积分，高数积分

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高等数学(基础版)求积分
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高数积分总结
不定积分的概念也性质
定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一,都有
F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。
定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
换元积分法
(1)第一类换元法：
定理1：设f(u)具有原函数，可导，则有换元公式
将代入，既得
第二类换元法：
定理2：设是单调的、可导的函数，并且又设具有原函数，则有换元公式
其中是的反函数。
分部积分法
定义：设函数及具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为
对这个等式两边求不定积分，得
此公式为分部积分公式。
分部积分的顺序：反对幂三指。
有理函数的积分
其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得
比较上式两端同次幂的系数，既有
其他有些函数可以化做有理函数。
5、积分表的查询
定积分的定义和性质
（1）定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
把区间分成n个小区间
各个小区间的长度依次为
在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和
记，如果不论对怎么划分，也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作，即
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。
定理1：设在区间上连续，则在上可积。
定理2：设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。
性质3：设，则
性质4：如果在区间上，则
性质5：如果在区间上，，则
推论1：如果在区间上，，则
性质6：设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值，则
性质7(定积分中值定理)：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立
微积分基本公式
积分上限函数及其导数
定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数
在上可导，并且它的导数
定理2：如果函数在区间上连续，则函数
就是在区间上的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式
定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法
定理： 假设函数在区间[a,b]上连续，函数x=(t)满足条件:
(α)=a,(β)=b;
(t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域=[a,b],则有
公式(1)叫做定积分的换元公式
(2)定积分的分部积分法
依据不定积分的分部积分法，可得
（一）无穷限的反常积分
定义1 设函数法f(x)在区间[a,)上连续，取t&a,如果极限
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,)上的反常积分，即
（二）无界函数的反常积分
定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的丅点。取t&a,如果极限
存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作，即
讨论反常积分的收敛性。
解：被积函数f（x）=在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且
即反常积分发散，所以反常积分发散
定积分的积分区间是有限区间，又在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：
1.无穷区间上的反常积分
若极限存在，则称反常积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.
同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.
同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断的收敛性不能用的极限存在性.必须要求和两个反常积分都收敛，才能知道是收敛的，但是如果
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高数积分总结
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定积分部分习题
求下列函数的定积分
(3) 0sin4xcos3x
(5) 0x2√dx
ππ-(8) 0π2
(9) cosxcos2xdx
(11) 0sin7xdx
1+x 3f(x-2) dx 2.f(x)= -x
4. 设f （x ）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且23f x dx= 0f(x) dx, 证明在（0，1）
内存在点ξ，使f ’(ξ)=0.（注：利用积分中值定理，零点存在定理） 5. 计算定积分：
03x4+3x2+1(1) -1dx
x2+1(4) 0x2
(2) 0tan2θ+1) dθ
(3) -√(5) 1π
1-(6) 0te2
1ln (1+x) (2-x) 22
(10) 0sin82dt
(12) 1sin (lnx) dx
6. 求由双纽线(x+y) =a(x-y) 所围成且在x +
x=a(t-sint) 7. 求摆线 ,(0≤t ≤2π) 与y=0所围成的平面图形绕y=2a旋转所得的旋转体
y=a(1-cost) 2的体积。
8. 求曲线ρθ=1相当于4≤θ≤3
9. 设有长度为l, 线密度为ρ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一个质点M ，求这细棒对质点M 的引力。
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