分类计数原理与分布计数原理的教学设计
分类计数原理与分布计数原理的教学设计
教学目标：
1.知识目标
&①.理解分类计数和分步计数原理，知道何时分类、何时分布。
②.能分别运用两个基本原理解决简单问题。
③.能综合运用两个原理解决实际问题。
2.能力目标：①.进一步发展归纳、类比、等能力；
②.通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养应用数学的能力．
教学重点：理解分类计数原理和分步计数原理，知道何时分类、何时分布。
教学难点：能综合运用两个原理解决实际问题。
教学过程：
一.新课引入
1.问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐汽车。一天中火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？&&&&&&&&&&&&
&推导&&&&&&&
分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=
m1+ m2+…+ mn 种不同的方法。
2.问题2：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
推导&&&&&&&
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=
m1& m2 & … & mn种不同的方法。
二．讲授新课
1.思考：这两个原理有什么共同点和不同点？
2.两个原理的类比：
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成。
不同点：如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理（分类加）
如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理（分步乘）
3.结合上述类比，归纳特点，强化理解。
三．典型例题
例1.书架的第一层放有4
本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。
⑴从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？&
⑵从书架的每层各取一本书，共有多少种不同的取法？
解：（教师分析后，学生回答，教师板书）（1）4+3+2=9
（2）4&3&2=24
例2.一种密码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？（各位上的数字可以重复）
解：（教师分析后，学生回答，教师板书）10&10&10&10=10000
（结合上面的2个例题，继续引导学生进行两个原理的类比，从而加深对两个原理的理解和记忆。）
1.一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？
解：5+4=9（分类加）
2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书，3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？
解：2+2+3=7（分类加）
3.乘积& ( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2
+ b3& + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 +
ｃ5& )展开后共有几项？
解：3&4&5=60（分步乘）
例3&&&&&&&&&
要从甲、乙、丙3名工人中选出2人，分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
解：（分步乘）
&1.书架的上层放有 5
本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1
本书的不同取法的种数是（& A&
A.&& 5 + 6＋4 =
B. 1& &&C.
6&5&4& = 120&
2.在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是
&A.& 1 + 1 + 1 =
3&& B.5 + 6 + 4
=15& C.& 5&6&4&
= 120& D. 1
从5名同学中选出1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？（ B
A.&& 5 + 4 =
B. 5&4& = 20&
&&&&&&&&&C.
4.从1、5、9、13中任取一数作分子，4、8、16中任取一数作分母。能得到几个不同的分数？
解：4&3=12
5.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 (&
&&&&&&&&B.64
&&&&&&&&&&&&C.81&&&&
四．课堂小结
1.分类计数原理的理解和记忆。
2.分步计数原理的理解和记忆。
3.分类计数与分步计数原理的异同点，即分类加、分步乘
五．布置作业
2.《数学之友》T10.1
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2018版最新高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随 机变量及其分布 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训 理 新人教A版.doc 3页
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2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24B．18C．12D．9答案：B解析：由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法，故选B.2．[2016·新课标全国卷]定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)A．18个B．16个C．14个D．12个答案：C　解析：由题意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有11,11,01,01,10101，共14个．3．[2016·四川卷]用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)A．24B．48C．60D．72答案：D解析：由题意可知，个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.4．[2015·四川卷]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　)A．144个B．120个C．96个D．72个答案：B解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．课外拓展阅读应用两个计数原理求解涂色问题[典例]　如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．[审题视角]　染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．[解析]　解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．解法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色．第一步，点S染色，有5种方法；第二步，点A染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，点B染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，点C染色，也有3种方法，但考虑到点D与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类：当A与C同色时，点D有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以点C有2种染色方法，点D也有2种染色方法．所以不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．解法三：按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A＋2×A＋A＝420(种)．[答案]　420方法点睛两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略题型 求解策略
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涂色问题 一般有两种方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数
简单的选择问题 根据具体情况先合理分类，每类中再分步完成，要关注特殊元素
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高中数学 分类计数原理与分布计数原理的探究知识分析 新人教A版必修3
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　　　　用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分布计数原理对问题进行分类或分布分析求解，如何灵活利用两个原理对问题进行分类或分布往往是解决排列、组合及概率应用题的关键。　　一、如何正确的理解两个原理呢？　　⑴分类计数原理：该原理是对涉及完成某一件事的不同类方法种数的计数方法，每一种方法都可以完成这件事；每一类的各种方法都是相互独立的。　　⑵分步计数原理：该原理是对涉及完成某一件事的各个步骤不同种方法的计数方法，完成一件事有n个步骤，各个步骤相互依存，一个步骤的任何一种方法都不能独立完成这件事；完成这件事的每一中方法都应视为有n个步骤。　　⑶两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分布”有关，各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。　　二、如何选用分类计数原理与分布计数原理呢？　　在处理应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分布”，确切的说，要根据元素的不同性质进行“分类”，首先要根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而仅属于某一类，即：“类”与“类”间的确定性与并列性；根据事件发生您所在位置： &
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§10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中有m种不同的方法……在第n类方案中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个步骤做第1步有m种不同的方法做第2步有m种不同的方法……做第n步有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题各个步骤中的方法______________只有______________才算做完这件事．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数最后用分类加法计数原理求和得到(2)分步要做到“______________”即完成了所有步骤恰好完成任务当然步与步之间要______________分步后再计算每一步的方法数最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．自查自纠＋m＋…＋m相互独立　任何一种方法　互相依存4．(1)不重不漏　(2)步骤完整　相互独立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将5封信投入3个邮筒不同的投法共有(　　)种．种．种．种解：第1封信可以投入第1个邮筒可以投入第2个邮筒也可以投入第3个邮筒共有3种投法；同理后面的4封信也都各有3种投法．所以封信投入3个邮筒不同的投法共有3种．故选()满足a－1且关于x的方程ax＋2x＋b0有实数解的有序数对(a)的个数为(　　)解：当a＝0时＋b＝0＝－有序数对(0)有4个；当a≠0时＝4－4ab≥0有序数对(－1)有4个(1，b)有3个(2，b)有2个．综上共有4＋4＋3＋2＝13个有序数对故选()高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践但去何工厂可自由选择甲工厂必须有班级要去则不同的分配方案有(　　)种．种．种．种解：三个班去四个工厂不同的分配方案共4种甲工厂没有班级去的分配方案共3种因此满足条件的不同的分配方案共有4－3＝37(种)．故选某校高一有6个班高二有7个班高三有8个班．现选两个班的学生参加社会实践活动若要求这两个班来自不同年级则有不同的选法____________种．解：先分类再分步共有不同的选法：6×7＋7×8＋6×8＝146种．故填146.()某高三毕业班有40人同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．解法一：根据题意每一位同学都要给除他之外的39名同学写毕业留言共有40×39＝1560条．解法二：由题意得所求为＝1560即全班共写了1560条毕业留言．故填1560.类型一　分类与分步的区别与联系　甲同学有若干本课外参考书其中有5本不同的数学书本不同的物理书本不同的化学书．现在乙同学向甲同学借书试问：(1)若借一本书则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本都可以完成这件事情．故用分类计数原理共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法．(2)需完成的事情是“每科各借一本书”意味着要借给乙三本书只有从数学、物理、化学三科中各借一本才能完成这件事情．故用分步计数原理共有5×4×3＝60(种)不同的借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”要分三种情况：①借一本数学书和一本5×4＝(种)借法；②借一本数学书和一本化学书同理由分步计数原理知有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书同理由分步计数原理知有4×3＝12(种)借法．而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情由分类计数原理知共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法．仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法n类办法彼此之间是相互独立的无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤缺一不可即需要依次完成n个步骤才能完成这件事而完成每一个步骤各有若干种不同的方法求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．　有一项活动需在3名老师名男同学和8名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少
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