第C06版： 慢阅读
&&&&标题目录
&&&&&&&&&&&&&北京晨报网
“投资达人”碰钉子
　　●缪惟&文并图　　这小子下手前怎不跟我说一声呢？我好歹也研究了这么长的时间，多少也能给他点儿指导啊。难道我在大伙儿眼里仅是个纸上谈兵的主儿吗？　　“二舅，告诉你个好消息，我住的这个小区成学区房啦，现在一平方米能卖八万，还有人说明年就能上10万元。”　　“嘿，醒醒！醒醒！我看你这是梦没醒吧？”　　“二舅，我什么时候蒙过您啊！现在的房子就是这价儿。买房的事儿，我可没少劝过您，您别把钱老捂在兜里。想当年您兜儿里的钱大房子买不起，可买套小房儿还是够的，好歹也算个投资。可您不听啊，还把我们两口子都训了一顿，说我们胆大妄为、做事鲁莽，贷了那么多款，今后拿什么还。可如今您那点儿钱买小房儿了就别想了，也就够买间厨房了！”　　您说这小子气人不气人？这是存心往我的伤口上撒盐那。　　“嘿！你说完了没有，我还有事儿，先挂了。”　　放下电话，我上网查了一下侄子所住的那个小区的二手房价，看来他说的没错，&二手房每平方米均价8万元，小户型的则更贵。　　“疯啦！这哪儿是房啊？简直就是金砖垒的啊！”　　晚餐时，和夫人聊起近期的房价，当我激动地说到侄子的房子已经涨到了8万元一平方米时，您猜怎么着，夫人只是淡定地说了句：　　“8万元算什么？这在这里的学区房里算低的。现在好学校边儿上的房子，都好几十万元一平方米呢。”　　那顿饭吃得我这叫一个别扭，平时都是一碗饭的量，可那天半碗饭都是硬塞下去的，最可气的是，那半碗饭不往下走，就堵在胸口上，那叫一个难受，我自个儿清楚，这是让气儿给顶的。　　“唉！您说我这点儿出息。”　　打这儿以后，我就开始关注学区房，我倒想研究一下，这城里的学区房怎么就疯长成这个样儿呢？夫人说我是闲的，瞎操心。可我却不这么认为：　　“房价涨跌，匹夫有责。我要是研究出个子卯寅丑，说不定对中国房地产的发展还做出了贡献呢。”　　“这还用研究吗？我告诉你，这叫可怜天下父母心，全都为了孩子，现如今养孩子不易啊。不过话又说回来，哪家不是望子成龙。以我说，敢花大价钱买学区房的家长那叫尽责，哪像你啊，当个甩手掌柜的。我问你，咱儿子上学，你操过心吗？”夫人的话茬儿有点儿硬。　　“可现在这房价也高得有点离谱了吧？”　　“我说你这就叫杞人忧天，卖主儿敢标这个价，说明有人能接这个盘，这叫市场规律。你别瞎琢磨了，赶紧把这几条带鱼帮我收拾了，我得赶紧做饭啦。”　　我觉得夫人说的虽有道理，但还是略显肤浅，看来更深层次的问题还得自己去钻研。　　通过调研，我发现这学区房之所以涨成了个天价，主要是有需求，而这需求哪儿来的，根子在于优质教育资源配置的合理性上。用咱老百姓能听明白的话来说，就是好学校太少。　　从古至今，放眼世界，咱们中国人对教育的重视程度是罕有对手的。自打隋炀帝琢磨出了个科举制度后，古人们对教育就有了明确的方向，从此，教育背后的功利主义就愈演愈烈。闲适散淡的古人都是如此，而生活在当下竞争如此激烈的人们，则更把教育视为改变人生命运的重要途径。孩子还在腹中孕育，妈妈们就开始为宝宝将来的教育焦虑了。这其中最让家长头疼的是，如何能让孩子就读上一所名牌小学。细数下来，这里知名的小学并不少，可分散到偌大的城里，就显得颇为稀缺。　　可即使如此，也不能完全成为驱使人们东拼西凑，不惜债台高筑去买学区房的理由。正当我百思不得其解的当口儿，一次通话，似乎让我找到了某些答案。　　最近得知一位好友斥资千万，买了一套名校附近的学区房，我特地选了个良辰吉日致电表示祝贺。好友的话不多，且听得出一丝疲惫和无奈。但他的夫人却兴致盎然，足足跟我聊了一个半小时。挂了电话，我不得不由衷地羡慕好友，居然能娶到这样的贤内助。这不，她在电话里说得很清楚，房子是她做主买的，房钱也是她多方筹集的。关于为何执意买房，这位娇小女人的远见则让我暗自佩服。　　“我跟您讲，家里是花了一千多万元，看似底儿被掏空了，可我的孩子上了所硬件、软件都是没得挑的好学校。我做过调查，一般来说在好学校里，做个中等生，将来升学就不愁。可在差一些儿的学校里，孩子必须做到优等，升学才有保障，您说孩子得多累啊。再说了，孩子在名校里待几年，那见识和眼光可就不一样了。像我孩子的学校，每年都组织出国游学，对此我是坚决支持，即使砸锅卖铁，我也得送孩子出去见世面，这对未来留学会大有帮助。另外还有一点也很重要，您可别说我太势利了，孩子班里的同学，个个家庭条件都不错，可以讲是非贵即富，说不准将来就能出几个风云人物，您想想这个圈子有多重要。孩子们长大了，念着曾经同学一场的情分合作点儿事儿，那起点可就不一样喽。再有等孩子毕了业，这房价儿肯定更高，那时候转手卖了，不但孩子留学的费用有了，说不准还能换套二百多平米的联排别墅呢。您说我这思路对吗？”　　我原以为买学区房的主儿都是被忽悠的冤大头，可听了这番话，让我猛然意识到，如今敢花大价钱买学区房的人其实不简单，不敢说个个是人精，但绝不是鲁莽之人，他们想的可能比普通人更长远。　　“你发什么愣呢？饭都凉了。”夫人冷不丁的一句话让我打了个激灵。　　“诶，我说，你那表弟前两天不是嚷嚷着要买学区房吗，下手没有啊？”　　“那是人家的事儿，我不操心。”　　“嘿，你这人原来不这样啊！热心肠儿哪儿去啦？”　　“花钱的事儿咱管不了，你也别瞎掺和。”　　我迅速地扒拉完碗里的饭，就一头钻进了书房。虽然窗外秋色已浓，可心里却有股子燥热总想往外冒。我咽了口凉茶，拿起手机犹豫了良久，终于拨通了夫人表弟的电话。　　“喂！小奎，是你吗？——你这嗓音怎么有点儿不对劲儿啊？——什么？病了！——是装修累的。——呕，新买的学区房。——借了一屁股的债。——学校还不错？——成，早点儿歇着吧，我挂了。”　　唉！这小子下手前怎不跟我说一声呢？我好歹也研究了这么长的时间，多少也能给他点儿指导啊。难道我在大伙儿眼里仅是个纸上谈兵的主儿吗？　　“夫人，有安眠药吗？给我来半片儿。”
版权所有 北京晨报 1998 - 2013
本网站所有内容属北京晨报所有，未经许可不得转载。
Copyright 1998 - 2013 all rights reserved
多媒体素材
多媒体播放列表扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
表示失败的三字词语如摔跟头、碰钉子
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
炒鱿鱼、马后炮、拉后腿、开倒车、退堂鼓、半瓶醋、放空炮、吹牛皮、走过场、靠边站
其他类似问题
炒鱿鱼、马后炮、拉后腿、开倒车、退堂鼓、半瓶醋、放空炮
扫描下载二维码数学与文化
&&&&数学与文化前 言本节我们主要研究三方面的问题： 1) 数学是什么； 2) 数学文化的内涵； 3) 《数学与文化》课程的学习任务。 第一节．数学是什么 数学是什么 数学的定义 （1）数学是量的科学——亚里士多德（aristotle，公元前 384—前 322） ； （2）数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学 数学是研究现实世界的空间形式与&&&&数量关系的科学——恩格斯（十九世纪） ； 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学 （ 3 ） 数 学 是 在 从 模 式 化 的 个 体 作 抽 象 的 过 程 中 对 模 式 进 行 研 究 — — a.n. 怀 特 海 （whitehead） ； （4）数学是关于模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观 察到的结构和对称性。——美国学者（20 世纪 80 年代） 错误的认识： “数学仅仅是科学家工程师或许也是金融家才有用的一系列技巧， 因为数学中的算术能 通过机器来运算。 ” 这样认为数学，好比艺术作品被认为只是颜料的简单累积。 数学是一门创造性的学科，人们追求数学创造的动力有： （1）解决社会实际问题：数学的应用性； （2）提供自然现象的合理结构；数学的抽象性； （3）对真、善、美的追求：数学的艺术性 数学是一门重要的符号语言 （1）数学语言是精确简洁的，形式是完美的。如勾股定理 a + b = c ， e2 2 2 iπ+ 1 = 0 等等；（2）对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理秩序与和谐，而这些是上 帝以数学语言透露给我们的。 （开普勒语） 数学是一门知识体系，却不包含任何真理 （1）数学：给予人类征服自然的神奇力量（精神） ； （2）科学：寻求关于物质世界的真理（真理） 数学一直是文明与文化的重要组成部分。 （1）数学是科学的钥匙： 数学是科学的钥匙： 数学是科学的钥匙 科学的数学化；在任何特定的理论中，只有包含数学的部分才是真正的科学。 （康德语） （2）数学是思维的工具： 数学是思维的工具： 数学是思维的工具 数学使人类思想进一步解放； （3）数学是理性的艺术： 数学是理性的艺术： 数学是理性的艺术 古希腊数学家教育人们进行抽象推理，激发人们对理想与美的追求；通过希腊数学的考察， 就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及 理想化的建筑与雕塑。而罗马数学则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而 注重实用。 （4）数学导致工程技术革命：计算机的出现，使数学广泛地影响着现代生活和思想； 数学导致工程技术革命： 数学导致工程技术革命 第二节 数学文化的内涵 数学是一种文化 文化是指人类在社会历史实践活动中所创造的物质财富和精神财富的总和。 人类所创造 的事物或对象都是文化物； 数学对象并非物质世界的真实存在， 而是人类抽象思维的创造性1数学与文化产物，因此，数学也是一种文化。 数学对象的抽象性与文学作品中人物的虚构性类似，都依赖于思维的自由想象。比如： 射影几何中的无穷远点理论： 德国数学家迪沙格引入无穷远点， 把它看成两条平行直线交点， 所有无穷远点构成无穷远直线，从而建立了射影几何；超穷数理论：cantor 引入超穷基数 与超穷序数的概念，大胆的探索无穷领域等等。 数学是研究数与形的科学， 它来源于生产， 服务于生活， 并不是空中楼阁。 在古代埃及， 尼罗河定期泛滥，重新丈量土地的需要发展了几何学；在古代中国，发达的农业生产及天文 观测的需要， 也促进了数学的发展。 数学与社会文化始终是密切相关的。 据说， 两千多年前， 柏拉图学园的门口挂着一块牌子，写着： “不懂几何的人不得入内。 ”柏拉图本人就曾做过一 次题为“善的概念”的讲演，切实地探讨过“数学与文化”的问题。他认为，数学与伦理学 中的“善”在理想化方面是相同的，用笔画出来的点、线、面都是一种抽象，因而也是一种 理想。柏拉图之后的两千多年，即 1939 年 12 月，英国数学家、哲学家怀特海在美国哈佛大 学作了一次讲演，题为“数学与善” ，重申了柏拉图的思想，认为只有人类的智力才能“从 实例中抽象出某一类型东西来。人类这个特性的最明显的表现就是数学概念和善的理想” 。 可见， 数学并不是一棵傲然孤立的大树。 它是在人类的物质需求和精神生活影响下生长起来 的，同时它也以自己独特的魅力对人类文化的不同领域产生深远影响。 美国数学史家 m.克莱因曾经说过: “一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数 学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”“数学不仅是一种方法、一门艺术或 。 一种语言， 数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系， 其内容对自然科学家、 社会科学家、 哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说” 。数学已经广泛 地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。 北大数学所所长张恭庆院士将数学的作用分为三个层次： 第一个层次， 为其他学科提供 语言、概念、思想、理论和方法。自然科学和经济、管理等社会科学，离开了数学，便无从 产生和发展； 第二个层次是直接应用于工程技术、 生产活动。 第三个层次， 是作为一种文化， 对全社会的成员起着潜移默化的作用。 一个民族数学修养的高低， 对这个民族的文明有很大 的影响。 数学对其他人类文化和人类精神生活的影响巨大。 首先数学对其他学科有支持作用， 数 学被誉为“人类理性发展最高的成就”“促进了人的思想解放”“表达了一种探索精神” ， ， 。 在西方，科学发展的历史就是与宗教抗争的历史，就是反蒙昧反专制的历史。在这中间，数 学以它的确定和完美， 起到了主要的作用， 并最终逐出了在自然科学领域同样居于统治地位 的上帝。促进人的思想解放，可以说是数学探索精神最值得骄傲的胜利。 总之，数学文化有以下三个特点： 第一， 数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。 第一， 数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。 第二， 数学的简单性、深刻性、统一性。 第二， 数学的简单性、深刻性、统一性。 第三， 数学可以自我反思、自我完善。 第三， 数学可以自我反思、自我完善。 武汉大学前任校长齐民友教授这样说道： 一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰 “ 落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的 ” 落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。 数学文化的历史分期 (1)数学的起源与早期文化发展（公元前 6 世纪以前） (2)初等数学时期（公元前 6 世纪——16 世纪） 古代希腊数学文化（公元前 6 世纪——6 世纪） 中世纪东方数学文化（3 世纪——15 世纪） 欧洲文艺复兴时期数学文化（15 世纪——16 世纪） (3)变量数学时期的数学文化（17 世纪——18 世纪）2数学与文化(4)现代数学时期的数学文化（1820—— ） 酝酿期（1820——1870） 形成期（1870——1940） 繁荣期（1950—— ） 研究数学文化与研究数学史的区别 （1）研究数学文化是把数学看作一种文化现象，并在文化系统内研究数学的发展史； （2）研究数学文化是探索各文化系统中的数学价值观念，揭示数学家群体文化价值追求； （3）研究数学文化是探索数学发展的规律性内涵，把握数学的本质。 数学与文化》 第三节 《数学与文化》课程的学习任务 通过《数学与文化》学习，可以使我们在接受数学专业训练的同时，了解数学概貌、获 得人文科学方面的修养，数学家的业绩与品德也会对我们的人格培养有模范的作用。 中国数学有着悠久的历史， 其渊源流长的以计算为中心、 具有程序性和机械性的算法化 数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映， 交替影响世界 数学的发展。 《数学与文化》可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学 落后的原因， 中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距， 以激发我们的爱国热情， 振兴民族科学。 广泛了解和认识数学发展的历程以及数学成果，增强数学兴趣；反之， 广泛了解和认识数学发展的历程以及数学成果，增强数学兴趣；反之，只有自觉加强 数 学学习才能更好的了解和认识数学。 学学习才能更好的了解和认识数学。 “若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”——h.庞加莱 “不了解数学史就不可能全面了解数学科学” 。 透视数学变革过程中的创新精神和人文精神； 透视数学变革过程中的创新精神和人文精神； 剖析数学变革的时代背景，体会数学家的艰苦历程； 弘扬数学人文精神，增强数学素质。 深入体会数学的本质和数学文化的内涵； 深入体会数学的本质和数学文化的内涵； 数学是关于模式的科学， 但数学并不是提供单一化模式， 更多时候数学展现的是多重现象； 如果数学有什么存在权利的话，那就是只是作为艺术而存在。——g.h.哈代（hardy）; 学生尝试通过小组合作学习转变数学学习方式。 学生尝试通过小组合作学习转变数学学习方式。 两人或三人一组合作，查阅收集整理资料，完成期中论文、期末测试。 参考文献 1． 《数学与文化》 2． 《古今数学思想》 3． 《数学：确定性的丧失》 4． 《数学史教程》 5． 《数学文化学》 6． 《中国数学史》 7． 《中国数学史简编》 8． 《中国数学史大系》 9． 《给讨厌数学的人》 10． 《弘毅数学空间》 邓东皋 孙小礼 张祖贵 编 北京大学出版社 m 克莱因 著上海教育出版社译 m 克莱因 著 李宏魁 译 湖南科学技术出版社 李文林 著 高等教育出版社 施普林格出版社 郑 信 王宪昌 蔡仲 著 四川教育出版社 钱宝琮 科学出版社 山东教育出版社 吴文俊主编 北京师范大学出版社 、 小室直树（日） 著 上海市育才中学校园网3数学与文化第一章 第一章 中国数学文化发展 中国数学的文化历史渊源流长。 数学活动有两项基本工作----证明与计算， 前者接受了 公理化（演绎化）数学文化传统，后者接受了机械化（算法化）数学文化传统。在世界数学 文化传统中， 以欧几里得 《几何原本》 为代表的希腊数学， 无疑是西方演绎数学传统的基础； 而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法数学传统的基础，它们东西辉映，共同 促进了世界数学文化的发展。 中国数学的特点：（1）以算法为中心，属于应用数学。以解决实际问题为目标，数学 研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。（2）寓理于算，理论高度概括。中国数学 的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础， 中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几 个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相 补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“祖日桓原理”等等。（3）具有较 强的社会性。中国传统数学文化中，数学是儒家培养人的道德与技能的六艺（礼、乐、射、 御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数 学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印。 同时， 数学教育与研究往往被封建政府所控 制，唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反 映了这一性质。 下面我们分五部分展开中国数学文化发展概略。 第一节 中国数学的起源与早期发展 据《易．系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文 卜辞中有很多记数的文字。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算，在春秋 时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示多位数字时，采用十进制，各位值的数目从左到右排列，纵 横相间，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十 五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代。在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使 用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理的特例。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展。著名的有墨子﹝右图公元 前 468-376 年﹞在《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如： 「圆， 一中同长也」、「平，同高也」、「直，参也」等等。墨家还给出有穷和无 穷的定义，对时间空间概念、必要条件及充分条件提出了讨论。 《庄子》记载了惠施等人的名家学说。其中强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之 大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的 定义、 极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想， 但这种重视抽象性和逻辑严密性的 新思想未能得到很好的继承和发展。4数学与文化此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的 思想。 第二节 中国数学体系的形成与奠基 秦汉是中国古代数学体系的形成时期，随后魏晋、南北朝约 400 年，数学不断系统化、 理论化，数学方面的专著陆续出现。现传中国历史最早的数学专著是 1984 年在湖北江陵张 家山出土的成书于西汉初（公元前 186 年）的汉简《算数书》。西汉末年﹝公元前一世纪﹞ 的《周髀算经》，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2) 测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开 方问题和分数运算等。 《九章算术》是一部古代数学经典著作，约成书于东汉初年﹝公元前 一世纪﹞。 全书采用问题集的形式编写， 共收集了 246 个问题及其解法， 分属于方田、 粟米、 衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、 各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数 概念及正负数加减法法则， 在世界数学史上都是最早的记载； 书中关于线性方程组的解法和 现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实 际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制等还传 到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界 数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵 爽（生卒年代不详）和刘徽（右图，约公元 3 世纪）的工 作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽 注解了《周髀算经》，是中国古代对数学定理和公式进行 证明的最早的数学家之一。他用几何方法（左边弦图）严格证明了勾股定理，体现了割补原 理的思想；提出了用几何方法求解二次方程的新方法。263 年，三国魏人刘徽注释《九章算 术》。创立 “割圆术”，得出“徽率”157/50（即 3.1416）；为解决球体积公式的问题而 构造了“牟合方盖”的几何模型， 为祖暅获得正确结果开辟了道路； 为建立多面体体积理论， 运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量术---重差术。 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。约 于公元四-五世纪成书的《孙子算经》给出「物不知数」问题并作了解答； 《张 丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。公元五世纪， 祖冲之（左图，公元 429-500）、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，成 为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其 著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确 到小数点后第六位，得到 3.1415926 &π& 3.1415927，并求得 π 的约率为 22/7，密率为 355/113， 其中密率是分子分母在 1000 以内的最佳值。 (2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出 球体体积的公式，并提出&幂势既同，则积不容异&的“祖暅原理”。欧洲十七世纪意大利数 学家卡瓦列利才提出同一原理；(3)发展了二次与三次方程的解法。同时代的天文历学家何 承天创调日法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。 第三节 中国数学发展的高峰 北宋王朝统一中国后，科学技术突飞猛进，中国古代数学空前繁荣，出现了一批著名的 数学家和数学著作。贾宪《黄帝九章算法细草》﹝11 世纪中叶﹞，秦九韶《数书九章》5数学与文化﹝1247﹞， 《测圆海镜》 李冶 ﹝1248﹞， （左图） 杨辉 《详解九章算法》 ﹝1261﹞ 和《杨辉算法》﹝﹞，朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元 玉鉴》﹝1303﹞等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是 当时世界数学的巅峰。 公元 1050 年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》 中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，公元 1819 年英国人霍纳才得出同样的方法。贾 宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“帕斯卡三角”。 公元
年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提 出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还 提出“会圆术”， 得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。 他还运用运筹思想分 析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。 公元 1247 年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数 值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪 意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。 公元 1248 年，李冶（李治，公元 1192 一 1279 年）著的《测圆海镜》是第一部系统论 述“天元术” （一元高次方程） 的著作， 这在数学史上是一项杰出的成果。 《测圆海镜·序》 在 中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。 公元 1261 年，南宋杨辉（见前图）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶 等差级数之和。 公元 1303 年，元代朱世杰（在 13 世纪后期的 20-30 年和 14 世纪开头的 10-20 年间） 著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的 解法，欧洲到公元 1775 年法国人别朱才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问 题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元 1670 年英国人格里高利 和公元 1676 一 1678 年间牛顿才提出内插法的一般公式。 第四节 西方数学的传入与中外数学交汇 十六世纪末，西方传教士开始到中国活动。由于明清王朝制定天文历法的需要，传教 士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国， 数学研究出现了一个中西融合贯通 的局面。 十六世纪末，意大利传教士利马窦和徐光启（左图 ）合译《几何 原本》前 6 卷﹝1607﹞。徐光启撰写《测量异同》和《勾股义》便应用《几何 原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。《几何原本》课本中绝大部份 的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。 在徐光启主持编译的《崇祯历书》﹝137 卷，﹞中，介绍了有关圆椎 曲线的数学知识。 入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，同 时又能正确对待西方数学， 对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。 清康熙帝爱好科学 研究，他「御定」的《数理精蕴》﹝53 卷，1723﹞，是一部比较全面的初等数学书，对当 时的数学研究有一定影响。 在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造。李善兰（右图 ） 《垛积比类》﹝约 1859﹞中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒 等式」。1840 年鸦片战争后，开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有： 李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后 9 卷﹝1857﹞，中国有了6数学与文化完整的《几何原本》中译本；《代数学》13 卷﹝1859﹞；《代微积拾级》18 卷﹝1859﹞。 李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3 卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代 数术》25 卷﹝1872﹞，《微积溯源》8 卷﹝1874﹞，《决疑数学》10 卷﹝1880﹞等。在这 些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。1905 年废除科举，建立西方式学 校教育，使用的课本也与西方其它各国相仿。 第五节 中国现代数学的建立 中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。胡明复 1917 年取得美国哈佛大学博士学 位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。1930 年熊庆来在清华大学首创数学研究部， 陈省身、 吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有 江泽涵﹝1927﹞、陈省身﹝1934﹞、华罗庚﹝1936﹞等人，他们都成为中国 现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗 素﹝1920﹞，美国的维纳﹝1935﹞等人。 1935 年中国数学会在上海成立。 1936 年《中国数学会学报》和《数学 杂志》相继问世，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。在分析学方面，陈建功的三 角级数论，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析、变分法、微分 方程与积分方程的成果；在数论与代数方面，华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论 以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果；在几何与拓扑学方面，苏步青的微分几何学，江 泽涵的代数拓扑学，陈省身（左图，1911-）的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性 的工作。此外，李俨和钱宝琮开创了中国数学史的研究，他们在古算史料的注释整理和考证 分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化遗产重放光彩。 建国后的数学研究取得长足进步。50 年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》 ﹝1953﹞、苏步青的《射影曲线概论》﹝1954﹞、陈建功的《直角函数级数的和》﹝1954﹞ 和李俨的《中算史论丛》5 集﹝﹞等专著，到 1966 年，共发表各种数学论文约 2 万余篇。 60 年代后期，中国的数学研究基本停止。 1970 年创刊《数学的实践与认识》。1973 年陈景润在 《中国科学》 上发表 《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》 的论文， 在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。 此外中国数学家在函数论、 马尔可夫过程、 概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。 1978 年 11 月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏。 1978 年恢复全国数学竞赛， 1985 年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。 1986 年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文 俊（右图，1919-）应邀作了关于中国古代数学史的 45 分钟演讲。他的数学 机械化理论使中国数学获得世界声誉。 1985 年庆祝中国数学会成立 50 周年年会上，已确定中国早日成为新的数学大国。 “俱往矣，数风流人物，还看今朝！”7数学与文化第二章 第二章 数 学 哲 学在十九世纪末， 对数学哲学的论战与数学基础问题紧密结合在一起， 成为几乎每位重要 数学家的关注对象。到了二十世纪，更是有着所谓三大派——逻辑主义、直觉主义和形式主 义的争论。 1930 年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此 后各派力量沿着自己的道路发展演化。 尽管争论的问题远未解决， 但大部分数学家并不太关 心哲学问题。 近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣， 因此我们有必要了解一下数学哲学的 来龙去脉。 第一节 逻辑主义 罗素在 1903 年出版的 《数学的原理》 中对于数学的本性发表了自己的见解。 他说： “纯 粹数学是所有形如‘p 蕴涵 q’的所有命题类，其中 p 和 q 都包含数目相同的一个或多个变 元的命题，且 p 和 q 除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对 象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉 及上述形式一般命题概念的其他概念。 除此之外， 数学使用一个不是它所考虑的命题组成部 分的概念，即真假的概念。” 这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。 这种看法在以前也不同程度被戴 德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在 1872 年出版了《连续性及无理数》 一文，在这篇文章中，他把有理数作为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这 个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实 行。 弗雷格在 1884 年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分 析判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个 逻辑规律。 把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工， 计算就是推 理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并 没有概念、 没有数。 因此， 数字规律实际上不能应用于外在世界， 这些规律并不是自然规律。 不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上， 这些判断即是自然规律。 它们反映 的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。 早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发 现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这 就是他和怀特海合著的《数学原理》。 既然罗素、 怀特海的 《数学原理》 原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上， 因此， 书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一 件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可 定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。8数学与文化要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在 消除悖论之后，成功地用“类”来定义 1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第 一卷的 363 页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了 n×m＝m×n。 在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这 个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容： 1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学 真理都能够表示为真正的逻辑命题。 2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。 3、 每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题， 就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 这三方面不完全一样， 罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。 由于哥德尔 的不完全定理，3 是错的，但是还可以坚持 1 和 2。 罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人， 弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑 主义的观点。但是，逻辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直坚持。在三十年代以后， 还是有许多人发展逻辑主义。 逻辑主义从—开始就遭到批评， “因为如果数学只是一套逻辑演绎系统， 那么它怎么可 能反映广泛的自然现象呢它又怎样能够有创造力呢它又怎样能够产生新观念呢”用 维特根斯坦的话说，数学就是同语反复(重言式)，结不出任何新知识。 罗素悖论的出现， 使得这一派遭到的攻击更大。 彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不 是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了”。罗素—怀特海用了几年时 间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去 定义 1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道 1 的人”，别人也说这一套 完全是中世纪的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是 硬加上的，没有任何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。 对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理， 它证明了从逻辑并不能推出算术的正 确性来， 显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。 但是， 罗素等人的历史功绩是不可磨灭的， 他们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典， 至今它还有一定的意义。 逻辑主义也不是后继无人， 英国的拉姆塞、 美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。 第二节 直觉主义 直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧 几里得几何学中逻辑才起一定作用。 到了十七世纪解析几何和微积分发明之后， 计算的倾向 大大超过了逻辑倾向。十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。 十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，需要考虑存在性定理。 一个是非欧几何不矛盾，是逻辑而不是直觉在起作用。一个是数学分析不严格，产生荒谬的9数学与文化结果。在新的矛盾面前出现一些非构造性结果，也考虑一些无穷的问题。这时追求严密与追 求实用构造两种倾向都有增长，不过一般数学家维持着微妙的平衡。 到了十九世纪末， 集合论的出现激起这两方面的尖锐斗争。 于是出现极端的构造主义者， 象克洛耐克否认无理数存在，否认连续函数，他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则， 但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。 法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者，有人称为法国经验主义者。他们反对实无穷， 反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。 现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔， 他于 1881 年 2 月 27 日生于荷兰奥弗西。 1897 年进入阿姆斯待丹大学学习，一直到 1904 年，他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何 第一个结果。他多少受曼诺利的影响，关心当时的基础问题，在 1907 年博士论文中阐述自 己对数学基础问题的观点。 布劳威尔是从哲学中得出自己观点的， 基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉， 而这形 成自然数的概念。 这倒不是新鲜的， 他认为数学思维是头脑中的自由构造， 与经验世界无关， 只受基本数学直觉为基础的限制， 在这方面他是不同于法国经验主义者的。 数学概念进入人 脑是先于语言、逻辑和经验的，决定概念的正确性是直觉，而不是经验及逻辑。这些充分暴 露了他唯心主义和神秘主义的思想倾向。 布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界， 不属于数学。数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是 运用语言的手段。正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠 基本理论本身的变革。 布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用， 数学是自由的， 不一定遵守什么逻 辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合。1908 年， 他反对把排中律运用于无穷集合上， 因为有穷集合可以逐个检查， 而无穷集合则办不到， 因此存在不可断定真假的第三种情况，就是说有既不可证明，又非得要证明的命题。 1908 年到 1913 年，布劳威尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形逼近的方法证明了维 数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等 方面也有出色的工作，不过很快他又转向基础研究。 布劳威尔象康德和彭加勒一样，认为数学定理是先验综合真理。他在 1912 年的阿姆斯 特丹大学就职演说中，他承认由于非欧几何的发展，康德的空间学说不可信。但他同弗雷格 和罗素相反，仍然坚持康德的观点，算术是从对时间的直觉导出的。由于现代数学是建立在 算术基础上的， 所以整个数学也是如此。 正是时间单位的序列产生序数的概念， 而连续统[0， 1]只是不可用新单位穷尽的居间性， 他认为几何学也依赖于这种直觉。 他认为除了可数集合 之外，没有其他集合，所以 ω 以上的超穷数都是胡说八道，象 0 与 1 之间所有实数的集合 是毫无意义的。这点他在 1908 年罗马召开的国际数学家大会上讲过，数学无穷集合只有一 个基数，即可数无穷。10数学与文化1909 年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直觉主义的争论焦点。1912 年说到这个问 题之后，他一直到 1917 年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代末他发表一系列的 文章，开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是他从 消极的否定转变为积极的构造。 同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。 他运用了扇定理， 这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。 三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。外尔早在 1920 年左 右就表示效忠于直觉主义，从而激起希尔伯特的极大愤怒。他吸收了直觉主义一些思想，开 始用有限主义方法来完成证明论方案，企图一劳永逸地解决基础问题，不料没能成功，于是 还得求助于无穷。 直觉主义仍然进行他们的事业，特别是海丁建立直觉逻辑系统，它包含古典逻辑系统。 后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。不过，仍然不能尽如人意。 1967 年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书，开始了构造主义的时期。他们 不象以前直觉主义者那样偏激， 而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。 不去单纯的 否定或争论。 毕肖普自信会取得大多数人的支持， 不过没有能实现， 因为他们毕竟成就有限， 难于同整个数学汪洋大海相比，可是十几年来构造主义还是取得一定进展，如《构造性泛函 分析》等书问世，说明它还有一定的市场。 第三节 形式主义 一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特， 但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。 并 且，希尔伯特的思想有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。希尔伯特是二十世纪最 有影响的数学家， 他不仅是数学上一些分支的公认权威， 而且恐怕也是最后一位在几乎所有 数学领域中都做出伟大贡献的全才。 更重要的是， 他对于数学基础问题有着长时期的持久关 注，他的思想在现代数学也占有统治地位。 大卫·希尔伯特，1862 年 1 月 23 日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学， 1885 年取得博士学位，1886 年就任哥尼斯堡大学讲师。1888 年因为解决了不变式理论中著 名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角， 1891 年他升任副教授， 1893 年升任教授。 1895 年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。他在哥丁根 大学任教至 1930 年退休，其间培养了各国数学家，单是他指导的博士论文就有五、六十篇。 由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌权后才迅 速地衰落下去。晚年学生大都离开，他于 1948 年 2 月 14 在孤寂中逝世。 希尔伯特前期主要供献在不变式论方面。1895 年左右，他写了代数数论的总结性巨著。 二十世纪开始时， 他的兴趣转向分析及物理学。 从十九世纪末， 他对数学基础做出重大贡献。 为了方便起见，不妨把他关于数学基础和数理逻辑的主要著作开列如下： 1899 年，《几何学基础》，本书多次宣印及再版，生前最后一版为第七版(1930 年)。 正文部分有中释本。 1900 年，实数的公理化，以及“数学问题” 1904 年，在海德堡国际数学家大会上的讲演—“论逻辑和算术的基础”11数学与文化1917 年，公理化思想 1925 年，论无穷1922 年，“数学的新基础”，以及“数学的逻辑基础”1927 年，数学基础1928 年“数学基础问题”在意大利波洛那国际数学家大会上讲演； 《理论逻辑纲要》 (同 阿克曼台著)，本书很快成为标准著作。1938 年第二版，1949 年第三版，有中译本，莫绍接 译《数理逻辑基础》，1959 年第四版，阿克曼做了很大的改动。 1930 年，“初等数论基础”“逻辑及对自然的认识” 1931 年，“排中律的证明”1934 年，《数学基础》ⅰ；1939 年，《数学基础》ⅱ，这两本书与贝纳斯合著 从希尔伯特的著作看来， 希尔伯特提出了大部分形式主义观点， 但他并没有把它们绝对 化。他的观点有些地方同逻辑主义、直觉主义有着共同之处。这反映出某种矛盾，应该说这 种矛盾是数学家的哲学思想上的矛盾。 关于数学中的存在， 他认为不限于感觉经验的存在。 在物理世界中， 他认为没有无穷小、 无穷大和无穷集合，但是在数学理论的各个分支中却都有无穷集合，如自然数的集合，一个 线段里所有点的集合等等。这种不是经验能够直接验证的对象，他称之为“理想元素”。引 进理想元素的方法在数学中其实由来已久，比如代数中虚数的引进，几何中无穷点的引进， 微积分中无穷小与无穷大的引进等等。 但是理想元素的引进必须不把矛盾带到原来的较窄狭 的领域内。由于理想元素不能靠直观经验来验证，只能靠逻辑来验证，因此合理性的唯一判 据就是无矛盾性。这种无矛盾性的真理观实际上是形式主义基本论点。 但是希尔伯特并不抱这种极端和绝对的看法， 他看到引进新元素往往是对于旧元素的一 种扩张， 所以很自然地要求扩张之后增加的新元素仍能保留旧元素的大部分基本性质， 就象 数的扩张仍能使加法交换律保持成立。 当然这样也就在一定意义下限制了扩张的任意性， 这 也是因为对于搞研究的数学家来讲，引进新概念是为了需要，而不是“游戏”，所以希尔伯 特还认为“需要有相应的成果”，而且这是“至高无上的裁判”。把这个标准弄进来，反而 使得标准变得模糊不清。 但是在什么情况下， 关于理想元素的命题为真呢这个问题， 希尔伯特不认为每个个公 式都必须得到验证，每一个概念都必须得到解释，然后通过直观验证。 在 1900 年的《论数的概念中》，希尔伯特提议用公理化方法来代替“生成的”方法。 在《几何学基础》中，希尔伯特超过解析几何选出的算术模型来证明他的几何公理的无矛盾 性。 这样证明的是相对无矛盾性， 也就是把几何学的无矛盾性归于实数的算术公理的无矛盾 性。 于是他在 1990 年国际数学家大会上把算术公理的无矛盾性列为他那著名 23 个问题中的 第二个。他没有指出任何解决这个问题的途径，而只是强调相对无矛盾性的证明没有问题。 不久，罗素悖论变得众所周知，从而无矛盾性问题变得更加紧迫。于是，希尔伯特在 1904 年在德国海德堡召开的国际数学家大会上提出第一个证明算术无矛盾性的打算。事实 上，这是现代这方面研究的原型。他的草案是：要证明某些初等公式具有无矛盾性，并且推 演规则传递这个性质。 在这篇题为《论逻辑和算术的伪基础》的报告开头，希尔伯特评论对于算术基础的不同 看法。他认为，克洛耐克是教条主义者，因为他原原本本地接受整数及其所有重要性质，他12数学与文化不再深入下去探求整数的基础。德国科学家赫姆霍茨是经验主义者，按照他的说法，任意大 的数不能够由我们的经验得出，因此是不存在的。另外有一些人，特别是德国数学家克里斯 多弗张反对克洛耐克的观点。他们认为，要是没有无理数的概念，整个数学分析就势必要垮 掉。于是他们企图找寻正面的、肯定的性质来确认无理数的存在。但是，他认为这种观点是 不彻底的，因此说他们是机会主义的。这几种观点，希尔伯特都表示反对。 希尔伯特认为比较深入的观点是下面几种： 一是弗雷格的逻辑主义， 他把数学规则建立 在逻辑的基础上；二是戴德金的先验主义，他是根据哲学上的论证来推断无穷的存在，不过 他对数的论述中包含着“所有对象的集合”这类矛盾了； 三是康托尔的主观主义观点， 他清 楚地区分“相容集”及“不相容集”。 但是他没有提供明显的判据， 因此缺乏客观的可靠性。 希尔伯特认为所有困难都可以通过给数的概念建立完全而严格的基础而得到克服， 这就 是公理化方法。1904 年以后，希尔伯特把主要精力放在研究积分方程等分析问题以及物理 学公理此等方面，没有发表什么数学基础方面的著作。这时，各种流派进行的激烈斗争，也 不能不使希尔伯特关心。 尤其是布劳威尔直觉主义的出现， 他感到对于整个数学的生存和发 展是个极大的威胁，于是他开始投入战斗。 从 1917 年起的二十多年时间里，他为了挽救古典数学竭尽全力。1917 年他在苏黎世发 表一篇演说，题目是“公理思想”。这篇文章全面叙述了一些与认识论有关的问题，如数论 和集合论的无矛盾性，每个数学问题的原则上可解性，找出数学说明的单纯性，的标准数学 中内容与形式表示的关系， 数学问题通过有限步骤的可判定性问题。 这些问题预示着后来数 理逻辑的发展。他认为，要想深入研究就必须对数学证明的概念进行深入的研究。既然逻辑 推理可以符号化， 进行数学的研究， 为什么证明不行呢他提出了证明论的一般思想和目标， 但是没有具体化。 希尔伯特他第一篇证明论的工作是 1922 年发表的，在《数学的新基础：第一篇》中， 他论述如何把数论用有限方法讨论， 而数学本身却一般须用超穷方法。 他指出用符号逻辑方 法可以把命题和证明加以形式化， 而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。 1922 在 年在德国自然科学家协会莱比锡会议上，他做了《数学的逻辑基础》的演讲，更进一步提出 了证明方法。要求有限主义，即经过有限步不推出矛盾来即为证明可靠，这称为希尔伯特计 划。 其实早先弗雷格已经坚持认为需要有明显的符号系统， 明显的公理及推演规则， 明显的 证明。希尔伯特定走的更远，他提出这样一种明显理论本身也做为一种数学研究的对象，且 应用适当的方法来判定它是否无矛盾，这种做法一般称为元数学。 希尔伯特建议两条最基本的原则：一、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容， 即使将符号、 公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管， 而只是把它们看作纯粹的 形式对象，研究它们的结构性质；二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式 理论之内一串公式是否一个证明。 应用数学方法于这样一个形式理论， 避免涉及无穷的推断， 这就排除了康托尔集合论的方法。 这个思想是只应用靠得住的方法， 因为要证明数学或其一 部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。13数学与文化第三章 数 学 美音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质 生活，但数学能给予以上的一切。 ———克莱因 数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。 ———罗素 数学是创造性的艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家们像艺术家们一样地生 活，一样地工作，一样地思索． ———哈尔莫斯 现在也许很难找到一个受过教育的人，对于数学美的魅力全然无动于衷，数学美可能 很难定义，但它的确是一种真实的美，和其它任何的美一样。———g.h.哈代什么是美 第一节 什么是美 1. 美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一(朱光潜语)。 2. 美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。真与善、规律性与目的性的统一，就是美 的本质和根源(李泽厚语)。 3. 苏格拉底认为：最有益的即是最美的。 4. 亚里士多德认为：数学能促进人们对美的特性：数值、比例、秩序等的认识。 5. 德国哲学家黑格尔把美看作是精神的(绝对观念的)整个世界运动的阶段之一， 观念 得到完善的、相同的表现形式，这就是美。 6. 当代美学家们则认为：美应包含下列各项：第二节 数学美的起源 数学也是自然科学的语言， 故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点， 即数学在 其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。因而数学美是具体、形象、 生动的。数学美的起源遥远、历史悠久。 （1）毕达哥拉斯学派认为世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐 毕达哥拉斯学派认为世界是严整的宇宙， 与数。 与数。 正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学(他们试图提出一个声 调对比关系的数学公式： 八度音与基本音调之比为 1∶2， 五度音等于 2∶ 3，四度音等于 3∶4 等等)，这也是人们最早用数学方法研究美的实践 与创始。 古希腊著名的学者毕达哥拉斯对数学有很深的造诣，其中毕氏定理(我国称勾股定理)正 是他的杰作(为此他的弟子们曾举行了盛大的“百牛大祭”以资庆贺)。14数学与文化（2） 几何上， 几何上， 我们学过 黄金分割”即把线段 l 分成 x 和 l-x 两段， “黄金分割” ， 使其比满足： x∶l=(l-x)∶x 这样解得 x≈0.618l，这种分割称为“黄金分割” 。 0.618…这是被中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”的重要数值，它也曾被德 国科学家开卜勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一(另一件即为“勾股定理”)。 黄金比值一直统治着中世纪西方建筑艺术， 无论是古埃及的金字塔， 还是古雅典的他侬 神庙；无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着 0.618…这一黄金比数(这显然展示着数学美感)。在股票分析中，美国人艾略特于 1934 年在研究股指(股票指数)变化规律时，提出了所 谓“波浪理论”(他于 1942 年出版了《宇宙奥秘之自然规律》一书)，该理论可对许多经济 活动作出预测和估计， 而其中重要结论是： 这类经济活动的指数波动中遵循斐波那契数列规 律而变化。 更为有趣的是：这个数列前后两项之比，越来越接近黄金比值 0.618… 上世纪德国一位心理学家曾做过一次试验： 他展出 20 种不同规格的(即长宽比例不一的) 长方形，让参观者从中选出自己认为最美的，结果多数人选择了长∶宽=1∶0.618…或接近 这个比的长方形。 近年来， 人们又在最优化方法中找到了这个数的应用， 比如优选学中的 “0.618…方法” ， 就是利用了黄金数去选优(它显然应视为数学美的一个应用)。 笔者还曾以 0.618 为尺度，提出过一个“小康型购物公式” ，它先后被国内不少家报刊 转载，从中亦可见人们对这个“黄金数”的偏爱。这个公式是这样的： 小康型消费价格＝0.618×(高档消费价格-低档消费价格)+低档消费价格。 它的图示见 下图：这就是说：您在选购商品时，您据自己的财力状况若认为高档价格过于昂贵，而低档价 格的商品款式、 性能等不尽人意， 那么您可以选购价格为上面公式所给出的档次的商品—— 它的价格中等偏上，堪称得上“小康”水准。 （3） bell 数(记作 bn)，它在“组合分析”中甚为有用。 ） 记作 ，它在“组合分析”中甚为有用。 bell 三角形，它遵循规则： (1)首行从 1 开始，以后每行的最后一个数字是下一行的第一个数字；15数学与文化(2)表中从第二行起， “每个数字=该数左面的数字+该数左上方的数字” 。表中的第一列数字 1、2、5、15、52、203、…即为 bell 数。 奇妙的是，人们通过研究发现：应用 bell 数可算出诗词的各种韵律。 比如 b5=52，国外艺术家们判断五行诗有 52 种不同的押韵方式，他们在雪莱的《云雀》 及其他著名诗人的诗篇中找到了佐证。 日本学者也在他们的古诗中发微探幽， 得出相同的结 果。这说明即令在似乎风马牛不相及的文艺领域，也潜含着某种数学模式。 律诗中讲究“一三五不论，二四六分明” 。人们将诗中“平”用“0”“仄”用“1”去 、 对应，比如律诗中一种韵律可与右面的 4×5 矩阵对应：（4） 看看那些数学家们，他们生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们 ） 看看那些数学家们，他们生前献身于数学，死后在他们的墓碑上， 生平业绩的标志，也刻着他们对于数学美的挚灼的爱恋。 生平业绩的标志，也刻着他们对于数学美的挚灼的爱恋。 古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马乱兵之手后(死前他正在地上演习几何 题，并对乱兵说： “不要弄坏我的圆。 ”)，人们为纪念他便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱” 的图形，以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二”的著 名定理。 德国数学家高斯()，在他研究发现了正十七边形的“尺规作法”后，便放弃 原来立志学文的打算而献身于数学， 以至在数学上作出许多重大贡献。 他的墓碑底座就是按 照他生前的遗愿做成正十七边形的棱柱。 瑞士数学家雅谷· 伯奴利(1654 一 1705)生前对螺线(被誉为生命之线)有研究， 他死之后， 墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着： “虽然改变了，我还是和原来一样。 ”这是 一句既刻画螺线性质，又象征他对数学热爱的双关语。 间的著名公式： （5） 欧拉关于多面体顶点数 v、棱数 e 和面数 f 间的著名公式： ） 、 v-e+f=2(欧拉公式) 可谓脍炙人口，然而由于对公式的适用范围未加限制，竟引来一批令人失望的反例 当 然这也从正面告诫人们：欧拉公式的适用范围有限． 下面表中给出的反例正是说明欧拉公式并非对任何多面体都成立，关于这点 1893 年庞 加莱曾将公式修改为： 对任何凸多面体，其顶点数 v、棱数 e、面数 f 满足 v-e+f=2．16数学与文化数学美的特征是什么 第三节 数学美的特征是什么 数学美包括简洁性、和谐性和奇异性。具体地有：一．数学美的简洁性 1．符号美 2．抽象美 3．统一美二、数学美的和谐性 1．和谐美 2．对称美17数学与文化3．形式美三、数学美的奇异性 1．奇异美2．有限美 3．神秘美(朦胧美) 4．常数美 第四节 有趣的 fibonacci 数列 一般而言， 兔子在出生两个月后， 就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。 如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子 我们不妨拿新出生的一对小兔子 分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力， 所以还是一对; 两个月后， 生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对，依次类推 珂以列出下表： 所经过月数：1112 兔子对数： ， 表中数字 1，1，2，3，5，8－－－构成了一个序列。这个数列有关十分明显的特点，那是： 前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，这个级数的通项公 式，除了具有 f(n+2)=f(n)+f(n+1)的性质外，斐波那契数列有很多有趣的性质，比如你可以看见起绒草球状的花头上面有许多螺旋。很容易想像， 如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时 针方向的，还有些是逆时针方向的。我们可以数一下，顺时针旋转 的具有 13 条顺时针旋转和 21 条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部（和 左边那条旋转方向相同）螺旋一共有 13 条，而逆时针旋转的则有 21 条。——总是相邻的斐 波那契数。等等。那么斐波那契数列还有其它有趣的性质吗18数学与文化1．探究下列公式的正确形式：（1） f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=（2）f(1)+f(3)+f(5)+……+f(2n-1)=（3）f(n+1)f(n)-f(n+2)f(n-1)=（4）f(1)2+f(2)2+f(3)2+……f(n)2=2．试用 ti—83+计算器，探究一个由斐波那契数列推广的 lucas 数列：f(1)=3,f(2)=8,f(n+2)=2f(n+1)+2f(n)。 （1）f(n)/f(n+1)—& （2）f(mn)是否能被 f(n)整除19数学与文化数学猜想—— ——文化创新 第四章 数学猜想——文化创新没有大胆的猜测，就作不出伟大的发现。——牛顿数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及关系所作出的一种似真的 判定。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学推断，其真伪性一般说来是难以发 展的一种重要的思维形式。从每一个数学成果都有一个由“潜”到“显”的过程来看，数 学猜想与数学问题、数学悖论一样是一种数学潜形态。 数学猜想伴随着数学的发展史，也深刻影响着社会文化的进程。从某种程度上讲，数 学猜想导致了文化的创新，这对现在民族创新精神的培养具有重要意义。 1． 丰富数学理论； 2． 促进数学发展（文化的、哲学的） ； 3． 推动社会创新。 第一节 数学猜想的类型1． 存在型 （1）数学试卷中的各种探索题、开放题； （2） 康托尔的连续统假设： 自然数集基数与实数集基数之间不存在其它基数；n n n （3）费玛﹝右图 fermat, pierre de, ﹞大定理：方程 x + y = z（n&2）无正整数解； （ 4 ） 波 文 猜 想 ： 方 程 1 + 2 + ... + m = ( m + 1) 只 有 唯 一 整 数 解n n n nn = 1; m = 2 ；（5）孪生素数猜想：孪生素数无穷多。 2． 规律型 （6）场站设置猜想：平面上 n 个点总长度最短时，其连线间的结点角不小于 120 度。 （斯坦纳点） （7）费玛素数猜想：对自然数 n， fn = 2 4 成立） ； （8）黎曼猜想：函数 ζ ( s ) = 直线 σ =2n+ 1 总是素数（事实上只有 n=0，1，2，3，1 1 1 + s + s + ......( s = σ + ti ) 的零点全部落在复平面的 s 1 2 31 上。 23． 方法型 （9）中国剩余定理； （10）一元二次方程根的韦达定理： ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
x1, 2 = b ± b 2
4ac ； 2a一元 n 次方程的韦达定理，等等。 数学猜想的特征 第二节 数学猜想的特征 1． 真伪的待定性 或肯定（定理） ；或否定（假命题）或不可判定（哥德尔不完全性定理、希尔伯特 23 个20数学与文化问题） 。 2． 思想的创新性 数学猜想往往是数学理论的萌芽和胚胎，必然具有创新性。创新是数学猜想的灵魂。 非欧几何的诞生（黎曼几何、罗巴切夫斯基几何） ； 伽罗瓦群论的产生；π26= 1+1 1 1 + 2 + ... + 2 + ... 为计算圆周率提供了一个方法，等等。 2 2 3 nf．克莱因关于几何学统一思想：几何学研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质； 希尔伯特《几何基础》 ：使用公理化方法建造各种几何的努力； （11）高斯猜想：所有边数是费玛素数的正多边形，均可用尺规作图。 （如正十七边形） 第三节 提出数学猜想的几种方法 1． 不完全归纳法 （12）费玛素数猜想； （13）哥德巴赫猜想：每个大于 4 的整数可以写成两个素数之和（1+1） ； 18 世纪上半叶，德国数学家哥德巴赫偶尔发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数之 和。例如 6＝3＋3，24＝11＋13。他经过长时间的验算之后，试图证明自己这一发现。然而 屡试屡败。1742 年，毫无办法的哥德巴赫写信求教于当时世界上最有权威的瑞士数学家欧 拉，提出了自己的猜想，并问这是否是一个定理。欧拉很快回信说，这个猜想肯定是定理， 但我无法证明它。 有人立即对一个个大于 6 的偶数进行了验算，一直算到了 3 亿 3 千万，都表明哥德巴 赫猜想是对的，但就是不能证明它。随即，这道每个不小于 6 的偶数都是两个素数之和 （简称“1＋1”）的设想，被世界数学界称为“哥德巴赫猜想”，并出了命题： 命题 a：任何≥6 的偶数可以拆为两个（奇）素数之和。 命题 b：任何≥9 的奇数可以拆为 3 个（奇）素数之和。 事实上如果命题 a 成立，那么命题 b 必然是成立的，故通常仅提出命题 a。 上世纪 20 年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明了每一个大偶数 可分解为一个不超过 9 个素数之积与一个不超过 9 个素数之积的和（简称 9＋9） 。从此，各 国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。 中国数学家陈景润 1973 年发表论文《大偶数表为一个素数与不超过两个素数乘积之 和》 ，证明了“1＋2” ，离最终破解这道难题仅一步之遥。 至今哥德巴赫猜想仍然是一个难解之谜。2 （事实上只有-39 到 40 符合） ； （14）欧拉猜想： f ( n) = n + n + 41( n ∈ z ) 全是素数！（16）帕斯卡﹝右 pascal, blaise,﹞六边形定理：内接于圆锥曲 线的六边形的三组对边的交点在一条直线上。2． 类比法21数学与文化（17）由“勾股定理”类比出“直三面角三个侧面面积平方和等于底面面积平方” ； （18）由“三角形三条中线交于一点，且中线被分成 1：2”类比出“四面体四条中线 交于一点，且中线被分成 1：3” 。 3． 变换条件法 （19）由“素数无穷多”推知“孪生素数无穷多”进而推知“三生素数无穷多” ； （20）著名的对偶定理：将几何定理中的点与线位置对换，即可得出另一个对应的定理。 帕斯卡定理：如果将一圆锥曲线的 6 个点看成是一个六边形的顶点，则相对的边的 交点共线； 其对偶形式：如果将一圆锥曲线的 6 条切线看成是一个六边形的边，则相对的顶点 的连线共点； 4． 数学实验法（21）素数基本定理： 表示不大于 x 的素数个数， log(x)是 x 自然对数。这就是著名的素数基本定理。 第四节 （ 1） 四 色 猜 想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南 西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅 地图都可以用四种颜色着色， 使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 ”这个结论能不能从 数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。 兄弟二人为证明这一问 题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852 年 10 月 23 日， 他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、 著名数学家德.摩尔根， 摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径， 于是写信向自己的好友、 著名数学家哈密尔顿爵 士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到 1865 年哈密尔顿逝世 为止，问题也没有能够解决。 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四 色猜想成了世界数学界关注的问题。 世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会 战。 年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想 的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11 年后， 1890 年， 即 数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。 不久， 泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于 是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈 数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913 年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于 1939 年证明了 22 国以下的地图都可以用四色着色。1950 年，有人从 22 国推进到 35 国。1960 年，有人又证 明了 39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50 国。看来这种推进仍然22其它数学猜想数学与文化十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快 了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台 不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。 四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100 多年的难题，而且有可能 成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他 们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 （ 2） 蜂 窝 猜 想 加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称,经过 1600 年努力,数学家终于证明蜜 蜂是世界上工作效率最高的建筑者。 四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。 他猜想, 人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称 为&蜂窝猜想&,但这一猜想一直没有人能证明。 美密执安大学数学家黑尔宣称,他已破解这一猜想。蜂窝是一座十分精密的建筑工程。 蜜蜂建巢时,青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将 这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常 小。6 面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好 120 度,形成一个完美的几何图形。人们一直 疑问,蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢隔墙为什么呈平面,而不是呈 曲面呢虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂 巢的截面有关。由此引出一个数学问题,即寻找面积最大、周长最小的平面图形。 1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长 是最小的。 1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形 的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢陶斯认为,正六边形与其 他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线 时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将 19 页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。23数学与文化第五章 数系的发展 数学某种程度上起源于对现实事物数量的抽象。 随着数系的不断发展与完善， 数学学科 不断充实，对社会文化的影响深远。 第一节 早期记数 人类在朦胧时代就具有识别事物多寡的能力， 从这种原始的数觉到抽象的数概念的形成 是一个缓慢渐进的过程。最早人类用手指计数、石子记数、结绳记数（中国、南美洲、日本 琉球岛） 、刻痕记数（捷克）和书写记数。 （1） 埃及象形数字（公元前 3400 年左右）（2） 巴比伦楔形数字（公元前 2400 年左右） （六十进制）（3） 中国甲骨文数字（公元前 1600 年左右）一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 百 千 万 （4） 希腊阿提卡数字（公元前 500 年左右） （5） 中国筹算数码（公元前 500 年左右）（6） 印度婆罗门数字（公元前 300 年左右） 印度人创造了一套宝贵数码 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 （7） 玛雅数字（年代不详） （二十进制）第二节 有理数 1．自然数集 n 为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合24数学与文化计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着 给定集合元素的个数。这种想法导致 g.皮亚诺 1889 年建立了自然数的序数理论。 皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理， ① 1 是自然数。 ② 1 不是任何其它自然数的后继。 ③ 每个自然数都有一个后继（a 的后记为 a/） ④ a/=b/蕴含 a=b ⑤ 设 s 是自然数的一个集合。如果 s 含有 1，且 s 含有 a 蕴含 s 含有 a/ ，则 s 含有 任何自然数。 公理⑤就是数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为 n。 2．负数的出现：整数集 z 负数的出现： 负数的出现 中国最早引入了负数。 《九章算术·方程》中论述的&正负术&，就是整数的加减法。减 法运算可看作求解方程 a+x=b，如果 a，b 是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒 有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 在自然数集 n 之外，再引入新的元素 0，-1，-2，-3，…，-n，…。称 n 中的元素为正 整数，称 0 为零，称-1，-2，-3，…，-n，…为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 零不仅表示&无&，它还有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运 算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度—— 阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是&空&或&空白&。 分数的出现： 3 分数的出现：有理数集 q 古埃及人约于公元前 17 世纪已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。 分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程 px=q（p≠0） ，如果 p，q 是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 泰勒斯是第一位数学家和希腊论证几何学鼻祖，但集大成者是毕达哥拉斯 （左图 pythagoras 公元前 580—前 500） 。毕达哥拉斯曾游历埃及、巴比伦、印 度。年轻时创立了一个秘密会社——毕达哥拉斯学派，致力于哲学与 数学 的研究。发现并证明了勾股定理，尺规作出正五角星作为毕达 哥拉斯学派派徽。他们信奉“万物皆数” ，任何量均可表示成两 个整数之比；音乐上振动弦的长度表示成简单整数比时，发出的 将是和音，如 2：3（五度和音）或 3：4（四度和音）等；任何几何线段均是 可公度量。 第二节 无理数 然而毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯 （公元前 470 年左右） 发现正方形对角线不可公度。 （即 2 不是有理数）毕达哥拉斯学派在海上泛舟集会时，希帕苏斯宣布了他的发现，其他 成员惊恐不已，作为惩罚他们将希帕苏斯抛进大海。 毕达哥拉斯学派的理论由于不可公度量的出现受到动摇。这种“怪物”深深困惑着希腊 数学家——这正是数学史上“第一次数学危机” 。 不可公度量即无理数的出现， 使得数学家不得不思考新的数系的建立， 从而实数产生了。 关于实数概念的逻辑循环一直捆扰着数学界，直到 1857 年德国著名数学家魏尔斯特拉斯 （weierstrass,，中学数学教师，终身未娶）给出第一个严格的实数定义。先从 自然数定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。1872 年戴德金分割使 实数理论进一步完备。后来有一些数学家又力图在实数理论基础上建立超实数理论。 第三节 虚 数 第一个正视负数平方根的是 16 世纪意大利的“怪杰”卡丹（girolcomo cardano，150125数学与文化—1576） 。他于 1545 年在讨论了这样一个问题： x(10-x)=40。卡丹认为结果 5+
15 是正确无误的，但他却不能给予解释。 公元 1637 年，笛卡儿在他的《几何学》一书中，给这种虚幻数起了一个“虚数”的名 字，但仍摒弃方程的虚根。牛顿和莱布尼茨都不承认复数的意义，认为复数是“介于存在与 不存在之间的两栖物” 。又大约过了 140 年，大数学家欧拉开始用 i(imaginary 虚幻)表示1 。一位富有想像力的英国教授瓦里斯曾给虚数一个奇妙的解释， 他说假定某人欠地 10 亩， 即他有-10 亩地， 而这-10 亩地又恰好是个正方形， 那么它的边长不就是 了吗 挪威数学家韦塞尔（wessel，）于 1788 年在他的《关于方向的分析表示： 一个尝试》的论文中，在用几何方法表示有向线段以及它们的运算时，引进了一个虚轴，以 1 作为一个单位线段来表示复数 a+b
1 的几何意义， 韦塞尔用几何术语定义的复数以及( 10) = 10i平面向量的运算法则直到今天仍在运用。 第四节 四元数 四元数的发现是 19 世纪数学最重大的事件。复数虽然可以研究平面上的 向量，但对于三维空间力学无能为力。是否存在三元数组的运算呢 爱尔兰数学家哈密尔顿（左图 w.r.hamilton,）把复数处理成 实数的有序数偶，对复数的推广作出重要贡献。 1843 年 10 月 16 日， 哈密尔顿和夫人步行去柏林途中来到勃洛翰桥时， 突 然有了灵感，得出后来四元数理论中有关 i,j,m 的基本方程，于是他用小刀将 四元数理论刻在桥的石栏上。 复数加法、乘法运算满足封闭性、交换性和结合性。四元数理论放弃了乘法的交换性。 四元数形如 a+bi+cj+dm（a,b,c,d 是实数）, j , m 满足：i2 = j2 = k2 = - 1 ， ij = -ji = k, jk = - kj = i, ki = - ik = j 。四元数的出现对于代数的发展是革命性的，从此数学家们可以更加自由的构造新的数 系。在哈密尔顿建立四元数的同时，德国数学家格拉斯曼提出超复数理论，事实上涉及 n 维向量空间。超复数不再满足乘法结合性。 第五节 群论的诞生 一次、 二次方程式的解法很早就熟悉。 高次方程式的解法在十六世纪上半叶意大利数学 3 家解决了三次及四次的问题，而掀起了高潮。 一般的三次方程式都可变成 x +px+q=0。若以 ω 表 1 的三次方根，则此方程式的三根为其中 所以三次方程式有根式解。四次方程式也有根式解，其公式比三次要复杂得多。十八世纪末 的 lagrange ( 年)，研究了五次方程的情况。由方程式根的置换观点，给出四次 以下的方程式统一的解法。 伽罗瓦﹝左图 galois, evariste,﹞仔细研究了前人的理论，特别 是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可 解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的 方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证 明有根式解存在即可。26数学与文化伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同， 也从方程根的置换入手。 当他系统地研究了方程根的排列置换性质后， 提出了一些确定的准 则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到， 然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之 为“群”的元素集合的抽象代数理论。在 1831 年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一 术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是 解决方程理论的关键， 方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。 他从此开始把方程论 问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产 生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。27数学与文化第六章 素数—— ——乘法的原子 第六章 素数——乘法的原子 人们一般把整数看作最基本的数， 其他的数都由整数衍生出来。 然而专门研究整数的人 却不是这样看，他们认为素数才是最基本的数，因为任何大于 1 的正整数，若它不是素数， 便是若干素数的积（素数分解唯一性定理） 。 中国古代的数学家把素数叫做「数根」 ，意思是数的根本。一个专门研究整数的数学分 支叫「数论」 ，集中研究的问题正是与素数有关。 怎么判定素数 第一节 怎么判定素数 (1) 研 究 素 数 ， 首 先 得 设 法 找 出 素 数 。 二 千 多 年 前 ， 古 希 腊 数 学 家 爱 拉 托 散 尼 （eratosthenes）把一张写着自然数列的羊皮纸贴在一个框上，然后用刀子逐一挖掉 2 的 倍数、3 的倍数、5 的倍数等等，从而列出了前几个素数。由于挖去了合数，羊皮纸上留下 了一个一个洞眼， 使羊皮纸犹如一个筛子， 因此称这种寻找素数的方法叫 「爱拉托散尼筛法」 。 (2)1934 年，印度学生辛格拉姆（sundaram）提出新的筛选素数的方法，制定了辛格拉 姆表： 4 7 10 13 16 19 22 25 …… 7 12 17 22 27 32 37 42 …… 10 17 24 31 38 45 52 59 …… 13 22 31 40 49 58 67 76 …… 16 27 38 49 60 71 82 93 …… …………………………………………… 这张表格第一行和第一列都是首项为 4， 公差为 3 的等差数列， 其他各行都是等差数列， 且从第二行起各行公差依次为 5，7，9，11，13……（2k+1）……若整数 n 出现在辛格拉姆 表中，则（2n+1）不是素数，若 n 不出现在辛格拉姆表中，则（2n+1）是素数。 (3)数学家利用费马小定理得到一个新的检验素数的方法：设 n 似乎一个整数，用 n 去 n 除 2 -2,若不能整除，则 n 为合数；若能整除，n 就很可能是素数。 检验素数的方法还有很多…… 素数知多少 第二节 素数知多少 一天，欧几里德 (euclid) 发现了素数无穷多的证明，而且十分简单。如果素数只有有 限个，我们就可以把它们一一写出來，比如 p1、p1、……、pn，但看 （p1*p2*...*pn + 1） 这个数，显然不能被 p1、p2、……、pn 任何一个整除。如果 （p1*p2*...*pn + 1）是素 数， 那么（p1*p2*...*pn + 1） 是除 p1、 ……、 外的另一个更大的素数； p2、 pn 如果 p1p2...pn + 1 是合数，那么它必定被另一素数整除，而这个素数却不是在 p1、p2、……、pn 之內。 显然矛盾。从而素数无穷多。 1800 年，德国的数学家高斯（gauss）和勒让德（legendre）从下表的观察中，得出一 个重要的猜想。 x 10 100 1,000 10,000 4 25 168 1,229x log(x)4.3 21.7 144.8 1085.728数学与文化100,000 1,000,000 10,000,000 表中9,592 78,498 664,57982.4 表示不大于 x 的素数的个数， log (x) 是 x 的自然对数。他们发现了重要定理： 1．梅森素数，这就是著名的素数基本定理。 第三节 几种著名的素数p 法国修道士梅森猜想：形如 mp = 2 - 1 （p 是素数）的数是素数。m2, m3, m5, m7, m13 m17 ... 全是素数，但 m11 = 211 - 1 = 23 * 89 却是合数。2．费玛素数 费玛素数2 费玛猜想：对自然数 n， fn = 2 + 1 总是素数。 n（事实上 n=0，1，2，3，4 成立，n=5 就不成立） 高斯证明： 一个具有 n 个顶点的正多边形， 当且仅当 n 是费马素数或者若干个不同的费 马素数的乘积时，才能用直尺和圆规作出。 二． 孪生素数 所谓孪生素数指的是间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就 象孪生兄弟一样。 最小的孪生素数是 (3, 5)， 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), 在 (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73)，总计有 8 组。但是随着数字的 增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。那么会不会在超 过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢 长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与 goldbach 猜想齐名、集令人惊 异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想——孪生素数猜想： 存在无穷多个 素数 p, 使得 p+2 也是素数。 孪生素数猜想还有一个更强的形式， 由英国数学家 hardy 和 littlewood 于一九二三 年提出， 现在通常称为 hardy-littlewood 猜想或强孪生素数猜想。 这一猜想不仅提出孪生 素数有无穷多组，而且还给出其渐近分布形式为：π 2 ( x) ~ 2c 2 ∫dt 2 (ln t ) 2t其中 π2(x) 表示小于 x 的孪生素数的数目， c2 被称为孪生素数常数 (twin prime constant)，其数值为：29数学与文化c2 = ∏p ≥3p ( p
2) ≈ 0....... ( p
1) 2hardy-littlewood 猜想所给出的孪生素数分布的精确程度可以由下表看出： x 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 10,000,000,000 孪生素数数目
58,980 440,312 27,412,679 hardy-littlewood 猜想
58,754 440,368 27,411,417很明显， hardy-littlewood 猜想的对孪生素数分布的拟合程度是惊人的。 如此精彩的 拟合堪与自然科学史上 adams 和 leverrier 运用天体摄动规律对海王星位置的预言以及 einstein 对光线引力偏转的预言相媲美，是理性思维的动人篇章。这种数据对于纯数学的 证明虽没有实质的帮助，但是它大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。 是否存在素数多项式 第四节 是否存在素数多项式 数学家欧拉在 1772 年发现：二次三项式 f(x)=x +x+41，对 x=0，1，2，…，39 这 40 个数的值都是质数(其实，这个多项式对当 x=-1，-2，…，-40 时，也产生同样的质数)。 七十年代初有人证明二元二次函数 f(x，y)=x +y +1 对无穷多整数(x，y)都产生质数， 但不是产生全部质数，也不是对每对(x，y)都产生质数。 尔后 honsberger 给出了可以产生 全部质数的函数表示式：2 2 2其中 a=x(y+1)-(y！+1)，当(x，y)都是自然数时，f(x，y)的值都是质数，且产生全部质数。 第五节 素数的有趣结论 （1） “多体稳定性理论” 中国学者张春暄认为：素数反映自然界在量方面的某种稳定性。 提出以下两条原理为基础的“多体稳定性理论” 。 素数原理：由素数个基本单位构成的多体结构是有极性的稳定系统（如电荷的正负） 。 对称原理：由双奇素数个基本单位构成的多体结构是中心对称的稳定系统（如原子结 构） 。 （2） “乌兰现象” 1963 年，美国数学家乌兰在参加一次学术会议时，思想开小差。他无聊地在纸上画出一个 个方格， 他本想画一个棋盘自己与自己对着的， 忽而又想到数学中去了。 于是乌兰画出了 100 格子，正中间一格填上 1，按逆时针自螺旋式地逐个填数。接著又把是素数的格子圈出，突30数学与文化然，一个有趣的现象出現在眼前：素数似乎很喜欢济在一条直线上。于是，他借助计算机打 出了 1 到 65000 的螺旋圈，这种现象仍然存在。后来人们把这种现象称为「乌兰现象」 。 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 65 64 63 62 61 60 59 58 57 90 66 37 36 35 34 33 32 31 56 89 67 38 17 16 15 14 13 30 55 88 68 39 18 5 69 40 19 6 70 41 20 7 4 1 8 3 2 9 12 29 54 87 11 28 53 86 10 27 52 8571 42 21 22 23 24 25 26 51 84 72 43 44 45 46 47 48 49 50 83 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8231数学与文化第七章 第七章 数学悖论及其解决那无边无际的苦难啊， 像一口鼎沸的大锅， 不惮辛苦不惮烦， 要把一切都变成羹汤。 ——莎士比亚《麦克佩斯》在整个数学发展过程中，出现过三次数学危机，对数学的发展产生过强烈的冲击！ 数学并不应当纯粹建立在无矛盾性这一点上． —布尔巴基 第一节三大数学悖论 第一节三大数学悖论 毕达哥拉斯悖论 毕达哥拉斯学派认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比， 的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的 斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为 １的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条， 导致了当时认识上的&危机&，从而产生了第一次数学危机。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学 的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却 可以由几何量来表示出来， 整数的权威地位开始动摇， 而几何学的身份升高了。 危机也表明， 直觉和经验不一定靠得住，