同济高数第六版第一章函数极限与连续复习题-海文库
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同济高数第六版第一章函数极限与连续复习题
高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续第一章函数、极限与连续初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象是变动的量。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，高等数学是研究函数最基本也是最重要的工具，在第一章中以主要篇幅介绍极限的概念及其性质，极限理论在高等数学中占有极为重要的地位，它是整个微积分学的基础。连续性是客观世界中广泛存在的连续变动现象的数学描述，连续函数有良好的性质，在理论上与应用中都占有重要位置。一、内容提要1、函数?函数的概念：对任意x∈D，按确定的法则量f，总有唯一确定的y与之对应，则称变y是变量x的函数，记作y=f(x)。D称为定义域，记为Df，对应函数值的全体为值域，记作Rf。函数的两大要素：定义域、对应法则。?函数的几种特性1）有界性：?M&0,?x∈D,有f(x)≤M。否则称无界。2）单调性：?x1,x2∈D,若x1&x2，有f(x1)&f(x2)，称f(x)单调增加；?x1,x2∈D,若x1&x2，有f(x1)&f(x2)，称f(x)单调减少；3）奇偶性：?x∈(?a,a)，若f(?x)=?f(x)，称f(x)为奇函数，图象关于原点对称；?x∈(?a,a)，若f(?x)=f(x)，称f(x)为偶函数，图象关于y轴对称。4）周期性：设函数的定义域Df，如果存在一个正数T，使对?x∈Df，有x±T∈Df，且f(x+T)=f(x)，称函数f(x)为周期函数，T为f(x)的周期，通常把满足以上关系的最小正数，称为函数的周期。若T为函数f(x)的周期，那么函数f(ax+b)的周期为T。a?反函数和复合函数1高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续1）反函数：x=f?1(y)为y=f(x)的反函数。习惯上常将x作为自变量，y作为因变量，因此函数y=f(x)的反函数记为y=f?1(x)，而称y=f(x)为直接函数。正、反函数的图象关于直线y=x对称。只有函数y=f(x)单调时，其反对应关系唯一，才存在反函数，而且反函数也单调。2）复合函数如果函数y=f(u)的定义域为D，函数u=g(x)的值域为E，若DIE≠φ，则y通过变量u成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)与u=g(x)构成的复合函数，记为y=f(g(x))。其中，x是自变量，u为中间变量，y为因变量。?初等函数基本初等函数：幂函数y=xm（m为任意实数）；指数函数y=ax(a&0,a≠1)；对数函数y=logax(a&0,a≠1)；三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx。初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成，且能用一个解析式子表达的函数称为初等函数。2、数列的极限?数列的极限limxn=a?n→∞?ε&0,?N,当n&N时，有xn?a&ε数列{xn}存在极限，称其收敛；否则称之为发散。?数列极限的几何意义：?ε&0,?N,当n&N时，有xn?a&ε，即有A?ε&xn&A+ε，表明在区间(A?ε,A+ε)之外，至多有数列{xn}的有限个点x1,x2,LxN。?收敛数列的性质1）极限的唯一性：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一；2高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续2）收敛数列的有界性：如果数列{xn}收敛，那么它一定有界的；3）收敛数列的保号性：如果limxn=a，且a&0(a&0)，那么存在正整数N&0，当n&Nn→∞时，都有xn&0（或xn&0）。3、函数的极限?limf(x)=A??ε&0,?δ&0，当0&x?x0&δ，有f(x)?A&ε。x→x0x→x0?limf(x)=A??ε&0,?δ&0，当x0?δ&x&x0，有f(x)?A&ε。+x→x0limf(x)=A??ε&0,?δ&0，当x0&x&x0+δ，有f(x)?A&ε。?limf(x)=A??ε&0,?X&0，当x&X，有f(x)?A&ε。x→∞x→+∞limf(x)=A??ε&0,?X&0，当x&X，有f(x)?A&ε。limf(x)=A??ε&0,?X&0，当x&?X，有f(x)?A&ε。x→?∞?函数极限的几何意义：?ε&0,?δ&0，当0&x?x0&δ，有f(x)?A&ε，即有A?ε&f(x)&A+ε，表明对于任给ε&0，总存在x0的一个去心邻域{x0&x?x0&δ}，在这个邻域内任一点x，f(x)的值总在(A?ε,A+ε)。?函数极限的性质x→x01）极限的唯一性：如果极限limf(x)存在，则一定是唯一的；2）局部有界性：如果limf(x)=A，那么存在常数M&0和δ&0，使得当0&x?x0&δx→x0时，有f(x)≤M；3）局部保号性：如果limf(x)=A，而且A&0（或A&0），那么存在常数δ&0,使得x→x0当0&x?x0&δ时，有f(x)&0（或f(x)&0）。?极限的运算法则：如果limf(x)=A,limg(x)=B，则1）lim[f(x)±g(x)]=A±B；2）lim[f(x)?g(x)]=A?B，且lim[cf(x)]=climf(x)，lim[f(x)]n=[limf(x)]n3高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续f(x)limf(x)A3）若B≠0,lim==。g(x)limg(x)Ba0xn+a1xn?1+L+an4）设P(x)=(a0≠0,b0≠0)mm?1b0x+b1x+L+bm?∞,n&m??a则limP(x)=?0,n=m。x→∞?b0??0,n&m?极限存在准则1）夹逼准则：如果数列{xn},{yn},{zn}满足：yn≤xn≤zn(n=1,2,3,L)，且limyn=a,limzn=a,那么数列{xn}的极限存在，且limxn=a。n→∞n→∞n→∞2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。?两个重要极限1）limsinxsinf(x)=1=1?当x→a，f(x)→0，且limx→0x→axf(x)1xx→∞2）lim(1+)x=e?lim(1+x→∞1xabx+c=eabxb+cx或lim(1+x)=e?lim(1+axx→0x→0=eab?无穷小与无穷大1）无穷小：limf(x)=0；无穷大：limf(x)=∞；2）无穷小与无穷大的关系：若f(x)是无穷小且f(x)≠0，则1是无穷大；f(x)若f(x)是无穷大，则1是无穷小。f(x)3）无穷小与函数极限的关系：limf(x)=A?f(x)=A+α(x)，其中limα(x)=04）无穷小的比较：设limα=limβ=0，若limα=0，称α是β的高阶无穷小，记作α=ο(β)；β4高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续若limα=∞，称α是比β较低阶的无穷小；βα=c，（c≠0,1），称α与β是同阶无穷小；βα=c≠0,k&0，称α是关于β的k阶无穷小；kβα=1，称α与β是等价无穷小。β若lim若lim若lim5）当x→
0时，一些常用的等价无穷小：x sinx tanx arcsinx,1?cosx 121x?1 x2n6）无穷小的运算性质：有限个无穷小之和为无穷小；有界函数与无穷小之积仍为无穷小。4、函数的连续性?函数y=f(x)在点x0连续?lim?y=lim[f(x0+?x)?f(x0)]=0?x→0?x→0?limf(x)=f(x0)x→x0函数y=f(x)点x0左连续?lim?f(x)=f(x0)x→x0函数y=f(x)点x0右连续?lim+f(x)=f(x0)x→x0??lim?f(x)=f(x0)?x→x0limf(x)=f(x0)??x→x0lim+f(x)=f(x0)?x?→x0函数在区间上连续的定义：函数在区间上每一点都连续，称函数在区间上连续。函数的间断点：函数在x0的某个去心邻域有定义且在x0点不连续。x→x0x→x0??1）函数在x0没有定义，或limf(x)≠f(x0)，或limf(x)不存在；2）间断点的分类：第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点；?连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商（除分母为零）仍为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍为连续函数；?初等函数在定义域的连续性：基本初等函数在定义域内连续；一切初等函数在其定义域内连续函数。?闭区间上连续函数的性质5高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续1）有界性：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。2）零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)&0，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0。3）介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点f(a)=A,f(b)=B，那么对于A,B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a&ξ&b)。二、课程基本要求1．理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性。2．理解反函数和复合函数及初等函数概念，会求简单的初等函数定义域。3．会建立简单实际问题中的函数关系式。4．理解数列极限的定义，了解收敛数列的性质。5．理解函数在有限点处以及在无穷大处的极限的定义，理解函数左、右极限的定义，了解函数极限的性质。6．理解无穷小与无穷大的定义及互相关系，理解无穷小的运算性质。7．掌握极限的运算法则，了解变量代换法则，了解极限存在的夹逼准则，了解单调有界收敛准则，并能正确运用这些法则。8．会正确运用两个重要极限去求某些函数或数列的极限。9．了解高阶、同阶、低阶、等价无穷小等概念，了解等价无穷小的性质，并会用等价无穷小求极限。10．理解函数在一点连续和在一个区间内连续的概念，了解函数间断点的概念并会判别简单函数间断点的类型。11．了解初等函数在其定义区间内连续的结论，并会用此结论来求函数在其连续点处极限。12．了解闭区间上连续函数的各种性质，正确叙述有界性与最大值最小值定理及零点定理、介值定理及其推论。三、典型例题分析例1确定下列函数的定义域6高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续（1
）f(x)=arcsin（2
）f(x)=+1x+x?12x?1；7解：（1）x2?x?6≥0?x≥3或x≤?2；2x?1≤1??3≤x≤4，7所以要求的定义域：[?3,?2]U[3,4]。?111?2x≥0（2）??x≥0,x≠，所以要求的定义域：[0,)U,+∞)。222??x+x?1≠0例2设函数f(u)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：（1）f(lgx)；（2）f(cosx)解：由于f(u)的定义域为[0,1]，则u必须满足0≤u≤1，（1）为了使f(lgx)有意义，x必须满足0≤lgx≤1?1≤x≤10；（2）为了使f(cosx)有意义，x必须满足0≤cosx≤1?x∈[?+2kπ+2kπ]。π2π2k∈Z。1x2+2x例3设2f(x)+xf(=，求f(x)。xx+121x2+2x解：由2f(x)+xf(=(1)xx+12将（1）中的x用1代换，得x112x+12f()+2f(x)=LLL(2)xxx(x+1)由（1）（2）可得f(x)=x。x+12???x?1,x≤1?2?x,x≤2例4设f(x)=?,?(x)=?，求复合函数y=f[?(x)]。???0,x&1??2,x&27高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续解：f(x)的定义域Df=(?∞,+∞)?(x)的值域为R?=[?2,2]，因为DfIR?≠φ，故可构成复合函数y=f[?(x)]。?(x)≤1?(x)&1；，??(x)?1,?根据对应法则f，有f[?(x)]=?0,??要使?(x)≤
1，即2?x2≤1?1≤x≤要使?(x)&1，即x&
，于是有。2??1?x,1≤x≤y=f[?(x)]=?x&1,x&??0,例5设函数f(x)在(?∞,+∞)上是奇函数，而且对于任何x值均有f(x+2)?f(x)=f(2)，又知f(1)=a，试问：a取何值时，f(x)是以2为周期的周期函数。解：由对于任何x值均有f(x+2)?f(x)=f(2)，使f(x)以2为周期的周期函数量，只要f(x+2)?f(x)=f(2)=0即可。令x=?1，得f(1)?f(?1)=f(2)，由f(x)是奇函数，得到f(?1)=?f(1)，所以2f(1)=2a=f(2)，于是取a=0时，由f(2)=0?f(x)是以2为周期的周期函数。例6计算（1）lim(x?sin；（2）lim(x?sinx→0x→∞1x1)x1在(?∞,0)U(0,+∞)内有界。由无穷小性质，x11得当x→0时，x?sin仍为无穷小。故lim(x?sin=0。x→0xx11sint（2）令x=，当x→∞时，t→0，所以lim(x?sin)=lim=1。x→∞t→0txt解：（1）当x→0时，x为无穷小，而sin例7问limx→∞8
高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续解：当x&
limxx→=lim1
limx→=lim(?x→?∞=?1故limx→∞例8limx→2sin(x?2)x2?4x+4x2?4x+4(x?2)2x?2解：lim=lim=lim[?(x?2)]x→2sin(x?2)x→2sin(x?2)x→2sin(x?2)=limx?2?lim(x?2)=1?0=0x→2sin(x?2)x→2sin(x?2)x2?4x+4当x→2时，为无穷小，根据无穷小与无穷大的关系，当x→2时，2sin(x?2)x?4x+4为无穷大，即limx→2sin(x?2)=∞。2x?4x+4例9已知limf(x)存在，且函数f(x)=x2+x?2limf(x)，试求limf(x)。x→1x→1x→2解：设limf(x)=A，于是f(x)=x2+x?2A,?limf(x)=lim(x2+x?2A)=2?2A，x→1x→1x→1故：A=242,所以f(x)=x2+x?，limf(x)=。33x→23x3+1例10设lim(kx+b?2=0，求常数k,b。x→∞x+1x3+1(kx+b)(x2+1)?(x3+1)解：lim(kx+b?2=lim()x→∞x+1x→∞x2+1(k?1)x3+bx2+kx+b?1=limx→∞x2+19高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续按有理分式当x→∞时，极限计算公式，若要上式右端的极限为零，必须分子中的x3,x2的系数为零，于是k=1,b=0。例11设函数f(x)=ax(a&0,a≠1)，求lim解：lim1ln[f(1)f(2)Lf(n)]n→∞n211ln[f(1)f(2)Lf(n)]=limln(a?a2Lan)22n→∞nn→∞n112n=lim2(lna+lna+L+lna)=lim2+2+L+n)lnan→∞nn→∞nn(n+1)lna=limlna=。2n→∞2n2例12利用极限存在准则，求下列极限1112n（1）lim；（2）lim(2++L+22n→∞n!n→∞n(n+1)(2n)2n2n解：（1）先证lim存在，设xn=，n→∞n!n!xn+12n+1n!2因为=?n=≤1xn(n+1)!2n+1所以xn+1≤xn(n=1,2,3,L)2n(n=1,2,3,L)；又xn=&0，故数列{xn}单调减少且有下界0，n!2n根据单调有界准则知，lim存在。设limxn=A,?limxn+1=A，n→∞n!n→∞n→∞对等式xn+1=xn?2两边求极限，得到A=A?0，即A=0。n+12n所以lim=0。n→∞n!（2）因为n?111111≤++L+≤n?=22222(2n)n(n+1)(2n)nn而limn?n→∞11=0,limn?=0，根据极限存在准则，22n→∞(2n)n10高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续lim(n→∞111++L+=0。222n(n+1)(2n)例13设x1=解：x1=a&0,xn+1=n=1,2,3,L，求limxn。
n→∞x2=x3=Lxn+1=
0，故&&&L，这说明数列单调增加。
1，则下面证明它有上界。显然，x1=xn+1=&=
1，所以数列有上界为1。根据单调增加有上界数列必有极限的存在准则可知，limxn存在，设limxn=A，
n→∞n→∞对关系式xn+1=
，解得A=1。
2因数列各项均为正数，根据极限的保号性定理，它的极限值不可能为负数，因此，limxn=n→∞1+。21??x?1例14设f(x)=?e??ln(1+x)x&0，求f(x)的间断点，并说明间断点的类型，并求?1&x≤0函数f(x)的连续区间。解：函数f(x)的定义域为(?1,0]U(0,1)U(1,+∞)=(?1,1)U(1,+∞)由于limf(x)=limln(1+x)=0,limf(x)=lime??++x→0x→0x→0x→01x?1=e?1，所以x=0是函数f(x)的跳跃间断点。1x?1又由于limf(x)=lime??x→1x→1=0,limf(x)=lime++x→1x→11x?1=+∞，所以x=1为函数f(x)的第二类（无穷）间断点。函数f(x)有三个连续区间：(?1,0),(0,1),(1,+∞)。11
高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续?3x+5x1)x?(例15设f(x)=?2?a?x≠0x=0x，问常数a取何值时，函数f(x)在x=0处连续？3ln(3x+5x1解：当x≠0时，(x=e2=e2(3x+5x)3x+5x?23x+5x?2lnln(1+)lim=?]xxx→0x→0x3+5?2x23x+5x?2ln(1+13x?15x?1=?(+)]x→03x+5x?22xx23x+5x?2ln(1+ln(1+t)注意到lim=1,得lim=1xxt→0x→03+5?2t21+5xx)ln(3+5)2xxxax?13x?15x?1而lim=lna(a&0)，得lim=ln3,lim=
ln5x→0x→0x→0xxx从而limf(x)=ex→011(ln3+ln5)2=e=。x→0由于f(x)在x=
0处连续，故a=f(0)=limf(x)=
f(x)在x=0处连续。当a=时，函数例16求lim[n?π]，这里[x]表示不超过x的最大整数。n→∞n解：首先，nπ?1&[n?π]≤nπ,nπ?1[n?π]&≤πnnlimnπ?11=lim(π?)=π,limπ=πn→∞n→∞n→∞nnn→∞由夹逼准则，得lim[n?π]=π。n例17如图矩形CDEF内接于扇形OAB。这里OA=OB=R(R&0),12高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续∠AOB=θ(0&θ&π)。其中F在OB上，C与D在2AB上。若设CF=x，试将矩形CDEFOA上，E在弧的面积表示成x有函数，并给出x的范围。解：连接OE，在直角三角形OED中，OE=R,ED=
x。故OD=在直角三角形OFC中，∠FOC=θ,CF=x，故OC=
x?cotθ,。CD=OD?OC=
xcotθ。SCDEF=x?x?cotθ)作BG⊥OA,G是OA上一点，CF&BG，而BG=Rsinθ，故x∈(0,R?sinθ)。例18设函数f(x)在[a,b]上连续，且a&x1&x2&b，则在[x1,x2]上必存在ξ，使得1f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]2证：（1）如果f(x1)=f(x2)，则即可。（2）f(x1)≠f(x2),不妨设f(x1)&f(x2)，则f(x1)&1因此取ξ=x1或ξ=x2[f(x1)+f(x2)]=f(x1)=f(x2)，21又f(x)f(x1)+f(x2)]&f(x2)，2在[x1,x2]上连续，由介值定理知，必存在ξ∈(x1,x2)，使得1f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]。2四、自测题（A）（一）填空题1
、函数f(x)=+ln(6?x)的定义域为1+x)2；2、若f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(ex)+f3、设函数f(x)=2x+sinx?1,g(x)=k?x。当x→0时，f(x)与g(x)为等价无穷小，则常数k=_____________；13高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续?ax2+x+24、设函数f(x)=??2ax+bx&1，若limf(x)=0且limf(x)存在，则常数x→?1x→1x&1a=____________,b=_____________；tan2x+sin2x5、lim=_____________；2x→0x6
、limx??x)=_________________；x→+∞7、lim(n→∞2n+3n+2=_________________；2n+1?x?sin1?8、当常数a=________时，函数f(x)=?x?a+x2?（二）选择题1、若f(x)=2+x?1，则当x→0时，有（A)x2x&0x≤0在(?∞,+∞)内连续。）f(x)与x为等价无穷小。B)f(x)与x同阶但非等价无穷小.C)f(x)是x高阶的无穷小.2、下述论断正确的是（D)f(x)是比x低阶的无穷小.）n→∞A）若数列{xn}适合：xn+1=2xn+1，则必有limxn=?1B）若数列有界，则limxn必存在。n→∞C）若数列{xn}单调增加，则limxn必存在。n→∞B）若数列{xn}单调且有界，则limxn必存在。n→∞3
、函数f(x)=A）??C)(0,+ln(2πx?x2)的定义域为（B)）?π,π??22??(0,2π)π3π]U[,2π)221xD)）B)π(0,24、lim[(2x?1)?e?2x]的值为（x→∞A）?1C)01D)极限不存在。14高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续（三）极限计算2x2+x?31、lim2x→1x+2x?321?3x)x→∞x3x+53、lim(?2x→1x?1x?111114、limn?(2+2+2+L+2)n→∞n+1n+2n+3n+n(2x?1)?(3x+2)5、lim2x→∞x+xsinx+1sin3x6、limx→πx?
π2、lim(1+?1?（四）设函数f(x)=?x2?a??ax?（五）设f(x)=?lnx?1??x?ex∈[?1,0)U(0,1]在x=0x=0处连续，求常数a。x&ex&e，若limf(x)存在，求常数a。x→ex2?3x+2（六）指出函数f(x)=的间断点，并指出其所属类型。x?1?1+11x1x（七）设函数f(x)=，求lim+f(x)与limf(x)，并问limf(x)是否存在？?x→0x→0x→0（八）验证方程x3=1?x在(0,1)内有唯一的实根。自测题（B）（一）选择题n1
、lim=(n→∞n+2A）∞；B）0；)C）2；D）3；7x6+2x?12、lim=(x→02x6+x+3)15高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续A）7；2B）0；C）1?；3D）1；3?x+2,?3、f(x)=?e?x+1?x2,?A）0；x≤00&x≤1，则limf(x)=(1&xx→0)B）不存在；C）2；D）1；4、若limxkarctanx→∞A）2；2=2，则k=(2x1B)0；C）；2)D）1；?1?ex,x&0?5、函数f(x)=?x,0≤x≤2的连续区间为（?sin(2x?4)?,2&x?x?2A）(?∞,2)U(2,+∞)；C）(?∞,0)U(0,+∞)；（二）填空题1、当x→∞时，无穷小量B）(?∞,+∞)；D）(?∞,0)U(0,2)U(2,+∞)；）111与+2等价，则k=____________；k3xxx在x=0点连续，则a=__________；?e2x?1,?2、设f(x)=?ax?1,?x≠0x=03、设f(x)的定义域为[?1,3]，则f(x?1)+f(x+1)的定义域为_____________；11=2+1，则f(x)=__________；xx1sin2x5、lim(x2sin2+)=_______________。x→0xx4、设f(1+（三）计算题31
、limx→0sin2x2、limn?(e?1)n→∞11n3、lim(cosx)xx→016高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续2n+1+3n+14、limn→∞2n+3nx2sin5
、limx→111+tanxx6、lim()x→01+sinxp(x)?x3p(x)（四）设p(x)是多项式，且lim=2,lim=1，求p(x)。2x→∞x→0xx?2?,x&1?cosπx?1?（五）
设函数f(x)=?0,x=1，问在x=?1,x=,x=1,x=2处f(x)是否连续？2?x&1如果间断，指出间断点类型。（六）设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且无零点，又知有一点ξ∈(a,b)，使f(ξ)&0，证明f(x)在[a,b]上恒为负。（七）设f(x)在[0,2a]上连续，f(0)=f(2a)，证明：至少有一点ξ∈[0,a]，使得：f(ξ)=f(ξ+a)。（其中a&0）。自测题（A）答案（一）填空题：1、(?∞,?5]U[5,6)；2、[?1,0]；3、1+ln2；4、a=?1,b=4；5、2；6、1；7、e；8、0。2（二）选择题：1、B；2、B；3、C；4、B。5；2、e?6；3、1；4、1；5、6；6、?3。41（四）由题意：a=f(0)=limf(x)=；x→04lnx?11?2（五）lim；，于是。f(x)=limax=aelimf(x)=lim=a=ex→e?x→e?x→e+x→e+x?ee（三）极限计算：1、（六）x=1可去间断点；x=?1第二类无穷间断点。（七）不存在；17高等数学学习指导书第一章函数、极限与连续（八）令f(x)=x3?(1?x)=x3+x?1，由于f(x)在[0,1]上连续，f(0)f(1)=?1&0，由零点定理方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根，另一方面，f(x)在(0,1)内为单调递增函数，方程f(x)=0在(0,1)内有唯一的实根。自测题（B）答案（一）选择题：1、D；2、C；3、C；4、A；5、B。（二）填空题：1、2；2、2；3、[0,2]；4、f(x)=x?2x+2，(x≠1)；5、3。11?12（三）计算题：1、；2、1；3、e；4、3
；5、；6、e2。632p(x)?x332（四）由lim，及为多项式，可知：=2p(x)p(x)?x=2x+ax+b,a,b∈R，2x→∞x于是p(x)=x3+2x2+ax+b，由limx→0p(x)b=lim(x2+2x+a+)=1，可知x→0xxa=1,b=0，所以p(x)=x3+2x2+x。（五）f(x)在x=?1处连续；x=续。（六）反证法：假定存在η∈[a,b]，使由于f(x)在[a,b]上无零点，帮f(η)&0。f(η)≥0。1为第二类间断点；x=1第一类可去间断点；x=2连2显然ξ≠η。不失一般性，设ξ&η，从而[ξ,η]?[a,b]，由于f(x)在[a,b]上连续，帮f(x)必定在[ξ,η]上连续，由于f(ξ)&0,f(η)&0，由零点定理，方程f(x)=0在(ξ,η)内至少有一个零点，从而f(x)=0在[a,b]上至少有一个零点，矛盾。（七）证明：讼F(x)=f(x)?f(x+a)，F(x)在[0,a]上连续，且F(0)F(a)=(f(0)?f(a))(f(a)?f(2a))=(f(0)?f(a))((f(a)?f(0))=?(f(0)?f(a))2；若f(0)?f(a)=0，则结论显然成立；若f(0)?f(a)≠0，则F(0)F(a)&0，由零点定理，在(0,a)内至少有一个ξ，使F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+a)。18
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1函数、极限、连续
导读：函数、极限、连续，函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段，数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念，函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质，（一）函数，1、函数(Function)的定义设D是一个非空实数集合，称f是定义在D上的函数,习惯上也称y是x的函数，2、基本初等函数为以 函数、极限、连续 一、考试内容
函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；
数列极限与函数极限的定义及其性质、 函数的左极限和右极限、 无穷小量和无穷大量的概念及其关系、 无穷小量的性质及无穷小量的比较、 极限的四则运算、 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、 两个重要极限；
函数连续的概念、 函数间断点的类型、 初等函数的连续性 、闭区间上连续函数的性质。 （一）函数 1、函数(Function)的定义
设D是一个非空实数集合，若?对应关系f，对于?x?D，按照f， 对应唯一确定的y?R，称f是定义在D上的函数, 习惯上也称y是x的函数，记为y?f(x). notes：10. 两个常用的数学符号： ，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；
?: “任意”或“任意一个”?: “存在，它是英文单词 Existence“表示存在” 打头字母E 的倒写. 2、基本初等函数为以下五类函数 ?y?x(1)
幂函数 ，?是常数．
图Ⅰ―1 xy?a(2) 指数函数
(a是常数且a?0，a?1)，x?(??,??)．
(3) 对数函数 y?logaxa(是常数且a?0，a?1)，x?(0,??)． 对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.
(4) 三角函数 1.何谓正？何谓余？ 正就是正角。余就是余角，就是90度减去正角. 2.何谓弦？何谓切？何谓割？ 弦就是弦线，切就是切线，割就是割线. 圆上两点相连叫做\弦\；圆外与圆相切的线叫\切线\；圆外割入圆内的线叫\割线\. 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的. 正弦函数
y?sinx，x?(??,??)，y?[?1,1]．
图Ⅰ―4 余弦函数
y?cosx，x?(??,??)，y?[?1,1]．
y?tanx，x?k???2，k?Z，y?(??,??)．
图Ⅰ―6 余切函数
y?cotx，x?k?，k?Z，y?(??,??)．
(5) 反三角函数 反正弦函数
y?arcsinx，
x?[?1,1]，y?[???,]22．
反余弦函数
y?arccosx，x?[?1,1]，y?[0,?]． 反正切函数
反余切函数
y?arctanx，y?arccotx， 图Ⅰ―9 x?(??,??)，y?(???2,2)．
图Ⅰ―10 x?(??,??)，y?(0,?)．
3、初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数． （1）幂指函数：y?u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)． 4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数． 一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数. 即便如此，有些分段函数也可称为初等函数． ?1,x?0?（1）符号函数：y?sgnx??0,x?0,xsgnx?x,xsgnx?x． ??1,x?0?
（2）高斯函数：函数y?[x]，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y?{x},{x}?x?[x]. y1ox?1图I －12 x?1?[x]?x?[x]?1，y?[x]是不减函数，即若x1?x2则[x1]?[x2]，其图像如图I －13； y?{x}是以1为周期的周期函数，如图I －14.
图 I －14 （图I －13中，空心点与实心点应反调） （3）极值函数：max{f(x),g(x)}?? ??f(x),x?{xg(x)?f(x)}1?[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]， ??g(x),x?{xg(x)?f(x)}2?f(x),x?{xf(x)?g(x)}1?min{f(x),g(x)}???[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]． g(x),x?{xf(x)?g(x)}2??对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{X,Y},min{X,Y}．
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