+b+c+d=6 证明: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\leq 27 可以猜猜看等号成立条件，亮瞎狗眼 据说是集训队老师出给韦东奕的题【未经证实】 等号成立条件 ========================================== ========================================== =…
泻药&br&&br&这还不算真正酸爽的，酸爽的是用俄语在俄罗斯的数学系学习数学专业!! 正好当时我的教材里面就包括了这两本书，所以我就简单就这两本书发表一下对代数和数学分析的看法，以及对采用这两本书做教材的这一行为的看法。&br&&br&简短的评论一下这两本书，柯老这三本代数学教程，曾经作为我们大一到大二的三个学期代数学的推荐阅读资料。我们每一门课是没有专门教材，只有推荐阅读的教材。老师上课讲自己的，完全不按照教材来，我们在下面听了记笔记，期末按照笔记考试，一般第一节课会告诉我们这一学期要用到的教程，学生去图书馆借来自己在家看，也可以不看，只看笔记也够了。&br&&br&
我们代数学就用了法捷耶夫(Фадеев)的《代数学习题册》，柯老的《代数学教程1,2,3》，还有一本莫大著名教授甘特马赫尔写的《矩阵论》，第三学期的还有库洛什(Курош)的《代数》，范德瓦尔登(Ван Дер Варден)的《代数学》，柯老代数学教程的第三册等。上面这几本书我仔细研读了两本，矩阵论觉得没必要就没读。 柯老这本其实说实在的难度不如我们老师上课讲的，作为教科书看看的话呢，本身部头又太大，看起来很枯燥，打击学习兴趣，但是对于系统的了解代数学会有很大的帮助，毕竟书上所有证明都很详细，比较容易看懂。 二我们老师海涅(Гейн А.Г)对学生的要求极严而且作为前苏联数学大师的弟子，对学生期望很高，讲的东西都是各种超纲，比如我们在大一下学期就讲了选择公理，左恩引理，全序定理的循环互证，讲了不变子空间和根子空间分解，酋空间，辛空间，讲了谱定理，刘维尔定理...基本上面教材中有的我们都讲了。 其中最记忆深刻的是左恩引理证选择公理我是在最早的一本抽象代数教程 荷兰数学家范德瓦尔登的《代数学》上找到的，但是没背，结果好死不死五十几题，在考试给我抽中了这题。&br&&img src=&/568e0e1dace0fcfeebdea_b.png& data-rawwidth=&849& data-rawheight=&301& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&849& data-original=&/568e0e1dace0fcfeebdea_r.png&&&br&多扯几句吧，其实现在我都怀疑我当时怎么能熬过来的，老师对外国学生完全没优待，课程难度大，课时紧张。好在当时只有数学分析，代数和算法分析三门主课，所以时间也还比较充裕，花大量时间理解，然后看了蓝以中，丘维声等北大清华教材5本，莫大教材上面提到的其中两本(真心吐槽汉语翻译渣，老版本翻译者都是留苏前辈，这些人基础扎实，而90年代后出版的所谓数学教材翻译都是年青一代人了，翻译完全渣，最后发现看俄语还比汉语好理解)，利用这些知识熬过了考试，当年我们班开除了三个因为代数没过(到现在大三下学期，我们班32个人还剩下22个，到毕业前至少开一半)。&br&&br&难点其实是,所有的课和笔记全部用俄语讲的。要知道当时俄语才学了十个月....从零学起的。 上课听课尤其吃力，下课就借同学笔记誊写好，期末全部背下来。因为我们考试分为习题和理论，习题就是做题，做题过了才有资格参加理论考试，理论考试囊括了一学期所有的上课证明了的理论，学生要全记下来，考试的时候抽条子复述。没办法作弊，你就算抄好了，老师问你相关的知识你不知道，一样没办法过考试。传张图大家看看，一共四十多道题，大二上学期代数三的理论考试:&br&&img src=&/2a228d0c28d6a7a2c599dba1f46d7074_b.png& data-rawwidth=&633& data-rawheight=&876& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&633& data-original=&/2a228d0c28d6a7a2c599dba1f46d7074_r.png&&上面每一个知识点少的都能写1张A4纸，多的2-3张也有，要回答大量内容。&br&我就因为没记左恩证选择公里最后抽到没做出来，换题后要减一分，最后只能三分及格通过。当然这种负(keng)责(die)的老师并不是年年都能遇到。我到目前也就遇到俩，一个是这和，一个是大二常微分方程老师。 遇到一个是你的幸运，你会学习到很多知识和方法，也会学习到遇到困难要努力克服的精神，但是遇到三个以上就是你的悲哀！&br&&br&再吐槽一下翻译烂的水平。
中国自从60年代后，基本没出几个像样的俄语翻译家！ 和50年代末留苏那一批前辈翻译的质量水平差远了！&br&&br&总的来说，柯老这本书，是本好教材，但是我觉得不适合作为唯一教科书，平时看看就好了。真要选教科书一定要看蓝以中和丘维声这四本线性代数教材!我认为这两本是目前为止我读的最好的高代教材。&br&&br&至于数学分析和卓里奇。卓里奇这本书我仔细看了中文版和俄文版，最后还是看的俄文版，因为中文版翻译绝对是渣渣!&br&书讲的很详细，大体框架还是沿袭菲赫金哥尔茨的《教程》，但是其中许多方法用了现代的方法，比如线性估值法。 这本书课后习题极其难，尤其记得第一章还没有完就要求证明某某平面对于映射存在一个不动点，满足x=f(x)，一开始死活不能理解思路，直到后面学到不动点定理的时候才知道原来要我们证的是什么。&br&但是好在我们这个教授还是很给力的（这个老师上课基本只带一只粉笔进来，讲90分钟就走，课都不需要背，全部在脑子里面），所以基本上靠笔记就过了数学分析， 卓里奇真的只是当参考书看了， 遇到看不懂的定理就上面翻一番人家的证明方法。 对比一下华东师范大学蓝本和张筑生的《数学分析新讲》找到最简洁的证明。
当然看华东师范蓝本的时候更多一些，卓里奇排版实在是渣！ 有知友说复旦陈纪修的书很好，我没看过，但是我看过陈教授的公开课视频，许多不懂的陈教授一讲就明白了，但是有一点不足的就是，由于陈教授过于考虑到大家的水平，所以讲的慢，也没有难点，一节公开课并没有很多”干货“，但是总之从陈教授视频中还是受益颇多的。&br&&br&（这是我们数学分析课的时候：）&br&&img src=&/554a96f2e73aebac2cae5d6d269943cc_b.png& data-rawwidth=&1626& data-rawheight=&916& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1626& data-original=&/554a96f2e73aebac2cae5d6d269943cc_r.png&&&br&我觉得这两本书，甚至所有的学者专家研究者所推荐的苏联教材，全部都&b&不适合作为教材&/b&，特别是初学者教材。甚至菲赫金哥尔茨的《教程》也不适合，尽管众多从苏联留学过的前辈，数学系学生，国内的数学研究者都大力推荐这本作为入门。
我依然认为最好的数学分析教材是华东师范大学的蓝本数学分析。其原因如下：&br&&b&一，苏联的这些， 度大的教材一方面难度大大高于初学者能承受的范围，学下来是极其痛苦的。&/b&&br&&b&二，教材的先进性方面，苏联那些老书真的比不过新出版的书。&/b& 因为苏联时代的教育理念和现代教育理念是不一样的，而这些书正是那个时候教育理念的展现：在有限的课时内，把所有能塞的一股脑塞给学生。 这样的教育理念在现在看来是不合适的，应该构建一个只是构架，循序渐进，“大跃进”式的教育模式已经落后了。&br&&b&三，排版，内容安排的合理性，知识点的透彻程度并不如现在国内绝大多数教程。&/b&比如，在现代观点看来，线性代数，应该只教以下内容：行列式，矩阵（矩阵的定义，运算，各种性质，对角化，若当标准型，特征值等主要内容)，线性方程和二次型。 而高等代数应该在线性代数的基础上讲多项式环，线性空间和映射相关，讲点辛酋空间，什么共轭映射就够了。
但是反观我们的代数老师呢，讲纠错码，讲选择公理，讲完备空间（这里讲了希尔伯特，索伯列夫和泛函空间），讲代数同构三大定理（由此衍生出群，环同构三大定理），这些东西已经超纲到哪里去了！ 索伯列夫空间我们在这学期泛函空间部分才开始涉猎，这已经大三了！ 而且内容安排上面也有问题，比如这个代数第一学期竟然反人类的从多项式环开始讲，而不是从线性代数开始，一般会认为线性代数更容易。 而且老师直接跳过了矩阵部分，只说自己看书，第二学期开始从线性空间开始，后面又乱入了一些群，环，域，代数基本定理，刘维尔证代数基本定理，然后线性映射...第三学期的格，模，全序集，自动机，纠错码(不是很深入，最多讲了bch码和卷积码)就更是无语了。 好好上个学还不行吗！！&br&四，&b&渣渣渣渣渣翻译！我八十岁的外婆都比他们翻译的好。&/b&（开玩笑）&br&&br&综上按我的观点我想说，这些书当参考书看看就行了，要强加给学生，只是给学生和教师双方增加痛苦。把这种痛苦强加给学生真是揠苗助长，对学生的兴趣培养一点好处都没有。很多东西不是图难就行了， 需要合理的安排内容，因材施教。 一味的求难真的不可取。&b&苏联式的教学法才能适应苏联的教科书。&/b& 我们大多数老师都意识到了这些书其实在21世纪还作为规定的教科书其实是很不合适的， 所以很多老师都会让学生自己去阅读就行了，不做强制规定，考题也不会在这些书上出，除非是书上真的很有帮助的内容，会告诉大家看哪一页。 上课呢，则是讲的都是按照轻松的来，循序渐进，不会是那种大部头填鸭教学了，大家做好笔记，然后期末理解好笔记，辅以推荐阅读材料，然后就可以过考试。 另外，抄笔记真心累，这是我大一完事的时候这一年写的笔记，一共20本，每本都写满了！（看那笔记破破烂烂的边就知道了）&br&&img src=&/4a6cf2c66a6cb5a6ca66d149bfb0c0a6_b.png& data-rawwidth=&943& data-rawheight=&834& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&943& data-original=&/4a6cf2c66a6cb5a6ca66d149bfb0c0a6_r.png&&&br&另外关于苏联数学可以看看这篇文章，是一篇以亲历者角度写的很好的介绍莫大数学系的文章，大家可以读一读。&br&&a href=&///?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzIyMjE1NDY2Mw%3D%3D%26mid%3Didx%3D1%26sn%3D4e025cbdfab%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/question//answer/&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&其中所列举的几乎所有苏联时期的优秀教材，到现在大部分大学数学系非数学系都在用，也包括我们数学系，这上面所有教材我们都作为推荐教科书用过，但是这些东西写的多，习题难度大，大家现在都已经很厌恶了，学校也没有什么高质量的新的教科书，这些老古董一直都在用着，只能说老的太好，新的又不够，到现在都没办法推陈出新。&br&&br&以上。祝大家学业进步！ &br&&br&===============F&Q部分=================================&br&问：俄罗斯大学如何组织考试&br&答：不同大学组织考试的方式不同，以我校（不是莫斯科大学，但是数学系也是差不多的）考试为例子，其他理工科系差不多，文科系则不是这样。
考试分为期中测评(контрольная работа) -& 期末习题测试（зачет) --&考试（экзамен). 期中测评类似于随堂测验，一般一学期2次，只有过了才能参加习题测试，没过可以找老师要题目回家补好。
习题测试就是抽题目，习题涵盖这一学期所有做过的题目，做出来就过了。 理论考试最难，上面那里面四十多到题目，里面随便抽两个。要求写出来所有在这一节老师讲的内容，包括所有定理，定义，饮理，然后老师基于这些定理给你补一个补充习题，一般不会太难，目的是测试你确实会了，不是作弊抄来的，当着老师面是不可能作弊的，这个补充题你不会一样过不了考试。 但是可以换一次理论题目，换完之后就要减1分，比如你本来答得好能拿五分的但是由于换题了所以只能四分。 当你写完所有证明和定义，给老师讲你写了什么，老师依据内容完整度给分。三分及格，五分满分。
泻药 这还不算真正酸爽的，酸爽的是用俄语在俄罗斯的数学系学习数学专业!! 正好当时我的教材里面就包括了这两本书，所以我就简单就这两本书发表一下对代数和数学分析的看法，以及对采用这两本书做教材的这一行为的看法。 简短的评论一下这两本书，柯老这三…
&p&不同于《高等数学》书中的方法，本文通过线性变换的思想来推导一下曲面积分公式。&/p&&p&先明确下问题。&/p&&p&&b&1 曲面面积公式&/b&&/p&&p&对于一个三维的光滑曲面&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&，有：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle%5Cmathop%7B%5Ciint%7D_%7BS%7DdS%3D%5Cmathop%7B%5Ciint%7D_%7BD_%7Bxy%7D%7D+%5Csqrt%7B1%2B%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%7D%29%5E2+%2B%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5Cmathrm%7Bd%7Dy& alt=&\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2 +(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& eeimg=&1&&&p&其中 &img src=&///equation?tex=D_%7Bxy%7D& alt=&D_{xy}& eeimg=&1&& 是&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&&平面的投影。&/p&&p&我们来看一下这个公式是怎么推出来的。&/p&&p&&b&2 基本思想&/b&&/p&&p&比如&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是这么一个三维光滑曲面：&/p&&img src=&/v2-b81f88b329ac2d56ced03_b.png& data-rawwidth=&463& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&463& data-original=&/v2-b81f88b329ac2d56ced03_r.png&&&p&将曲面无限细分为&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&份，每一份的面积我们姑且认为就是 &img src=&///equation?tex=dS& alt=&dS& eeimg=&1&& （严格来说，在积分里
&img src=&///equation?tex=dS& alt=&dS& eeimg=&1&& 是没有什么几何意义的，不过出于直观理解为面积是可以的）：&/p&&img src=&/v2-3a9ea0a89bb1f42b9990_b.png& data-rawwidth=&522& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&522& data-original=&/v2-3a9ea0a89bb1f42b9990_r.png&&&p&所以 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle%5Cmathop%7B%5Ciint%7D_%7BS%7DdS& alt=&\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS& eeimg=&1&& 的意思是把所有的&img src=&///equation?tex=dS& alt=&dS& eeimg=&1&&累加起来，就得到了 &img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的面积。&/p&&p&微积分的思想就是“以直代曲”，比如说在一元的时候：&/p&&img src=&/v2-a6feec8f0daf95d_b.png& data-rawwidth=&673& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&673& data-original=&/v2-a6feec8f0daf95d_r.png&&&p&从一元开始推广到多元这个思想依然成立。从这个思想出发，我们要找到&img src=&///equation?tex=dS& alt=&dS& eeimg=&1&&的直。&/p&&p&我在某个切分出来的小块，比如叫做 &img src=&///equation?tex=S_i& alt=&S_i& eeimg=&1&& 吧，在其中随便找一个 &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 点，做此点的切平面：&/p&&img src=&/v2-d454ae16120b_b.png& data-rawwidth=&556& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&556& data-original=&/v2-d454ae16120b_r.png&&&p&此块切平面的面积我们记作 &img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-289da4b1795a2fefd6ba28_b.png& data-rawwidth=&556& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&556& data-original=&/v2-289da4b1795a2fefd6ba28_r.png&&&p&切平面 &img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&& 实际上是 &img src=&///equation?tex=dS& alt=&dS& eeimg=&1&& 的微分（这一点可以参看我的答案 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何理解全微分&/a& ），根据微分的定义有： &img src=&///equation?tex=dA%5Capprox+dS& alt=&dA\approx dS& eeimg=&1&& ，并且有：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle%5Cmathop%7B%5Ciint%7D_%7BS%7DdS%3D%5Cmathop%7B%5Ciint%7D_%7BS%7DdA& alt=&\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{S}dA& eeimg=&1&&&p&这就是“以直代曲”，在积分中，可以直接用切平面来代替原曲面。&/p&&p&下面我们来看下 &img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&& 怎么计算。&/p&&p&&b&3 通过线性变换来计算&/b& &img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&&&/p&&p&下面我的解释为了直观牺牲了严格性。&/p&&p&关于线性变换可以参考下我另外一个答案： &a href=&/question//answer/& class=&internal&&行列式的本质是什么？&/a&&/p&&p&简单来说呢，线性变换可以把一根直线变成另外一根直线：&/p&&img src=&/v2-bd2e5b63e12a53e83722b_b.png& data-rawwidth=&519& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&519& data-original=&/v2-bd2e5b63e12a53e83722b_r.png&&&p&在三维中，也可以把一个平面变为另外一个平面：&/p&&img src=&/v2-cfb3fbe7d971e7fa823f2_b.png& data-rawwidth=&795& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&795& data-original=&/v2-cfb3fbe7d971e7fa823f2_r.png&&&p&&img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&&
&img src=&///equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&&
平面上的投影为 &img src=&///equation?tex=dD_%7Bxy%7D& alt=&dD_{xy}& eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-47e658e2950ffcdb3dbc633f_b.png& data-rawwidth=&551& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&551& data-original=&/v2-47e658e2950ffcdb3dbc633f_r.png&&&p&&img src=&///equation?tex=dD_%7Bxy%7D& alt=&dD_{xy}& eeimg=&1&&
通过线性变换可以得到 &img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&&，而这个线性变换就是导数，关于这点可以参看我的