函数与极限测试题（一）一、 填空题?1?lnx?1??，则f?1?lnx?x1、若f??x??_____。2、函数f?x?的定义域为?a,b?，则f?2x?1?的定义域为_____。1?x1?x223、若x?0时，无穷小ln2与asin??等价，则常数a?_____。?4、设f?x??lim二、 单选题 ?n?1?xnx?12n??，则f?x?的间断点为x?_____。1、当x?0时，变量1x2sin1x是（
）A、无穷小
B、无穷大C、有界的，但不是无穷小
D、无界的，也不是无穷大2、设函数f?x??（
）A、a?0,b?0
B、a?0,b?0C、a?0,b?0
D、a?0,b?03、设f?x??2?3?2，则当x?0时（
） xxxa?ebx在???,???上连续，且limf?x??0，则常数a,b满足x???A、f?x?与x是等价无穷小
B、f?x?与x是同阶但非等价无穷小C、f?x?是x的高阶无穷小
D、f?x?是x的低阶无穷小im?4、设对任意的x，总有??x??f?x??g?x?，且l?g?xx??imf?x?0，则l???x?????x??为（
）A、存在且等于零
B、存在但不一定等于零C、一定不存在
D、不一定存在 例：??x??x,f?x??x?三、1、求下列极限 lim2x2?2x??x?1?、lim?2 ?x?1x?1??12x?2,g?x??x?1x?1 x???四、3?ln1?axb确定a,b的值，使f?x????211?x?x?ln2x1?x?x??x?0x?0在???,???内连x?0续。1五、指出函数f?x??e?ex1x的间断点及其类型。e?1?exa1x?a2x?1?a3x?2?a4x?3?0有且仅有三个实六、设a1,a2,a3,a4为正常数，证明方程根。 七、设函数f?x?,g?x?在?a,b?上连续，且满足f?a??g?a?,f?b??g?b?，证明：在?a,b?内至少存在一点?，使得f????g???。函数与极限测试题答案（一）1?x一、1、e1?x；
2、?a?1?2?,b?1?2??；
4、0；二、1—4、DCBD?3；三、1、解：原式?limx????2????x?1?2、解：原式?lim??1?2x?1?x?1???x?12???x?1????2??????2xx?12?e?1四、解：注意当??4?x???2a,b的值使f?x?在???,???内连续。此题应把“在???,???内连续”改为“在x?0处连续”。改后即要求limf?x??f?0??b，此式等价于lim?f?x??lim?f?x??f?0??b，即x?0x?0x?0?2x??ln1??22?11?x?x?21?x?x??lim?ln?lim?lim??2?b 22??x?0xx?0x?01?x?x1?x?xxx?0lim?ln1?ax3?lim?x?0ln?1?ax3?tanx?sinx ax?lim?x?0312x3?4a?b??2
所以a??12,b??2。五、解：x?0,x??1是此函数的间断点，因为x?0时，1?1x1???，ex?e???0，所以lim?x?0e?ex1x?e，x?0时，又因为?1x1???，ex?e?????，11?0，所以e?1?exexe1x1?1?1，x?0是跳跃间断点。 ?1x?0lim?e?ex1xe?1?exx?lim??1x?0e1ex1因为lime?ex1xx??1?1，x?1是可去间断点。e?1?ex1六、证明：因为ax?a2x?1?a3x?2?a4x?3?a1?x?1??x?2??x?3??a2x?x?2??x?3??a3x?x?1??x?3??a4x?x?1??x?2?x?x?1??x?2??x?3? 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三个实根；又因为lim?x?0??a1?x?a2x?1?a3x?2?a4????? x?3?a3a3a2a4?a2a4??a?a1，lim??1??????lim???????? ??x?1x?1x?1x?2x?3?x?1x?2x?3??x?xa3a3a2a4?a2a4??a?a1，lim??1??????lim???????? ??x?2x?2x?1x?2x?3?x?1x?2x?3??x?xa3a2a4??alim??1???????，所以利用零点定理，在区间 x?3x?1x?2x?3??x?0,1?,?1,2?,?2,3?原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。七、证明：在区间?a,b?上考虑函数F?x??f?x??g?x?，由已知可得F?x?在?a,b?上连续。F?a??f?a??g?a??0,F?b??f?b??g?b??01）如果F?a??0或F?b??0，则?可取a或b。2）如果F?a??0且F?b??0，由零点定理，至少存在一点???a,b?，使得F????0即f????g???。
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函数·极限·连续选择题解析
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1. f(x)j(x)(&, +), f(x), f(x) ¹ 0, j(x),
(a) [f(x)] (b) [ (x)]2 (c) f
[j(x)] (d)
f(x) = 1, [f(x)]=1
, [ j(x)]2 = 1
f(x) = 1, f [(x)]=1
(d) & g(x) =
(, +), (x) = g(x)f(x) (&, +), . (d).
(a) && (b) &&
(c) && (d)
(a) 2&& (b) 0&&
(c) &&& (d) &
= ________.
(a) 0&& (b) 1&& (c) 2&& (d)
(a) 0&&&& (b) 1&&& (c)
(a) 1&&& (b) 2&&& (c)
(a) f(x)x&&&&&&&
(c) f(x)x&&&&&&&
(a) 1&&& (b) 1&&& (c) 2&&&
= 0, a = 1, (a).
(a) b = 4d&&& (b) b =4d&&& (c) a = 4c&&& (d) a =4c
, a =4c, (d).
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卷面总分：60分
试卷类型：考研数学(一)模拟试题
所需费用：2元
是否有答案：有
练习次数：171次
作答时间：90分钟
考研数学一-高等数学函数、极限、连续(一)
填空题：&二、填空题（1）“需要
进入在线考试系统才能查看答案及解析”已知当x→0时，mxn与1n（1-x3）+x3为等价无穷小，则m=______，n=______．（2）“需要
进入在线考试系统才能查看答案及解析”设函数f（x）具有二阶连续导数，点（x0，f（x0））是f（x）上的拐点，则 ? ?“该试题”需要考试资料网会员
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进入在线考场才能查看试题答案及解析=______．（5）“需要
进入在线考试系统才能查看答案及解析”若当x→0时f（x）“该试题”需要考试资料网会员
进入在线考场才能查看试题答案及解析是与xn同阶的无穷小，则n=______．（6）“需要
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进入在线考试系统才能查看答案及解析”设x→0时，“该试题”需要考试资料网会员
进入在线考场才能查看试题答案及解析与axn是等价无穷小，则a=______，n=______．（8）“需要
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进入在线考场才能查看试题答案及解析，则f（x）的定义域是______，f（x）的间断点是______．（9）“需要
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最新相关试卷1、函数；f?x??x2；x3?1；?x?1与函数g?x??x?1相同．；错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两；f?x??x2；x3?1；?x?1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，；x?1；是不同的函数；2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?；错误如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存；4、n??；liman?a，liman
?x?1与函数g?x??x?1相同．
∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
?x?1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?与g?x?
是不同的函数。
2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?为无穷大． 错误
根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．
如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存在
liman?a，liman?a．
如：数列an???1?，lim(?1)
?1，但lim(?1)n不存在。
5、如果limf?x??A，则f?x??A??（当x??时，?为无穷小）． 正确
根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果?～?，则????o???．
??????∴lim?lim?1???0，即???是?的高阶无穷小量。
7、当x?0时，1?cosx与x是同阶无穷小．
xx??2sin2sin?
1?cosx1???1
??lim?lim2??正确
∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2
?limx?limsin?0．
x?0xx?0x?0x
∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
8、 limxsin
9、 lim?1???e．
∵lim?1???e
10、点x?0是函数y?的无穷间断点．
lim??1错误
lim?，lim?lim?1 x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x
∴点x?0是函数y?的第一类间断点．
11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值．
∵根据连续函数在闭区间上的性质，f?x??
∴函数f?x??
在x?0处不连续 x
在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x
二、填空题：
1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则
?? （２）f?1?sinx?的定义域是（
（１）fex的定义域是（ (??,0)
（３）f?lgx?的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵0?e?1
（2）∵0?1?sinx?1
（3）∵0?lgx?1
； xx??k,?x????(?k ) Z）
?x?2?2?x?0
x?0的定义域是（
）2、函数f?x???0．
?x2?30?x?4?
3、设f?x??sinx2，??x??x2?1，则f???x???（ sinx2?1
∵limnsin?lim
n??n??xnn??1
nnx??1?1?x
5、设f?x???cos，limf?x??（ 0 ）． ?1?x?1，则limf?x??（ 2 ）
x?1?0x??1?02?
∵limf?x??lim(1?x)?2，limf?x??lim?x?1??0
4、limnsin
?1?cosx1?x?0
6、设f?x???x2，如果f?x?在x?0处连续，则a?（
1?cosx11?cosx1
x?0?lim??f?0??a ??∵lim，如果在处连续，则fx22x?0x?022xx
7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??（ f?x0?
∵初等函数f?x?在定义区间内连续，∴limf?x??f?x0?
8、函数y? ∵lim
）时为无穷大，当x?（ ?
）时为无穷小．
x?1??，lim
?x?1?ax?b?0，则a?（ 1
），b?（ ?
?a2?x2??1?2ab?x??1?b2? x2?x?1??ax?b??lim?lim2x???x?x?1?ax?bx?x?1?ax?bx???
欲使上式成立，令
上式化简为
0，∴a??1，
??1?2ab????1?2ab?x?1?b2??1?2ab?lim?lim?lim
x???xx???1?a∴1
a?1，1?2ab?0，b??2
10、函数f?x??
的间断点是（
11、f?x??2的连续区间是（
???,1?,?1,3?,?3,???
x?4x?3ax?2sinx
?2，则a?（
）12、若lim．
∴aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x??xx??
）is，limxn
，lim?1???（ e ）． ?（ e?1
?lim?sinx?0
limxsin?lim
x??x??xx??xxx??1
lim?1?x??lim?1?(?x)?
lim?1???lim?(1?)x??ek
x??x??x??x??
limsin(arctanx)?（
）iclarcont(is)，m
三、选择填空：
1、如果limxn?a，则数列xn是（ b
a.单调递增数列
b．有界数列
c．发散数列
2、函数f?x??logax?
x2?1是（ a
c．非奇非偶函数 ∵
f??x??loga??x?(?x)2
??logax?x2?1??f?x?
3、当x?0时，ex
a．高阶无穷小
b．低阶无穷小
c．等价无穷小
4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x?M（M是正数），则函数f?x?在该邻域内（a．极限存在
5、函数f?x??
）条件下趋于??. a．x?1
6、设函数f?x??sinx
，则limx?0f?x??（ c
?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x
limsinxsinx0x?xlim?0?0x
?1 x?0?根据极限存在定理知：limx?0
f?x?不存在。
7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x?在x0点（ c
） a．有定义?
c．不一定有定义
∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列１，１，
12，２，13，３，…，1
，n，…当n??时为（ c
） a．无穷大?
c?．发散但不是无穷大
9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的（ b
a．充分条件
b．必要条件
c．充分必要条件 10、点x?0是函数arctan
） a．连续点
b．第一类间断点
c．第二类间断点
∵1xlim?0?0
1?xlim?0?0arctanx?2
根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin
c ） a．连续点
b．第一类间断点
c．第二类间断点 四、计算下列极限：
1、lim???1?n??3n
limn???1?n??3n?limn??(13?1(?1)n13?n)?3
tanx33x3li?lim? （∵x?0,sin2x～2x,tan3x～3x） 解
sinx2x?02x2
3、lim??x?
x??x?x??x?x??x??
limn2?n?1?n2
2n?1?lim?lim?1
n2?n?1?n2?nn??
x?0?0x?sinx
?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx
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