无穷远点参考,Reference at infinity,音标,读音,翻译,英文例句,英语词典
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-> 无穷远点参考
1)&&Reference at infinity
无穷远点参考
2)&&infinity
[英][?n'f?n?ti]&&[美][?n'f?n?t?]
A cubic polynomial system with six limit cycles at infinity;
一个在无穷远点分支出6个极限环的三次多项式系统
Limit cycles of infinity in a quint
一类五次多项式系统无穷远点的极限环(英文)
Isochronous center conditions and limit cycles at infinity for a cl
一类五次多项式系统无穷远点等时中心条件与极限环分支
3)&&the infinity
Singular point quantities and center conditions at the infinity for a class of cub
一类3次多项式系统无穷远点的奇点量与中心条件
This paper studied the center conditions at the equator for a class of cubic polynomial system with no singular point at the infinity.
研究了一类三次系统无穷远点的中心条件。
Center conditions and bifurcation of limit cycles at the infinity for a class of quintic polynomial system were studied.
研究一类五次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支。
4)&&infinite point
In this paper,some rules about infinite point of complex variable functions are discussed.
无穷远点既具有普通点的某些共性,更具有其独特的个性。
From the research we can conclude that the plume of the infinite point to the conic is diameter,and they all pass the center.
根据既是共轭又互相垂直的直径对有心二次曲线(双曲线椭圆)进行建模研究,建立了有心二次曲线和类似建立了无心二次曲线(抛物线)主轴方程的模型,推证得知,任意无穷远点关于二次曲线的极线都是直径。
Through transforming,some conclusions are given about decomposing index number at higher order isolated singular point and infinite point in this paper.
文章通过变换,得出关于孤立高次奇点及无穷远点指数分解结论。
5)&&point at infinity
6)&&infinite singular point
无穷远奇点
A condition for the common factor not influencing the infinite singular points;
公因子不影响无穷远奇点的条件
Secondly, all the infinite singular points are located and their stabilities are analyzed respectively.
确定了该离散化系统的所有无穷远奇点及其稳定性，为进一步深入研究圆柱绕流动力学性态提供了基础。
At the same time, the infinite singular points of the biochemical reaction is studied and the globe construction is obtained.
同时对该生化反应系统无穷远奇点的性态进行了分析，得到了全局结构的相图。
补充资料：无穷远元
nfinitely-distant elements gSt infinitely-remote elements
无穷远元l词茄tely一J劝明tda川翻tS或沉阮jtely一比订幻记el已rr屺6ee.oe.oy口a月e二e3月eMe.、]，反常元(〕mProper elen祀nis)，理想元(记份1 elelr祀nts)
将一仿射空间扩充为紧空间所产生的元素(点，直线，平面等).无穷远元是“实在的”无穷(j汕习j勿)在各种数学理论中所呈现的形式之一.无穷远元只有在一“有限”空间的某一具体紧化的背景下考虑才是有意义的，这一事实显示了有限和无限之间的连续联系.由有限维EucUd空间最常用的紧化方法而得到的几种无穷远元可描述如下:
l)如果引人无穷远元(点一的和+田)，数轴R完全化为紧的扩充数轴(extended nur吐巴路)厦，它同胚于一(闭)线段.另一种紧化方法是将R嵌人于实射影直线p.(R)，后者同胚于圆周S’(见射影空间(projeCtiVe sPace));这时R由一个唯一的无穷远点(加俪tely~distanipoint)的完全化.
2)有限复平面C添加一个唯一的无穷远点的后完全化为紧的扩充复平面(以把川司。mplexp厄淤)刃，它同胚于复射影直线(proj“石Ves加吵tlir‘)或及政旧朋球面52(Eu日id空间R3中的单位球面).
3)n维实数空间R”(n)l)添加一个唯一的无穷远点。后完全化为紧的扩张数空间丽·，它同胚于绿窗兮，此同胚可用球极平面投影(stereograPhicP叼“石。n)直观地说明.另一种紧化方法是将R”嵌人于”维实射影空间尸。(R).如果n>1，则这两种紧化方法不同胚.
例如，在射影平面尸:(R)中平行直线对应于同一个无穷远点，而不同的无穷远点对应于不平行的直线·平面pZ(R)的全体无穷远点构成手李季享筝(in-俪回y一distants加i咖如e).类似地，射影空间尸3(R)中每一平面被一无穷远直线完全化.尸3(R)中所有的无穷远点和无穷远直线构成无穷远平面.一般地，尸。(R)中维数小于或者等于(n一2)的无穷远元构成(n一l)维无穷远超平面(i川Initely一曲扭nth刀茸甲-hne).
4)n维复数空间C”(。)1)的一个紧化可由将C”嵌人到复n维射影空间尸。(C)而得到.同样，尸。(C)中维数小于或者等于(。一2)的无穷远元构成(”一l)维无穷远超平面.另一种紧化方法是将C”扩充到扩充复空间(以把nded comP」ex sPaCe)C”，它是n个订的拓扑积.当。>1时，空间尸。(C)和C”不同胚.C”的无穷远点是其中至少有一个坐标分量z，=的的点:=(21，…，z。).空间c·的所有无穷远点自然地分成陀个集合
M，={z〔亡”:z，二田，z*E刃，k尹v}，每个集合M，的维数是n一1.点(的，…，的)属于所有的M，，v=l，…，n.对于C”上的实函数，也可使用一点紧化(见A爬Kc阴几PO.紧化(Alebandrovcompact币Ca石on))C”，它同胚于RZ”以及球面梦”.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。代数几何小科普2：无穷远点很特殊吗？
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|个人分类:|系统分类:|关键词:射影几何，代数几何，科普
博主按：本文最早发表于善科网, 后投至新语丝科普征文比赛（并未获奖）。今将此文稍作修饰，移至本博客。1.引子在平面几何中，我们认为“平行直线不会相交”。这个观点在射影几何中得到了修正：“平行直线相交于无穷远点”。无穷远点并不在我们通常理解的平面之内，而是在平面之外的“无穷远处”。为了方便说明，这种点通常用∞来标记。因此在不同的几何学范畴内，上面的两种结论并没有矛盾。对一般人来说，无穷远点的概念并不像普通的点那样容易接受。通常，我们只是直观上想象这样的点处在极为遥远的“天涯尽头”。正因为这种无穷远点给人某种模模糊糊、虚无飘渺的不确定感，所以人们很容易产生疑惑：这样的点是否真实存在？答案是肯定的。事实上，现代数学可以用几种不同的定义方式来理解无穷远点。这些定义都是彼此等价的。不过它们的严格叙述都充满了技术味道，对初学者来说是相当枯燥的。我们并不打算详细介绍这些技术性的数学定义。我们将通过一些直观的例子来帮助读者理解无穷远点, 并且希望能解释这样一个事实：无穷远点和普通的点的唯一区别仅仅是它所处的位置。这就好比，球面上南极点（北极点）实际上和球面上其他的点并不存在差别。其实你可以任意指定某个点是极点。当你把无穷远点当作普通的点看待后，很多问题都会变得清晰明朗起来。2.一个简单的例子：直线和无穷远点 & &我们首先考察最简单的情形：直线上的无穷远点。想象一下，有两个人背对背，从原点出发分别沿着直线的两个方向行走，他们最终会相遇吗？直观上说，我们认为他们不会相遇，相反是越离越远。这正好对应了成语“背道而驰”和“南辕北辙”的意思。但是如果我们把无穷远点也添加到直线里，情况就会变得不同：这两个人最终会在无穷远处再次相聚。为了理解这一点，我们可以想象一下：把直线左右两端的无穷远处黏合起来，这样直线就变成了圆圈。在圆圈上，两人从一开始的原点出发朝着不同方向走，很显然会在圆圈上另一个点处再次碰头。我们可以把这一点记作∞。这一直观的事实也可以用成语“殊途同归”来描述。为什么直线添上无穷远点后恰好就是圆圈？尽管直观上想像这件事并不困难，但要严格地说明它，则需要一些数学上的技术手段。让我们在圆圈上的∞处放上一个电灯泡，灯泡的光线会投射到上方的直线上。很显然，圆圈上除了∞外，每个点P在直线上都有唯一的投影点P'; 反过来，直线上任何一个点P',都有唯一的一条光线经过它，这条光线也穿过圆圈上唯一的点P。这就是说，直线上的点和圆圈上的点（∞除外）之间可以通过光线投影的方式一一对应起来。 但是有一条光线很特殊, 那就是和直线平行的光线。这条特殊光线和直线没有交点。 一个自然的想法是：我们再把直线外的无穷远点和圆圈上的点∞通过这条特殊光线对应起来。换句话说，我们认为这条特殊光线其实是投影到了直线外的无穷远点处。通过这样的方式，整个圆圈就能看作添加了无穷远点的直线。 我们把这种通过光线投影来建立对应的方法称作“球极投影”；把添加了无穷远点进去的直线称作“射影直线”。上面的讨论换成这些花俏的名词，就是说：射影直线和圆圈在球极投影下可看成相同的事物。 无穷远点∞在射影直线上看，位置似乎很特殊，甚至有点难以想象清楚。但是当你把射影直线当做圆圈看时，会立刻发现，∞其实和圆圈上其他点没啥不同。既然如此，我们是否可以用圆圈上其他点替换∞呢？ 答案是肯定的。比如我们把电灯泡放在圆圈最东侧的点E上：此时的投影和之前的有点差别。首先，点E此时也可以投影到直线上的普通点E'(通过它的光线恰好和圆圈相切于E)。其次，E的对径点W无法投影到直线上的普通点。这是因为经过它的光线EW与直线平行，所以光线的投影点实际上是在直线外的无穷远处。 除W外，圆圈上每个点都可直线上的点一一对应；而W则对应直线的无穷远点。上述例子告诉我们，每个点都可以在你的事先指定下成为射影直线上无穷远点（如果你把射影直线看成圆圈的话）。因此它不具有特殊性。这有点类似于俗语“众生平等”的意思。3.举一反三：平面和无穷远点上面的例子很富有启发性。你也可以尝试在平面外添入无穷远点。我们有两种不同的添入无穷远点的方式，通过它们得到的扩充平面却是两类非常不同的几何物体。第一类方式就是类比直线情形：把直线替换成平面，圆圈替换成球面。我们把灯泡放在球的北极点，然后做光线投影。和直线情形类似，球面上除了N外每个点都唯一对应了平面上的一个点，反之亦然。然后我们把N对应平面外的一个无穷远点∞。用这种球极投影的方式，我们得到一个扩充的平面，它是由原始的平面添上一个无穷远点得到的。另一方面，平面上的点又可以看成一个复数, 反之亦然，因此有时我们也把平面看成复数全体构成的集合, 也叫做复平面。这样，上面的扩充平面也相当于复数集合添上了一个无穷远点∞。如果你把复数想象成类似实数那样可以排成一条直线—形象上叫做“复直线”，那么它添上∞后就像是一条扩充的直线，我们通常把它形象上叫做“复射影直线”。上面的讨论相当于告诉你，复射影直线可以看成球面。因此也同样可以看到这样的无穷远点其实和其他点完全一样，他们的差别仅在于位置的不同。你同样可以事先指定其他点作为无穷远点。第二种添加无穷远点的方式如下： 我们考虑经过原点的所有直线，每条直线外都对应了一个无穷远点（上一节讨论过了）。这些无穷远点两两不同—因而我们得到无数多个无穷远点—它们全部添入平面后，即得到扩充的平面。 我们通常将它称做射影平面。所有这些无穷远点其实构成了一个大圆圈—有时我们把它叫做无穷远直线（因为它也可以利用上一节的方法看作一条射影直线）。如果你想象一下的话：这个大圆圈看上去就像是普通平面外面扎的大篱笆。当然，这种想象是不严格的，但是它可以帮助我们体会射影平面的概念。数学上有很多不同的办法可以等价地描绘射影平面。比如一种办法是将下面的半球的截口上每一对对径点粘合起来—这在现实中是做不到的。不管你采用何种方式，你都会发现仍然很难清楚准确地将射影平面构造出来。这是为什么呢？本质的原因在于，射影平面根本不是三维空间中的几何物体！也就是说它不能通过三维空间的图像完整无误地显示出来。我们只有将它放在高维空间中，才能准确无误地搞清楚其结构。这就需要一些数学上的手段了。尽管这多少有点让人失望，但我们可以通过投影的手段，把它压缩投影到三维空间中来看。这有点类似于拍照片，把三维的物体压缩到二维平面上看，虽然这么做会损失到一部分信息。射影平面在三维中的一种投影图像如下：你可能同样会问：无穷远直线（也就是所有无穷远点的集合）是否很特殊呢？答案同样是否定的。其实在射影平面中，任何一条射影直线都能被事先指定为无穷远直线。这样一来，平面外的无穷远点其实和普通点仍然没有什么特殊差别，仅仅是位置不同而已！当然，要严格说清楚这些事并不是那么轻而易举。我们仍然需要借助数学手段才能做到。4.为什么我们需要无穷远点？接下来的问题是：为什么我们要引入无穷远点呢？ 实际上，我们传统意义上研究的直线、平面等等几何空间都是不完整的，添入无穷远点后，这些空间才变得完整无缺。无穷远点本来就是空间的一部分，它和其他点除了位置不同外，没有什么不同。因此，如果我们人为地不接受甚或遗弃它们，显然是不理智的。这样做甚至会给讨论带来很多人为的障碍--只要想想复数的发展历史你就明白了。此外，有很多几何现象，在这些通常的空间中看似乎很不一样，甚或没有什么联系，但是当你把它们放在更大的背景舞台--射影空间--中看，就会发现，这些现象其实只不过是同一事物在不同位置上的表现而已。举个最简单的例子：在平面几何中，我们讨论两条直线相交情况，需要人为地区分为“相交”和“平行”。但是如果我们在射影平面中讨论这个问题，事情就很简单，我们会发现任何两条直线都恰好交一个点。这个交点是不是无穷远点根本不重要，因为无穷远点和其他点在射影平面中没什么差别。我们通常所认为的差别实际上是人为造成的不必要的思维枷锁。最后，我们再举一个例子来说明：引入无穷远点为什么是有用的。在平面几何中，我们研究椭圆、双曲线和抛物线。通常的观点会认为这三者是很不一样的---在中学里我们也是分别来讨论它们的。但是在射影平面中，你会惊讶地发现， 这三者其实是同一样东西！它们之所以在坐标平面中显得不一样，只是因为它们和无穷远直线相处的位置不同（回顾上一节讨论，无穷远直线就是平面外全体无穷远点构成的“篱笆”）。这可以从下面的示意图看出来：这个例子再一次印证了成语“盲人摸象”的道理。我们之所以看到三种不同的二次曲线图像，仅仅是因为我们只看到了完整图像的一部分！
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关于射影直线上的无穷远点直线,射影直线,无穷远点
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关于射影直线上的无穷远点
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3秒自动关闭窗口射影几何中的难题
近日，在数学中国与陆元鸿老师讨论射影几何问题（地址：），收获不小：
1、关于“射影几何的直线模型暗含了这样的一个等式：-∞＝+∞，将会导致a＜b和a＞b同时成立的矛盾关系”的问题，陆老师回答道：
对于射影几何来说，不是很大的问题，因为射影几何一般不考虑与射影直线上的点对应的数的大小次序问题。如果真要考虑大小次序，也很容易，只要去掉射影直线上一个点，也就是去掉集合&{&R&,∞&}&中的一个元素，就可以使得剩下的元素构成一个“全序集”，这样就可以比较大小了。
并且还举了如下的例子来说明，许多情况下是不需要考虑大小（排序）的：
&&&一个圆周上全部的点组成的集合；
&&&一个球面上全部的点组成的集合；
&&&全体复数组成的集合；
&&&全体矩阵组成的集合；
&&&定义在实数轴上的所有函数组成的集合；
如果有人坚持一定要对射影直线上的点排序（这是额外提出的无理要求，与射影几何无关），那么，我建议他可以这样做，就是：去掉射影直线上的一个点。
这个回答暂时中止了疑问，但又排序引出的循环疑问仍然存在，关键是如何将循环问题转换为明显的矛盾，才能说服人。
2、经过数轮的讨论，我们得出了一致的结论：
将射影平面去掉一条直线，就变成欧氏平面了。
将射影直线去掉无穷远点，就变成欧氏直线了。
陆老师的原话是：
“射影直线与欧氏直线相比，只是多了一个无穷远点”。
由此，又引出了两个疑问（这是长期以来积攒下的问题）：
2.1：戴德金分割在实数轴上是无法实现的；
2.2：按照定义，在射影直线上只有一个“无穷远点”，即&∞&点，所以必有：-∞＝+∞&。
对于2.1，陆老师很生气地下了这么个结论：
这件事，如果要用严格的数学语言来表达，那就是：
(-∞,+∞)＝(-∞,a]∪(a,+∞），(-∞,+∞)＝(-∞,a)∪[a,+∞），
其中&a&是欧氏直线上的一个实数。这种表达在数学上是完全可以的，没有任何问题。
至于说什么“切开”“缝隙”，那不过是一些通俗的、不严格的、非数学的说法。
可能有人觉得这种说法可以接受，也可能有人觉得这种说法难以接受，见仁见智。
反正这些都不是数学的问题，与这件事能不能在数学上实现没有关系。我也没有兴趣在这些问题上纠缠不清。
&按理说，数学问题不应该出现见仁见智的情况，如果出现了，那一定是跑到数学外面去了----变成一个哲学问题了。
而哲学问题一定是陆老师不屑于回答的，这是他的原则。
对于2.2，陆老师的办法是：
如果当初数学家们定义射影直线时，规定：射影直线上有两个不同的无穷远点，一个是“正无穷远点”，代表&+∞&，另一个是“负无穷远点”，代表&-∞&，那么，我们就要说：“射影直线与欧氏直线相比，只是多了两个无穷远点”了。
这样一来，-∞＝+∞&的结论就不成立了。
于是，他真的就建立了两个有两个无穷远点的射影几何。不过，其结论却是：
这种新的射影几何之所以没有被数学家采用，主要是因为它与现有的射影几何相比，缺少了对偶性，许多原来对偶的命题、法则，必须修改补充后才能成立，叙述起来非常罗嗦、麻烦，远远不如现有的射影几何那样简单、优美。&
因此，还是现在隐含“-∞＝+∞&”等式的射影几何在大行其道。
这个难题，陆老师没有解决。
随后，我又提出了如下的疑问：
据我掌握的资料，去掉射影直线上的无穷远点并不是什么额外的无理要求，而是射影几何的公理化（本质上是一致性）所必需的。
我手头有两本梅向明等人编著的《高等几何》（高等教育出版社1988年版），书中专门有一节“射影几何的公理体系”，介绍了三组公理，前两组公理没有涉及到“无穷远元素”，第三组公理叫“连续公理（戴德金公理）”，这个公理的首要条件就是先把射影直线上的“无穷远点”挖去。
请问陆老师：
把射影直线上的“无穷远点”挖去后的直线还能叫射影直线吗？
这样搞出来的公理体系还能叫做“射影几何的公理体系”吗？
对此，陆老师辩解道：
我说“无理”，不是说我们不可以讨论“如果射影直线上去掉一个点会怎样”的问题，这样的讨论是完全可以的。我上面说“如果射影直线上去掉一个点，剩下的点是可以排序的”，其实就是在讨论这样的问题。梅向明等人编著的《高等几何》，我没有看过，不知书中怎么说的。但我猜想书中“先把无穷远点挖去”，也属于这样的讨论，这当然是可以的。
随后，我就将《高等几何》中的有关页面贴了上来，陆老师看后说：
书上说：“可以把挖去无穷远点的直线上的点排成顺序”，与我说的：“如果射影直线上去掉一个点，剩下的点是可以排序的”，意思是完全一样的。
&&&也就是说，射影直线必须作一些改变，不再是原来那样完整无缺的、标标准准的射影直线，射影直线上的点才可以排序。
&&&显然，我们不能把书上的话理解为：自从书上说了上面这句话以后，无穷远点就可以永远从射影直线中挖去了，而挖去了无穷远点的射影直线，仍然还是一条完整的、标准的射影直线。
以下是随后的对话：
&&天茂&&　&[第&158&楼]&
请教陆老师：
将射影直线中最重要、最具特色的一个点----“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？这不变成欧氏直线了吗？
在一个系统的公理中特意将“无穷远点”排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？
&&luyuanhong&&&&[第&159&楼]&
下面举一个例子，比如说，我们可以提出这样一条定理：
“定理&如果从全体素数中除去&2&，那么全体素数就都是奇数。”
如果有人提出质疑：
“将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数----&2&除去，素数还能叫素数吗？”
“在一个素数定理中特意将素数&2&排除在外，那么，在素数定理系统中还可能再出现&2&吗？”
你遇到这样的质疑，又该怎么回答呢？
&&天茂&&&　&[第&160&楼]&
和“将射影直线中最重要、最具特色的一个点----“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？”相对应的句子应该是：
“将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数----&2&除去，全体素数还能叫全体素数吗？”
和“在一个系统的公理中特意将‘无穷远点’排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？”相对应的句子应该是：
“假如有一个素数公理系统的话，在公理中特意将素数&2&排除在外，那么，在这个素数公理系统中还可能再出现&2&吗？”
陆老师以为是不是这样？
&&luyuanhong&&&[第&161&楼]&
对，你这样修改后，与第&158&楼的说法就更加相应一致了。
&&天茂&&　&[第&162&楼]&
这样一来，这几个问题不就很好回答了吗？
问：将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数----&2&除去，全体素数还能叫全体素数吗？”
答：当然不是了。
问：将射影直线中最重要、最具特色的一个点----“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？
答：当然不是了。
问：假如有一个素数公理系统的话，在公理中特意将素数&2&排除在外，那么，在这个素数公理系统中还可能再出现&2&吗？
答：当然不会了。
问：在一个系统的公理中特意将‘无穷远点’排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？
答：当然不会了。
请教陆老师：以上回答有问题吗？
&&luyuanhong&&　&[第&163&楼]&
&&&&你似乎把“公理系统”看作是捆绑在一起的东西，对于一个几何对象来说，似乎要么是全体公理都成立，要么是全体公理都不成立。
其实并不是这样，在一个公理系统中，各条公理是相互独立的，对于一个几何对象来说，可以有几条公理成立，有几条公理不成立，可以有几条公理必须做一些修改后才成立。
例如，对于罗氏几何来说，在整个几何公理系统中，除了平行公理以外的其他公理，都是成立的，但是平行公理在罗氏几何中是不成立的，必须对平行公理做一些修改后，它才成立。
同样道理，对于射影几何来说，也不是公理系统中的所有公理都成立，例如顺序公理，对射影几何来说，其实是不成立的，必须对顺序公理做一些修改后，它才成立，这个修改后的顺序公理，就是我说的：“如果去掉射影直线上的一个点，剩下的点就可以排序了”。
当然，射影直线去掉了无穷远点，就不是完整的标准的射影直线了，只能说是“挖去了无穷远点的射影直线”。顺序公理，对于完整的标准的射影直线，是不成立的，只有做了修改，只有在“射影直线挖去了无穷远点”的条件下，顺序公理才成立。我们不能因为一条顺序公理不成立，就说所有的公理都不成立。我们也不能因为在修正的顺序公理中挖去了无穷远点，就要求公理系统中所有的公理都做同样的修改，都要挖去射影直线上的无穷远点。
&&天茂&&&　&[第&164&楼]&
公理之间是相互独立的，但公理和整个系统却是捆绑在一起的。
您举得这个例子确实就很说明问题：
对于欧氏几何来说，平行公理是成立的，因此它才叫欧氏几何。
如果我们把平行公理进行了修改，这个系统就变成罗氏几何而不能再叫欧氏几何了。因为对于罗氏几何来说，平行公理是不成立的。
同理，对于欧氏几何来说，顺序公理是成立的，因此它才叫欧氏几何。
如果我们把顺序公理进行了修改（岂止是修改？应该去掉才对），这个系统才能变成射影几何而不能再叫欧氏几何了。因为对于射影几何来说，顺序公理是不成立的。
而《高等几何》这本书，却把顺序公理当成了射影几何系统的公理，这难道不是怪事一桩？
请陆老师批评。&
&&ygq的马甲&&　&[第&165&楼]&
这，应该是不妥的。
射影几何系统的一个重要特征就是，不可定向性，即牟比乌斯带这种结构，那么就不会有顺序公理的
&&luyuanhong&&&　&[第&166&楼]&&&
我没有看过黄向明的《高等几何》这本书，不清楚书里到底是怎么说的。我猜想书里说的意思是：
“顺序公理只有做了修改以后，也就是加上了射影直线挖去无穷远点的条件后，才能在射影几何
中成立”。如果你觉得作者这样说不妥当，或者书里说的意思不是这样，那你还是去质问作者吧！
&&天茂&&　&[第&167&楼]&
如果陆老师有兴趣，我可以把这本书的任何部分拍成照片传上来。请示下。
我们已经取得了共识：“射影直线挖去无穷远点后，就变成欧氏直线”，这本教材用欧氏直线来作为射影几何的公理，到底是为什么呢？
百度百科词条：
梅向明　　梅向明(1928.11&)男，汉族，湖北黄梅人。1951年12月加入民进，1952年11月加入中国共产党，1950年2月参加工作。研究生学历，教授。曾任北京师范学院数学系副系主任、系主任，北京师范学院副院长，民进北京市委主委，民进中央副主席，北京师范学院数学研究所所长，首都师范大学数学研究所所长，北京市第十届人大常委会副主任。九届全国政协常委、提案委员会副主任委员。2000年2月任北京市政协副主席。第六届、七届全国政协委员，第八届、九届全国政协常委。
如此高级的人物会犯如此低级的错误？很难令人相信。
是不是我们的想法有什么问题呢？
&&ygq的马甲&&　&[第&168&楼]&
&&建议将相差的章节，拍照上传
或，提供网络下载地址
这个地址，似乎是相同的版本，例如第&241&页&PDF&就是&237&页内容
&&天茂&&　&[第&169&楼]&
谢谢！这个就是1983年的那个版本。
&&天茂&&　&[第&170&楼]&
陆老师看到全书了吗？
&&天茂&&&[第&171&楼]&&&
陆老师：看到《高等几何》的全书了吧？
您认为“顺序公理只有做了修改以后，也就是加上了射影直线挖去无穷远点的条件后，才能在射影几何中成立”的做法妥当吗？
实际上，没有顺序怎么可能有“顺序公理”呢？
所以，这不是修改顺序公理的问题，而是为了一致性，强要在没有顺序的地方应用顺序公理。
陆老师：您说是不是呢？
辩论到此，这个难题还是没有解决。但陆老师再也不肯回答问题了。
事实上，按照哥德尔定理，在复杂系统中，完全性和一致性是不相容的。而射影几何显然是一个完全性系统，因此，里面一定有不一致的地方，真正的公理化实际上也是不可能的。
今后的任务，就是要大量寻找有关射影几何公理化方面的材料，看看数学家们到底是如何为了一致性，而不折手段地破坏其完全性的。
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