对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系(当然你看下去会发现不知道也可以)。设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的为X，那么可以证明：B=XAX那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在X，满足B=XAX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。 对角化
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线性代数精要
&&&&&& &—— 谢国芳（Roy
Xie）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&& &
&&&Email:&
Part 2.& 矩阵理论精要
目次（Table of Contents）
1. 概论（An Overview of matrices）
2. 矩阵的特征值、特征向量、特征空间和特征多项式（Eigenvalues,
eigenvectors, eigenspaces ...）
对矩阵对角化问题的分析
矩阵对角化的方法
4. 矩阵的最小多项式、不变因子和基本因子（Minimal polynomial, invariant
factors and elementary divisors）
5. 多项式矩阵 / λ 矩阵（Polynomial
matrices or& λ-matrices） && &&&
7. 矩阵的分解（Decomposition of matrices）
8. 对称矩阵、二次型和双线性形式（Symmetric matrices, quadratic forms and bilinear
9. 矩阵的瑞利商及其应用（Rayleigh quotient and its applications）
矩阵能对角化的充分必要条件
复矩阵& | 一般域上的矩阵
&&&& 注：关于特征值的（algebraic multiplicity）和（geometric multiplicity），参见
容易证明，上述四个条件是彼此等价的（请读者自己证明这一点）。&
在实际应用中，条件（4）是判断一个实方阵能否对角化最快捷高效、也可以说最佳最妙的判据。
注意，条件（4）实际上由前半句和后半句两个条件构成，为了强调其重要性，我们把它们分开重写一遍：
(4.1)& 特征方程
的根全部为实根。
(4.2)& 每个特征值的几何重数等于代数重数。
当且仅当这两个条件同时满足时，实方阵 A
可以对角化。
这就是说，一个实方阵要能对角化必须同时通过两个“测试”（test），fail 其中一个，我们就可以判定它不能对角化。
（一）如果条件（4.1）不满足，即如果特征方程&det
有虚根，则马上可以判定实方阵 A
不能对角化。
（二）如果条件（4.2）不满足，即如果有一个特征值的几何重数小于代数重数（几何重数总是小于或等于代数重数，参见____），则马上可以判定实方阵 A
不能对角化。
条件（4.1）也可以等价地表述为：
● 特征方程
= 0 恰好有n
个实根（一个重根按重数计算，即一个重数为m
为实方阵A 的阶。
● 特征多项式
个实根即实的零点（一个多重零点按重数计算，即一个重数为m
的零点算作m
个零点），n
为实方阵A 的阶。
● 特征多项式
可以分解为若干个实线性因子的乘积。
一个更“酷”、更简短凝练、更专业的说法是
●& 特征多项式 det
在实数域中分裂（split ）。
当特征方程没有重根时，自动满足（请读者思考为什么），所以只要条件（4.1）成立，我们就能判定一个实方阵能对角化。
因此我们有下面这个非常有用的结论：
它也可以等价地表述为：
&→ 参见 复矩阵能对角化的充分必要条件
&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&& 答案（Answer）
&&& 当且仅当 sinθ = 0，即 θ = kπ（k为整数）时
的特征值是特征方程&det
的根，亦即特征多项式&det
的根或者说零点。
&→ 参见 上一节：矩阵的特征值、特征向量、特征空间和特征多项式
即特征多项式可以分解为
也可以说成“实数域是特征多项式的分裂域（splitting field）”。
&→ 详见 伽罗瓦理论（伽罗瓦扩域和伽罗瓦群）
提示：因为这时候所有特征值的代数重数和几何重数全都等于1。
（代数重数等于1不用解释，但几何重数为什么也一定等于1呢？请读者思考）
&&&&&&&&&&&&&&& 提示（Hint）
&&& 参见附录1中最后的一个不等式线性代数考点剖析：相似对角化理论
的脚步越走越快，帮帮总结了矩阵对角化相关的知识、注意要点
及解题技巧，为你扫清数学冲刺的障碍。
矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同
学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下
一般方阵的相似对角化理论
这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外
还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之
后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真
题中都有不同的体现。
、判断方阵是否可相似对角化的条件：
）充要条件：
可相似对角化的充要条件是：
个线性无关的特征向量；
）充要条件的另一种形式：
可相似对角化的充要条件是：
重特征值满足
）充分条件：如果
个特征值两两不同，那么
一定可以相似对角化；
）充分条件：如果
是实对称矩阵，那么
一定可以相似对角化。
【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向
量之前，必须先求出特征值。
、求方阵的特征值：
）具体矩阵的特征值：
这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个
然后利用行列式的展开定理计算；
）抽象矩阵的特征值：
抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。
实对称矩阵的相似对角化理论
其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要
求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向
量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
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所需积分：0　　考研帮说：16考研er的脚步越走越快，帮帮总结了矩阵对角化相关的知识、注意要点及解题技巧，为你扫清数学冲刺的障碍。
　　矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下:
　　?一般方阵的相似对角化理论
　　这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
　　1、判断方阵是否可相似对角化的条件：
　　（1）充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；
　　（2）充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足
　　（3）充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；
　　（4）充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
　　【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。
　　2、求方阵的特征值：
　　（1）具体矩阵的特征值：
　　这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算；
　　（2）抽象矩阵的特征值：
　　抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。
　　?实对称矩阵的相似对角化理论
　　其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
　　这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵；也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A；另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。
　　最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
　　1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
　　（1）不同特征值的特征向量一定正交
　　（2）k重特征值一定满足
　　【注】由性质（2）可知，实对称矩阵一定可以相似对角化；且有（1）可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。
　　2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵
　　【注】熟练掌握施密特正交化的公式；特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交（当然除非你计算出错了会发现不正交）。
　　3、实对称矩阵的特殊考点：
　　实对称矩阵一定可以相似对角化，利用这个性质可以得到很多结论，比如：
　　（1）实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数
　　这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地使用。
　　（2）两个实对称矩阵，如果特征值相同，一定相似
　　同样地，对于一般矩阵，这个结论也是不成立的。
　　4、实对称矩阵在二次型中的应用
　　使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。
　　2016年考研数学复习已进入冲刺阶段，考研帮赵俊光老师针对有些同学在矩阵对角化这块内容上仍存在一些困惑，特撰此文讲解矩阵对角化相关的知识、注意要点及解题技巧，祝每个16考研er都能取得好成绩！
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