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（线性代数）矩阵特征值之积等于行列式值？
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（线性代数）矩阵特征值之积等于行列式值？
1、为什么方阵特征值之积等于行列式值？2、为什么方阵的对角元素之和等于特征值和？烦请高人给出证明过程或较易理解说明。
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这个 是用 根和系数的关系 我也不会严格证明&&这个不会考
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& &我发现证明定理，会学到意想不到的东西于是乎，我想证明这个定理。
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本帖最后由 yuanhang318 于
00:23 编辑
把A的特征多项式的两种特种多项式分别展开对比
|λE-A|的λ^n-1项的系数是-（a1+.......+an)(只能取对角线上元素相乘）,令λ=0，得到常数项是|-A|=（-1）^n|A|
(λ-λ1)*.....(λ-λn)的λ^n-1项的系数是-（λ1+.......+λn),令λ=0，得到常数项是（-1）^nλ1*.......λn
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feidegenggao
& & 是 只是有时候连一些明知道要考 但是特别烦躁内容的我都懒得去想 比如说那个微分方程特解的确定 我现在都不会 也不想去搞懂了
到时候只能用观察法了 观察不出就不要那分了 哈哈& &别鄙视我&&
另外 楼上正解
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yuanhang318
& &非常感谢您的热心，这么晚回复。O(∩_∩)O~
”(λ-λ1)*.....(λ-λn)的λ^n-1项的系数是-（λ1+.......+λn),令λ=0，得到常数项是（-1）^nλ1*.......λn“
这句话中的”(λ-λ1)*.....(λ-λn)“是A的特征多项式的特种展开式吗？怎么回事儿？
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& &，你说的也很对
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feidegenggao
& & 嘿嘿 可能没这种说法吧 但它展开来应该就是和特征多项式一样的 不影响理解呵
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内容不能少于3个字
方程组的几何解释
乘法和逆矩阵
转置-置换-向量空间R
列空间和零空间
求解Ax=0：主变量、特解
求解Ax=b：可解性和解的结构
线性相关性、基、维数
四个基本子空间
矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
正交向量与子空间
子空间投影
投影矩阵和最小二乘
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
[第18课]行列式及其性质
行列式及其性质
行列式公式和代数余子式
克拉默法则、逆矩阵、体积
特征值和特征向量
对角化和A的幂
微分方程和exp(At)
马尔可夫矩阵;.傅立叶级数
对称矩阵及正定性
复数矩阵和快速傅里叶变换
正定矩阵和最小值
相似矩阵和若尔当形
奇异值分解
线性变换及对应矩阵
基变换和图像压缩
单元检测3复习
左右逆和伪逆
学校：麻省理工学院
讲师：Gilbert Strang
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：“线性代数”，同微积分一样，是高等数学中两大入门课程之一，不仅是一门非常好的数学课程，也是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识，侧重于那些与其他学科相关的内容，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。
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线性代数（10）
第三节&行列式按行(列)展开
一．数学概念
余子式和代数余子式
在n阶行列式中，把元素&&所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素&&的余子式，记作&&，记
&叫做元素&&的代数余子式。
二．原理，公式
引理&&一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除&&外都为零，那么这行列式等于&&与它的代数余子式的乘积。
定理3.1&&行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
或&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
推论&&行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
范德蒙德(Vandermonde)行列式
三．重点，难点分析
本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零，而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。
Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式，但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难，当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。
四．典型例题分析
例2．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1，求m,k。
解：这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解：本题从表面上它不是Vandermonde行列式，但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式，将D的第1列分别乘&&加到第3列，得
第四节&克拉默法则
一．数学概念
1．非齐次线性方程组
其中右端的常数项&&不能全为零。
2．齐次线性方程组
二．原理，公式和法则
克拉默法则
设非齐次线性方程组
若方程组(1)的系数行列式
则方程组(1)有唯一解
其中&&是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
定理4.1&&如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理4.1’&&如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理4.2&&如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2’&&如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
三．重点，难点分析
我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式，其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则，会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的区别，联系和应用。
四．典型例题分析
例1．解线性方程组
例2．问&&取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
解：由定理4.2’可知，若齐次线性方程组有非零解，则上式的系数行列式D＝0。而
由D=0，得&&=2,&&=5或&&=8。不难验证，当&&＝2,5或8时，题给齐次线性方程组确有非零解。
行列式的概念是基础。
行列式的性质是关键。
行列式的计算是重点。
用行列式解线性方程组是目的。
from: http://dec3./webcourse/t000022/teach/index.htm
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线性代数的关于行列式的性质
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性质1：行列式与它转置行列式相等.性质2：若行列式两行相同,则行列式为0 性质3：行列式中两行成比例,则行列式为0性质4：把行列式一行的倍数对应加到另一行,行列式值不变 性质5：对换行列式中两行位置,行列式反号.
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行列式&&&&在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。行列式的基本性质n阶行列式的性质：性质1：行列式与他的转置行列式相等。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。性质3：行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。推论：行列式中有两行（列）元素对应成比例时，该行列式等于零。性质4：行列式具有分行（列）相加性。推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。性质5：行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。[2]其它性质若A是可逆矩阵， 设A‘为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。行列式的展开余因式(英译：cofactor)又称“余子式”、“余因子”。参见主条目余因式对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n-1阶的行列式叫做M关于元素mij的子式。记作Mij。余因式为 Cij=（-1）^(i+j)*Mij代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij：记Aij=（-1）i+j&MijAij叫做（i，j）元aij的代数余子式行和列的展开一个n阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。这个公式又称作拉普拉斯公式，把n阶的行列式计算变为了n个n-1阶行列式的计算。行列式函数由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度特别当A为单位矩阵时，可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。
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《线性代数》（15）
1、矩阵的行列式定义
矩阵的行列式，determinate，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量；
二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的行列式
假设矩阵A为n维的方阵，定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。
可以沿着A的第一行来求取行列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是一个递归的定义，包含n项，每一项的正负号等于 （-1)的(i+j)次方。
实际上可以对A的任意一行、任意一列按上面的方法来求取行列式，可以挑选包含0比较多得行(列)。
3、矩阵标量乘法的行列式
当矩阵的某一行（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；
当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次方 * det(A)。
4、矩阵行列式的一些规律
1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)
2)如果矩阵A有两行（列）相等则，det(A) = 0
3)如果矩阵A将两行交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)
4)如果矩阵A进行行变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过行变换达到3)的效果，这个过程中会发生-1数乘某行。
5、上三角矩阵的行列式
所谓上三角矩阵，就是对角线以下的位置全部为零（aij=0 if i&j）；
上三角矩阵的行列式等于 &a11*a22*...*ann；
基于这个特性，可以通过行变换，把矩阵转换为上三角矩阵，再求行列式。
6、行列式与平行四边形面积
两个二维向量v1，v2，可以作为平行四边形的临边来定义一个平行四边形。两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平行四边形的面积 = det(A)的绝对值。
7、行列式作为面积因子
任意一个几何形状，面积为S；假如经过线性变换A，得到新的线性变换，则新几何形状的面积= S*det(A)的绝对值。
8、转置矩阵行列式
矩阵Am*n，如果将Aij与Aji的位置进行交换，得到一个新矩阵Bn*m，则B称值为A的转置矩阵。可见转置矩阵也是相互的，AB互为转置矩阵。
如果A、B互为转置矩阵，则有 det(A) = det(B)
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