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编译原理词法2(NFA、DFA的确定化和化简) 第 3 讲,编译原理,西北农林科技大学本科教程,主讲教师：赵建邦,第二章《词法分析》2.3-2.5节2.3 正规表达式与有限自动机简介2.4 正规表达式到优先自动机的构造2.5 词法分析器的自动生成重点掌握 有限自动机理论有限自动机的构造、确定化和化简,本讲目标,第二章 词法分析,2.1 词法分析的设计方法2.2 一个简单的词法分析器2.3 正规表达式与有限自动机简介2.4 正规表达式到有限自动机的构造2.5 词法分析器的自动生成,2.3.2：有限自动机：可以自动识别单词的机器有限自动机（Finite Automation）：FA是一个状态转换图，“有限”指的是状态有限。当前状态读入一个字符后，和后继状态的转换有以下三种情形： (1)后继状态为自身 (2)后继状态只有一个 (3)后继状态有多个如果每次转换的后继状态是唯一的，则称它为确定有限自动机（Deterministic FA）如果每次转换的后继状态不是唯一的，则称它为非确定有限自动机（Nondeterministic FA）,2.3 正规表达式与优先自动机简介,2.3.2：有限自动机1、确定有限自动机（DFA）：DFA是一个五元组，Md＝ (S, ∑, f, s0 , Z) ，其中：(1) S是一个有限状态集合，它的每个元素称为一个状态 (2) ∑是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入字符f是一个从S×∑至S的单值映射，也叫状态转移函数s0∈S 是唯一的初态 是一个终态集,2.3 正规表达式与优先自动机简介,2.3.2：有限自动机1、确定有限自动机（例2.4）：假定DFA Md =({s0, s1, s2}，{a,b}, f , s0 ,{s2} )，状态转移函数： f(s0, a) = s1 f(s0, b) = s2 f(s1, a) = s1 f(s1, b) = s2 f(s2, a) = s2 f(s2, b) = s1,2.3 正规表达式与优先自动机简介,状态转换矩阵：,2.3.2：有限自动机2、非确定有限自动机（NFA）：NFA是一个五元组，Md＝ (S, ∑, f, Q, Z) ，其中：(1) S是一个有限状态集合，它的每个元素称为一个状态 (2) ∑是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入字符(3) f是一个从S×∑*至S的多值映射，也叫状态转移函数(4) Q∈S 是非空初态集(5) 是一个终态集NFA相比于DFA的特征：若干个初始状态 (2) f多值映射(3) 允许接收字和空字符ε,2.3 正规表达式与优先自动机简介,2.3.2：有限自动机2、非确定有限自动机（例2.5）：假定NFA Mn =({s0, s1, s2},{a,b}, f , {s0 ,s2},{s2})，状态转移函数： f(s0, a) ={s2 } f(s0, b) ={s0,s2 } f(s1, a) = Ф f(s1, b) ={s2 } f(s2, a) = Ф f(s2, b) ={ s1 },2.3 正规表达式与优先自动机简介,,状态转换矩阵：,2.3.2：有限自动机（识别的语言）对于一个自动机FA 而言，如果存在一条从初始状态到终止状态的通路，通路上有向边所识别的字符依次连接所得到的字符串为α, 则称α可以为FA 所接受或者α为FA 所识别FA 所能识别的字符串集为FA 所识别的语言，记为L(M)FA的等价：对于任意两个FA M和 FA M’, 如果L(M)=L(M’), 则称M和M’等价对于任意一个NFA M，一定存在一个DFA M’与其等价,2.3 正规表达式与优先自动机简介,2.3 课堂例题,例2.5 接受与正规式(a|b) *abb相同的语言的DFA与NFA:,DFA识别abb aabb abab无论成功或者失败只需要运行一次,NFA识别abb aabb abab无论成功或者失败可能需要运行若干次,第二章 词法分析,2.1 词法分析的设计方法2.2 一个简单的词法分析器2.3 正规表达式与有限自动机简介2.4 正规表达式到有限自动机的构造2.5 词法分析器的自动生成,需要了解的等价性：1.如果R是字母表Σ上的一个正规式，则必然存在一个NFA M，使得L(M)=L(R);2.对于任意一个NFA M，一定存在一个DFA M’与其等价 ,即L(M)=L(M’);从正规式开始构造DFA的过程有以下几个步骤：1.由正规式构造NFA;2.由NFA构造与之等价的DFA（确定化）3.DFA的化简,2.4 正规表达式到有限自动机的构造（重点）,2.4.1：由正规式构造等价的NFA1、对于给定的正规式R，将其表示成 称为“拓广转换图”其中X为初始状态，Y为终止状态2、对正规式中的三种运算，分别采用如下的对应转换规则,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,Y,X,R,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.6 对给定正规表达式 b*(d|ad)(b|ab)+ 构造其NFA M,,X,按照正规式从左到右构造NFA：,[解答] 先用R+=RR*改造正规表达式,b*(d|ad)(b|ab)+ = b*(d|ad)(b|ab)(b|ab)*,2.4.2：NFA的确定化（相关概念）NFA的确定化：构造一个和NFA等价的DFA状态集合I的ε_闭包设I是FA M的状态子集，则以下状态属于ε_CLOSURE(I) ： (1) 若si∈I，则si∈ ε_CLOSURE(I) ； (2) 若si∈I，则对从si出发经过任意条ε通路所能到达的 状态sj，都有sj ∈ ε_CLOSURE(I) 。定义Ia = ε_CLOSURE(J) ，其中： I={s1, s2,…, sn}，J = f(I,a) = f(s1,a)∪f(s2,a)∪… ∪ f(sn,a),2.4 正规表达式到有限自动机的构造,,ε,1,,5,,2,,4,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.7 已知一状态转换图如下图所示，且假定I=ε_CLOSURE({1})={1,2}，试求从状态集I出发经过一条有向边a能到达的状态集J和ε_CLOSURE(J),,6,,3,,7,,8,a,ε,a,ε,ε,a,ε,[解答] 状态集I经过一条a弧得到J，J = {5,3,4}J中的每一个状态经过任意条ε通路得到ε_CLOSURE(J) =Ia= {5,6,2,3,8,4,7},2.4.2：NFA的确定化（子集法） (1) 构造一张转换表，第一列记为状态子集I，对于不同的符号 (a∈Σ)，在表中单设一列Ia ； (2) 表的首行首列置为ε_CLOSURE(s0)，其中s0为初始状态； (3) 根据首行首列的I，为每个a求其Ia 并记入对应的Ia 列中， 如果此Ia 不同于第一列中已存在的所有状态子集I，则将其 顺序列入空行中的第一列； (4) 重复(3)直至对每个I及a均已求得Ia ，并且无新的状态子集 Ia加入第一列时为止； (5) 重新命名第一列的每一个状态子集，形成新的状态转换矩阵， 即为与NFA等价的DFA,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.8 求正规表达式(a|b) *(aa|bb) (a|b) *对应的DFA M,[解答]首先根据正规式构造NFA M:,1.构造状态转换表:,{X,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3},{1,2,4},2.确定首行首列:ε_CLOSURE(s0),3.依次计算Ia和Ib 并更新首列,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,{X,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,5,6,Y},{1,2,4},{1,2,3,5,6,Y},{1,2,3},{1,2,4,5,6,Y},{1,2,4,5,6,Y},{1,2,3,5,6,Y},{1,2,4,6,Y},{1,2,4,6,Y},{1,2,3,6,Y},{1,2,3,6,Y},{1,2,4,5,6,Y},{1,2,3,6,Y},{1,2,4,5,6,Y},{1,2,3,5,6,Y},{1,2,4,6,Y},4.重复(3) ,直至无新状态加入首列为止,5.新的状态转换矩阵,0,1,2,3,4,5,6,1,3,1,3,6,6,3,2,2,4,5,4,4,5,0,1,2,3,4,5,6,1,3,1,3,6,6,3,2,2,4,5,4,4,5,得到新的状态转换图DFA:,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,2.4.3：DFA的化简状态的等价：假设s1和s2是M的两个不同的状态，如果从s1出发能识别字符串α而停于终态，从s2出发也能识别α而停于终态。 反之也是成立的。称s1和s2等价，否则称它们可区分一个确定有限自动机M的化简是指：寻找一个状态数比M少的DFA M’，使得L(M)=L(M’)化简后的DFA满足两个条件： (1) 没有多余状态 (2) 状态集中不存在等价状态,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,2.4.3：DFA的化简（方法） (1) 首先将DFA的状态集按照终态与非终态分为两个子集，形成 初始划分H (2) 对每个子集G进行如下变换：把G划分为新的子集，使得G的两个状态s1和s2属于同一子集,当且仅当对任何输入符号a,状态s1和s2的后继状态都属于同一子集；用G划分出的所有子集替换G，形成新的划分Hnew (3) 如果Hnew == H，执行(4);否则令H = Hnew，重复执行(2) (4) 划分结束后，一个子集只对应一个状态，作为代表状态，删去 其它一切等价状态，并将对应的弧射向这个代表状态,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.8 求正规表达式(a|b) *(aa|bb) (a|b) *对应的DFA M,[解答] 画出例2.8未化简的DFA:,(1)初始划分集合1={0,1,2} ，集合2={3,4,5,6},(2)考察{0,1,2}：0a,0b,1b,2a 在集合1；1a, 2b在集合2； 因此划分为{0}{1}{2}； 考察{3,4,5,6}： 3a,4a,5a,6a在集合2；3b,4b,5b,6b在集合2； 因此不进行划分。,,,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.8 求正规表达式(a|b) *(aa|bb) (a|b) *对应的DFA M,[解答],(3) 划分的最终结果为 {0} 、{1}、{2}、{3,4,5,6}； 对其进行重命名：0、1、2、3,(4) 得到新的状态转换矩阵和化简后的DFA，如下所示：,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.8 求正规表达式(a|b) *(aa|bb) (a|b) *对应的DFA M,NFA M:,化简前的DFA M:,化简后的DFA M:,2.4 正规表达式到有限自动机的构造,例2.8 求正规表达式(a|b) *(aa|bb) (a|b) *对应的DFA M,NFA M:,
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程序编译的第一个阶段是词法分析
，即把字节流识别为记号
）流，提供给下一步的语法分析
过程。而识别记号的方法就是正则表达式的分析。本文介绍利用有限自动机
分析表达式的方法。
有字母表中的符号组成的有限长度的序列。记号s
的记号称为空记号
有限自动机(Finite State Automaton)
为研究某种计算过程而抽象出的计算模型。拥有有限个状态，根据不同的输入每个状态可以迁移到其他的状态。
非确定有限自动机(Nondeterministic Finite Automaton)
，由以下元素组成：
有限状态集合S
有限输入符号的字母表Σ
状态转移函数move
开始状态 sSUB{0}
结束状态集合F
自动机初始状态为sSUB{0}
，逐一读入输入字符串中的每一个字母，根据当前状态、读入的字母，由状态转移函数move
控制进入下一个状态。如果输入字符串读入结束时自动机的状态属于结束状态集合F
，则说明该自动机接受该字符串，否则为不接受。
确定有限自动机(Deterministic Finite Automaton)
的一种特例，有以下两条限制：
对于空输入ε
，状态不发生迁移；
某个状态对于每一种输入最多只有一种状态转移。
将正则表达式转换为NFA(Thompson
将正则表达式转换为NFA(Thompson
字母表Σ上的正则表达式r
能够接受L(r)
首先将构成r
的各个元素分解，对于每一个元素，按照下述规则1
出现了多次，那么对于a
的每次出现都需要生成一个单独的NFA
之后依照正则表达式r
的文法规则，将生成的NFA
按照下述规则3
组合在一起。
对于空记号ε
，生成下面的NFA
的字母表中的元素a
，生成下面的NFA
令正则表达式s
分别为N(s)
，按照以下的方式生成NFA N(s|t)
，按照以下的方式生成NFA N(st)
，按照以下的方式生成NFA N(s*)
本身的NFA N(s)
能够正确地识别正则表达式，并且具有如下的性质：
的状态数最多为r
中出现的记号和运算符的个数的2
的开始状态和结束状态有且只有一个。
的各个状态对于Σ
中的一个符号，或者拥有一个状态迁移，或者拥有最多两个ε
，根据正则表达式 r=(a|b)*abb
可以生成以下的NFA
使用以下的算法可以将NFA
转换成等价的DFA
能够接受与N
相同语言的DFA D
本算法生成D
对应的状态迁移表Dtran
的各个状态为NFA
的状态集合，对于每一个输入符号，D
中可能的状态迁移。
定义以下的操作。
ε-closure(s)
出发，仅通过ε
迁移能够到达的NFA
的状态集合
ε-closure(T)
中包含的某个NFA
出发，仅通过ε
迁移能够到达的NFA
的状态集合
move(T, a)
中包含的某个NFA
出发，通过输入符号a
迁移能够到达的NFA
的状态集合
令 Dstates
中仅包含ε-closure(s),
并设置状态为未标记;
while Dstates
中包含未标记的状态T do
各输入记号a do
ε-closure(move(T, a));
不在Dstates
追加到 Dstates
中，设置状态为未标记;
Dtrans[T, a] := U;
ε-closure(T)
的计算方法如下：
中的所有状态入栈;
设置ε-closure(T)
的初始值为T;
从栈顶取出元素t;
出发以ε为边能够到达的各个状态u do
不在ε-closure(T)
追加到ε-closure(T)
将上面生成的NFA
最初，Dstates
内仅有ε-closure(0) = A = {0, 1, 2, 4, 7}
。然后对于状态A
，对于输入记号a
，计算 ε-closure(move(A, a))
ε-closure
({0, 1, 2, 4, 7}, a)) =
ε-closure
({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
，即 B={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}, Dtran[A, a]=B
。对于状态A
，由输入记号b
能够到达的仅有4-&5
，因此 C =
ε-closure
({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
，即 Dtran[A, b] = C
以此类推，可得到以下的状态和Dtran
A = {0, 1, 2, 4, 7}
D = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
E = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10}
C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
由此得出DFA
如下图所示。
给定正则表达式r
和输入记号序列x
是否能够接受x
的情况下，由正则表达式生成NFA
的时间复杂度为O(|r|)
，另外由于NFA
的状态数最多为r
倍，因此空间复杂度为O(|r|)
判断是否接受x
时，时间复杂度为O(|r|
。因此，总体上处理时间与 r
的长度之积成比例。这种处理方法在x
不是很长时十分有效。
如果使用DFA
，由于利用DFA
判断是否接受x
与状态数无关，因此时间复杂度为O(|x|)
的状态数与正则表达式的长度呈指数关系。例如，正则表达式 (a|b)*a(a|b)(a|b)...(a|b)
，尾部有 n-1
的话， DFA
最小状态数也会超过 2SUP{n}
　　定义1DFA
一个确定的有穷自动机M
是一个五元组,M=( K,Σ, f , S , Z),
是一个有穷集,
其元素称为状态;Σ
是一个有穷字母表,
其元素称为输入符号;S
称为初态;Z? K,
是终态集;f
是转换函数,
是K×Σ→K
上的映射,f(ki,a)=kj,(ki
表示状态ki,
转换为状态kj
无用状态从自动机的开始状态出发,
任何输入串也不能到达的那个状态;
或者从这个状态没有通路到达终态的状态。
等价状态如果说两个状态s
应满足如下条件:(a)
一致性条件:s
必须同时为终态或为非终态;(b)
蔓延性条件:
对于所有输入符号,
必须转换到等价的状态里。
　　一个DFAM
可以通过消除无用状态和合并等价状态而转化为一个最小化的与之等价的DFAM’
。该过程称为DFA
　　对一个DFAM
最少化的基本思想是:
的状态集划分为一些不相交的子集,
使得任何两个不同子集中的状态是(
而同一子集的任何两个状态是等价的。具体算法过程描述如下:
划分为终态和非终态两个子集,
形成初始划分P;
记为P= { I1 , I2 ,
则对每一个Ii
考察: I i a = f ( I i , a) ,
中的状态分别落于P
个不同的子集,
个更小的状态子集I i1 , I i2 ,
所细分。令细分后所得的状态集合为P
重复步骤(2 )
直到直至所含的子集数不再增加为止,Pnew =P;
中的每个子集I i ,
若该子集包含原有的初态,
则此代表状态便为最小化后M
该子集包含原有的终态,
则此状态便为最小化后的终态;
删去状态集中的所有死状态,
即得到化简后的M’
　　下面我们通过一个例子来看一下该算法中存在的问题。
　　使用上述算法进行化简M:
初始划分P0={{0},{1,2}},
含有两个子集I1
由于I2a=I2b=2
没有新集合增加,
故可以得到化简后的M’,
　　图1 DFA M
　　图2 DFA M’
　　化简后的M’
是否等价呢?
对于符号串ba,
原来的DFAM
而化简后的M’
这说明二者并不等价。
最小化算法的改进
　　通过分析上述化简过程,
我们可以找出算法问题所在。算法步骤2
中涉及到集合运算,
而忽略了空集对于算法的影响。根据定义3,
要判断两个状态是否等价必须对于所有输入符号检查一遍,
看它们分别转到等价的状态中,
显然二者不等价。而在算法中,
把状态子集{1,2}
后还是转到它自身,
所以就出现错误了。
　　某个状态下不能接受某个输入符号即为出错,
故上述算法没有考虑到出错情况。因此我们可以对上述算法进行如下改进:
增加一个出错状态error,
划分为终态、非终态、出错三个子集,
形成初始划分P;
中每个子集Ii ,
考察每一个a
∈Σ,I i a = f ( I i , a)
特别地如果Ii
中某个状态Iij
则另f(Iij,a)=error
中的状态分别落于P
个不同的子集,
个更小的状态子集I i1 , I i2 ,
所细分。令细分后所得的状态集合为P
删去状态集中的所有死状态和出错状态,
即得到化简后的M’
　　步骤(3)
与原算法相同。使用改进后的分割算法对例1
重新进行化简,
显然化简得到的M’
即其本身就是最简的DFA
　　有穷自动机是词法分析器的基础,
也是编译原理课程中讲授的重点和难点之一。本文使用简单的实例分析了目前通用教材中“
最小化的问题和漏洞,
并提出了一种切实可行的改进算法。本算法在教学和多次实例中证明是可行的,
这对于从事该课程教学的教师将是很有裨益的。
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