您的访问出错了(404错误) 很抱歉，您要访问的页面不存在。 1、请检查您输入的地址是否正确。 进行查找。 3、感谢您使用本站，3秒后自动跳转至网站首页继续查找其他问题的答案？ 其他答案(0) 找答案神器 上学吧找答案app 您可能感兴趣的 1若正项数列{xn}单调上升且上有界，试证级数收敛．2若 ∑n=1+∞an与∑n=1+∞cn都收敛，且an≤bn≤cn(n=1，2，…)，试证∑n=1+∞bn收敛．3设级数∑n=1+∞(an-an-1)收敛，∑n=1+∞bn绝对收敛，试证∑n=1+∞anbn，绝对收敛．4若级数∑n=1+∞an绝对收敛，试证级数∑n=1+∞an2，，绝对收敛．当前位置： >> §6.1.4(1)数项级数判敛法.ppt 一,正项级数及其判敛法 正项级数及其判敛法级数 ∑ u n , u n ≥ 0 (n = 1 , 2 , 3 ,, ) 称为正项级数.∞ n =1∵ S n = S n 1 + u n ≥ S n 1 ,∴ {S n }是单调增加的数列.若 {S n }有界,则 lim S n 必存在,从而 ∑ u n 收敛.
n →∞∞反之,若 ∑ u n 收敛,则 lim S n = S , {S n }必有界.n =1n→∞∞n =1定理 3 正项级数 ∑ un 收敛 它的部分和数列 {S n } 有界.n =1∞π ∞ sin 2n 的收敛性. 例 1.试判定正项级数 ∑ 2n n =1 π π π sin sin sin 1 6 ++ 2n , 4+ 解: S n = + 2 4 8 2n1 1n [1 ( ) ] 1 1 1 1 2 2 =1 (1)n &1 & + + ++ n = 1 2 4 8 2 2 1 2 π ∞ sin 2n 收敛. 即 {S n } 有界,故正项级数 ∑ 2n n =1比较判别法 判别法) 定理 4(比较判别法)∞ n =1设有两个正项级数 ∑ u n 和 ∑ vn ,(1)若 ∑ vn 收敛,则 ∑ u n 也收敛;n =1 n =1 ∞ ∞∞n =1(2)若 ∑ u n 发散,则 ∑ vn 也发散.n =1∞∞证: (1)设 ∑ vn 收敛,则由定理 3 可知,n =1∞n =1其部分和数列 {S n }有界 , 存在M & 0 ,使得 S n ≤ M . 即∵ un ≤ vn ( n = 1, 2 , ) ,故 ∑ u n 的部分和 σ n ≤ S n ≤ M ,n =1 ∞∴{σ n }有界 ,故 ∑ u n 收敛.∞∞n =1(2)用反证法.若 ∑ vn 收敛,则由(1)知 ∑ u n 收敛,∞这与 ∑ u n 发散矛盾,故 ∑ vn 发散.n =1 n =1∞n =1∞n =1推论:设 ∑un 和 ∑vn 都是正项级数,若存在常数n =1 n =1∞∞C & 0 , N ∈N + ,使当 n ≥ N 时 恒有 un ≤ Cvn 成立,则由 ∑ vn 收敛 n =1∞∞n =1∞∑un 收敛; ∑vn 发散.∞由 ∑un 发散 n =1n =1α 2 α α n 例 2.判别级数 2sin + 2 sin + + 2 sin + 3 32 3n ( 0 & α & π )的敛散性.解:∵ 0 & sinnα 3n&αα 3n2,n2 n ∴ 0 & 2 sin n & n α = α( ) ( n = 1, 2, ), 3 3 32 n 2 ∵级数 ∑ α ( ) 是公比为 的等比级数,收敛的, 3 3 n =1∞∴级数n =1∑2∞nsinα 3n收敛.例 3. 讨论 p 级数 ∑∞1p的敛散性, 其中 p & 0 .n=1 n1 解: (1)当 p ≤1 时, ≥ (n =1, 2 , 3 ,) , np n ∞ ∞ 1 1 而 ∑ 发散,故 ∑ 发散. n np n =1 n =11(2)当 p &1 时,对于 n 1 ≤ x ≤ n ,有 1 np =∫n1 xp≥1 np,可得1n 1 n pdx ≤ ∫n1n 1 x pdx (n = 2, 3, ) ,知部分和S n = 1+1 2p++1 np≤ 1+ ∫211xpdx ++ ∫n1n 1 x pdxx 1 常用等比级数和 1 级数作为 比较级数. p ) & 1+ 1 . = 1+ (1 p 1 p 1 n p 1n 1 1 1 p n dx =1+ x = 1+ 用比较审敛法判定正项级数是否收敛时, 1 p 1 1 p∫故 {S n }有界 ,从而 ∑∞∞1np n=1收敛.1 当p & 1时, 收敛, p 级数 ∑ p 当p ≤ 1时, 发散. n=1 n (1) ∑∞12n n n =1∴1∞2 n n 2 n11≤1( n = 1, 2, ),1 而∑ 是公比为 的收敛的等比级数, n1 2 n=1 2∴∑∞12n n n =1收敛.1 (2) ∑ n =1 n ( n + 1)∞1 1 解:∵ ( n =1, 2, ) , & n(n +1) n +11 1 1 1 而∑ = + + + + , n +1 2 3 n +1 n =1∞是去掉首项的调和级数,发散的,1 ∴∑ . n =1 n ( n + 1)∞判别法的极限形式) 定理 4, 比较判别法的极限形式) (比较判别法的极限形式un 设 ∑un 和 ∑vn 均为正项级数,且 lim = L ,则 n→∞ vn n=1 n=1(1)当 0 & L & +∞ 时, ∑ u n 与 ∑ vn 具有相同的敛散性;n =1 ∞ ∞∞∞(2)当 L = 0 ,且 ∑vn 收敛时, ∑un 也收敛;n =1 n=1∞n =1 ∞(3)当 L = +∞ 时且 ∑ vn 发散时, ∑u n 也发散.n =1 n =1∞∞证明: 证明un (1)∵ lim =L, n →∞ v nL ∴对 ε = & 0 , N ∈ N + , n & N 时,有 2un L un 3L 3L L , L & ,即 & & vn 2 2 vn 2L 3L 从而 vn & un & vn (n & N ) , 2 2由比较判别法可知结论成立.un (2)∵ lim =0, n→∞ vn∴对 ε = 1 , N ∈ N + , n & N 时,有un & 1 , vn & u n & vn ( n & N ) , vn由比较判别法可知 ∑vn 收敛时, ∑un 也收敛.n=1 n=1 ∞ ∞un vn (3)∵ lim = +∞ , lim =0, n→∞ vn n→∞ u n由反证法及(2)即知结论成立.极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均趋 向于零的情况下,其实是比较两个正项级数的通项作 为无穷小量的阶.它表明:当 n → ∞ 时,若 un 是比 vn高阶或是与 v n 同阶 的无穷小,而 级数 ∑vn 收敛,则级数 ∑ u n 收敛;若 u n 是比 v n 低阶或是与 vn 同阶的无n =1 ∞∞n=1穷小,而 级数 ∑ v n 发散,则 级数 ∑ u n 发散.n=1 n =1∞∞例 5.判别下列正项级数的敛散性1 2 (1) ∑ sin n n =1 n 解:对级数的通项作先分析:∞2 当 n → ∞ 时, sin ～ ,从而 sin 与 等价 . n n n n n 1 2 sin ∞ n n = 1 ,而 2 发散, ∵ lim ∑n 2 n→∞ n =1 n ∞ 1 2 ∴ ∑ sin 发散. n n=1 n2212n+2 (2) ∑ ln 3 n +1 n n =1 1 n+2 2 ln 3 n ln(1+ ) 3 n +1 n 对级数的通项先作分析: n =2, 解:∵ lim = lim 1 1 n→∞ n→∞ 3 n +1 1 n+2 2 2 41 n 1+ ) ～ , 当 n → ∞ 时, 3 ～ , ln = ln( 3 n +1 3n n n n n ∞ 1 n+2 1 1∞从而而∞与 4 ln1 收敛, 同阶. 3 n +1 4 n n3 n =1 n 3∑n+2 ∴∑ 收敛. ln 3 n +1 n n =1 1ln n (3) ∑ n n =1∞ln n 解:∵ lim n = lim ln n = +∞ , n→∞ 1 n→∞ n1 而 ∑ 发散, n n=1∞ln n ∴∑ 发散. n n =1∞un+1 设 ∑un 为正项级数,若 lim = ρ ,则 n→∞ un n=1∞(1)当 ρ &1时 , ∑un 收敛 ;n=1∞ un+1 (2)当 ρ &1 (或 lim = +∞ )时, ∑un 发散 ; n →∞ u n n =1∞(3)当 ρ = 1时 , ∑u n 可能收敛也可能发散.n =1∞un+1 证: (1)当 lim = ρ &1 时, n→∞ un取 ε & 0 ,使得 ρ + ε = q & 1 .而对此给定的 ε ,必 N ∈ N + ,当 n & N 时,un+1 有 ρ & ε . unun+1 故得 ρ & ε , unun+1 , & ρ + ε = q , u n+1 & qun ( n & N ) un即 u N + 2 & qu N +1 ,u N + 3 & qu N + 2 & q 2 u N +1 ,u N + k & qu N + k 1 & q k 1u N +1 ,…………因此正项级数 u N + 2 + u N +3 + + u N + k + 的各项小于收 敛的等比级数 qu N +1 + q 2u N +1 + + q k 1u N +1 + 的对应项.∴由比较判别法和级数性质 3 可知,级数 ∑u n 收敛.n =1∞un+1 (2)当 lim = ρ &1 时,取 ε & 0 ,使得 ρ ε = q & 1 . n→∞ u n而对此 给定的 ε , 必 N ∈ N + , 当 n & N 时 ,un+1 有 ρ & ε , unun+1 un+1 故得 ρ & ε , & ρ ε = q & 1 , un+1 & un . un un即当 n & N 时,后项总比前项大,这表明 lim u n ≠ 0 ,n→∞故由级数收敛的必要条件可知, ∑ u n 发散.n =1∞∞ u n +1 类似地,可以证明当 lim = +∞ 时, ∑ u n 发散. n→ ∞ u n n =1∞ u n +1 (3) 当 lim = 1 ,正项级数 ∑ u n 可能收敛也可能 n→∞ u n n =1发散,此结论从 p 级数 就可看出.因为若 ∑ u n是 p 级n =1∞1 un+1 (n +1) p 数,则对 p ∈ R ,都有 lim = lim =1 , 1 n→∞ un n→∞ np+但当 p ≤1时 , p 级数发散 ;当 p & 1时 , p 级数收敛 .例 6.判定下列正项级数的敛散性.(1) ∑ 2 tann n =1∞π 3n;2n+1tan n+1 2 n+1 un+1 2 3 3 解:∵ lim = lim = lim = &1 , π π 3 n n→∞ un n→∞ n→∞ 2 tan n 3 3n ∞ π n ∴ 级 数 ∑ 2 tan 收敛. n 3 n =1ππ( 2)un+1 5n+1 n5 n 5 解:∵ lim = lim = lim 5( ) = 5 & 1, 5 n n →∞ n + 1 n→∞ un n→∞ (n +1) 5∴级数 ∑∞n =1∑ n5 ;∞∞5n5nn5 n =1发散.2 1) ( 3) ∑ u n = , 1 5 3) n =1un+1 3n + 2 3 解:∵ lim = lim = &1 , n→∞ un n→∞ 4n +1 4∴原级数收敛.x n 例 7. 讨 论 级 数 ∑ n !( ) ( x & 0 ) 的 收 敛 性 . n n =1x n+1 (n +1)!( ) un+1 x x n +1 ∵ lim = lim = lim = , x n n→∞ un n→∞ 1 n e n →∞ n !( ) (1+ ) n n∞x ∴当 x & e ,即 &1 时,级数收敛; ex 当 x & e ,即 & 1 时,级数发散; e当 x = e 时,比值法失效.1 n un+1 ∵ (1+ ) & e ,∴ = n unn→ ∞x e = & 1 (n = 1, 2, 3, ,) , 1 n 1 n (1+ ) (1+ ) n n 故 lim u n ≠ 0 , 所 以级 数 也 发 散 .例 7 说明,虽然定理 3 对于 ρ = 1的 情形,不能判定级u n+1 u n+1 数的敛散性,但若能确定在 lim =1 的过程中, un n→∞ u n总是从大于 1 的方向趋向于 1,则也可判定级数是发散的.凡是用比值审敛法判定的发散级数,都必有 lim un ≠ 0 .n →∞根值判别法,柯西判别法 判别法) 定理 6(根值判别法,柯西判别法)设 ∑u n 为正项级数,且 lim n u n = ρ ,则n=1 ∞n→∞(1)当 ρ &1时 , ∑u n 收敛;n=1∞(2)当 ρ &1时 (或 lim n u n = +∞ )时, ∑u n 发散.n→∞ n=1∞(3)当 ρ =1时 ,不能判别.例 8.判别下列级数的敛散性.(1) ∑∞arctan nn;π 0 ( ) n u = lim n arctan n = 2 = 1 & 1 , 解:∵ lim n ln 2 ln 2 n →∞ n→∞ (ln 2) n∴∑∞n =1 (ln 2 )arctan nn发散.n =1 (ln 2)an n (2) ∑( ) ( a & 0) n +1 n=1n u = lim n ( an ) n = lim an = a , 解:∵ lim n n→∞ n→∞ n +1 n→∞ n +1∞∴当 a & 1 时,级数收敛;当 a & 1 时,级数发散;当 a = 1 时,根值判别法失效.n n 1 1 但∵ lim un = lim ( ) = lim = ≠0 , 1 n e n→∞ n→∞ n +1 n→∞ (1+ ) n ∴当 a =1 时,级数发散.(3) ∑ 2n =1∞n( 1) nnu解:∵ lim∴n→∞ ∞n= lim 2n→∞n n( 1) n= limn→∞( 1) n 1 n 21 = &1 , 2n =1∑2 n 1) n收敛.可以证明,凡是能用比值判别法判定其敛散性的级数 必能用根值判别法判别其敛散性,反之未必.u n +1 2 例如: lim = lim n ( 1) n n→∞ u n n→∞ 2( n +1) ( 1) n +1= lim 2n→∞1+ 2 ( 1) n不存在,可见比值判别法失效.积分判别法) 定理 7(积分判别法) 设(1) f ∈C[1,+∞) , f ≥ 0 且单调递减; (2) un = f ( n)(n = 1,2,) , 则反常积分 ∫∞+∞ 1f ( x)dx 收敛或发散时,正项级数 ∑un 也随之收敛或发散.n=1yy = f (x)o 1 2 3 4I n = ∫ f ( x)dx ,1 nn 1 nx证明:曲线 y = f (x) 与直线 x =1 , x = n 及 x 轴 所围成的面积I n & u1 + u 2 + + u n 1 = S n u n ,I n & u2 + u3 + + un = S n u1 ,yy= f (x)o 1 2 3 4n1 nx由此得 S n & I n + u1 ①, S n & I n ②,若 I = lim I n 存在 S n & I + u1 {S n }有界 ∑un收敛,n→∞ n=1①∞若 I = lim I n = ∞ lim S n = ∞ ∑un收敛.n→∞ n→∞ n=1②∞例 9.判别下列级数的敛散性.∞ 1 (1) ∑ ( p & 0) ; p n=1 n解: (1) un =1 np,取 f ( x) =1 xp,则 f (x) 在 [1,+∞) 上非负,连续,单减.当p ≤ 1时发散, +∞ 1 ∵ ∫1 dx = p 当p &1时收敛. x ∞ 1 ∴∑ np n=1,当 p ≤1 时发散;当 p & 1 时收敛.(2) ∑∞12n=1 ( n +1) ln ( n +1).解: un =1 (n +1)ln (n +1)2,取 f ( x) =1 ( x +1)ln ( x +1)2,则 f (x) 在 [1,+∞) 上非负,连续,单减.+∞ ∵ ∫1+∞ ∴ ∫11 1 +∞ , dx = = ln( x +1) 1 ln 2 ( x +1)ln 2 ( x +1)121( x +1)ln ( x +1)∞dx 收敛,从而 ∑1(n +1)ln 2 (n +1) n=1收敛.作业习 题二 (P16))(3)(5 1(2)(3)(5);2(2)(4); )(4)(3 3(2)(3); )(3)(5)(7 )(9 4(1)(3)(5)(7 )(9);7 ;8 (参见习题课教程P181). ). __1 5 0 3 6 1 1 5 2 4 1__ 2012 年 5 月 23 日 数项级数敛散性判别法总结 摘要:级数是数学分析中的主要内容之一,我们学习过的数项级 数收敛性...高等数学数项级数判敛法例题_理学_高等教育_教育专区。高等数学数项级数判敛法例题一、正项级数及其判敛法例 5.判定下列正项级数的敛散性。 ? (1) ? n?1...数项级数的性质的理解与运用。 四、教学方法和手段...2(1) ,(3) 湖南工学院教案用纸一.概念 : 1....( 例7 证法一 证法二 验证 ( . 级数判敛时应...关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数...? ? 2.2 数项级数的性质(1)若级数 ? ?u n ...2.3.2 正项级数判别法(1)正项 ?u n ?1 ? ...数项级数敛散性的判别毕业论文 班级:数学 091 姓名...? ? (1) n 称为数项级数,可记为 一般项。 ?...1 时,级数发散 四、 p ? ? 级数收敛性判别法:...《数学分析》教案 第十二章 数项级数教学目的:1....于是,数列{ }收敛 级数 收敛. 可见 , 4. 级数...( 证 ) 正项级数判敛法: 1. 检比法: 亦称为...第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法...推出更宽泛的柯西判别法. 定理 1(柯西判别法 1)...v n ?1 再用柯西判敛法(定理 2) 便得结论....级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系_数学_自然...(3) un vn 则由级数(2)收敛可知级数(1)收敛,...1 时级数发散。 定理 6(高斯判别法) 对正项级数...数项级数 ( 1 4 时)§ 1 级数的收敛性( 3 ...例6 判断级数 ∑u k =1 n+k |不失真地放大成...138 二. 正项级数判敛法: 正项级数判敛法 1. ...《数学分析》第十二章 数项级数_理学_高等教育_教育...1 q 例 2 讨论级数 解 ∑ n(n + 1) 的敛...二 正项级数判敛法: 1.比值法:亦称为 D'... All rights reserved Powered by copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。An=1/(n^(1+1/n))的级数和是收敛还是发散的 1.An=1/(n^(1+1/n)). Lim{n→∞}An/(1/n)=Lim{n→∞}n^(-1/n)=1>0. 由于∑{n≥1}1/n发散,所以∑{n≥1}An发散. 2.An=(n^(n+1/n))/((n+1/n)^n)= =(n^(1/n))/((1+1/n^2)^n). Lim{n→∞}An= =[Lim{n→∞}(n^(1/n))][Lim{n→∞}(1+1/n^2)^(-n)]= 所以∑{n≥1}An发散. 其他答案（共1个回答） 证明：交错级数，1/n是单调递减，n趋向无穷的时候值为0，所以满足莱布尼茨判别法，级数收敛 第一个是常数e的第一定义 第二个可用洛比达法则解决 第三个不一定正确，若分子、分母有公因式，则答案不是a/k，而是约去公因式之后的一次详系数值比。但无论是否约去... ∑ (-1)^n/(n-lnn)是交错级数， u=1/(n-lnn)&u=1/[n+1-ln(n+1)], lim u=lim (1/n)/[(1-lnn)/n... 当n为奇数时， (n-1)!!/n!!=[2*4*6*…*(n-1)]/[1*3*5*…*n] 当n为偶数时， (n-1)!!/n!!=[1*3*5*…*(n-... 答: 37周+4，做胎心监护好多次都超过170，在170~180之间，没有事吧？ 答: x->0:lim(1+x)^(-1/x) =1/[x->0:lim(1+x)^(1/x) x->∞:limxsin(1/x) =1/x->0:lim[... 答: 计算科学是一门什么样的学科？ 答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科... 答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的... 大家还关注 确定举报此问题 举报原因(必选)： 广告或垃圾信息 激进时政或意识形态话题 不雅词句或人身攻击 侵犯他人隐私 其它违法和不良信息 报告，这不是个问题 报告原因(必选)： 这不是个问题 这个问题分类似乎错了 这个不是我熟悉的地区您的访问出错了(404错误) 很抱歉，您要访问的页面不存在。 1、请检查您输入的地址是否正确。 进行查找。 3、感谢您使用本站，3秒后自动跳转至网站首页