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由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
题型：解答题难度：中档来源：江苏月考题
解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1，猜想正确．②假设n=k时猜想成立，即，则n=k+1时，==，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．
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数学归纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立； （2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立； 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式； （2）证明不等式； （3）三角函数； （4）计算、猜想、证明。
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2．计算的结果是 A． B． C． D． 3．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上.如图1所示. 则这个不等式组可能是 A． B． C． D． 【】
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高一数学教案：新课标人教A版数学必修3教案完整版
第一章算法初步一、课标要求： 1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展 的贡献。 2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活 中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也 就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程 序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。 3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题） ，体会算法的思想，了解算法的含义。理解程序框图的三 种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种基本的算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语 句。进一步体会算法的基本思想。 4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问题 的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。 二、编写意图与特色： 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越 大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰 富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的 作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考 与表达的能力，提高逻辑思维能力。 1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。 2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构： 顺序结构、条件结构、循环结构。 3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。 4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环 语句，体会算法的基本思想。 5、需要注意的问题 1) 从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。 2) 变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。 3) 不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。 4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。 三、教学内容及课时安排： 1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句 1.3 算法案例 复习与小结 (约 2 课时) （约 3 课时） （约 5 课时） （约 2 课时）四、评价建议 1．重视对学生数学学习过程的评价 关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、 简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。 2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能 关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将 贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法 1．1．1 算法的概念一、教学目标： 1、知识与技能： （1）了解算法的含义，体会算法的思想。 （2）能够用自然语言叙述算法。 （3）掌握正确的算法应满足的要求。 （4）会写出解 线性方程（组）的算法。 （5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 （6）会应用 Scilab 求解方程组。 2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的 问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列 中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的 一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点： 重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点：把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具： 学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数 n(n&1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；??)，并且能够重复使 用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算 1×2×3×4×5 是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水” “替我理发” 等则是做不到的。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 四、教学设想： 1、 创设情境： 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉 许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。 我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因 此，算法其实是重要的数学对象。 2、 探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某 一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。 在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算 法、作图的算法，等等。3、 例题分析： 例 1 任意给定一个大于 1 的整数 n，试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 做出判定。 算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤： 第一步：判断 n 是否等于 2，若 n=2，则 n 是质数；若 n&2，则执行第二步。 第二步：依次从 2 至（n-1）检验是不是 n 的因数，即整除 n 的数，若有这样的数，则 n 不是质数；若没有这样的数，则 n 是质数。 这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法。 例 2 用二分法设计一个求议程 x C2=0 的近似根的算法。 算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过 0.005，则不难设计出以下步骤： 第一步：令 f(x)=x C2。因为 f(1)&0，f(2)&0，所以设 x1=1，x2=2。 第二步：令 m=(x1+x2)/2，判断 f(m)是否为 0，若则，则 m 为所长；若否，则继续判断 f(x1)?f(m)大于 0 还是小于 0。 第三步：若 f(x1)?f(m)&0，则令 x1=m；否则，令 x2=m。 第四步：判断|x1Cx2|&0.005 是否成立？若是，则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。 小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性 典例剖析： 1、基本概念题 x-2y=-1,① 例3 写出解二元一次方程组 2x+y=1② 解：第一步，②-①×2 得 5y=3；③ 第二步，解③得 y=3/5； 第三步，将 y=3/5 代入①，得 x=1/5 学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？ 老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组 的算法2 2 1? A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 ( A1 B 2 ? B1 A 2 ? 0 ) 的解的算法： ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③ 第二步：解③，得 第三步：将y ?A C ? A2 C 2 y ? 2 1 A 2 C 1 A1 B 2 C 2 A 2 B1 ? A2 ?A1 B 2 ? A 2 B1；代入①，得 x?? B 2 C 1 ? B1C 2 A1 B 2 ? A 2 B1。此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒 2 的另一个算法： 第一步：取 A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1； 第二步：计算x ?? B 2 C 1 ? B1C 2 A1 B 2 ? A 2 B1与y ?A2 C 1 ? A2 C 2 A1 B 2 ? A 2 B1第三步：输出运算结果。可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。基础知识应用题 例 4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。 解：算法如下。 S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值” 。 S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值” ，这时你就假定“最大值”是这个整数。 S3 如果序列中还有其他整数，重复 S2。 S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。 学生做一做 老师评一评 S1 max=a S2 如果 b&max, 则 max=b. S3 如果 C&max, 则 max=c. S4 max 就是 a,b,c 中的最大值。 综合应用题 例 5 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法。 分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 1+2+?+n= 解：算法 1： S1：计算 1+2 得到 3； S2：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6； S3：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10； S4：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15； S5：将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21。 算法 2： S1：取 n=6； S2：计算 写出对任意 3 个整数 a,b,c 求出最大值的算法。 在例 2 中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。n ( n ? 1) 2进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。n ( n ? 1) 2；S3：输出运算结果。 算法 3： S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7； S2：计算 3×7； S3：输出运算结果。小结：算法 1 是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如 1+2+3+?+10000，再用这种方法是行不通的；算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法，但比较而言，算法 2 最为简单，且易于在计算机上执行操作。 学生做一做 求 1×3×5×7×9×11 的值，写出其算法。 老师评一评 算法 1；第一步，先求 1×3，得到结果 3； 第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15； 第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105； 第四步，再将 105 乘以 9，得到 945； 第五步，再将 945 乘以 11，得到 10395，即是最后结果。 算法 2：用 P 表示被乘数，i 表示乘数。 S1 使 P=1。 S2 使 i=3 S3 使 P=P×i S4 使 i=i+2 S5 若 i≤11，则返回到 S3 继续执行；否则算法结束。 小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法 2 不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5 构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量 P、i 的值都发生了变化，并且生循 环一次之后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验，一旦发现 i 的值大于 11 时，立即停止循环，同时输出最后一个 P 的值，对于循环结构的详细情 况，我们将在以后的学习中介绍。 4、课堂小结 本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数 学语言。 例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午 2 时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。 若用自然语言来描述可写为 （1）1:00 从家出发到公共汽车站 （2）1:10 上公共汽车 （3）1:40 到达体育馆 （4）1:45 做准备活动。 （5）2:00 比赛开始。 若用数学语言来描述可写为： S1 S2 S3 1:00 从家出发到公共汽车站 1:10 上公共汽车 1:40 到达体育馆S4 S51:45 做准备活动 2:00 比赛开始大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。 5、自我评价 1、写出解一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的一个算法。 2、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法（打印结果） 6、评价标准 1、解：算法如下 S1 S2 S3 计算△=b -4ac 如果△〈0，则方程无解；否则 x1= 输出计算结果 x1，x2 或无解信息。2 22、解：算法如下： S1 S2 S3 S4 S5 使 i=1 i 被 3 除，得余数 r 如果 r=0，则打印 i，否则不打印 使 i=i+1 若 i≤1000,则返回到 S2 继续执行，否则算法结束。27、作业：1、写出解不等式 x -2x-3&0 的一个算法。 解：第一步：x -2x-3=0 的两根是 x1=3，x2=-1。 第二步：由 x -2x-3&0 可知不等式的解集为{x | -1&x&3}。 评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如 ax +bx+c&0 的不等式的解的步骤（为方便，我们设 a&0）如下： 第一步：计算△=22 2b ? 4 ac2；第二步：若△&0，示出方程两根x1 , 2 ??b?b ? 4 ac2（设 x1&x2） ，则不等式解集为{x | x&x1 或 x&x2}；第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | 第四步：若△&0，则不等式的解集为 R。2a b x∈R 且 x ? ? 2a}；2、求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法： 第一步：取 x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2； 第二步：若 x1= x2； 第三步：输出斜率不存在； 第四步：若 x1≠x2； 第五步：计算 k?y 2 ? y1 x 2 ? x1；第六步：输出结果。3、写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。 解：算法：第一步：取 x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3； 第二步：计算y ? y1 y 2 ? y1?x ? x1 x 2 ? x1；第三步：在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m，得直线与 y 轴交点(0,m)； 第四步：在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n，得直线与 x 轴交点(n,0)； 第五步：计算 S= 第六步：输出运算结果 1．1．2 程序框图(第二、三课时)1 2| m | ? | n |；一、教学目标： 1、知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确 画出程序框图。 2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。 3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要 求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。 二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和 3 种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。 三、学法与教学用具： 1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机 程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。有了这个流程图，再去设计程 序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。 2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。例如“起止框” 只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分 知识时必须要注意的一个方面。另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在 设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。 3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器 四、教学设想： 1、创设情境： 算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。 基本概念： （1）起止框图： （2）输入、输出框： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图 1-1 中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数 a11,a12,a21,a22 和常数项 b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输 入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出 D≠0 时未知数 x1,x2 的值，右边分支中的输出框负责输出 D=0 时的结果，即输出无法求 解信息。 （3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图 1-1 中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算 D=a11a22-a21a12 的值，第二个处理框的作用是计算 x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D 的值。 （4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否” （也可用“Y”与“N” ）两个分支，在图 1-1 中，通过判断框对 D 的值进行判断，若判断框中的式子 是 D=0，则说明 D=0 时由标有“是”的分支处理数据；若 D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打印 x 的绝对值，可以设计如 下框图。开始输入 x是x≥0？否打印 x-打印 x结束从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是“x≥0” ，若符合这个条件，则按照“是”分支继续往 下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续往下执行，这样的话，打印出的结果总是 x 的绝对值。 在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： （1）使用标准的图形符号。 （2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 （3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。 （4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 （5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 2、典例剖析： 例 1：已知 x=4,y=2,画出计算 w=3x+4y 的值的程序框图。 解：程序框如下图所示：开始输入 4，24 和 2 分别是 x 和 y 的值w=3×4+4×2输出 w结束小结：此图的输入框旁边加了一个注释框 基础知识应用题，它的作用是对框中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。 例 2：已知一个三角形的三边分别为 2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。 算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出 p 的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。 程序框图：开始p=(2+3+4)/2s=√p(p-2)(p-3)(p-4)输出 s结束2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此， 需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。例 3：任意给定 3 个正实数，设计一个算法，判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。 算法分析：判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这 3 个数当中任意两个数的和是否大于第 3 个数，这就需要用 到条件结构。 程序框图：开始输入 a,b,ca+b&c , a+c&b, b+c&a 是 否同时成立？否是存在这样的三角形不存在这样的三角形结束3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步 骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1）一类是当型循环结构，如图 1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件 P1 成立时，执行 A 框，A 框执行完毕后，再判断条件 P1 是否成 立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件 P1 不成立为止，此时不再执行 A 框，从 b 离开循环结构。 （2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P2 是否成立，如果 P2 仍然不成立，则继续执行 A框，直到某一次给定的条件 P2 成立为止，此时不再执行 A 框，从 b 点离开循环结构。AAP1？ P2？ 不成立 成立 不成立b 当型循环结构 （1）b 直到型循环结构 （2）例 4：设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法，并画出程序框图。 算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为 0，计数变量的值可以从 1 到 100。程序框图：开始i=1Sum=0i=i+1Sum=sum+ii≤100？ 否 是输出 sum结束3、课堂小结： 本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结 构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它 们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达 4、自我评价： 1）设 x 为为一个正整数，规定如下运算：若 x 为奇数，则求3x+2；若 x 为偶数，则为 5x，写出算法，并画出程序框图。 2）画出求 2 +2 +2 +?2 的值的程序框图。 5、评价标准： 1．解：算法如下。 S1 输入 x S2 若 x 为奇数，则输出A=3x+2；否则输出 A=5x S3 算法结束。1 2 3 100程序框图如下图：开始i=1p=0p=pxii=i+1i≤30?是否输出 p结束2、 解：序框图如下图:开始i=1p=0p=p+2ii=i+1i≥100?否是输出 p结束6、作业：课本 P11 习题 1.1 A 组 2、3 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句（第一课时） 教学目标： 知识与技能 （1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。 （2）会写一些简单的程序。 （3）掌握赋值语句中的“=”的作用。 过程与方法 （1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。 （2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，理解逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密切相关，增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。 重点与难点 重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。 难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。 学法与教学用具 计算机、图形计算器教学设想 【创设情境】 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如：听 MP3，看电影，玩游戏，打字排版，画卡通画，处理 数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？ 计算机完成任何一项任务都需要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此 还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言（programming language）翻译成计算机程序。 程序设计语言有很多种。如 BASIC，Foxbase，C 语言，C++，J++，VB 等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条 件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句习输入、 输出语这就是这一节所要研究的主要内容――基本算法语句。 今天， 我们先一起来学 句和赋值语句。 （板出课题） 【探究新知】 我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构。输入、输出语句和 上对应于算法中的顺序结构。 （如右图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行 输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息， 输出结果的功能。 如下面 用描点法作函数语句 n赋值语句基本 这些语句。语句 n+1的例子： 与函数的一组y ? x ? 3 x ? 24 x ? 303 2的图象时， 需要求出自变量对应值。编写程序，分别计算当x ? ? 5, ? 4, ? 3, ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3, 4, 5时的函数值。程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)INPUT “x=”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT x PRINT y END（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作，模仿编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一步提高学生的模仿能力。 ）〖提问〗 ：在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？（同学们互相交流、议论、猜想、概括出结论。提示： “input” 和“print”的中文意思等） （一）输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容” ；变量其中， “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5， 计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。 INPUT 语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：INPUT “提示内容 1，提示内容 2，提示内容 3，?” ；变量 1，变量 2，变量 3，?例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成： INPUT “数学，语文，英语” ；a，b，c 注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“； ”隔开。 ②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“， ”隔开。但最后的变量的后面不需要。 （二）输出语句 在该程序中，第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是：PRINT “提示内容” ；表达式同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容” 。例如下面的语句可以输出斐波那契数列：PRINT “The Fibonacci Progression is：； ” 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?”此时屏幕上显示： The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ? 输出语句的用途： （1）输出常量，变量的值和系统信息。 （2）输出数值计算的结果。 〖思考〗 ：在 1.1.2 中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流想法，然后请学生作答） 参考答案： 输入框：INPUT “请输入需判断的整数 n=”；n 输出框：PRINT n； “是质数。 ” PRINT n； “不是质数。 ”（三）赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句，在该程序中第 2 行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。 注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。 ②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等） ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。〖思考〗 ：在 1.1.2 中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出相应的赋值语句。 （学生思考讨论、交流想法。 ） 【例题精析】 〖例 1〗 ：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。 算法： 程序：开始输入 a,b,cy ?a?b?c 3INPUT “数学=”;a INPUT “语文=”;b INPUT “英语=”;c y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y END输出 y结束〖例 2〗 ：给一个变量重复赋值。 程序：A=10 A=A+10 PRINT A END[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后 A 的输出值是 30。 （该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解） 程序：A=10 A=A+15 PRINT A A=A+5 PRINT A END〖例 3〗 ：交换两个变量 A 和 B 的值，并输出交换前后的值。 分析：引入一个中间变量 X,将 A 的值赋予 X,又将 B 的值赋予 A，再将 X 的值赋予 B，从而达到交换 A，B 的值。 （比如交换装满水 的两个水桶里的水需要再找一个空桶） 程序：INPUT A INPUT B PRINT A，B X=A〖补例〗 ：编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。 ? （ 分析：设圆的半径为 R，则圆的周长为 C 和赋值语句设计程序。 程序：取 3.14）? 2? R，面积为 S??R2，可以利用顺序结构中的 INPUT 语句，PRINT 语句INPUT “半径为 R=” ；R C=2*3.14*R S=3.14*R^2 PRINT “该圆的周长为：”；C PRINT “该圆的面积为：”；S END【课堂精练】 P15 练习 1. 2. 3 参考答案： 1.程序: INPUT “请输入华氏温度：；x ” y=(x-32)*5/9 PRINT “华氏温度：；x ” PRINT “摄氏温度：；y ” END 〖提问〗 ：如果要求输入一个摄氏温度，输出其相应的华氏温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论完成） 2. 程序： INPUT “请输入 a（a ? 0）=” ；a INPUT “请输入 b（b ? 0）=” ；b X=a+b Y=a-b Z=a*b Q=a/b PRINT a,b PRINT X,Y,Z,Q END 3. 程序： p=(2+3+4)/2 t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4) s=SQR(t)PRINT “该三角形的面积为：；s ” END 注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。 【课堂小结】 本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程 序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯， 也有助于数学逻辑思维的形成。 【评价设计】 1．P23 习题 1.2 A 组 1（2） 、22．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提出的问题。要求写出算法，画程序 框图，并写出程序设计。 1.2.2-1.2.3 条件语句和循环语句（第二、三课时） 教学目标： 知识与技能 （1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系。 （2）会应用条件语句和循环语句编写程序。 过程与方法 经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发展学生逻辑思维能力 情感态度与价值观 了解条件语句在程序中起判断转折作用， 在解决实际问题中起决定作用。 深刻体会到循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。 减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习，有益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。 重点与难点 重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。 难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。 学法与教学用具 计算机、图形计算器 教学设想 【创设情境】 试求自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 显然大家都能准确地口算出它的答案： 5050。 而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢？而要编程， 以我们前面所学的输入、 输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的物质需要” ，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循 环语句（板出课题） 【探究新知】 （一）条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是： （IF-THEN-ELSE 格式）IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF满足条件？ 是 语句 1否语句 2当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断， 如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句 1， 否则执行 ELSE 后的语句 2。 其对应的程序框图为： （如上右图） 在某些情况下，也可以只使用 IF-THEN 语句： （即 IF-THEN 格式）是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件？ 否 语句计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 THEN 后的语句，如果条件不符 合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为： （如上右图） 条件语句的作用： 在程序执行过程中， 根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。 需要计算机按条件进行分析、 比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。 【例题精析】 〖例 1〗 ：编写程序，输入一元二次方程 a x2? b x ? c ? 0 的系数，输出它的实数根。分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来。 算法分析： 我们知道，若判别式? ? b ? 4 ac ? 0 ， 原方程有2两个不相等的实数根x1 ??b ? 2a?、x2 ?个?b ? 2a等?；若 ?? 0，根 若相的实 ；数INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a) q=SQR(ABS(d))/(2*a) IF d&=0 THEN x1=p+q x2=p-q原方程有两x1 ? x 2 ? ?b 2a? ?0， 原方程没有实数根。也就是说，在求 需要首先判断判别式的符号。 因此， 以用算法中的条件结构来实现。 又因为方程的两个根有相同的IF x1=x2THEN解方程之前， 这个过程可PRINT “One real root:”;x1部分， 为了避ELSEPRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2免重复计算，可以在计算x 1 和 x 2 之前，先计算 p ? ?b 2a，q?? 2a。程序框图： （参照课本 P1 7 ）程序：(如右图所示) 注：SQR（）和 ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的平方根和绝对值。即SQR ( x) ?x， ABS( x )?? -xx((xx??00)).顺序输出。〖例 2〗 ：编写程序，使得任意输入的 3 个整数按从大到小的算法分析：用 a，b，c 表示输入的 3 个整数；为了节约 新排列后，仍用 a，b，c 表示，并使 a≥b≥c.具体操作 第一步：输入 3 个整数 a，b，c. 第二步：将 a 与 b 比较，并把小者赋给 b，大者赋给 a. 第三步：将 a 与 c 比较. 并把小者赋给 c，大者赋给 a， 者中最大的。 第四步：将 b 与 c 比较，并把小者赋给 c，大者赋给 b， 按从大到小的顺序排列好。 第五步：按顺序输出 a，b，c. 程序框图： （参照课本 P1 9 ） 程序：(如右框图所示)〖补例〗 ：铁路部门托运行李的收费方法如下： y 是收费额（单位：元） 是行李重量（单位： ，x 20 时，按 0.35 元/kg 收费，当 x＞20kg 时，20kg 的 /kg,超出 20kg 的部分，则按 0.65 元/kg 收费，请根 法编写程序。INPUT “a，b，c =”;a，b，c IF b&a THEN t=a a=b b=t END IF IF c&a THEN t=a a=c c=t END IF IF c&b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a，b，c END变量， 把它们重 步骤如下。此时 a 已是三此时 a，b，c 已kg）,当 0＜x≤ 部分按 0.35 元 据上述收费方y ? 分析：首先由题意得：程序：?0 .3 5 x ,0 ? x ? 20 ,该函数是个分段函数。需要对行李重量作出判断，0 .3 5 ? 2 0 ? 0 .6 5 ( x ? 2 0 ), x ? 2 0 .因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。 INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x IF x&0 AND x&=20 THEN y=0.35*x ELSE y=0.35*20+0.65*(x-20) END IF PRINT “该旅客行李托运费为：；y ” END【课堂精练】 1． P2 0 练习 2.（题略）分析：如果有两个或是两个以上的并列条件时，用“AND”把它们连接起来。 2． P2 0 练习 1.（题略）参考答案： INPUT “请输入三个正数 a，b，c=”； a，b，c IF a+b&c AND a+c&b AND b+c&a THENPRINT “以下列三个数：”；a，b，c， “可以构成三角形。 ” ELSE PRINT “以下列三个数：”；a，b，c， “不可以构成三角形！ ” END IF END （二）循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE 型）和 直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 （1）WHILE 语句的一般格式是：WHILE 条件 循环体 WEND循环体 满足条件？ 否是其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条 件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为： （如上右图） （2）UNTIL 语句的一般格式是：DO 循环体 LOOP UNTIL 条件循环体 否 满足条件？ 是其对应的程序结构框图为： （如上右图） 〖思考〗 ：直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执行 UNTIL 语句 的？（让学生模仿执行 WHILE 语句的表述） 从 UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行 循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 〖提问〗 ：通过对照，大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢？（让学生表达自己的感受） 区别：在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，而在 UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循环体。 【例题精析】 〖例 3〗 ：编写程序，计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 分析：这是一个累加问题。我们可以用 WHILE 型语句，也可以用 UNTIL 型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的 设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。 程 UNTIL 型： 序 ： WHILE 型 ：i=1 sum=0 WHLIE i&=100 sum=sum+i i=i+1 WENDPRINTENDsumi=1 sum=0 DO sum=sum+i i=i+1 LOOP UNTIL i&100 PRINT sum END〖例 4〗 ：根据 1.1.2 中的图 1.1-2,将程序框图转化为程序语句。 分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构。 程序：INPUT “n=”;n flag=1 IF n&2 THEN d=2 WHILE d&=n-1 AND flag=1 IF n MOD d=0 THEN flag=0 ELSE d=d+1 END IF WEND ELSE IF flag=1 THEN PRINT n； “是质数。 ” ELSE PRINT n； “不是质数。 ” END IF END IF END〖思考〗 ：上述判定质数的算法是否还能有所改进？（让学生课后思考。 ） 〖补例〗 ：某纺织厂 1997 年的生产总值为 300 万元，如果年生产增产率为 5，计算最早在哪一年生产总值超过 400 万元。 分析：从 1997 年底开始，经过 x 年后生产总值为 300×（1+5） ,可将 1997 年生产总值赋给变量 a，然后对其进行累乘，用 n 作为 计数变量进行循环，直到 a 的值超过 400 万元为止。 解： 程序框图为： 程序：x开始a=300,p=1.05,n=1997a&400?否是输出 na=a*p 结束a=300 p=1.05 n=1997 DO a=a*p n=n+1 LOOP UNTIL a&400 PRINT n ENDn=n+1【课堂精练】 1． P2 3 参考答案： 2.解：程序： X=1 WHILE X＜=20 练习 2. 3（题略）Y=X^2-3*X+5 X=X+1 PRINT “Y=”；Y WEND END 3．解：程序： INPUT “请输入正整数 n=”；n a=1 i=1 WHILE i&=n a=a*i i=i+1 WEND PRINT “n!=” ；a END 【课堂小结】本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生 的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接，可以 从循环体内转到循环体外，但不允许从循环体外转入循环体内。 条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数 值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。 循环语句主要用来实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常用到。 【评价设计】 1． P23 习题 1.2 A 组 3、4P24 习题 1.2B 组 2.2．试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题，并利用所学基本算法语句等知识编程。 （要求所设计问题利用条件语句 或循环语句）1.3 算法案例 第一、二课时 辗转相除法与更相减损术 （1）教学目标 （a）知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习 中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 （c）情态与价值 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实 践的能力。 （2）教学重难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 （3）学法与教学用具 学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相 除法与更相减损术的程序框图与算法程序。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出 18 与 30 的公约数吗？ 2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约 数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 （二）研探新知 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 （分析：8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：×1＋2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数，所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 ×2＋＝3 ×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求 最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0； 第二步：若 r0＝0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r0≠0，则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一个余数 r1； 第三步：若 r1＝0，则 r1 为 m，n 的最大公约数；若 r1≠0，则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和一个余数 r2； ?? 依次计算直至 rn＝0，此时所得到的 rn－1 即为所求的最大公约数。 练习：利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数（答案：53） 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个 数（等数）就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98 与 63 的最大公约数是 7。 练习：用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。 （答案：12） 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别 当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及 BSAIC 程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公 约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。 （1）辗转相除法的程序框图及程序程序框图：开始输入两个正 整数m，nm&n? 否 是 x=n n=m m=xr=m MOD nn=rm=n r=0? 否是输出n结束程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m&n THEN x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE r&&0 r=m MOD n m=n n=r WENDPRINT m END 5.课堂练习 一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的 BASIC 程序中验证。 （1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119 二.思考： 用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能， 在电脑上测试自己 的程序；若不能说明无法实现的理由。 三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在 BASIC 中实现。 6.小结： 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 （5）评价设计 作业：P38 A（1）B（2） 补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图 第三、四课时 秦九韶算法与排序 （1）教学目标 （a）知识与技能 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算 机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。 （b）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计 算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 （c）情态与价值 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与 计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。 （2）教学重难点 重点：1.秦九韶算法的特点 2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 难点：1.秦九韶算法的先进性理解 2.排序法的计算机程序设计 （3）学法与教学用具 学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。 2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式f ( x ) ? x ? x ? x ? x ? x ? 1 当 x ? 5 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。5 4 3 2根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算，5 次加法运算。我们把多项式变形为：f ( x ) ? x (1 ? x (1 ? x (1 ? x ))) ? x ? 1 再统计一下计算当 x ? 5 时的值时需要的计算次数，可以得2出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果。显然少了 6 次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。 （二）研探新知 1.秦九韶计算多项式的方法f ( x ) ? a n x ? a n ?1 xnn ?1? a n?2 xn?2? ? ? a1 x ? a 0n?3? (a n x ? ??n ?1? a n ?1 xn?2? a n?2 x? ? ? a1 ) x ? a 0? (( a n xn?2? a n ?1 xn?3? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a 0? (? (( a n x ? a n ? 1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a 1 ) ? a 0例 1 已知一个 5 次多项式为f ( x ) ? 5 x ? 2 x ? 3 .5 x ? 2 .6 x ? 1 .7 x ? 0 .85 4 3 2用秦九韶算法求这个多项式当 解：略x ? 5 时的值。思考： （1）例 1 计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？ （2）在利用秦九韶算法计算 n 次多项式当x ? x0时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？练习：利用秦九韶算法计算 当f ( x ) ? 0 . 83 x ? 0 . 41 x ? 0 . 16 x ? 0 . 33 x ? 0 . 5 x ? 15 4 3 2x ? 5 时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？例 2 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式f ( x ) ? a 5 x ? a 4 x ? a 3 x ? a 2 x ? a1 x ? a 0 当 x ? x 05 4 3 2时的值的程序框图。解：程序框图如下：开始输入f(x)的系数： a1,a2,a3,a4,a5输入x0n=1v=a5n=n+1v=v x0+a5-nn≤5 是否 输出v结束练习：利用程序框图试编写 BASIC 程序并在计算机上测试自己的程序。2.排序 在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢? 阅读课本 P30―P31 面的内容,回答下面的问题: (1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别? (2)冒泡法排序中对 5 个数字进行排序最多需要多少趟? (3)在冒泡法排序对 5 个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次? 游戏:5 位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对 5 个数据 4,11,7,9,6 排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤. 并结合步骤解决例 3 的问题. 例 3 用冒泡排序法对数据 7,5,3,9,1 从小到大进行排序 解:P32 练习:写出用冒泡排序法对 5 个数据 4,11,7,9,6 排序的过程中每一趟排序的结果. 例 4 设计冒泡排序法对 5 个数据进行排序的程序框图. 解: 程序框图如下:开始输入a1,a2,a3,a4,a5r=1i=1ai&ai+1是否x=ai ai=ai+1 ai+1=xi=i+1r=r+1否 i=5是否 r=5是输出a1,a2,a3,a4,a5结束思考:直接排序法的程序框图如何设计?可否把上述程序框图转化为程序? 练习:用直接排序法对例 3 中的数据从小到大排序3.小结: (1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计 (2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法 (3)冒泡法排序的计算机程序框图设计 （5）评价设计 作业：P38 A（2） （3） 补充：设计程序框图对上述两组数进行排序第五课时 进位制 （1）教学目标 （a）知识与技能 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。 （b）过程与方法 学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除 k 去余法，并理解其中的数学规律。（c）情态与价值 领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。 （2）教学重难点 重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 难点：除 k 去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计 （3）学法与教学用具 学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转 换为各种进位制的除 k 去余法。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二 进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢? （二）研探新知 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简 称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为 71、用十六 进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 )表示二进制数,34(5)表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化 例 1 把二进制数 )化为十进制数. 解:*2 +1*2 +0*2 +1*2 +0*2 +1*2 +1*2 =32+16+2+1 =51 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 =1*2 +0*2 +1*2 +1*2 +0*2 +0*2 +1*2 =) 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示:6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 4 2 1 02 2 2 2 2 289 44 22 11 5 2 2 1 0余数 1 0 0 1 1 0 1把上式中的各 步所得的余数从下到上排列即可得到 89=) 上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如 2*10 表示千位数字是 2,所以可以直接求出各位数 字.即把 89 转换为二进制数时,直接观察得出 89 与 64 最接近故 89=64*1+25 同理:25=16*1+9 9=8*!+1 即 89=64*1+16*1+8*!+1=1*2 +1*2 +1*2 +1*2 位数 数字 6 1 5 0 4 1 3 1 2 0 1 0 0 16 4 3 0 3即 89=) 练习:(1)把 73 转换为二进制数 (2)利用除 k 取余法把 89 转换为 5 进制数 把 k 进制数 a(共有 n 位)转换为十进制数 b 的过程可以利用计算机程序来实现,语句为: INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i&=n t=GET a[i] b=b+t*k^(i-1) i=i+1 WEND PRINT b END练习:(1)请根据上述程序画出程序框图. 参考程序框图:开始输入a,k,ni=1b=0t=GET a[i]i=i+1 b=b+t*k^(i-1)是 i&=n否输出b结束(2)设计一个算法,实现把 k 进制数 a(共有 n 位)转换为十进制数 b 的过程的程序中的 GET 函数的功能,输入一个正 5 位数,取出它的各位数字, 并输出.小结:(1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序 （5）评价设计 作业：P38 A（4） 补充：设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进制数. 算法初步 复习课 （1）教学目标 （a）知识与技能 1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。 2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。 （b）过程与方法 在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进一步 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。 （c）情态与价值 算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代 信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的 层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。 （2）教学重难点 重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计 难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写 （3）学法与教学用具 学法：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，对比信息技术课程中的程序语言的学习和程序设计，了解数学算法与信 息技术上的区别。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得 了解决它的基本思路（解题策略） ，将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句） 。教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 一.本章的知识结构程 序 框 图 算法 算 法 语 句二.知识梳理 (1)四种基本的程序框辗转相除法与更相减损术秦九韶算法排序 进位制终端框（起止框）输入.输出框处理框判断框(2)三种基本逻辑结构顺序结构条件结构循环结构(3)基本算法语句 （一）输入语句 单个变量INPUT “提示内容” ；变量多个变量INPUT “提示内容 1，提示内容 2，提示内容 3，?” ；变量 1，变量 2，变量 3，?（二）输出语句PRINT “提示内容” ；表达式（三）赋值语句变量=表达式（四）条件语句 IF-THEN-ELSE 格式IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF满足条件？ 是 语句 1否语句 2当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断， 如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句 1， 否则执行 ELSE 后的语句 2。 其对应的程序框图为： （如上右图） IF-THEN 格式是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件？ 否 语句计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 THEN 后的语句，如果条件不符 合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为： （如上右图） （五）循环语句 （1）WHILE 语句WHILE 条件 循环体循环体其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果 条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句后， 接着执行 WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为： （如上右图） （2）UNTIL 语句DO 循环体 LOOP UNTIL 条件循环体 否 满足条件？ 是其对应的程序结构框图为： （如上右图）(4)算法案例 案例 1 案例 2 案例 3 案例 4 辗转相除法与更相减损术 秦九韶算法 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法 进位制三.典型例题 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 解：INPUT “n=”;n i=1 sum=0 WHILE i&=n sum=sum+i i=i+1 WEND PRINT sum END 思考：在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式的循环语句，能不能使用 UNTIL 循环？例 2 设计一个程序框图对数字 3,1,6,9,8 进行排序(利用冒泡排序法)开始输入a1,a2,a3,a4,a5r=1i=1ai&ai+1是否x=ai ai=ai+1 ai+1=xi=i+1r=r+1否 i=5是否 r=5是输出a1,a2,a3,a4,a5结束思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？ 例 3 把十进制数 53 转化为二进制数. 解：53＝1×2 ＋1×2 ＋0×2 ＋1×2 ＋0×2 ＋1×2 ＝） 例 4 利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。 解：×1＋＝41 *2＋146 ×8＋73 146＝73×2＋0 所以 3869 与 6497 的最大公约数为 73 最小公倍数为 /73＝344341 思考：上述计算方法能否设计为程序框图？ 练习:P40 A(3) (4)5 4 3 2 1 0（5）评价设计 作业：P40 A（5）(6)2.1.1 教 学 目 标 ： 1、知识与技能：简 单 随 机 抽 样（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤； 2、过程与方法： （1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题； （2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。 3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学 的重要性。 4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。 教 学 设 想 ： 假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？ 显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。 （为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？ 【探究新知】 一、简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的 机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点： （1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 （2）简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 （3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 （4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。 （5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 思 考 ？ 下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？ （1）从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本。 （2）箱子里共有 100 个零件，从中选出 10 个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放 回箱子。 二、抽签法和随机数法 1、抽签法的定义。 一般地，抽签法就是把总体中的 N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签， 连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本。 【说明】抽签法的一般步骤： （1）将总体的个体编号。（2）连续抽签获取样本号码。 思考？ 你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？ 2、随机数法的定义： 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。 怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标，现从 800 袋牛 奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。 第一步，先将 800 袋牛奶编号，可以编为 000，001，?，799。 第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第 8 行第 7 列的数 7（为了便于说明，下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行） 。 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62第三步，从选定的数 7 开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等） ，得到一个三位数 785，由于 785＜799，说明号码 785 在总体内，将它取出；继续向右读，得到 916，由于 916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出 567，199，507，?，依次下去， 直到样本的 60 个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 【说明】随机数表法的步骤： （1）将总体的个体编号。 （2）在随机数表中选择开始数字。 （3）读数获取样本号码。 【例题精析】 例 1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从 52 张牌中抽取 13 张牌， 问这种抽样方法是否是简单随机抽样？ [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张 在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。 例 2：某车间工人加工一种轴 100 件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取 10 件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法 抽取样本？ [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。 解法 1： （抽签法）将 100 件轴编号为 1，2，?，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这 100 个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取 10 个号签，然后测量这个 10 个号签对应的轴的直径。 解法 2： （随机数表法）将 100 件轴编号为 00，01，?99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第 21 行第 1 个数开始，选取 10 个为 68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这 10 件即为所要抽取的样本。 【课堂练习】P 【课堂小结】 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不 放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。 2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公 平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少 的抽样类型。 3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为 n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、 特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。 【评价设计】 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，下列说法正确的是 A．总体是 240 C、样本是 40 名学生 B、个体是每一个学生 D、样本容量是 40 （ ）2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中 200 个零件的长度，在这个问题中，200 个零件的长度是 A、总体 C、总体的一个样本 B、个体是每一个学生 D、样本容量3、一个总体中共有 200 个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。。2.1.2 系统抽样 教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解系统抽样的概念； （2）掌握系统抽样的一般步骤； （3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系； 2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法， 3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。 4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 教学设想： 【创设情境】 ：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查，除了用简单随机抽样获取 样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？【探究新知】 一、系统抽样的定义： 一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个 体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。 【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证： （1）当总体容量 N 较大时，采用系统抽样。 （2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为 k＝[N n].（3）预先制定的规则指的是：在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编 号。 思考？ （1）你能举几个系统抽样的例子吗？ （2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本，按从小号到 大号排序，随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止 D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为 14 的观众留下来座谈 点拨:（2）c 不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。 二、系统抽样的一般步骤。 （1）采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 （2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔 k(k∈N,L≤k). （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L（L∈N,L≤k） 。 （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K，再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K， 这样继续下去，直到获取整个样本。 【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化 思想。 【例题精析】 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1，2，??，295，为了了解学生的学习情况，要按 1：5 的比例抽取一个样本，用系统抽 样的方法进行抽取，并写出过程。 [分析]按 1：5 分段，每段 5 人，共分 59 段，每段抽取一人，关键是确定第 1 段的编号。 解：按照 1：5 的比例，应该抽取的样本容量为 295÷5=59，我们把 259 名同学分成 59 组，每组 5 人，第一组是编号为 1～5 的 5 名学生， 第 2 组是编号为 6～10 的 5 名学生，依次下去，59 组是编号为 291～295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组 5 名学生中抽出一名学生，不妨设编号为 k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??，58)，得到 59 个个体作为样本，如当 k=3 时的样本编号为 3， 8，13，??，288，293。 例 2、 从忆编号为 1～50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统 抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A．5，10，15，20，25 C．1，2，3，4，5 B、3，13，23，33，43 D、2，4，6，16，32[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数， 因此只有选项 B 满足要求，故选 B。【课堂练习】P49练习 1. 2. 3【课堂小结】 1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为： （1）采用随机的方法将总体中个体编号； （2）将整体编号进行分段，确定分段间隔 k(k∈N)； （3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L； （4）按照事先预定的规则抽取样本。N 2、在确定分段间隔 k 时应注意：分段间隔 k 为整数，当 n 不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔 k。【评价设计】 1 、 从 （ A．99 C．100 ） B、99，5 D、100，5 2005 个 编 号 中 抽 取 20 个 号 码 入 样 ， 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 ， 则 抽 样 的 间 隔 为2、从学号为 0～50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选 5 名学生的学号可能是 （ ） B、5，16，27，38，49 D、4，13，22，31，40A．1，2，3，4，5 C．2, 4, 6, 8, 103 、 采 用 系 统 抽 样 从 个 体 数 为 83 的 总 体 中 抽 取 一 个 样 本 容 量 为 10 的 样 本 ， 那 么 每 个 个 体 人 样 的 可 能 性 为 （ A．8 C．8.5 ） B.8，3 D.94、某小礼堂有 25 排座位，每排 20 个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是 15 的所有 25名学生进行测试，这里运用的是抽样方法。5、某单位的在岗工作为 624 人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取 10%的工作调查这一情况，如何采 用系统抽样的方法完成这一抽样？ 2.1.3 分层抽样 教学目标：1、知识与技能： （1）正确理解分层抽样的概念； （2）掌握分层抽样的一般步骤； （3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。 2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。 3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计 与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。 4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。 教学设想： 【创设情景】 假设某地区有高中生 2400 人，初中生 10900 人，小学生 11000 人，此地 教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的 小学生中抽取 1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？ 【探究新知】 一、分层抽样的定义。 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在 一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。 【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求： （1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。 （2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与 总体容量的比相等。 二、分层抽样的步骤： （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。 （2）按比例确定每层抽取个体的个数。 （3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 （4）综合每层抽样，组成样本。 【说明】 （1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 （2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 （3）各层抽样按简单随机抽样进行。 探究交流 （1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层） ，然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能 入样，必须进行 A、每层等可能抽样 （ ）B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等可能抽样 （2）如果采用分层抽样，从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）1A． N 点拨： B.1 nnC. NnD. N（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽 共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选 C。 （2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量 比，故此题选 C。 知识点 2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 适 用 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 （1）抽样过程中每个个体被抽 从总体中逐个抽取 到的可能性相等 （2）每次抽出个体后不再将它 放回，即不放回抽样 系 统 抽 样 将总体分成几层， 分 层 分层进行抽取 抽 样 机抽样或系统抽样 分组成 分层抽样时采用简单随 明显的几部 将总体均分成几部 分， 按 样时采用简 预先制定的规则在各部分抽取 随机抽样 总体由差异 多 在起始部分 总体个数较 少 各自特点 联 系 范 围 总体个数较【例选精析】 例1、 某高中共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.15,5,25 C.10,5,30 B.15,15,15 D15,10,20[分析]因为 300：200：400=3：2：4，于是将 45 分成 3：2：4 的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45，得 x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15，10，20，故选 D。 例 2：一个地区共有 5 个乡镇，人口 3 万人，其中人口比例为 3：2：5：2：3，从 3 万人中抽取一个 300 人的样本，分析某种疾病的发病率， 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。 [分析]采用分层抽样的方法。 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下： （1）将 3 万人分为 5 层，其中一个乡镇为一层。 （2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。 300×3/15=60（人） ，300×2/15=100（人） ，300×2/15=40（人） ，300×2/15=60（人） ，因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、 40 人、60 人。 （3）将 300 人组到一起，即得到一个样本。 【课堂练习】P52 练习 1. 2. 3【课堂小结】 1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1） 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。 （2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、 应用比较广泛的抽样方法。 【评论设计】 1、某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为 36 的样本，则适合的 抽取方法是 （ ）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．先从老人中剔除 1 人，然后再分层抽样 2、某校有 500 名学生，其中 O 型血的有 200 人，A 型血的人有 125 人，B 型血的有 125 人，AB 型血的有 50 人，为了研究血型与色弱 的关系，要从中抽取一个 20 人的样本，按分层抽样，O 型血应抽取的人数为 人数为 人，AB 型血应抽取的人数为 人。 人，A 型血应抽取的人数为 人，B 型血应抽取的3、某中学高一年级有学生 600 人，高二年级有学生 450 人，高三年级有学生 750 人，每个学生被抽到的可能性均为 0.2,若该校取一个容 量为 n 的样本，则 n= 。4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料： 任职年限 人数 5 年以下 300 5 年至 10 年 500 10 年以上 200试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。２.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时) 教学目标： 知识与技能 （1） 通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 （3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体 估计。 过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知 识与现实世界的联系。 重点与难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教学设想【创设情境】 在ＮＢＡ的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下s 甲运动员得分s12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分s8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容――用样本的频率分布估计总体分布（板出课 题） 。 【探究新知】 〖探究〗 55 ：P 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理， 即确定一个居民月用水量标准 a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影 响，那么标准 a 定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论） 为了制定一个较为合理的标准 a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市 居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。 （如课本 P56） 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提 取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我 们更清楚的