大学基础题：单调有界数列必有极限极限概念求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-06 06:44 标签： 单调有界数列必有极限
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数列极限习题解答
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　Q:公式中经常看到有用 IF({1,0}……之类的用法,到底是什么意思呢? A:这个是利用常量数组作为 IF 函数的第 1 个参数,实现构建新的 2 列数组的用法,简单地... 　? 的地得,不一样,用法分别记心上, 左边白,右边勺,名词跟在后面跑。 左边土,右边也,地字站在动词前, 左边两人就使得,形容词前要用得。 左边白,右边勺:... 　导语:你了解 P2P 的新模式吗?如果不知道,那么就看易 P2P 的分享 P2N、P2B、P2C、P2G 模式。 (内容来源:金融客 jinrongke91) 关注【易 P2P】 资深 P2P ... 　_教育学/心理学_人文社科_专业资料。我们工作到底是为了什么? 体验决定深度,知识决定广度 看待工作要长远一点,一时的光鲜,代表不了什么。 人的职业赛跑,分为... 　жзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя E、注音符号 ??ㄅㄌㄐㄔㄘ?`? ?ㄆㄉㄙㄍㄑㄕ?c??ㄇㄊㄚㄎㄒㄖ???ㄈㄋㄛㄏㄓㄗ F、... 　问:怎样把许多分开的 word 文档合并成一个文档。我的论文是按照章节分开写的,但 现在图书馆要提交电子版的学位论文,是一个文档的,我找了很多选项但好象不能合并... 　(图 2:我国多层次资本市场交易场所构成) 综上两图可以看出,所谓的新四板,指的即是场外市场、私募市场、区域市场等,也有地方 叫做区域性股权转让交易平台, 它的... 　中国文化概论大作业附答案_文学_高等教育_教育专区。1. 中国传统文化的特质不包括哪个方面:(D) A、尊君重民 B、中庸协和 C、延绵坚韧 D、重农轻商 D 中亚...2.1数列极限的概念_大学生考试网
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2.1数列极限的概念
本章内容? 数列极限的概念 ? 收敛数列的性质 ? 数列极限存在的条件 第一节 数列极限的概念一、概念的引入1、割圆术： 割圆术： “割之弥细， 割之弥细， 割之弥细 所失弥少， 所失弥少， 割之又割， 割之又割， 以至于不可割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣” 而无所失矣” ――刘徽 刘徽 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 × 2 n ?1 形的面积 AnRA1 , A2 , A3 ,L , An ,LS 2、截丈问题： 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰 1 第一天截下的杖长为 X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 = + 2 ; 2 2LLLL1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n = + 2 + L + 2 2 2 1 Xn = 1 ? n 1 2 二、数列的定义 定义: 编号依次排列的一列数(1) 定义:按自然数 编号依次排列的一列数(1) 称为无穷数列,简称数列. 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称 为数列的项, 称为通项(一般项).数列(1) 为数列的项, 称为通项(一般项).数列(1) ).数列 记为 2,4,8,L ,2 n ,L; {2n }1 1 1 1 , , , L , n ,L; 2 4 8 2例如1 { n} 2 1,?1,1, L , ( ?1)n+1,L;{(?1)n?1 }? n + (?1)n?1 { } n? 1 4 n + ( ?1) n?1 ,L; 2, , ,L , 2 3 n注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意： 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,L , x n ,L .x3x1x2 x4xn2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数 三、数列的极限( ?1)n?1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n 无限增大时, 问题: 问题 当 n 无限增大时 x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是 如何确定? 如果是,如何确定 确定的数值 如果是 如何确定 通过上面的观察： 通过上面的观察：( ?1) 当 n 无限增大时 , xn = 1 + nn ?1无限接近于 1.问题: 无限接近 意味着什么?如何用数学语言刻划它 无限接近” 如何用数学语言刻划它. 问题 “无限接近”意味着什么 如何用数学语言刻划它Qxn ? 1 = ( ?1)n ?11 1 = n n 1 1 1 1 , 只要 n & 100时, 有 x n ? 1 & 由 时 , 给定 ， & n 100 100 100 1 , 给定 1000只要 n & 1000时, 时1 , 有 xn ? 1 & 10001 1 给定 , 只要 n & 10000时, 有 x n ? 1 & , 时 1 给定 ε & 0, 只要 n & N ( = [ ])时, 有 x n ? 1 & ε成立 . ε 义 定果 对 于 任 意 给 定 的 如ε 数 (不 ,总 正 论 它 多 么 小 ,总 ) 存n & N时 正 数N ,使 在 得 对 于一 切xn ,不 的 等 式 xn ? a & εa 成 立 那 , 末 就 称 常 数 是 都 数x 列 xn 的 极 限 或 , 者 称 数 列 n a 记 收 敛 于 , 为lim xn = a,n→ ∞或xn → a(n → ∞).如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意： 注意： 1.不等式 x n ? a & ε刻划了 x n与a的无限接近 ;2 . N 与任意给定的正数 ε 有关 . 其中ε ? N定义 : lim x n = a ? n→ ∞? : 每一个或任给的; ? : 至少有一个或存在 .?ε & 0, ?N & 0, 使n & N时, 恒有 x n ? a & ε .几何解释: 几何解释a?εx 2 x1 x N + 12εaa+εx N + 2 x3x当n & N时, 所有的点 x n 都落在 (a ? ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外. 极限定义的辨析：?ε & 0, ?N & 0, 使n & N时, 恒有 x n ? a & 2ε .?N & 0, 对?ε & 0，使n & N时, 恒有 x n ? a & ε . 对?ε & 0，都有无穷多项 x n 满足不等式 x n ? a & ε . 对?ε & 0，都只有有限项 x n 满足不等式 x n ? a ≥ ε . 例11 证明 lim k = 0. n→ ∞ n证xn?0=1 1 ?0 = k nk n1 1 任给ε & 0, 要 x n ? 0 & ε , 只要 k & ε , 或n & 1 , n εk所以, 所以 取N = [1ε1 k],则当n & N时,1 即 lim k = 1. n→ ∞ nxn ? 0 & ε , 3n 2 例2 证明 lim 2 = 3. n→ ∞ n ? 33n 2 9 9 证 xn ? 3 = n 2 ? 3 ? 3 = n 2 ? 3 ≤ n ( n & 3 ) 9 9 任给ε & 0, 要 x n ? 3 & ε , 只要 & ε , 或n & , n ε所以, 所以 取N = max{3, }, 则当 n & N时,9εxn ? 3 & ε ,3n 2 即 lim 2 = 3. n→ ∞ n ? 3 例3证明 lim q n = 0, 其中 q & 1.n→ ∞n 证 任给ε & 0, 若q = 0, 则 lim q = lim 0 = 0; n→ ∞ n→∞若0 & q & 1,ln ε , ∴n & ln qx n ? 0 = q n & ε , n ln q & ln ε ,ln ε ], 则当 n & N时, 取N = [ ln q∴ lim q n = 0.n→ ∞就有 q n ? 0 & ε, 例4 证证明 lim n a = 1.(a & 0)n→ ∞a & 1, 记α = a ? 1, 则α & 0由a = (1 + α ) ≥ 1 + nα = 1 + n(a ? 1) 得an 1 n1 n1 n?1≤a ?1 n要 x n ? 1 & ε ,只要 a ? 1 & ε , 或n & a ? 1 , 任给 ε & 0, n ε所以, 所以 取N = [a ?1] + 1, 则当 n & N时, εxn ? 1 & ε ,即 lim n a = 1.n→ ∞ 几点补充： 几点补充的任意性： 刻画了数列在趋于无穷时 与某一常数之间的接近程度；可以限定其 小于任意的给定正数。 ? 的相应性： 随 变化， 但并不唯 N N 一， 重要在于证明其存在性。 ?εεεN 等价定义：任给 等价定义 ，若在 ε 中至多有有限个，则称数列之外数列 U ( ε ) n} 收敛于极限 {a。{a n }例5 证明 {n 2 } 和{(?1)n } 都为发散数列。 例6 设 lim x n = lim y n = a ，作数列{z n } 如下： n→ ∞ n→ ∞{ z n } : x1 , y1 , x 2 , y2 ,..., x n , yn ,...证明 lim z n = a 。 n→ ∞ 例7 设 {an } 为给定的数列， {bn } 为对 {an } 增加、减少 或改变有限项之后得到的数列，则数列 {bn } 和 {an } 同 时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
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