2013届高考数学复习--最新3年高考2年模拟(2)函数与导数_学霸学习网
2013届高考数学复习--最新3年高考2年模拟(2)函数与导数
【3 年高考 2 年模拟】第二章函数与导数 三年高考荟萃2012 年高考数学分类（1）函数的概念一、选择题 1 ． （2012 年高考（陕西文） 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ）（）A． y ? x ? 1B． y ? ? x2C． y ?21 xD． y ? x | x |?x ?1 ? 2 ． （2012 年高考（江西文） 设函数 f ( x ) ? ? 2 ） ? ?xx ?1 x ?1,则 f ( f (3)) ?（）A．1 5B．3C．2 3D．13 93． （2012 年高考（湖北文） 已知定义在区间 ( 0 , 2 ) 上的函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示,则 ）y ? ? f ( 2 ? x ) 的图像为?1, x ? 0 ? ?1, ( x 为 有 理 数 ) ? ? 4． （2012 年高考（福建文） 设 f ( x ) ? ? 0 , ( x ? 0 ) , g ( x ) ? ? ） ,则 f ( g ( ? )) 的 ? 0 , ( x为 无 理 数 ) ? ? ? ? 1, ( x ? 0 ) ?值为 A．1（ B．0 C． ? 1?1）D． ?( x ). 如果函数 y ? f ( x ) 的5 ． （2012 年高考（上海春） 记函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f ）图像过点 ( 1 , 0 ) ,那么函数 y ? f?1( x ) ? 1 的图像过点[答] （ ）第1页A． ( 0 , 0 ) .B． ( 0 , 2 ) .C． (1, 1 ) .D． ( 2 , 0 ) . （ ）6 ． （2012 年高考（陕西理） 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ）A． y ? x ? 1B． y ? ? x2C． y ?1 xD． y ? x | x |二、填空题 7． （2012 年高考（重庆文） 函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? 4 ) 为偶函数,则实数 a ? ________ ） 8． （2012 年高考（浙江文） 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] ）时,f(x)=x+1,则 f （ ） =_______________.239． （2012 年高考（广东文） (函数)函数 y ? ）x ?1 x的定义域为__________.10． （2012 年高考（安徽文） 若函数 f ( x ) ? | 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ? ? ) ,则 a ? _ _ _ _ _ ）x ?1211． （2012 年高考（天津文） 已知函数 y ? ）x ?1的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是________.12． （2012 年高考（四川文） 函数 f ( x ) ? ）1 1? 2x的定义域是____________.(用区间表示)13． （2012 年高考（上海文） 已知 y ? f ( x ) 是奇函数. 若 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 且 g (1) ? 1 .,则 ）g ( ? 1) ? _______ .14． （2012 年高考（山东文） 若函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0 , a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 ）m,且函数 g ( x ) ? (1 ? 4 m )x在 [0, ? ? ) 上是增函数,则 a=____.第2页祥细答案一、选择题 1. 2.解析:运用排除法,奇函数有 y ? 【答案】D1 x和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确.【解析】考查分段函数, f ( f (3)) ? f ( ) ? ( ) ? 1 ?22 32 313 9.? f ? 0 ? ? 0 ,故可排除 D 项;3. B【解析】特殊值法:当 x ? 2 时, y ? ? f? x ? 2? ?? f?2 ? 2? ?当 x ? 1 时, y ? ? f ? x ? 2 ? ? ? f ? 2 ? 1 ? ? ? f ? 1 ? ? ? 1 ,故可排除 A,C 项;所以由排除法知 选 B. 【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为 徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解, 既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有 e 的指数型函数或含有 ln x 的对数型 函数的图象的识别. 4. 【答案】B 【解析】因为 g (? ) ? 0 所以 f ( g ( ? )) ? f (0 ) ? 0 . B 正确x【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力. 5. B6.解析:奇函数有 y ?1 x和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确.7. 【答案】4【解析】由函数 f ( x ) 为偶函数得 f ( a ) ? f ( ? a ) 即 ( a ? a )( a ? 4 ) ? ( ? a ? a )( ? a ? 4 )? a ? 4. 【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切 a 都有 f ( a ) ? f ( ? a ) 成立.8. 【答案】3 2【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】 f ( ) ? f (2 3 3 2?x ?1? 0 ?x ? 0? 2) ? f (?11 1 3 ) ? f ( ) ? ?1? . 2 2 2 29.解析: ? ? 1, 0 ? ? ? 0, ? ? ? .由 ?解得函数的定义域为 ? ? 1, 0 ? ? ? 0, ? ? ? .a 210. 【解析】 ? 6由对称性: ?? 3 ? a ? ?6第3页11. 【解析】函数 y ?2x2?1x ?1?1?( x ? 1)( x ? 1) x ?1,当 x ? 1 时, y ?x2?1x ?1? x ? 1 ? x ? 1 ,当x ? 1 时, y ?x? ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? ,综上函数 x ?1 ? x ? 1, x ? ? 1y ?x? x ? 1， x ? 1 ? ? ? ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1 ,做出函数的图象,要使函数 y x ?1 ? x ? 1, x ? ? 1 ?2?1与 y ? kx 有两个不同的交点,则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄色区 域 内 , 如 图 , 则 此 时 当 直 线 经 过 黄 色 区 域 时 B (1, 2 ) , k 满 足1 ? k ? 2 ,当经过蓝色区域时, k 满足 0 ? k ? 1 ,综上实数的取值范围是 0 ? k ? 1 或1? k ? 2.12. [答案]( - ? ， )21[解析]由分母部分的 1-2x&0,得到 x∈( - ? ， ).21[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分 母不为 0;偶次根下的式子大于等于 0;对数函数的真数大于 0;0 的 0 次方没有意义.13. [解析] y ? f ( x ) 是奇函数,则 f ( ? 1) ? ? f (1) , g (1) ? g ( ? 1) ? f (1) ? f ( ? 1) ? 4 ? 4 ,所以 g ( ? 1) ? 4 ? g (1) ? 3 .14. 答案:1 4解析:当 a? 1 时,有 a?12? 4, a?1? m,此时 a? 1 4? 2, m ? 1 161 2,此时 g ( x ) ??x为减函数,不合题意.若 0? a ? 1 ,则 a? 4, a ? m2,故 a,m ?,检验知符合题意.1 4另解:由函数 g ( x ) ? 当a ? 1 时f (x) ? ax(1 ? 4 m )x在 [0, ? ? ) 上是增函数可知 1 ? 4 m ? 0 , m ?2;?1在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? af (x) ? ax?1 2 1不 ,符合题意,舍去;当 0 ? a ? 1 时, 此时最小值为 m ? a2在[-1,2]上的最大值为 a1 4?1? 4 ,解得 a ?4 ? 1 16 ? 1 4,符合题意, 故 a=.2012 年高考数学分类（2）基本初等函数一、选择题 1． （2012 年高考（安徽文） lo g 2 9 ? lo g 3 4 ? ）（）第4页A．1 4B．1 2C． ?D． ? （1 x2 x2． （2012 年高考（广东理） (函数)下列函数中,在区间 ? 0 , ? ? ? 上为增函数的是 ）?1? ? ?2?x）A． y ? ln ? x ? 2 ?B． y ? ? x ? 1C． y ? ?D． y ? x ?3 ．（ 2012 年 高 考 （ 重 庆 文 ）） 设 函 数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3, g ( x ) ? 3 ? 2, 集 合M ? { x ? R| f( g ( x? ) ) N ? {,x ? R | g ( x ) ? 2} , 则 M ? N 为 0 }（）A． (1, ? ? )B．(0,1)C．(-1,1)D． ( ? ? ,1) ）4 ． （2012 年高考（天津文） 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2 ) 内是增函数的为（ ）x ?e 2 ?xA． y ? co s 2 xB． y ? lo g 2 | x |xC． y ?eD． y ? x ? 135 ． （2012 年高考（四川文） 函数 y ? a ? a ( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 ）6 ． （2012 年高考（山东文） 函数 f ( x ) ? ）1 ln ( x ? 1)?4? x2的定义域为（）A． [ ? 2, 0 ) ? (0, 2 ]B． ( ? 1, 0 ) ? (0, 2 ]C． [ ? 2, 2 ]D． ( ? 1, 2 ] （ D． y ? lnx ?127． （2012 年高考（广东文） (函数)下列函数为偶函数的是 ））A． y ? sin xB． y ? x 3C． y ? e x8． （2012 年高考（安徽文） 设集合 A ? { x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg ( x ? 1) 的定 ）义域;则 A ? B ? A． (1, 2 ) B． [1, 2 ] C． [?, ? )1 2x（ D． (?, ? ]）9 ． （2012 年高考（新课标理） 设点 P 在曲线 y ? ）e 上,点 Q 在曲线 y ? ln ( 2 x ) 上,则 P Q 最小值为 A． 1 ? ln 2 B． 2 (1 ? ln 2 ) C． 1 ? ln 2（ D． 2 (1 ? ln 2 )）第5页10 ． （2012 年高考（四川理） 函数 y ? a ? ）x1 a( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是11． （2012 年高考（江西理） 下列函数中,与函数 y= ）31 xx定义域相同的函数为s in x x8 2m ? 1（）A．y=1 s in xB．y=1n x xC．y=xeD．12． （2012 年高考 （湖南理） 已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y= ）(m&0), l1 与函数 y ? lo g 2 x的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? lo g 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A． 1 6 2二、填空题 13． （2012 年高考（上海文） 方程 4 ? 2 ）x x ?1b a的最小值为 D． 4 4（）B． 8 2C． 8 4? 3 ? 0 的解是_________.ì x , x ? 0, ? ? ? 14． （2012 年高考（陕西文） 设函数发 f ( x ) = í 1 ） ,则 f ( f (- 4 )) =_____ ? ( ) x , x & 0, ? ? 2 ? ?? 15 ． 2012 年 高 考 （ 北 京 文 ） 已 知 f ( x ) ? m ( x? 2 m ) ( x （ ） ? x ? R , f ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 ,则 m 的取值范围是________. m ? 3 )g ( x ) ? 2 ? 2 . 若 ,x16 ．（ 20122年 高 考 （ 北 京 文 ）） 已 知 函 数 f ( x ) ? lg x , 若 f ( a b ) ? 1 , 则2f ( a ) ? f ( b ) ? _________.17． （2012 年高考（上海春） 函数 y ? lo g 2 x ? ）4 lo g 2 x( x ? [ 2 , 4 ]) 的最大值是______.18． （2012 年高考（江苏） 函数 f ( x ) ? ）1 ? 2 log6x 的定义域为____.第6页三、解答题 19． （2012 年高考（上海文理） 已知函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) . ）(1)若 0 ? f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x ) ? f ( x ) ,求函数y ? g ( x ) ( x ? [1, 2 ]) 的反函数.第7页基本初等函数参考答案 一、选择题 1. 【解析】选 Dlo g 2 9 ? lo g 3 4 ? lg 9 lg 2 ? lg 4 lg 3 ? 2 lg 3 lg 2 ? 2 lg 2 lg 3 ? 42.解析:A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ? 2 , ? ? ? 上是增函数. 3.【答案】:D 【解析】:由 f ( g ( x )) ? 0 得 g ( x ) ? 4 g ( x ) ? 3 ? 0 则 g ( x ) ? 1 或 g ( x ) ? 3 即 3 x ? 2 ? 1 或23 ?2 ?3x所 以 x ? 1 或 x ? lo g 3 5 ; 由 g ( x ) ? 2 得 3 x ? 2 ? 2 即 3 x ? 4 所 以 x ? l o g 3M ? N ? ( ? ? ,1)4 故【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题 以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.4.【解析】函数 y ? log2x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log2x ? log2x 为增函数,所以在 (1, 2 ) 上也为增函数,选 B.5.[答案]C [解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a ? a ( a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),只有 C 选项符合.x[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用.6.解析:要使函数 f ( x ) 有意义只需 ?x ? 0 .答案应选 B.? ln( x ? 1) ? 0 ?4 ? x2? 0,即 ?? x ? ? 1, x ? 0 ? ?2 ? x ? 2,解得 ? 1 ? x ? 2 ,且7.解析:D. f ? ? x ? ? ln ? ? x ? ? 1 ? ln2x ?1 ? f2?x?.8. 【解析】选 D A ? { x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3} ? [ ? 1, 2 ] , B ? (1, ? ? ) ? A ? B ? (1, 2 ] 9.【解析】选 A 函数 y ?1 2 e 与函数 y ? ln ( 2 x ) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称x1函数 y ?1 2e 上的点 P ( x ,x1 2e ? xxe ) 到直线 y ? x 的距离为 d ?x2 2设函数 g ( x ) ?1 2e ? x ? g ?( x ) ?x1 2e ? 1 ? g ( x ) m in ? 1 ? ln 2 ? d m in ?x1 ? ln 2 2第8页由图象关于 y ? x 对称得: P Q 最小值为 2 d m in ?10.2 (1 ? ln 2 )[答案]C [解析]采用排除法. 函数 y ? a ? a ( a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),选项只有 C 符合,故选 C.x[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用. 11. D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数 y ?13的 定 义 域 为 ? ? ?, 0? ? ? 0 ,? ? , 而 答 案 中 只 有 y ? ?0 ,? ? .故选 D. ?s i nx x的定义域为x? ? ?, 0? ? ?【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求 解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大 于 0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定 义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 12. 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=8 2m ? 1(m&0), y ? lo g 2 x 图像如下图,8 2m ? 1?m m 由 lo g 2 x = m,得 x1 ? 2 , x 2 ? 2 , lo g 2 x =,得 x 3 ? 28?8 2 m ?18, x4 ? 22 m ?1.依照题意得 a ? 2?m?2?8 2 m ?182 , b a 2 ?m?22 m ?18,b ? 2m?22 m ?1?m?2?8 2 m ?1? 2 2m2 m ?1? 2m?8 2 m ?1.?m ?8 2m ? 1? m ?1 2?4 m ? 1 2?1 2? 4?1 2? 31 2,? ( ) m in ? 8 2 .aby ? lo g 2 xCDy ? 8 2m ? 1ABy ? mO1x【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y=8 2m ? 1(m&0), y ? lo g 2 x 图像,结合图像可解得.第9页二、填空题 13. [解析] ( 2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , ( 2 ? 1)( 2 ? 3 ) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log 2 3 .x 2 x x xx14.解析: f ( - 4 ) = ( )21- 4= 1 6 , f ( f ( - 4 )) = f (1 6 ) =16 = 415. 【答案】 ( ? 4 , 0 )【 解 析 】 首 先 看 g (x) ? 2 ? 2 没 有 参 数 , 从 g (x) ? 2 ? 2 入 手 , 显 然 x ? 1x x时, g ( x ) ? 0 , x ? 1 时, g ( x ) ? 0 ,而对 ? x ? R , f ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 成立即可,故只要? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 (*)恒成立即可.当 m ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,不符合(*),所以舍去;当 m ? 0 时,由 f ( x ) ? m ( x ? 2 m )( x ? m ? 3) ? 0 得 ? m ? 3 ? x ? 2 m ,并不对 ? x ? 1 成立,, 舍 去 ; 当 m ? 0 时 , 由 f ( x ) ? m ( x ? 2 m )( x ? m ? 3) ? 0 , 注 意 ? 2 m ? 0 x ?1 故 ,x ? 2 m ? 0 ,所以 x ? m ? 3 ? 0 ,即 m ? ? ( x ? 3) ,又 x ? 1 ,故 ? ( x ? 3) ? ( ? ? , ? 4 ] ,所以 m ? ? 4 ,又 m ? 0 ,故 m ? ( ? 4, 0 ) ,综上, m 的取值范围是 ( ? 4 , 0 ) .【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小, 涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对 m 进行讨 论. 16. 【答案】 2 【解析】? f ( x ) ? lg x , f ( a b ) ? 1 ,? lg ( a b ) ? 1? f ( a ) ? f ( b ) ? lg a ? lg b ? 2 lg ( a b ) ? 22 2 2 2【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时 也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.17. 5 18. 【答案】 ? 0，6? ?.【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得?x & 0 ?x & 0 ?x & 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ?1 ? 2 lo g 6 x ? 0 ? lo g 6 x ? ?x ? 62 = ? 2 ?? 0& x? 66.三、解答题 19. [解](1)由 ??2 ? 2 x ? 0 ? x ?1? 0,得 ? 1 ? x ? 1 .第 10 页由 0 ? lg( 2 ? 2 x ) ? lg( x ? 1) ? lg2?2x x ?1? 1 得1 ?2?2x x ?1? 10? x ?1 3因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ???1? x ?1 ??2 32 3.由?? x ?1 3得?2 3? x ?1 3(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此y ? g ( x ) ? g ( x ? 2 ) ? g ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ? lg( 3 ? x )由单调性可得 y ? [ 0 , lg 2 ] . 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [ 0 , lg 2 ]yx2012 年高考数学分类（3）函数的应用一、选择题11． （2012 年高考（北京文） 函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为 ）x1（ D．3）2A．0B．1xC．232 ． （2012 年高考（天津理） 函数 f ( x )= 2 + x ? 2 在区间 (0 ,1) 内的零点个数是 （ ））A．0B．1C．2D．3?63 ． （2012 年高考（江西文） 如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为 ）? 为圆心,AB 为半径作圆弧 B D C 与线段 OA 延长线交与点,以 AC． 甲.乙两质点同时从点 O? 出发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 B D C 行至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止.设 t 时刻甲、乙所到的两 点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图像大致 是第 11 页4． （2012 年高考（湖南文） 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2 ? 的偶函数, f ? ( x ) 是 ）f ( x) 的 导 函 数 , 当 x ? ?0, ?? 时 ,0 ? f ( x ) ? 1 ; 当 x ? (0 , ? ) 且 x ??2时 ,(x ? A．2?2) f ? ( x ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) ? sin x 在 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上的零点个数为 （）B．4C．5D．8 ）5． （2012 年高考（湖北文） 函数 f ( x ) ? x co s 2 x 在区间 [ 0 , 2 ? ] 上的零点个数为 （ ）A．2B．3C．4D．56．2012 年高考 （ （辽宁理）设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] ）时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos ( ? x ) |,则函数 h (x)=g(x)-f(x)在 [ ? 为 A．5 A．431 3 , ] 上的零点个数 2 2（ B．6 B．5 C．72） ）D．8 （ D．77． （2012 年高考（湖北理） 函数 f ( x ) ? x co s x 在区间 [ 0 , 4 ] 上的零点个数为 ）C．6二、解答题 8． （2012 年高考（上海春） 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ）某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 3 0 千米(忽略内、外环线长度差 异). (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 1 0 分钟,求内环 线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 2 5 千米/小时,外环线列车平均速度为 3 0 千米/小时.现内、 外环线共有 1 8 列列车全部投入运行,要使内、 外环线乘客的最长候车时 间之差不超过 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?9． （2012 年高考（江苏） 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, ）单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程第 12 页y ? kx ?1 20(1 ? k ) x ( k ? 0 ) 表示的曲线上,其中 k2 2与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.10． （2012 年高考（湖南理） 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产 ）品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件, 或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.第 13 页参考答案一、选择题 1. 【答案】B1【解析】函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点,即令 f ( x ) ? 0 ,根据此题可得 x 2 ? ( ) ,在平面x x11122直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选 8 答案 B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及 6 到图像幂函数和指数函数. 2. 【答案】B 4 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在 定理以及作图与用图的数学能力. 【解析】解法 1:因为 f (0 )=1+ 0 ? 2 = ? 1 , f (1 )= 2 + 2 ? 2 = 8 ,即 f (0 ) ? f (1 )& 0310 且函数 f ( x ) 在 (0 ,1) 内连续不断,故 f ( x ) 在 (0 ,1) 内的零点个数是 1. 5 2解法 2:设 y1 = 2 , y 2 = 2 ? x ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可x 32知 B 正确. 【答案】A 4. 【答案】B3.46【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠? ? x ? 0, ? 2 ??2时 ,(x ??2) f ? ( x ) ? 0 ,知8? ?? ? 时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为 减 函 数 ；x ? ? ， ? ? ? 2? 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x )为 增 函 数 ? ?又 x ? ? 0 , ? ? 时,0&f(x)&1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标 系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点 个数为 4 个.y1y ? f (x)o? 2?2?y ? sin xx?1第 14 页【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.5. D 【 解 析 】 由 f ( x ) ? x c o s x2?2 x ? k? ? x ?0 , 得 x ? 0 或 co s 2 x ? 0 ; 其 中 , 由 co s 2 x ? 0 , 得?2?k ? Z ? , 故x ?k? 2??4?k ? Z ? . 又 因 为x ? ? 0, 2 π ?, 所 以π 3π 5π 7π , , , .所以零点的个数为 1 ? 4 ? 5 个.故选 D. 4 4 4 4【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图 象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定 义域是 R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区 间等问题. 6. 【答案】B 【 解 析 】 因 为 当x?[ 03时 1 ,f(] )=x . x ,3所以当x ? [1, 2 ]时 ， ( 2 - x ) ? [0,1] ,f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x) ,当 x ? [ 0 , ] 时,g(x)=xcos ( ? x ) ;当 x ? [ , ] 时,g(x)= ? xcos ( ? x ) ,注意到函数 f(x)、2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 3 , 0 ]、0 , ]、 , 1 ]、 , ] [ [ [1 2 2 2 211 3g(x)都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分别在区间 [ ?上各有一个零点,共有 6 个零点,故选 B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能 力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.2 解析: f ( x ) ? 0 ,则 x ? 0 或 cos x ? 0 , x ? k ? ?2?2, k ? Z ,又 x ? ?0 , 4 ? , k ? 0 ,1, 2 , 3 , 4所以共有 6 个解.选 C.二、解答题 8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时,由题意可知,30 9v ? 60 ? 10 ? v ? 20所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,列车的最小平均速度是 20 千米/小时. (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (1 8 ? x ) 列列车运行,内、外环线乘客最长30 25 x 72 x 30 3 0 (1 8 ? x ) 60 18 ? x候车时间分别为 t1 , t 2 分钟,则 t1 ? 于2? 60 ?, t2 ?? 60 ?是72 x*有| t1 ? t 2 | ? |?? x ? 150 x ? 1296 ? 0 150 ? 1 ? 18180 ? |? 1 ? ? ? ? x? 2 18 ? x 2 2 ? x ? 114 x ? 1296 ? 0 ? 60又? x ? N ,所以 x ? 1 0 ,所以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行,内、 外环线第 15 页乘客最长候车时间之差不超过 1 分钟.9. 【答案】解:(1)在 y ? k x ?1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 ) 中,令 y ? 02 2,得 k x ?1 20(1 ? k ) x = 02 2.由实际意义和题设条件知 x & 0， k & 0 . ∴x=20k 1? k2=20 1 k ? k?20 2=1 0,当且仅当 k =1 时取等号.∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ a & 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 k a ? 即关于 k 的方程 a k ? 2 0 a k ? a ? 6 4 = 0 有正根.2 2 21 20(1 ? k ) a = 3 .2 成立,2 2由? = ? ?20a ? ? 4a 2 ? a 2 ? 64 ? ? 0 得a ? 6 .2此时, k =20a ?? ?20a ?2? 4a22?a2? 64 ?&0(不考虑另一根).2a∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 【考点】函数、方程和基本不等式的应用. 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? k x ?1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )2 2与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解. (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. 10. 【解析】 解:(Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1 ( x ), T 2 ( x ), T 3 ( x ), 由题设有2 ? 00 x 2000 kx
0 ? (1 ? k ) xT1 ( x ) ??, T2 ( x ) ?, T3 ( x ) ?,期中 x , kx , 2 0 0 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x ) ? m ax ? T1 ( x ), T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? , 其定义域为? 200 ? ? , x ? N ? . 易知, T1 ( x ), T 2 ( x ) 为减函数, T 3 ( x ) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?T2 ( x ) ? 2 k T1 ( x ), 于是(1)当 k ? 2 时, T1 ( x ) ? T 2 ( x ), 此时1500 ? ?1000 f ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ?, 200 ? 3 x ? ? x第 16 页由函数 T1 ( x ), T 3 ( x ) 的单调性知,当x ? 400 9 44 ? 400 91000 x? ? 3 x时 f ( x ) 取得最小值,解得.由于? 4 5, 而 f ( 4 4 ) ? T1 ( 4 4 ) ? 250 11 , f ( 4 5 ) ? T3 ( 4 5 ) ? 300 13 250 11 , f (44) ? f (45) .故当 x ? 4 4 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f ( 4 4 ) ? (2) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),T (x) ? 375 50 ? x.由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时, ? ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T ( x )? 易知 T ( x ) 为增函数,则f ( x ) ? m ax ? T1 ( x ), T 3 ( x ) ?? m ax ? T1 ( x ), T ( x )?? ? ? ? ( x ) ? m ax ? , ?. 50 ? x ? ? x由函数 T1 ( x ) , T ( x ) 的单调性知,当 于36 ?400 111000 x?375 50 ? x ? 250 11时 ? ( x ) 取得最小值,解得 x ?, ? (3 7 ) ? T (3 7 ) ? 375 13 ? 250 11400 11 ,.由? 3 7 , 而 ? (3 6 ) ? T1 (3 6 ) ?250 9此时完成订单任务的最短时间大于250 11. 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时(3) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),750 ? ? 2000 f ( x ) ? m a x ? T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ? . 由函数 T 2 ( x ), T 3 ( x ) 的单调性知, 100 ? x ? ? x当2000 x?750 100 ? x时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ?250 9800 11.类似(1)的讨论.此时完成订单任务的最短时间为,大于250 11.综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产 A,B,C 三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用 数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值 来解决,体现分类讨论思想.2012 年高考数学分类（4）函数的应用一、选择题11． （2012 年高考（北京文） 函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为 ）x1（）2第 17 页A．0B．1xC．23D．3 ）2 ． （2012 年高考（天津理） 函数 f ( x )= 2 + x ? 2 在区间 (0 ,1) 内的零点个数是 （ ）A．0B．1C．2D．3?63 ． （2012 年高考（江西文） 如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为 ）? 为圆心,AB 为半径作圆弧 B D C 与线段 OA 延长线交与点,以 AC． 甲.乙两质点同时从点 O? 出发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 B D C 行至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止.设 t 时刻甲、乙所到的两 点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图像大致 是4． （2012 年高考（湖南文） 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2 ? 的偶函数, f ? ( x ) 是 ）f ( x) 的 导 函 数 , 当 x ? ?0, ?? 时 ,0 ? f ( x ) ? 1 ; 当 x ? (0 , ? ) 且 x ??2时 ,(x ? A．2?2) f ? ( x ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) ? sin x 在 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上的零点个数为 （）B．4C．5D．8 ）5． （2012 年高考（湖北文） 函数 f ( x ) ? x co s 2 x 在区间 [ 0 , 2 ? ] 上的零点个数为 （ ）A．2B．3C．4D．56．2012 年高考 （ （辽宁理）设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] ）时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos ( ? x ) |,则函数 h (x)=g(x)-f(x)在 [ ? 为 A．5 A．431 3 , ] 上的零点个数 2 2（ B．6 B．5 C．72） ）D．8 （ D．77． （2012 年高考（湖北理） 函数 f ( x ) ? x co s x 在区间 [ 0 , 4 ] 上的零点个数为 ）C．6第 18 页二、解答题 8． （2012 年高考（上海春） 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ）某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 3 0 千米(忽略内、外环线长度差 异). (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 1 0 分钟,求内环 线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 2 5 千米/小时,外环线列车平均速度为 3 0 千米/小时.现内、 外环线共有 1 8 列列车全部投入运行,要使内、 外环线乘客的最长候车时 间之差不超过 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?9． （2012 年高考（江苏） 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, ）单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ? kx ? 1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 ) 表示的曲线上,其中 k2 2与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.10． （2012 年高考（湖南理） 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产 ）品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件, 或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间;第 19 页(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.第 20 页参考答案一、选择题 1. 【答案】B1【解析】函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点,即令 f ( x ) ? 0 ,根据此题可得 x 2 ? ( ) ,在平面x x11122直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选 8 答案 B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及 6 到图像幂函数和指数函数. 2. 【答案】B 4 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在 定理以及作图与用图的数学能力. 【解析】解法 1:因为 f (0 )=1+ 0 ? 2 = ? 1 , f (1 )= 2 + 2 ? 2 = 8 ,即 f (0 ) ? f (1 )& 0310 且函数 f ( x ) 在 (0 ,1) 内连续不断,故 f ( x ) 在 (0 ,1) 内的零点个数是 1. 5 2解法 2:设 y1 = 2 , y 2 = 2 ? x ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可x 32知 B 正确. 【答案】A 4. 【答案】B3.46【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠? ? x ? 0, ? 2 ??2时 ,(x ??2) f ? ( x ) ? 0 ,知8? ?? ? 时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为 减 函 数 ；x ? ? ， ? ? ? 2? 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x )为 增 函 数 ? ?又 x ? ? 0 , ? ? 时,0&f(x)&1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标 系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点 个数为 4 个.y1y ? f (x)o? 2?2?y ? sin xx?1第 21 页【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.5. D 【 解 析 】 由 f ( x ) ? x c o s x2?2 x ? k? ? x ?0 , 得 x ? 0 或 co s 2 x ? 0 ; 其 中 , 由 co s 2 x ? 0 , 得?2?k ? Z ? , 故x ?k? 2??4?k ? Z ? . 又 因 为x ? ? 0, 2 π ?, 所 以π 3π 5π 7π , , , .所以零点的个数为 1 ? 4 ? 5 个.故选 D. 4 4 4 4【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图 象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定 义域是 R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区 间等问题. 6. 【答案】B 【 解 析 】 因 为 当x?[ 03时 1 ,f(] )=x . x ,3所以当x ? [1, 2 ]时 ， ( 2 - x ) ? [0,1] ,f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x) ,当 x ? [ 0 , ] 时,g(x)=xcos ( ? x ) ;当 x ? [ , ] 时,g(x)= ? xcos ( ? x ) ,注意到函数 f(x)、2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 3 , 0 ]、0 , ]、 , 1 ]、 , ] [ [ [1 2 2 2 211 3g(x)都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分别在区间 [ ?上各有一个零点,共有 6 个零点,故选 B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能 力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.2 解析: f ( x ) ? 0 ,则 x ? 0 或 cos x ? 0 , x ? k ? ?2?2, k ? Z ,又 x ? ?0 , 4 ? , k ? 0 ,1, 2 , 3 , 4所以共有 6 个解.选 C.二、解答题 8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时,由题意可知,30 9v ? 60 ? 10 ? v ? 20所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,列车的最小平均速度是 20 千米/小时. (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (1 8 ? x ) 列列车运行,内、外环线乘客最长30 25 x 72 x 30 3 0 (1 8 ? x ) 60 18 ? x候车时间分别为 t1 , t 2 分钟,则 t1 ? 于2? 60 ?, t2 ?? 60 ?是72 x*有| t1 ? t 2 | ? |?? x ? 150 x ? 1296 ? 0 150 ? 1 ? 18180 ? |? 1 ? ? ? ? x? 2 18 ? x 2 2 ? x ? 114 x ? 1296 ? 0 ? 60又? x ? N ,所以 x ? 1 0 ,所以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行,内、 外环线第 22 页乘客最长候车时间之差不超过 1 分钟.9. 【答案】解:(1)在 y ? k x ?1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 ) 中,令 y ? 02 2,得 k x ?1 20(1 ? k ) x = 02 2.由实际意义和题设条件知 x & 0， k & 0 . ∴x=20k 1? k2=20 1 k ? k?20 2=1 0,当且仅当 k =1 时取等号.∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ a & 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 k a ? 即关于 k 的方程 a k ? 2 0 a k ? a ? 6 4 = 0 有正根.2 2 21 20(1 ? k ) a = 3 .2 成立,2 2由? = ? ?20a ? ? 4a 2 ? a 2 ? 64 ? ? 0 得a ? 6 .2此时, k =20a ?? ?20a ?2? 4a22?a2? 64 ?&0(不考虑另一根).2a∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 【考点】函数、方程和基本不等式的应用. 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? k x ?1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )2 2与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解. (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. 10. 【解析】 解:(Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1 ( x ), T 2 ( x ), T 3 ( x ), 由题设有2 ? 00 x 2000 kx
0 ? (1 ? k ) xT1 ( x ) ??, T2 ( x ) ?, T3 ( x ) ?,期中 x , kx , 2 0 0 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x ) ? m ax ? T1 ( x ), T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? , 其定义域为? 200 ? ? , x ? N ? . 易知, T1 ( x ), T 2 ( x ) 为减函数, T 3 ( x ) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?T2 ( x ) ? 2 k T1 ( x ), 于是(1)当 k ? 2 时, T1 ( x ) ? T 2 ( x ), 此时1500 ? ?1000 f ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ?, 200 ? 3 x ? ? x第 23 页由函数 T1 ( x ), T 3 ( x ) 的单调性知,当x ? 400 9 44 ? 400 91000 x? ? 3 x时 f ( x ) 取得最小值,解得.由于? 4 5, 而 f ( 4 4 ) ? T1 ( 4 4 ) ? 250 11 , f ( 4 5 ) ? T3 ( 4 5 ) ? 300 13 250 11 , f (44) ? f (45) .故当 x ? 4 4 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f ( 4 4 ) ? (2) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),T (x) ? 375 50 ? x.由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时, ? ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T ( x )? 易知 T ( x ) 为增函数,则f ( x ) ? m ax ? T1 ( x ), T 3 ( x ) ?? m ax ? T1 ( x ), T ( x )?? ? ? ? ( x ) ? m ax ? , ?. 50 ? x ? ? x由函数 T1 ( x ) , T ( x ) 的单调性知,当 于36 ?400 111000 x?375 50 ? x ? 250 11时 ? ( x ) 取得最小值,解得 x ?, ? (3 7 ) ? T (3 7 ) ? 375 13 ? 250 11400 11 ,.由? 3 7 , 而 ? (3 6 ) ? T1 (3 6 ) ?250 9此时完成订单任务的最短时间大于250 11. 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时(3) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),750 ? ? 2000 f ( x ) ? m a x ? T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ? . 由函数 T 2 ( x ), T 3 ( x ) 的单调性知, 100 ? x ? ? x当2000 x?750 100 ? x时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ?250 9800 11.类似(1)的讨论.此时完成订单任务的最短时间为,大于250 11.综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产 A,B,C 三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用 数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值 来解决,体现分类讨论思想.2012 年高考数学分类汇编（5）导数一、选择题 1 ． （2012 年高考（重庆文） 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ? ( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 ）第 24 页处取得极小值,则函数 y ? xf ? ( x ) 的图象可能是2 ． （2012 年高考（浙江文） 设 a&0,b&0,e 是自然对数的底数 ）（）A．若 e +2a=e +3b,则 a&b a b B．若 e +2a=e +3b,则 a&b a b C．若 e -2a=e -3b,则 a&b a b D．若 e -2a=e -3b,则 a&b3 ． （2012 年高考（陕西文） 设函数 f(x)= ）2 xab+lnx 则 B． x=1 2（ 为 f(x)的极小值点）A．x=1 2为 f(x)的极大值点C．x=2 为 f(x)的极大值点4 ． （2012 年高考（山东文） 设函数 f ( x ) ? ）1 xD．x=2 为 f(x)的极小值点 , g (x) ?? x ? bx2.若 y? f (x)的图象与 y （? g (x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则下列判断正确的是 A． x1 C． x1? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0）B． x1 D． x11 22? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 05 ． （2012 年高考（辽宁文） 函数 y= ）x ? R x 的单调递减区间为 C．[1,+∞) D．(0,+∞)（）A．( ? 1,1]B．(0,1]6 ． （2012 年高考（湖北文） 如图,在圆心角为直角的扇形 O A B 中,分别以 O A , O B 为直径作两 ）个半圆. 在扇形 O A B 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ A．1 2 ? 1）?B．1?C． 1 ?32?2D．2?7 ． 2012 年 高考 （ 福建文 ） 已知 f ( x ) ? x ? 6 x ? 9 x ? a b c , a ? b ? c ,且 （ ）f ( a ) ? f (b ) ? f ( c ) ? 0.现给出如下结论:① f (0 ) f (1) ? 0 ;② f (0 ) f (1) ? 0 ;③ f (0 ) f (3) ? 0 ;④ f (0 ) f (3) ? 0 .第 25 页其中正确结论的序号是 A．①③ B．①④（ C．②③1 ln ( x ? 1) ? x）D．②④ ;则 y ? f ( x ) 的图像大致为8 ． （2012 年高考（新课标理） 已知函数 f ( x ) ? ）9 ． （2012 年高考（浙江理） 设 a&0,b&0. ）（ B．若 2 a D．若 2 a? 2 a ? 2 ? 3bb）A．若 2 a C．若 2 a? 2 a ? 2 ? 3bb,则 a&b ,则 a&b,则 a&b ,则 a&b? 2 a ? 2 ? 3bb? 2 a ? 2 ? 3bb10 ． （2012 年高考（重庆理） 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ? ( x ) ,且 ）函数 y ? (1 ? x ) f ? ( x ) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A．函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f (1) B．函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f (1) C．函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f ( ? 2 ) D．函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f ( 2 )11 ． （2012 年高考（陕西理） 设函数 f ( x ) ? xe ,则 ）x（）（）A． x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C． x ? ? 1 为 f ( x ) 的极大值点B． x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D． x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点第 26 页12 ． （2012 年高考 （山东理） 设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x ) ? a 在 R 上是减函数 ”,是“函 ）x数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 在 R 上是增函数”的3（）B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13 ． （2012 年高考（湖北理） 已知二次函数 y ? f ( x ) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的 ） 面积为 A．2π 5A．充分不必要条件 C．充分必要条件（ B．4 3） y1C．3 2D．π 214 ． （2012 年高考（福建理） 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 ）?1?1O 第 3 题图1xP,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 （ A．1 4?1 ?1）B．1 53C．1 6D．1 715 ． （2012 年高考（大纲理） 已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个 ）公共点,则 c ? A． ? 2 或 2二、填空题 16（ B． ? 9 或 3 C． ? 1 或 1 D．? 3 或 1）． 2012 年 高 考 （ 上 海 文 ） 已 知 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 是 折 线 段 ABC, 若 中 （ ）A(0,0),B( 1 ,1),C(1,0). 2函数 y ? xf ( x ) ( 0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .17 ． （2012 年高考（课标文） 曲线 y ? x (3 ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________ ） 18 ． 2012 年 高 考 （ 上 海 理 ） 已 知 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 是 折 线 段 ABC, 若 中 （ ）A(0,0),B( 1 ,5),C(1,0). 2函数 y ? xf ( x ) ( 0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .19． （2012 年高考（山东理） 设 a ? 0 .若曲线 y ? ）x 与直线 x ? a , y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a ,则 a ? ______.220． （2012 年高考（江西理） 计算定积分 ? ( x ? s in x ) d x ? ___________. ）2 ?13 21． 2012 年高考 （ （广东理） 曲线 y ? x ? x ? 3 在点 ? 1, 3 ? 处的切线方程为___________________. ）1第 27 页三、解答题 22． （2012 年高考（重庆文） 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 1 6 ）3(1)求 a、b 的值;(2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [ ? 3, 3] 上的最大值.23． （2012 年高考（浙江文） 已知 a∈R,函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 a x ? a ）3(1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a &0.24． （2012 年高考（天津文） 已知函数 f ( x ) ? ）1 3x ?31? a 2x ? ax ? a (a ? 0)2(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若函数 f ( x ) 在区间 ( ? 2 , 0 ) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 时,设函数 f ( x ) 在区间 [ t , t ? 3 ] 上的最大值为 M ( t ) ,最小值为 m ( t ) ,记g ( t ) ? M ( t ) ? m ( t ) ,求函数 g ( t ) 在区间 [ ? 3 , ? 1] 上的最小值.25． （2012 年高考（陕西文） 设函数 f n ( x ) ? x ? b x ? c ）n(n ? N ? , b, c ? R )(1)设 n ? 2 , b ? 1,?1 ? c ? ? 1 ,证明: f n ( x ) 在区间 ? ,1 ? 内存在唯一的零点; ?2 ?(2)设 n 为偶数, f ( ? 1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;第 28 页26． （2012 年高考 （山东文） 已知函数 f ( x ) ? ）ln x ? k ex(k为常数,e=2.71828 是自然对数的底数),曲线 y? f (x)在点 (1,f (1))处的切线与 x 轴平行.(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求f (x)的单调区间;xf ? ( x )(Ⅲ)设 g ( x ) ?,其中f ?( x ) 为 f ( x )的导函数.证明:对任意 x? 0, g ( x ) ? 1 ? e?2.[27． （2012 年高考（辽宁文） 设 f ( x ) ? ln x ? ）x ? 1 ,证明:(Ⅰ)当 x1 时, f ( x )
(Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x ) ?3 2( x ?1)9 ( x ? 1) x?528． （2012 年高考（课标文） 设函数 f(x)= e -ax-2 ）x(Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x&0 时,(x-k) f?(x)+x+1&0,求 k 的最大值第 29 页29． （2012 年高考（江西文） 已知函数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c) e 在 ? 0 ,1 ? 上单调递减且满足 ）2 xf ( 0 ) ? 1, f ( 0 )? 0.(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x ) ? f ( ? x ) ? f ? ( x ) ,求 g ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 上的最大值和最小值.30． （2012 年高考（湖南文） 已知函数 f(x)=e -ax,其中 a&0.[@、中国^教育出版&网~] ）x(1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1&x2),记直线 AB 的斜率为 k, 证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ? ( x 0 ) ? k 恒成立.31． （2012 年高考（湖北文） 设函数 f ( x ) ? a x (1 ? x ) ? b ( x ? 0 ) , n 为正整数, a , b 为常数,曲 ）n线 y ? f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 . (1)求 a , b 的值;32 ． （ 2012A?(2)求函数 f ( x ) 的最大值;(3)证明: f ( x ) ?1 ne.年 高 考 （ 广 东 文 ）） ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ? 1 , 集 合R 0? x??x?, B ? ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6 a ? 0? , D ? A ? B .(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x 3 ? 3 ? 1 ? a ? x 2 ? 6 a x 在 D 内的极值点.33． （2012 年高考（福建文） 已知函数 f ( x ) ? a x s in x ? ）? ?32 3 2 ( a ? R ), 且在 [ 0 ,?2] 上的最大值为,(1)求函数 f ( x ) 的解析式;第 30 页(2)判断函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明.34． （2012 年高考（大纲文） 已知函数 f ( x ) ? ）1 3x ? x ? ax .3 2(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x 2 , f ( x 2 )) 的直线 l 与 x 轴的交 点在曲线 y ? f ( x ) 上,求 a 的值.35． （2012 年高考（北京文） 已知函数 f ( x ) ? a x ? 1 ( a ? 0 ), g ( x ) ? x ? b x . ）23(1)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a , b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ? 9 时,求函数 f ( x ) ? g ( x ) 在区间 [ k , 2 ] 上的最大值为 28,求 k 的取值范 围.36． （2012 年高考（安徽文） 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x ) ? a x ? ）1 ax? b (a ? 0)(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?3 2 x ,求 a , b 的值.37． （2012 年高考（天津理） 已知函数 f ( x )= x ? ln ( x + a ) 的最小值为 0 ,其中 a & 0 . ）(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+ ? ) ,有 f ( x ) ? kx 成立,求实数 k 的最小值;2第 31 页(Ⅲ)证明 ?i =1n2 2i ? 1? ln (2 n +1)& 2 ( n ? N ) .*x ?1 ? f (0 ) x ? 38． （2012 年高考（新课标理） 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x ) ? f ? (1) e ）1 22(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x ) ?1 2 x ? a x ? b ,求 ( a ? 1) b 的最大值.2A39 ．（ 2012 年 高 考 （ 浙 江 理 ）） 已 知 a&0,b ? R, 函 数f? x?? 4 ax ? 2bx ? a ? b3.GE DF(Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, ()函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|a;B()fC? x ? +|2a-b|a≥0;(Ⅱ) 若1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.40． （2012 年高考（重庆理） (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分.) ）设 f ( x ) ? a ln x ?y 轴.1 2x?3 2x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值.41． （2012 年高考（陕西理） 设函数 f n ( x ) ? x ? b x ? c ）n(n ? N ? , b, c ? R )第 32 页(1)设 n ? 2 , b ? 1,?1 ? c ? ? 1 ,证明: f n ( x ) 在区间 ? ,1 ? 内存在唯一的零点; ?2 ?(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 x n 是 f n ( x ) 在 ??1 ? ,1 ? 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , ? , x n ? 的增减性. ?2 ?42． （2012 年高考（山东理） 已知函数 f ( x ) ? ）ln x ? k ex( k 为常数, e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? 是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x ) ? ( x ? x ) f '( x ) , 其 中 f ' (x )为 f ( x ) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意2x ? 0, g ( x ) ? 1 ? e?2.43． （2012 年高考（辽宁理） 设 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? ）y ? f (x) 与x ? 1 ? a x ? b ( a , b ? R , a , b 为 常 数 ) ,曲线直线 y ?3 2x 在(0,0)点相切.(Ⅰ)求 a , b 的值. (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?9x x?6.44． （2012 年高考（江苏） 若函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处取得极大值或极小值,则称 x 0 为函数 ）y ? f ( x ) 的极值点.已知 a， b 是实数,1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x 的两个极值点.[来源:学科网] (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ? ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点;第 33 页(3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [ ? 2 ，2 ] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.45． （2012 年高考（湖南理） 已知函数 f ( x ) = ? e ）ax? x ,其中 a≠0.(1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A ( x1 , f ( x1 )) , B ( x 2 , f ( x 2 )) ( x1 ? x 2 ) ,记直线AB的斜 率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使 f ? ( x 0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的取值范围;若不存在, 请说明理由.46． （2012 年高考（湖北理） (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ? rx ? x r ? (1 ? r ) ( x ? 0 ) ,其中 r 为有理数,且 ）0 ? r ?1. 求f (x)的最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题: 设 a1? 0, a 2 ? 0, b1 ,b2为正有理数. 若 b1? b 2 ? 1 ,则 a1 1 a 2bb2? a1 b1 ? a 2 b 2 ;(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. ．．．．． 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x ? ) ? ? ? x ? ? 1 .47 ． （ 2012A?年 高 考 （ 广 东 理 ）） ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ? 1 , 集 合R 0? x??x?, B ? ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6 a ? 0? , D ? A ? B .(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x 3 ? 3 ? 1 ? a ? x 2 ? 6 a x 在 D 内的极值点.第 34 页48． （2012 年高考（福建理） 已知函数 f ( x ) ? e ? a x ? ex ( a ? R ) . ）x 2(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x ) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P .49． （2012 年高考（大纲理） (注意:在试题卷上作答无效) ） ．．．．．．．．．设函数 f ( x ) ? a x ? co s x , x ? [0, ? ] . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 f ( x ) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围.50． （2012 年高考（北京理） 已知函数 f ( x ) ? a x ? 1 ( a ? 0 ), g ( x ) ? x ? b x . ）23(1)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a , b 的值; (2)当 a ? 4 b 时,求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,并求其在区间 ( ? ? , ? 1] 上的最大值.2第 35 页51． （2012 年高考（安徽理） (本小题满分 13 分)设 f ( x ) ? a e ? ）x1 aex? b (a ? 0)(I)求 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 的切线方程为 y ?3 2求 a , b 的值.第 36 页2012 年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案 一、选择题 1.【答案】:C 【 解 析 】 : 由 函 数 f ( x ) 在 x ? ? 2 处 取 得 极 小 值 可 知 x ? ? 2 , f ?( x ) ? 0 , 则xf ? ( x ) ? 0 ; x ? ? 2 , f ? ( x ) ? 0 则 ? 2 ? x ? 0 时 xf ? ( x ) ? 0 , x ? 0 时 xf ? ( x ) ? 0【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函 数的单调性. 【解析】若e ? 2 a ? e ? 3ba b,必有e ? 2 a ? e ? 2ba b.构造函数:f? x?? e ? 2xx,则x f ?? x? ? e ? 2 ? 0恒成立,故有函数 f ? x ?? e ? 2xx在 x&0 上单调递增,即 a&b 成立.其余选项用同样方法排除.3.解析: f ? ( x ) ?x?2 x2,令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? 2 , x & 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ?1 x1 x? ln x 为减函数; x & 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ?? ln x 为增函数,所以 x ? 2 为 f ( x ) 的极小值点,选 D.4.解析:设 F ( x ) ? 点x1 , x 2x ? bx ? 13 2,则方程 F ( x ) ? 或x ? 2 3 b0与f (x) ? g (x)同解,故其有且仅有两个不同零F (0 ) ? 0.由F ?( x ) ? 0得2 3x ? 0. 这样 ,必须且 只须3 233或F(x2 ? 1 2 2 332 3b) ? 0,因为 .所以F ( 0 )? 1, 故 必 有 F (b )? 0由 此 得 b ?2.不妨设 ,故 x1? ?x1 ? x 2,则b ?32F ( x ) ? ( x ? 1x ) ( x?y1 ? y 2 ? 1 x1 ? 1 x2 ?32 ,比较系数得 ? x1 )24 ?11 232. x1? xy ? 22 ? 0,由此知x1 ? x 2 x1 x 2? 0,故答案应选 B.y ?? ? ? x ? b另解:令 f ( x ) ? g ( x ) 可得 设 y? ?1 x21 x2? ?x ? b .x, y ?? ? ? x ? bx1x2不妨设 x 1 ? x 2 ,结合图形可知, x 1 ? x 2 , 即 0 ? ? x 1 ? x 2 ,此时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 2 ?5.1 x2 ? ? 1 x1 ? ? y 1 ,即 y 1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B.【答案】B 【解析】? y ? 故选 B1 2 x ? ln x ,? y ? ? x ?21 x,由 y ?≤ 0， 解 得 - 1 ≤ x ≤ 1 , 又 x ? 0 ,? 0 ? x ≤ 1 ,第 37 页【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 6. C 【解析】 如图,不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块 阴影部分的面积分别为 S3,S4, 则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB= ? ( 2 a ) ? ? a ①,2 214而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆,即 S1+S3 +S2+S3 ? ? a ②.2①-②得S3=S4,由1 2图?a ?a2可2知S3= ( S 扇 形 E O D ? S 扇 形 C O D ) ? S 正 方 形 O E D C ?S阴 影 ? ? a ? 2 a .2 2,所以.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=S阴 影 S 扇 形 OAB ?? a ? 2a22?a2? 1?2?.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面 积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型 在实际生活中的应用. 7. 【答案】C 【解析】? f (0 ) ? ? a b c , f (1) ? 4 ? a b c , f (3) ? 2 7 ? 5 4 ? 2 7 ? a b c ? ? a b c ? f (0 ) , 又 f ? ( x ) ? 3( x ? 1)( x ? 3) ,所以 f ( x ) 在 ( ? ? ,1) 和 (3, ? ? ) 上单调增加,在 (1, 3) 上单调递 减,故 a ? 1 ? b ? 3 ? c ,? f (0 ) f (1) ? 0, f (0 ) f (3) ? 0 【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然 的思想. 8. 【解析】选 Bg ( x ) ? ln (1 ? x ) ? x ? g ? ( x ) ? ? x 1? x? g ?( x ) ? 0 ? ? 1 ? x ? 0 , g ?( x ) ? 0 ? x ? 0 ? g ( x ) ? g ( 0 ) ? 0得: x ? 0 或 ? 1 ? x ? 0 均有 f ( x ) ? 09.排除 A , C , D【答案】A 【解析】若2 ? 2 a ? 2 ? 3ba b,必有2 ? 2a ?a2?bb2.构造函数:f? x?? 2 ? 2xx,则x f ? ? x ? ? 2 ? ln 2 ? 2 ? 0恒成立,故有函数 f ? x ?? 2 ? 2xx在 x&0 上单调递增,即 a&b 成立.其余选项用同样方法排除.10.【答案】D第 38 页【解析】 x ? ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增;? 2 ? x ? 1,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减; 1 ? x ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减; x ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于 0,则函数为增,当 导函数小于 0 则函数递减.11.x x 解析: f ? ( x ) ? ( x ? 1) e ,令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? ? 1 , x & - 1 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ? xe 为x 减函数; x & - 1 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ? xe 为增函数,所以 x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点,选D.12.x 3 【解析】若函数 f ( x ) ? a 在 R 上为减函数,则有 0 ? a ? 1 .函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 为增x 函数,则有 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以“函数 f ( x ) ? a 在 R 上为减函数”是“函数g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 为增函数”的充分不必要条件,选 A.313.考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得:S ?y ? f (x) ? ? x ? 12,再由定积分的几何意义,可求得面积为?1 ?1( ? x ? 1)d x ? ( ?21 3x ? x ) ?1 ?3 14 3.14.【答案】C 【解析】? S 阴 影 ??1(0x ? x)dx ? (2 33x2 ?1 21 x ) 02?1 6S 正 ? 1 ,故 P ?1 6,答案 C【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 15. 答案 A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与 x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】 因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者2 极小值为零即可满足要求.而 f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? )( x ? 1) ,当 x ? ? 1 时取得极值由 f (1) ? 0 或 f ( ? 1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ? 2 .二、填空题 16.[解析] 如图 1, f ( x ) ? ??2 x, ? 2 ? 2 x,0? x ?1 21 2? x ?1,1 A (O)y B C 1 图1 P x Oy M N D 1 图2 第 39 页 x所以 y ? xf ( x ) ? ?? 2x2,20 ? x ?1 21 2?? 2 x ? 2 x,? x ?1,易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MND 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 217.1 2?1 4.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】∵ y ? ? 3 ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 .0 ? x ? 1 ?10 x , 5 2 [解析]如图 1, f ( x ) ? ? , 1 ? 10 ? 10 x , 2 ? x ? 1? 10 x 2 , 0 ? x ? 1 2 所以 y ? xf ( x ) ? ? , 2 ? 10 x ? 10 x , 1 ? x ? 1 2 ?A y B 5 P C 1 图1 x M y18.N O D 1 图2x易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MNO 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 25 2?5 4.[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少 的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.19. 【解析】由已知得 S ?2 3?ax ?2 330x 2 |0 ?a2 33 21a 2 ? a ,所以 a 2 ?2 3,所以 a ?4 9.20.【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.1 3? x ? 1 2 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 ? ? 1 ( x ? sin x ) d x ? ? 3 ? c o s x ? | ? 1 ? ? 3 ? c o s 1 ? ? ? 3 ? c o s 1 ? ? 3 ? 3 ? 3 . ? ? ? ? ? ?x3【点评】 这里,许多学生容易把原函数写成? c o s x ,主要是把三角函数的导数公式记混3而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面 积等.2 21. 解 析 : 2 x ? y ? 1 ? 0 . y ? | x ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? , 即2x ? y ?1 ? 0 .三、解答题 22. 【答案】:(Ⅰ)13 27(Ⅱ)4 273 2 【解析】::(Ⅰ)因 f ( x ) ? a x ? b x ? c 故 f ? ( x ) ? 3 a x ? b由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取得极值第 40 页故有 ??f ?( 2 ) ? 0? f (2) ? c ? 16即??12a ? b ? 0?8a ? 2b ? c ? c ? 16,化简得 ??12a ? b ? 0 ?4a ? b ? ?8解得 ?? a ?1 ?b ? ?12(Ⅱ)由(Ⅰ)知3 2 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? c , f ?( x ) ? 3 x ? 1 2令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? ? 2, x 2 ? 2 当 x ? ( ? ? , ? 2 ) 时, f ? ( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 2 ) 上为 增函数; 当 x ? ( ? 2, 2 ) 时, f ? ( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ? 2 , 2 ) 上为减函数 当 x ? ( 2, ? ? ) 时 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ( 2, ? ? ) 上为增函数. 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ? 2 处取得极大值 f ( ? 2 ) ? 1 6 ? c , f ( x ) 在 x 2 ? 2 处取得极小 值f (?f (2) ? c ? 16由?题f2设1条件知16 ? c ? 28得c ? 12此时3 ?)c9 ?, ? , ?f ( 2 ) ? c ? 1 69? ? 4 因此 f ( x ) (c 3 ) ? ? 3上 [ ? 3, 3] 的最小值为 f ( 2 ) ? ? 4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先 对函数 f ( x ) 进行求导,根据 f ? ( 2 ) ? 0 =0, f ( 2 ) ? c ? 1 6 ,求出 a,b 的值.(1)根据函数f ( x ) =x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1 先求出函数中的参数 a,b 的值,再令导数等于 0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有 极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大 小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数 的最小值. 23.【命题意图】 本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间, 并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.2 【解析】(1)由题意得 f ? ( x ) ? 1 2 x ? 2 a ,当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? ? , ? ? ? .a 6? ?? ? a 6 a ? ?. 6 ?3 3当 a ? 0 时 , f ?( x ) ? 1 2 ( x ?)( x ?a 6) , 此 时 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为,(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x ) ? a ? 2 ? 4 x ? 2 a x ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 . 当 a ? 2 时, f ( x ) ? a ? 2 ? 4 x ? 2 a (1 ? x ) ? 2 ? 4 x ? 4 (1 ? x ) ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 .3 3 3第 41 页3 设 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ,则 g ? ( x ) ? 6 x ? 2 ? 6 ( x ?23 3)( x ?3 3).则有x0? 3 ? ? 0, ? ? 3 ? ? ?3 3? 3 ? ,1 ? ? ? 3 ? ? ?1g ?( x )g (x)1 减0 极小值+ 增 1所以 g ( x ) m in ? g (33 3) ?1?4 3 9? 0.当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . 故 f (x) ? a ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 ? 0 .32 24.解:(1) f ? ( x ) ? x ? (1 ? a ) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) ,由 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? ? 1, x 2 ? a ? 0第 42 页第 43 页25.第 44 页1? ln x ? k ex26.解:(I)x f ?( x ) ?,由已知,1 ? ln x ? 1 exf ? (1) ?1? k e? 0,∴ k?1.(II)由(I)知, 设 k (x) ?1 xx f ?( x ) ?.? ? 1 x2? ln x ? 1,则 k ? ( x )?1 x? 0,即 k ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数,由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ? ( x ) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ? ( x ) ? 0 . 综上可知, f ( x ) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ? ? ) . (III)证明:由(II)可知,当 x0 ? x ? 1 时成立.?1时, g ( x ) ?xf ? ( x )≤0&1+ e ? 2 ,故只需证明 g ( x ) ?1? e?2在当0 ?x ? 1 时, ex&1,且 g ( x ) ?0,∴ g ( x ) ?1 ? x ln x ? x ex? 1 ? x ln x ? x.设 F (x) ? 1 ?x ln x ? x, x ? (0 ,1) ,则 F ? ( x ) ?0? (ln x ? 2 ),当 x ? (0, e ? 2 ) 时, F ? ( x ) ? 所以当 x?e?2,当 x ? (e ? 2 ,1) 时, F ? ( x ) ? 0 ,时, F ( x ) 取得最大值 F ( e ? 2 ) ? 1 ? e ? 2 .?2所以 g ( x ) ?F (x) ? 1 ? e.e?2综上,对任意 x? 0, g (x) ? 1 ?.另证:因为 g ( x ) ? x f ? ( x ) ?1 ex(1 ? x ? x ln x ), ( x ? 0 ) ,?2设 h ( x ) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ,令 h ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 , x ? e 当 x ? (0, e?2,) 时 h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增;当 x ? ( e?2?2, ?? ) 时 h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减.所以当 x ? 0 时, h ( x ) ? h ( e 而当 x ? 0 时 0 ?1 ex) ?1? e?2,?1, 1 ex所以当 x ? 0 时 g ( x ) ?27. 【答案与解析】(1 ? x ? x ln x ) ? 1 ? e?2,综上可知结论成立.第 45 页第 46 页【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式, 考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大.x 28. (Ⅰ) 解: f ? x ? 的定义域为 R , f ? ? x ? ? e ?若 a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 R 总是增函数 若 a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,求得 x ? ln a ,所以 f ? x ? 的单增区间是 ? ln a , ? ? ? ; 令 f ? ? x ? ? 0 , 求得 x ? ln a ,所以 f ? x ? 的单减区间是 ? ? ? , ln a ??a ? 1 ? f ?? x ? ? exx 代入 ? x ? k ? f ? ? x ? ? x ? 1 ? 0 得: ? x ? k ??e ? 1 ? ? x ? 1 ? 0 ,(Ⅱ) 把 ?? a因为 x ? 0 ,所以 e ? 1 ? 0 ,所以: ? x ? k ??e ? 1 ? ? ? x ? 1 , x ? k ?xx? x ?1 ex?1,k ? x ?x ?1 ex?1,所以: k ?x ?1 ex?1? x( x ? 0 ) ? (*)令 g ?x ? ?x ?1 ex?1? x , 则 g ?? x ? ?ex?e ?ex? x?2 ?1?x?2, 由 (Ⅰ) 知 : h ? x ? ? ?e ? x ? 2 ? 在x第 47 页?0, ? ??? h ?1 ? ? 0 ? h ?2 ? ? 0单调递增,而 ?,所以 h ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上存在唯一零点 ? ,且 ? ? ?1 , 2 ? ; , 当 x ? ?0 , ? ? 时 , g ?? x ? ? 0 , 当故 g ?? x ? 在 ?0 , ? ? ? 上 也 存 在 唯 一 零 点 且 为 ?x ? ?? , ? ? ? 时 , g ? ? x ? ? 0 , 所 以 在 ? 0 , ? ? ? 上 , g ? x ? min ? g ??? ;由g ? ?? ? ? 0得: e?? ? ? 2 ,所以 g ?? ? ? ? ? 1 ,所以 g ?? ? ? ? 2 , 3 ? ,由于(*)式等价于 k ? g ?? ? ,所以整数的最大值为 229.【 解 析 】 (1) 由f ( x ) ? [ a x ? ( a ? 1) x ? 1] e2 xf (0 ) ? c ? 12,f (1) ? 0 ?xc ? 1, a ? b ? ? 1, 则, f '( x ) ? ( a x ? ( a ? 1) x ? a ) e,依题意须对于任意2 x ? (0 ,1) ,有 f ? ( x ) ? 0 ,当 a ? 0 时,因为二次函数 y ? a x ? ( a ? 1) x ? a 的图像开口向上,而 f ? (0 ) ? ? a ? 0 ,所以须 f ? (1) ? ( a ? 1) e ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,当 a ? 1 时,对任意 x ? ( 0 ,1) , 有x?(2 x f ? ( x ) ? ( x ? 1) e ? 0,符合条件;当a ? 0时,对任意x x ) 0 , ,f ? (1 ) ? ? xe ? 0 , f ( x ) 符合要求,当 a ? 0 时,因 f ? (0 ) ? a ? 0 , f ( x ) 不符合条件,故 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 . (2)因 g ( x ) ? ( ? 2 a x ? 1) e , g ?( x ) ? ( ? 2 a x ? 1 ? a ) ex x x当 a ? 0 时, g ? ( x ) ? e ? 0 , g ( x ) 在 x ? 0 上取得最小值 g (0 ) ? 1 ,在 x ? 1 上取得最大值g (1) ?当 a ? 1 时 , 对 于 任 意 x ? ( 0 , 1 ), 有 g ? ( x ) ? ? 2 xe ? 0 , g ( x ) 在 x ? 0 上 取 得 最 大 值xg ( 0 ) ? 2,在 x ? 1 上取得最小值 g (1) ? 0 ;当 0 ? a ? 1 时,由 g ? ( x ) ? 0 ? x ?1? a 2a? 0 ,第 48 页x 30. 【解析】解: f ? ( x ) ? e ? a , 令 f ? ( x ) ? 0 得 x ? ln a .当 x ? ln a 时 f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 单 调递减;当 x ? ln a 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 ,故当x ? ln a 时, f ( x ) 取最小值 f (ln a ) ? a ? a ln a .于是对一切 x ? R , f ( x ) ? 1 恒成立,当且仅当a ? a ln a ? 1 .①令 g ( t ) ? t ? t ln t , 则 g ? ( t ) ? ? ln t . 当 0 ? t ? 1 时, g ? ( t ) ? 0 , g ( t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ? ( t ) ? 0 , g ( t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g ( t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ex2?ex2?ex1x 2 ? x1? a.x 令 ? ( x ) ? f ?( x ) ? k ? e ??ex1x 2 ? x1,则? ( x1 ) ? ??e x 2 ? x1 ? ex2ex1x 2 ? x1? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? , ?? ( x2 ) ??e x 2 ? x1 ?tx1 ? x 2? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? . ?令 F ( t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ? ( t ) ? e ? 1 .t第 49 页当 t ? 0 时, F ? ( t ) ? 0, F ( t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ? ( t ) ? 0, F ( t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F ( t ) ? F (0 ) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0 .t从而 ex 2 ? x1? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , ex1 ? x 2? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0, 又ex1x 2 ? x1? 0,ex2x 2 ? x1? 0,所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x 2 ) ? 0 . 因为函数 y ? ? ( x ) 在区间 ? x1 , x 2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 ? ( x 0 ) ? 0 , 即 f ? ( x 0 ) ? k 成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能 力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最 小值 f (ln a ) ? a ? a ln a . 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x ) m in ? 1 从而得出求 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在 解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.31. 【解析】(1)因为 f (1) ? b ,由点 (1, b ) 在 x ? y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1 ? b ? 0n ?1 n 因为 f ? ( x ) ? a x ? a ( n ? 1) x ,所以 f ? (1) ? ? a又因为切线 x ? y ? 1 的斜率为 ? 1 ,所以 ? a ? ? 1 ? a ? 1 ,所以 a ? 1, b ? 0 (2)由(1)可知, f ( x ) ? x (1 ? x ) ? x ? xn n n ?1 n ?1 , f ? ( x ) ? ( n ? 1) x (n n ?1? x) n令 f ?( x ) ? 0 ? x ? 在 (0 , 递减,n n ?1n n ?1,即 f ? ( x ) 在 (0, ? ? ) 上有唯一的零点 x 0 ?n n ?1n ?1.) 上, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 单调递增;而在 (, ? ? ) 上, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调故 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 的最大值为 f (1 tn n ?1)? (1 tn n ?1?) (1 ?nn n ?1)?nn n ?1( n ? 1).(3)令 ? ( t ) ? ln t ? 1 ? ( t ? 0 ) ,则 ? ? ( t ) ?1 t ?1 t2t2(t ? 0 )在 (0 ,1) 上, ? ? ( t ) ? 0 ,故 ? ( t ) 单调递减,而在 (1, ? ? ) 上, ? ? ( t ) ? 0 , ? ( t ) 单调递增, 故 ? ( t ) 在 (0, ? ? ) 上的最小值为 ? (1) ? 0 ,所以 ? ( t ) ? 0 ( t ? 1) 即 ln t ? 1 ? ( t ? 1) ,令 t ? 1 ?t 1 1 n,得 lnn ?1 n?1 n ?1,即 ln (n ?1 n)n ?1? ln e第 50 页所以 (n ?1 n)n ?1? e ,即nn n ?1( n ? 1)?1 ne由(2)知, f ( x ) ?nn n ?1( n ? 1)?1 ne,故所证不等式成立.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数 的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求 解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数 的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值 等;另外,要注意含有 e , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查.32.解析:(Ⅰ)考虑不等式 2 x 2 ? 3 ? 1 ? a ? x ? 6 a ? 0 的解.x因为 ? ? ? ? 3 ? 1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? 6 a ? 3 ? a ? 3 ? ? 3 a ? 1 ? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况: ? ? ①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0 , ? ? ? .3 12②当 a ? ③当 a ?1 3 1 3时, ? ? 0 ,此时 B ? ? x x ? 1? , D ? ? 0,1 ? ? ? 1, ? ? ? . 时 , ? ? 0 , 此时 2 x 2 ? 3 ? 1 ? a ? x ? 6 a ? 0有 两根 ,设 为 x 1 、 x 2 , 且 x1 ? x 2 , 则3 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4x1 ?3 ?1 ? a ? ?, x2 ?,于是B ? ? x x ? x1 或 x ? x 2 ?.3 2当 0?a?1 3时 , x1 ? x 2 ??1 ? a ? ?0, x 1 x 2 ? 3 a ? 0 , 所 以 x 2 ? x1 ? 0 , 此 时D ? ? 0, x1 ? ? ? x 2 , ? ? ? ;当 a ? 0时, x1 x 2 ? 3 a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x 2 ? 0 ,此时 D ? ? x 2 , ? ? ? .1 3综上所述,当 时 ,1 3? a ?1时, D ? A ? ? 0 , ? ? ? ;当 a ? ; 当a ?0时, D ? ? 0,1 ? ? ? 1, ? ? ? ;当 0 ? a ? ,D ? ? x2 , ? ? ?1 3D ? ? 0, x1 ? ? ? x 2 , ? ? ??时.其中x1 ?3? ?1 ? a?4a3 ? ? ??3 a, x2 ?? 3 ?1 ? a ? ? 3 13 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4.(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ? 1 ? a ? x ? 6 a , 令 f ? ? x ? ? 0 可 得 ? x ? a ? ? x ? 1 ? ? 0 . 因 为 a ? 1 , 所 以f ?? x ? ? 0有两根 m 1 ? a 和 m 2 ? 1 ,且 m 1 ? m 2 . 时, D ? A ? ? 0 , ? ? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m 1 ? a 和 m 2 ? 1 ,列表可①当1 3? a ?1第 51 页得xf ?? x ?? 0, a ?+ 递增a? a ,1 ?递减1 0 极大值? 1, ? ? ?+ 递增0 极小值f?x?所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?1 3时, D ? ? 0,1 ? ? ? 1, ? ? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m 1 ? a ?? 1? ? 0, ? ? 3?1 3,列表可得x1 3?1 ? ? ,1 ? ?3 ?? 1, ? ? ?+ 递增f ?? x ?+ 递增0 极小值递减f?x?所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?f ?? x ? ? 01 3时, D ? ? 0, x1 ? ? ? x 2 , ? ? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x 2 (可用分析法证明),于是在 D 内只有一根 m 1 ? a ,列表可得xf ?? x ?? 0, a ?+ 递增a? a , x1 ?递减? x2 , ? ? ?+ 递增0 极小值f?x?所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ④当 a ? 0 时, D ? ? x 2 , ? ? ? ,此时 x 2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有极 值点. 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点当 0 ? a ?3 1 1 3时, f ? x ? 在D内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.33. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:? f ? ( x ) ? a (sin x ? x c o s x ), x ? (0 ,?2 ), ? sin x ? x c o s x ? 0第 52 页当 a ? 0 时, f ( x ) ? ?3 2不合题意;3 2 a? 3 2 ?当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减, [ f ( x )] m a x ? f (0 ) ? ? 当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增, [ f ( x )] m a x ? f (? a ? 1 ,所以综上 f ( x ) ? x s in x ?,不合题意;? ?32?2)??23 2(2) f ( x ) 在 (0, ? ) 上有两个零点.证明如下: 由(1)知 f ( x ) ? x s in x ? ∴ f ( x ) 在[0 ,?2 3 2, f (0 ) ? ?3 2? 0, f (?2)?? ?32? 0?2] 上至少有一个零点,又由(1)知 f ( x ) 在 [ 0 ,?2] 上单调递增,故在 [ 0 ,] 上只有一个零点,当 x ??? ? ， ? 时,令 g ( x ) ? f ? ( x ) ? sin x ? x co s x , ?2 ? ? ? ?? ? ?? ? ， ? 上连续,∴ m ? ， ? , g (m ) ? 0 ?2 ? ?2 ? ? ? ? ?（ g?2）? 1 ? 0， g ? ) ? ? ? ? 0 , g ( x ) 在 （g x ) ? 2 co s x - x sin x ? 0 ,∴ g ( x ) 在 （'?? ? ?? ? ， ? 上递减,当 x ? ， m 时, ?2 ? ?2 ? ? ? ? ?g ( x) ? g (m ) ? 0 ,f（ x ) ? 0 , f ( x ) 递增,∴当 m ? ('?2, m ) 时, f ( x ) ? f (?2)?? ?32? 0∴ f ( x ) 在 ( m , ? ) 上递增,∵ f ( m ) ? 0, f (? ) ? 0 ∴ f ( x ) 在 ( m , ? ) 上只有一个零点,综上 f ( x ) 在 (0, ? ) 上有两个零点.34. 【命题意图】 本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.2 解:(1)依题意可得 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a2 当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,故 f ? ( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 R上单调递增; 当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时,2 f ?( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0有两个相异实根x1 ??2 ?4 ? 4a 2? ?1 ?1 ? a , x2 ? ? 1 ?1 ? a 且 x1 ? x 2第 53 页2 ? 故 由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 ?x ? ( ? ? ,? 1?a 1) 或 x ? (?1 ? 1 ? a , ?? ) , 此 时f ( x ) 单调递增2 由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 ? ? 1 ? 1 ? a ? x ? ? 1 ? 1 ? a ,此时此时 f ( x ) 单调递增递减 综上可知 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 R 上单调递增;当 a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? ( ? ? , ? 1 ? 1 ? a ) 上单调递增, 在 x ? ( ? 1 ? 1 ? a , ? ? ) 单调递增,在 ( ? 1 ? 1 ? a , ? 1 ? 1 ? a ) 单调递减. (2)由题设知, x1 , x 2 为方程 f ? ( x ) ? 0 的两个根,故有a ? 1, x1 ? ? 2 x1 ? a , x 2 ? ? 2 x 2 ? a2 2因f(1此? 1 3 2 3 a 3 ( a ? 1) x ? a 33x )1?2a1 3同理 f ( x 2 ) ?( a ? 1) x 2 ? 2 3因此直线 l 的方程为 y ?设 l 与 x 轴的交点为 ( x 0 , 0 ) ,得 x 0 ?a 2 ( a ? 1)而 f ( x0 ) ?13 2 ( a ? 1)(a) ?(3a 2 ( a ? 1)) ?2a22 ( a ? 1)?a2 32 4 ( a ? 1)(1 2 a ? 1 7 a ? 6 )2由题设知,点 ( x 0 , 0 ) 在曲线 y ? f ( x ) 的上,故 f ( x 0 ) ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 所以所求 a 的值为 a ? 0 或 a ?2 32 3或a ?3 4或a ?3 4.【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有 难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间. 第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值. 35. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值 以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够 发现 F ( ? 3) ? 2 8 和分析出区间 [ k , 2 ] 包含极大值点 x1 ? ? 3 ,比较重要. 解 :(1)f ?( x ) ? 2 a x,g ?( x ) = 3 x ? b2? 1 ， c ? 处具有公共切线,所以a ? 3 ,b ? 3.因为曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 f (1 ) ? g (1 ), f ? (1) ? g ? (1) .即 a ? 1 ? 1 ? b 且 2 a ? 3 ? b .解得(2)记 h ( x ) ?f (x) ? g ( x)第 54 页当 a ? 3, b ? ? 9 时, h ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 1 , h ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 令 h ? ( x ) ? 0 ,解得: x1 ? ? 3 , x 2 ? 1 ;3 2 2h ( x ) 与 h ? ( x ) 在 ( ? ? , 2 ] 上的情况如下:xh(x)h ?( x )( ? ? , ? 3)?3( ? 3,1)1 0 -4(1,2) +?2 3+?0 28―?由此可知: 当 k ? ? 3 时,函数 h ( x ) 在区间 [ k , 2 ] 上的最大值为 h ( ? 3) ? 2 8 ; 当 ? 3 ? k ? 2 时,函数 h ( x ) 在区间 [ k , 2 ] 上的最大值小于 28. 因此, k 的取值范围是 ( ? ? , ? 3]1 ax 1 ax36. 【解析】(I) f ( x ) ? a x ?1 a?b ? 2ax??b ?b?2当且仅当 a x ? 1( x ?) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 3 2 ? a? 1 a 1 a ? 3 2 ?b ? 3 2(II)由题意得: f (1) ?f ?( x ) ? a ? 1 ax2① ②? f ? (1) ? a ?由①②得: a ? 2, b ? ? 137. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1) f ( x ) 的定义域为 ( ? a , ? ? )f ( x ) ? x ? ln ( x ? a ) ? f ? ( x ) ? 1 ?1 x?a?x ? a ?1 x?a? 0 ? x ? 1? a ? ?af ?( x ) ? 0 ? x ? 1 ? a , f ?( x ) ? 0 ? ? a ? x ? 1 ? a得： x ? 1 ? a 时， f ( x ) m in ? f (1 ? a ) ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 （2）设 g ( x ) ? kx ? f ( x ) ? kx ? x ? ln ( x ? 1)( x ? 0 )2 2则 g ( x ) ? 0 在 x ? [0,+ ? ) 上恒成立 ? g ( x ) m in ? 0 ? g (0 ) （*）g (1) ? k ? 1 ? ln 2 ? 0 ? k ? 0g ?( x ) ? 2 k x ? 1 ?1 x ?1 1 2?x ( 2 k x ? 2 k ? 1) x ?1 1 ? 2k 2k ? x 0 ? g ( x 0 ) ? g (0 ) ? 0 与（*）①当 2 k ? 1 ? 0 ( k ?) 时， g ? ( x ) ? 0 ? 0 ? x ?第 55 页矛盾 ②当 k ?1 2时， g ? ( x ) ? 0 ? g ( x ) m in ? g (0 ) ? 0 符合（*）1 2得：实数 k 的最小值为(lfxlby)1 2 x 对任意的 x ? 0 值恒成立2（3）由（2）得： x ? ln ( x ? 1) ?2 2i ? 1取x ?( i ? 1, 2 , 3, ? , n ) ：2 2i ? 1n? [ln ( 2 i ? 1) ? ln ( 2 i ? 1)] ?2 ( 2 i ? 1)2当 n ? 1 时， 2 ? ln 3 ? 2 得： ?i =12 2i ? 1? ln (2 n +1)& 2（lb ylfx）当 i ? 2 时，2 ( 2 i ? 1)2?1 2i ? 3?1 2i ? 11 2n ? 1得： ? [i ?1n2 2i ? 1? ln ( 2 i ? 1) ? ln ( 2 i ? 1)] ? 2 ? ln 3 ? 1 ?? 2【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没 有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做 到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.x ?1 38. 【解析】(1) f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) x ?1 22 x ?1 x ? f ? ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) ? x令 x ? 1 得: f (0 ) ? 1x ?1 f ( x ) ? f ? (1) e ? x?1 22 ?1 x ? f (0 ) ? f ? (1) e ? 1 ? f ? (1) ? e得: f ( x ) ? e ? x ?x1 22 x x ? g ( x ) ? f ?( x ) ? e ? 1 ? xg ? ( x ) ? e ? 1 ? 0 ? y ? g ( x ) 在 x ? R 上单调递增xf ? ( x ) ? 0 ? f ? (0 ) ? x ? 0, f ? ( x ) ? 0 ? f ?(0 ) ? x ? 0得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?x1 2x2且单调递增区间为 (0, ? ? ) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) (2) f ( x ) ?1 2 x ? a x ? b ? h ( x ) ? e ? ( a ? 1) x ? b ? 0 得 h ? ( x ) ? e ? ( a ? 1)2 xx①当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? y ? h ( x ) 在 x ? R 上单调递增x ? ? ? 时, h ( x ) ? ? ? 与 h ( x ) ? 0 矛盾第 56 页②当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? x ? ln ( a ? 1), h ?( x ) ? 0 ? x ? ln ( a ? 1) [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 得:当 x ? ln ( a ? 1) 时, h ( x ) m in ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1) ? b ? 0( a ? 1) b ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1)( a ? 1 ? 0 )2 2令 F ( x ) ? x ? x ln x ( x ? 0 ) ;则 F ? ( x ) ? x (1 ? 2 ln x )2 2F ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ?e , F ?( x ) ? 0 ? x ?e当x ? 当a ?e 时, F ( x ) m a x ?e ? 1, b ?e 2 e 2e 时, ( a ? 1) b 的最大值为39. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ) ()2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b. &0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|a;当 b≤0 时,2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b此时 f ? x ? 的最大值为: f ? 1 ? 当 b&0 时,2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b? 4 a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,此时 f ? x ? 的最大值为:f m ax? x?? b ? a， b ? 2 a ? m a x { f (0 )， （1） ? m a x { ( b ? a )， ( 3 a ? b )} ? ? f } b ? 3 a ? b， ? 2 a=|2a-b|a;综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|a; () 要证 f ? x ? +|2a-b|a≥0,即证 g ? x ? = f ? x ? ≤|2a-b|a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ∵ g ? x?? ? 4 ax ? 2bx ? a ? b3,∴令 g ? ? x ?? ? 12 ax ? 2b ? 02?x ?b 6a.当 b≤0 时, g ? ? x ?? ? 12 ax ? 2b2&0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|a;此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? 当 b&0 时, g ? ? x ?2? a ? b ? 3a ? b? ? 12 ax ? 2b在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,第 57 页g m ax? x?? m ax{ g (b 6a)， g 1） （ }? m ax {4 3bb 6a? a ? b， b ? 2 a }?4 b b ? a ? b， ? 6 a ? b ? ?3 6a b ? 6a ? ? b ? 2 a，≤|2a-b|a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即 f ? x ? +|2a-b|a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比(|2a-b|a)要大. ∵1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ??b ? 2a ?b ? a ? 1和??b ? 2a ? 3a ? b ? 1,目标函数为 z=a+b.作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 z m ax3 ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ? 1， ? .? 3, z m in? ?1.3 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ? ? 1， ? .40. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某