八下数学经典组卷2.1因式分解 4组组卷 答案_甜梦文库
八下数学经典组卷2.1因式分解 4组组卷 答案
因式分解 1 参考答案与试题解析一．选择题（共 17 小题） 1． （2008?绵阳）若关于 x 的多项式 x2px6 含有因式 x3，则实数 p 的值为 （ ） A．5 B．5 C．1 D．1 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的意义．2028644 掌握多项式乘法的基本性质，x3 中3 与 2 相乘可得到6，则可知：x2 px6 含有因式 x3 和 x+2． 解： （x3） （x+2）=x2x6， 所以 p 的数值是 1． 故选 D． 本题考查了因式分解的意义，注意因式分解与整式的运算的综合运用．考 点： 分 析： 解 答：因式分解的意义．2028644根据多项式结构特点整理后判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求 解． 解：∵ 4xy4x2y2m=m（2xy）2，它的一个因式 12x+y=1（2x y） ∴ 分解时是利用平方差公式， ∴ m=12=1 ∴ m=1． 故选 C． 点 本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合 评： 平方差的形式，是解题的关键． 4．设 x32x2+ax+b 除以（x1） （x2）的余式为 2x+1，则 a、b 的值是（ ） A．a=1，b=3 B．a=1，b=3 C．a=1，b=3 D．a=1，b=3 考 点： 专 题： 分 析： 整式的除法；因式分解的意义；解二元一次方程组．2028644 计算题；方程思想；待定系数法．2． （2006?嘉兴）一次课堂练习，王莉同学做了如下 4 道分解因式题，你认为王 莉做得不够完整的一题是（ ） 3 2 A． x x=x（x 1） B． x22xy+y2=（xy）2 C． x2yxy2=xy（xy） D． x2y2=（xy） （x+y） 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的意义．2028644 要找出“做得不够完整的一题”， 实质是选出分解因式不正确的一题， 只有选 3 2 项 A：x x=x（x 1）没有分解完． 解：A、分解不彻底还可以继续分解：x3x=x（x21）=x（x+1） （x1） ， B、C、D 正确．故选 A． 因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．由题意，可知（x32x2+ax+b）（2x+1）能够被（x1） （x2）整除， 3 2 即（x 2x +ax+b）（2x+1）含有因式（x1） （x2） ．则当 x=1 和 x=2 3 2 时， 2x +ax+b）（2x+1）=0，分别代入，得到关于 a、b 的二元一次 （x 方程组，解此方程组，即可求出 a、b 的值． 解 解：∵32x2+ax+b 除以（x1） x （x2）的余式为 2x+1， 3 2 答： ∴ 2x +ax+b）（2x+1）含有因式（x1） （x （x2） ． 3 2 当 x=1 时， 2x +ax+b）（2x+1）=（12+a+b）（2+1）=a+b4=0 （x ① 当 x=2 时， 32x2+ax+b）（2x+1）=（88+2a+b）（4+1）=2a+b （x 5=0 ② ② ，得 a1=0， ① ∴ a=1． 把 a=1 代入① ，得 b=3． 故选 A． 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放3．2005?泰安）（12x+y） 4xy4x2y2m 的一个因式， m 的值为 （ 若 是 则 （ A．4 B．1 C．1 D．0）.doc第 1 页 共 33 页点 本题主要考查了整式乘除法与因式分解的关系，待定系数法在因式分解中 评： 的应用，属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是能够通过整式乘除法 与因式分解的关系得出（x32x2+ax+b）（2x+1）含有因式（x1） （x 3 2 2） ，从而运用待定系数法得出 x=2 和 x=1 时，多项式（x 2x +ax+b） （2x+1）的值均为 0，进而列出方程组，求出 a、b 的值． 5． （2008?赤峰）把 x +3x+c 分解因式得：x +3x+c=（x+1） （x+2） ，则 c 的值为 （ ） A．2 B．3 C．2 D．3 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的意义．2028644 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+1） （x+2）利用乘法公式展 开即可求解． 解：∵ （x+1） （x+2）=x2+2x+x+2=x2+3x+2， ∴ c=2． 故选 A． 本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．2 2所以能分解因式的有两个． 故选 B． 点 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．主要运用了平 评： 方差公式来因式分解，二项式要符合平方差公式的特点才能分解． 7．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） 2 A． （y1） （y+1）=y 1 B． 3a+3=3（a+1） C． x24x+5=（x2）2+1 D． 2a+2b+ax+bx=2（a+b）+x（a+b） 考 因式分解的意义．2028644 点： 分 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左 析： 到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．符合因式分解的基 本特点应为：几个整式，积的形式． 解 解：在 A，C，D 中，最后结果都不是积的形式，应排除； 答： 只有 B 符合定义． 故选 B． 点 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 评： 8．如果 x2x1 是 ax3+bx2+1 的一个因式，则 b 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．2 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 因式分解． 由题意 x2x1 是 ax3+bx2+1 的一个因式， 可得 ax3+bx2+1= x2x1）x+c） （ （ 将右边展开，然后根据系数相等，求出 b 值． 解：∵2x1 是 ax3+bx2+1 的一个因式， x ∴ 3+bx2+1=（x2x1） ax （x+c）=x3+（c1）x2（c+1）xc ∴ a=1，c1=b，c+1=0，c=1， ∴ b=2， 故选 A．6． （1999?烟台）在多项式 x2+y2，x2y2，x2y2，x2+y2 中，能分解因式的 有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 计算题． 根据平方差公式的特点来判断能否分解因式即可． 解：x2+y2 不能分解； x2y2=（x+y） （xy） ，能分解； 2 2 2 2 x y =（x +y ）不能分解； x2+y2=（x+y） （xy） ，能分解． .doc 第 2 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放点 此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤： 评： ① 如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式； ② 如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如 果多项式有两项应思考用平方 差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式 超过三项应思考用完全平方公式 法； ③ 分解因式时必须要分解到不能再分解为止． 9．下列从左到右的变形： （1）15x2y=3x?5xy； （a+b） （2） （ab）=a2b2； （3） a22a+1=（a1）2； （4）x2+3x+1=x（x+3+ ）其中是因式分解的个数是（ A．0 个 考 点： 分 析： 解 答： B．1 个 C．2 个 D．3 个 ）分 析： 解 答：点 评：因式分解就是把一个多项式化成几个整式积的形式，对各选项分析判断后 利用排除法求解． 解：① 的变形不是因式分解，因为① 给出的是单项式，而因式分解分解的对 象是多项式． ② 中不是整式， ③ 是多项式乘多项式，是整式乘法； ④24x+4=（x2）2 是因式分解． x 所以只有④ 是分解因式． 故选 A． 因式分解与多项式的乘法都是多项式的恒等变形，它们互为逆运算．因式分解的意义．2028644 因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．11．在以下变形中，ambm=m（ab） ，ax+ay+b=a（x+y）+b，x（x2）=x2 2x，x2+y21=x2+（y+1） （y1） ，属于分解因式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，再 利用排除法求解． 解：ambm=m（ab）属于分解因式，正确； ax+ay+b=a（x+y）+b 不是积的形式，错误； x（x2）=x22x 是多项式乘法不是因式分解，错误； x2+y21=x2+（y+1） （y1）不是积的形式，错误； ∴ 属于分解因式的有 1 个． 故选 D． 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．解： （1）不是对多项式进行变形，故错误； （2）多项式的乘法，故错误； （3）正确； （4）结果不是整式，故错误． 故选 B． 点 本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解 评： 与整式的乘法互为逆运算． 10．下列从左到右的变形是分解因式的有（ ① b =2a b?3b；② 6a ④24x+4=（x2）2． x A．一个 B．二个 考 因式分解的意义．2028644 点： .doc 第 3 页 共 33 页3 2 2） ；③ （m2n） =m 4mn+4n ；2 2 2点 评：C．三个D．四个12．已知多项式 ax2+bx+c 因式分解的结果为（x1） （x+4） ，则 abc 为（ A．12 B．9 C．9 D．12 考 因式分解的意义．2028644 点： 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放）分 把多项式乘法展开再根据对应项系数相等即可求解． 析： 解 解：∵ （x1） （x+4） ， 2 答： =x +3x4， =ax2+bx+c， ∴ a=1，b=3，c=4． 则 abc=12． 故选 D． 点 注意正确计算多项式的乘法运算，然后根据对应项系数相等求解是解题的 评： 关键． 13．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） 2 2 2 A．（a+3） （a3）B．x +x5= x2） a b+ab =ab （ C． 2 =a 9 （x+3）+1 （a+b） 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排 除法求解． 解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、右边不是积的形式，错误； C、是提公因式法，a2b+ab2=ab（a+b） ，正确； D、右边不是整式的积，错误； 故选 C 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．析： 解 解：A、5m（ab）和 ba=（ab） 两个代数式的公因式是 ab； ，∴ 2 答： B、 （a+b） 和ab=（a+b）的公因式是 a+b； C、mx+y 与 x+y 没有公因式； D、a2+ab 和 a2bab2=b（a2+ab）公因式是a2+ab． 故选 C． 点 此题考查的是因式分解的含义，可以通过提出公因式进行比较． 评： 15．在多项式：① 5x；② 16x （x1）24（x1）+4；③ （x+1）44x（x+1）2+4x2； ④ 4x21+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ） ② ④ ④ ③ A．① B．③ C．① D．② 考点： 公因式．2028644 分析： 根据提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式对各选项分解因 式，然后找出有公因式的项即可． 解：① 5x=x（16x41） 16x ，=x（4x21） 2+1） （4x ，=x（2x+1） （2x1） 2+1） （4x ； ② （x1）24（x1）+4=（x3）2； ③ （x+1）44x（x+1）2+4x2，=[（x+1）22x]2=（x2+2x+12x）2=（x2+1）2； ④ 4x21+4x，=（4x24x+1） ，=（2x1）2． 所以分解因式的结果中含有相同因式的是①，共同的因式是（2x1） ④ ． 故选 C． 点评： 本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，熟记平方差公式，完全平 方公式的结构是解题的关键． 16．观察下列各组中的两个多项式： ① 3x+y 与 x+3y；2m2n 与 ② （m+n）③ ；2mn4mp 与n+2p；4x2y2 与 2y+4x； ④ 2 2 ⑤ +6x+9 与 2x y+6xy． x 其中有公因式的是（ ） ②④ ③⑤ ④ ③⑤ A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①④ 考 公因式．2028644 点： 分 根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．D．x2+1=x（x+ ）点 评：14．下列各组代数式中，没有公因式的是（ ） 2 A．5m（ab）和 ba B． （a+b） 和ab C．mx+y 和 x+y D．a2+ab 和 a2bab2 考 公因式．2028644 点： 分 此题可对代数式进行变形，然后可以看出是否有公因式． .doc 第 4 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放析： 解 解：① 3x+y 与 x+3y 没有公因式； 答： ② 2m2n 与（m+n）公因式为（m+n） ； ③ 2mn4mp 与n+2p 公因式为n+2p； ④ 2y2 与 2y+4x 公因式为 x+y； 4x ⑤2+6x+9=（x+3）2 与 2x2y+6xy=2xy（x+3）公因式为 x+3． x 故选 B． 点 此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是： （1）公因式的系数是多 评： 项式各项系数的最大公约数； （2） 字母取各项都含有的相同字母； 相同字母的指数取次数最低的． （3） 在 提公因式时千万别忘了“1”． 17．若（m+n）3mn（m+n）=（m+n）?A，则 A 表示的多项式是（ A．m2+n2 B． m2mn+n2 C．m23mn+n2 D．m2+mn+n2 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-提公因式法．2028644 先提取公因式（m+n） ，整理后即可求出 A 的值． ）析： 解 解：∵ （10x7y）2， 答： =100x2140xy+49y2， =100x2+kxy+49y2， ∴ k=140． 故应填140． 点 本题主要考查了因式分解与整式乘法是互为逆运算，并且解决的关键是理 评： 解多项式相等就是对应项系数相等． 19．若 2x26y2+xy+kx+6 能分解为两个一次因式的积，则整数 k 的值是 7， 7 ． 考 点： 专 题： 分 析： 因式分解的意义．2028644 计算题．解： （m+n）3mn（m+n） ， 2 =（m+n）[（m+n） mn]， =（m+n） 2+2mn+n2mn） （m ， 2 2 =（m+n） （m +mn+n ） ． 所以 A 表示的多项式是（m2+mn+n2） ． 故选 D． 点 本题考查提公因式法分解因式，利用完全平方公式准确计算提取公因式之 评： 后的因式比较重要． 二．填空题（共 13 小题） 18．如果 100x2+kxy+49y2 能分解为（10x7y）2，那么 k= 140 ． 考 因式分解的意义．2028644 点： 分 根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解． .doc 第 5 页 共 33 页根据题意设多项式可以分解为：x+ay+c） 2x+by+d） 则 2c+d=k， （ （ ， 根据 cd=6， 求出所有符合条件的 c、d 的值，然后再代入 ad+bc=0 求出 a、b 的值，与 2a+b=1 联立求出 a、b 的值，a、b 是整数则符合，否则不符合，最后把符 合条件的值代入 k 进行计算即可． 解 解：设 2x26y2+xy+kx+6 能分解成： （x+ay+c） （2x+by+d） ， 2 2 答： 即 2x +aby +（2a+b）xy+（2c+d）x+（ad+bc）y+cd， ∴ cd=6， ∵ 6=1×6=2×3=（2） （3）=（1） （6） ， ∴c=1，d=6 时，ad+bc=6a+b=0， ①与 2a+b=1 联立求解得，，或 c=6，d=1 时，ad+bc=a+6b=0与 2a+b=1 联立求解得，，无数次的坚守，只为 最华丽地绽放② c=2，d=3 时，ad+bc=3a+2b=0， 与 2a+b=1 联立求解得， ，20．已知多项式 x2+7xy+my25x+43y24 可分解成 x、y 的两个一次因式，则实 数 m= 18 ． 考 因式分解的意义．2028644 点： 分 根据 x2 项的系数是 1，x 一次方项的系数是5，所以把24 分解成 3×（ 析： 8） ，然后据已知条件设出这两个一次因式分别是 x+ay+3 与 x+by8，相乘 后根据多形式相等，对应项的系数相等列出方程组求出 a、b 的值，从而得 到答案． 解 解：设 x2+7xy+my25x+43y24=（x+ay+3） （x+by8） ， 2 2 答： ∵ （x+ay+3） （x+by8）=x +（a+b）xy+aby 5x+（8a+3b）y24， 2 ∴ +7xy+my25x+43y24=x2+（a+b）xy+aby25x+（8a+3b）y24， x ∴ ， ，或 c=3，d=2 时，ad+bc=2a+3b=0，与 2a+b=1 联立求解得，，③ c=2，d=3 时，ad+bc=3a2b=0， 与 2a+b=1 联立求解得， ，或 c=3，d=2，ad+bc=2a3b=0，与 2a+b=1 联立求解得，， 解得④ c=1，d=6 时，ad+bc=6ab=0，与 2a+b=1 联立求解得，，∴ m=ab=（2）×9=18． 故答案为：18． 点 本题考查了因式分解的意义；设出这两个一次因式分别是 x+ay+3 与 x+by 评： 8，是正确解答本题的关键． 21． 乙两个同学分解因式 x2+ax+b 时， 甲、 甲看错了 b， 分解结果为 （x+2） （x+4） ； 乙看错了 a，分解结果为（x+1） （x+9） ，则 a+b= 15 ． 考 因式分解的意义．2028644 点： 分 由题意分析 a，b 是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b 决定因式 析： 的常数项，a 决定因式含 x 的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再 根据对应项系数相等即可求出 ab 的值． 解 解：分解因式 x2+ax+b，甲看错了 b，但 a 是正确的， 答： 他分解结果为（x+2） （x+4）=x2+6x+8， ∴ a=6， 同理：乙看错了 a，分解结果为（x+1） （x+9）=x2+10x+9， ∴ b=9， 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放或 c=6，d=1 时，ad+bc=a6b=0，与 2a+b=1 联立求解得，，∴ c=2，d=3 时，c=2，d=3 时，符合， ∴ k=2c+d=2×2+3=7， k=2c+d=2×（2）+（3）=7， ∴ 整数 k 的值是 7，7． 故答案为：7，7． 点 本题考查了因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键， 评： 要注意 6 的所有分解结果，还需要用 a、b 进行验证，注意不要漏解．.doc第 6 页 共 33 页因此 a+b=15． 故应填 15． 点 此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解 评： 的关键． 22．若多项式 x2x20 分解为（xa） （xb） ，且 a＞b，则 a= 5 ，b=
4 ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 将原多项式因式分解后与（xa） （xb）对照，且根据 a＞b 即可得到 a、 b 的值． 解：x2x20=（x5） （x+4）=（xa） （xb） ， ∵ a＞b， ∴ a=5，b=4． 故答案为 5，4． 本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．评： 思路是：先利用算式求出商和余数，得出 122p=0，q5p+5=0，再求出 即可． 24．分解因式：x29x= x（x9） ． 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的意义．2028644 首先确定多项式中的两项中的公因式为 x，然后提取公因式即可． 解：原式=x?x9?x=x（x9） ， 故答案为：x（x9） ． 本题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各 项的公因式，然后提取出来． ．25．多项式 10a（xy）25b（yx）的公因式是 5（xy） 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 公因式．2028644点 评：23．若 x2+2x+5 是 x4+px2+q 的一个因式，那么 p+q 的值等于 31 ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的意义．2028644 计算题． 先算（x4+px2+q）÷（x2+2x+5）得出商是 x22x+p1，余数是（122p） x+q5p+5，根据已知得出 122p=0，q5p+5=0，求出即可． 解： 4+px2+q）÷（x2+2x+5）=x22x+p1…（122p）x+q5p+5， （x 2 ∵ +2x+5 是 x4+px2+q 的一个因式， x ∴ 余数中 122p=0，q5p+5=0， 解得：p=6，q=25， ∴ p+q=31． 故答案为：31． 本题考查了因式分解的意义和整式的乘法和除法互为逆运算的应用，解题 .doc 第 7 页 共 33 页多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式；可将多项 式的各项进行分解，然后找出它们的公因式． 解：∵ 10a（xy）2=5（xy）?2a（xy） ， 5b（yx）=5（xy）?（b） ； 2 ∴ 多项式 10a（xy） 5b（yx）的公因式是 5（xy） ． 本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．26．下列各单项式 9x2y2、6x4y3、18x3y4 的公因式是 3x2y2 考 点： 专 题： 分 析： 公因式．2028644 计算题．．点根据公因式的定义，找出系数的最大公约数 3，相同字母的最低指数次幂 x2y2，然后即可确定公因式．无数次的坚守，只为 最华丽地绽放解 解：单项式 9x2y2、6x4y3、18x3y4 系数的最大公约数 3，相同字母的最低 答： 指数次幂 x2y2， ∴ 单项式 9x2y2、6x4y3、18x3y4 的公因式是 3x2y2． 故答案为 3x2y2． 点 本题主要考查公因式的定义，掌握找公因式的正确方法是解题的关键．找 评： 公因式的方法：一是找系数的最大公约数，二是找相同字母的最低指数次 幂． 27．多项式 x（x2）3（2x）的公因式是 x2 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 公因式．2028644 计算题． ．m416=m424=（m2+4） 24）=（m2+4） （m （m+2） （m2） ． 各项都含有 m2， 因此它们的公因式是 m2． 点 本题主要考查公因式的确定，要先对多项式进行因式分解，然后根据公因 评： 式的定义确定． 29． （2012?桂林）分解因式：4x22x= 2x（2x1） 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解-提公因式法．2028644 可用提公因式法分解，公因式是 2x． 解：4x22x=2x（2x1） ． 故答案为 2x（2x1） ． 此题考查运用提公因式法分解因式，确定公因式是关键． ．根据公因式的定义，即找出两式中公共的因式，首先找公共因数再找公共 因式即可． 解：x（x2）3（2x） =x（x2）+3（x2） =（x2） （x+3） ， ∴ x（x2）3（2x）的公因式是 x2． 故答案为：x2． 点 此题主要考查了公因式的定义，分别得出两式公共的因数以及公共的因式 评： 是解决问题的关键． 28．多项式 m（m3）+2（3m） 4m+4，m 16 中，它们的公因式是 m ，m 2 ． 考 公因式．2028644 点： 分 本题考查公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式 析： 各项的公因式．可以通过提取公因式，利用完全平方公式，平方差公式找 出公因式． 解 解：m（m3）+2（3m）=m（m3）2（m3）=（m3） （m2） ； 2 2 答： m 4m+4=（m2） ； .doc 第 8 页 共 33 页2 430．因式分解：12x（a+b）4y（a+b）= 4（a+b） （3xy） 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解-提公因式法．2028644 直接提取公因式 4（a+b）即可．．解：12x（a+b）4y（a+b） ， =4（a+b） （3xy） ， 故答案为：4（a+b） （3xy） ． 此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．无数次的坚守，只为 最华丽地绽放因式分解 2一．选择题（共 13 小题） 1．下列多项式中，与xy 相乘的结果是 x2y2 的多项式是（ ） A．yx B．xy C．x+y D．xy 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 根据平方差公式分解因式即可得出．3．下列多项式中能用平方差公式分解的有（）2 2 ① 2b2； 2x24y2； x24y2； m） a ② ③ ④ （ （n）； 144a2+121b2；
m2+2n2． ⑤ ⑥A．1 个 考 点： 分 析： 解 答：B．2 个C．3 个D．5 个因式分解-运用公式法．2028644 根据平方差公式的结构特征：两数分别平方，并且符号相反，对各选项分 析判断后利用排除法求解． 解：① 2b2 符号相同，故不能； a 2 ② 4y2 可通过提公因式 2，然后在实数范围内应用平方差公式进行因式 2x 分解，故能； ③24y2 可直接应用平方差公式分解，故能； x ④ （m）2（n）2=m2n2，可以利用平方差公式分解，故能； ⑤ 144a2+121b2 可直接应用平方差公式分解，故能； ⑥ 可提取公因数 后应用平方差公式分解，故能．解：x2y2， =（x+y） （xy） ， =（xy） （yx） ． 故选 A． 点 本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差 评： 公式：x2y2=（x+y） （xy） ． 2．下列多项式中能用公式法分解的是（ ） 2 2 3 4 A．a b B．a +ab+b C．x2y2D． +9b2能用平方差公式分解的有 5 个． 故选 D． 点 本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结 评： 构特征是解此类题的关键，另外要注意对公式的灵活变形整理． 4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ） 2 2 2 2 2 ① +2a+4；② +2a1；③ +2a+1；④ +2a+1；⑤ 2a1；⑥22a1． a a a a a a A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 考 因式分解-运用公式法．2028644 点： 分 根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：① 必须是三项式，② 其 析： 中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③ 另一项是这两个数（或 式）的积的 2 倍进行分析即可． 解 解：①2+2a+4 不是积的 2 倍，故不能用完全平方公式进行分解； a 2 答： ② +2a1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解； a 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放考 点： 分 析： 解 答：因式分解-运用公式法．2028644 公式法分解因式的式子特点：平方差公式：a b =（a+b） （ab） ．完全平 2 2 2 方公式：a ±2ab+b =（a±b） ． 解：A、a3b4 不符合公式法分解因式的式子特点，故错误； B、a2+ab+b2 不符合公式法分解因式的式子特点，故错误； C、x2y2 不符合公式法分解因式的式子特点，故错误； D、 +9b2 符合平方差公式法分解因式的式子特点，故正确．2 2故选 D． 点 本题考查能否用公式法分解因式，那么用公式法分解因式的式子特点需掌 评： 握． .doc 第 9 页 共 33 页点 评：③2+2a+1 能用完全平方公式进行分解； a ④ 2+2a+1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解； a ⑤ 22a1 首先提取负号，可得 a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解； a ⑥22a1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解． a 故选：A． 此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．点 考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式没 评： 有公因式时，考虑用公式法，将其分解因式．此题直接应用平方差公式． 7． （2007?江苏）若 a+b=4，则 a2+2ab+b2 的值是（ A．8 B．16 C．2 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 首先将 a2+2ab+b2 运用完全平方公式进行因式分解，再代入求值． ） D．45． （2010?铁岭）若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值可以 是（ ） A．4 B．4 C．±2 D．±4 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab 计算 即可． 解：∵2+mx+4=（x±2）2， x 2 即 x +mx+4=x2±4x+4， ∴ m=±4． 故选 D． 点 本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变 评： 形应用能力． 6． （2007?舟山）因式分解（x1） 9 的结果是（ ） A．（x+8） （x+1） B．（x+2） （x4）C．（x2） （x+4）D．（x10） （x+8） 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 把（x1）看成一个整体，利用平方差公式分解即可． 解： （x1）29， =（x1+3） （x13） ， =（x+2） （x4） ． 故选 B． .doc 第 10 页 共 33 页2解：∵ a+b=4， 2 ∴ +2ab+b2=（a+b）2=42=16． a 故选 B． 点 本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子结构特 评： 征需记熟记牢． 8．下列因式分解错误的是（ ） 2 2 2 A．x +xy=x（x+y）B．x y =（x+y） C．x2+6x+9=（x+3） x2+y2=（x+y）2 D． 2 （xy） 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．2028644 推理填空题．求出 x（x+y）=x2+xy，即可判断 A；根据平方差公式即可判断 B；根据完 全平方公式即可判断 C、D． 解：A、x（x+y）=x2+xy，故本选项错误； B、x2y2=（x+y） （xy） ，故本选项错误； 2 2 2 C、x +6x+9=x +2?x?3+3 =（x+3）2，故本选项错误； D、 （x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项正确； 故选 D． 点 本题考查了因是分解的方法的应用，完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2， 评： 平方差公式：a2b2=（a+b） （ab） ，题型较好，但是一道比较容易出错的 题目． 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放② 2=32a2=（3+a） 9a （3a） ，故本选项能用平方差公式分解因式； 9．下列各式的因式分解正确的是（ A．x2xy+y2=（xy）2 C． 4x24xy+y2=（2xy）2 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 计算题． ） B． a2+b2=（ab） （a+b） 2 2 D．x 4xy+2y =（x2y）2 ③ =（3a）2+2?3a? b+ =（3a+ b）2，故本选项能因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公 式法进行判断求解． 解：A、x2xy+y2 不能分解，故本选项错误； B、a2+b2=（ab） （a+b） ；故本选项错误； 2 2 2 C、4x 4xy+y =（2xy） ；故本选项正确； D、x24xy+2y2 不能分解，故本选项错误． 故选 C． 点 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首 评： 先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底， 直到不能分解为止． 10．下列各项式：①2a+1； ② 2； ③ a 9a 用公式法因式分解的是（ ② ③ A．① B．② 考 点： 专 题： 分 析： ） ④ C．③ ③ D．②④ ； ④ 1+4x4x2 中，能用完全平方公式分解因式； ④ 1+4x4x2=（4x24x1） ，不符合公式的特征，故本选项不能用公式法 分解因式． 则能用公式法分解因式的选项有：②． ③ 故选 B 点 此题考查了利用公式法对多项式分解因式，常用的分解因式的公式有平方 评： 差公式和完全平方公式．其中平方差公式为：a2b2=（a+b） （ab） ；完全 2 2 2 平方公式为 a ±2ab+b =（a±b） ．掌握公式的特征是解本题的关键． 11．下列因式分解正确的是（ ） 2 2 A．x +4x+4=（x+4） B． 4x22x+1=（2x1）2 C． 96（mn）+（mn）2=（3m D．a2b2+2ab=（ab）2 n）2 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 计算题． 利用两数和与差的完全平方公式的特点即可判断出正确的选项．因式分解-运用公式法．2028644 计算题．根据完全平方公式及平方差公式的特征，发现选项① 不满足公式的特征， 和④ 故不能用公式法分解因式；选项② 符合平方差公式的特征，选项③ 符合完全 平方公式的特征，故②能用公式法分解因式． ④ 2 解 解：① a+1 不符合完全平方公式的特征，故本选项不能用公式法分解因 a 答： 式； .doc 第 11 页 共 33 页解：A、x2+4x+4=（x+2）2，本选项错误； B、4x22x+1 不满足完全平方公式的条件，而 4x24x+1=（2x1）2，本 选项错误； C、96（mn）+（mn）2=[3（mn）]2=（3m+n）2，本选项错误； D、a2b2+2ab=（a2+b22ab）=（ab）2，本选项正确． 故选 D． 点 考查了完全平方公式，本题的关键是要求学生掌握 a2±2ab+b2=（a±b）2，即 评： 两数的平方和加上或减去两数积的 2 倍等于两数和或差的平方，同时也是 学生容易出错的地方． 12．在下列各式中，可用平方差公式分解因式的有（ 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放 ）① 2n2；② 29y2；③ m 16x （a）2（b）2；④ 121m2+225n2；⑤ （6x）29 （2y）2． A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 计算题． 利用平方差公式的特点：① 有两平方项，② 符号相反，即可求得答案．二．填空题（共 9 小题） 14． （2012?黔西南州）分解因式：a416a2= 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644a2（a+4） （a4） ．先提取公因式 a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解．解：① 2n2=（m2+n2） 16x29y2=（4x+3y） m ，② （4x3y） （a）2 ，③ 2 2 2 2 2 2 （b） =a b =（a+b） （ab） 121m +225n =225n 121m2= ，④ （15n+11m） （15n11m） ， 2 2 2 ⑤ （6x） 9（2y） =36x 36y2=36（x2y2）=36（x+y） （xy） ． 故可用平方差公式分解因式的有②④． ③⑤ 故选 B． 点 此题考查了平方差公式．注意抓住能利用平方差公式分解的多项式的特点 评： 是解此题的关键． 13．在实数范围内分解因式 x564x 正确的是（ ） 4 2 2 2 A．x（x 64） B．x +8） 8） x（x +8） （x （x C． D．x（x+2 ）3（x （x+2 ） （x 2 ） 2 ） 考 点： 分 析： 解 答： 实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．2028644 在实数范围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止．解：a416a2， =a2（a216） ， 2 =a （a+4） （a4） ． 2 故答案为：a （a+4） （a4） ． 点 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，注意提取公因式后还可以利用 评： 平方差公式继续分解因式，因式分解一定要彻底． 15．如果 x+y=1，xy=2008，那么 x2y2= 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．8 ．首先把 x2y2 利用平方差公式进行因式分解，然后代入已知数值即可求出 结果． 解：x2y2=（x+y） （xy） ， ∵ x+y=1，xy=2008， ∴2y2=1×． x 故填空答案：2008． 点 本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式把多项式分解，然后整体代 评： 入数据计算即可． 16． （2006?内江）若 a+b=1，ab=2006，则 a2b2= 2006 ． 考 因式分解-运用公式法．2028644 点： 分 利用 a2b2=（a+b） （ab）计算即可． 析： 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放解：x564x=x（x464） ， 2 2 =x（x +8） 8） （x ， =x（x2+8） （x+2 ） （x2 ） ． 故选 C． 点 本题考查了公式法分解因式，在实数范围内分解因式要遵循分解彻底的原 评： 则． .doc 第 12 页 共 33 页解 解：∵2b2=（a+b） a （ab） ， 答： 且 a+b=1，ab=2006， ∴2b2=2006． a 点 本题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 评： 17．a2（ ）=[（ a ） ]2点： 分 析： 解 答：）+（首先将原多项式去括号合并同类项整理后然后在利用平方差公式因式分解 即可． 解：原式=8x216y27x2xy+xy =x216y2 =（x+4y） （x4y） 故答案为： （x+4y） （x4y） 点 本题考查了运用平方差公式因式分解的知识，解题的关键是首先整理后才 评： 可以判断采用什么方法进行因式分解． 20．因式分解： 2+b2）24a2b2= （a+b）2（ab）2 ． （a考 因式分解-运用公式法．2028644 点： 分 根据完全平方公式的特点（ ）2= 析： 解 解：∵ ）2= ， ×2= （ 答： ∴2（ a）+（ a， ×2= 解答．）=[（a） ]2．点 本题考查了完全平方公式因式分解，根据题目已知数据确定出这两个数是 评： 解题的关键． 18．分解因式：19x2= （1+3x） （13x） ． 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解-运用公式法． 和 9x2 分别是 1 和 3x 的平方，并且 1 和9x2 的符号相反，符合平方差公 式结构特征，因此可利用平方差公式进行因式分解． 解：19x2=（1+3x） （13x） ． 本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的 特点是：两项平方项，符号相反． （x+4y） （x4y） ．考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 点 评：因式分解-运用公式法．2028644 计算题． 首先利用平方差公式分解，然后再利用完全平方公式分解即可得到答案． 解： 2+b2）24a2b2=（a2+b2+2ab） 2+b22ab）=（a+b）2（ab）2； （a （a 故答案为（a+b）2（ab）2 本题考查了因式分解的知识，因式分解一定到不能再分解为止．21．写出一个整数 m，使得二次三项式 x2mx+7 在实数范围内能分解因式．符 合条件的整数 m 可以是 8 或8 ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 实数范围内分解因式．2028644 开放型． 设 x2mx+7=0 的两整数根分别为 p 和 q，p≤q；然后根据韦达定理确定 p、 q 的整数值，根据它们的值来解 m=p+q 的值． 解：二次三项式 x2mx+7 在实数范围内能分解因式，不妨设 x2mx+7=0 的两整数根分别为 p 和 q，p≤q，19．分解因式：8（x22y2）x（7x+y）+xy= 考 因式分解-运用公式法．2028644.doc第 13 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放点 评：那么根据韦达定理，p?q=7， 因此① p=7，q=1； ② p=7，q=1； ③ p=1，q=7； ④ p=1，q=7； 于是 m=p+q=±8； 故答案是：8 或8． 本题考查了在实数范围内分解因式．本题采用了十字相乘法分解因式的．答： =xy（x1） ． 解： （2）x24y2， =x2（2y）2， =（x+2y） （x2y） ． 点 本题考查学生对分解因式的方法的运用，知分解因式的步骤是先看能否用 评： 提公因式法分解因式，再看能否用公式法分解因式或用十字相乘法． 24．分解因式：x481y4． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解-运用公式法．2028644 常规题型． 先利用平方差公式分解因式，然后再次利用平方差公式进行二次因式分解．22．在实数范围内分解因式：ax416a= a（x2+4） （x+2） （x2） ． 考 点： 分 析： 解 答： 实数范围内分解因式．2028644 首先提取公因式 a，再利用平方差公式分解即可，注意分解要彻底．解：ax4；16a， =a（x4；16） ， =a（x2+4） 24） （x ， 2 =a（x +4） （x+2） （x2） ． 2 故答案为：a（x +4） （x+2） （x2） ． 点 此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公 评： 式，还要注意分解要彻底． 三．解答题（共 8 小题） 23．分解因式： （1）x2yxy； （2）x24y2． 考 点： 专 题： 分 析： 解 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．2028644 计算题． （1）找出多项式的公因式 xy，提出即可； （2）根据平方差公式找出公式中 a b 的值，再根据公式分解即可． 解： （1）x2yxy， .doc 第 14 页 共 33 页解：x481y4， =（x2+9y2） 29y2） （x ， =（x2+9y2） （x+3y） （x3y） ． 点 本题考查了利用平方差公式进行因式分解，需要注意，第一次利用平方差 评： 公式后还可以继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻 底，直到不能再分解为止． 25． （1）分解因式：9（ab）2（a+b）2 （2）解不等式组 ，并写出不等式组的非负整数解．考 点： 专 题： 分 析：因式分解-运用公式法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数 解．2028644 计算题． （1）把原式中的被减数中的 9 看做 32，即被减数变为完全平方式，利用平 方差公式分解因式，合并后再分别提取 2 即可得到因式分解的结果；无数次的坚守，只为 最华丽地绽放（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，把两个解集表示在数轴上找 出不等式组的解集，然后在解集中找出非负整数解即可． 解 解： （1）9（ab）2（a+b）2 答： =[3（ab）]2（a+b）2 =[3（ab）+（a+b）][3（ab）（a+b）] =（4a2b） （2a4b） =4（2ab） （a2b） ；（2），由① 得：x3x+6≥4，即 2x≤2，解得：x≤1， 由② 得：1+2x＞3x3，解得：x＜4，（3）直接利用平方差公式因式分解即可； （4）先提取公因式 3x2，然后再利用平方差公式因式分解即可． 解 解： （1）a214ab+49b2=a22×7ab+（7b）2=（a7b）2 答： （2）a（x+y）（ab） （x+y） =（x+y） （aa+b） =b（x+y） ； （3）121x2144y2； =（11x）2（12y）2=（11x+12y） （11x12y） 4 2 2 2 （4）3x 12x =3x （x 4） =3x2（x+2） （x2） 点 本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时候首先考虑提 评： 公因式法，然后考虑采用公式法，分解一定要彻底． 27．将下列各式因式分解： （1）x24y2； （2）4（a1）2+4（a1）+1．∴ 原不等式组的解集为：x≤1， 则解集中的非负整数解为：0，1． 点 本题考查学生掌握因式分解的定义即把和的形式化为积的形式，分解因式 评： 的方法有：提公因式法；公式法；十字相乘法等，学生容易在利用平方差 公式后认为分解到底了，其实还能分解，故注意因式分解时一定到不能再 分解为止；同时考查学生掌握不等式组借助数轴取解集的方法以及会找出 解集中的非负整数解．此题往往画出数轴来解． 26．把下列各式分解因式： （1）a214ab+49b2 （2）a（x+y）（ab） （x+y） ； （3）121x2144y2； （4）3x412x2． 考 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．2028644 点： 分 （1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可； 析： （2）提取公因式（x+y）即可； .doc 第 15 页 共 33 页考 点： 专 题： 分 析： 解 答：因式分解-运用公式法．2028644 计算题．（1）将 4y2 化成（2y）2 直接运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将 a1 看做一个整体，直接利用完全平方公式分解因式即可． 解： （1）x24y2=（x2y） （x+2y） ； 2 （2）4（a1） +4（a1）+1 =[2（a1）+1]2=（2a1）2． 点 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首 评： 先提取公因式，然后用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直 到不能分解为止． 28．因式分解： （x7）2x+7 （1） 2 2 （2） +4） 16a2． （a 考 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．2028644 点： 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放专 题： 分 析： 解 答：计算题． （1）可以将x+7 写成（x7）后利用提公因式法进行因式分解； （2）先利用平方差公式分解然后利用完全平方公式分解即可． 解： （1）原式=（x7）2（x7）…（2 分） =（x7） （x71）…（4 分） =（x7） （x8）…（5 分） （2）原式=（a2+4+4a） 2+44a）…（2 分） （a 2 2 =（a+2） （a2） …（5 分） 本题考查了公式法和提公因式法因式分解的知识，属于基础题，比较简单．∴ x= ∴1= x ，x2= ， ） （x ） ．∴ 23x1=2（x 2x点 本题考查了在实数范围内分解因式和解一元二次方程，注意：若 x1 和 x2 是 评： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，则 ax2+bx+c=a（xx1） （xx2） ．点 评：29．在实数范围内分解因式：3a34ab2= a（ 考 点： 分 析： 解 答： 实数范围内分解因式．2028644a+2b） （a2b） ．先提取公因式 a，再根据平方差公式分解即可．解：3a34ab2=a（3a24b2） =a（ a+2b） （ a2b） ， 故答案为：a（ a+2b） （ a2b） ． 点 本题考查了在实数范围内分解因式， 注意： 有公因式时， 应先提取公因式． 再 评： 看看能否运用公式或其它方法进行分解． 30．在实数范围内分解因式：2x23x1． 考 点： 分 析： 解 答： 实数范围内分解因式．2028644 求出方程 2x23x1=0 中的判别式的值，求出方程的两个解，代入 ax2+bx+c=a（xx1） （xx2）即可． 2 解：设 2x 3x1=0， ∵=（3）24×2×（1）=17， △.doc第 16 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放因式分解 33．如果 a2+b2+2c22bc=0，则 a+b 的值为（ ） A．0 B．1 C．1 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．2028644 配方法．D．不能确定一．选择题（共 21 小题） 1． （2007?中山）因式分解：14x24y2+8xy，正确的分组是（ ） 2 2 2 A．（14x ） + （8xyB．（14x 4y ）C．（1+8xy） D．1（4x2+4y2 +8xy 4y2） （4x2+4y2） 8xy） 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解-分组分解法．2028644 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中4x2 4y2+8xy 正好符合完全平方公式，应考虑 2，3，4 项为一组． 解：14x24y2+8xy=1（4x2+4y28xy） ． 故选 D． 本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一、三分 组．由于 2，3，4 项符合完全平方式，故采取一三分组．2．把多项式 4x22xy2y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是 （ ） A．（4x2y） B．（4x2y2） C．4x2 （2x+y2+y） （4x22x） D． 2 （2x+y ） （2x+y） （y2+y） 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解-分组分解法．2028644将原式变形，再根据非负数的性质列式求出 a、b、c 的值，再代入计算即 可． 解：∵2+b2+2c22bc=0， a 2 2 ∴ +c +b22bc+c2=0， a 即 a2+c2+（bc）2=0， 所以 a=0，c=0，bc=0， 所以 a=b=c=0， 所以 a+b=0． 故选 A． 点 本题考查了非负数的性质，当它们相加和为 0 时，必须满足其中的每一项 评： 都等于 0，根据这个结论可以求解这类题目． 利用完全平方公式整理成非负 数和的形式是解题的关键． 4．分解因式22005+（2）2006 后等于（ ） 2005 A．2 B．2 C．22005 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 先提取公因式22005，再对余下的项计算，然后求解即可． 解：22005+（2）2006， =22005（12） ， =22005×（1） ， =22005． 故选 A． 本题考查了提公因式法分解因式，灵活运用因式分解可使一些繁杂的计算D．1把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后 再利用提公因式法分解因式即可． 解：原式=4x22xy2y， =（4x2y2）（2x+y） ， =（2xy） （2x+y）（2x+y） ， =（2x+y） （2xy1） ． 故选 B． 点 本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分 评： 组．本题中有两个 2 次项正好符合平方差公式，应考虑一、三项为一组． .doc 第 17 页 共 33 页点无数次的坚守，只为 最华丽地绽放评： 简便． 5． （2002?扬州）如果 x2+3x3=0，则代数式 x3+3x23x+3 的值为（ A．0 B．3 C．3 D． ）点 本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因 评： 数进行计算．7． （2012?台湾）计算 A．0 B．25之值为何？（ C．50） D．80考 点： 专 题： 分 析： 解 答：因式分解的应用．2028644 整体思想． 先对所求代数式的前三项提取公因式 x，再利用整体代入来求值． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 二次根式的化简求值；平方差公式；因式分解的应用．2028644 计算题． 根据平方差公式求出 1142642=（114+64）×（11464）=178×50，再提出 50 得出 50×（17850）=50×128，分解后开出即可． 解： = = = = = ， ， ， ， ， ，解：当 x2+3x3=0 时， x3+3x23x+3， =x（x2+3x3）+3， =3． 故选 C． 点 本题考查提公因式法分解因式，关键是提取公因式后出现已知条件的形式， 评： 然后利用整体代入求解． 6． （2006?济宁） （8）2006+（8）2005 能被下列数整除的是（ A．3 B．5 C．7 D．9 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 根据乘方的性质，提取公因式（8） 能被 7 整除． 解： （8）2006+（8）2005， =（8） （8）2005+（8）2005， =（8+1） （8）2005， =7×（8）005． 所以能被 7 整除． 故选 C．2005），整理即可得到是 7 的倍数，所以=2×5×8， =80， 故选 D． 点 本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解 评： 此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力 和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目． 8．已知 M=，N=，那么 M，N 的大小关系是（ ） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定.doc第 18 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放考 点： 分 析： 解 答：因式分解的应用；有理数大小比较．2028644先用作差法，再根据同底数的幂分别提取公因式，整理计算后判断出正负 情况即可得到 M、N 的大小关系． 解：∵ MN=， 2007 =6 （162）+7） ，
=48×7 35×6 ＞0， ∴ M＞N， 故选 A． 点 本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求差 评： 法是常用的方法之一． 9．已知 a+b+c=3，a2+b2+c2=3，则 a+c2005 的值是（ ） 2005 A．0 B．3 C．2 D．3?22005 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．2028644 因式分解．析： N=0，则 M=N；若 MN＜0，则 M＜N． 解 解：MN=a2a（a2） ， 2 答： =a aa+2， =a22a+2， =（a1）2+1＞0， ∴ M＞N． 故选 A． 点 本题考查了完全平方公式法分解因式，关键是作差后整理成完全平方公式 评： 的形式，然后利用因式分解，进行代数式的比较．11．计算 A． B． C．=（） D．通过已知 a+b+c=3， 2+b2+c2=3 运用完全平方式、 a 根据非负数的性质确定 a、 05 b、c 的值，再将 a、b、c 的值代入 a +b +c 求的结果． 解： （a1）2+（b1）2+（c1）2=a2+b2+c22（a+b+c）+3=0， 则可得 a1=0，b1=0，c1=0， ∴ a=b=c=1 于是 a+c2005=3 ∴ B 选 点 本题考查因式分解的应用、非负数的性质．本题解决的关键是根据非负数 评： 的性质与已知条件确定 a、b、c 的值． 10．若 M=a2a，N=a2，则 M，N 的大小的关系是（ A．M＞N B．M＜N C．M=N ） D．不能确定考 因式分解的应用．2028644 点： 专 转化思想；因式分解． 题： 分 观察 析： ， ，式子发现 ，…，，=至此问题解决． 解 解： 答： = ， …考 因式分解的应用．2028644 点： 分 要比较 M，N 的大小，可作 M 与 N 的差．若 MN＞0，则 M＞N；若 M .doc 第 19 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放， = = = = ． ， ， ，原式==k（x2yz+y2zx+z2xy）=9．故选 A． 点 此题考查了因式分解的运用，在遇到等比的时候，要善于用设 k 的方法． 评： 注意：x3+y3+z33xyz=（x+y+z） 2yz+y2zx+z2xy） （x ． 13．已知 m2+m1=0，那么代数式 m3+2m22001 的值是（ ） A．2000 B．2000 C．2001 D．2001 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；代数式求值．2028644 整体思想．故选 D． 点 本题考查因式分解．巧妙利用如 评： 来解题． ，12．已知 p+q+r=9，且 A．9 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： B．10 C．8，则 D．7等于（）因式分解的应用；代数式求值．2028644 计算题． 此题能够利用已知条件表示 p、q、r，然后借助因式分解达到约分的目的．由 m2+m1=0 可变化为 m2+m=1，将 m3+2m22001 转化为 m3+m2+m2 2001，再将 m2+m 作为一个整体两次代入，即可求出该式的值． 解：∵ 2+m1=0， m 2 ∴ +m=1， m ∴ 3+2m22001， m =m3+m2+m22001， =m（m2+m）+m22001， =m+m22001， =12001， =2000． 故选 B 点 本题考查因式分解的应用于代数式求值，解决本题的关键是将 m2+m 做为 评： 一个整体代入，实现了降次，同时求出了代数式 m3+2m22001 的值． 14．已知正数 a，b 满足 a3b+ab32a2b+2ab2=7ab8，则 a2b2=（ ） 1 3 5 A． B． C． D．不能确定 考 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．2028644 点： 专 因式分解．解：设=k，则 p=（x2yz）k，q=（y2zx）k，r=（z2xy）k． 已知 p+q+r=9， 则（x2yz）k+（y2zx）k+（z2xy）k=9， 即 k（x2yz+y2zx+z2xy）=9． .doc 第 20 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放题： 分 首先将 a3b+ab32a2b+2ab2=7ab8 通过提取公因式、运用完全平方式、添 析： 加项转化为 ab（ab1）2+2（ab2）2=0．再根据 a、b 均为正数以及非 负数的性质，得到 ab=1、ab=2，进而解出 a、b 的值，代入 a2b2 求得结 果． 解 解：∵3b+ab32a2b+2ab2=7ab8， a 答： ?ab 2+b2） （a 2ab （ab） =7ab8， （a22ab+b2） ?ab 2ab （ab） 2b2 +2a 7ab+8=0，?ab（ab）22ab（ab）+2a2b27ab+8=0， ?ab[（ab）22（ab）+1]+2（a2b24ab+4）=0， ?ab（ab1）2+2（ab2）2=0， ∵ a、b 均为正数， ∴ ab＞0， ∴ ab1=0，ab2=0， 即 ab=1，ab=2， 解方程 ，点 本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是 评： 解本题的关键，也是难点． 16．已知 x2+y2+2x6y+10=0，则 x+y=（ ） A．2 B．2 C．4 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 将原式的左边利用分组分解法分解后分别求得 x 和 y 的值后代入即可求解．D．4解得 a=2、b=1，a=1、b=2（不合题意，舍去） ， ∴2b2=41=3． a 故选 B． 点 本题考查因式分解的应用、完全平方式、非负数的性质．解决本题的关键 评： 是将原式 a3b+ab32a2b+2ab2=7ab8 转化为 ab （ab1）2+2（ab2）2=0 形式，根据已知与非负数的性质确定出 a、b 的值． 15．若实数 a、b 满足 a+b=5，a b+ab =10，则 ab 的值是（ ） A．2 B．2 C．50 D．50 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 先提取公因式 ab，整理后再把 aa+b 的值代入计算即可． 解：a+b=5 时， 原式=ab（a+b）=5ab=10， 解得：ab=2． 故选 A． .doc 第 21 页 共 33 页2 2解：∵2+y2+2x6y+10=0， x 2 ∴ +2x+1+y26y+9=0 x 即： （x+1）2+（y3）2=0 解得：x=1，y=3 ∴ x+y=1+3=2， 故选 A． 点 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将等式的左边利用因式分解化 评： 为两个完全平方式的和的形式． 17．已知 541 能被 20～30 之间的两个整数整除，则这两个整数是（ A．25，27 B．26，28 C．24，26 D．22，24 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 ）将 541 利用分解因式的知识进行分解， 再结合题目 541 能被 20 至 30 之 间的两个整数整除即可得出答案． 解：541=（52+1） 21） （5 4 ∵ 1 能被 20 至 30 之间的两个整数整除， 5 ∴ 可得：52+1=26，521=24． 故选 C． 点 本题考查因式分解的应用，难度不大但技巧性很强，同学们要注意掌握解 评： 答此题时所运用的思想． 18．代数式 102 的值为（ 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放 ）A．1 考 点： 分 析： 解 答： 点 评：B．1 因式分解的应用．2028644 直接提取 2010 后即可求解．C．2010D．2011A．等腰三角形B．直角三角形C．等三角形D．等腰直角三角 形解：原式=10）=0， 故选 C． 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够发现提取公因式 2010 后括 号里面恰为 1．考 点： 专 题： 分 析： 解 答：因式分解的应用．2028644 计算题． 首先需要将 a2ba2c+b2cb3 因式分解，则可得到（bc） （ab） （a+b） =0，即可得到：b=c 或 a=b，即这个三角形一定是等腰三角形． 解：∵2ba2c+b2cb3=a2（bc）b2（bc）=（bc） 2b2）=（b a （a c） （ab） （a+b）=0， ∴ bc=o 或 ab=0 或 a+b=0（舍去） ， ∴ 或 a=b． b=c ∴ 这个三角形一定是等腰三角形． 故选 A． 此题考查了因式分解的应用．注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．19．已知 ab=5，且 cb=10，则 a2+b2+c2abbcac 等于（ ） A．105 B．100 C．75 D．50 考 因式分解的应用；代数式求值；完全平方式．2028644 点： 专 转化思想． 题： 分 由已知 ab=5，且 cb=10，两等式左右两边分别相减，可得到 ac=5， 析： 观察 a2+b2+c2abbcac 发现， 利用完全平方差公式， 可转化为 [ ab） （ +（bc）2+（ac）2]，再将上面的式子代入，问题得解． 解 解：∵ ab=5，cb=10 答： ∴ ac=52点 评：21．若 ab2=6，则ab（a2b5+ab3b）的值为（ A．216 B．174 C．174 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644） D．246a2+b2+c2abbcac= [（ab）2+（bc）2+（ac）2]= ×[52+（10） +（5）2]=75 故答案为 C2点 本题主要考查完全平方差公式因式分解． a2+b2+c2abbcac 看做 （a 将 [ 评： b）2+（bc）2+（ac）2]是难点． 20．若三角形的三条边的长分别为 a，b，c，且 a2ba2c+b2cb3=0，则这个三角 形一定是（ ） .doc 第 22 页 共 33 页将原式中的 a2b5+ab3b 提取公因式 b 后即可得到ab2（a2b4+ab21） ，再 整体代入即可得到答案． 解：ab（a2b5+ab3b）=ab2（a2b4+ab21） ， 2 ∵ =6， ab ∴ 原式=6×（62+61） =246． 点 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时 评： 还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 二．填空题（共 5 小题） 22．将多项式 x212xy+y2 分解因式，结果为 （xy+1） （xy1） ． 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放考 点： 专 题： 分 析： 解 答：因式分解-分组分解法．2028644 计算题．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有 x 的二次项，y 的二次项，以及 2xy，所以要考虑后三项为 x22xy+y2 一组． 解：原式=（x22xy+y2）1 =（xy）21 =（xy+1） （xy1） ． 故答案为（xy+1） （xy1） ． 点 此题主要考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分 评： 组．比如本题有 y、x 的二次项，以及 2xy 这一项，所以首要考虑的就是三 一分组． 23．若 x2y2x+y=（xy）?A，则 A= 考 点： 分 析： 解 答： x+y1 ．解即可． 解 解：x212ax+a2， 答： =（x22ax+a2）1， =（xa）21， =（xa+1） （xa1） ． 故答案为： （xa+1） （xa1） ． 点 本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组． 评： 25．a，b 满足 （x+y3） ． 考 因式分解-分组分解法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方 点： 根．2028644 分 首先由 a，b 满足 =0，求得 a 与 b 的值，然后代入（x2+y2） 析： （axy+b） ，即可得可以利用分组分解法将其因式分解． 解 解：∵ a，b 满足 =0， 答： ∴ a+2=0，b9=0， 解得：a=2，b=9， ∴ 2+y2）（axy+b）=（x2+y2）（2xy+9）=（x2+y2+2xy）9=（x+y） （x 2 9=（x+y+3） （x+y3） ． 故答案为： （x+y+3） （x+y3） ． 点 本题考查了分组分解法分解因式与非负数的性质．此题难度不大，解题的 评： 关键是需细心，难点是采用两两分组还是三一分组． 26． 在有理数范围内把多项式 b2c2+a a+2b） （ 分解因式得 （a+b+c） a+bc） ． （ 考 因式分解-分组分解法．2028644 点： 专 计算题． 题： 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放 ，分解因式（x2+y2）（axy+b）= （x+y+3）因式分解-分组分解法；因式分解-提公因式法．2028644观察该多项式，可以把 xy 看作一个整体进行分解．完全平方公式： （a 2 2 2 b） =a 2ab+b ． 解：原式=（x2y2）（xy） ， =（xy） （x+y）（xy） ， =（xy） （x+y1） ． 因此 A=x+y1． 点 本题考查了分组分解法分解因式，当一个多项式为四项以上时，首先要合 评： 理分组，然后运用提公因式法或公式法完成因式分解． 24．分解因式：x212ax+a2= （xa+1） （xa1） ． 考 因式分解-分组分解法．2028644 点： 分 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题应将 x2 析： 2ax+a2 分为一组，1 一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式分 .doc 第 23 页 共 33 页分 首先将多项式整理得 b2c2+a2+2ab，再用三一分组分解即可． 析： 解 解：b2c2+a（a+2b） 答： =b2c2+a2+2ab =（a+b）2c2=（a+b+c） （a+bc） ． 故答案为： （a+b+c） （a+bc） 点 本题考查了分组分解法分解因式，分解因式一定要彻底． 评： 三．解答题（共 4 小题） 27．分解因式 （1）x34x （2）ma+na+mb+nb． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法．2028644 计算题． （1）先提取公因式 x，然后利用平方差公式进行二次分解因式； （2）根据分组分解法进行因式分解． 解： （1）x34x =x（x24）（提取公因式 x） =x（x2） （x+2）（平方差公式） ；专 题： 分 析： 解 答：计算题．此题可运用分组分解法与提取公因式进行分解，根据加法交换律把 a2x2 4+a2y22a2xy 进行分组化为（a2x22a2xy+a2y2）4，然后提取公因式 a2． 解：a2x24+a2y22a2xy， =（a2x22a2xy+a2y2）4， =a2（x22xy+y2）4， =a2（xy）222， =（axay+2） （axay2） ． 点 此题考查的知识点是因式分解，此题关键是运用分组分解法与提取公因式 评： 进行分解． 29．分解下列因式： （1）a4a2 （2）14x2+4xyy2． 考 因式分解-分组分解法；因式分解-运用公式法．2028644 点： 分 （1）先提公因式，再根据平方差公式分解第二个因式 ik； 析： （2）先分组（把后三项分成一组，括号前是负号） ，再把后三项分解因式， 最后根据平方差公式分解因式即可． 解 （1）解：a4a2 答： =a2（a21） =a2（a+1） （a1） ； （2）解：14x2+4xyy2 =1（4x24xy+y2） =1（2xy）2， =[1+（2xy）][1（2xy）] =（1+2xy） （12x+y） ． 点 本题考查了因式分解（分组分解法、公式法、提公因式法） ，主要考查学生 评： 分解因式的能力，两小题都比较典型，是一道比较好的题目． 30．x22xy+y2+3x3y+2．（2）ma+na+mb+nb =a（m+n）+b（m+n） =（m+n） （a+b） ． 点 本题考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，提取公因式后利用 评： 平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 28．因式分解：a2x24+a2y22a2xy 考 因式分解-分组分解法．2028644 点： .doc 第 24 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放考 点： 专 题： 分 析： 解 答：因式分解-分组分解法．2028644 计算题．根据前三项是一个完全平方式，后两项可以提公因式，因此可利用分组分 解法来进行因式分解． 解：x22xy+y2+3x3y+2 =（xy）2+3（xy）+2 =（xy1） （xy2） ． 点 本题考查了分组分解法分解因式，分组后组与组之间可以继续进行因式分 评： 解是分组的关键．.doc第 25 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放因式分解 4一．选择题（共 2 小题） 8 9 10 1． 已知 a 为实数， a3+a2a+2=0， （a+1） + 且 则 （a+1） + （a+1） 的值是 （ A．3 B．3 C．1 D．1 ）答： ∴ 或 b=c， a=b ∴ 此三角形是等腰三角形． 故选 A． 点 本题考查的是因式分解的应用，此题易把等式分解成（a2b2） （bc）=0 评： 的形式而造成因式分解不彻底． 二．填空题（共 20 小题） 3．已知 a2+b2+c2=14，a=b+c，则 abbc+ac 的值为 7 ． 考 点： 专 题： 分 析： 代数式求值；完全平方式；因式分解的应用．2028644 转化思想；因式分解．考 因式分解的应用．2028644 点： 分 首先对 a3+a2a+2=0 进行因式分解，转化为（a+2） 2a+1）=0，因而可 （a 2 析： 得 a+2=0 或 a a+1=0，分别针对这两个式子根据 a 是实数来讨论 a 的取 值．进而求出（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010 的值． 解 解：∵3+a2a+2=0， a 3 答： （a +1）+（a2a+1）=0， （a+1） 2a+1）+（a2a+1）=0， （a （a+1+1） 2a+1）=0 （a （a+2） 2a+1）=0 （a ∴ a+2=0 或 a2a+1=0 10 ① a+2=0 时， a+1=1， （a+1） + 当 即 则 （a+1） + （a+1） =11+1=1． ② a2a+1=0，因为 a 是实数，而△ 当 =14=3＜0，所以 a 无解． 故选 D． 点 本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式 评： 法进行因式分解，进而确定 a 的值．2 2． 三角形三边长 a、 c 满足 a（bc） 2cb3=0， b、 +b 则这个三角形的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角 形考 点： 专 题： 分 析： 解因式分解的应用．2028644 探究型． 先把等式分解为（a+b） （ab） （bc）=0 的形式，进而可判断出△ ABC 的 形状． 解：原方程可化为： （a+b） （ab） （bc）=0， .doc 第 26 页 共 33 页观察 a2+b2+c2=14 发现，该式中 b2+c2=（b+c）22bc，那么 a2+b2+c2=14 变 为 a2+（b+c）22bc=14 再根据已知 b+c=a，可简化为 a2bc=7 观察 abbc+ac 可转化为 a（b+c）bc 再根据已知 b+c=a，则 a（b+c） bc 可进一步转化为 a2bc 至此问题解决． 解 解：∵2+b2+c2=14 a 2 答： ∴ +（b+c）22bc=14 a 又∵ a=b+c 2 ∴ +a22bc=14 a ∴2bc=7 a ∴ ab+acbc=a（b+c）bc=a2bc=7 故答案为 7 点 本题考查的是因式分解．解决本题的关键是有效利用完全平方式 b2+c2= 评： （b+c）22bc 搭建已知与求解之间的桥梁，使问题得解． 4．分解因式：21999+（2） ．考 因式分解的应用．2028644 点： 分 要熟悉负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．把它们的底数变为相 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放析： 同后，再提取相同因式的最低次幂． 解 解：21999+（2）2000， 答： =（2）1999+（2）2000， =（2）1999（12） ， 1999 =2 ． 点 本题考查了提公因式法分解因式，应熟悉：正数的任何次幂都是正数，负 评： 数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．无论指数有多复杂，提公因式 时都是提取相同因式的最低次幂． 5．已知 x2+y2+z22x+4y6z+14=0，则（xyz）2002= 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用． ．∴ mn= ∴ 22mn+n2=（mn）2， m m=n+ ，mn= ， 所以 m22mn+n2=（mn）2= ． 点 本题的关键是变形，利用完全平方公式变形． 评： 7．利用因式分解计算：0.2×9= 12.996 ． 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的应用．2028644 能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是： 两项平方项； 符号相反． 此 2 2 题看做 4x 9y 的形式，并分解因式． 解：0.2×9=（0.333×2+1.222×3） （0.333×21.222×3）=4.332× （3）=12.996． 本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点 需识记． 解此题的关键是会把数字形式的 0.2×9 看成 4x29y2 的形式，要求熟练运用平方差公式． 88 ．可以把 14 拆成 1+4+9，然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方 和，再根据“几个非负数的和为 0，则这几个非负数同时为 0”进行计算． 解：∵2+y2+z22x+4y6z+14=0， x 2 ∴ 2x+1+y2+4y+4+z26z+9=0， x （x1）2+（y+2）2+（z3）2=0， ∴ x1=0，y+2=0，z3=0， 解得 x=1，y=2，z=3， ∴ （xyz）2002=0． 点 此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和，再根 评： 据非负数的性质进行求解． 6．当 m=n+ ，m22mn+n2=8．若 x2xy=16，xyy2=8，则 4x27xy+3y2 的值为 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644．考 因式分解的应用；代数式求值．2028644 点： 分 此题可利用完全平方公式： （a±b）2=a2±2ab+b2 求解． 析： 解 解：∵ m=n+ 答：点 .doc 第 27 页 共 33 页观察三个式子的特点，可让 1 式左右两边都乘以 4，2 式两边都乘以 3，相 减即可． 解：∵2xy=16，xyy2=8 x ∴ 24xy=64（1） 4x ， 2 3xy3y =24（2） ， （1）（2）得 4x27xy+3y2=88． 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时无数次的坚守，只为 最华丽地绽放评： 还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 9．在△ ABC 中，若 c42（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0，则∠ C= 60°或 120° ． 考 点： 专 题： 分 析： 因式分解的应用．2028644 数形结合．把已知 c42（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0 等式通过完全平方式、拆分项转化为 （c2a2b2ab） 2a2b2+ab）=0．分两种情况，根据余弦定理即可求 （c 得∠ 的度数． C 解 解：∵42（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0， c 4 答： ?c 2（a2+b2）c2+（a2+b2）2a2b2=0， ?[c2（a2+b2）]2（ab）2=0， ?（c2a2b2ab） 2a2b2+ab）=0， （c 2 2 2 ∴ a b ab=0 或 c2a2b2+ab=0， c 当 c2a2b2+ab=0，时 ∴C=60°， ∠ 当 c2a2b2ab=0，时 ， ，解 解：原式=[（n+7）+（n5）][（n+7）（n5）] 答： =[n+7+n5][n+7n+5] =12×（2n+2） =24（n+2） ． ∴ 对于任意的自然数 n， （n+7）2（n5）2 一定能被 24 整除． 点 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包 评： 括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是 平方差就用平方差公式来分解， 如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如果没有两数乘积的 2 倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因 分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误 选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说， 如果可以提取公因式的要先提取公因式． 11．若 a4+b4=a22a2b2+b2+6，则 a2+b2= 3 ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 计算题；整体思想．∴C=120°， ∠ 故答案为：∠ C=60°或∠ C=120°． 点 本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是将原式转化为（c2a2b2 评： ab） 2a2b2+ab）=0，再利用余弦定理求得∠ 的度数． （c C 10．对于任意的自然数 n， （n+7）2（n5）2 一定能被 24 整除． 考 因式分解的应用．2028644 点： 分 先用平方差公式因式分解，再计算． 析： .doc 第 28 页 共 33 页2 先对原式进行变形得 2+b2） 2+b2） （a （a 6=0， 经过观察后又可变为 2+b2 （a 2 2 2 2 3） +b +2）=0，又 a +b ≥0，即可得出本题的结果． （a 解：有 a4+b4=a22a2b2+b2+6， 变形后 （a2+b2）2（a2+b2）6=0， （a2+b23） 2+b2+2）=0， （a 2 2 又 a +b ≥0， 即 a2+b2=3， 故答案为 3． 点 本题主要考查了整体思想在因式分解中的应用，另应注意两个数的平方和 评： 为非负数．12．若 x2x1=0，则
的值为 1994 ． 考 因式分解的应用；代数式求值．2028644 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放点： 专 题： 分 析： 解 答：计算题． 由已知，得 x2x=1，再利用因式分解的知识对要求的代数式进行降次，进 行整体代入求解． 解：∵2x1=0， x 2 ∴ x=1， x ∴ =x（x2x）x2+2x+1995 =x2+x+1995 =（x2x）+． 故答案为 1994． 注意此题的整体代入思想，能够运用因式分解的知识对代数式进行降次．的值．那么再将 a、b 的值代入 a3+b3 即可求出结果． 解 解：∵5a4ba4+ab1=0?（a5+a）（a4b+b）（a4+1）=0?a（a4+1） a 答： b（a4+1）（a4+1）=0?（ab1） 4+1）=0 （a 4 ∵ +1＞0 a ∴ ab1=0 ① 又∵ 2a3b=1 ② 由①可得 a=2，b=1， ② ∴3+b3=23+1=9． a 故答案为：9． 点 本题考查因式分解， 解决本题的关键是通过因式分解将 a5a4ba4+ab 评： 1=0 转化为（ab1） 4+1）=0，同时得到 ab1=0． （a 15．若 A=3x+5y，B=y3x，则 A22A?B+B2= 4（3x+2y）2 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的应用．2028644 将 A22A?B+B2 利用完全平方公式进行因式分解后代入有关数值即可求 解． 解：原式=（AB）2=（3x+5yy+3x）2=4（3x+2y）2 故答案为：4（3x+2y）2点 评：．13．利用因式分解计算：202 +202×196+98 = 90000 ． 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的应用．2028644 通过观察，显然符合完全平方公式． 解：原式=202 +2x202x98+98 =（202+98）2=． 运用公式法可以简便计算一些式子的值．2 222本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式进行正确的因式分解．16．2481 能够被 60～70 之间的两个数整除，则这两个数是 65、63 ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 解：2481=（224+1） 241） （2 ， =（224+1） 12+1） 121） （2 （2 ， =（224+1） 12+1） 6+1） 61） （2 （2 （2 ； 6 ∵ =64， 2 ∴61=63，26+1=65， 214．已知 a a ba +ab1=0，且 2a3b=1，则 a +b 的值等于 9 ． 考 点： 专 题： 分 析： 因式分解的应用．2028644 因式分解． 观察 a5a4ba4+ab1=0 式子，可分解为（ab1） 4+1）=0，那么 （a 必为 ab1=0，根据已知 a、b 还满足 2a3b=1．据这两式可解得 a、b .doc 第 29 页 共 33 页54433无数次的坚守，只为 最华丽地绽放故答案为 65、63． 点 本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的 评： 解是本题解题的思路． 17．已知 t2+t1=0，则 t3+2t2+ ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644点 本题考查了因式分解的应用，要熟悉提公因式法等基本因式分解的方法， 评： 解答此题的关键是找到公因式． 19．已知 m2+m1=0，则 m3+2m211= 10 ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644首先由 t2+t1=0 求得 t2+t 的值，然后将 t3+2t2+2008 变形为 t（t2+t） t2+2t2+2008，即可求得答案． 解：∵ +t1=0， t2 ∴ +t=1， t2 ∴ +2t2+2008=t（t2+t）t2+2t2+2008， t3 =t+t2+2008， =1+2008， =2009． 故答案为：2009． 点 此题考查了因式分解的应用，解题的关键是 t3+2t2+2008=t（t2+t） 评： t2+2t2+2008 式子的求得与整体思想的应用． 18．利用分解因式计算： （1） =22004 （2） （2）51+（2）50 =250 ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 计算题． （1）将 22005 化为 2×22004，再提公因式 22004 即可； （2）将（2）51 化为（2）×（2）50，再提公因式（2）50 即可． 解： （1）=2×=22004×（21）=22004； （2） （2）51+（2）50=（2）×（2）50+（2）50=（2）50×（2+1） =250； 故答案为：2． .doc 第 30 页 共 33 页先将 m2+m1=0 变换为 m2+m=1．再提取公因式 m，将 m2+m 作为一个整 体直接代入计算． 解：∵ 2+m1=0， m 2 ∴ +m=1， m ∴ 3+2m211， m =m（m2+m）+m211， =m2+m11， =111， =10． 故答案为：10． 点 本题考查因式分解，解决本题的关键是将 m2+m 作为一个整体直接代入， 评： 求得结果． 20．一个矩形的长和宽分别为 a、b，它的周长为 14，面积为 10，那么 a2b+ab2 的值为 70 ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入 求值即可． 解：∵ 矩形的长和宽分别为 a，b，周长为 14，面积为 10， ∴ a+b=7，ab=10， ∴2b+ab2=ab（a+b）=70． a 故答案为：70． 点 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时 评： 还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．无数次的坚守，只为 最华丽地绽放21． 已知 x+y=6， xy=3， x2y+xy2= 则 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．202864418 ， 2+y2= x2 42 ， （xy）=48 ．将所求代数式适当变形后整体代入 x+y=6，xy=3 即可求解．解：∵ x+y=6，xy=3， ∴2y+xy2=xy（x+y）=3×6=18； x x2+y2=（x+y）22xy=36+6=42， （xy）2=（x+y）24xy=36+12=48， 故答案为：18；42；48． 点 本题考查了因式分解的知识，解决此类问题要整体观察，根据具体情况综 评： 合应用相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想． 22．2m+（m 是正整数）的个位数字是 0 ． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；有理数的乘方．2028644 运用提公因式法进行因式分解，然后根据 2n 的个位数字的规律进行分析．析： 因式 57.6 即可求解． 解 解：57.6×1.6+28.8×36.814.4×80 答： =57.6×1.6+14.4×2×36.814.4×4×20 =57.6（1.6+14.420） =57.6×0 =0． 点 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是发现每一项中都有一个公共的 评： 因数 57.6． ，ab=3，求下列代数式的值：24．已知（1） （a5） （b5） ； 3 2 2 （2）2a b+4a b +2ab3． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；整式的混合运算―化简求值．2028644 （1）将原式展开后整体代入已知条件即可求解； （2） 提取公因式 2ab 后再利用完全平方公式因式分解后整体代入即可求解． 解： （1）原式= （2）原式=2ab（a+b）2=2×（3）× =解：∵m+=2m+1（22006+1） 2 ，…2， 2006 ∴ +1 的个位数字是 4+1=5， 2 又 2n 的个位数字是 2 或 4 或 8 或 6， ∴m+（m 是正整数）的个位数字是 0． 2 故答案为 0． 点 此题综合考查了因式分解法和数字的规律问题．注意：2n 的个位数字的规 评： 律是 2、4、8、6 四个一循环． 三．解答题（共 8 小题） 23．用简便方法计算：57.6×1.6+28.8×36.814.4×80． 考 因式分解的应用．2028644 点： 分 将算式厘米的每一项都化为 57.6 与另外一个因数的积的形式，然后提取公 .doc 第 31 页 共 33 页点 本题考查了因式分解的应用及整式的混合运算，解题的关键是对原式进行 评： 正确的变形，也体现了整体思想． 25．已知 a+b=5，ab=3，求 a3b+2a2b2+ab3 的值． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 将原式利用因式分解变形为 ab（a+b）2 的形式后即可将已知条件代入求得 结果． 解：∵ a+b=5，ab=3 3 ∴ b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2） a =ab（a+b）2无数次的坚守，只为 最华丽地绽放=3×52 =75． 点 本题考查了因式分解的应用，正确的求得本题的答案的关键是因式分解， 评： 因式分解时先提公因式后用完全平方公式分解． 26．已知：a+b=10，求 a2+ab+5a5b 的值． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用．2028644 将 a2+ab+5a5b 分解为 a（a+b）+5a5b 后代入 a+b 后进一步求解即可． 解：原式=a（a+b）+5a5b， ∵ a+b=10， ∴ a（a+b）+5a5b =10a+5a5b =5a5b =5（a+b） =5×（10） =50． 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式进行因式分解．28．已知 a=3，是否存在实数 b 使等式（a+b）2+2（a+b）+1=0 成立？若存在 求出 b 的值；若不存在请说明理由． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．2028644假设存在这样的整数 b 使得原式成立， 然后将等式的左边因式分解后求得 b 值即可． 解：设存在整数 b，使得等式（a+b）2+2（a+b）+1=0 成立， 则（a+b+1）2=0， 解得：a+b+1=0， 即：b=a1=（3）1=2， 故存在整数 2，使得原方程成立． 点 本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是把 a+b 看成一 评： 个整体并将方程的左边因式分解．29．已知 a （1），求 的值；点 评：（2）a3a25a+2010 的值． 考 因式分解的应用；完全平方公式．2028644 点： 分 （1）将 变形为（a+ ）22 即可得到答案． 析： （2）将 a3a25a+2010 变形为 a2（a+ ）a26a+2010 代入 a 后进27．999 999 能被 1000 整除． 考 点： 分 析： 解 答： 点 评： 因式分解的应用．2028644 将原式首先提取 999，然后再利用平方差公式展开后即可得到结论． 解：∵ 原式=999（99921）=999×（999+1） （9991）=999×， ∴ 3999 能被 1000 整除． 999 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式正确的因式分解，注意 因式分解一定要彻底．3一步得到 3a2a26a+2010，再进一步变形后继续代入即可求得答案． 解 解： （1）∵ a 答： ∴ ，=（a+ ）22=322=7（2）a3a25a+2010 =a3+aa26a+40.doc 第 32 页 共 33 页 无数次的坚守，只为 最华丽地绽放=a2（a+ ）a26a+a26a+a++26a+2008 =2a（a+ ）6a+a+ 点 本题考查了因式分解的应用及完全平方公式，解题的关键是熟悉因式分解 评： 的方法并正确的变形． 30．已知：|x+y+1|+|xy3|=0，求代数式 xy3+x3y 的值． 考 点： 分 析： 解 答： 因式分解的应用；非负数的性质：绝对值．2028644先提取公因式 xy，再利用完全平方公式整理成已知条件的形式，然后代入 数据计算即可． 解：∵ |x+y+1|+|xy3|=0， ∴ x+y=1，xy=3 ∴3y+xy3 x =xy（x2+y2） =xy[（x2+y2+2xy）2xy] =xy[（x+y）22xy] =3×（16） =15． 点 本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式整理成已知条件的形式是求 评： 解本题的关键，整体思想的运用使运算更加简便．.doc第 33 页 共 33 页无数次的坚守，只为 最华丽地绽放
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