设函数f x 2x 3(x)=(1+x)^1/x (x>0),证明存在常数A,B,使得x→0正时,恒有f(x)=e+Ax+Bx+o(x^2)，并求常数A,B

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-30 19:32 标签： 设函数f x 2x 3
设函数f(x)＝1-e^(-x).
(Ⅰ)证明：当x>-1时，f(x)≥x/(x+1);
(Ⅱ)设当x≥0时，f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.
(1)x>-1→x+1>0,则待证式等价于e^x≥1+x.令g(x)＝e^x-x-1→g'(x)＝e^x-1.x≥0时,g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上递增;x≤0时,g'(x)≤0,g(x)在(-∞,0]上递减.∴g(x)|min＝g(0)＝0.∴x∈R时,g(x)≥0,即e^x≥1+x.∴x>-1时，f(x)>x/(x+1).(2)x≥0时,f(x)＝1-e^(-x)≥0,∴f(x)≤x/(ax+1)成立的必要条件是ax+1>0,即a≥0.可见,f(x)≤x/(ax+1)等价于:h(x)＝axf(x)+f(x)-x≤0.h'(x)＝af(x)+axf'(x)+f'(x)-1＝af(x)-axf(x)+ax-f(x)＝(a-ax-1)f(x)+ax.∵f(x)≥x/(x+1)→x≤(x+1)f(x),∴h'(x)≤(a-ax-1)f(x)+a(x+1)f(x)＝(2a-1)f(x).若a≤......
(1)x>-1→x+1>0,则待证式等价于e^x≥1+x.令g(x)＝e^x-x-1→g'(x)＝e^x-1.x≥0时,g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上递增;x≤0时,g'(x)≤0,g(x)在(-∞,0]上递减.∴g(x)|min＝g(0)＝0.∴x∈R时,g(x)≥0,即e^x≥1+x.∴x>-1时，f(x)>x/(x+1).(2)x≥0时,f(x)＝1-e^(-x)≥0,∴f(x)≤x/(ax+1)成立的必要条件是ax+1>0,即a≥0.可见,f(x)≤x/(ax+1)等价于:h(x)＝axf(x)+f(x)-x≤0.h'(x)＝af(x)+axf'(x)+f'(x)-1＝af(x)-axf(x)+ax-f(x)＝(a-ax-1)f(x)+ax.∵f(x)≥x/(x+1)→x≤(x+1)f(x),∴h'(x)≤(a-ax-1)f(x)+a(x+1)f(x)＝(2a-1)f(x).若a≤1/2,则h'(x)≤0,h(x)是减相关信息，∴h(x)≤h(0)＝0→f(x)≤x/(ax+1).由上知,e^x≥1+x (x∈R)∴e^(-x)≥1-x→x≥1-e^(-x),即x≥f(x).∴h'(x)≥(a-ax-1)f(x).若a>1/2,则2a-ax-1>0,即0<x0,∴h(x)是增函数，从而h(x)>h(0)＝0,即f(x)>x/(ax+1)，这与已知相矛盾.综上知，实数a的取值范围为[0,1/2]。
其他答案（共1个回答）
；
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数，
于是g（x）在x=0处达到最小值，
因而当x∈R时，g（x）≥g（0），即e^x≥1+x
所以当x>-1时，f(x)≥x/(x+1)；
（2...
解：（1）当x>-1时，f(x)≥x/(x+1)当且仅当e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增相关信息；
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数，
于是g（x）在x=0处达到最小值，
因而当x∈R时，g（x）≥g（0），即e^x≥1+x
所以当x>-1时，f(x)≥x/(x+1)；
（2）由题设x≥0，此时f（x）≥0
当a-1/a
则x/(ax+1)<0,f(x)≤x/(ax+1)不成立；
当a≥0时，令h（x）= axf（x）+f（x）-x，则f(x)≤x/(ax+1)当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1 =af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x），
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x） =（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤x/(ax+1)；
（ii）当a>1/2时，由（i）知x≥f（x），
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x） ≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0<x0，
所以h（x）>h（0）=0，即f（x）＞x/ax+1
综上，a的取值范围是[0,1/2]
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2
若a=1/2，求f(x)的单调区间
当a=1/2时，f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则，f&#039;(x)=...
(1) f(x)=e^x-1-x
求导 f&#039;(x)=e^x-1
当x＞0 时 f&#039;(x)＞0 此时f(x)单调递增
当x＜0 时 f&#039;(x)＜0 此时f(...
（1）f&#039;（x）=4x-e^x,f”(x)=4-e^x;令f”(x)&0,得xIn4,所以f&#039;（x）在In4时为减；因为f&#039;(In4)=4In4-4&0,f&#039;(...
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