用反证法证明一定能推出矛盾吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-06 16:57 标签： 反证法怎么假设
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反证法推出的结论可能与反设矛盾吗
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反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即：肯定题设而否定结论,从而得出矛盾.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明.在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”.所以,反证法就是要证明推出结论和假设矛盾,这样才能说明假设不成立,所以原来的命题才成立.这是在当正面不能证明一个命题时的惯常用法
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文档介绍：
课时训练 6 反证法 1. 关于反证法的说法正确的有( ). ①反证法的应用需要逆向思维; ②反证法是一种间接证明方法, 否定结论时, 一定要全面否定; ③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾; ④使用反证法必须先否定结论, 当结论的反面出现多种可能时, 论证一种即可. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④解析: 反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾,故③不正确. 从而排除 B,C,D 选项. 答案:A2. 下列命题不适合用反证法证明的是( ). A. 同一平面内, 分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B. 两个不相等的角不是对顶角 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 已知 x,y ∈R,且 x+y&2, 求证:x,y 中至少有一个大于 1 解析:A 中命题条件较少, 不足以正面证明;B 中命题是否定性命题, 其反设是显而易见的定理;D 中命题是至少性命题, 其结论包含多个结论, 而反设只有一个结论. 答案:C3. 对于定义在实数集 R 上的函数 f(x ), 如果存在实数 x 0,使f(x 0) =x 0, 那么 x 0 叫做函数 f(x) 的一个好点. 已知函数 f(x) =x 2+2 ax+ 1 不存在好点, 那么 a 的取值范围是(). A. B. C. (-1,1) D. (-∞,-1) ∪(1,+ ∞) 解析:若 f(x)=x 2 +2ax+1 存在好点,则x 2 +2ax+1=x 有解,即x 2 +(2a-1)x+1=0 有解, 此时Δ=4a 2- 4a-3 ≥0?a≤-或a≥.∴ f(x)=x 2 +2ax+1 不存在好点时, a 的取值范围是 a∈. 答案:A4.若 a,b,c&0, 则3 个数 a+ ,b+,c+ 的值( ). A. 都大于 2 B. 至少有一个不大于 2 C. 都小于 2 D. 至少有一个不小于 2 解析: 利用反证法和均值不等式证明. 答案:D5. 有以下结论:①已知 p 3 +q 3 =2, 求证 p+q ≤ 2, 用反证法证明时, 可假设 p+q ≥ 2; ②已知 a,b∈R, |a|+|b|& 1, 求证方程x 2 +ax+b= 0 的两根的绝对值都小于 1, 用反证法证明时可假设方程有一根 x 1 的绝对值大于或等于 1, 即假设|x 1|≥1. 下列说法中正确的是( ). A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确,②的假设错误 D.①的假设错误,②的假设正确解析: 用反证法证题时一定要将对立面找全.在①中应假设 p+q&2, 故①的假设是错误的.而②的假设是正确的, 故选 D. 答案:D[ 6. 命题“ a,b 是实数,若|a-1|+|b-1|=0, 则 a=b=1 ”用反证法证明时应假设为. 解析:“ a=b=1 ”即“ a=1且 b=1 ”, 所以其否定应为“a≠1或b≠1”. 答案:a≠1或b≠17. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠ A+∠ B+∠ C=90 ° +90 °+∠ C&180 °, 这与三角形内角和为 180 ° 矛盾, 故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ ABC 中有两个直角, 不妨设∠ A=90 °,∠ B=90 °. 上述步骤的正确顺序为. 解析: 由反证法的步骤可知, 正确顺序为③①②. 答案: ③①② 8. 设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 则 a,b,c 中至少有一个数不小于. 解析:由 a,b,c 这三个数的和为 1, 可猜想 a,b,c 中至少有一个数不小于, 证明如下: 假设 a,b,c 都小于,则 a&,b&,c&, ∴ a+b+c&1, 这与 a+b+c=1 矛盾.∴假设不成立,∴ a,b,c 中至少有一个数不小于. 答案:9. 已知数列{a n}和{b n} 的通项公式分别为 a n=3 n+ 6,b n=2 n+ 7(n∈N *). 将集合{ x|x=a n,n∈N *}∪{ x|x=b n,n∈N *} 中的元素从小到大依次排列, 构成数列 c 1,c 2,c 3,…,c n,…. (1) 求c 1 ,c 2 ,c 3 ,c 4; (2) 求证: 在数列{c n}中, 但不在数列{b n} 中的项恰为 a 2 ,a 4,…,a 2n,…. (1) 解:c 1 =9,c 2 =11,c 3 =12,c 4 =13. (2) 证明:∵数列{c n}由{a n}、{b n} 的项构成, ∴只需讨论数列{a n} 的项是否为数列{b n} 的项. ∵对于任意 n∈N *,a 2 n-1= 3(2 n- 1)+6=6 n+3=2 (3 n- 2)+7 =b 3 n-2,∴a 2 n-1是{b n} 的项. 下面用反证法证明:a 2n 不是{b n} 的项. 假设 a 2n 是数列{b n} 的项,设a 2n =b m,则 3·2 n+6=2 m+ 7, m=3 n-,与m∈N * 矛盾. ∴结论得证. 10. 已知 a,b,c ∈(0,1), 求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个不大于. 证法一: 假设三式同时大于, 即(1-a)b&,(1-b)c&,(1-c)a&, 三式相乘,得(1-a)a · (1-b)b · (1-c)c&. 又(1-a)a ≤, 同理(1-b)b ≤,(1-c)c ≤, 以上三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c ≤, 这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c& 矛盾, 故结论得证. 证法二: 假设三式同时大于. ∵ 0&a&1, ∴ 1-a&0 .故. 同理. 三式相加,得, 矛盾,∴原命题成立.1
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解析:根据反证法的意义及解题经验归纳.答案:与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾,与已知条件相矛盾,与假设自相矛盾等.
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