&&&&新编中学数学解题方法1000招丛书.圆锥曲线
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巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质●梅现有的数学命题设计过程中，出题者常常把“一般规律”弱静宗洪春心率有关，由此我们可以得到如下性质．．．２ ．．２化成某种“特殊情况”来进行考题的设计，并以此为载体达到对 解题者数学素养的测试．学生在解决此类问题时，往往是解一 题，丢一
题，并不能真正摆脱“题海”的束缚．教师在讲解过程 中，就应该适当引导学生去发现一般规律，使学生从整体上把握知识的内在规律，能够培养学生由此及彼的迁移能力，收到 “解一题，带一片”的效果，促进学生知识能力的高效正迁移．笔 者在教学实践过程中，以极坐标为工具，解决圆锥曲线中有关性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．该性质的证明可以仿照例题１进行，所以不再赘述．在此基 础上，我们继续探究该性质，同样发现，将椭圆换成双曲线或抛问题，并引导学生探究圆锥曲线中所蕴含的一般性规律，借以 解决相关高考题．案例一 圆锥曲线的焦半径和焦点弦问题一直是解析几物线，结论同样成立．因此，我们得到了圆锥曲线焦点弦中垂线的一个一般性规律． 定理１：过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点作直线何的重要内容，也是高考命题的热点之一．处理这类问题通常解法是列方程求交点或者是利用第二定义求解，笔者尝试着用 极坐标方法去解决有关问题，发现更容易得到一般性规律．例１ｚ。（斜率存在且不为０），交圆锥曲线于点Ａ，Ｂ，作直线Ｚ。的中垂线ｚ：，交茗轴于点Ⅳ，则丽ＡＢ是定值÷．［链接］（２００７年重庆卷文２１） 如图１，倾斜角为ａ的直线经过抛物线 ，，２＝８ｘ的焦点Ｆ，且与抛物线交于Ａ、Ｂ 两点．（１）求抛物线的焦点Ｆ的坐标及Ｄ（２０１３年南京三模）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆Ｃ方程为－ｚ－Ｚ＋车＝１．过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，线段Ａ曰的垂直平分线Ｚ交茗轴于准线Ｚ的方程；（２）若ａ为锐角，作线段 ＡＢ的垂直平分线ｍ交菇轴于点Ｐ。证蔽 憩八：＼ 图１点，ｖ，证明：雨ＡＢ是定值，并求出这个定值．解：以椭圆的右焦点为极点，戈轴正方向为极轴，建立极坐明：ＦＰ一胁ｏｓ２ａ为定值．系，则该抛物线的极坐标方程为ｐｐ＝南，ｉ殳Ａ（ｐ－，口），曰（ｐｚ，１Ｔ＋ｐ），贝ｏＰ，＝忐，Ｐｚ＝标系则该椭圆的极坐标方程是略解：以抛物线的焦点为极点，Ｆｘ轴为极轴，建立极坐标五南２南，Ｊ听Ｆ２ＡＢ Ｐ－＋Ｐ：２南２忐，舶＝忐，所以ＡＢ＝ｍ＋加＝ｒ二羔忑＝÷８１ｎ｝．借助定理可得：Ａ面Ｂ＝２，所以即＝扣曰＝＿ｓｉｎ｝ｏｔ；即ＦＰｓｉｎ２ｎ＝Ｐ，因此ＦＰ―ＦＰｃｏｓ２ａ＝２ＦＰｓｉｎ２ａ＝２ｐ＝８（定值）． 案例二 在圆锥曲线中，我们也经常遇到一些过焦点或过 中心的弦，这些弦相互之间成定角，如垂直，或者是将周角０或 周角Ｆ几等分，从而使得其中蕴藏着一尴有趣的结论．２丁―二鼍面由条件可设，ｍ。设直线ｆ与Ａ曰相交于点Ｍ，则肘为Ａ日中点，且删＝Ｉ半柏ｌ＝且≯＝Ｉ悬Ｉ在直角三角形ＦＭＮ中，／＿ＮＦＭ＝日（或１Ｔ一０），所以刚＝呈望！！竺塑！１一ｅ２ｃｏｓ２０ＦＭ ｃｏｓ０所以，而ＡＢ＝箐＝而１－ｅ２ｃ０８２０＝÷因为椭圆的离心率为ｅ＝佰Ｔ，所￡，．Ａ，ｗＢ～…６ｊ规律探秘：从解题过程中，我们不难发现，比值与椭圆的离例２（２０１４年南通期末）在平面 直角坐标系ｘＯｙ中，设椭圆Ｃ的中心在 原点，焦点在并轴上，短半轴长为２，椭 圆ｃ上的点到右焦点的距离的最小值 为√５―１．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）设 直线Ｚ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且，、曼一八 辩。＼７ ／ｊ图２‘，?５? 万方数据／＿ＡＯＢ２手①求证：原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值；②求Ａ曰虽然在满足上述条件的抛物线中，原点０到直线ＡＢ的距离 不是定值，但是我们探究发现原点０在直线ＡＢ上的射影的轨迹是个定圆．结合性质２及推论１，所以我们又可以得到： 定理２：在圆锥曲线上任取两点Ｐ，Ｑ，使得ＯＰ上ＯＱ（０为坐的最小值． 分析：本题第一小问难度不大，可以快速得到椭圆的标准方程是等＋予＝１．而第二小问的解法也比较多，可以选择直线ＯＡ的斜率为参数，表示原点０到直线ＡＢ的距离和ＡＢ的长， 通过计算得出结论；也可以直接设直线ＡＢ的方程求解；这些解 法主要问题是字母多、运算量有些大．但若是联想到极坐标的 角度和极径的关系，那么解决此例就更为简便．解：（２）以坐标原点为极点，戈轴的正半轴为极轴，建立极坐标原点），则原点０在直线ＰＱ上的射影的轨迹一定是个定圆． 以焦点在并轴为例，当曲线是椭圆时，其轨迹方程戈２＋ｙ２＝≯竿萨５当曲线是双曲线时，其轨迹方程是茹２＋ｙ２＝鲁０兰孑５当ｎ 十Ｄ ―ｏ曲线是开口向右的抛物线时，其轨迹方程为（菇一ｐ）２＋ｙ２＝Ｐ２．［链接］例４（２０１２年上海）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知双曲线ＣＩ：２ｘ２一），２＝１，（１）过Ｃｌ的左顶点引Ｃ１的一条渐近 线的平行线，求该直线与另一条渐近线及茹轴围成的三角形的 面积；（２）设斜率为１的直线Ｚ交Ｃ。于Ｐ、Ｑ两点，若Ｚ与圆菇２＋标系，设椭圆上任一点为Ｐ（ｐ，口），则ｐ２＝五ｉ万２＿０丽，不妨设点Ａ（Ｐｌｃｏｓ０，ｐｔｓｉｎ目），则点Ｂ为（ｐ２ｃ。８（ｐ＋詈），／７２ｓｌ‘ｎ（一＋÷）），即曰（一ｐ２ｓｉｎ０，Ｐ２ｃｏｓＯ），Ｙ２＝１相切，求证：ＤＰ上ＯＱ；（３）设椭圆ｃ２：４省２＋ｙ２＝１，若』Ｉｆ、 Ⅳ分别是Ｃ１、Ｃ２上的动点，且ＯＭ上ＯＮ，求＂ｂＸ：Ｏ到直线Ａ曰的距 离是定值．则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０因为ｄ２＝考％２ ２’所以÷＝了１＋虿Ｐ２ｐｌ十ｄ本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则 把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９ 年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质Ｐｌｐ２＝堑莲铲＋“４．．．．ｓ．．ｉ．．ｎ．．．２．．．０．．．．．．＋．．．．．５．．．ｃ．．．ｏ．．．ｓ．．２―０―．．．．９．―― ２０。。２０‘尝试解决．所以ｄ＝学，故原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值学正如著名数学教育家波利亚所说那样，好问题同种蘑菇类 似，它们都是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一 找，很有可能附近就有好几个．如果对性质２作更深入的探究，我们也会得到如下美妙的结论．（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝９．推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝ｍ乃 ｎ ｙＰ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值三，上．上、２、ｎ２’ｂ２７‘等（２＋詈＋詈）≥等所以ＡＢ的最小值为箪．规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓 广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为定值壶＋…＋壶为定值?如果将坐标原点改为焦点，也可以得到很多相似性质，限 于篇幅，就不再一一赘述．总之，在平常教学过程中，只要我们―＝拿竺亍（证明可仿照上述例题完成）ａ２Ｊ．ｂ２积极探究，善于发现，就能把一些考题中所蕴藏的一般规律揭示出来，在此基础上，加以整理，拓广，引申，变式，让学生领略 其中蕴含着的真谛，享受其中的分析过程、思考过程、探究过 程，使学生处理类似问题时，就能如鱼得水，得心应手．推论１：已知双曲线与一鲁＝１（６＞口＞０），动直线ｌ交口 Ｄ双曲线于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为定值考弓．６．［江苏省扬中市新坝中学（２１２２１１）］萄穗黼万方数据巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 梅静， 宗洪春 江苏省扬中市新坝中学 212211 数理化学习（高一二版） SHU-LI-HUA XUEXI(GAO YI.ER BAN) 2014(7)引用本文格式：梅静.宗洪春 巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质[期刊论文]-数理化学习（高一二版） 2014(7)
用极坐标处理二次曲线问题 圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离 和一条定直线(准线)的距离的比等于常数...极坐标、圆锥曲线、线性规划、定积分、导数复习 教案_高三数学_数学_高中教育_教育...(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则. 三、圆的几何性质 1、斜率 如果实数...07-极坐标、圆锥曲线、导数tm_数学_高中教育_教育专区。1、在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点 ? 4, ? ? ?? ? 作曲线 C 的切线,则切线...包括极坐标,圆锥曲线,导数包括极坐标,圆锥曲线,导数隐藏&& 一.选择题:本大题...1 是函数 f ( x) 的一个极值点. 3 (1)试写出用 a 表示 b 的表达式,...极坐标下再谈圆锥曲线焦点弦的一个统一性质_数学_自然科学_专业资料。极坐标下再谈圆锥曲线焦点弦的一个统一性质李应钊、朱兴早 654300 云南省建水一中 文[1]...用 以及极坐标方程及其应用; 第三讲 圆锥曲线的几何性质及 深入讲解圆锥曲线的几何性质,教会学生 其应用 如何处理高考中经常出现的题型; 第四讲 直线与圆锥曲线的...推导圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义: 一动点 P 到一定点 O 的距离与到一定直线的 L 的距离之比为一定 值常数 e,则 p 点轨迹为圆锥曲线。见图 D...圆锥曲线的极坐标和参数方程练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。期末复习专用圆锥曲线的极坐标和参数方程练习题 1 错误!未指定书签。. 二次曲线 ? ? x ?...高二选修极坐标与圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。高二选修试题 十月份所学知识总结与测试(一)选择题: (30 分) 1.如果双曲线经过点 (6, 3) ,且它的两条...x--8​常​用​圆​锥​曲​线​的...常用曲线的极坐标方程本课提要:本节课的重点是掌握圆锥曲线的极坐标方程及其简单...
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