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几何画板迭代全解47557
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几何画板迭代全解47557
官方公共微信几何画板图文教程：画圆的内接n边形
作者：佚名
字体：[ ] 来源：互联网 时间：01-13 15:53:50
如何用几何画板画圆的内接n边形？下面小编就给大家讲解利用几何画板迭代功能画圆内接n边形的方法，感兴趣的朋友们可以过来看看
几何画板作为比较受欢迎的几何绘图工具，用它来构造几何图形非常方便。不仅可以借助其中的圆工具、多边形工具来画图，还可以借助其中的强大功能来构造几何图形。比如迭代功能，在几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的数值来改变迭代深度。下面就给大家讲解利用几何画板迭代功能画圆内接n边形的方法。
软件名称：最出色的教学软件 几何画板 v5.6.0.0 最强中文优化安装版软件大小：78MB更新时间：
软件名称：出色的教学软件 几何画板 V5.06 中文绿色单文件版软件大小：1.57MB更新时间：
用几何画板迭代功能画圆内接n边形的步骤如下：
步骤一打开几何画板，选择左侧工具栏的&圆工具&，在画板空白区域画圆O并在圆上任取一点A，双击圆O作为旋转中心；
图1：绘制圆O并取一点A
步骤二执行&数据&&&&新建参数&命令，在弹出的对话框新建参数n=7，并执行&数据&&&&计算&命令，在弹出的对话框计算360&/n（注意这时要带单位&度&）；
图2：新建参数n并计算数值
步骤三选择点A，单击菜单&变换&&&&旋转&，出现旋转对话框，单击计算结果&360&/n&，作为标记角度，得到B点；使用线段工具连接线段AB；
图3：绘制点B并连接线段AB
步骤四依次选择点A和参数n，按住&Shift&键不放，单击&变换&&&&深度迭代&，出现迭代对话框，单击点B作为初象，这时屏幕上显示出完整的正七边形，按&迭代&按钮完成操作。
图4：执行深度迭代得到七边形
如何改变参数n得到圆的内接n边形呢？
有两种方法：第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n，按键盘的&+&、&-&，系统默认变化量为1.右键单击可以修改变化量的大小。
注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。
在几何画板中画圆的内接n边形的方法介绍如上，主要运用了几何画板迭代功能。迭代是个很有趣的数学知识，而在几何画板中运用该功能可以构造许多精美几何图案。如需了解更多几何画板绘图教程，可访问几何画板中文官网。
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几何画板教案
《几何画板》课程教学计划一、教学目的和要求 《几何画板》是为数学师范专业学生开设的一门计算机基础课程，内容涉及几何画板这 一数学微型课件制作软件的理论、操作和实践的方法，主要有计算机辅助教学概述、几何画 板概述、几何画板的基本功能、应用范例等内容。通过本课程的教学，要求学生掌握利用几 何画板制作中小学数学等课程内容多媒体课件的方法，提高学生从静态到动态、从抽象到形 象
、从微观到宏观、从定性到定量分析数学问题的能力，培养学生不断进取、积极探索、努 力创新的精神。 本课程以上机实验为主，操作演示为辅，在教学过程中应充分调动学生的积极性，多实 践、多操作，通过不断发现问题、解决问题、积累经验来巩固知识。 二、选用教材 《几何画板实用范例教程》，陶维林编著，清华大学出版社。 三、主要参考书 《几何画板课件制作教程》（第二版），刘胜利编，科学出版社。 《几何画板与中学数学微型课件制作》，许兴业编著，广东科技出版社。 《多媒体技术教程――案例、训练与课程设计》，胡伏湘、龚中良等编著，清华大学出 版社。四、课时计划 教学 28 课时，实验 16 课时。具体安排见《肇庆学院课程进度及执行计划》。 五、考核要求 本课程为考查课。平时成绩占总评成绩的 30%，平时成绩由实验、作业、课堂及考勤等 组成。期末成绩占总评成绩的 70%，期末考试采用上机考试的形式，以考核基本理论、基本 技能为主。1教学内容几何画板简介 工具箱介绍 文件、编辑菜单介绍 几何画板和其他程序交换信息课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、熟练掌握利用工具箱绘制基本的几何图形。教学难点自定义工具的使用。教法举要讲授为辅，操作演示、上机实验为主。作业与思考1、试着在中文 Windows 系统环境下安装几何画板软件。 2、打开几何画板，观察窗口的组成。教学后记本章内容相对简单，要求不高。通过操作演示可以提高学生对学 习几何画板的兴趣。2一、 几何画板简介 1.1 几何画板简介 几何画板具有的功能 1、计算机上的直尺和圆规 3、测量和计算功能 5、Windows 应用程序中的众多功能 7、制作脚本 几何画板是这样的一个工具 1、便捷的交流工具 3、有力的探索工具 5、简单的使用工具 1.2 使用几何画板的准备工作 1、安装几何画板软件（演示） 2、启动几何画板（演示） 3、退出几何画板（演示） 1.3 几何画板的窗口 1、绘图区 2、工具箱 1.4 几何画板的文件 1、新建、打开、保存 gsp 文件的方法。 1.5 几何画板的用户参数设置 1、单位、颜色、文本参数设置。 2、导出、采样、系统参数设置（高级参数选项）。 二、工具箱简介 1、 ：选择箭头工具。选择对象是它的主要功能。 ，分别是： “移动”、 “旋转”、 “缩放”。 3、状态栏 2、优秀的演示工具 4、重要的反馈工具 2、多种图形的变化功能 4、绘制多种函数图像 6、制作复杂的动画 8、保持和突出几何关系选择箭头工具展开有三个工具 1）选中一个对象。 2）选择两个或多个对象。 3）都不选中。 4）用选择工具修改对象的标签。 5）用选择工具作对象间的交点。 6）选择对象的父母或子女。37）旋转对象。 8）缩放对象。 注意：先选某一点作为旋转或缩放中心，再拖动对象旋转或缩放。 注意：画完一个对象后，要养成点击选择箭头工具或按下 Esc 键的习惯来返回选择状态。 2、 3、 ：点工具。将鼠标移动到绘图区中单击一下，就绘制一个点。 ：圆规工具。将光标移动到绘图区中单击一下（确定圆心） ，然后移动鼠标到另一位置（起点和终点间的距离就是半径）再单击一下鼠标，就绘制一个圆。 4、 ：直尺工具。将光标移动到绘图区中单击一下（确定一个端点） ，然后移动鼠标到另一位置再单击一下鼠标（确定另一个端点） ，就绘制一条线段。 直尺工具展开有三个工具 5、 ，分别是： “画线段”“画射线”和“画直线” 、 。：文本工具。加标注（即说明性的文字，注意数学符号面板的使用）或给对象标标签。单击文本工具，光标由箭头变为 白手） 。当白手移到某对象处，变为 （黑手）单击 鼠标， 对象显示标签， 再单击鼠标， 对象隐藏标签。 当白手或选择箭头移到某标签处， 变为 ， 双击鼠标可以修改标签。 请将图 3 中的所有对象添上标签。去掉标签也容易，只需对上图的每一个对象，单击，标签 就没有了。 在几何画板中的每个几何对象都对应一个 “标签” 当您在画板中构造几何对象时， 。 系统会自动给您画的对象配标签。文本工具就是一个标签的开关，可以让几何画板中每个几 何对象的标签显示和隐藏。选中某对象，可在文本工具栏里改变该对象的标签的字号和颜色。 6、 ：自定义工具。可以使用自定义工具快速画出预先设定好的图形，可以通过创建 新工具建立新的作图模板，可以将某图选中然后创建新工具并显示脚本视图来查看其绘图过 程。建立自己的自定义工具的方法：画出图形并全选图形，在自定义工具中选创建新工具； 删除全部图形；把文件保存到几何画板的工具目录（Gsptools 或 Tool Folder） ；在自定义工 具中选择工具目录。参照脚本一步步作图的方法：在自定义工具中选中某工具并显示其脚本； 按脚本中的先决条件作出相应的对象，然后按先决条件中的顺序逐个选中这些对象；点击脚 本窗口中的应用下一步骤就可以一步步按照脚本的提示作出图来。 7、 带内部的多边形。 8、 ：标记工具。给一些图形加标记或直接在绘图区画图。当给某个角加了标记后， ：多边形工具。画带内部不带边框、带内部和边框、带边框不选中该标记，就可以度量该角的角度值了。 9、 ：信息工具。可以用信息工具直接显示某对象的父对象和子对象信息，就象在属 性对话框中看到的那样。4三、文件菜单 1、文档选项。管理本文档中的页面和自定义工具。 四、编辑菜单 1、分离/合并。 1）文本的分离与合并（举例两个文本框内容的合并）5.0 版利用热对象合并文本功能： 把鼠标光标放在第一个文本插入点处，然后按住 shift 键，接着点击要合并的另一文本。类 似地，还可以合并参数到文本、关联按钮、关联点、线、圆、多边形等等。 2）图形的分离与合并（举例将线外一点合并到线上） 3）合并文本到点（举例将一个文本框合并到线上一点。在高级菜单中实现） 2、编辑定义 允许编辑一个选定的计算、函数、数字参数或绘制的点的定义。如果选定了一个参数、 一个计算或一个函数，就会出现“计算器”，允许修改其值或表达式。如果选定了一个绘制 的点，就会出现“绘制点”对话框，允许改变该点的坐标。5.0 版本不能改点的坐标。 3、同时选中多边形内部和图片(两者要重合,有交集),点菜单[编辑]中的[剪裁图形至多 边形]。通过多边形剪裁图片，只取图片的特定部分。你可以改变裁剪形状和大小。 五、和其它 Windows 应用程序交换信息 1、从其他应用程序（如 Word）粘贴内容51）粘贴文本内容： （1）编辑/粘贴图片。文本信息以图形方式被粘贴到画板上，用鼠标拖动粘贴的内容， 可放置到画板的任何位置。 （2）先在画板中用文本工具拖曳出一个文本框，然后编辑/粘贴文本，文本信息以文本 方式粘贴到画板上。注意：一些文本格式信息会丢失。 2）粘贴图形。比如各种图片、艺术字、特殊字符等，需要借助其他软件制作好，然后粘 贴到几何画板中使用。 （1）静态粘贴。直接粘贴在画板中，将图片缩放为合适大小，再拖动到指定位置。 （2）动态粘贴。粘贴在一个动点上，拖动图片右下角控制点，将图片缩放为合适大小， 可以实现图块的动画或移动。 （3）缩放粘贴。同时选中定点和动点，将图形粘贴在这两点之间，作动点在某路径上的 移动或动画，可以实现图块的缩放效果。(5.0 版还可以粘贴到 3 个点，可以将图片直接拖到 绘图区，要将图片从 2 或 3 个点中分离，必须按下 shift 键) 3）粘贴声音、电影、PPT 等各种文件。通过编辑/操作类按钮/链接实现。 2、在 Powerpoint 中链接几何画板文件：使用超链接、动作按钮调用几何画板文件。使 用几何画板控件直接在 PPT 上打开几何画板文件。 3、将几何画板中生成的表的数据复制到 EXCEL 中进行处理。 4、文件/另存为菜单： 另存为一种掌上电脑几何画板支持的文件 gs4； 另存为网页文件 htm（需和几何画板安装目录中的 jsp 目录放在一起，一些几何画 板对象目前还不能显示） ； 另存为图片（emf 或 wmf 格式） 。子对象与父对象的关系：子对象与父对象间存在某种依赖关系，如互相垂直，当父对象 移动时，子对象相应移动以保持相互关系。当父对象删除时，子对象失去依赖也会自动删除。 为此，可以采用隐藏功能。6教学内容显示、构造与度量菜单介绍课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、掌握构造菜单各功能的使用。 2、掌握度量菜单各功能的使用。 3、踪迹和轨迹的区别。教学难点作多边形内部（依次选择多边形的顶点构造）。 构造轨迹的方法。教法举要讲授为辅，操作演示、上机实验为主。作业与思考1、制作三角形的垂心。 2、制作三角形内心（角平分线交点）和内切圆图形。教学后记注意点移到线上的特征。 有些学生作三角形内切圆时半径出错。7一、显示菜单 1、运动控制台 使用运动控制台可生成对象的动画，并控制选定对象的动画参数。 2、参数颜色 可以用一个“参数化颜色”使 “颜色数字化” 。该数字由几何画板的值（如度量）给 出。当该值改变时，颜色也改变。 这个命令仅当已经选定了一个或三个数值（度量、计算或参数），并且一个或更多可以 参数形式着色的对象（点、圆、弧、直线型对象或内部）也被选定时可用。 如果选定了一个度量，则该度量可用于从光谱（从紫色排列到深红色）中设置一种彩色 或灰色。可以设置“参数范围”――即相应于可用颜色或深浅的一个完整周期的数字间隔。 也可以设置“颜色范围”，使循环方式分别为不要循环、单向循环或双向循环。 如果选定了三个度量，除了可以设置参数范围和颜色范围外，还可以设置是将三个度量 作为 RGB（红、绿、蓝）的值还是 HSV（色调、饱和度、亮度）的值。 操作演示并解说用一个参数和三个参数改变圆颜色的例子。 二、作图菜单 作图对象上的点 中点 交点 线段 射线 直线 平行线 垂线 角平分线 以圆心和圆周上的点画圆 以圆心和半径画圆 圆上的弧 过三点的弧 内部功能描述在选中的一个或一个以上对象上随机取一点 作出选中的一条或多条线段的中点 作出选中的两个相交的对象所有的交点。5.0 可以做出函数曲线 间的交点。 对选中的 2 个以上的点，按顺序用线段连接 对选中的 2 个以上的点，按顺序用射线连接 对选中的 2 个以上的点，按顺序用直线连接 过某点作某线的平行线 过某点作某线的垂线 作过 3 点的角的平分线，第二个点为角的顶点 对选中的 2 个点，作以第一个点为圆心，过第二个点的圆 对选中的一点和一条线段（或带长度单位的数值） ，作以点为圆 心，线段长为半径的圆 对选中的圆和圆上 2 点，按逆时针方向作弧 按选中的 3 个点顺序作弧 对选中的 3 个以上点，按顺序作出以这些点为顶点的多边形内 部；对选中的一个圆，作出圆的内部；对选中的一段弧，作出 弧的扇形内部或弓形内部 选中某任意点和与它对应的一个对象，作出该对象的轨迹轨迹关于轨迹81、用显示/追踪功能，追踪轨迹上的动点（线、圆等对象） ，在动画中留下的踪迹（不能 保存） ，可以动态演示轨迹形成的过程。操作步骤为：先选中要进行追踪的任何对象、多个对 象将其设为追踪状态，再执行显示/追踪。要取消追踪，先选中要取消的追踪对象，然后再执 行一次显示/追踪。通过显示/擦除追踪踪迹或按下 Esc，可以清除踪迹。 2、用构造/轨迹功能，构造某对象轨迹：选定在某路径上的一个任意点和能够跟随此点 运动的一个对象，生成该对象的轨迹。 注意：决定路径的父对象是特殊点，不是任意点，例如决定圆的半径的点、决定线段的 两个端点等。路径可以是线、圆周、圆弧、轨迹、函数图象或多边形内部的边界。一次只能 作一个轨迹。 3、动画与轨迹追踪。在设定好追踪对象后，再作自变量动点的动画，可以直观的看到轨 迹的形成过程。 4、由两个动点产生的轨迹。对于由两个自变量动点确定的轨迹，只能用显示/追踪来实 现。 三、度量菜单 度量长度 距离 周长 圆周长 角度 面积 弧度角 弧长 半径 比 点的值 坐标 横坐标 纵坐标 坐标距离 斜率 方程功能描述度量选中的一条或多条线段的长度 度量选中两点之间或选中点到选中线的距离 度量选中的多边形内部、扇形、弓形的周长 度量选中的一个或多个圆周的长度 度量选中的三个点，以第二个点为顶点的角度值 度量选中的多边形内部、圆、圆内部或弧内部的面积 度量选中的一个或多个弧、扇形、弓形所对应的弧度角 度量选中的一个或多个弧的长度 度量选中的弧、圆、圆内部、扇形、弓形所对应圆的半径 度量选中的两条线段比值或一条线上三点距离的比值 度量某点到某对象的端点的相对值。 （5.0 功能） 度量选中的一个或多个点的坐标值 度量选中的一个或多个点的横坐标值 度量选中的一个或多个点的纵坐标值 度量选中的两个点之间相对坐标刻度的距离 度量选中的一条或多条线的斜率 度量选中的一个或多个圆、直线的方程强调：1、作平行线时不要选中线的两端点。2、三角形、多边形的内部通过依次选中其 顶点构造。3、选择圆和圆上的弧的切换。4、两点距离不受坐标系影响，坐标距离受坐标系 改变的影响。9教学内容操作类按钮介绍 变换菜单介绍 数据和绘图菜单介绍课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、掌握变换菜单各功能的使用。 2、掌握动画和移到功能的使用。教学难点1、迭代。 2、自定义变换。教法举要讲授为辅，操作演示、上机实验为主。作业与思考尝试作一个动画和一个移动的例子。 通过自定义变换构造前进的脚印。教学后记注意区分选择箭头工具中的旋转、缩放与变换菜单中的旋转、缩 放的不同。10一、操作类按钮 1、隐藏/显示按钮。先选中需要隐藏/显示状态的一组对象，再执行编辑/操作类按钮/ 隐藏/显示，可设置该组对象的隐藏按钮或显示按钮或切换显示/隐藏按钮。 2、系列按钮。同时选中两个以上的按钮就可以做一个系列按钮，系列按钮所包含的按钮 可以同时执行，也可以依序执行。 使用隐藏/显示按钮和系列按钮实现多组图形的切换。 3、链接按钮。可链接到首页、上一页、下一页、Web 或其他文件等。 4、滚动按钮。将窗口滚动到某一点。 5、声音按钮。用一个函数定义的声音发声。如 y=sin(1.0*π *x)。 6、动画按钮 1）动画。路径上的任意点在某一条路径上的运动，路径可以是线、圆周、圆弧、轨迹、 函数图象或多边形内部的边界。 2）动点的选择。路径上的任意点（决定路径的特殊点不能作为动点使用，例如：决定圆 的半径的点、决定圆弧的三点、决定线段的两个端点等）。 3）建立动画按钮。选中一个或多个动点，编辑/操作类按钮/动画，在弹出的操作类按钮 动画对象属性对话框中，确定各动点的运动方向、速度和播放次数。单击建立的动画按钮， 动点就会沿着它所在的路径运动，再单击动画按钮，动画停止。 4）修改动画。通过动画按钮的属性对话框进行操作。 5）删除动画。通过清除动画按钮操作。 7、移动按钮 1）移动。从一个点到另一个点的运动。 2）定义移动的方法。同时选中两个点作为当前对象，编辑/操作类按钮/移动，指定移动 的速度后，得到移动按钮。单击建立的移动按钮，第一个点向第二个点运动。再单击移动按 钮，移动停止。 4）修改移动。通过移动按钮的属性对话框进行操作。 5）删除移动。通过清除移动按钮操作。t11二、变换菜单 1、菜单功能 变换标记中心 标记镜面 标记角度 标记比 标记向量 标记距离 平移 旋转 缩放 反射 迭代 创建自定义变换 编辑自定义变换功能描述对选中的一个点，可以标记中心，旋转或缩放变换用 对选中的一条线，可以标记镜面，反射变换用 对选中的三个点或角的度量值，可以标记角度，旋转用 对选中的两条线段、线上 3 点或参数，可以标记比，缩放变换用 对选中的两个点，可以标记向量，平移变换用 对选中的线段度量值，可以标记距离，平移变换用 对选中的对象，可以按标记的向量、距离或输入的偏移量平移 对选中的对象，可以按标记的角度或输入的偏移量绕标记中心旋转 对选中的对象，可以按标记的比或输入的缩放比以标记中心缩放 对选中的对象，可以按标记的镜面反射 对选中的原像一个点或多个点实现迭代变换 选取两个点，其中第二个点为由第一个点产生的目标点，或为由第 一个点经过变换产生的点，自定义一个变换，可以将这个变换作为 一个范例，应用到其他任何对象（如图片）2、选择箭头工具中的旋转、缩放与变换菜单中的旋转、缩放的不同 选择箭头工具中的旋转、缩放：直接改变原对象。 变换菜单中的旋转、缩放：原对象不变，旋转、缩放后得到新对象。 3、平移变换 1）按极坐标平移变换 3）按标记平移变换 4、旋转变换 1）按固定角度旋转变换 2）按标记角度旋转变换 2）按直角坐标平移变换注意：角度值正值时为逆时针旋转，负值时为顺时针旋转。 5、缩放变换 1）按固定比缩放变换 2）按标记比缩放变换注意：结果为原像*缩放比。 标记比的方法： （1）选中两条线段，变换/标记线段比，标记以第一条线段长为分子，第二条线段为分 母的一个比。 （2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位） ，变换/标记比值，可以标记一个比。 （3）选中同一直线上的 3 点，变换/标记比，可以标记以一、三点为分子，一、二点距 离为分母的一个比。126、反射变换 7、迭代 迭代就是应用前面的操作结果作为下一步操作的输入，反复进行相同的操作。 若要开始 迭代过程，必需有个开始值，通常是一些点和参数，称为原象，原象的操作结果称为初象。 迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直 线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭 代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。 1）简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点），然后变换/迭代， 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点）和迭代次数，最后按迭 代按钮，即可得到固定迭代的象。 2）深度迭代（带参数的迭代）：新建一个参数 n（取正整数），先选中原象，再选择参 数 n， 并按住 Shift 键， 然后变换/带参数的迭代，在迭代对话框中选取与原象相对应的初象， 最后按迭代按钮，即可得到动态迭代的象。选中参数 n，按＋号增加迭代，按－号减少迭代。 3）原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件。原 象点必须是自由的点或路径上的点。 4）初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一 组点。 注意：凡是和原象点或初象点相关联的对象，也作为原象的组成部分进行迭代。 操作演示并解说迭代功能和深度迭代功能(绘制正六边形,一端点围绕中心旋转 60 得下 一端点）、数值迭代（an+1=an/2）、随机迭代（圆内接任意三角形）。三、图表（5 版为数据和绘图） 图表定义坐标系 标记坐标系 网格 隐藏网格 格点 自动吸附网格 在轴上绘制点 绘制点 绘制表中数据 新建参数 计算功能描述定义一个新的坐标系 设置当前坐标系 选极坐标网格定义为极坐标系，选方形网格定义为直角坐标系 隐藏坐标系中的的网格 用格点代替网格 使点在被拖曳时自动吸附到附近的网格点上 在对象上按点的值绘制点 绘出给定坐标值或选定值作坐标的点 以表中的数据为坐标绘制点 建立一个新的动态参数 在弹出的新建计算器中，输入计算公式13新建函数 绘制函数 绘制参数曲线 创建导函数 创建绘图函数 制表 添加表中记录 删除表中记录输入一个新函数，不绘图像 输入一个新函数，并立即绘制图像 以选中的两个函数作为参数绘制曲线 对选中的函数式，生成相应的导函数式 生成手绘曲线的函数 对选中的度量值或函数式，建立数表 对选中的数表，可添加数据 对选中的数表，可删除数据1、坐标系 要建立函数图像，一般来说要先建立坐标系。几何画板提供的坐标网格有极坐标网格、 方形网格、矩形网格和三角坐标网格（5 版功能，x 轴用弧度作刻度）。极坐标网格对应极坐 标系，方形网格和矩形网格对应直角坐标系，方形网格横纵刻度相等，矩形网格横纵刻度可 不相等。对于已建立的坐标系，可通过按住 Shift 的同时，单击图表隐藏/显示坐标系控制显 示。在同一页上可以定义几个坐标系，方法有 4 种： 1）先选中一个点，单击图表/定义原点，在新建坐标系对话框中选是就构建了一个以该 点为原点的新坐标系。 2）画一个圆。选中圆周，单击图表/定义单位圆，建立一个以该圆为单位圆的坐标系。 3）同时选中一个点和一条线段，单击图表/定义单位距离，建立一个以该点为原点，线 段长为单位的坐标系。 4）同时选中一个点和两条线段，单击图表/定义单位距离，建立一个以该点为原点，第 一条线段长为横坐标单位，第二条线段长为纵坐标单位的坐标系。 当同一页有多个坐标系时，要把某个坐标系选为当前坐标系，则先选择该坐标系的原点 (或单位圆)，单击图表/标记坐标系。 2、绘制函数曲线 直接输入函数表达式就可以绘制函数 y=f(x)的图像或者极坐标方程 r=f(θ )的曲线，也 可以绘制 x=f(y)的图像或者θ ＝f(r)的曲线。 可以重新编辑函数式，并立即画出它的图像，原图像不再保留。可以直接画出导函数的 图像。 绘制函数图像的一般步骤： 1）设置函数作图的支持环境 （1）直角坐标系下的图形 单击图表/网格/方形（或矩形）网格选项； 单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。14（2）极坐标系下的图形 单击图表/网格/极坐标网格选项； 单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。 2）建参数、定范围 根据函数式中的系数参数，建立参数值。单击图表/新建参数，在新建参数对话框中，输 入参数名称和选中单位（无或度或厘米），这样就新建了一个参数值。在参数的属性对话框 中，可确定参数的精度、初值、变化方式（连续或不连续）、变化速度（步长和时间）和取 值范围。 3）输入函数、绘制图形 单击图表/绘制新函数，在新建函数对话框中，输入函数式，其中的 x 或θ 为自变量（亦 可改为 y 或 r）。输入完毕后，画板自动绘制出函数的图形。 4）控制系数参数的变化 可通过用键盘的＋－键改变参数值；通过运动控制台的运动按钮控制；为参数值建立动 画按钮，可确定数值改变的方向、方式和范围；用水平直线上某点的横坐标值或某两点的横 坐标值之差， 或用竖直直线上某点的纵坐标值或某两点的纵坐标值之差作为函数的系数参数， 通过拖动来改变该参数值。 操作演示并解说分别在直角坐标系和极坐标系下绘制函数图像。当自变量没有限制且无需提供改变自变量的措施时，一般用绘制函数功能。 否则一般用先画轨迹上一点，再画轨迹的方法。15教学内容动画与移动： 1、范例 3 2、范例 4 3、范例 5课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、掌握如何实现动画和移动。 2、掌握追踪踪迹和构造轨迹的方法。 3、掌握平移变换。教学难点1、动画点的选择。 2、构造轨迹的条件。教法举要操作演示为辅，上机实验为主。操作演示时要提醒容易出问题的 地方，并解释为什么要这样做。作业与思考1、上机练习操作范例 3、4、5。教学后记需多强调不能用关键点作动画点。16动画与移动 范例 3：画一条线段，它的一个端点在一个定圆上运动，另一个端点固定，演示线段中 点的踪迹。 1、用圆工具作出圆 A。 2、用点工具在圆上作一任意点 C，在圆外作一任意点 D。 3、选中线段 CD，构造出中点 E。 4、选中点 E，设置为追踪状态。 5、选中点 C，作出动画按钮运动点 C。 6、点击动画按钮运动点 C，观察点 E 的踪迹。范例 4：一条线段 CD 的一个端点 C 在圆 A 上运动，画出线段 CD 的垂直平分线与直线 AC 的交点 F 的轨迹。 1、用圆工具作出圆 A。 2、用线段直尺工具作出线段 CD，其中端点 C 在圆上，端点 D 在圆内。 3、构造线段 CD 的垂直平分线 j。构造直线 AC。作出两直线的交点 F。 4、选中要观察轨迹的点 F 和主动点 C，构造出点 F 的轨迹。范例 5：切割三棱柱的一角（得三棱锥），用向量控制它的分离与合并。 1、用多边形工具画△ABC 作为三棱柱的底面，再画线段 AD 作为三棱柱的侧棱。 2、先后选中点 A 和点 D，在变换菜单中标记向量 AD。 3、选中△ABC 的边和顶点，让其按标记向量 AD 平移，得△DB/C/,作线段 CC/、BB/、B/D、 B/C/、CD、CB/。 4、画线段 EF，在 EF 上任取点 G。 5、先后选中点 E 和点 G，标记向量 EG。 6、选中三棱锥 C/-CB/D 的四个顶点和六条边,依标记向量 EG 平移，得三棱锥 C//-C/B//D/。 7、先后选中点 G 和点 E，单击菜单编辑/操作类按钮/移动，生成一个从 G 到 E 的移动按 钮，在标签选项卡中将名称改为复原。 8、先后选中点 G 和点 F，同样生成一个移动按钮，名称为移开。 9、选中线段 C/D、C/B/、C/C 和点 C/，单击菜单显示/隐藏对象，隐藏选中的对象。17移动和动画功能：通过移动和动画，可以方便的观察对象的变化过程和研究数学规律， 起到化抽象为直观的作用。 1、动画制作规则：作路径上的任意点在某一条路径上的运动。 2、构造某对象轨迹的条件：选定在某路径上的一个任意点和能够跟随此点运动的一个对 象。 3、追踪踪迹的使用条件：选中任何对象、多个对象将其设为追踪状态。 注意：决定路径的父对象是特殊点，不是任意点，例如决定圆的半径的点、决定线段的 两个端点等。路径可以是线、圆周、圆弧、轨迹、函数图象或多边形内部的边界。18教学内容旋转及其控制： 范例 6 范例 7 范例 8课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、掌握旋转变换的使用方法。 2、学习度量、数据、绘图常用菜单功能的使用方法。教学难点正弦线、正切线的理解。教法举要操作演示为辅，上机实验为主。操作演示时要提醒容易出问题的 地方，并解释为什么要这样做。作业与思考1、上机练习操作范例 6、范例 7、范例 8。 2、思考如何格局正切线画正切函数的图像。教学后记注意更改教材范例 7 中的错误。19范例 6：把三角形的一部分经过旋转与其他部分拼接得到一个平行四边形。 1、画出三角形△ABC。 2、选中三角形的三条边，构造中点 D、E、F。 3、选中点 D、E、F，构造线段得△DEF。 4、选中线段 AB 和 AC，设置其为隐藏。 5、画线段 AD、DB、AF、FC。 6、依序选中点 D 和点 A 构造圆。 7、选中圆，并依序选中圆上的两点 A 和 B，构造圆上的弧。 8、选中弧，构造弧上的一个任意点 G。 9、依序选中点 A、D、G，在变换菜单中标记角度∠ADG。 10、选中点 D，在变换菜单中标记点 D 为旋转中心。 11、依序选中点 A、D、F，构造三角形的内部。 12、选中△ADF 的顶点、边和内部，按标记角度∠ADG 以点 D 为旋转中心旋转。 13、依序选中点 G 和点 A 构造移动按钮，依序选中点 G 和点 B 构造移动按钮。范例 7：表现任意角。 1、单击菜单绘图/定义坐标系，建立直角坐标系。 2、单击菜单绘图/隐藏网格。设原点标签为 O，设单位点标签为 B。 3、在 y 轴的负半轴上画一点 C，过点 C 画 y 轴的垂线，在垂线上画点 D，隐藏垂线，画 线段 CD。 4、选中点 D，在度量菜单中度量点 D 的横坐标 xD 5、在菜单数据/计算中计算x D .1 8 0 ??，并在菜单变换中将其设为标记角度。6、用移动箭头工具双击点 O，将点 O 标记为旋转中心。 7、画射线 OB。让其以点 O 为中心按标记角度旋转得射线 k′。 8、在数据菜单中新建参数 t1，设其初值为 0。 9、在线段 CD 上任作一点 E。 10、选中点 C 和点 E，度量点 C 和点 E 间的坐标距离 CE，同法度量坐标距离 OB。在菜 单数据中计算 OB+CE。 11、依次选中 OB+CE 和 t1，以其为 x 坐标和 y 坐标在菜单绘图中绘制出一点 F。2012、度量点 E 的横坐标 xE，计算x E .1 8 0 ??，标记角x E .1 8 0 ??。13、以点 O 为旋转中心，按标记角旋转点 F，得点 F′。 14、同时选中点 E 和点 F′，构造出点 F′的轨迹。 15、画单位圆，作出单位圆与射线 k′的交点 G。 16、作圆弧 BG，并构造弧的扇形内部。度量弧度角 BOG，把角 BOG 的标签改为α 。 17、把x D .1 8 0 ??的标签改为θ 。计算? ??360?，改其标签为 k。于是有 ? ? k ?360 ? ? ? ，θ 是任意角，α 是 0°～360°内的角。范例 8：根据正弦线画正弦函数的图像。 1、在菜单绘图中绘制点 O′(-4,0),并显示直角坐标系，同法绘制点 B（-3，0） 。 2、设原点标签为 O，隐藏网格。 3、以点 O′为圆心过点 B 画圆，设圆标签为 c1。 4、画射线 O′P，使点 P 在圆 c1 上。 5、依次选中点 B、点 P、圆 c1，构造圆上的弧，度量该弧长，构造该弧的扇形内部。 6、将弧长度量值设为标记距离，将 y 轴按标记距离和平移方向 0°平移，得直线 y′。 7、过点 P 作 x 轴的平行线 j。作直线 y′与直线 j 的交点 E。 8、将点 E 设为追踪状态，拖动点 P，得点 E 的踪迹即为函数 y=sinx 在区间[0,2 ? ]的图 像。21教学内容立体图形的画法：范例 9 圆的斜二测水平放置 圆柱体、圆台和圆锥 正三棱锥、正三棱柱和正三棱台课时安排 教学重点2 课时＋2 课时实验 1、通过操作演示和上机练习来掌握几何画板的使用技巧。 2、掌握斜二测作图的方法。 3、掌握绘制旋转体的方法。教学难点投影的理解。教法举要操作演示为辅，上机实验为主。操作演示时要提醒容易出问题的 地方，并解释为什么要这样做。作业与思考1、上机练习操作范例 9、圆的斜二测水平放置、圆柱体、圆台 和圆锥、正三棱锥、正三棱柱和正三棱台。教学后记注意圆的斜二测水平放置（同心圆法作椭圆）和真正的斜二测画 法的区别。22范例 9：画一个圆，并依斜二测作图规则水平放置它。 1、构造水平直线 AB。以点 A 为圆心、点 B 为圆上的点构造圆。 2、在圆上任取一点 C，过点 C 作直线 AB 的垂线，和直线 AB 交点为 D。 3、鼠标双击点 D，将点 D 标记为中心。选中点 C，以点 D 为旋转中心选择-45°得点 C'。 4、选中点 C'，以点 D 为缩放中心缩放 0.5 倍得点 C''。 5、选中主动点 C 和要观察轨迹的点 C''，构造轨迹得一椭圆。 6、上述椭圆即为圆的投影，点 C''即为点 C 的投影。 7、选中点 C 和点 C''，创建自定义变换，名称为斜二测图形。 8、作一正方形：在直线 AB 上作线段 EF；双击点 E 设为旋转中心，选中点 F 和线段 EF 进行旋转变换，旋转角度为 90°；双击点 F 设为旋转中心，选中点 E 和线段 EF 进行旋转变 换，旋转角度为-90°；作线段 E'F'。 9、选中正方形的顶点和边，按自定义的变换斜二测图形进行变换，得正方形的投影图。圆的斜二测水平放置 圆的斜二测水平放置即同心圆法作椭圆，实际是作 x=acosθ 、y=bsinθ 的图像（其中 a 为椭圆长半轴长，b 为椭圆短半轴长），和真正的斜二测画法不一样。 原理：设有两个同心圆，过圆心作一条水平直线 l。在大圆上任取一点 P，OP 交小圆于 Q 点。过 P 作直线 l 的垂线 m（过大圆上的点作垂线），过 Q 作直线 l 的平行线 n（过小圆上的 点作平行线），直线 m、n 交于点 A（A 为 P 的投影点）。当 P 在大圆上运动时，A 的轨迹就 是一个椭圆（该椭圆就是大圆的投影）。 1、建立坐标系：执行图表/网格/方形网格，得直角坐标系，原点为 A； 2、画同心圆：用画圆工具画出两个同心圆，使大圆上的点 C 落在 x 轴上，小圆上的点 D 落在 y 轴上； 3、在大圆上任取一点 E，连接 AE，作出 AE 与小圆的交点 F； 4、过 F 点作直线 k 平行 x 轴，过点 E 作直线 l 垂直 x 轴；画出 k、l 的交点 G； 5、画椭圆：选择 E、G，执行作图/轨迹，得到一个椭圆。圆柱体、圆台和圆锥 旋转体的形成课件，主要是在一个椭圆基础上制作的。先在椭圆上任取一动点，构造和 动点发生关系的几何体，然后利用几何画板的动画和追踪功能，动态演示旋转体的形成过程。231、画出椭圆。 2、在椭圆上任取一点 M，作 M 的动画按钮。 3、在上下方向画两点 E、F，并标记向量。让椭圆心 A 和点 M 按标记向量平移，得 A/M/， 并连接 A/M/，取中点 G。 4、在线段 A/M/上取一点 N。同时选点 M 和点 N，作点 N 的轨迹得上椭圆。分别作点 N 到 点 M/，点 N 到点 G，点 N 到点 A/的高速移动按钮。 5、将 N 到 M/的移动按钮和 M 的动画按钮作系列按钮，标签为圆柱的形成；将 N 到 G 的移 动按钮和 M 的动画按钮作系列按钮，标签为圆台的形成；将 N 到 A 的移动按钮和 M 的动画按 钮作系列按钮，标签为圆锥的形成。注意，在系列按钮选项中均选择清除所有轨迹选项。 6、连接点 A/AMN，并作其内部，设置内部成浅颜色。设置线段 MN 和 NA/为追踪状态。 注意：轨迹不能平移，在椭圆上任取一点平移，再作其轨迹得上底。正三棱锥、正三棱柱和正三棱台 1、建立直角坐标系，以 A 为圆心画出两个同心圆。 2、 在大圆上任取一点 C， A 为旋转中心，把点 C 连续旋转 120 度两次得点 C'和点 C''。 以 3、作出点 C、点 C'和点 C''的投影点 G、点 J 和点 K，并用线段连接这三点，得到正三 棱柱的底面的投影。 4、在 Y 轴上取点 L。标记向量 AL。隐藏不必要的对象。 5、把三角形 GJK 按标记向量 AL 平移，得正三棱柱的顶面 G'J'K'。连接正三棱柱侧面各 线。 6、标记点 L 为缩放中心，把三角形 G'J'K'缩放 1/2，得三棱台的顶面 G''J''K''，连接 正三棱台侧面各线。 7、作线段 GL、JL 和 KL，得正三棱锥。 8、作只和正三棱柱相关对象的一对显示和隐藏按钮，一个按钮控制显示对象，另一个按 钮控制隐藏对象。同理分别作控制正三棱台和正三棱锥的显示和隐藏按钮。 9、 由显示三棱柱按钮、 隐藏三棱台按钮和隐藏三棱锥按钮作出系列按钮， 标签为三棱柱。 同理作出三棱台按钮和三棱锥按钮。24教学内容立体图形的旋转： 1、几何体的旋转控制 2、旋转几何体中的虚线问题课时安排 教学重点2 课时+2 课时实验 1、进一步掌握用同心圆法作旋转体的方法。 2、了解如何控制旋转几何体虚实线的转换显示。 3、了解如何控制立体图形旋转的方法。教学难点1、旋转几何体中的虚线问题。教法举要讲授为辅，操作演示为主。作业与思考1、 上机操作练习几何体的旋转控制和旋转几何体中的虚线问题。教学后记作完劣弧和优弧后要及时将大圆隐藏，这样能有效避免出错。 如何将旋转几何体中的虚线问题、 如何控制立体图形的旋转结合 为一个课件？25如何控制立体图形的旋转 以四棱柱为例： 1、作圆 O，在该圆上取任意点 A、B，并在直径 AO 上取点 C。 2、任取点 O/，让点 O/按标记向量 OB 平移两次得点 F。以点 O/、F 作大圆，再以 O/为圆心， 二倍 OC 长为半径作小圆。作射线 O/F（标签为 l），交小圆于点 E。） 3、把射线 l 绕点 O/旋转 90 度（若是正 n 棱柱，旋转角为 360 度/n），得到射线 l/，再 依次旋转 2 次得到射线 l//、l///，得与小圆的交点 G、I、K，与大圆的交点 H、J、L。 5、分别过点 E、G、I、K 作 OA 的平行线，再过点 F、H、J、L 作 OA 的垂线，得四个交点 M、N、R、P。 6、用粗线连接 M、N、R、P，得四边形 MNRP。 7、过点 O/作 OA 的垂线，在该垂线上任画一点 Q，标记向量 O/Q，把四边形 MNRP 按标记 向量 O Q 平移， 得到四边形 M N R P ， 用粗线连接 MM 、 、 、 ， NN RR PP 得到四棱柱 M N R P －MNRP。 8、最后隐藏不必要的圆、线、点，其中点 B 控制左右旋转，点 A 控制上下翻转，点 C 控 制前后翻转。/ / / / / / / / / / / / /旋转几何体中的虚线问题 将大圆划分为几段弧，和某些弧的交点的投影决定的线显示为虚线，这样增强立体感。 以四棱柱为例： 1、作圆 O，在该圆上取任意点 A、B，并在直径 AO 上取点 C。 2、任取点 O/，让点 O/按标记向量 OA 平移两次得点 A/。 3、以点 O/、A/作大圆，再以 O/为圆心，二倍 OC 长为半径作小圆。 4、标记点 O/为旋转中心，把点 A/旋转 45 度得 A//（若是正 n 棱柱，旋转角为 180 度/n）； 再把 A//旋转 90 度得 A///；分别作出劣弧 A//A///和优弧 A///A//；隐藏大圆；过点 O/作 OB 的平行 线，交小圆于点 E；隐藏该平行线，作射线 O/E（标签为 l），交优弧于点 F。 5、把射线 l 绕点 O/旋转 90 度（若是正 n 棱柱，旋转角为 360 度/n），得到射线 l/，再 依次旋转 2 次得到射线 l//、l///；分别作出射线 l/、l//、l///与小圆的交点 G、I、K，与大圆的 优弧或劣弧的交点 H、J、L。 6、过点 F 作半径 OA 的垂线，过点 E 作半径 OA 的平行线，作两直线的交点 M，隐藏两直 线，则 M 为 F 的投影。同理作出 H、J、L 的投影 N、R、P。用粗线连接 M、N、R、P，得四边 形 MNRP。 7、过点 O/作 OA 的垂线，在该垂线上任画一点 Q，标记向量 O/Q，把四边形 MNRP 按标记26向量 O/Q 平移， 得到四边形 M/N/R/P/， 用粗线连接 MM/、 /、 /、 /， NN RR PP 得到四棱柱 M/N/R/P/－MNRP， 把劣弧上的投影点 N 所决定的 NR、NM、NN/设置为虚线。 8、缓缓拖动点 B 逆时针转动，四棱柱会出现不全的现象。补全射线 l、l/、l//、l///与大 圆的优弧或劣弧的四个交点，并作出相应的投影，再补全四棱柱，把劣弧上的投影点所决定 的线设置为虚线。 9、最后隐藏不必要的圆、线、点，作点 A、B、C 的动画按钮，其中点 B 控制左右旋转， 点 A 控制上下翻转，点 C 控制前后翻转。27教学内容立体图形的展开： 1、五棱柱侧面展开 2、圆柱侧面展开课时安排 教学重点2 课时+2 课时实验 1、掌握旋转体侧面展开的方法。教学难点变半径圆上的定长弧线。教法举要讲授为辅，操作演示为主。作业与思考1、操作练习无棱柱侧面展开和圆柱侧面展开。教学后记为使卷动展开具有较好的视觉效果，可调节点 B 的位置，分段用 不同速度移动点 O。28五棱柱侧面展开 五棱柱侧面展开 首先作以五边形 ABCDE 为底的五棱柱， 再以 AB 为不动边， 其它各边沿两个方向同时展开， 让它的右边（左边）两条边的上端点，分别沿相应的圆作顺时针（逆时针）方向移动，移动 到过其下端点并与 AB 平行的直线上，就实现了棱柱的侧面展开。制作步骤如下： 1、用画线段工具画五边形 ABCDE，标签改名为 abcde。 2、画以五边形 abcde 为底的五棱柱的立体图： （1）标记向量 a 到 b，另画一点 A，让点 A 按标记向量平移得点 B，作线段 AB。 （2）作五棱柱侧面的立体图：以 A 为圆心，线段 ae 为半径画圆 c1，在圆 c1 上任取一 点 E，连接 AE；以 B 为圆心，线段 bc 为半径画圆 c2，在圆 c2 上任取一点 C，连接 BC；以 C 为圆心，线段 cd 为半径画圆 c3，在圆 c3 上任取一点 D1，连接 CD1；以 E 为圆心，线段 ed 为半径画圆 c4，在圆 c4 上任取一点 D2，连接 ED2；在上下方向画线段 MN，标记向量 MN，将 点 A、B、C、D1、D2、E 及它们的连线按标记向量平移，得到五棱柱的另一个底，隐藏其标签； 连接两底相应的点，作相应的四边形内部，给各侧面着上不同的颜色（浅色）。 （3）作五棱柱的侧面复原：让点 A 按标记向量 ae 平移，得到圆 c1 上的点 E/；让点 B 按 标记向量 bc 平移，得到圆 c2 上的点 C ；让点 C 按标记向量 cd 平移，得到圆 c3 上的点 D1 ； 让点 E 按标记向量 ed 平移，得到圆 c4 上的点 D2/；选择点 C 和点 C/、点 E 和点 E/、点 D1 和 点 D1/、点 D2 和点 D2/，作移动按钮，标签为复原。 （4）作五棱柱的侧面展开：过点 E、B、C 作线段 ab 的平行线，分别交圆 c1 于点 E//、 交圆 c2 于点 C//、交圆 c3 于点 D1//、交圆 c4 于点 D2//（取能使各底边和 AB 平行的交点）； 选择点 D1 和点 D1//、点 D2 和点 D2//、点 C 和点 C//、点 E 和点 E//，作移动按钮，标签为展开。 （5）隐藏掉不必要的对象。/ /圆柱侧面展开 以圆柱的侧面展开为例介绍各种旋转体和棱柱、棱锥、棱台的侧面的统一展开方法。 基本思路：用变半径圆上一段定长的弧线，当半径逐渐变大时，动态演示这段弧线的展 开过程。当半径逐渐变小时，动态演示这段弧线的卷缩过程。 作图步骤： 1、确定与展开相关的参数 （1）在 y 正半轴上作点 A、o，以点 A 和 o 作射线，在该射线上取一个任意点 O 和一个 远点 B。29（2）度量点 A、o 的距离，改标签为 r，计算 2×π ×r 的值，改标签为 l。度量点 A、O 的距离，改标签为 R，在弧度制（参数选项中设角度单位为弧度）下计算 l/R×1 弧度的值， 改标签为 Q（在大圆 O 上弧 l 所对应的圆心角）。计算 Q/2、－Q/2。 2、在大圆上绘制定长弧线 （1）让点 A 以点 O 为中心按标记角 Q/2 旋转，再按标记角－Q/2 旋转一次，得到点 A/、 A//，过点 A/、A、A//作弧。 （2）过点 A 作 AO 的垂线 k，在圆弧 A/AA//上任取一点 F，过点 F 作直线 k 的垂线段 FG， 并取 FG 的中点 H。同时选中点 F、H 作轨迹，得到相应的椭圆弧。 3、作还原和展开按钮 （1）将点 o 向上平移 0.001cm，得 o/点（目的是保证椭圆弧的显示），作点 O 到点 o/的 移动按钮，改标签为还原；作点 O 到点 B 的移动按钮，改标签为展开。 （2）只保留椭圆弧、点 o、B 和操作按钮，隐藏不必要的点、线、圆等。 以该椭圆弧为基础，构造圆柱、锥、台，棱柱、锥、台的展开。 拖动点 o，改变椭圆弧的长短和方向，调节点 B 的位置，使展开具有较好的视觉效果（可 采取分段用不同速度移动）。 4、构造圆柱的展开 （1）画线段 EF 并标记向量，用来控制圆柱母线的长短和方向。 （2）在椭圆弧上画三点 X、Y、Z，其中 X 为椭圆弧的左端点，Z 为椭圆弧的右端点，Y 为中间任一点。 （3）选中点 X、Y、Z，按标记向量平移，得到点 X/、Y/、Z/，并用线段连接 XX/、YY/、ZZ/。 （4）选中点 Y/和点 Y，作轨迹；选中线段 YY/和点 Y，作轨迹，得到圆柱侧面。 按展开或还原按钮，即可动态演示圆柱侧面的展开。30教学内容 函数图像及其变换一：函数 f ( x ) ?4? x x ?1、 f ( x) ? a x? x , ( a ? x ? 1)2 2f ( x ) ? ax2、 f ( x ) ? x 2 ( x ? [ ? 1, 2 ]) 、 f ( x ) ? ??1 ? ( x ? 1) , (1 ? x ? b )的图像 课时安排 教学重点 2 课时+2 课时实验 1、掌握绘制各种函数图像的方法。 2、掌握构造函数自变量、常数和参数的方法。教学难点构造函数自变量、常数和参数的方法。教法举要操作演示为辅，上机实验为主。作业与思考1、上机练习绘制各种函数曲线。教学后记分段函数临界点问题的解释？31函数曲线的绘制 当自变量没有限制且无需提供改变自变量的措施时，一般用绘制函数功能。否则一般用 先画轨迹上一点，再画轨迹的方法。 轨迹法绘制函数图像的一般步骤： 1）设置函数作图的支持环境 （1）直角坐标系下的图形 单击图表/网格/方形（或矩形）网格选项； 单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。 （2）极坐标系下的图形 单击图表/网格/极坐标网格选项； 单击编辑/参数选项/单位/弧度制选项（绘三角函数图像必须）。 2）建参数、定范围 根据函数式中的系数、参数、自变量的变化规律，构造系数、参数、自变量。 3）计算函数式的值。 4）根据自变量和函数式的值绘制出一点。 5）作出该点的轨迹，即得函数的图像。范例 10：函数 f ( x ) ?4? x x ?1的图像4? x x ?11、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入 f ( x ) ? 绘制出函数曲线，并显示直角坐标系。，然后就可以直接2、隐藏网格，设原点标签为 0，单位点标签为 1，在函数曲线旁边加上文字说明，内容 为函数式 f ( x ) ?4? x x ?1范例 11：函数 f ( x ) ? a x 的图像 1、单击菜单数据/新建参数，生成参数 a，设其初值为 2。 2、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入 f ( x ) ? a x ，然后就可以直接绘制 出函数曲线，并显示直角坐标系。323、隐藏网格，设原点标签为 0，单位点标签为 1，在函数曲线旁边加上文字说明，内容 为函数式 f ( x ) ? a x 4、选中参数 a 后，可以通过按下键盘的+/-键改变 a 值。范例 12：函数 f ( x ) ? ax 2 的图像 1、 单击菜单绘图/定义坐标系， 生成直角坐标系。 将原点标签改为 0， 单位点标签改为 1。 2、在 x 轴上任取一点 B，过点 B 构造 x 轴的垂线，在垂线上任作一点 C，度量 C 点的纵 坐标 yc，改标签为 a。 3、单击菜单绘图/绘制新函数，在函数式编辑器中输入 f ( x ) ? ax 2 ，然后就可以直接绘制 出函数曲线。 4、拖动点 C，可以改变参数 a 的大小。范例 13：函数 f ( x ) ? x 2 ( x ? [ ? 1, 2 ]) 的图像 1、单击菜单绘图/绘制点，绘制点 B，坐标为（-1，0），绘制点 C，坐标为（2，0）。 将生成的直角坐标系原点标签改为 0，单位点标签改为 1。 2、构造线段 BC，在 BC 上构造一任意点 D，度量点 D 的横坐标 xD 3、单击菜单数据/计算，计算 xD2 4、依次选中 xD 和 xD2，单击菜单绘图/绘制点（x,y），绘制出点 E。 5、同时选中点 D 和点 E，构造出点 E 的轨迹，得函数 f ( x ) ? x 2 ( x ? [ ? 1, 2 ]) 的图像。 6、在函数图像旁加一文本框，内容为 f ( x ) ? x 2 ( x ? [ ? 1, 2 ])范例 14：分段函数2 ? x , ( a ? x ? 1) f (x) ? ? 2 ?1 ? ( x ? 1) , (1 ? x ? b )的图像利用符号函数将分段函数转换成一条式子，然后再绘制图像。 对于 F ( x ) ? ?? f 1( x ), x ? a ? f 2 ( x ), x ? a，若 s1(x)=(sgn(a-x)+1)/2，s2(x)=(sgn(x-a)+1)/2 则 F(x)=s1(x)*f1(x)+s2(x)*f2(x)33? f 1( x ), x ? a ? 对于 F ( x ) ? ? f 2 ( x ), a ? x ? b ? f 3 ( x ), x ? b ?若 s1(x)=(sgn(a-x)+1)/2，s2(x)=(sgn(x-a)+sgn(b-x))/2，s3(x)=(sgn(x-b)+1)/2 则 F(x)=s1(x)*f1(x)+s2(x)*f2(x)+s3(x)*f3(x) 注意：x=a、x=b 时公式不成立。 下面以绘制 f ( x ) ? ?? x , ( a ? x ? 1)2 2?1 ? ( x ? 1) , (1 ? x ? b )的图像为例。1、通过绘图/定义坐标系建立直角坐标系，隐藏网格，将原点标签改为 0，单位点标签 改为 1。 2、在 x 轴上构造线段 CD，其中点 C 在 1 的左侧，点 D 在 1 的右侧。度量点 C 的横坐 标并设标签为 a，度量点 D 的横坐标并设标签为 b。在线段 CD 上任取一点 F，度量点 F 的横 坐标，标签改为 x。 3、计算((sgn(1-x)+1)/2)*x2+((sgn(x-1)+1)/2)*（1-（x-1）2。 4、依次选中 x 值和((sgn(1-x)+1)/2)*x2+((sgn(x-1)+1)/2)*（1-（x-1）2 值，用绘图/ 绘制点功能绘出相应的点 G。 5、同时选中点 F 和点 G，构造点 G 的轨迹，即得分段函数的图像。在图像旁边加文本框， 内容为2 ? x , ( a ? x ? 1) f (x) ? ? 2 ?1 ? ( x ? 1) , (1 ? x ? b )。34教学内容函数图像及其变换二： 由原函数图像画反函数的图像 函数图像的平移 极坐标方程 ? ?ep 1 ? e co s ?的图像、参数方程 ?? x ? a sec(? ) ? y ? b tan (? )的图像课时安排 教学重点2 课时+2 课时实验 1、掌握绘制各种函数图像的方法。 2、掌握构造函数自变量、常数和参数的方法。 3、掌握对函数图像进行变换的方法。教学难点构造函数自变量、常数和参数的方法。教法举要操作演示为辅，上机实验为主。作业与思考1、上机练习绘制各种函数曲线及对函数图像进行变换。教学后记35范例 17：由原函数的图像画反函数的图像 1、单击菜单绘图/定义坐标系，生成直角坐标系，隐藏网格，设原点标签为 0，单位点 标签为 1。 2、在 x 轴上任作一点 B，过点 B 向上作一条射线垂直 x 轴，在射线上任取一点 C，度量 点 C 的纵坐标 yC 并改标签为 a。 3、单击菜单绘图/绘制新函数，直接绘制出函数 f ( x ) ? a x 的图像。 4、用移动箭头工具双击原点 0，将原点标记为旋转中心。 5、选中 x 轴，单击菜单变换/旋转，让 x 轴旋转 45 度得直线 y=x。 6、选中直线 y=x，在变换菜单中将其标记为镜面。 7、 在函数 f ( x ) ? a x 的图像上任作一点 D， 将其反射变换， 得点 D?。 同时选中点 D 和点 D?， 构造点 D?的轨迹，即得函数 y ? log a x 的图像。范例 18：函数图像的平移 1、单击菜单绘图/绘制新函数，直接绘制出函数 f ( x ) ? x 2 的图像。隐藏网格，设原点标 签为 0，单位点标签为 1。 2、在 y 轴上任作一点 B，过点 B 构造 y 轴的垂线，在垂线上任作一点 C，标记向量 BC。 3、在函数 f ( x ) ? x 2 的图像上任作一点 D。将点 D 按标记向量 BC 平移。，得点 D?。 4、同时选中点 D 和点 D?构造点 D?的轨迹，即得函数 f ( x ) ? x 2 平移后的图像。范例 39：极坐标方程 ? ?ep 1 ? e co s ?的图像1、将角度的单位改为弧度。 2、通过绘图/网格样式/极坐标网格建立极坐标系。隐藏网格，设极点标签为 0，设单位 点标签为 B。 3、作单位圆，作其半径 OC。作弧 BC 并度量弧 BC 对应的弧度角，设其标签为 θ 。 4、构造射线 DE，在射线上任作一点 F。 5、度量 D、F 的坐标距离，度量 D、E 的坐标距离，计算 DF/DE，设其标签为 e。 6、构造射线 GH，在射线上认作一点 I。 7、度量 G、I 的坐标距离，设其标签为 p。368、计算ep 1 ? e co s ?。ep 1 ? e co s ?9、依次选中计算值和弧度角 θ ，单击菜单绘图/绘制（r, θ ），绘制出点 J。ep 1 ? e co s ?10、同时选中点 C 和点 J，构造点 J 的轨迹，即得极坐标方程 ? ? 图像旁加一文本框，内容为 ? ?ep 1 ? e co s ?的图像。在。范例 40：参数方程 ?? x ? a se c ? ? y ? b ta n ?（θ 为参数）的图像1、将角度的单位改为弧度。 2、通过绘图/网格样式/方形网格建立直角坐标系，隐藏网格，将原点标签改为 0，单位 点标签改为 C。 3、在 x 轴上任取一点 A，度量 A 点的横坐标 xA，改标签为 a。在 y 轴上任取一点 B，度 量 B 点的纵坐标 yB，改标签为 b。 4、作单位圆，在圆上任作一点 D，作弧 CD 并度量弧对应的弧度角大小，改标签为 θ 。 5、计算 a/cosθ 的值。计算 b*tanθ 的值。 6、依次选中 a/cosθ 的值和 b*tanθ 的值，用绘图/绘制点功能绘出相应的点 E。 7、 同时选中点 D 和点 E， 作出点 E 的轨迹， 即得参数方程的图像， 旁边加注释 ?? x ? a se c ? ? y ? b ta n ?。37教学内容函数图像及其变换三： 作两函数图像的交点、求方程 f(x)=0 的实根、求函数的极值和 极值点、函数曲线的叠加、求圆锥内接圆柱的体积的极值课时安排 教学重点2 课时 1、掌握作两个函数曲线的交点的方法。 2、掌握求方程 f(x)=0 的实根的方法。 3、掌握求函数的极值和极值点的方法。 4、掌握控制函数曲线叠加的方法。教学难点自定义坐标系的构造方法。教法举要讲授为辅，操作演示为主。作业与思考上机练习： 两函数图像的交点、求方程 f(x)=0 的实根、求函数的极值和极 值点、函数曲线的叠加、求圆锥内接圆柱的体积的极值教学后记本内容为书本没有的内容，讲课速度注意放慢。38一、作两个函数曲线的交点 下面以作 f(x)=2*x2+3*x-3、g(x)=2*sin(x)的交点为例。 1、通过绘图/绘制新函数功能绘出 f(x)=2*x2+3*x-3 以及 g(x)=2*sin(x)的曲线。 2、分别在两根曲线上任作一点 C 和 D。分别度量 C 和 D 的坐标。 3、将点 C 和点 D 拖动到两轨迹相交的地方，可以用方向键进行微调，直到两动点的坐标 值相同为止。为方便使两动点的坐标值相同，可以拖动坐标系的单位点，将轨迹相交的地方 放大。 4、根据动点坐标值，用绘图/绘制点功能绘出该点。 在新版几何画板中，对于直接采用绘图/绘制新函数而不是采用轨迹法作出来的曲线，可 以直接构造曲线的交点。 二、求方程 f(x)=0 的实根 实际就是求函数曲线和 x 轴的交点。下面以求 f(x)=2*x -5*x -6*x+4=0 的实根为例。 1、通过绘图/绘制新函数功能绘出 f(x)=2*x3-5*x2-6*x+4 的曲线。 2、选中函数曲线和 x 轴，构造其交点，然后度量交点的坐标。 三、求函数的极值和极值点 方法：求函数 f(x)的导函数 f (x)，求 f (x)＝0 的实根 x0，则点（x0,f(x0)）可能为函 数 f(x)的一个极值点，其极值为 f(x0)。下面以函数 f(x)=x3-2*x2-3*x+3 为例。 1、通过绘图/绘制新函数功能绘出 f(x)=x3-2*x2-3*x+3 的曲线。 2 、 选 中 f(x)=x3-2*x2-3*x+3 函 数 式 ， 通 过 数 据 / 定 义 导 函 数 功 能 求 得 导 函 数 式 f/(x)=3*x2-4*x-3 。 选 中 导 函 数 式 f/(x)=3*x2-4*x-3 ， 通 过 绘 图 / 绘 制 函 数 功 能 绘 出 f/(x)=3*x2-4*x-3 的曲线。 3、构造 f/(x)=3*x2-4*x-3 的曲线和 x 轴的交点，度量交点的坐标。 4、建立参数 x1 和 x2，设其值为两交点的横坐标。计算 f(x1)和 f(x2)的值，即为所求 的极值。依次选中 x1 和 f(x1)的值构造出函数 f(x)的一个极值点 E(x1,f(x1))，同理构造出 另一个极值点 F(x2,f(x2))。 四、函数曲线的叠加 下面以 f(x)=sin(x)＋2、g(x)=cos(x)+1 的曲线的叠加为例。 1、通过绘图/绘制新函数功能绘出 f(x)=sin(x)＋2、g(x)=cos(x)+1 的曲线。建立函数 h(x)=f(x)+g(x)并绘制其曲线。将上述曲线用虚线显示。 2、在 g(x)曲线上任取一点 A，分别度量点 A 的横坐标 XA 和 YA。 3、计算 Y1＝f(XA)+YA 的值，依次选中 XA 和 Y1 的值，绘出点 B。39/ / 3 24、作线段 AB，在线段 AB 上任取一点 C。选中点 A、点 C 作轨迹，将轨迹用蓝色粗线 显示。 5、在 f(x)曲线上任取一点 D，分别度量点 D 的横坐标 XD 和 YD。 6、计算 Y2＝YD+g(XD)的值，依次选中 XD 和 Y2 的值，绘出点 E。 7、作线段 DE，在线段 DE 上任取一点 F。选中点 D、点 F 作轨迹，将轨迹用红色粗线 显示。 8、依次选中点对 C 和 A、F 和 D 作移动按钮，改标签为还原函数曲线。再依次选中点 对 C 和 B、F 和 E 作移动按钮，改标签为叠加函数曲线。五、求圆锥内接圆柱的体积的极值 1、作圆锥：利用两个同心圆作椭圆，椭圆的长半轴为 OB，过点 O 作 OB 的垂线，在垂 线上方任取一点 H，作线段 OH 并隐藏垂线。在椭圆上作一任意点 C，作线段 OC、HC。选 中点 C 和线段 HC，构造出线段 HC 的轨迹，最终得圆锥 HAB。 2、作圆锥内接圆柱： 1）在 OC 上取点 K，选中点 C、K 作轨迹，得小椭圆，即内接圆柱的下底。 2）过点 K 作 OH 的平行线，交 CH 于点 P，作线段 KP 并隐藏平行线。选中点 C、P 作 轨迹，得小椭圆，即内接圆柱的上底。 3）选中线段 KP 和点 C 作轨迹，得内接圆柱的侧面。将点 C 移至点 A。 3、度量 OK 的距离并改标签为 r，度量 KP 的距离并改标签为 h，计算 V＝π r2h 的值， 计算 V'=V/1cm2，标记该度量值。 4、作 H-V 坐标系：在 OB 的延长线上截取线段 O'V 作为横轴，即 V 轴，过点 O'作 O'V 的垂线，在垂线上方取一点 H，连接 O'H 作为纵轴，即 H 轴，隐藏垂线及延长线。用自定义 工具/箭头工具/无线箭头（中）给两轴线加上箭头。 5、作 v-h 曲线：将 O'点按标记向量 KP 平移，得 h 点，将 O'点按标记值 V'水平移动，得 点 v，将 h 点按标记值 V'水平移动，得点 x。选中点 K、x 作轨迹，得 h、v 关于 r 的函数曲 线。 6、选中点 K 作动画按钮，设点 x 为追踪状态。40教学内容迭代： 几何迭代 数值迭代 随机迭代课时安排 教学重点2 课时 1、掌握几何迭代的方法。 2、掌握数值迭代的方法。 3、了解随机迭代的方法。教学难点添加新的映射的原理。教法举要讲授为辅，操作演示为主。作业与思考1、上机练习各种迭代。教学后记随机迭代书本上没有，注意放慢速度。41迭代就是应用前面的操作结果作为下一步操作的输入，反复进行相同的操作。使用迭代 变换，可以提高工作效率。 1、简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点），然后变换/迭代， 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点）和迭代次数，最后按迭 代按钮，即可得到固定迭代的象。 2、深度迭代：新建一个参数 n（取正整数），先选中原象，再选择参数 n，并按住 Shift 键，然后变换/带参数的迭代，在迭代对话框中选取与原象相对应的初象，最后按迭代按钮， 即可得到动态迭代的象。选中参数 n，按＋号增加迭代，按－号减少迭代。 3、原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件。原 象点必须是自由的点或路径上的点。 4、初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一 组点。 注意：凡是和原象点或初象点相关联的对象，也作为原象的组成部分进行迭代。 迭代在几何画板中有三种情况：几何迭代、数值迭代、随机迭代。 使用的前提条件： 1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨 迹）上的任一点。 2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点， 或由选定点经过变换产生的点。范例 29：房梁下的三角支撑架 1、画线段 AB，作 AB 的垂线段 BC，作线段 AC。 2、过 B 作 AC 的垂线，垂足为 D，过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E。作线段 BD、DE。 3、选中点 B，单击变换/迭代，在迭代对话框中设点 E 为初象，可以在显示按钮中设置 迭代的次数，然后单击迭代按钮。 4、选中迭代得到的图形，按键盘的+/-按钮也可以改变迭代的次数。范例 30：画正 n 边形 1、画点 A，把点 A 依 0°方向移动 1cm，得到 A’。 2、画射线 AA’，在射线上画一点 B。 3、先后选中 A、A’、B，单击度量/比，得比值 AB/AA’。424、计算 trunc(AB/AA’)+3，改标签为 n，用来控制正多边形的边数。 5、计算 360°/(trunc(AB/AA’)+3)，并标记该角。 6、画两点 C、D。 7、把点 C 标记为旋转中心，让点 D 绕点 C 旋转标记角度得点 D’。 8、画线段 DD’。 9、依次选中点 D 与计算值 n，按住 Shift 键的同时单击变换/深度迭代，然后设置初象为 点 D’，点击迭代按钮。 10、拖动点 B 可以改变多边形的边数。范例 31：谢尔宾斯基三角形 1、画线段 AB。把 A 标记为旋转中心，让点 B 和线段 AB 旋转 60°得点 B’，改其标签 为 C，做线段 BC。 2、构造线段 AB、BC、AC 的中点 D、E、F，作线段 DE、EF、DF。 3、新建参数 t1=3，用来控制迭代的深度。 4、依次选中点 A、B、参数 t1，按住 Shift 键的同时单击变换/深度迭代，进入迭代对话 框。 5、设置点 A 的初象为点 A，点 B 的初象为点 D；单击结构按钮选添加新的映射，设点 A 的第二个映象为点 D，设点 B 的第二个映象为点 B；再添加一次映射，设点 A 的第三个映 象为点 F，设点 B 的第三个映象为点 E。（在线段 AD、DB、FE 上重复做在线段 AB 上的操 作） 6、选中参数 t1，按键盘的+/-键改变参数的值来改变迭代的深度。范例 32：画出数列 an+1=1/(1+an)(a1=1)前 n 项以及前 n 项的和 1、新建参数 n=1 表示项数、a1=1 表示首项、s0=0 表示前 n 项和的初始值、k=3 表示迭代 的深度。 2、计算第 2 项对应的项数值 n+1、第 2 项的值 1/(1+a1)、前项的和 s0+a1 3、依次选中参数 n、a1，在绘图菜单中绘制出相应的点 C，同时打开直角坐标系。 4、依次选中参数 n、a1、s0、k，进入深度迭代，其中 n 的初象设为 n+1、a1 的初象设为 1/(1+a1)、s0 的初象设为 s0+a1，单击迭代按钮后生成一个表格并画出数列的前 4 项对应的点。 5、选中表格，在绘图菜单中选绘制表中数据，并设 n+1 确定横坐标，1/(1+a1)确定纵坐 标，单击绘制按钮，作出点 D、E、F、G。43教学内容自定义坐标系的构造与应用课时安排 教学重点4 课时 1、掌握构造坐标系和标记当前坐标系的方法。 2、了解构造自定义坐标轴的方法。 3、了解在自定义二维坐标系下绘制函数图像的方法。 4、了解空间曲线的制作方法。 5、了解构造任意旋转的三维坐标系的方法。 6、了解制作立体图形的三视图的方法。 7、了解空间曲面的制作方法。教学难点自定义坐标系的作法。教法举要讲授为辅，操作演示为主。作业与思考1、课后练习自定义坐标系的构造与应用。教学后记本内容为书本没有的内容，讲课速度注意放慢。44范例 25：多个坐标系 1、用不同方法构造多个坐标系，并在不同坐标系下度量一个点的坐标。 2、在 x?O?y?坐标系下画 y=sinx 的图像，在 xOy 坐标系下画 y ? y o ? ? sin( x ? x o ? ) 的图像, 理解图像平移的概念。范例 26：自定义直角坐标系，并在自定义坐标系中画函数 y ? x 2 的图像 1、构造直线 AB,在直线 AB 上任作一点 C。 2、依次选中点 A、B、C，单击菜单度量/比，得比值 AC/AB。 3、过点 A 作 AB 的垂线，在垂线上取一点 D。 如上构造出一个自定义直角坐标系，原点为 A，x 轴为直线 AB，其单位点为 B，y 轴为直 线 AD，其单位点为 D,点 C 为 x 轴上一任意点，其横坐标为比值 AC/AB。 4、计算(AC/AB)2,将其标记比值。 5、将 y 轴单位点 D 以点 A 为缩放中心按标记比值缩放，得点 D?。 6、过点 D?作 AB 的平行线，过点 C 作 AD 的平行线，其交点为 E。 7、选中点 C 和点 E，构造点 E 的轨迹，即得函数 y ? x 2 的图像。范例 27：在三维坐标系的一个坐标平面上画函数 y ? sin( x ? ? ) 的图像 1、单击菜单绘图/网格样式/矩形网格，建立矩形坐标系，隐藏网格，设原点标签为 0， 设原 x 轴标签为 y 作为三维坐标系的 y 轴，设原 y 轴标签为 z 作为三维坐标系的 z 轴，将 y 轴绕点 0 旋转 45 度得三维坐标系的 x 轴，在其上任作一点 B 作为其单位点。 2、在 y 轴上任作一点 C，度量其横坐标 yC，改标签为ф 。 3、在 x 轴上作线段 DE，在线段上任作一点 F。 4、依次选中点 0、B、F，单击菜单度量/比，得比值 0F/OB，改其标签为 x。 5、计算 sin(x+ф )，并将其标记比值。 6、单击菜单编辑/参数选项，把角度的单位设为弧度。 7、设 z 轴单位点标签为 G，将其按标记比值缩放，得点 G?。 8、标记向量 0G?，将点 F 按标记向量平移，得点 F?。 9、选中点 F 和点 F?，构造点 F?的轨迹，即得函数 y ? sin( x ? ? ) 的图像。45一、构造自定义坐标轴的方法 几何画板提供的直角坐标系和极坐标系，可以方便地绘制函数图像。但仅限于二维空间 的函数作图，且坐标轴只能上下或左右平行移动，使用上有一定的局限性。为了拓宽坐标轴 的功能，使坐标系既能任意平移又能任意转动，将二维工具扩充到三维空间去，便于制作各 种立体几何、空间曲线和空间曲面的课件，实现从不同视角动态地观察立体图形和空间曲线。 这就要求用户自己定义坐标系，下面给出构造自定义坐标轴的方法。 1、在直线上构造长坐标轴 （1）先画一条直线，在直线上取三点 0、1、x，并依次选中三点，度量比 0x/01，结果 为任意点 x 的坐标。 （2）对于任意一个参数 x1，先将该参数标记比值，然后让点 1 以点 0 为中心按标记比 值缩放，就可以作出坐标为 x1 的点。 2、在线段上构造短坐标轴 （1） 画一条线段 AB， 在线段上取中点 0 和任意点 x， 依次选中点 0、 x， B、 度量比 0x/0B。 （2）新建参数 N，计算 0x/0B*N 的值，结果为[-N,N]区间的坐标轴上任意点 x 的坐标。 （3）让点 B 以点 0 为中心缩放 1/N 倍，得到单位点 1. （4）对于[-N,N]区间内任意一个参数 x1，先将该参数标记比值，然后让点 1 以点 0 为 中心按标记比值缩放，就可以作出坐标为 x1 的点。 二、自定义二维坐标系下的函数图像 1、建立一个二维坐标系 0XY：过点 0 点 1 画一条水平直线作为 X 轴，过点 0 点 1/画一条 直线作为 Y 轴。 2、在自定义二维坐标系 0XY 下绘制 y=axcosbx 的图像。 （1）在参数选项中将角度单位改为弧度制。 （2）新建参数 a、b。 （3）在 X 轴上取点 x，依次选中点 0、1、x，度量比值 0x/01，改标签为 x。 （4）计算 a*x*cos(b*x)即 y 的值,将其标记比值。 （5）让点 1/以点 0 为中心按标记比值缩放，得点 y。 （7）让点 y 按标记向量 0x 平移，得点 y/，则点 y/为函数曲线上的一点。 （8）选中点 x 和点 y/作轨迹，得到函数的图像。 三、空间曲线的制作 1、建立一个三维坐标系 0－XYZ。过点 0 画一条竖直向上的直线 0Z 作为 Z 轴，以点 0 为 中心，让直线 0Z 旋转 120 度作为 Y 轴，再旋转 120 度作为 X 轴。462、在自定义三维坐标系 0－XYZ? x ? a * t * cos t ? 下绘制 ? y ? b * t * sin t ? z ? c*t ?的图像。（1）在参数选项中将角度单位改为弧度制。 （2）构造参数 a、b、c：作一条竖直向上的直线，其上取三点 a、b、c，度量它们的纵 坐标，改标签为 a、b、c。 （3）构造参数 t[-6π ，6π ]：画线段 PT，在线段上取中点 O/和任意点 t，依次选中 O/、 T、t，度量比值 O/t/O/T，再乘以 6π 弧度，结果改标签为 t。 （4）分别在 X 轴、Y 轴、Z 轴的正向取点 1、1/、I。 （5）计算方程并转化为各轴上的坐标：x=a*t*cos(t)/1 弧度，y=b*t*sin(t)/1 弧度， z=c*t/1 弧度。 （6）在数轴上构造 x、y、z 点：让点 1 以点 0 为中心按标记比 x 缩放，得点 x，让点 1/ 以点 0 为中心按标记比 y 缩放，得点 y，让点 I 以点 0 为中心按标记比 z 缩放，得点 z。 （7）构造空间点 P（x，y，z）：让点 x 按标记向量 0y 平移，得点 x/，再让点 x/按标记 向量 0z 平移，得点 x//。则点 x//为函数曲线上的一点。 （8）选中点 t 和点 x//作轨迹，得到函数的图像。 四、构造任意旋转的三维坐标系 1、作点 A（除点 A 外，下面各对象的属性均需设置“在自定义工具中使用标签”，在 ） 极坐标形式下按固定距离为 2 厘米、固定角度为 0°平移点 A，得点 A1。作线段 AA1。以 A 为圆心、A1 为圆上一点作圆 c1。在圆上取翻、转、移三点并分别作其动画按钮，按钮标签 为翻动、转动、移动。 2、将圆 c1 定义为单位圆作出坐标系，度量点翻的横坐标 x 翻、纵坐标 y 翻。 3、在极坐标形式下按固定距离为 4 厘米、固定角度为-90°平移点 A，得点 E。过点 E 作 AA1 的平行线，在平行线上取一点 F。作线段 EF。 4、将点 E 水平方向移动 12 厘米，垂直方向移动-6 厘米得点 O，以 O 为圆心、半径为线 段 EF 作圆 c2。 5、过点 O 作 AA1 的平行线，作平行线和圆 c2 的一个交点 G。 6、以点 O 为中心、标记角度为∠A1A 转旋转点 G，得点 Z2。 7、以点 O 为中心、标记角度为∠转 A 移旋转点 Z2，得点 X2。 8、以点 O 为中心、固定角度为 90.0°旋转点 X2，得点 Y2。 9、以点 O 为中心、标记比值为 x 翻缩放点 Z2，得 Z 轴单位点 Z1。4710、作直线 OZ1。 11、过点 O 作直线 OZ1 的垂线 j。 12、过点 X2 作直线 OZ1 的平行线 k。 13、过点 Y2 作直线 OZ1 的平行线 l。 14、作 j 和 k 的交点 K，作 j 和 l 的交点 L。 15、以点 K 为中心、标记比值为 y 翻缩放点 X2，得 X 轴单位点 X1。 16、以点 L 为中心、标记比值为 y 翻缩放点 Y2，得 Y 轴单位点 Y1。 17、作直线 OX1、OY1。 18、以点 O 为中心、固定角度为 180.0°旋转点 X1，得点 X3。 19、以点 O 为中心、固定角度为 180.0°旋转点 Y1，得点 Y3。 20、以点 O 为中心、固定角度为 180.0°旋转点 Z1，得点 Z3。 21、在直线 OX1 上作一点 X。作线段 XX3 并以粗线显示。在极坐标形式下按固定距离 为 0.8 厘米、固定角度为 180°平移点 X，得点 X4。以点 X 为圆心、X4 为圆上一点作圆。作 圆和线段 XX3 的交点 R。以点 X 为中心、固定角度为 30.0°旋转点 R，得点 R1。以点 X 为 中心、固定角度为-60.0°旋转点 R1，得点 R2。以点 X 为中心、固定比为 70.0%缩放点 R， 得点 R3。依次选中点 X、点 R1、点 R3、点 R2，作四边形内部，并着上黑色。 22、在直线 OY1 上作一点 Y。作线段 YY3 并以粗线显示。在极坐标形式下按固定距离 为 0.8 厘米、固定角度为 180°平移点 Y，得点 Y4。以点 Y 为圆心、Y4 为圆上一点作圆。作 圆和线段 YY3 的交点 S。以点 Y 为中心、固定角度为 30.0°旋转点 S，得点 S1。以点 Y 为 中心、固定角度为-60.0°旋转点 S1，得点 S2。以点 Y 为中心、固定比为 70.0%缩放点 S，得 点 S3。依次选中点 Y、点 S1、点 S3、点 S2，作四边形内部，并着上黑色。 23、在直线 OZ1 上作一点 Z。作线段 ZZ3 并以粗线显示。在极坐标形式下按固定距离为 0.8 厘米、固定角度为 180°平移点 Z，得点 Z4。以点 Z 为圆心、Z4 为圆上一点作圆。作圆 和线段 ZZ3 的交点 T。 以点 Z 为中心、 固定角度为 30.0°旋转点 T， 得点 T1。 以点 Z 为中心、 固定角度为-60.0°旋转点 T1，得点 T2。以点 Z 为中心、固定比为 70.0%缩放点 T，得点 T3。 依次选中点 Z、点 T1、点 T3、点 T2，作四边形内部，并着上黑色。 24、 按标记向量 OX1 平移点 X1 得点 X5，作移动 X 到 X5 的移动按钮。按标记向量 OY1 平移点 Y1 得点 Y5，作移动 Y 到 Y5 的移动按钮。按标记向量 OZ1 平移点 Z1 得点 Z5，作移 动 Z 到 Z5 的移动按钮。在极坐标形式下按固定距离为 4 厘米、固定角度为 0°平移点 E，得 点 E1，作移动 F 到 E1 的移动按钮。以点 A 为中心旋转点 A1 角度为 90°得点 A2，作点转 到 A2 的移动按钮。 以点 A 为中心旋转点 A1 角度为 40°得点 A3， 作点翻到 A3 的移动按钮。48以点 A 为中心旋转点 A1 角度为 225°得点 A4，作点移到 A4 的移动按钮。作上述移动按钮 的系列按钮，标签为复位。 五、立体图形的三视图 在三维坐标系中构造一条线段分别到水平面、竖直平面和侧平面的投影。 1、绘制任意旋转的三维坐标系。 2、将点 X 按标记向量 OZ 平移，得点 X/；作线段 XX/、X/Z；作 O1XX/Z 内部并着上浅颜色。 3、将点 Y 按标记向量 OZ 平移，得点 Y/；作线段 YY/、Y/Z；作 O1YY/Z 内部并着上浅颜色。 4、将点 Y 按标记向量 OX 平移，得点 Y//；作线段 YY//、Y//X；作 O1YY//X 内部并着上浅颜 色。 5、在线段 XY//上作一点 U，在线段 OY 上作一点 L，作线段 LU，在线段 LU 上任取两点 V、 W，作线段 VW 并用粗线显示。 6、分别过 V、W 作 OZ 的平行线，分别在平行线上各取一点 R、S，作线段 RS 并用粗线显 示。 7、过 V、W 作 OY 的平行线，分别交 OX 于点 A1、B1。让点 A1 按标记向量 VR 平移，得点 A1/。让点 B1 按标记向量 WS 平移，得点 B1/。作线段 A1/B1/并用粗线显示。 8、过 V、W 作 OX 的平行线，分别交 OY 于点 A2、B2。让点 A2 按标记向量 VR 平移，得点 A2/。让点 B2 按标记向量 WS 平移，得点 B2/。作线段 A2/B2/并用粗线显示。 六、空间曲面的制作 以下是一个绘制空间曲面的通用方法。改变 Z 的函数式，就可以绘制出相应的空间曲面。 改变参数 N 的值，可以改变曲面网格线的密度。在使用前，要求将角度单位改为弧度，轨迹 的样本数量改为 50000。下面以绘制马鞍面 Z=X2/3-Y2/2 为例。 1、绘制任意旋转的三维坐标系。 2、作线段 VD，作其中点 0，在线段 VD 上取一点 1。 3、作线段 WE，作其中点 0，在线段 VD 上取一点 1。 4、作线段 SF，作其中点 G，在线段 VD 上取一点 H。 5、新建参数 N=45。 6、度量 GH / GS 的比，标签为 M1。 7、度量 GH / GF 的比，标签为 M2。 8、计算(sgn(M1)?+1)/2，标签为 M3。 9、计算(sgn(M2)?+1)/2，标签为 M4。 10、计算 M3*(M1*(N+1)-trunc(M1*(N+1)?))+M4*trunc(M2*(N+1))/N。4911、 以点 V 为中心、 标记比值为 M3*(M1*(N+1)-trunc(M1*(N+1)?))+ M4*trunc(M2*(N+1))/N 缩放点 D，得点 D/。 12、度量 0D/ / 01 的比，标签为 X1。 13、计算 M4*(M2*(N+1)-trunc(M2*(N+1)?))+M3*trunc(M1*(N+1))/N。 14 、 以 点 W 为 中 心 、 标 记 比 值 为 M4*(M2*(N+1)-trunc(M2*(N+1)?))+M3*trunc(M1*(N+1))/N 缩放点 E，得点 E/。 15、度量 0E/ / 01 的比，标签为 Y1。 16、计算 sqrt(2)*cos(X1)*cos(Y1)，标签为 X。 17、以点 O 为中心、标记比值为 X 缩放点 X1，得点 X1/。 18、计算 sqrt(2)*cos(X1)*sin(Y1)，标签为 Y。 19、以点 O 为中心、标记比值为 Y 缩放点 Y1，得点 Y1/。 20、计算 X2/3-Y2/2，标签为 Z。 21、以点 O 为中心、标记比值为 Z 缩放点 Z1，得点 Z1/。 22、 将点 X1/按标记向量 OY1/平移， 得点 X1//； 将点 X1//按标记向量 OZ1/平移， 得点 X1///。 23、选中点 X1///和点 H，作轨迹，得空间曲面。范例 87：细分平面法作三维曲面 z ? x 2 ? y 2 以下是另一个绘制空间曲面的通用方法。改变 Z[1]和 Z[2]的函数式，就可以绘制出相应 的空间曲面。 改变参数 n 的值， 可以改变曲面网格线的密度。下面以绘制曲面 Z=(X^2)+(Y^2) 为例。 1、作线段 AB，在线段上任作一点 C。 2、依次选中点 A、B、C，度量比 AC/AB，改标签为 t。 3、新建参数 n=45，新建参数 r=2。 4、计算tru n c ( n ? t ) n ?1 tru n c ( n ? t ) co s ? ? n ? t ? tru n c ( n ? t ) ? ? 3 6 0 ?? 、 5、计算 x1 ? r ? n ?1 tru n c ( n ? t ) 2 2 y1 ? r ? sin ? ? n ? t ? tru n c ( n ? t ) ? ? 3 6 0 ?? 、 z1 ? x1 ? y1 n ?1， n ? t ? trunc ( n ? t ) ， ? n ? t ? tru n c ( n ? t ) ? ? 3 6 0 ? ，tru n c ( n ? t ) n ?1? 360?6、参考前法作出三维坐标系。 7、以三维坐标系的原点为缩放中心，分别以 x1、y1、z1 为缩放比缩放单位点 x1、y1、z1， 得点 x?、y?、z?。508、 以向量 0y?平移 x?得点 x??， 以向量 0z?平移 x??得点 x???。 以点 C 为主动点构造 x??? 的轨迹。 9、计算 x 2 ? r ? [ n ? t ? tru n c ( n ? t )] co s[y 2 ? r ? [ n ? t ? tru n c ( n ? t )] sin [ n ?1 tru n c ( n ? t ) n ?1 ? 3 6 0 ?]、2 2tru n c ( n ? t )? 3 6 0 ?] 、 z 2 ? x2 ? y 210、以三维坐标系的原点为缩放中心，分别以 x2、y2、z2 为缩放比缩放单位点 x1、y1、 z1，得点 x?、y?、z?。 11、 以向量 0y?平移 x?得点 x??， 以向量 0z?平移 x??得点 x???。 以点 C 为主动点构造 x??? 的轨迹。51
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