正定矩阵,一些性质,一些证明
&定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z'Mz&&0。其中z'表示z的转置。&
A'转置矩阵
A*伴随矩阵
&A为实对称矩阵, & &
A正定 &&=&A的特征值全&0
A正定 &=& |A|&0
&&=&A的顺序主子矩阵(1*1,2*2,...r*r...)都是正定矩阵
&&=&A的主子矩阵(1*1,2*2,...r*r...)都是正定矩阵
A所有顺序主子式&0&&=&&A对角线元素&0
A实对称矩阵,A正定 &&==& &
A的所有顺序主子式&0
A正定 & ==& & A^正定
A正定 & ==& & A*正定
A,B正定 & ==& &A+B正定
A为实对称矩阵, A正定 &=& 存在可逆矩阵B,使得A=B'B
A正定 &&=& 存在正定矩阵B,使得A=BB成立
A,B正定, &==& &ABA正定
A,B正定,且AB=BA, &&=& AB正定
A为实对称矩阵,存在实数a,使得E+aA为正定矩阵
A为实对称矩阵,存在实数a,使得aE+A为正定矩阵
A正定,存在实可逆方阵P使得,P'AP=B成立 &==&
A正定 & &=& A半正定且可逆
A实对称 &==& A偶数幂正定
A正定 &==&
A的幂也正定
=&&&& AB的特征值
=&& A主对角线元素&0
|Mij|&=(Mii+Mjj)/2
A正定&&&&=&&&&任意非主对角线元素&主对角线元素最大值
A正定,且A-E正定&&=&&&E-A^正定
A,B,A-B 正定 &=& B^-A^正定
正定矩阵可以分解为两个正定矩阵的和
A,B实对称矩阵,A正定 &=& 存在实数t,使得tA+B正定
=================================================
A正定 &==& 存在可逆上三角矩阵P使得P'AP=E
A正定 &=& 存在上三角矩阵P,A=P'P
A,B正定,C=(a_ij*b_ij) &==&
(阿达马乘积)
A,B正定& ==& A,B的克罗内克乘积正定
A为实对称矩阵, & & A正定
&&=&A的特征值全&0
A为实对称矩阵
所以存在可逆矩阵P
使得A=P'DP
成立,D为主对角线全为A特征值的对角矩阵
则对任意的x,有x'Ax&0成立
也即x'P'DPx=(Px)'D(Px)&0成立
取y=Px,因为P可逆,x任意
所以y与x一一对应,可以取任意向量
有x'Ax=y'Dy&0
y'Dy=u1*y1*y1+u2*y2*y2+........
取y=(1,0,0,......)
得u1*1*1+0+0...=u1&0
取y=(0,1,0,0...)
得0+u2*y2*y2+0+0=u2&0
所以得A特征值都大于0
A是实对称矩阵
则A相似对角矩阵
所以有:所以存在可逆矩阵P
使得A=P'DP
D为主对角线全为A特征值的对角矩阵
对任意x,有
x'P'DPx=(Px)'D(Px)
u1*y1*y1+u2*y2*y2+.....+un*yn*yn&0
所以A是正定矩阵
A正定 &=& |A|&0
所以A的所有特征值都&0
所以|A|=u1*u2*...*un&0
&=&A的顺序主子矩阵(1*1,2*2,...r*r...)都是正定矩阵
所以对任意n维向量x=(x1,x2,...xr...xn)
取向量y=(x1,x2...xr,0,0,...0)
则依然有y'Ay&0
且有y'Ay=y'A_ry
A_r是A的前r行前r列组成的子矩阵
所以可知A_r是正定矩阵
所以A的顺序主子矩阵(1*1,2*2,...r*r...)都是正定矩阵
废话,自身就是自身的n阶顺序主子式,已经是正定矩阵了,不用证明了&
&=&A的主子矩阵(1*1,2*2,...r*r...)都是正定矩阵
对于任意的子式r1,r2.....rm
取向量x,在r1,r2...rm位置,非0,其余位置为0
非0值顺次连接形成向量y=(x_r1,x_r2....,x_rm)
则有x'Ax=y'(Am)y&0
所以Am子矩阵也是正定矩阵
A实对称矩阵,A正定 &&==& &
A的所有顺序主子式&0
A正定,A的顺序主子矩阵全为正定矩阵
因为正定矩阵行列式&0
所以A的所有顺序主子式&0
2必要性,比较复杂,看书吧
提供一个初等大致思路：
数学归纳法证明，假设对n-1阶行列式成立
再证n阶的情况
先根据n阶行列式= | A B ; C
D|=|A||D-CA^B|&0得出最后一个元素a_nn&0
则可以进行行列变换 Q1AQ1'
使得最后一行，最后一列只有nn元素不为0，其他全为0
因为是kx_i+xj的某行k倍加到另一行，
所以所有子式的行列式不变
得到的矩阵A1=Q1AQ1'
依然是所有主子式大于0的
同a_nn&0理，可得在A1里面a1_(n-1)(n-1)&0
所以有可类似做变换A2=Q2A1Q2'
使得A2 n行n列，n-1行n-1列，只有对角线元素
同理可知A2所有主子式依然&0
这样最终会得到一个B=Q1 Q2Q3...QnAQ1'Q2'Q3'...Qn'=QAQ'
B已经是对角矩阵,且所有主子式全&0
可知B的所有主对角元素即特征值全&0
所以B是正定矩阵
所以A=Q^B(Q')^=Q^B(Q^)'=PBP'
所以可知A合同于正定矩阵
所以A是正定矩阵
思路error:
矩阵本身做变换,行列式不变
但是外部的一行加到子矩阵里面
子矩阵就变了,所以思路错误
==&&& A^正定
所以A特征值u1,u2...全大于0
所以A^的特征值& 1/u1,1/u2...也全大于0
所以A^正定
==&&& A*正定
由A^正定,|A|&0可得A*正定
==&& A+B正定
因为A,B正定,由定义得对任意向量x,
有 x'Ax&0,x'Bx&0
对于矩阵A+B,有x'(A+B)x=x'Ax+x'Bx&0
所以A+B是正定矩阵
A为实对称矩阵, A正定 &=& 存在可逆矩阵B,使得A=B'B
第一步,充分性证明:
若A正定,因为A是是对称矩阵,所以A正交相似于对角阵
即存在正交矩阵Q,使得A=Q'DQ=Q^DQ
且D主对角元素全为A特征值,所以D主对角线元素全大于0
所以D可以分解为两个对角矩阵乘积D=D1D1,其中D1每个元素为D相应元素正平方根
D1为对角阵,所以显然有D1'=D1
所以:A=Q'DQ=Q'D1D1Q=Q'D1'D1Q=(D1Q)'D1Q
显然D1,Q都是可逆矩阵,所以D1Q也是可逆矩阵
取B=D1Q,命题得证
第二步:必要性证明
若成立A=B'B
则对任意向量x,有x'Ax=x'B'Bx=(Bx)'Bx
取y=Bx,则有(Bx)'Bx=y'y
=y1*y1+y2*y2........+yn*yn&0
所以A是正定矩阵
A正定,存在实可逆方阵P使得,P'AP=B成立 &==&
则存在可逆矩阵Q使得,A=Q'Q
则B=P'AP=P'Q'QP=(QP)'QP=D'D
所以B也正定
&A正定 &&=&
存在正定矩阵B,使得A=BB成立
A正定,则A相似于对角矩阵&
取D=D1D1,其中 D1(i,j)=根号[D(i,j)]
则有A=P^DP
=P^D1PP^D1P
=(P^D1P)(P^D1P)
取B=P^D1P,得证
若B为正定矩阵,则B=P^DP,其中D对主对角线元素全&0的对角矩阵
则A=BB=P^DPP^DP=P^DDP=P^FP
其中F=DD,显然是对角矩阵,且对角线元素大于0,
所以A的特征值,全为正,所以A正定
A,B正定, &==&
有(ABA)'=A'B'A'=ABA,所以ABA是对称矩阵
因为B正定,所以存在可逆矩阵P,
使得B=P'P成立
所以有C=ABA=AP'PA=A'P'PA=(PA)'PA
取D=PA,因为P,A可逆所以D可逆
所以得到C=D'D为正定矩阵
所以&ABA正定
C=ABA=A'BA
所以C合同于正定矩阵B
所以C也是正定矩阵
(这个简洁的证明才是应该的)
A,B正定,且AB=BA,&&&=&
因为 AB=BA
所以 (AB)'=B'A'=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P'P,B=Q'Q.
故 AB = P'PQ'Q
而 QABQ^=QP'PQ' = (PQ)'(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.
所以AB是正定矩阵
所以(AB)'=B'A'=BA=AB
A为实对称矩阵,存在实数a,使得E+aA为正定矩阵
(E+aA)'=E'+aA'=E+aA
所以E+aA为对称矩阵
因为A为实对称矩阵,
所以A的特征值全为实数
记为u1,u2,...
则E+aA特征值为:
1+au1,2+au2,.........
一:若u1,u2,...un全为0,
则E+aA特征值全为1全大于0,所以E+aA是正定矩阵
二:若u1,u2....un不全为0
取v=max(|u1|,|u2|,....|u3|))
则对任意ui,有|1+aui|&1-|aui|=1-a|ui|&1-|ui|/v&1-1=0
所以a&(1/v)时,E+aA特征值全大于0,所以E+aA是正定矩阵
综上所述,存在实数a,使得E+aA为正定矩阵
A为实对称矩阵,存在实数a,使得aE+A为正定矩阵
&有（aE+A)'=aE'+A'=aE+A
所以aE+A为对称矩阵
设A的特征值为u1,u2...un
则aE+A的特征值为：a+u1，a+u2,....a+un
则取a=max(|u1|,|u2|,....|un|)+1
则必有&a+ui&=|ui|+1+ui&=1&0成立
则aE+A的所有特征值全为正值
得出aE+A为正定矩阵
所以存在实数a,使得aE+A为正定矩阵&
A正定 & &=& A半正定且可逆
充分性显然成立
A半正定,则A的特征值ui&=0
因为A可逆,所以|A|=u1u2...un&0
所以ui!=0 &
A实对称 &==&
A偶数幂正定
B=A^2n=(A...A)(A...A)=(A...A)(A'...A')=(A....A)(A...A)'=P'P
A正定 &==& A的幂也正定
2n时候实对称就成立
所以只用证明2n+1情况
B=(A...A)A(A...A)=(A...A)PP'(A'...A')
=(A...AP)(A....AP)'
A,B正定&&&=&&&&&AB的特征值&&0
则存在可逆矩阵P,Q
使得A=PP',B=QQ'
有C=AB=PP'QQ'
有P^CP=P^PP'QQ'P=P'QQ'P=(P'Q)(P'Q)'
所以AB和一个正定矩阵相似
所以AB特征值全&0
A正定&&&=&&&A主对角线元素&0
A正定,存在可逆方阵P使得
则aii=(j的求和)∑p'_ij*p_ji=(j的求和)∑p_ji*p_ji=平方和&0
所以A的主对角元素&0
M正定&&&=&&&&|M_ij|&=(M_ii+M_jj)/2
所以存在可逆矩阵P
所以M_ij=sum_k(p'_ik*p_kj)=sum_k(p_ki*p_kj)
=M_ii*M_jj
&=(M_ii+M_jj)/2(均值不等式)
这里的柯西不等式不可能取等,
如果取等,则两行对应成比例,矩阵行列式为0
和正定矩阵条件矛盾
A正定&&&&=&&&&任意非主对角线元素&主对角线元素最大值
对于任意元素A_ij
&=sqrt( max(ii,jj)*max(ii,jj)* )
=max(ii,jj)
即对矩阵内任意一个元素,都有一个主对角元素比其大(取等都不可能)
所以&&&元素最大值一定是主对角线元素
*******************
运用:如果矩阵内有一个元素比主对角线元素都大或者相等,则这个矩阵肯定不是正定矩阵
*******************
A正定,且A-E正定&&=&&&E-A^正定
显然A-E是对称矩阵
A特征值为u1,u2...un&&0
则A-E特征值为&u1-1,u2-1...un-1&0
所以1/ui&1
所以E-A^所有特征值为正
所以E-A^为正定矩阵
A,B,A-B 正定& =&
B^-A^正定证明:
A正定,存在可逆矩阵P,使得A=PP'
B正定,存在可逆矩阵Q,使得
=(PP^Q)(PP^Q)'
=(PR)(PR)'& (R=P^Q也是可逆矩阵)
=PP-PRR'P'
=P(E-RR')P'
正定,则E-RR'与正定矩阵A-B相合
所以E-RR'是正定矩阵
所以R'^R^-E也是正定矩阵
=P'^R'^R^P^-P'^P^
=P'^(R'^R^-E)P^
=P^'(R'^R^-E)P^
与正定矩阵R'^R^-E相合
所以B^-A^是正定矩阵
正定矩阵可以分解为两个正定矩阵的和证明:
设A是一正定矩阵,
设实数a&0,显然aE也是正定矩阵
对于B=A-aE,B显然是对称矩阵
A特征值u1,u2...un&0
B特征值 u1-a,....,un-a
取a=0.5*min(ui)&0
则所有 ui-a&min(ui)-a&0.5min(ui)-a=0
所以u1-a,....,un-a都是正数
所以矩阵B为正定矩阵
则A=A-aE+aE
所以正定矩阵可以分解为两个正定矩阵的和
A为正定矩阵,B为对角矩阵& =&
存在实数t,使得tA+B正定证明:
因为任意正定矩阵都可以分解为俩正定矩阵的和
把A分解为 A=C+aE
的形式(C为正定矩阵,a&0)
有b=|max(b11,b22,....bnn)|&=0
取t=(b+1)/a&0
则矩阵M=tA+B
=(b+1)/a*(C+aE)& +B
=tC+(b+1)E+B
显然tC为正定矩阵
(b+1)E+B=diag(b+1-b11,b+1-b22....b+1-bnn)
可知(b+1)E+B对角元素全为正值
所以(b+1)E+B为正定矩阵
所以M=tA+B
=tC+(b+1)E+B
为俩正定矩阵的和
所以M是正定矩阵
所以存在实数t,使得tA+B正定
A,B实对称矩阵,A正定& =&
存在实数a,使得tA+B正定证明:
B为实对称矩阵,则存在正交矩阵P,
使得B=PDP^=PDP'成立
A正定,则存在可逆矩阵Q,使得
=(PP^Q)(PP^Q)'
=(PR)(PR)'&&
(其中R=P^Q显然也是可逆矩阵)
=tPRR'P'+PDP'
=P(tRR'+D)P'
有N=RR'为正定矩阵,D为对角阵
则存在t使得tRR'+D为正定矩阵
则M相合于正定矩阵
所以M为正定矩阵
..........
1正定矩阵,维基百科
2正定矩阵,线性代数-李尚志版
4正定矩阵,高等代数-张贤科版
3正定矩阵的判定及其性质:曹璞
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。君，已阅读到文档的结尾了呢~~
GCT必知公式公式,必知,帮助,GCT,必知公式,gct,反馈意见
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
GCT必知公式
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BAB
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
由已知 A^T=A.因为 (B^TAB)^T = B^TA^T(B^T)^T = B^TAB所以 B^TAB 也是对称矩阵.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
设b是一个n纬向量,A是n阶矩阵,(Ab)^T(Ab)=llAbll^2是怎么推出来的?我记得(Ab)^T=b^TA^T吧,那么原式就是b^TA^TAb吧?
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
||a|| 是 a 的长度,等于 √a^Ta,这是定义所以 (Ab)^T(Ab) = ||Ab||^2
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
设A是m×n矩阵,B是n×r矩阵,已知秩（B）=n,AB=0,证明A=0证明：R(B)=n,知B的行向量线性无关,设其行向量组为：B1,B2.Bn,将B按行分块得B=（B1,B2.Bn）请问老师为何是B=（B1,B2.Bn）,而不是B=（B1,B2.Br）?不是r列么?按行分块,按列分块 有什么区别?书写方式一样么?
Kyoya弥BO8
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
这样写法不好, 按行分块应该写成 B=B1B2...BnB共有n行, 所以分成n个r维行向量. 这个题目这样证吧:因为AB=0所以 B^TA^T=0所以 A^T 的列向量都是 B^Tx=0 的解.又因为 r(B)=n=r(B^T)所以 B^Tx=0 只有零解 (这是因为B^T 有n列, B^T列满秩)所以 A^T 的列向量都是零解向量所以 A=0.
如果B是n×r矩阵！请问老师把矩阵B按行分块就写成B=（B1,B2.....Bn）^T？
按列分块就写成B=(B1,B2.....Br）?
(B1,B2.....Bn)^T =
主要看后面怎样用它.
按列分块那样写没问题
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码