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南京师范大学
硕士学位论文
偏序集上区间拓扑的Hausdorff性
姓名：贾星
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：贺伟
本论文主要研究了偏序集上区间拓扑的Hausdorff性质。通过
引入点的极大互异点集这个概念，我们证明了：若偏序集三中的
每一个元素其极大互异点集是有限的，则这个偏序集L上的区间
拓扑口(L)是正的。这个结果推广了文献[3】中的相关结果。
在第三章中我们部分地解决了具有最小元的Heyting代数日上
些关于偏序集上区间拓扑是Hausdorff的等价性刻画。
络；Heyting代数；区间拓扑
thesis，weinvestigateHausdorff
of“o—maximaldiverse
showthattheinterval
set”．Bydefinition，we
ifthe口一maximal
orderedHausdorffspace
aisfinite．This
corresponding
generalizes
thatwhether
withminimum
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湘潭大學刘任任版离散数学课后习题答案习题2.doc 11页
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湘潭大學刘任任版离散数学课后习题答案习题2
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1.确定下列二元关系：
分析：本题主要运用知识为集合的交、关系以及笛卡尔积的定义。
2. 请分别给出满足下列要求的二元关系的例子：
（1）既是自反的，又是反自反的；
（2）既不是自反的，又不是反自反的；
（3）既是对称的，又是反对称的；
（4）既不是对称的，又不是反对称的.
本题主要考察关系的5个性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）。
解：设是定义在集合上的二元关系。
令，则，于是既是自反又是反自反的；
令，于是既不是自反又不是反自反的；
令，于是既是对称又是反对称的；
令，于是既不是对称又不是反对称的。
3. 设集合有个元素，试问：
（1）共有多少种定义在上的不同的二元关系？
（2）共有多少种定义在上的不同的自反关系？
（3）共有多少种定义在上的不同的反自反关系？
（4）共有多少种定义在上的不同的对称关系？
（5）共有多少种定义在上的不同的反对称关系？
分析：本题主要考察知识为二元关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性所对应的关系矩阵之性质，本题可以在做完第四题（根据满足某个性质的关系之关系矩阵）之后再来考虑。
解：设，于是
共有种定义在上的不同的二元关系；
共有种定义在上的不同的自反关系；
共有种定义在上的不同的反自反关系；
共有 种定义在上的不同的对称关系；
共有种定义在上的不同的反对称关系，其中，。
4. 请分别描述自反关系，反自反关系，对称关系和反对称关系的关系矩阵以及关系图的特征.
分析： 本题主要是根据自反关系、反对称关系、对称关系和反对称关系之定义来确定关系矩阵以及关系图。
解：(1) 自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图中每个结点上都有圈。
反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0; 而关系图中每个结点上均无圈。
对称关系矩阵为对称矩阵; 而关系图中任何两个结点之间的有向弧是成对出现的, 方向相反。
反对称关系矩阵的元素满足：当时，。
5．设，及.
主要考察关系的复合运算之定义。
6. 试举出使
成立的二元关系的实例.
本题主要说明关系的复合与关系的交运算不满足分配率。
于是, 有, 因此,
又，，因此，
7. 设和是集合上的二元关系. 下面的说法正确吗?请说出理由.
（1）若和是自反的，则也是自反的；
（2）若和是反自反的，则也是反自反的；
（3）若和是对称的，则也是对称的；
（4）若和是反对称的，则也是反对称的；
（5）若和是传递的，则也是传递的
本题主要是考察两个满足同一种性质的关系之复合运算是否保该性质，是的可以根据定义给出证明，不正确请给出反例，一般如果正确相对容易证明，不正确给出反例相对较难。
解：(1) 正确。因为对任意，有，所以。故是自反的。
错误。例如，设，且，于是。故不是自反的。
错误。例如，设对称关系。于是，，但。故不是对称的。
错误。例如，设反对称关系。于是，。故不是反对称的。
错误。例如，设传递关系。于是， ，但因为，所以，。
8．设和是集合上的二元关系，试证明：
并举出使时使的实例.
分析：（1）本小题根据自反闭包的定义，它一个关系的自反闭包应该包含，然后根据即可证得。（2）本小题根据对称闭包的定义，它一个关系的对称闭包应该包含，然后根据即可证得。（3）由于传递闭包的特殊性，它不满足类似与（1）（2）的情形，所以要进行相对麻烦的证明，主要运用集合的包含关系的证明方法。
由定义， 于是，
下证对任意，有。
任取，不妨设。于是，存在 使得从而， 。举例说明“”成立。设，于是，。
9．设和是集合上的二元关系，试证明：
并请给出时使和的实例.
分析：（1）本题主要是根据自反关系的定义得到一个特殊的等式进行变换，只要想到这个等式，下面的工作就比较容易做。（2）本题主要是根据对称关系的定义及定理2.2.6得到如下三个公式：, ,
，有这三个公式以及集合之间包含关系的证明方法就可得到结论。（3）本小题根据传递闭包的定义及定理2.2.6得 有了上面三个等式以及集合之间包含关系证明方法可得结论。
解：设是集合上的二元关系。注意到，于是，
若 则 且 从而，
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102页84页92页63页64页76页83页16页65页23页《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院；§1实数完备性的等价命题；一、问题提出；定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有；确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实；定理1.2(单调有界定理)任何单调有界数列必定收；则存在唯一一点；定理1.4(有限覆盖定理)设中每一点都含于；中至少一个开区间；是闭区间内．则在；的一个无限开覆盖,即；为
《数学分析》教案
第七章 实数的完备性
石家庄经济学院数理学院
实数is 恩体热
实数完备性的等价命题 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
(区间套定理） 设
则存在唯一一点
定理1.4 (有限覆盖定理) 设中每一点都含于中至少一个开区间．
是闭区间内．则在的一个无限开覆盖,即 为一区间套： 中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖．
定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．
定理1.6 (柯西准则) 数列有本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．
下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ： ：
收敛的充要条件是：,只要
恒．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基(1)～(3) 基本要求类 (4)～(7) 阅读参考类 1 《数学分析》教案
第七章 实数的完备性
石家庄经济学院数理学院
： (8)～(10) 习题作业类
二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a、b、c表示实数） Dedekind定理 ,?],B?(?,??)或设A/B是R的一个切割,则比存在实数??R使得A?(??A?(??,?),B?[?,??)无其它可能. 1
非空有上界的数集E必存在上确界. 证明
设E?{x}非空,有上界b： ?x?E,x?b. （1） 若E中有最大数x0,则x0即为上确界； （2） 若E中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E的一切上界归入上类 B,其余的实数归入下类A,则(A|B)是实数的一个分划.
A、B不空.首先b?B.其次?x?E,由于x不是E的最大数,所以它不是E的上界,即x?A.这说明E中任一元素都属于下类A；
A、B不漏性由A、B定义即可看出； ?
A、B不乱.设a?A,b?B.因a不是E的上界,?x?E,使得a?x,而E内每一元素属于A,所以a?x?b.
由3的证明可见A无最大数. 所以(A|B)是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B必有最小数,记作c. ?x?E,由1?知x?A,即得x?c.这表明c是E的一个上界.若b是E的一个上界,则b?B,由 2 ?《数学分析》教案
第七章 实数的完备性
石家庄经济学院数理学院
E. 此得c?b,所以c是上界中最小的,由上确界定义,c为集合E的上确界,记作
非空的有下界的集合必有下确界. 事实上,设集合E?{x}有下界b,则非空集合E'?{x|?x?E}有上界?b,利用集合E'上确界的存在性,即可得出集合E的下确界存在. 定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性. 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的. 例1
证明实数空间满足阿基米德原理. 证明
?b?a?0,要证存在自然数n使na?b.假设结论不成立,即 2，?）
(n?1，, 2，?）,也就有则数集E?{na}有上界b,因此有上确界c,使na?c(n?1，(n?1)a?c(n?1，2，?）2，?）,或
na?c?a (n?1，.这表明c?a是集合E的上界,与c是上确界矛盾.所以总存在自然数n,使na?b. 三、等价命题证明 下面来完成(1)～(7)的证明． (一) 用确界定理证明单调有界定理
设{xn}单调上升,即x1?x2?x3???xn??,有上界,即?M,使得xn?M. 考虑集合E?{xn|n?N},它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为a?limxnn??a?supxnn?N.我们验证 . ???0,由上确界的性质,?N,使得a???xN,当n?N时,由序列单调上升得a???xN?xn,limxn?a?supxnx?a??a???x?a??x?a?a??nnn?N再由上确界定义,n,有 ,即,也就是说 n??. limxn?infxn{x}n?Nn
同理可证若单调下降,有下界,也存在极限,且n??. 若集合E无上界,记作supE???；若集合E无下界,记作infE???,这样一来,定理2证明了supxn(infxn){x}x?Nn的单调上升（下降）有上界（下界）的序列,必有极限x?N的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列{xn},总有
3 《数学分析》教案
第七章 实数的完备性
石家庄经济学院数理学院
(二) 用单调有界定理证明区间套定理 n???x?Nlimxn?supxn(infxn)x?N. 由假设（1）知,序列{an}单调上升,有上界b1；序列{bn}单调下降,有下界a1.因而有 liman?c1limbn?c2
n???,n???.
an?c1?c2?bn. 再由假设（2）知 lim(bn?an)?c2?c1?0
n???, 记c1?c2?c. 从而有
n???liman?c?limbnn???. **a?c?bn,令n???,得c*?c.故c是一切[an,bn]的唯一公共点.证毕. cn若还有满足这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明： （1） 要求[an,bn]是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如
(an,bn)?(0,1)n. ??111(0,)?(0,)?(0,)??n?1n,
n?1n显然有
如果开区间套是严格包含： an?an?1?bn?1?bn,这时定理的结论还是成立的. lim(bn?an)?02，?）(2)若[an?1,bn?1]?[an,bn](n?1，,但n???,此时仍有n???c??[an,bn]liman?c1limbn?c2c?cc?c?cn???n?1c1212,,但,于是对任意的,,都有. ??全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法. 推论
设有 ． 用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．
4 为一区间套,．则当时,恒《数学分析》教案
第七章 实数的完备性
石家庄经济学院数理学院
序列{xn}由下列各式 1?xn?2
(n?3，4，?） 所确定（见下图）.证明极限nlim???xn存在,并求此极限.
当a?b时,xn?a,故nlim???xn?a. 当a?b时,若取an?min(xn?1,xn),bn?max(xn?1,xn),(n?1，2，?）. 则由条件,显然可得一串区间套：
[an?1,bn?1]?[an,bn]
(n?1，2，?）. 由已知条件
xn?1?xn?xn?xn?12?x1n??2(xn?xn?1), 于是
b1n?an?|xn?1?xn|?2|x1n?xn?1|?22|xn?1?xn?2|???11
2n?1|x2?x1|?2n?1|b?a|?0(n???)， 由区间套定理,存在c满足： nlim???an?c?nlim???bn.注意到xn?[an,bn],所以 nlim???xn?c.
下面来求c.由x??1n?1?xn2(xn?xn?1),令n?2，3，?，k?1得一串等式：
xx13?2??2(x2?x1)；
xx14?3??2(x3?x2)；
x?1k?xk?1?2(xk?1?xk?2).
5 三亿文库包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、各类资格考试、高等教育、应用写作文书、生活休闲娱乐、实数完备性79等内容。　
　实数完备性定理的证明及其应用摘要:实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础, 可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,因此有... 　实数完备性基本定理之间的等价性_数学_自然科学_专业资料。实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握... 　聊城大学本科毕业论文 浅谈实数的完备性 1.实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位实数集的连续性是实数集区别于有理数集的一个重要特征,是实数集其中的优点,... 　前期基础 通过已学课程数学分析,了解实数完备性的一些相关知识,具备了一定数学理论基础, 并且学校丰富的资源例如大量参考文献和论文资料,以及导师提供的指导与讲解都是... 　3 2 关于实数完备性的基本定理... 3 2.1 确界定理 ...... 　? 0 , 第 7 章 实数的完备性§7.1 实数完备性的基本定理一 基本内容 U (? , ? ) ? S 有无穷多个点,则称 ? 为点集 S 的聚点.等价定义: ? 为... 　1 第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理 2.1 用有限覆盖定理证明确界定理本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如 下: ... 　实数系完备性基本定理的循环证明摘 要:循环论证了实数系的 6 个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现 了数学论证之美. 关键词: 实数 完备性 单调有界定理... 上传我的文档
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