人教版高中数学新课标必修一学案-共享资料网
人教版高中数学新课标必修一学案
人教版高一数学◆必修 1◆学案§1.1.1 集合的含义与表示（1）学习目标 1. 了解集合的含义， 体会元素与集合的 “属于” 关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或 描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义 和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元 素的三个特征.金沙二中高中数学备课组编写 ② 3 的倍数； ③ 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解； ④ a，b，c，x，y，z； ⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为 10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流. 探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？2学习过程 一、课前准备 （预习教材 P2~ P3，找出疑惑之处） 讨论：军训前学校通知：8 月 15 日上午 8 点，高一年 级在学校操场集合进行军训动员. 试问这个通知的对 象是全体的高一学生还是个别学生？ 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：考察几组对象： ① 1～20 以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形； ④ x , 3x ? 2 , 5y ? x , x ? y ；23 2 2新知 3：集合的字母表示 集合通常用 的拉丁字母表示，集合的元素 用 的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于(belong to)集 合 A，记作：a∈A； 如果 a 不是集合 A 的元素， 就说 a 不属于(not belong to)集合 A，记作：a ?A. 试试 3： 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合， 则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B. 探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？ 新知 4：常见数集的表示 非负整数集 （自然数集） 全体非负整数组成的集合， ： 记作 ； 正整数集：所有正整数的集合，记作 或 ； 整数集：全体整数的集合，记作 ； 有理数集：全体有理数的集合，记作 ； 实数集：全体实数的集合，记作 . 试试 4：填∈或 ?：0 N，0 R，3.7 N，3.7⑤ 金沙二中高一级全体学生； ⑥ 方程 x ? 3x ? 0 的所有实数根； ⑦ 2012 年 6 月，贵州所有出生婴儿. 试回答： 各组对象分别是一些什么？有多少个对象？2新知 1： 一般地， 我们把研究对象统称为元素 （element） , 把一些元素组成的总体叫做集合（set）. 试试 1：探究 1 中①～⑦都能组成集合吗，元素分别是 什么？ 探究 2： “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 新知 2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是 互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集 合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一 种且只有一种成立. 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个 集合 . 试试 2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解； 1Z， ? 3 Q， 3 ? 2 R. 探究 5：探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数 集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集 合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简 单的方法呢？ 新知 5：列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括 起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a}不同. 试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表 示出来，试写出其表示.人教版高一数学◆必修 1◆学案 ※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合： ① 15 以内质数的集合； ② 方程 x( x ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合；2金沙二中高中数学备课组编写 5.“方程 x ? 3x ? 0 的所有实数根”组成的集合用列 举法表示为____________.2③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成的 集合.课后作业 1. 用列举法表示下列集合： （1）由小于 10 的所有质数组成的集合； （2）10 的所有正约数组成的集合； （3）方程 x ? 10 x ? 0 的所有实数根组成的集合.2三、总结提升 ※ 学习小结 ①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元 素三特征；③常见数集及表示；④列举法. ※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有 区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看 作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集 合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德 金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞 生日. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合 {1,2,3,4,5} 和 {5,4,3,2,1} 表示同一个集合 D． 1, 0.5, 1 , 3 , 6 , 1 这六个数能组成一个集合 2 2 4 4 2. 给出下列关系： ①2.设 x∈R，集合 A ? {3, x, x ? 2 x} .2（1）求元素 x 所应满足的条件； （2）若 ?2 ? A ，求实数 x.1 ② ? R； 22 ? Q ； ?3 ? N ? ； ? 3 ? Q. ③ ④其中正确的个数为（ ）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为 （ ）. A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} D. {(? ,0)}1 21 24. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 贵阳 A； 金沙 A. （填∈或 ?） 2人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写§1.1.1 集合的含义与表示（2）学习目标 1. 了解集合的含义， 体会元素与集合的 “属于” 关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或 描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义 和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元 素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P4~ P5，找出疑惑之处） 复习 1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其 中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 . 复习 2：集合 A ? {x ? 2 x ? 1} 的元素是2新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称 为描述法， 一般形式为 {x ? A | P} ， 其中 x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程 x ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合，用 描述法表示为 . ※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：2（1）方程 x( x ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合；2（2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合. ， （1）方程 x ? 4x ? 0 的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.3若 1∈A，则 x=.复习 3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素 分别是什么？四个集合有何关系？例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线 y ? x ? 1 上的所有点组成的集合；2（2）方程组 ? 二、新课导学 ※ 学习探究 思考： ① 你能用自然语言描述集合 {2, 4,6,8} 吗？ ② 你能用列举法表示不等式 x ? 1 ? 3 的解集吗？?3x ? 2 y ? 2 解集. ?2 x ? 3 y ? 27变式：以下三个集合有什么区别. （1） {( x, y) | y ? x ? 1} ；2（2） { y | y ? x ? 1} ；2探究：比较如下表示法 ① {方程 x ? 1 ? 0 的根}； ② {?1,1} ；2（3） {x | y ? x ? 1} .2三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种表示方法： 。 2. 会用适当的方法表示集合； ※ 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如： 3③ {x ? R | x ? 1 ? 0} .2人教版高一数学◆必修 1◆学案 （1）所有直角三角形的集合可以表示为：金沙二中高中数学备课组编写{x | x是直角三角形} ，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合 {( x, y) | y ? x ? 1} 与集合 { y | y ? x ? 1}2 2是同一个集合吗？ 2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个 集合，即：文氏图，或称 Venn 图. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 设 A ? {x ? N |1 ? x ? 6} ， 则 下 列 正 确 的 是 （ ）. A. 6 ? A B. 0 ? A C. 3 ? A D. 3.5 ? A 2. 下列说法正确的是（ ）. A.不等式 2x ? 5 ? 3 的解集表示为 {x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 {x | x ? 2k} C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {(?2, 2)}22. 若集合 A ? {?1,3} ，集合 B ? {x | x ? ax ? b ? 0} ，且2A ? B ，求实数 a、b.3. 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x 的图象的交点组成 的集合是（ ）.A.{1， -2}B. {x ? 1, y ? ?2} C. {(?2,1)} D. {( x, y ) | ? 4. 用列举法表示集合 A ? {x ? Z | 5 ? x ? 10} 为 .?y ? x ? 3 } ? y ? ?2 x5.集合 A＝{x|x=2n 且 n∈N}， B ? {x | x ? 6 x ? 5 ? 0} ，2用∈或 ?填空： 4 A，4B，5A，5B.课后作业 1. （1）设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} ，试用列 举法表示集合 A. （2） A＝{x|x＝2n， ∈N， n&10}， ＝{3 的倍数}， 设 n 且 B 求属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合 的子集； 2. 理解子集、真子集的概念； 3. 能利用 Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示 对理解抽象概念的作用； 4. 了解空集的含义. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P6~ P7，找出疑惑之处） 复习 1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合： （1）10 以内 3 的倍数； （2）1000 以内 3 的倍数. 4人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写复习 2：用适当的符号填空. （1） 0 则1 N； 2 Q；2-1.5R.（2）设集合 A ? {x | ( x ? 1) ( x ? 3) ? 0} ， B ? {b} ，（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合 是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.A；bB； {1,3}A.二、新课导学 ※ 学习探究 探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关 系：A ? {3,6,9} 与 B ? {x | x ? 3k , k ? N *且k ? 333} ；C={金沙二中高中学生}与 D={金沙二中高一学生}；（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么 结论？ ① 若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ； ② 若 a ? b, 且b ? c, 则a ? c .E ? {x | x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1,2} .新知：子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，我 们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子 集（subset） ，记作： A ? B(或B ? A) ，读作：A 包 含于（is contained in）B，或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A ? B . ② 在数学中，我们经常用平面上封 闭曲线的内部代表集合，这种图 称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两 个集合间的“包含”关系为：※ 典型例题 例 1 写出集合 {a, b, c} 的所有的子集，并指出其中哪 些是它的真子集.A ? B(或B ? A) .BA变式：写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合.③ 集合相等：若 A ? B且B ? A ，则 A ? B 中的元 素是一样的，因此 A ? B . ④ 真子集：若集合 A ? B ， 存在元素 x ? B且x ? A ， 则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset） ，记 作：A B（或 B A） ，读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）. ⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set） ，记作： ? . 并规定：空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集. 试试：用适当的符号填空. （1） {a, b} {a, b, c} ， a {a, b, c} ； （2） ? （3）N （4） {0} 例 2 判断下列集合间的关系： （1） A ? {x | x ? 3 ? 2} 与 B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ；（2）设集合 A={0,1}，集合 B ? {x | x ? A} ，则 A 与B 的关系如何？{x | x2 ? 3 ? 0} ， ? N； {0,1} ，QR； 变式：若集合 A ? {x | x ? a} ， B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ， 且满足 A ? B ，求实数 a 的取值范围.{x | x 2 ? x ? 0} .反思：思考下列问题. （1）符号“ a ? A ”与“ {a} ? A ”有什么区别？试 举例说明. 5 ※ 动手试试人教版高一数学◆必修 1◆学案 练 1. 已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ，B＝{1,2}，2金沙二中高中数学备课组编写 列包含关系哪些成立？C ? {x | x ? 8, x ? N} ，用适当符号填空：A B，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} ， B ? {x | x ? 2} ， 且满足 A ? B ，则实数 a 的取值范围为 .A ? B, B ? A, A ? C, C ? A试用 Venn 图表示这三个集合的关系.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两 种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别 “属于”与“包含”两种关系及其表示方法. ※ 知识拓展 如果一个集合含有 n 个元素， 那么它的子集有 2 个， 真子集有 2 ? 1 个.n2. 已知 A ? { x | x ? px ? q ? 0} ， B ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} 且2 2nA ? B ，求实数 p、q 所满足的条件.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列结论正确的是（ ）. A. ? A B. ??{0} C. {1, 2} ? Z D. {0} ?{0,1} 2. 设 A ? x x ? 1 , B ? x x ? a ，且 A ? B ，则 实数 a 的取值范围为（ ）. A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1 3. 若 {1, 2} ? {x | x ? bx ? c ? 0} ，则（2????）.A. b ? ?3, c ? 2 C. b ? ?2, c ? 3 4. 满 足 {a, b} ?B. b ? 3, c ? ?2 D. b ? 2, c ? ?3 §1.1.3 集合的基本运算（1）A ? {a, b, c, d} 的 集 合A 有学习目标 1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与 联系； 2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它 们解决一些简单问题； 3. 能使用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对 理解抽象概念的作用.个. 5. 设 集 合 A ? {四边形},B ? { 平行四边形 }, ? 矩形 ， C { }D ? {正方形} ，则它们之间的关系是并用 Venn 图表示.，课后作业 1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产 品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合， 表示质量合 B 格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下 6学习过程 一、课前准备 （预习教材 P8~ P9，找出疑惑之处） 复习 1：用适当符号填空. 0 {0}； 0 {x|x ＋1＝0,x∈R}； ?；? {0} {x|x&3 且 x&5}；{x|x&－3} {x|x&2}；2人教版高一数学◆必修 1◆学案 {x|x&6} {x|x&－2 或 x&5}. 复习 2： 已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}， A 则 {x|x∈S 且 x ?A}= . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究：设集合 A ? {4,5,6,8} ， B ? {3,5,7,8} . （1）试用 Venn 图表示集合 A、B 后，指出它们的公共 部分（交） 、合并部分（并） ；金沙二中高中数学备课组编写S，A BAB反思： （1）A∩B 与 A、B、B∩A 有什么关系？（2）A∪B 与集合 A、B、B∪A 有什么关系？（3）A∩A＝ A∩ ? ＝ （2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集 合的交、并？；A∪A＝ ；A∪ ? ＝. .※ 典型例题 例 1 设 A ? {x | ?1 ? x ? 8} ， B ? {x | x ? 4或x ? ?5} ， 求 A∩B、A∪B.新知：交集、并集. ① 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所 组成的集合，叫作 A、B 的交集（intersection set） ， 记作 A∩B，读“A 交 B” ，即：A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.Venn 图如右表示.AB变式： A＝{x|-5≤x≤8}，B ? {x | x ? 4或x ? ?5} ， 若 则 A∩B= ；A∪B= .② 类比说出并集的定义. 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合， 叫做 A 与 B 的并集 （union set） 记作：A ? B ， ， 读作：A 并 B，用描述法表示是：A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B} .Venn 图如右表示.小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究. 例 2 设 A ? {( x, y) | 4 x ? y ? 6} ，B ? {( x, y) | 3x ? 2 y ? 7} ，求A ∩B .AB试试： （1） ＝{3,5,6,8}， ＝{4,5,7,8}， A∪B＝ A B 则 ； （2）设 A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则 A∩ B＝ ； （3）A＝{x|x&3}，B＝{x|x&6}，则 A∪B＝ ，A ∩B＝ . （4）分别指出 A、B 两个集合下列五种情况的交集部 分、并集部分.变式： （1）若 A ? {( x , y ) | 4x ? y ? 6} B ? {( x, y) | 4 x ? y ? 3} ，则 ，A? B ?则 A? B ?； ， ? {( x, y) | 8x ? 2 y ? 12} ， B .（2） A ? {xy x y?6 ? 若 ( , )|4 }BAA(B)AB反思：例 2 及变式的结论说明了什么几何意义？7人教版高一数学◆必修 1◆学案 ※ 动手试试 练 1. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3}, B ? { x |1 ? x ? 2} .求 A∩B、金沙二中高中数学备课组编写A ? ?0,1, 2,3, 4,5? , B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} ， 则( A ? B) ? C 等于（）.A ∪B .A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8} 4. 设 A ? {x | x ? a} ，B ? {x | 0 ? x ? 3} ， A ? B ? ? ， 若 求实数 a 的取值范围是 5. 设 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 ， 则2 2?? ?.?A? B =课后作业.练 2. 学校里开运动会，设 A={ x | x 是参加跳高的同 学}，B={ x | x 是参加跳远的同学}，C={ x | x 是参加 投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最 多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规 定，并解释 A∩B 与 B∩C 的含义.1. 设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ，直线 l2 上点的 集合为 L2 ，试分别说明下面三种情况时直线 l1 与直线l2 的位置关系？（1） L1 ? L2 ? {点P} ； （2） L1 ? L2 ? ? ； （3） L1 ? L2 ? L1 ? L2 .三、总结提升 ※ 学习小结 1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质； 2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图. ※ 知识拓展 ， A ? B ? C）（A ? B）（A ? C） （ ? ? ， A ? B ? C）（A ? B）（A ? C） （ ? ? ， （A ? B） C ? A ? B ? C） ? （ ， （A ? B） C ? A ? B ? C） ? （ A ? A ? B） A，A ? A ? B） A . （ ? （ ? 你能结合 Venn 图，分析出上述集合运算的性质吗？ 2. 若关于 x 的方程 3x +px－7=0 的解集为 A，方程 3x －7x+q=0 的解集为 B，且 A∩B={ ?2 21 }，求 A ? B . 3§1.1.3 集合的基本运算（2）学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 设 A ? x ? Z x ? 5 , B ? x ? Z x ? 1 , 那 么 ）. A ? B 等于（ A． {1,2,3,4,5} C． {2,3,4} 学习目标 1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 2. 能使用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对 理解抽象概念的作用.????B． {2,3, 4,5} D． x 1 ? x ? 5??2. 已知集合 M＝ x, y)|x+y=2｝ N={(x, y)|x－y=4}, ｛( ， 那么集合 M∩N 为（ ）. A. x=3, y=－1 B. (3，－1)? C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝ 3. 设 8学习过程 一、课前准备 （预习教材 P10~ P11，找出疑惑之处） 复习 1：集合相关概念及运算. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，则 称集合 A 是集合 B 的 ，记作 .A 是集合 B 的若集合 A ? B ， 存在元素 x ? B且x ? A ， 则称集合 ，记作 .人教版高一数学◆必修 1◆学案 若 A ? B且B ? A ，则 . ② 两个集合的 部分、 部分，分别是它 们交集、并集，用符号语言表示为： ； A? B ?金沙二中高中数学备课组编写 ※ 典型例题 例 1 设 U＝{x|x&13，且 x∈N}，A＝{8 的正约数}，B ＝{12 的正约数}，求 CU A 、 CU B .A? B ?.复习 2：已知 A＝{x|x＋3&0}，B＝{x|x≤－3}，则 A、 B、R 有何关系？二、新课导学 ※ 学习探究 探究：设 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学}，则 U、A、B 有何关 系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及 的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe） ， 通常记作 U. ② 补集： 已知集合 U, 集合 A ? U， U 中所有不属于 由 A 的元素组成的集合，叫作 A 相对于 U 的补集 （complementary set） ，记作： CU A ，读作： A 在 U “ 中补集” ，即 CU A ? {x | x ?U , 且x ? A} . 补集的 Venn 图表示如右：例2设 U=R，A＝{x|－1&x&2}，B＝{x|1&x&3}，求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B .说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概 念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试： （1）U={2,3,4}，A={4,3}，B= ? ，则 CU A = ，变式：分别求 CU ( A ? B) 、 (CU A) ? (CU B) .CU B =＝0}，则 CU A ＝； ； ； ※ 动手试试 练 1. 已知全集 I={小于 10 的正整数}，其子集 A、B 满足 (CI A) ? (CI B) ? {1,9} ，(CI A) ? B ? {4,6,8} ，（2） U＝{x|x&8， x∈N}， ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5) 设 且 A （3） 设集合 A ? {x | 3 ? x ? 8} ， ?R A = 则 ＝ .（4）设 U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则 CU AA ? B ? {2} . 求集合 A、B.反思： （1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图 形集合时，一般把什么作为全集？ （2）Q 的补集如何表示？意为什么？9人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 A． ｛０｝ C． ??1, ?2? B． ??3, ?4? D． ? .4. 已知 U={x ∈N|x ≤10}，A={小于 11 的质数}，则 练 2. 分别用集合 A、B、C 表示下图的阴影部分. 5. 定义 A―B={x|x∈A，且 x ? B}，若 M={1,2,3,4,5}， N={2,4,8}，则 N―M= .CU A =课后作业 （1） ； （2） ； 1. 已知全集 I= {2,3, a ? 2a ? 3} ，若 A ? {b, 2} ，2CI A ? {5} ，求实数 a, b .（3）；（4）.反思： 结合 Venn 图分析，如何得到性质： （1） A ? (CU A) ? （2） CU (CU A) ? ， A ? (CU A) ? . ；22. 已 知 全 集 U=R ，集 合 A= x x ? px ? 2 ? 0 ，2??三、总结提升 ※ 学习小结 1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图. ※ 知识拓展 试结合 Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1） CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ； （2） CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) .B ? ? x x ? 5 x ? q ? 0? , 若 (CU A) ? B ? ?2? ，试用列举法表示集合 A王新敞奎屯 新疆学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 设全集 U=R， 集合 A ? {x | x ? 1} ， CU A = 则 （2§1.1 集合（复习）） 学习目标 1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能 运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语 和符号； 2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直 观图示对理解抽象概念的作用.A. 1 C. {1}B. －1，1 D. {?1,1} ）. B. {x | x ? 0或x ? 2} D. {x | x ? 2}2. 已知集合 U= {x | x ? 0} ， CU A ? {x | 0 ? x ? 2} ， 那么集合 A ? （ C. {x | x ? 2} A. {x | x ? 0或x ? 2}学习过程 一、课前准备 2 ,, ?集 ,合 4 （复习教材 P2~ P14，找出疑惑之处） ? 3 3. 设 全 集 I ? ?0 , ? 1 ?, ? 复习 1： 什么叫交集、 并集、 补集？符号语言如何表示？ M ? ?0 , ? 1 ?, 2 ?, 图形语言？ ； A? B ? N ? ?0, ?3, ?4? ，则 ?I M ? N ? （ ）.??10A? B ? CU A ?人教版高一数学◆必修 1◆学案 ； .金沙二中高中数学备课组编写例 3 若 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 1 ? 0 ，2 2C ? x x 2 ? mx ? 1 ? 0 且A ? B ? A, A ? C ? C ，求实数 a、m 的值或取值范围．???? ??复习 2：交、并、补有如下性质. A∩A＝ ；A∩ ? ＝ ； A∪A＝ ；A∪ ? ＝ ；A ? (CU A) ? CU (CU A) ?你还能写出一些吗？； A ? (CU A) ? .；变式：设 A ? {x | x ? 8x ? 15 ? 0} ， B ? {x | ax ? 1 ? 0} ，若2B ? A，求实数 a 组成的集合、.二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设 U=R， A ? {x | ?5 ? x ? 5} ，B ? {x | 0 ? x ? 7} . 求 A∩B、 ∪B、 U A 、 U B、 C U A)∩(C U B)、 C U A) A C C ( ( ∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B).※ 动手试试 练 1. 设 A ? {x | x ? ax ? 6 ? 0} ， B ? {x | x ? x ? c ? 0} ，且 A2 2∩B＝{2}，求 A∪B.小结： （1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进 行分析，注意端点； （2）由以上结果，你能得出什么结论吗？ 例 2 已 知 全 集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} 若 A ? B ? U ， ，A ? B ? ? ， A ? (CU B) ? {1, 2} ，求集合 A、B.练 2. 已知 A={x|x&-2 或 x&3}，={x|4x+m&0}， A ? B B 当 时，求实数 m 的取值范围。11人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 的个数是 . 5. 设 集 合2练 3. 设 A＝｛x｜x －ax＋a －19＝0｝ B＝｛x｜x － ， 2 5x＋6＝0｝ C＝｛x｜x ＋2x－8＝0｝ ， ．? （1）若 A＝B，求 a 的值； （2）若 ?22M ?{.y | ?y2 3? ， x }， 则N ? { y | y ? 2 x 2 ? 1} M ?N ?课后作业A∩B，A∩C＝ ? ，求 a 的值．1. 设全集 U ? {x | x ? 5, 且x ? N *} ，集合A ? {x | x 2 ? 5x ? q ? 0}， ， 且B ? {x | x ? px ? 12 ? 0}2(CU A) ? B ? {1, 2,3, 4,5} ，求实数 p、q 的值.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn 图示、数轴分析. ※ 知识拓展 集合中元素的个数的研究： 有限集合 A 中元素的个数记为 n( A) ， 则 n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) . 你能结合 Venn 图分析这个结论吗？ 能再研究出 n( A ? B ? C ) 吗？ 2. 已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+3a-5=0}. 若 A∩B=B，求实数 a 的取值范围.2 2学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 2 1. 如果集合 A={ x | ax ＋ 2 x ＋ 1 = 0 } 中只有一个元 素，则 a 的值是（ ）. A．0 B．0 或 1 C．1 D．不能确定 2. 集合 A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=4k，k∈Z}，则 A 与 B 的关系为（ ）. A．A ? B C．A=B D．A ? B 3. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ，集合 A ? {1,3,5} ， 集合 B ? {3,5} ，则（ A． U ? A ? B C ． D． U ? (CU A) ? (CU B) ）. B． U ? (CU A) ? B§1.2.1 函数的概念（1）学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的 依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与 对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概 念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.?B．A ? B ?U ? A ? (CU B)4. 满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M??学习过程 一、课前准备 （预习教材 P15~ P17，找出疑惑之处） 复习 1：放学后骑自行车回家， 在此实例中存在哪些变 12人教版高一数学◆必修 1◆学案 量？变量之间有什么关系？金沙二中高中数学备课组编写 试试： （1）已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ，求 f (0) 、 f (1) 、2f (2) 、 f (?1) 的值.复习 2： （初中对函数的定义）在一个变化过程中，有 两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯 一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A. 一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标， 射高为 845 米，且炮弹 距地面高度 h（米）与时 间 t（秒）的变化规律是（ 2 ） 函 数 y ? x ?2 x ?3 , x ?{ ?1 , 0 , 值 ,域 } 1 22是.反思： （1）值域与 B 的关系是 素是 、 、 （2）常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数 反比例函 数 解析式；构成函数的三要 . 定义域 值域y ? ax ? b (a ? 0)h ? 130t ? 5t 2 .B. 近几十年，大气层 中臭氧迅速减少，因而 出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空 洞面积的变化情况. C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金 额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计 划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 93
? 恩格 尔系 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 ? 数%讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围 分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？y ? ax 2 ? bx ? c ， 其中 a ? 0y? k (k ? 0) x探究任务二：区间及写法 新知：设 a、b 是两个实数，且 a&b，则： {x | a ? x ? b} ? [a, b] 叫闭区间；{x | a ? x ? b} ? (a, b) 叫开区间； {x | a ? x ? b} ? [a, b) ， {x | a ? x ? b} ? (a, b] 都叫半开半闭区间. 实数集 R 用区间 (??, ??) 表示，其中“∞”读“无 穷大” ； “－∞” “负无穷大” 读 ； “+∞”读 “正无穷大” . 试试：用区间表示. （1）{x|x≥a}= {x|x≤b}= （2） {x | x ? 0或x ? 1} = （3）函数 y＝ 值域是 ※ 典型例题、{x|x&a}= 、{x|x&b}= . ，、 .归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于 数集 A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作： f: A ? B . 新知：函数定义. 设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关 系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都 有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么称 f: A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数（function） ，记作：x 的定义域. （观察法）例 1 已知函数 f ( x) ? （1）求 f (3) 的值；x ?1 .（2）求函数的定义域（用区间表示） ； （3）求 f (a ? 1) 的值.2y ? f ( x), x ? A .其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域 （domain） ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的 集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域（range）.13人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 3. 已知函数 f ( x) ? 2x ? 3 ，若 f (a) ?1 ，则 a=（ A. －22）. .B. －1C. 1D. 2变式：已知函数 f ( x) ? （1）求 f (3) 的值；1 x ?14. 函数 y ? x , x ?{?2, ?1,0,1,2} 的值域是 .2 5. 函数 y ? ? 的定义域是 x是 .（用区间表示），值域（2）求函数的定义域（用区间表示） ； （3）求 f (a ? 1) 的值.2课后作业 1. 求函数 y ?1 的定义域与值域. x ?1※ 动手试试 练 1. 已 知 函 数 f ( x) ? 3x ? 5 x ? 2， 求 f ( 3) 、2f (? 2) 、 f (a ? 1) 的值.2. 已知 y ? f (t ) ? （1）求 t (0) 的值； （2）求 f (t ) 的定义域； （3）试用 x 表示 y.t ? 2 ， t ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 .1 练 2. 求函数 f ( x) ? 的定义域. 4x ? 3三、总结提升 ※ 学习小结 ①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的 值域；④区间表示. ※ 知识拓展 求函数定义域的规则： ① 分式： y ?f ( x) ，则 g ( x) ? 0 ； g ( x)2n§1.2.1 函数的概念（2）学习目标 1. 会求一些简单函数的定义域与值域， 并能用 “区间” 的符号表示； 2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P18~ P19，找出疑惑之处） 复习 1：函数的三要素是 、② 偶次根式： y ?f ( x)(n ? N ) ，则 f ( x) ? 0 ；*③ 零次幂式： y ? [ f ( x)] ，则 f ( x) ? 0 .0学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知函数 g (t ) ? 2t ? 1 ，则 g (1) ? （2、.）. ）.A. －1B. 0C. 1D. 23x2 函数 y ? 与 y＝3x 是不是同一个函数？为何？ x2. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是（ A. [ , ??)1 2B. ( , ??)1 2C. (??, ]1 2D. (??, ) 141 2人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写复习 2：用区间表示函数 y＝kx＋b、y＝ax ＋bx＋c、2y＝k 的定义域与值域，其中 k ? 0 ， a ? 0 . x试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数相同的判别 判断下列函数 f ( x) 与 g ( x ) 是否表示同一个函数，说 明理由？ ① f ( x) = ( x ? 1) ； g ( x ) = 1.0x?2 ? ?3x ? 4 ； x?3 1 （2） f ( x) ? 9 ? x ? . x?4（1） f ( x) ?② f ( x ) = x； g ( x ) =2x2 .2③ f ( x) = x ； g ( x ) = ( x ? 1) . ④ f ( x) = | x | ； g ( x) =x2 .例 2 求下列函数的值域（用区间表示） ：2 （1）y＝x －3x＋4； （2） f ( x) ?x2 ? 2x ? 4 ；（3）y＝?5 ； x?3（4） f ( x) ?x?2 . x?3小结： ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称 这两个函数相等（或为同一函数） ； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完 全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. ※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.x ?3 ； x2 ? 2 （2） f ( x) ? 2 x ? 9 ；（1） f ( x) ? （3） f ( x) ?x ?1 ?1 . x?2变式：求函数 y ?ax ? b (ac ? 0) 的值域. cx ? d15人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 C. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? ※ 动手试试 练 1. 若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ，求 f ( x) .2? x ( x ? 0) ?? x ( x ? 0)4. 函数 f(x) = 是 .x ?1 +21 的定义域用区间表示 2? x.5. 若 f ( x ? 1) ? x ? 1 ，则 f ( x) =练 2. 一 次 函 数 f ( x) 满 足 f [ f ( x) ] 1 ? ?2，求 x课后作业 1. 设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面 积 y 关于 x 的函数的解析式，并写出定义域.f ( x) .三、总结提升 ※ 学习小结 1. 定义域的求法及步骤； 2. 判断同一个函数的方法； 3. 求函数值域的常用方法. ※ 知识拓展 对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ，通过中间变 量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称它为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的 复 合 函 数 ， 记 作2. 已知二次函数 f(x)=ax +bx a， 为常数， a≠0） （ b 且 满足条件 f(x－1)=f(3－x)且方程 f(x)=2x 有等根， 求 f(x)的解析式.2y ? f g x ) 例 如 y ? x2 ? 1 由 y ? u 与 ( ( ).u ? x2 ? 1 复合.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 的定义域是（ A. [?3,1] 2. 函数 y ? B. (?3,1) C. R D. ? ）.§1.2.2 函数的表示法（1）学习目标 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象 法） ，了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应 用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P19~ P21，找出疑惑之处） 复习 1： （1）函数的三要素是 、 、2x ? 1 的值域是（ ）. 3x ? 2 1 1 2 2 A. (??, ? ) ? (? , ??) B. (??, ) ? ( , ??) 3 3 3 3 1 1 C. (??, ? ) ? (? , ??) D. R 2 2 3. 下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是（ ）A. f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )22. ，B. f ( x) ? x , g ( x) ? ( x ? 1)21 （2）已知函数 f ( x) ? 2 ，则 f (0) ? x ?116人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 . 例 2. 邮局寄信，不超过 20g 重时付邮资 0.5 元，超过 20g 重而不超过 40g 重付邮资 1 元. 每封 x 克（0&x≤ 40）重的信应付邮资数 y（元）. 试写出 y 关于 x 的函 数解析式，并画出函数的图象.1 f( )= x， f ( x) 的定义域为（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表 的表示形式.复习 2： 初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常 生活中的例子说明.二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走 势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 试试：画出函数 f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象. 小结： 分段函数的表示法与意义 （一个函数， 不同范围的 x， 对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实 例？ ※ 动手试试 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关 系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优 点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 2 元，买 x (x∈{1，2，3， 4，5})个笔记本需要 y 元．试用三种表示法表示函数 y ? f ( x) . 练 1. 已知 f ( x) ? ??2 x ? 3, x ? (??,0)2 ?2 x ? 1, x ? [0, ??)，求 f (0) 、f [ f (?1)] 的值.练 2. 如图，把截面半径为 10 cm 的圆形木头锯成矩形 木料， 如果矩形的边长为 x ， 面积为 y ， y 表示成 x 把 的函数.反思： 例 1.及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用 解析法表示吗？ 17人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写A 点距离 y 与 x 的函数关系式，并画出函数的图象.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数的三种表示方法及优点； 2. 分段函数概念； 3. 函数图象可以是一些点或线段. 2. 根据下列条件分别求出函数 f ( x) 的解析式. ※ 知识拓展 任意画一个函数 y=f(x)的图象，然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象） 之间的关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 如下图可作为函数 y ? f ( x) 的图象的是（ ）. （1）f ( x ?1 1 1 （2）f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x . ) ? x2 ? 2 ； x x xA. B. C. 2. 函数 y ?| x ? 1| 的图象是（D. ）.A.B.C.D.? x ? 2, ( x ≤ ?1) ? 2 3. 设 f ( x) ? ? x , (?1 ? x ? 2) ，若 f ( x) ? 3 ，则 x=（ ） ? 2 x, ( x ≥ 2) ?A. 1 B. ? 3 C.§1.2.2 函数的表示法（2）学习目标 1. 了解映射的概念及表示方法； 2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念； 3. 能解决简单函数应用问题.4. 设 函 数 f （ x ） ＝ ? ＝ .? x 2＋2 (x ? 2 ) ? ， 则 f (?1) ?2 x (x＜ 2 ) ?3 2D.35. 已知二次函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ， 且 图象在 y 轴上的截距为 0， 最小值为－1， 则函数 f ( x) 的解析式为 .课后作业 1. 动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动一周， 设沿正方形 ABCD 的运动路程为自变量 x，写出 P 点与 18学习过程 一、课前准备 （预习教材 P22~ P23，找出疑惑之处） 复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生 活中的一些对应实例： ① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； ② 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的 和它对应； ③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应；人教版高一数学◆必修 1◆学案 ④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定 的座位与它对应. 你还能说出一些对应的例子吗？金沙二中高中数学备课组编写 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应 关系，即映射. ※ 典型例题 例 1 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则，哪些是映 射，哪些是一一映射？ （1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R； （2）A={三角形}，B={圆}； （3）A={ P | P 是平面直角体系中的点}， B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ； （4） A={高一学生}，B= {高一班级}.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：映射概念 探究 先看几个例子，两个集合 A、B 的元素之间的一 些对应关系，并用图示意. ① A ? {1,4,9} , B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}， 对应法则： 开平方； ② A ? {?3, ?2, ?1,1,2,3} ， B ? {1,4,9} ， 对应法则： 平方； ③试试：下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 （1）A ? 1,2,3,4? , B ? 2,4,6,8? ， 对应法则是 “乘以 2” ； （2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根” ； （3） A ? ? x | x ? 0? , B ? R，对应法则是“求倒数”.??A ? {30?,45?,60?} , B ? {1,2 3 1 , , }, 对 2 2 2应法则：求正弦.※ 动手试试 练 1. 下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？ （1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}， 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 ； （2） A ? N , B ? {0,1} ，对应法则 f : x ? x 除以 2*新知：一般地，设 A、B 是两个 的集合， 如果按某一个确定的对应法则 f， 使对于集合 A 中的任 意一个元素 x，在集合 B 中都有 确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射（mapping） ．记作“ f : A ? B ” 关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则 f. 试试：分析例 1 ①～③是否映射？举例日常生活中的 映射实例？得的余数； （3） A ? N ， B ? {0,1,2} ， f : x ? x 被 3 除所得 的余数；1 1 1 1 ； 2 3 4 x （5） A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N ， f : x ? 小于 x（4）设 X ? {1, 2,3, 4}, Y ? {1, , , } f : x ? 的最大质数.反思： ① 映射的对应情况有 、 ，一对 多是映射吗？ ② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其 中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ， 19人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写三、总结提升 ※ 学习小结 1. 映射的概念； 2. 判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元 素都要有对应，但 B 中元素未必要有对应；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一” 的对应形式．2. 中山移动公司开展了两种通讯业务： “全球通” ，月 租 50 元，每通话 1 分钟，付费 0.4 元； “神州行”不 缴月租，每通话 1 分钟，付费 0.6 元. 若一个月内通 话 x 分钟，两种通讯方式费用分别为 y1 , y2 （元）. （1）写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式？ （2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相 同？ （3）若某人预计一个月内使用话费 200 元，应选择哪 种通讯方式？学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在映射 f : A ? B 中， A ? B ? {( x, y) | x, y ? R} ，且f :( x, y) ?( x ? y, x ?y) ，则与 A 中的元素 (?1, 2)对应的 B 中的元素为（ A. (?3,1) B. (1,3) 2.下列对应 f : A ? B ： ① A ? R, B ? x ? R x ? 0 , f : x ? ② A ? N, B ? N , f : x ? x ?1 ;*）. C. (?1, ?3) D. (3,1)??③ A ? x ? R x ? 0 , B ? R, f : x ? x .2??不是从集合 A 到 B 映射的有（ ）. A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③? 0 (x ? 0 ) ? 3. 已 知 f ( x) ? ? ? ( x? 0 ) 则 f { f [ f ( 1) ] = ， ? } ? x ? 1 (x ? 0 ) ?（ ） A. 0 B.§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单 调性及其几何意义； 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P27~ P29，找出疑惑之处） 引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那 么能否发现变化中保持不变的特征呢？?C. 1 ? ?D.无法求 .4. 若 f ( ) ?1 xx ， 则 f ( x) = 1? x25. 已 知 f(x)=x ?1 ， g(x)= = .x ? 1 则 f[g(x)]课后作业 1. 若 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [?1 ， 1] ， 求 函 数1 1 y ? f ( x ? )?f ( x ? ) 的定义域. 4 420人教版高一数学◆必修 1◆学案 复习 1：观察下列各个函数的图象. 探讨下列变化规律： ① 随 x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？金沙二中高中数学备课组编写 试试：如图，定义在[-5,5]上的 f(x)，根据图象说出 单调区间及单调性.复习 2：画出函数 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 的图象.2※ 典型例题 例 1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单 调性，并运用定义进行证明. 小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：单调性相关概念 思考：根据 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x ( x ? 0) 的图象2（1） f ( x) ? ?3x ? 2 ；（2） f ( x) ?1 . x进行讨论： x 的增大， 随 函数值怎样变化？当 x 1 &x 2 时，f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样？问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区 间函数有怎样的增大或减小的性质？ 变式：指出 y ? kx ? b 、 y ? 新知：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）. 试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.k (k ? 0) 的单调性. x例 2 物理学中的玻意耳定律 p ?k （k 为正常数） 告 ， V诉我们对于一定量的气体，当其体积 V 增大时，压强 p 如何变化？试用单调性定义证明. 新知：如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函 数，就说 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性， 区间 D 叫 f(x)的单调区间. 反思： ① 图象如何表示单调增、单调减？ ② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区 间有什么关系？ ③ 函数 f ( x) ? x 的单调递增区间是2，单 小结： ① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代 21调递减区间是.人教版高一数学◆必修 1◆学案 数式的符号； ② 证明函数单调性的步骤： 第一步：设 x 1 、x 2 ∈给定区间，且 x 1 &x 2 ； 第二步：计算 f(x 1 )－f(x 2 )至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论. ※ 动手试试 练 1. 求 证 f ( x) ? x ?金沙二中高中数学备课组编写 C． y ?| x |3D． y ? ? x24. 函数 y ? ? x ? 1 的单调性是 5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | 的单调递增区间是 单调递减区间是 课后作业 1. 讨论 f ( x) ? .. ，[1, ??) 是增函数.1 的 (0,1) 上 是 减 函 数 ， 在 x1 的单调性并证明. x?a2. 讨 论 f ( x) ? ax ? bx? c( a? 0)的 单 调 性 并 证2明.练 2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1） f ( x) ?| x | ； （2） f ( x) ? x .3三、总结提升 ※ 学习小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义； 2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）. 3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定 号→下结论. ※ 知识拓展§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）学习目标 1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.a (a ? 0) 的增区间有 [ a , ??) 、 x (??, ? a ] ，减区间有 (0, a ] 、 [? a , 0) .函数 f ( x) ? x ? 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 f ( x) ? x ? 2 x 的单调增区间是（2学习过程 一、课前准备 （预习教材 P30~ P32，找出疑惑之处） 复习 1： 指出函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的单调2区间及单调性，并进行证明.） D.不存在 ）A. (??,1]B. [1, ??)C. R2. 如果函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上单调递减， （ 则 A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是（ A． y ? ?2x B． y ? D. b ? 0 ）2 x22复习 2：函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最小值2为， f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最2大值为人教版高一数学◆必修 1◆学案 .金沙二中高中数学备课组编写复习 3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数最大（小）值的概念 思考：先完成下表， 函数 最高点例2求y? 最低点3 在区间[3，6]上的最大值和最小值. x?2f ( x) ? ?2x ? 3 f ( x) ? ?2x ? 3 , x ?[?1, 2]f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 , x ?[?2, 2]讨论体现了函数值的什么特征？新知：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；存在 x0∈I， 使得 f(x0) = M. 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值 （Maximum Value）. 试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value） 的定义．变式：求 y ?3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2反思： 一些什么方法可以求最大（小）值？ ※ 典型例题 例 1 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度 h（米）与时间 t （秒）的变化规律是 h ? 130t ? 5t ，那么什么时刻距 离地面的高度达到最大？最大是多少？2小结： 先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小） 值. 试 试 ： 函 数 y ? ( x ? 1) ? 2, x ? [0,1] 的 最 小 值2为，最大值为. 如果是 x ? [?2,1] 呢？※ 动手试试 练 1. 用多种方法求函数 y ? 2 x ?x ? 1 最小值.变式：求 y ? x ? 1 ? x 的值域.试试： 一段竹篱笆长 20 米， 围成一面靠墙的矩形菜地， 如何设计使菜地面积最大？23人教版高一数学◆必修 1◆学案 练 2. 一个星级旅馆有 150 个标准房， 经过一段时间的 经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85金沙二中高中数学备课组编写2. 如图，把截面半径为 10 cm 的圆形木头锯成矩形木 料， 如果矩形一边长为 x ， 面积为 y ， 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能 使得截面面积最大？三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大（小）值定义；. 2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、 单调法.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 f ( x) ? 2 x ? x 的最大值是（2）.A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是（ ）. A. 0 B. －1 C. 2 D. 3 ）. 3. 函数 y ? x ?x ? 2 的最小值是（A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称，且在区间(??, 0) 上，当 x ? ?1 时， f ( x) 有最小值 3，则在区 间 (0, ??) 上， x ? 当 时，f ( x) 有最 值为 .5. 函数 y ? ? x ? 1, x ?[ ?1,2]的最大值为2§1.3.2奇偶性，最小值为.学习目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2. 学会判断函数的奇偶性； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P33~ P36，找出疑惑之处） 复习 1：指出下列函数的单调区间及单调性. （1） f ( x) ? x ? 1 ；2课后作业 1. 作出函数 y ? x ? 2 x ? 3 的简图， 研究当自变量 x2在下列范围内取值时的最大值与最小值． （ 1 ） ?1 ? x ? 0 ； （ 2 ） 0 ? x ? 3 x ? (??, ??) .； 3） （（2） f ( x) ?1 x复习 2：对于 f(x)＝x、f(x)＝x 、f(x)＝x 、f(x) 2423人教版高一数学◆必修 1◆学案 ＝x ，分别比较 f(x)与 f(－x).4金沙二中高中数学备课组编写二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：奇函数、偶函数的概念 思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：1 3 、 f ( x) ? x ； x 2 （2） f ( x) ? x 、 f ( x) ?| x | .（1） f ( x) ? x 、 f ( x) ? 观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函 数值方面有什么特征？小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再 计算 f (? x) ，并与 f ( x) 进行比较. 试试：判别下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （3） (x)＝ f （2）f(x)＝x＋21 ； xx ； 1 ? x2（4） (x)＝x , x∈[-2,3]. f新知： 一般地， 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x， 都有 f (? x) ? f ( x) ，那么函数 f ( x) 叫偶函数（even function）. 试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function） 的定义. 例 2 已知 f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数， 判断 f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.反思： ① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？ ② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象 关于 对称. 试试： 已知函数 f ( x) ?1 在y x2轴左边的图象如图所示，画出 它右边的图象. .※ 典型例题 例 1 判别下列函数的奇偶性： （1） f ( x) ?3x4 ；4 2（2） f ( x) ?4x3 ；3（3） f ( x) ? ?3x ? 5x ； （4） f ( x) ?x?1 . x325人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 为 4， 那么 f(x)在[-7,-3]上是 为 .函数， 且最值小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论. ※ 动手试试 练习：若 f ( x) ? ax ? bx ? 5，且 f (?7) ? 17 ，求3课后作业 1. 已 知 f ( x) 是 奇 函 数 ， g ( x ) 是 偶 函 数 ， 且f (7) .f ( x)? g ( x? )1 ，求 f ( x) 、 g ( x ) . x ?12. 设 f ( x) 在 R 上是奇函数， x&0 时，f ( x) ? x(1 ? x) ， 当 试问：当 x &0 时， f ( x) 的表达式是什么？ 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征； 2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数 的奇偶性是函数的整体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法. ※ 知识拓展 定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图 象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单 调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相 反. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x) 有（ ）. A． f ( x) ? f (? x) ? 0 C． f ( x)?f (? x) ? 0 B． f ( x) ? f (? x) ? 0 D． f (0) ? 0 ）§1.3函数的基本性质（练习）2. 已知 f ( x) 是定义 (??, ??) 上的奇函数，且 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是减函数. 下列关系式中正确的是（ A. f (5) ? f (?5) C. f (?2) ? f (2) 3. 下列说法错误的是（ B. f (4) ? f (3) D. f (?8) ? f (8) ）.学习目标 1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、 奇偶性） ； 2. 能应用函数的基本性质解决一些问题； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （复习教材 P27~ P36，找出疑惑之处） 复习：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函 数、减函数、最大值、最小值？1 A. f ( x) ? x ? 是奇函数 x B. f ( x) ?| x ? 2 | 是偶函数 C. f ( x) ? 0, x ?[?6,6] 既是奇函数，又是偶函数x3 ? x 2 既不是奇函数，又不是偶函数 x ?1 4. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | 的奇偶性是 .D. f ( x) ? 5. 已知 f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值 26人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 例 3 某产品单价是 120 元，可销售 80 万件. 市场调查 后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件，写出销售 金额 y(万元)与 x 的函数关系式，并求当降价多少元 时，销售金额最大？最大是多少？二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 作出函数 y＝x －2|x|－3 的图象，指出单调区 间及单调性.2练 1. 判断函数 y=x?2 单调性，并证明. x ?1小结：利用偶函数性质，先作 y 轴右边，再对称作. 变式：y＝|x －2x－3| 的图象如何作？2例 2 已知 f ( x) 是奇函数，在 (0, ??) 是增函数，判断练 2. 判别下列函数的奇偶性： （1） ＝ 1 ? x ＋ 1 ? x ； y＝ ? y （2）f ( x) 在 (??,0) 上的单调性，并进行证明.? ? x 2 ? x( x ? 0) ? . 2 ? x ? x( x ? 0) ?反思： 奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？ （偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函 数在关于原点对称的区间上单调性 ）练 3. 求函数 f ( x) ? x ?1 ( x ? 0) 的值域. x27人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法. 2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法. 3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调 法. ※ 知识拓展 形如 f (| x |) 与 | f ( x) | 的含绝对值的函数，可以 化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象 . f (| x |) 的图象可由偶函数的对称性，先作 y 轴右侧的 图象，并把 y 轴右侧的图象对折到左侧. | f ( x) | 的图 象，先作 f ( x) 的图象，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴对 折到 x 轴上方. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时，22. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x .2（1）讨论 f ( x) 的奇偶性，并证明； （2）讨论 f ( x) 的单调性，并证明.）. b 的取值范围 （ A． b ? ?2 B． b ? ?2 C ． b ? ?2 D． b ? ?2 2. 下列函数中， 在区间 (0, 2) 上为增函数的是 （ A． y ? ? x ? 1 C． y ? x ? 4 x ? 52） . 第一章 集合与函数的概念（复习）B． y ?xD． y ?2 xax2 ? b 为奇函数，则（ ）. x?c A. a ? 0 B. b ? 0 C. c ? 0 D. a ? 0 4. 函数 y＝x＋ 2 x ? 1 的值域为 . 2 5. f ( x) ? x ? 4 x 在 [0,3] 上的最大值为3. 已知函数 y= 最小值为 .学习目标 1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补 等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴 分析、Venn 图； 2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等 有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和 步骤，并会运用解决实际问题. ， 学习过程 一、课前准备 （复习教材 P2~ P45，找出疑惑之处） 复习 1：集合部分. ① 概念：一组对象的全体形成一个集合 ② 特征：确定性、互异性、无序性 ③ 表示：列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} ④ 关系：∈、 ? 、 ? 、 、= ⑤ 运算：A∩B、A∪B、 CU A 28课后作业 1. 已知 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的减函数，且f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 . 求实数 a 的取值范围.⑥ ⑦ 方法：数轴分析、Venn 图示. 复习 2：函数部分. ① 三要素：定义域、值域、对应法则； ② 单调性： f ( x) 定义域内某区间 D， x1 , x2 ? D ，性质：A ? A； ? ? A，?.人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写例 3 设函数 f ( x) ?1 ? x2 ． 1 ? x2（2）判断它的奇偶性；x1 ? x2 时， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则 f ( x) 的 D 上递增；x1 ? x2 时， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则 f ( x) 的 D 上递减.③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性：对 f ( x) 定义域内任意 x，（1）求它的定义域；1 （3）求证： f ( ) ? ? f ( x) ； x.f (? x) ? ? f ( x) ? 奇函数； f (? x) ? f ( x) ? 偶函数.特点：定义域关于原点对称，图象关于 y 轴对称. 二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设集合 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0} ，2 2B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} . （1）若 A ? B = A ? B ，求 a 的值； （2）若 ? A ? B ，且 A ? C = ? ，求 a 的值； （3）若 A ? B = A ? C ? ? ，求 a 的值.， ※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的奇偶性：2 x2 ? 2 x 3 ； （2） f ( x) ? x ? 2 x ； x ?1 （3） f ( x) ? a （ x? R） ；（1） f ( x) ? （4） f ( x) ? ?? x(1 ? x) x ? 0, ? x(1 ? x) x ? 0.例 2 已 知 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 ， 且 x ? 0 时 ，1? x . 1? x （1）求 f (5) 的值； （2）求 f ( x) ? 0 时 x 的值； （3）当 x &0 时，求 f ( x) 的解析式． f ( x) ?练 2. 将长度为 20 cm 的铁丝分成两段，分别围成一个 正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小， 正方形的周长应为多少？29人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种运算：交、并、补； 2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn 图示； 3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域； 4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究. ※ 知识拓展 要 作 函 数 y ? f ( x ? a) 的 图 象 ， 只 需 将 函 数2. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，设f ( x ) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x ) ， h( x) ? . 2 2 （1）试判断 g ( x)与h( x) 的奇偶性； g ( x) ?（2）试判断 g ( x), h( x)与f ( x) 的关系；y ? f ( x) 的 图 象 向 左 (a ? 0) 或 向 右 (a ? 0) 平 移 | a | 个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换. 要 作 函 数 y ? f ( x) ? h 的 图 象 ， 只 需 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 上 (h ? 0) 或 向 下 (h ? 0) 平 移 | h | 个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 若 A ? x | x ? 0 ， 则下列结论中正确的是 （2??） .A. A ? 0 B. 0 A C. A ? ? D. ? A 2. 函数 y ? x | x | ? px ， x ? R 是（ ）. A．偶函数 C．不具有奇偶函数 B．奇函数 D．与 p 有关 ）.3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是（ A． y ? 1 C． y ? ? x ? 2 x ? 12x ?2 1? x 2 D． y ? 1 ? xB． y ?§2.1.1指数与指数幂的运算（1）4. 某班有学生 55 人，其中音乐爱好者 34 人，体育爱 好者 43 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则 班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 5. 函 数 f ( x) 在 R 上 为 奇 函 数 ， 且 x ? 0 时 ，学习目标 1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性； 2. 了解根式的概念及表示方法； 3. 理解根式的运算性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P48~ P50，找出疑惑之处） 复习 1：正方形面积公式为 ；正方体的体积 公式为 . 复习 2： （初中根式的概念）如果一个数的平方等于 a， 那么这个数叫做 a 的 ，记作 ； 如果一个数 的立 方等于 a ，那么 这个数 叫做 a 的 ，记作 .f ( x) ?x? 1 ，则当 x ? 0 ， f ( x) ?课后作业.1. 数集 A 满足条件：若 a ? A, a ? 1 ，则（1）若 2 ? A ，则在 A 中还有两个元素是什么； （2）若 A 为单元集，求出 A 和 a .1 ? A. 1? a二、新课导学 ※ 学习探究 30人教版高一数学◆必修 1◆学案 探究任务一：指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背 景，体会引入指数函数的必要性. 实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25G，1990 年人 口数为 a 万，则 x 年后人口数为多少万？金沙二中高中数学备课组编写 新知：一般地，若 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n( n th root )，其中 n ? 1 , n ? ? . 简记： n a . 例如： 2 ? 8 ，则 3 8 ? 2 .3?反思： 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何？ 例如：327 ? 3 ， 3 ?27 ? ?3 , 记： x ? n a .实例 2. 给一张报纸， 先实验最多可折多少次？你能超 过 8 次吗？当 n 为偶数时，正数的 n 次方根情况？ 例如： 81 的 4 次方根就是 ，记： ? n a .强调：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0， 即n 0 ?0. 计算：若报纸长 50cm，宽 34cm，厚 0.01mm，进行对折 x 次后，求对折后的面积与厚度？ 试试： b ? a ，则 a 的 4 次方根为4； .b ? a ，则 a 的 3 次方根为3新知：像 n a 的式子就叫做根式（radical） ，这里 n 叫做根指数（radical exponent） a 叫做被开方数 ， （radicand）. 试试：计算 ( 2 3) 、 4 、 n (?2) .233n问题 1：国务院发展研究中心在 2000 年分析，我国未 来 20 年 GDP（国内生产总值）年平均增长率达 7.3G， 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍？问题 2：生物死亡后，体内碳 14 每过 5730 年衰减一半 （半衰期） ，则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡 时碳 14 关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义？反思： 从特殊到一般， ( n a ) 、 a 的意义及结果？nnn1 2t结论：( n a ) ? a . 当 n 是奇数时， a ? a ； n 是 当nnn偶数时， a ?| a |? ?n n小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人 口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二：根式的概念及运算 考察： (?2) ? 4 ，那么 ?2 就叫 4 的2?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)※ 典型例题 例 1 求下类各式的值： （1）3；(?a)3 ； （2）64 2(?7)4 ； (a ? b) 2 （ a ? b ）.； 33 ? 27 ，那么 3 就叫 27 的 4 (?3) ? 81 ，那么 ?3 就叫做 81 的 依此类推， x ? a ,， 若 那么 x 叫做 a 的n（3） 6 (3 ? ? ) ； （4） . .31人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 4. 化简 6 (a ? b) =6. ； 32 45. 计算： ( 3 ?5) =3.变式：计算或化简下列各式. （1） 5 ?32 ； （2） a .3 6课后作业 1. 计算： （1） a5 10；（2）379 .推广：npa mp ? n a m （a ? 0）.※ 动手试试 练 1. 化简 5 ? 2 6 ?7?4 3 ? 6?4 2 .2. 计算 a ? a 和 a 你能得到什么结论？3?43? ( ?8)，它们之间有什么关系？练 2. 化简 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .3. 对比 (ab) ? a b 与 ( ) ?n n n三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根，根式的概念； 2. 根式运算性质. ※ 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质：若 a ? 0 ，则 a ? 0 . 2. 正整数指数幂满足不等性质：na bnan ， 你能把后者归入 bn前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）学习目标 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P50~ P53，找出疑惑之处） 复习 1： 一般地， x ? a ， x 叫做 a 的 若 则n① 若 a ? 1 ，则 a ? 1 ；n② 若 0 ? a ? 1 ，则 0 ? a ? 1 . 其中 n?N*.n学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1.4(?3)4 的值是（）. D. 81 D. 25，A. 3 B. －3 C. ? 3 2. 625 的 4 次方根是（ ）. A. 5 B. －5 C. ±5 3. 化简 ( ?b ) 是（2 2其中 n ? 1 , n ? ? .n?简记为：. ，具有如下运 ； am n np mp像 a 的式子就叫做 算性质：）. C. ?b D.( n a )n =； a =nnn= ；.A. ?bB. b1 b32复习 2：整数指数幂的运算性质. （1） a ? ? am； （2） (a ) ? .（3） (ab) ?n人教版高一数学◆必修 1◆学案 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：分数指数幂10金沙二中高中数学备课组编写 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) ： （1） b ? b ； （2） b ? b ； （3） b 4 b .23 5 33引例：a&0 时， a10 ?55(a2 )5 ? a2 ? a 5 ，则类似可2 2 3得3a12 ?a?.；a 2 ? (a 3 )3 ? a 3 ，类似3可得新知：规定分数指数幂如下ma n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ；例 3 计算（式中字母均正） ：2am ? n?1m?1nanam(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) .（ 1 ） (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ；11115（2）(m n ) .1 43 8 16试试： （1）将下列根式写成分数指数幂形式：235 =a =m2 3；354 =?? 4 3 ? 5 2；(a ? 0, m ? N ) .5 ；2 5（2）求值： 8 ；6； a. 例 4 计算： （1）a3 a ?3 a 4?(a ? 0) ；) ? ( ? m 2 n ?3 ) 6 (m, n ? N ? ) ；1（2） (2 m n 反思： ① 0 的正分数指数幂为 ；0 的负分数指数幂 为 . ② 分数指数幂有什么运算性质？ 指数幂的运算性质： （ a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ）23 5 10（3） ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 .a ?a ?ar rr?s；?(a r )s ? a rs ； (ab)r ? a r a s ．4 3※ 典型例题2例 1 求值： 27 3 ； 16； ( ) ；(3 5?325 ? 2 ) 3. 49※ 动手试试 变式：化为根式.? 1 3 ?2 练 1. 把 ? x 3 ? x ? ?? 5 ? 化成分数指数幂. ? ??833人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写练 2. 计算： （1） 3 3 ?4 3 ?4 27 ； （2） 6 (8a3 4 ) . 125b32. 计算：3? b? ? ?1 ? 2 3 ? . ? a? a 2 ? 2 3 ab ? 4 3 a 4 ? ?3a 4 ? 8 3 ab三、总结提升 ※ 学习小结 ①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化； ③有理指数幂的运算性质. ※ 知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为： m ? m0 e 为 m， ? 为正的常数.? ?t，其中t 表示经过的时间， m0 表示初始质量，衰减后的质量学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 若 a ? 0 ，且 m, n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）.mA. a ? a ? a nm nB. a ? a ? am nmnC.?a ?m n 3? a m? nD. 1 ? a ? an0? n2. 化简 25 2 的结果是（ ）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）学习目标 1. 掌握 n 次方根的求解； 2. 会用分数指数幂表示根式； 3. 掌握根式与分数指数幂的运算. 学习过程 一、课前准备 （复习教材 P48~ P53，找出疑惑之处） 复习 1：什么叫做根式? 运算性质？ 像 n a 的式子就叫做 ，具有性质： ； anp mpn? ? 2 ? ????2? 的结果是（ ? ?Ｃ． .n3m ? n 2?1 2）.A． 2 4. 化简 27m2 ? 3B． ? 2 =2 2D． ?2 25. 若 10 ? 2, 10 ? 4 ，则 10=.( a) =课后作业 1. 化简下列各式： （1） (n； a =nn=.复习 2：分数指数幂如何定义？运算性质？36 3 )2 ； 49（2）a2 bb3 aa . b334m① an ?? 其中 a ? 0, m, n ? N , n ? 1；a*?m n.人教版高一数学◆必修 1◆学案 ②a ? ? ar s金沙二中高中数学备课组编写 ； 例 2 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 填满，再倒出； (a ) ?r s(ab)s ?复习 3：填空. ①.1 升，然后用水 31 升，又用水填满，这样进行 5 次，则 3n为时，n( x ? 0) ? . x n ?| x |? ?........... ( x ? 0) ?4容器中剩下的纯酒精的升数为多少？② 求下列各式的值：3626 =2；16 =15； 6 81 = ； .；(?2) =4；6?32 =x8 =； a b =2 4二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已知 a 2 ? a?11 ? 1 2=3，求下列各式的值：2 ?2（1） a ? a ； （2） a ? a ； （3）a2 ? a13? ?3 2 1． 小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试 练 1. 化简： ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) .1 1 1 1a2 ? a 2 3 3 2 2 补充： 立方和差公式 a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) .变式：已知 a 2 ? a （1） a ? a1 2 ? 1 21?1 2? 3 ，求：（2） a ? a3 2 ? 3 2练 2. 已知 x+x =3，求下列各式的值. . （1） x ? x1 2 1 ? 2-1；；（2） x 2 ? x3?3 2.练3.已 知f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ， 试 求f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值.35人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写三、总结提升 ※ 学习小结 1. 根式与分数指数幂的运算； 2. 乘法公式的运用. ※ 知识拓展 1. 立方和差公式：2. 探究： a ? ( n a ) ? 2a 时, 实数 a 和整数 n 所n n n应满足的条件.a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ；a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) .2. 完全立方公式：(a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 ；(a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 .学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：31. A. 2.9 2 的值为（）. C. 3 D. 729 ）.1 173 a3a ?5 a 4B. 3 3(a&0)的值是（§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生 活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质 （单调性、特殊点）. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P54~ P57，找出疑惑之处） 复习 1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1） a ?0A. 1 B. a C. a 5 D. a 10 3. 下列各式中成立的是（ ）. A． ( C． 4.4n 7 ) ? n7 m m1 7B． 12 (?3) ?43?3x3 ? y 3 ? ( x ? y ) 425 ? 3 ) 2= 42 1 1 13D． .39 ?33化简 (5. 化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) =1 315.； （2） am ? n?n?.；课后作业 1. 已知 x ? a?3（3） a?24 2 ?3 ?6? b , 求 x ? 2a x ? a的值.? ? ；a * 其中 a ? 0, m, n ? N , n ? 1m nm n复习 2：有理指数幂的运算性质. （1） a ? ? a 36 ； （2） (a ) ?m n；人教版高一数学◆必修 1◆学案 （3） (ab) ?n金沙二中高中数学备课组编写.二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例： A．细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次 由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，如此 下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么？ B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一 年的残留量是原来的 84％， 那么以时间 x 年为自变量， 残留量 y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什 么？指数是什么？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数 函数的性质. 变底数为 3 或1 后呢？ 3新知：根据图象归纳指数函数的性质. a&1 图 象0&a&1新知：一般地，函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数x性 质函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，函 数的定义域为 R. 反思：为什么规定 a ＞0 且 a ≠1 呢？否则会出现什么 情况呢？(1)定义域：R (2)值域： （0，+∞） (3)过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数※ 典型例题 例 1 函 数 f ( x) ? a （ a ? 0, 且a ? 1 ） 的 图 象 过 点x( 2,? )，求 f (0) , f (?1) , f (1) 的值.试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？ 探究任务二：指数函数的图象和性质 引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研 究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小） 值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：小结：①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小： （1） 2 , 20.50.6 0.5；；2.1（2） 0.9 ,0.9 ； （4） ?2? 3?2?1.5；（3） 2.1 ,0.5与1 .1 y ? ( ) x ， y ? 2x 2小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. 讨论： （1）函数 y ? 2 与 y ? ( ) 的图象有什么关系？如x1 2x※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式，试比较 m、n 的大小： （1） ( ) ? ( ) ； （2） 1.1 ? 1.1 .m nm n何由 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象？x1 2x2 32 337人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写练 2. 比较大小： （1） a ? 0.8 , b ? 0.8 , c ? 1.20.7 0.9 0.8；24（2） 1 , 0.40?2.5, 2?0.2 , 2.51.6 .4. 比较大小： ( ?2.5) 3 5. 函数 y ?(?2.5) 5 ..1 ( ) x ? 1 的定义域为 9课后作业 1. 求函数 y=1 5x 1? x的定义域.?1三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数 函数的图象与性质；③单调法. ※ 知识拓展 因为 y ? a (a ? 0，且a ? 1) 的定义域是 R， 所以xy ? a f ( x ) (a ? 0，且a ? 1) 的定义域与 f ( x) 的定义域相同. 而 y ? ? (a ) (a ? 0，且a ? 1) 的定义域，x由 y ? ? (t ) 的定义域确定.2. 探究：在[m ，n]上， f ( x) ? a ( a ? 0且 a ? 1) 值x域？学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数， a 的值为 则2 x（ A. 1）. B. 2x ?2C. 1 或 2D. 任意值2. 函数 f(x)= a ? 1 (a&0,a ≠1)的图象恒过定点 （ ）. A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2)x x§2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2. 掌握指数型函数的定义域、 值域， 会判断其单调性； 3. 培养数学应用意识. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P57~ P60，找出疑惑之处） 复习 1：指数函数的形式是 其图象与性质如下 a&1 0&a&1 图 象3. 指数函数① f ( x) ? m ，② g ( x) ? n 满足不等式0 ? m ? n ? 1 ，则它们的图象是（）.，38性 质人教版高一数学◆必修 1◆学案 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点： (4) 单调性：金沙二中高中数学备课组编写小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法. 复习 2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：1 y ? 2x , y ? ( ) x . 5试试：求函数 y ? 其单调性.2? x ?1 的定义域和值域，并讨论 2二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界 7% 的国土上，却养育着 22%的世界人口．因此，中国的人 口问题是公认的社会问题．2000 年第五次人口普查， 中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%．为了有效地 控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本 国策． （1）按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍？ （2）从 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少？※ 动手试试 练 1. 求指数函数 y ? 2 其单调性.x 2 ?1的定义域和值域，并讨论练 2. 已知下列不等式，比较 m, n 的大小. （1） 3 ? 3 ；m nm n（2） 0.6 ? 0.6 ；m nm n（3） a ? a (a ? 1) ； （4） a ? a (0 ? a ? 1) . 小结：指数函数增长模型. 设原有量 N，每次的增长率为 p，则经过 x 次增长后 的 总 量 y= . 我们把形如 y ? kax(k ? R, a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为指数型函数.例 2 求下列函数的定义域、值域： （1）y ? 2 ? 1 ; （2）y ? 3x5 x ?11; （3）y ? 0.4 x ?1 . 练 3. 一片树林中现有木材 30000 m ，如果每年增长 3 5%，经过 x 年树林中有木材 y m ，写出 x，y 间的函数 关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加 3 到 40000m .339人教版高一数学◆必修 1◆学案 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 指数函数应用模型 y ? ka (k ? R, a ? 0且a ? 1) ；x金沙二中高中数学备课组编写2. 定义域与值域； 2. 单调性应用（比大小）. ※ 知识拓展 形如 y ? af ( x)(a ? 0，且a ? 1) 的 函 数 值 域 的 研t究，先求得 f ( x) 的值域，再根据 a 的单调性，列出 简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视y ? a f ( x ) ? 0 . 而形如 y ? ? ( a x ) (a ? 0，且a ? 1)的函数值域的研究，易知 a ? 0 ，再结合函数 ? (t ) 进x行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的 方法，例如观察法、单调性法、图象法等. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： x x 1. 如 果 函 数 y=a (a&0,a ≠ 1) 的 图 象 与 函 数 y=b (b&0,b≠1)的图象关于 y 轴对称，则有（ ）. A. a&b B. a&b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 －x 2. 函数 f(x)=3 －1 的定义域、值域分别是（ ）. A. R， R ? B. R， (0, ??) C. R， (?1, ??) D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数，则下列说 法错误的是（ ）. x －x A. y=a 的图象与 y=a 的图象关于 y 轴对称? 1－x B. 函数 f(x)=a (a&1)在 R 上递减 C. 若 ax2. 求函数 y ?2x ? 1 的定义域和值域，并讨论函数的 2x ? 1单调性、奇偶性.2&a2 ?1，则 a&1 ?D. 若 2 &1，则 x ? 1 4. 比较下列各组数的大小：2 ?1 ( ) 2 5（0.4）2 ； （?33 0.76 ） 3x x?0.75 （ 3） .x x§2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标 1. 理解对数的概念； 2. 能够说明对数与指数的关系； 3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P62~ P64，找出疑惑之处） 复习 1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭. （1）取 4 次，还有多长？ （2）取多少次，还有 0.125 尺？5. 在同一坐标系下，函数 y=a , y=b , y=c , y=d 的 图象如右图，则 a、b、c、d、1 之间从小到大的顺序 是 .课后作业 1. 已 知 函 数 f(x)=a －2 (a ∈R)，求证：对 2x ? 1 任何 a ? R ， f(x)为增函数.40人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 反思： （1）指数与对数间的关系？复习 2：假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元，如 果每年平均增长 8%， 那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍？ （只列式）a ? 0, a ? 1 时， a x ? N ?（2）负数与零是否有对数？为什么？ （3） loga 1 ? ， loga a ?. .※ 典型例题 例 1 下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：对数的概念 问题：截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿. 如果今 后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么多少年后人 口数可达到 18 亿，20 亿，30 亿？1 a ； （3） 3 ? 27 ； 128 ?2 （4） 10 ? 0.01 ； （5） log 1 32 ? ?5 ；（1） 5 ? 125 ； （2） 2?7 ?32（6）lg0.001= ?3 ；（7）ln100=4.606.讨论： （1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：王新敞奎屯 新疆由 1.01 ? m ，求 x.x. 例 2 求下列各式中 x 的值：2 ； （2） log x 8 ? ?6 ； 3 3 （3） lg x ? 4 ； （4） ln e ? x .（1） log64 x ? 新知：一 般地，如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ，那么数 xx叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm）. 记作 x ? log a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫 做真数王新敞奎屯 新疆试试：将复习 2 及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 （common logarithm） ，并把常用对数 log10 N 简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为 底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数，并把自然对王新敞奎屯 新疆※ 动手试试 练 1. 求下列各式的值. （1） log5 25 ； （2） log 21 ； （3） lg 10000. 16数 log e N 简记作 lnN王新敞奎屯新疆试试：分别说说 lg5 、lg3.5、ln10、ln3 的意义.41人教版高一数学◆必修 1◆学案金沙二中高中数学备课组编写 （6） log 2 128 ? 7 ； （7） log3 27 ? a .练 2. 探究 log a a ? ?naloga N ? ?三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数概念；②lgN 与 lnN；③指对互化；④如何求对 数值 ※ 知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁 首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般 认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格 兰数学家――纳皮尔 （Napier，
年） 男爵. 在 纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开 始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由 于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很 大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费 了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一 位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数 字的计算技术，终于独立发明了对数. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 若 log 2 x ? 3 ，则 x ? （ A. 4 2. log ( A. 1 （ B. 6n ?1 ? n )2. 计算： （1） log9 27 ； （2） log 3 243 ； （3） log 4 3 81 ； （3） log (2 ?3)(2 ? 3) ；（4） log 354625 .）. D. 9 ）.C. 8( n ?1 ? n)= （C. 2 D. －2B. －13. 对数式 log a ? 2 (5 ? a) ? b 中，实数 a 的取值范围是 ）. A． (??,5) C． (2, ??) 4. 计算： log2 ?1B．(2,5) D． (2,3) ? (3,5)§§2.2.1 .对数与对数运算（2）(3 ? 2 2) ?5. 若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 ， 则 x=________ ， 若l o g ? ，则 y=___________. 8y 2课后作业 1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1） 3 ? 243 ； （2） 25学习目标 1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依 据和过程； 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..?5?1 a ； （3） 4 ? 30 32学习过程 一、课前准备 （预习教材 P64~ P66，找出疑惑之处） 复习 1： （1）对数定义：如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ，那么数x1 m （4） ( ) ? 1.03 ； （5） log 1 16 ? ?4 ； 2 24