三年级奥数教材
起航学校全国首家幸福教育倡导者成都起航文化学校 奥 数 培 训 教 材适合年级： 小学 三 年级编写： 起航数学小学教研-1-起航学校全国首家幸福教育倡导者目录第 一 第 二 第 三 第 四 第 五 第 六 第 七 第 八 第 九 第 十 讲 找规律填数（一） ------------------------------------------- - 5 讲 找规律填数（二） ------------------------------------------- - 7 讲 找规律填数（三） ------------------------------------------ - 10 讲 从数表中找规律 --------------------------------------------- - 12 讲 数线段---------------------------------------------------------- - 15 讲 数三角形------------------------------------------------------- - 17 讲 数长方形和正方形 ------------------------------------------ - 20 讲 加法的渐变运算-----凑整 ---------------------------------- - 23 讲 减法简便运算-----凑整 ------------------------------------- - 25 讲 加减法的速算与巧算 --------------------------------------- - 27 -第 十一 讲 添加运算符号（一） --------------------------------------- - 29 第 十二 讲 添加运算符号（二） --------------------------------------- - 31 第 十三 讲 横式算式谜（一） ------------------------------------------ - 33 第 十四 讲 横式算式谜（二） ------------------------------------------ - 35 第 十五 讲 竖式加减算式谜 --------------------------------------------- - 37 第 十六 讲 竖式乘除算式谜 --------------------------------------------- - 40 第 十七 讲 文字算式谜 --------------------------------------------------- - 43 第 十八 讲 填数阵图（一） --------------------------------------------- - 46 第 十九 讲 填数阵图（二） --------------------------------------------- - 49 第 二十 讲 不封闭路线上植树 ------------------------------------------ - 52 第二十一讲 封闭路线上植树 --------------------------------------------- - 55 -2-起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十二讲 与植树相关的问题(一) ------------------------------------- - 58 第二十三讲 数三角形------------------------------------------------------- - 61 第二十四讲 等量代换------------------------------------------------------- - 64 第二十五讲 用等量代换解应用题 --------------------------------------- - 66 第二十六讲 等差数列------------------------------------------------------- - 69 第二十七讲 配对求和------------------------------------------------------- - 72 第二十八讲 乘法的简便运算-------凑整 -------------------------------- - 74 第二十九讲 乘法的速算与巧算 ------------------------------------------ - 76 第 三十 讲 除法中的巧算 ------------------------------------------------ - 78 第三十一讲 乘除法的简便运算 ------------------------------------------ - 81 第三十二讲 数的整除------------------------------------------------------- - 84 第三十三讲 有余数的除法 ------------------------------------------------ - 88 第三十四讲 周期问题------------------------------------------------------- - 90 第三十五讲 个位数字是几 ------------------------------------------------ - 93 第三十六讲 时间与日期 --------------------------------------------------- - 96 第三十七讲 试商技巧------------------------------------------------------- - 99 第三十八讲 包含与排除 --------------------------------------------------- 102 第三十九讲 盈亏问题------------------------------------------------------- 105 第 四十 讲 鸡兔同笼------------------------------------------------------- 108 第四十一讲 平均数（一） ------------------------------------------------ 111 第四十二讲 平均数（二） ------------------------------------------------ 114 第四十三讲 和倍问题（一） --------------------------------------------- 117 -3-起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十四讲 和倍问题（二） --------------------------------------------- 120 第四十五讲 差倍问题（一） --------------------------------------------- 123 第四十六讲 差倍问题（二） --------------------------------------------- 126 第四十七讲 和差问题（一） --------------------------------------------- 129 第四十八讲 和差问题（二） --------------------------------------------- 131 第四十九讲 逆推问题------------------------------------------------------- 134 第 五十 讲 行程问题------------------------------------------------------- 137 第五十一讲 归一问题------------------------------------------------------- 140 第五十二讲 巧求周长------------------------------------------------------- 143 第五十三讲 长方形和正方形的周长 ------------------------------------ 146 第五十四讲 长方形和正方形的面积 ------------------------------------ 149 第五十五讲 年龄问题（一） --------------------------------------------- 152 第五十六讲 年龄问题（二） --------------------------------------------- 155 第五十七讲 定义新运算 --------------------------------------------------- 157 第五十八讲 最大和最小 --------------------------------------------------- 160 --4-起航学校全国首家幸福教育倡导者第一讲找规律填数（一）【专题精析】 按一定规律排列起来的一列数叫做数列。数列中从左到右第几个数叫做这个 数列的第几项。数列中项的个数可以无限多个，也可以有限多个。如何寻找数列 排列和变化规律，并依据这个规律来填写空缺的数呢？ 【例题精讲】 按照数列的变化规律，在括号里面填上适当的数。 （１）０，３，６，９，１２， （ ） ， （ ） ，２１； （２）０，３，８，１５， （ ） ，３５， （ ） ， （ ） ； ） ， （ ） ；（３）１０００，９７０，２００，１８０，４０，３０， （ （４）２，５，１１，２３，４７， （ 方法小结： ） ， （ ） ；【基础练习】 找出各数列的规律，在括号里面填数。 1、 （１）５，９，１３，１７，２１， （ （２）１，２，４，７，１１， （ ） ， （） ， （ ） ；） ；2、 （１）２，６，１８， （ （２）４，１２，３６， （） ，１６２， （ ） ， （） ；） ，９７２；3、 （１）１，２，５，１４，４１， （） ；（２）２，３，５，８，１３， （ ） ， （ ） ； 【拓展提高】 找出各数列的规律，在括号里面填数。 1、 （１）５，７，１１，１７，２５， （ ）-5-起航学校全国首家幸福教育倡导者（２）２２４，１９４，１６４，１３４， （） ， （） ；2、 （１）８，３，９，４，１０，５， （ ） ， （ ） ； （２）１，６，７，１２，１３，１８， （ ） ， （ ） ；3、 （１）１，２，４，４，９，８，１６，１６， （ （２）３，１，６，３，１２，４，２４，７， （） ， （ ） ， （） ； ） ；4、 （１）１，２，３，４，５，１２，７，４８， （ （２）１，８，２７，６４， （ ） ， （ ） ；） ， （） ；5、 （１）１，３，８，２２， （ ） ， （ （２）２，５，１０，１７，２６， （） ，４４８； ） ；-6-起航学校全国首家幸福教育倡导者第二讲【专题精析】找规律填数（二）一些图形中的数，也是按一定规律排列的，我们学习丛图形的组合与数的变 化中寻找规律，在图中空缺处填上适当的数。【例题精讲】在下列各图形中寻找数的变化规律，然后在空白处填上适当的数。 （１）3 54 9 2 62 36 3 745 140 1 7？？（２）29 11方法小结：79 2 9 8 423 4 5？12 367？【基础练习】 在下列各图形中寻找数的变化规律，然后在空白处填上适当的数。1、72、12 1 3 39 3 8311 5 4 52643？？231-7-3619起航学校全国首家幸福教育倡导者3、【拓展提高】 1、找规律填数。（1）19925514 17 ？（2）162 18 996 24 4180 12？ 263264 ？ 8？2、找规律填数。3 4 36 5 118 84 9 76？5 17 90 9？3、下图中第 68 个图形是☆还是○。-8-起航学校全国首家幸福教育倡导者○☆○○○☆○○○☆○○○☆○○??4、找规律填数。 （１）18 6 17 9 4 823 22 12 530 12 ？ 15 3？11 47 7 2（２）3 55、找规律填数。7 2013 5121 104？ ？-9-起航学校全国首家幸福教育倡导者第三讲【专题精析】找规律填数（三）有一类数列，它的每一项都是由一组数组成，例如： （1，3，7） ， （2，6，14） ， （3，9，21） ，??的每一项都是 3 个由数组成，这类数列应该怎样找规律呢？【例题精讲】数列（1，3，7） ， （2，6，14） ， （3，9，21） ，??的每一项都是由 3 个数组成， 问这个数组的第 76 项内的三个数是多少？方方法小结：【基础练习】1、 一个数组的每一项都是由三个数组成，它们依次是（ 1 ， 5 ， 9 ） ， （ 2 ， 10 ， 18 ） ， （3,15,27）??问：第 93 个数组内的三个数是多少？2、在下面的数组中找出与其他数组规律不同的数来，划掉它们，并补上合 适的数。 （2，3，5） ， （4，6，10） ， （6，8，15） ， （8，12，20）3、一个数列的每一项由 4 个数组成，他们依次是（1，3，6，9） ， （1，6， 12，18） ， （1，9，18，27） ，??问：第 43 个数组内四个数的和是多少？- 10 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【拓展提高】1、先找规律，再填数。 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝×9＋5＝（ ） 1＝（ ） ＋7＝（ ） ＋8＝（ ） 2、在下面各题 5 个数中，选出与其他 4 个数规律不同的数，划掉它后在括 号中选出一个适合的数替换上。 （1） 64，30，16，48，24 （21，55，88，46，12）（2） 42，126，63，168，882（210，54，450，180，86）3、先观察各式，再按规律填数。 （1） 81－9＝72 （2） 21×9＝189 882－9＝873 321×9＝－9＝×9＝－9＝（ ） 54321×9＝（ ） ＝（ ） 21×9＝5 9 4、观察下面几道算式的规律，再进行计算。 11×21＝231 21×31＝651 31×41＝＝＝ 61×21＝ 71×31＝ 5、有一组数列 3，5，7，11，13，15，17。 （1）如果其中缺少一个数，这个数是几？应补在何处？（2）如果其中多一个数，这个数是几？为什么？- 11 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四讲 从数表中找规律【专题精析】运用数列中的一些规律，联系数表中每行、每列之间的规律，找出整个数表 的规律，解答所求的问题。【例题精讲】下面的图形是按一定规律排列的数学三角形， （1）请按规律填上空缺数字； （2）第 10 行第 4 个数是几？1 2 3 4 5 6 12 10 18 8 ( ) ( ) 6 12 20 30 4 9 16 25 36方法方法小结：【基础练习】 先观察下面的数表并按规律填空。 1、 2、1 3 4 5 5 5 7 （ 10 15 6 8 ）3、7 9 5 （2 7 4 ） 116 6 2 109 8 4 3- 12 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【拓展提高】1、下面的数表中，第 8 行左起第 6 个数是（1 3 7 13 21 31 … … 33 … 23 35 …1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1）5 9 11 17 25 37 … 27 39 … 19 29 41 …152、在空的○内填上适当的数。3、在口号里面填上适当的数。1 3 6 9 12 15 30 24 45 18 36 60 12 27 ( ) ( ) 6 18 36 60 904、 （1）在数表的括号里面填上适当的数。 （2）第 8 行第 4 个数是几？1 2 3 4 5 6 … … 16 … 13 ( ) … 10 21 36 … 7 16 ( ) 46 … 4 11 26 37 56 …- 13 -起航学校全国首家幸福教育倡导者5、下面的数表中，第 9 行第 6 个是几？1 2 4 7 11 16 … … 17 … 12 18 … 8 13 19 … 5 9 14 20 … 3 6 10 15 21 …- 14 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第五讲 数线段【专题精析】下图中有多少条线段呢？ 要想不重复也不遗 漏地数出一共有多少条线段，那么就必须有次序、有条理地去数，才能得到正确 的结果。【例题精讲】 下图有多少条线段？A B C D E F方法小结：【基础练习】1、数一数，下列图形中有多少条线段？ABCDEABCDEFG2、A B C E F D G HE H G A C B D JF- 15 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、【拓展提高】1、数出图中有多少条线段？A DF BEC2、数出图中有多少条线段？A1 A2 A3 A4 A5……A19A20 A213、数出图中有多少条线段？AA E G BHD FICBC4、从上海到徐州之间的长途车，除起点、终点外，还需要 8 个站。问： 汽车要准备几种不同的车票？5、以一条直线上 100 个点为端点的不同线段有多少条？- 16 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第六讲 数三角形【专题精析】 数三角形的方法和数线段的方法一样，也要按一定的顺序数，才 能做到不重不漏，从而得到正确的结果。 【例题精讲】 数出图中共有多少个三角形。ABCDEF方法小结：【基础练习】 1、 数一数下图各有多少个三角形？- 17 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、数一数、下图中各有多少个角？0 1 2 348 49 503、数一数、下图共有多少个三角形？【拓展提高】 1、 数一数、下图中有几个三角形？2、数一数、下图中有几个三角形？- 18 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、数一数、下图中有几个三角形？4、数一数、下图中有几个三角形？5、数一数、下图中有几个三角形？- 19 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第七讲 数长方形和正方形【专题精析】 数长方形和正方形的一般方法是先由数一个基本单位组成的 小长方形、正方形，再数由两个及以上长方形、正方形组成的长方形 或者正方形的个数，最后把它们加起来。 【例题精讲】 数一数、右图中有多少个长方形？方法小结：【基础练习】 1、 数一数，图中有多少个长方形？2、数一数，图中有多少个正方形？- 20 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、数一数，下图中有多少个长方形？【拓展提高】 1、 数一数，图中有多少个正方形？2、数一数，图中有多少个正方形？3、数一数，图中有多少个正方形？- 21 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、数一数，图中有多少个长方形？5、（1）数一数，图中有多少个带△的长方形△（2）数一数，包含☆的正方形有多少个？☆- 22 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第八讲 加法的渐变运算----凑整【专题精析】 同学们都希望在做计算题时，既能正确又迅速，掌握和灵活运 用加法交换律、加法结合律，能使运算变得简便快捷，同时，还要学 会“凑整”等巧算的方法？ 【例题精讲】 用简便方法计算下面各题 （1）＋568＋437 （2）1497＋65 （3）74＋44＋82方法小结：【基础练习】 1、 （1）74＋29＋126 （2）372＋164＋128＋336- 23 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、 （1）54＋397（2）299＋3383、 （1）79＋282＋121（2）188＋75＋812＋425【拓展提高】 用简便方法计算下面各题 1、 （1）965＋997 （2）482＋4982、 （1）17＋139＋83＋261＋88＋112（2）62＋198＋273＋234＋67＋863、 （1）9＋99＋999＋（2）1＋199＋19＋44、 （1）＋1987（2）347＋993＋955、 （1）86＋22＋197＋195（2）177＋777＋46- 24 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第九讲 减法简便运算-----凑整【专题精析】 在减法运算中，一个数连续减去几个数，等于这个数减去这几 个数的和。反之，一个数减去几个数的和，等于这个数连续减去几个 数。我们经常运用以上减法的性质通过凑整的方法来简化运算。 【例题精讲】 用简便方法计算下面各题 （1）476－398 （2）776－（311＋276）（3）700－89－11－78－22－67－33－56－44方法小结：【基础练习】 1、 （1）876－497 （2）2、 （1）－364（2）977－（54＋77）- 25 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、 （1）400－99－1－98－2－97－3－96－4（2）－137－284－116【拓展提高】 用简便方法计算下面各题 1、 （1）－132 （2）553－172－1532、 （1）827－（475－173）（2）1738－（723－262）3、 （1）8624－（653＋1624） （2）1997＋6－（1997－6）4、 （1）－357－78－643 （2）－552－1375、 （1）－95＋3997（2）916－297－98＋79- 26 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十讲 加减法的速算与巧算【专题精析】 在加减法的混合运算当中，为了使运算简便，有时可以改变运算 顺序，有时可以找基准数的方法。当遇到如：95＋59,73－37 这种球 轮换数的和与差，又可以怎样简便运算呢？ 【例题精讲】 计算下面各题。 （1）9318－（） （2）9－5－399－5 （3）94＋92＋88＋87＋90＋91＋85＋94＋93方法小结：【基础练习】 1、 （1）373－562＋472 （2）782－（534－218）2、 （1）972＋52－804－52＋804（2）849－828＋528－36－164 3、 （1）53＋48＋57＋47＋49＋58＋51＋52- 27 -起航学校全国首家幸福教育倡导者（2）72＋69＋67＋70＋68＋61【拓展提高】 1、 （1）－97 （2）875－（347＋375）2、 （1）278＋71＋72＋267＋67＋69（2）254＋229＋272＋246＋2503、 （1）85＋58（2）74－47（3）98－894、 （1）（2）5、 （1）476＋459＋447＋465＋480＋475＋457＋473（2）－87－104－98－86－94－99－88－91- 28 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十一讲 添加运算符号（一）【专题精析】 很多同学玩过“算 24 点”的游戏，取 4 张扑克牌。运用“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷”得出结果 24.现在我们学习添加运算符号，很像 “算 24 点”游戏，也是在几个数字之间添上运算符号，使算式得到 题目给出的结果来。这种游戏需要开动脑筋，讲究一定的方法。 【例题精讲】 在 5 个 4 之间添上“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷”或括号，使组成 的算式得数是 12. 4 4 4 4 4＝12方法小结：【基础练习】 1、在 5 个 2 之间添上“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷”的运算符号， 使等式成立。 2 2 2 2 2＝5； 2 2 2 2 2＝5； 2 2 2 2 2＝5；2、在 5 个 3 中间添上适当的运算符号和括号，使等式成立。 3 3 3 3 3＝6； 3 3 3 3 3＝6； 3 3 3 3 3＝6- 29 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、在下面 4 个 4 中间添上适当的运算符号和括号，使等式成 立。 4 4 4 4＝2； 【拓展提高】 1、添上运算符号，使等式成立。 2 2 2 2 2＝1 2 2 2 2 2＝3 2 2 2 2 2＝5 2、添上运算符号、括号，使等式成立。 3 3 3 3 3＝7 3 3 3 3 3＝9 3 3 3 3 3＝8 3 3 3 3 3＝10 2 2 2 2 2＝2 2 2 2 2 2＝4 4 4 4 4＝2； 4 4 4 4＝2；3、添上运算符号、括号，使等式成立。 1 2 3 4＝1 2 3 5 6＝6 1 2 3 4＝1 2 3 5 6＝64、用以下的数字组成算式，使结果等于 24。 7 5 3 4； 4 4 4 4； 5 2 3 6； 8 9 3 1；5、把运算符号“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷”填入○内，加上括 号，使等式成立。 （1）5○7○8○12○4○2＝75； （2）6○18○3○7○2＝12； （3）6○12○5○15○4＝7；- 30 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十二讲 添加运算符号（二）【专题精析】 添加运算符号的题目中数字如果比较多，结果数据较大，用逆推 法就比较难解，可以考虑用“凑数法”来解，但如何解呢？ 【例题精讲】 在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成立。 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6＝1992方法小结：【基础练习】 在下面的算式中适当的地方添上运算符号，使等式成立。 1、 4 4 4 4 4 4 4＝1002、8 8 8 8 8 8 8 8＝10003、9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2011【拓展提高】 1、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成 立。- 31 -起航学校全国首家幸福教育倡导者（1）8 88 8 8 8 8 8 8＝1998；（2）8 88 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8＝19952、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成 立。 （1）7 7 ＝1993 （2）4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4＝ 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 73、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成 立。 （1）9 8 （2）1 2 7 6 5 4 3 2 1＝27； 3 4 5 6 7 8 9＝100；4、在□内添上“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷”符号，使等式成立。 （1）123□45□67□8□9＝100；（2）12□3□4□5□6□7□89＝100；5、在下面式子里面加上括号，使等式成立。 50×5＋350÷2＝300； 6＋36÷3－2×4－1＝149；- 32 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十三讲 横式算式谜（一）【专题精析】 算式谜是一种有趣的数学问题，这类题目的趣味性强，又能培养 思维和推理能力。这一讲学习如何把算式中不完整算式补充完整。 【例题精讲】 在下列算式中○、△、□、☆各代表一个数，求它们各自代表 的数。 （1）○×9＋18－○＝122 （3）4×9－☆÷11＝23 （2） （141－□）×8＝552 （4） △＋△－129÷3＝35－△方法小结：【基础练习】 1、下列算式中，○，□各表示什么数？ （1）57－○－9＝30 （2）87＋12－□＝182、在下列算式中，□，△，☆各表示什么数？ （1）80＋（□＋22）＝176 （2）△＋23－7＝54（3）☆×（28－13）＝135- 33 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、将数字 1~9 填入□内，使等式成立。 □＋□＝□ 【拓展提高】 1、在下列算式中，○，△，□，☆各代表一个数，求它们各 自代表的数。 （1）○＋○＋○－25＝11 （3）102－□－□＝□＋27 （2）85÷5－△＋8×△＝115 （4）9×☆＋5×☆＝252÷3 □－□＝□ □×□＝□2、在下列算式中的正方形中填入适当的数字，并要求等式中 没有重复的数字，使等式成立。 （1）162÷□＝□□ （2）756÷□＝□□□3、将数字 0,1,3,4,5,6 填入下面的□内，使等式成立，所填数 字不能重复。 □×□＝□2＝□□÷54、在下列各式的 立。 （1）6×中分别填入相同的两位数，使等式成＝2（2） 7×＝35、将 1~8 这 8 个数字填入下面算式的方格中，使等式成立，每个数 字仅用一次。□÷□＝□ □×□＝□□＋□- 34 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十四讲 横式算式谜（二）【专题精析】 前面我们学习了横式算式谜的方法，这一讲我们来解决一些比较 复杂的算式谜问题。 【例题精讲】 （1）如果□＋☆＝72，并且□－☆＝8，那么□和☆各表示什 么数？ （2）如果△＋○＝36，并且○＝△×3，那么△和○各表示什 么数？方法小结：【基础练习】 1、 （1） 如果○＋☆＝216， ○＝☆÷8， 那么○和☆各代表什么数？（2） 如果△＋☆＝189， △－☆＝3， 那么△和☆各代表什么数？2、在□里填上数字 1~9，使等式成立。 □÷□×□＝□□； □＋□－□＝□。- 35 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、将 2,3,4,6,7,9 填入下列□内，使下面算式成立。 □－□＝5； 10－□＝□； □＋□＝8。【拓展提高】 1、在下面方格里面填上同一个数字，使等式成立。 （1）□÷□＋□÷□＝2 （2） □＋□－□＋□×□＝122、把 0~7 这 8 个数字填入下列○中，使每个等式成立，每个 数字仅用一次。 ○＋○＝○○； ○×○＝○○。3、在□里最小填几时，下列不等式成立。 （1）72＜40＋□＜103； （2）6＜100－□＜40； 18＜□×3＜12； 17＜□×4＜50；4、将 1~9 这 9 个数字分别填入下面算式方格中，使等式成立， 每个数字仅用一次。 □÷□＝□□□÷□□＝□÷□ 5、在下列各式的□中填入合适的数，使等式成立。 （1）□÷27＝6?? 26； （2）851÷28＝□?? 11； （3）4797÷□＝38?? 47。- 36 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十五讲 竖式加减算式谜【专题精析】 竖式算式中缺少一些数字，就成了算式谜，要将它恢复成完整的 算式，需要找到解题的突破口。现在我们研究如何解加减算式谜。 【例题精讲】 在下列的空格中填入合适的数字，使算式成立。 （1） （2）7 ＋9 5 44 － 7 52 3 9 63 8方法小结：【基础练习】 在下面各题的空格里填上合适的数，使算式成立。 1、 （1） （2）83 ＋ 6 4 0 0 4 22、 （1）6 ＋ 4 8 2 5 0（2）2 ＋ 4 7 05 44 －- 37 -9 6 54 8 61 5起航学校全国首家幸福教育倡导者3、 （1）（2）61 ＋ 6 4【拓展提高】0 6 9 －4 2 9 191、在下面各题的空格里填上合适的数，使算式成立。 （1 ） （2）3 5 ＋ 2 1 52 － 88 6 5 73 9 52、 （1）已知两个四位数的差是 7432，那么这两个四位数的和 最大是多少？－ 7 4 3 2（2）用数字 0~9 组成下面的加法算式，每个数字只能用一 次，请把这个算式补充完整。＋7 4 9- 38 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、在下面各题方框内填入合适的数，使算式成立。 （1 ） （2）7 6 ＋ 3 4 1 － 9 5 ＋ 9 －164、在下面算式里，每一个方框代表一个数字。问：方框中的 数字总和是多少？ （1 ） （2）＋ 1 9 9 1＋ 2 9 9 15、在下面各题方框内填入合适的数，使算式成立。 （1 ） （2）9－9 2－ 8 ＋9 9 2- 39 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十六讲 竖式乘除算式谜【专题精析】 解决乘除算式谜题要比解决加减算式谜题难度更大，但解题的过 程更加有趣味。如何解呢，现在就来研究。 【例题精讲】 在线面竖式中，□代表什么数字时，算式才能成立？ （1 ） （2）7 7× 29 2 31 8方法小结：【基础练习】 1、在下面乘法算式的空格内，填上适当的数字，使算式成立。 （1 ） （2）×5×92 9 9 9 72、将 1~7 这 7 个数字分别填入空格中，使算式成立。8 ×- 40 -4起航学校全国首家幸福教育倡导者3、在下列□中填上合适的数，使算式成立。 （1 ） （2）7 ×【拓展提高】6 973 06 7 5在下面的□中填上合适的数字，使竖式成立。 1、 （1） （2）0 765 5 4 5 02、 （1）09 × 3 0 1（2）2 × 39 53、 （1）2 1 9 × 60（2）2 3 × 7 24、 （1）7 5 1（2）8 2 9 1- 41 -6起航学校全国首家幸福教育倡导者5、 （1）（2）5 4 × 3 2 45 96 5 7 0- 42 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十七讲 文字算式谜【专题精析】 有汉字或英文字母组成的算式称作文字算式谜，解答时就要将这 些文字或字母所代表的数字找出来。 【例题精讲】 右边的算式中每个汉字代表不同的数字。 当它们各代表什么数 字时，算式成立。生 学生 好学生 ＋ 三好学生 1 9 9 2方法小结：【基础练习】 1、下列各道竖式中，A，B，C 各代表什么数？ （1 ） （2）A B B B － C C C A- 43 -A A A ＋ A CB B B B A起航学校全国首家幸福教育倡导者2、下面各式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代 表相同的数字。问：当这些汉字代表什么数字时，竖式成立？ （1 ） （2）甲 乙 甲 ＋ 丁 丙 甲 丁丙 甲 乙校 学校 爱学校 ＋热爱学校 2 0 0 03、用不同数字表示不同的汉字，使竖式成立。 （1 ） （2）奥 数 参 赛 ＋ 奥 数 比 赛 参 赛 比 奥 赛【拓展提高】好 学 好 学 － 学 好 学 好 9 0 9用不同的数字代表不同的汉字或字母，使等式成立。 1、爱 爱 学 爱 学 习 ＋ 爱 学 习 人 1 9 9 32、爱 助 人 为 乐 × 4 乐 为 人 助 爱3、攀 登 科 学 技 术 高 峰 ×- 44 -峰攀 攀 攀 攀 攀 攀 攀 攀 攀起航学校全国首家幸福教育倡导者4、×我 爱 家 我 爱 家 6 0 25、盼 盼盼 盼 2 盼 盼 盼 盼盼 盼 盼 盼 0- 45 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十八讲 填数阵图（一）【专题精析】 数阵图就是将一些数据按照一定的要求排列而成的某种图形，填 数阵图是一种游戏，大数学家欧拉都有浓厚的兴趣，但游戏玩起来却 不简单轻松哦! 【例题精讲】 将 1~13 这 13 个数，填入图中○内，使交叉线上 5 个○内数的 和相等。并要求： （1）5 个○内数的和最小； （2）5 个○内数和最大。方法小结：【基础练习】 1、把 1~6 这 6 个数分别填入图中○内，使横行 3 个数和竖行 4 个数的和相等。- 46 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、把数字 1~9 这 9 个数字分别填入○内，使两条交叉线上 5 个数的和都是 24。3、将 1~7 这 7 个数填入图中 7 个○内，使每条边上 3 个数之 和相等，并要求： （1）3 个○内数的和最小； （2）3 个○内数的和最 大？【拓展提高】1、 将 2~7 这 6 个数字填入圆中的小圆内， 使每个大圆圆内四个数字和都 是 16.。 2、将 7~12 这 6 个数字分别填入三角形三边的○内，使得每条边上的和 都是 27。- 47 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、将 5~19 这 7 个数字填入空格中，使每一个正方形中的 4 个数字之和 为 47。4、将 3~15 这 13 个数字填入图中○内，使每条线上的 3 个数之和为 45。5、 （1）将 1~9 这 9 个数字填入图中□内，使每一条边上 4 个数之和等于 20。（2）将 13~20 这 8 个数分别填入图中正方形内，使大正方形每边上 3 个数之和为 48。- 48 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第十九讲 填数阵图（二）【专题精析】 通过上一讲的学习，同学们已经掌握了一些填数阵图的方法，现 在我们再来研究一些复杂的数阵图，它们又是如何来填数呢？ 【例题精讲】 把 5~11 这 7 个数分别填入图中的 7 个区域里，使每一圆圈里 的四个数之和都等于 29。方法小结：【基础练习】 1、把 2~8 这 7 个数字填入图中空缺部分，使每个圆里面的四个数 字之和都等于 17。2、把 1~7 这 7 个数字填入图中的○里，使每个大圆上的 4 个数字 之和都等于 13。- 49 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、将 7~14 这 8 个数字分别填入图中○里，使每个五边形上五个数字 之和都等于 50。【拓展提高】 1、把 1~7 这 7 个数字填入图中的○里，使每条线上 3 个数的和每 圆上 3 个数的和都等于 12。2、把 2,4,6,8,10,12,14,16,18 这 8 个数字填入图中□内，使每条横 线，竖线，斜线上 3 个数的和都等于 30。10- 50 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、把 1~9 这 9 个数字填入图中的○内，是每个大圆上的 4 个数字 之和都等于 17。4、把 1~9 这 9 个数字填入图中的○内，使每条线段上的 3 个数字 之和与两个四边形 4 个顶点上 4 个数字之和都是 18。5、把 1~9 这 9 个数字填入图中的○内，使 7 个三角形中每个三角 形顶点的数字之和都相等。- 51 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十讲 不封闭路线上植树【专题精析】 植树改造环境与现实生活关系越来越密切。根据不同的需要，采 用不同的植树方式，需要栽树的总棵树也不同。为了不浪费树苗和人 工，栽树前必须研究这一类“植树问题” 。 【例题精讲】 一条新拓宽的公路长 400 米，计划在公路的两旁植树，每隔 8 米植树一棵， （1）如果路的两端（起点和终点）各栽一棵，需要多少 棵树苗？（2）如果路只有一端栽树，需要多少棵树苗？（3）如果路 的两端都不栽树需要多少棵树苗？方法小结：【基础练习】 1、在校园里一条长 80 米的小路的一侧栽柏树，每隔 5 米栽一棵， 路的一端要栽树，问：一共需要多少棵树？- 52 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、一条公路长 3000 米，在公路的两旁每隔 8 米栽一棵树，两端 都栽，那么公路两旁一共需要栽树多少棵？3、在相距 243 米的两棵大树之间补栽 26 棵小树，每相邻的两棵 树之间的距离相等，问：植树的间隔是多少？【拓展提高】 1、有一条长 2250 米的公路，在公路的一侧每隔 15 米栽一棵梧桐 树，现在植树队运来 150 棵树苗，现分三种情况： （1）如果路的两端 都各栽一棵树； （2）如果路的两端只有一端栽一棵树； （3）如果两端 都不载树。问：在这三种情况下那一种情况的树苗刚好够？那一种情 况的树苗会多，多几棵？哪一中情况的树苗不够，差几棵？- 53 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、一条街道的两边从头到尾，每隔 6 米埋一根路灯，每 2 根路灯 中间栽一棵树，街道两边共栽 200 棵树，问街道长多少米？一共埋了 多少根电线杆子？3、绿化队在路旁栽树，每 9 棵之间的距离是 112 米，照这样计算 28 棵树之间的距离是多少米？4、一位老爷爷在路上匀速的散步， 从路旁第一棵树走到第 7 棵树 用了 6 分钟，如果老爷爷走 16 分钟应该走到第几棵？如果这条马路 的两侧从头到尾共有 60 棵树，老爷爷来回一趟需要多少分钟？5、公路的一边每隔 12 米栽一棵杨树，小豪骑自行车 6 分钟共看 到 176 棵树。问：小豪每分钟骑多少米？- 54 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十一讲 封闭路线上植树【专题精析】 漫步在桃红柳绿的湖边，一定感到非常的舒适。环湖栽树的问题 就是在封闭的路线上植树的问题。 封闭路线上植树与不封闭路线上植 树有什么不同呢？ 【例题精讲】 新建一座水库，计划环着它每隔 24 米栽一棵柳树，每相邻的 两棵柳树之间等距离在 2 棵桃树，水库周长是 4300 米。问：该水 库的周围需要栽多少了柳树苗？多少棵桃树苗？相邻的两棵桃树 之间的距离是多少米？方法小结：【基础练习】 1、街心圆形花坛的周长是 168 米，每隔 8 米栽一棵杏树。问：该 花坛的周围需要栽多少棵杏树？- 55 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、一个圆形花台，每隔 4 米摆一盆兰花，每两盆兰花之间摆一盆 月季花，共摆 60 盆花。问：这个花台的周长是多少米？3、一个圆形池塘，它的周长是 330 米，每隔 6 米栽 1 棵芍药花， 每相邻的两棵芍药花之间栽 2 棵月季花。问：该池塘周围可以载多少 棵芍药花？多少棵月季花？【拓展提高】 1、某湖泊周围筑成周长为 7896 米的林堤，在堤上每隔 8 米栽一 棵柳树，在相邻的两棵之间每隔 2 米栽一棵桃树，那么该湖四周栽柳 树、桃树多少棵？2、有一块三角形草坪，草坪的三边分别长 60,84,102 米。在草坪 的周围每隔 6 米栽一棵树，在相邻的两棵树之间等距离栽两棵月季 花。问：这个三角形草坪周围一共栽了多少棵树？每两棵月季花相距 多少米？- 56 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、一个圆形池塘沿周围每隔 8 米插一面红旗，一共插了 64 面红 旗，每两面红旗之间插 3 面彩旗。问：池塘的周长水多少米？两面彩 旗之间的距离是多少米？4、有一个圆形水库，小明沿它走了一周是 1800 米，如果沿着这 一周每隔 9 米栽一个丁香花， 又在每两棵丁香花之间等距离在 2 棵月 季花。问水库周围一共栽了多少棵丁香花、月季花？两棵丁香花之间 的 2 棵月季花相距多少米？5、一个长 100 米，宽 40 米的长方形游泳池，在离它池边 4 米的 外围（仍是长方形）上每隔 2 米栽一棵树。问：游泳池周围一共栽了 多少棵树？- 57 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十二讲 与植树相关的问题(一)【专题精析】 有些问题从表面上看，并且有出现“植树”两字，但题目中的实 质同样是反映封闭线段，或不封闭线段的长度、有几个等分端点 、 每段长度，三者关系。如上楼梯就含有与植树问题类似的数量关系。 【例题精讲】 小雨与小豪同住一座高层楼房，一天中午放学时刚好停电，电梯 停运。他们同时从 1 楼往上走，大楼每层有 18 级台阶，小雨家住第 16 层楼。问：她一共要走多少级台阶？与小雨分手后，小豪还要走 90 级台阶，小豪家住几楼？方法小结：【基础练习】 1、某高楼从第 1 层到第 4 层共要走 45 级台阶，已知每一层的台 阶数相等，那么从该楼第 1 层到第 9 层共要走多少级台阶？- 58 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、某人要到一座大楼的第 8 层办事，如果从第 1 层走到第 4 层楼 共用了 48 秒，那么以同样速度到第 8 层，还需要多少秒才能到达？3、小雨要到高层建筑的某层，由于电梯停运，他走到了 5 层用了 120 秒，后来又以原速走了 360 秒。问：这时小雨到了第几层？【拓展提高】 1、旅游大厦共 42 层，每层有台阶 20 级。有一次大厦停电，有位 住 12 层的旅客 A 只好步行上楼， 旅客 A 要走多少级台阶才能到达他 住的那一层？另一位旅客 B 边走边数，当数到 320 级台阶时，抬头 一看正是他住的那一层，旅客 B 住在哪一层？- 59 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、小雨从大楼第 1 层走到第 5 层用 64 秒，小豪从第 1 层到第 5 层用 80 秒。问小雨走到第 11 层时，小豪走到第几层？3、兄妹俩比赛上楼梯，兄跑到第 7 层时，妹妹恰好跑到第 5 层， 照这样计算，兄跑到第 19 层，妹跑到第几层？4、小豪从大楼第 1 层跑到第 6 层用了 10 分钟，小妹的速度是小 豪的一半，问小妹跑到第 5 层要多少时间？5、姐妹俩一起爬一个有 420 级台阶的山坡，姐每步走 3 级台阶， 妹每步走 2 级台阶。问：从起点处开始姐妹俩走完这段路共踏了多少 个脚印？- 60 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十三讲 数三角形【专题精析】 木工师傅将一根长木料锯短，当锯开一处时木头断成 2 截，再锯 开一处??对照着看，锯木头的问题与植树问题是有关联的。 【例题精讲】 有一根长木料，把它锯成 6 段需要 20 分钟，现在要把它锯成 18 段需要多少分钟？方法小结：【基础练习】 1、把一根木头锯成 5 段要 8 分钟，如果锯成 14 段，那么需要用 多少分钟？2、一根木料锯成 4 段要 9 分钟，用同样的速度锯另一根木料，24 分钟可锯成多少段？- 61 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、将一根木料锯成 1 米长的若干小段，一共花了 9 分钟，已知锯 下一段需要 1 分钟。问：这段木料有多少？【拓展提高】 1、一位工人师傅锯一根长 17 米的钢管，他想把两头损伤的部分 分别锯下半米，然后锯了 7 次，锯成几根一样长的短钢管。问：每根 钢管厂多少米？2、 （1）时钟 4 点敲 4 下，用 12 秒敲完，那么 8 点敲 8 下，几分 钟敲完？（2）电工师傅把一捆电线剪成 9 米长的一段，剪了 11 次正好 剪完。问：这捆电线长多少米？3、一位师傅把 2 米长的钢材锯成每段 20 厘米用了 3 小时。如果 把同样长的钢材锯成每段长 25 厘米，那么需要多少小时？- 62 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、甲、乙、丙三组锯圆木，分别领了 5,4,3 米长的圆木，要把这 三种圆木豆锯成 1 米长的木段。 将圆木锯开一处需要的时间都是 7 分 钟，甲、乙、丙三组最后分别锯了 25,24,27 段。问：甲、乙、丙三组 锯圆木各用了多少分钟？5、文化节一列彩色车队共 42 辆，每辆车长 4 米，前后两车相隔 5 米，车队每分钟行 120 米。问：这列车队经过市中心 467 米的主会 场需要多少分钟？- 63 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十四讲 等量代换【专题精析】 有些题目中涉及存在某种相等数量关系的两个量，我们可以将一 种数量代换成另一种量，使题目中的量变得单一，从而把复杂变为简 单，就可以找到解题的途径。 【例题精讲】 下面是四架天枰。枰上有小狗，虫子，小鸟，小猫。请你算一 算，一个小狗的重量和几个小猫的重量相等？小狗 虫子小鸟小猫？方法小结：- 64 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【基础练习】 1、 ○＝？ 已知△＋△＋△＋○＋○＝28，○＝△＋△。问：△＝？，2、已知□＋□＝○＋○＋○，□＋□＋□＝☆＋☆，问：☆＋☆ ＋□＝？○，如果☆＝45，那么○＝？【拓展提高】 1、1 只小狗的重量＋1 只小猫的重量＝7 只鹅的重量； 2 只小猫的重量＝6 只鹅的重量； 1 只小狗的重量＝（？）只鹅的重量。2、加入 18 只兔子换 2 只羊，9 只羊可以换 3 头猪，8 头猪可以换 2 头牛，那么 5 头牛可以换多少只兔子？3、一条大鱼鱼尾重 2500 克，鱼头的重量等于鱼尾的加上鱼身一 半的重量， 而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。 问： 这条大鱼有多重？4、小羽花 13 元 2 角钱买 4 支签字笔和 5 本笔记本，已知 2 支签 字笔价格和 3 本笔记本价钱相等。问：1 支签字笔和 1 本笔记本的价 钱各是多少钱？- 65 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十五讲 用等量代换解应用题【专题精析】 两个完全相等的量可以相互代换，解应用题经常用到这种方法。 有些等量关系在题目中并不是很明显，通过观察、分析，才能把等量 关系弄明确。 【例题精讲】 18 只桶中的牛奶重量都相等，如果从每桶牛奶中倒出 16 千克牛 奶， 那么 18 只桶中所剩下牛奶的总量就等于原来 12 只桶中的牛奶的 重量。问：原来每只有牛奶多少千克？方法小结：【基础练习】 1、将一堆水果糖装满 15 只同样盒子的包装盒，如果从每个包装 盒里各取出 120 粒水果糖，那么 15 只包装盒所剩下的糖果正好可装 满 9 只包装盒。问：原来每只包装盒有水果糖多少千克？- 66 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、被减数、减数与差的和是 1450。问：被减数是多少？3、买 20 米花布和 30 米白布共花 190 元，已知 1 米花布比 2 米白 布少 1 元。问：每米花布和白布各多少元？【拓展提高】 1、被减数、减数与差的和是 8296，减数比差大 2 倍。问：被减 数、减数、差各是多少？2、学校买来 20 个篮球和 50 个排球共 1500 元，已知 4 个篮球的 价格与 5 个排球的价格正好相等。问：篮球和排球的单价各是多少 元？- 67 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、织毛线外套 48 件和毛线内衣 36 件，共用毛线 108 千克，已知 4 件毛线外套用线相等于 6 件毛线内衣用线。问：每件毛线外套和每 件毛线内衣各用毛线多少千克？4、有 940 个水蜜桃分别装在 18 个纸箱和 20 竹篮里，如果 2 个竹 篮里装的水蜜桃比 1 个纸箱装的多 10 个，问：每个纸箱和竹篮各装 水蜜桃多少个？5、甲店有玩具狗若干，乙店有玩具熊若干。如果甲店的全部玩具 狗换回乙店同样多的玩具熊， 就要补给乙店 840 元； 如果甲店不补钱， 就要少换回 30 个玩具熊。已知 3 个玩具熊比 5 个玩具狗少 16 元，那 么甲店原有玩具狗多少个？- 68 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十六讲 等差数列【专题精析】 有一类数列从第二项起，后一项与前一项的差都相等，称为等差 数列， 后一项与前一项的差称为公差。 数列中的第一项称为首项 （a 1 ） ， 最后一个称为末项（a n ） ，数列中数的个数称为项数。 【例题精讲】 已知等差数列 3,7,11,15,19,23，??求： （1）这个数列的第 17 项 是多少？（2）215 是这个数列的第几项？方法小结：【基础练习】 1、已知数列 2,4,6,8,10，??，120.求： （1）这个数列有多少项？ （2）这个数列第 33 项是多少？（3）第 53 项是多少？- 69 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、已知数列 3,6,9,12,15，??求： （1）它的 121 项是多少？（2） 261 是它的第多少项？3、如果一个等差数列的首项是 4，公差是 5，问：它的第 9 项是 几？494 是它的第几项？【拓展提高】 1、如果一个等差数列的第 8 项是 23，第 10 项是 29。问：该等差 数列的第 12 项是多少？2、小松鼠从一棵松树下开始起跳，它第一步跳 50 厘米，以后每 一步都比前一步多跳 3 厘米，当它跳完第 30 步，正好跳到第二棵松 树下。问：小松鼠最后一跳跳了多远？- 70 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第 一棒的同学跑 30 米，跑第二棒的同学跑 32 米，第三棒的同学跑 34 米??小明跑第 9 棒，他应该跑多少米？小华跑最后一棒，他跑了 136 米。问：三（1）班共有多少同学？4、小白兔采回来一大堆蘑菇，它准备一日三餐都吃一些蘑菇，第 一次吃 3 个，以后每次都比前一次多吃 2 个，某餐小白兔按规定饱餐 了 71 个蘑菇后它发现蘑菇全部吃完了。 问： 小白兔吃了多少餐蘑菇？ 最后那餐是是第几天的哪一餐？5、电影院有 28 排座位，每排都比前一排多 2 个座位，最后一排 有 82 个座位。问：该电影院第一排有多少个座位？- 71 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十七讲 配对求和【专题精析】 聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出 1＋2＋3＋??＋100 的结果，小高斯算得又快又准的方法就是配对求和，也就是现在大家 在用的等差数列的求和公式。 【例题精讲】 计算：1＋2＋3＋??＋100.方法小结：【基础练习】 1、1＋2＋3＋??＋200.2、－11－??－79。3、6＋11＋16＋21＋??＋196。- 72 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【拓展提高】 1、计算：－9－??－150。2、 有 30 个数， 第一个数是 9， 以后每个数都比前一个数大 4。 问： 这 30 个数连加和是多少？3、求全部两位自然数的和。4、 有一个挂钟， 一点钟敲一下， 两点钟敲 2 下， 三点钟敲 3 下?? 12 点钟敲 12 下，每逢半点钟也敲一下。问：这个挂钟三昼夜共敲了 多少下？5、图中每相邻 3 个小黑圆点组成一个小三角形。问：图中这样的 小三角形有多少个？小黑圆点多还是小三角形多？- 73 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十八讲 乘法的简便运算-------凑整【专题精析】 在加减运算中，我们的凑整方法大大的简化了运算，这种凑整方 法同样也可以运用在乘法中。凑整的主要方法是运用乘法定律，根据 需要还可以拆数，在凑整。 【例题精讲】 计算下面各题： （1）8×23×125 （2）25×（200＋4） （3）625×64×25方法小结：【基础练习】 1、 （1）43×20×5 （2）25×91×42、 （1）43×76＋76×57（2）58×143＋41×143＋1433、 （1）125×32×49×25 （2）32×5×625- 74 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【拓展提高】 用简便方法计算下列各题。 1、 （1）25×25×25×32（2）125×24×252、 （1）119×17＋42×119＋119×41（2）738×97－738×34－738×633、 （1）326×101－326（2）125×7964、 （1）999×222＋333×334 （2）382×72＋618×735、 （1）125×88（2）375×16＋125×24- 75 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第二十九讲 乘法的速算与巧算【专题精析】 当乘数为一些特殊的数时，我们可以用巧算的方法使运算速度大 大提高，这里介绍几种巧算的方法。 【例题精讲】 计算下列各题： （1）73×77 （2）63×43 （3）25×99 （4）36×11方法小结：【基础练习】 1、 （1）13×11 （2）57×112、 （1）48×42（2）73×333、 （1）53×99（2）75×99- 76 -起航学校全国首家幸福教育倡导者【拓展提高】 1、 （1）317×11 （2）5613×112、 （1）93×97（2）49×693、 （1）924×999（2）485×9994、 （1）223×111（2）435×1115、 （1）999×999＋1999（2） （9＋99＋999）×9999- 77 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十讲 除法中的巧算【专题精析】 在除法运算中，运用除法运算的规律和性质，可以使用简便运算： （1）一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积； （2）两数之 和（差）除以一个数，可以用两个数分别除以那个数，然后再求两个 商的和（差） ； （3）在连除中可以交换除数的位置，商不变； （4）被 除数和除数乘（除）以同一个非零数，商不变。 【例题精讲】 用简便方法计算： （1）8÷8 （2） （260＋195）÷13（3）875÷25（4）7227÷73方法小结：【基础练习】 1、 （1） （2）8÷8- 78 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、 （1） （860＋215）÷43 （2） （）÷253、 （1）9750÷25（2）【拓展提高】 1、 （1）5 （2）÷42、 （1）135÷（15÷8）（2）625÷（100÷16）3、 （1）7425÷75（2）4257÷43- 79 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、 （1）54÷26＋115÷26＋65÷26（2）1560÷（78÷4）5、 （1）77÷57－373÷57（2） （ 1234567 ＋ 2345671 ＋ 3456712 ＋ 4567123 ＋
＋ 23456）÷4- 80 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十一讲 乘除法的简便运算【专题精析】 在乘除混合运算中，我们通常采用添加或者去掉括号的方式来改 变运算顺序， 以达到简化运算的目的。 那么当括号前是乘号或者除号， 括号内的数应该怎样变化呢？ 【例题精讲】 计算下面各题： （1）204×108÷18 （2）10000÷（625÷8） （3）44000÷25方法小结：【基础练习】 1、 （1）160×24÷6 （2）78×352÷1762、 （1）400÷（25÷4）（2）1920÷（64÷4）- 81 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、 （1）3600÷25（2）6【拓展提高】 1、 （1）777×75÷15 （2）145×584÷2922、 （1）648÷（18×3）（2）945÷（7×9）3、 （1） （24×9×7×6）÷（4×6×7）（2） （85×72×57）÷（17×19×18）- 82 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、 （1）232×465÷787÷465×787÷232（2）147×516×369369÷（147×369×258）5、 （1）9999÷（99÷9）（2）9÷11111- 83 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十二讲 数的整除【专题精析】 先看两道除法算式： （1）125÷5＝25； （2）78÷12＝6.5。两道除 法题都没有余数，因此都可以除尽，题（1）中被除数、除数、商都 是整数，我们称 125 能够被 5 整除；而题（2）中被除数、除数、商 中有一个不是整数，就不能称作为整除，只能说 78 倍 12 除尽。这就 是我们这一讲讨论的 2,3,5 整除的特征。 【例题精讲】 判断 238,345,582, 这 5 个数，哪些能被 2 整除，哪些能 被 5 整除。方法小结：【基础练习】 1、 判断 144,295,376,55,, 这 10 个 数，哪些能被 2 整除，哪些能被 5 整除，哪些能同时被 2、5 整除。- 84 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、在 3,6,5,0 组成的不重复的 4 位数中，能同时被 2,5 整除的数有 哪些？3、判断 40,,498,358,928 这 8 个数，能否 被 3 整除。【拓展提高】 1、 （1）请在 2394 的左右各添加一个数字，使得六位数能够被 2 整除，并满足：① 可能的大；② 可能的小。（2）请在 2917 的左右两边添写一个数字，使六位数能够被 3 整除，并满足：① 可能的大；② 可能的小。- 85 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、 （1）用 4,5,6,9 组成的没有重复的四位数中，能被 2,3,5 整除的 数各有几个？（2）由 3,0,4,5,这四个数字组成的没有重复数字的四位数中， 能同时被 2,3,5 整除的数有哪几个？3、 （1）能同时被 2,3,5 整除的最大三位数是多少？（2）能同时被 2,3,5 整除的最小的四位数是多少？4、 （1）要使六位数 785A7 B 能同时被 3,5 整除，A，B 应是几？- 86 -起航学校全国首家幸福教育倡导者（2）要使六位数 A97 A6 B 能同时被 3,5 整除。问：A 和 B 应分别 是多少时，可能得到最大的六位数和最小的六位数？这两个六位 数分别是多少？5、 （1）被 2,3,5 除余 1 且不等于 1 的最小整数是几？（2）被 3,5,除余 2 且不等于 2 的最小整数是多少？- 87 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十三讲 有余数的除法【专题精析】 把一批同学平均分给几位同学，分的结果是一种全部分完，一种 是有剩余， 并且剩余的本书一定比同学数少， 否则还可以继续分下去， 说明在有余数的除法中，余数必须小除数。 【例题精讲】 （1）□÷8＝4??（ ） ，当余数最大时，被除数应该填几？（2）□÷□＝15??10，要使除数最小，被除数应填几？方法小结：【基础练习】 1、 （1）□÷18＝7??（ ） ，当余数最大时，被除数应填几？（2）□÷□＝25??4，要使除数最小，被除数应填几？2、下面题中，被除数最大可填几？最小可填几？ □÷27＝3??□ □÷27＝3??□- 88 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、一个数除以 9，所得的商与余数相同。问：这样的数是哪几个 数？【拓展提高】 1、将 3,12,13,159 这 4 个数分别填入下面式子的括号里，使等式 成立。 （ ）÷（ ）＝（ ）??（ ）2、算式中，除数和商各是多少？ （1）56÷□＝□??4 （2）33÷□＝??33、下列算式中，商和余数相同。问：被除数是哪几个数？ （1） （ ）÷6＝□??□ （2） （ ）÷8＝□??□4、一个三位数除以 26，商和余数相等。请写出 6 个这样的除法 算式，使被除数尽可能大。5、 （1）202 除以一个两位数，余数是 6，请写出这样的所有两位 数。（2）数一堆橘子，5 个 5 个地数还多 1 个，7 个 7 个地数也多 1 个。问这堆橘子至少有多少个？- 89 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十四讲 周期问题【专题精析】 生活中很多按一定规律重复的现象，如 12 年为一个生肖属相轮 转、一年四季、一周 7 天、一天 24 小时等。生活中出现的类似这种 按一定周期变化的问题，称为周期问题。 【例题精讲】 节日里校门口马路边上插着一排彩旗，彩旗按四面红色、三面黄 色、两面绿色一面白色的规律排列（如下图） 。问：第 35 面旗子是什 么颜色？第 90 面旗子是什么颜色？红 红 红 红 黄 黄 黄 绿 白 红 红 红 红 ……方法小结：【基础练习】 1、有一串白珠子和黑珠子按下图 的形式排列。问：第 27 颗珠子 是什么颜色？第 78 颗珠子是什么颜色？- 90 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、把 99 面小红旗按下图排列出来，问：其中有几面深色旗？最 后一面试深色还是白色？……3、灯光夜市在街道上挂的小彩色珠子是按 5 个红、4 个白、3 个 绿、2 个紫、1 个白色排列的。问：第 1686 个是什么颜色的灯珠？第 2011 个呢？【拓展提高】 1、甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，规则是每人踢毽子的个数 总比前面 1 个人多 1 个，即甲 1 个，乙 2 个，丙 3 个，丁 4 个，甲 5 个，乙 6 个??问：踢第 37 个毽子的是谁？踢 83 毽子的是谁？- 91 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、2009 名战士按下面的方法排列成 5 列：一 二 三 1 2 3 9 8 7 10 11 17 16 15 … … 四 4 6 12 14 … 五 5 13 …问：1000 名战士在哪一列，最后一名战士站第几列？3、 学校大楼面前摆了一排花盆， 每两盆月季花之间摆 3 盆杜鹃花， 一共摆了 126 盆。如果第一盆是月季花，那么共摆了多少盆杜鹃花？4、有一个数列 3,7,1,7,7,9,3,7，??从第三个数起每个数都是前两 个数乘积的个位数字。问： （1）这个数列的第 2011 个数是几？（2） 这个数列前 326 个数的和是多少？5、有一列数 97??问： （1）第 88 个数是几？（2） 第 327 个数是几？（3）这 327 个数的和是多少？- 92 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十五讲 个位数字是几【专题精析】若干个自然数连乘，乘积很大。如果只要知道个位数 字是几，就只研究个位数字的排列规律。 【例题精讲】 100 个 7 相乘，积的各位数字是几？178 个 7 相乘，积的个位数字 是几？2011 个 7 相乘，积的个位数字是几？方法小结：【基础练习】 1、100 个 3 相乘，积的个位数字是几？2011 个 3 相乘，积的个位 数字是几？2、 （1） 2 ? 2? ?2 ?? 2? ? ? ? 2 相乘，积的个位数字是几？ ? ? ? ? ? ? ?100 个（2） 2 ? 2? ?2 ?? 2? ? ? ? 2 相乘，积的个位数字是几？ ? ? ? ? ? ? ?2011个- 93 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、157 个 44 相乘，积的个位数字是几？2011 个 44 相乘，积的个 位数字是几？【拓展提高】 1、 6 ? 6? ?6 ? ? ? 6＋ 5 ?? 5? 5? ?? ? ? 5 的个位数字是几？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2011个 2011个2、 2 ? 2? ?2 ?? 2? ? ? ? 2＋3 ?? 3? 3? ?? ? ? 3 的个位数字是几？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?99 个 100 个3、 9 ?? 9? 9? ?? ? ? 9 相乘，积的个位数字是几？ ? ? ? ? ? ? ?999 个4、100 个 8 相乘，积的个位数字是几？259 个 8 相乘，积的个位 数字是几？- 94 -起航学校全国首家幸福教育倡导者5、 （1）1 2 ×2 2 ×3 2 ×4 2 ×5 2 ×6 2 ×7 2 ×8 2 ×9 2 相乘，积的个位 数字是几？（2）1 2 ＋2 2 ＋3 2 ＋4 2 ＋5 2 ＋6 2 ＋7 2 ＋8 2 ＋9 2 和的个位数字是 几？- 95 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十六讲 时间与日期【专题精析】 我们天天与时间打交道，一星期 7 天，一天 24 小时，周而复始。 如果知道今年 5 月 1 日是星期五，那么怎样计算出今年 10 月 1 日是 星期几？明年的元旦是星期几呢？ 【例题精讲】 已知 2009 年 1 月 1 日是星期四。问： （1）2009 年 6 月 1 日是星 期几？（2）2009 年 10 月 1 日是星期几？（3）2011 年 10 月 1 日是 星期几？方法小结：【基础练习】 1、2010 年 1 月 1 日是星期五。求： （1）2010 年 5 月 1 日是星期 几？（2）2010 年 6 月 1 日是星期几？（3）2010 年 12 月 25 日是星 期几？- 96 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、图书馆每天开放时间是上午 8:00---13:00，下午 2:00---6:00，每 天开放多少时间？3、在下列括号里面填上平年或闰年。 1800 年（ 2012 年（ 【拓展提高】 1、 （1）一个月中最多几个星期六？最少几个星期六？ ） ） 2007 年（ 2100 年（ ） ） 1988 年（ 1966 年（ ） ）（2）某年 5 月份 4 个星期四、5 个星期五、这年的儿童节是星 期几？2、 （1）一个汽车站 2 个小时出发 15 辆长途汽车。照这样计算， 从上午 6 时到下午 4 时要出发多少辆长途汽车？- 97 -起航学校全国首家幸福教育倡导者（2）2008 年 2 月，小豪家的爷爷过了第 17 个生日，他爷爷的 生日是几月几日？小豪爷爷是哪年出生的？3、小雨的爸爸做一个科学实验，规定每隔 12 小时做记录一次， 他是 5 月 16 日下午 4：0:0 做一次实验。问：做第六次记录是几月几 日？第 15 次记录是几月几日？4、一次小雨一家三口外出旅游，上午出门前小雨将昨天的日历撕 去，过了三天回到家，小雨一连撕了 3 张日历，3 张日历的日期数加 起来正好是 60。问：小雨一家是几号外出的？5、 《周末》报每星期五出版一期，2008 年 5 月份第一期是 5 月 2 日出版的，那么 2009 年 1 月份第一期应在哪一天出版？- 98 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十七讲 试商技巧【专题精析】 用四舍五入法对下列除式进行试商和求解。 （1） 34 126 （2） 22 198 （3） 69 440 （4） 36 216【例题精讲】方法小结：【基础练习】 1、用四舍五入法试商并求解。 （1） 68 612 （2） 36 324 （3） 56 2242、用四舍五入法试商并求解。 （1） 32 273 （2） 34 272 （3） 53 352- 99 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、下面各式中，在括号中填商是几位数。 （1）3210÷33 的商是（ （2）147÷18 的商是（ （3）1206÷31 的商是（ （4）211÷85 的商是（ 【拓展提高】 1、在括号里，最大能够填几？ （1）70×（ （3） （ ）＜259 （2）60×（ （4） （ ）＜483 ）位数 ）位数 ）位数 ）位数）×28＜172）×45＜3202、不进行计算，说出下面几道题做得对与不对。 （1）2 （3） （2）1 （4）303、用“无除一半直商五”方法对下列除式进行试商和求解。 （1） 28 1484 （2） 79 4108 （3） 38 19764、下列各题，先说出商是几位数，再用“同头无除商八、九”的 方法进行试商。 （1）4312÷49 （2）5096÷52- 100 -起航学校全国首家幸福教育倡导者（3）6141÷69（4）32604÷335、说出用什么方法试商，并计算出结果。 （1）3432÷66 （2）4418÷47（3）12006÷23（4）4263÷49- 101 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十八讲 包含与排除【专题精析】 如果问你，戴帽子的女生有 12 人，戴围巾的女生有 8 人，一共有 多少人？你一定会回答 12＋8＝20（人） ，不过我们这里有 2 个人既 戴了帽子，又戴了围巾，戴帽子的 12 人中有她们两人，戴围巾的 8 人中也有她们 2 人。这样她们两人被重复计算 1 次，所以实际总数应 该是 12＋8－2＝18（人）了，这里我们采用的就是包含排除法。 【例题精讲】 一次数学测试中有两道附加题，三年级 180 名同学中，做对第一 道题的有 112 人，做对第二道题的有 97 人，每人至少做对一题。问： 两道题都做对的有多少人？方法小结：【基础练习】 1、放学了，小羽所在的邹鹰小队一行人排队走出校门，从前面数 起小羽是第 7 个，从后面起小羽是第 6 人。问：邹鹰小队有几个人？- 102 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、学校操场上排放整齐的小凳子上坐满了人，准备放一场露天电 影，小豪的座位从前数是第 4 个，从后面是第 17 个，从左边数是第 12 个，从右边是第 11 个。问：看电影的有多少人？3、两根木棍放在一起，从头到尾长 102 厘米，中间重叠部分长 20 厘米，其中一根长 58 厘米。问：另一根木棍长多少厘米？【拓展提高】 1、将两段相同长度的纸条粘接在一起，接成一段更长的纸条，这 段更长的纸条长 86 厘米，中间重叠部分长是 8 厘米。问：原来两条 纸条各长多少厘米？2、将一样大小的 12 张纸粘接在一起，每张纸长 10 厘米，粘贴处 都是 2 厘米。问：连接在一起的纸一共长多少厘米？- 103 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、三（1）班有 50 名学生，做完外语作业有 22 人，做完数学作 业的有 25 人，既没有做完外语作业，也没有做完数学作业的有 8 人。 问：两门功课都做完的有多少人？4、如图，在桌面上有两张纸，有一部分叠加在一起，长方形纸长 25 厘米，宽 18 厘米，三角形的面积是 90 平方厘米，阴影部分是三 角形与长方形纸的重叠部分，已知阴影部分面积是 45 平方厘米。问： 三角形与长方形覆盖住桌面的面积是多少平方厘米？ABC5、 （1）在自然数 1~200 中，能被 3 或 5 中任一个数整除的有多少 个？（2）在 1~1000 中，不能被 2,3 中任何一个整除的有多少个？- 104 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第三十九讲 盈亏问题【专题精析】 小朋友分铅笔，每人分 3 支，则多 6 支，每人分 5 支则少 8 支。 问：有多少个小朋友，共多少支铅笔？这类应用题是关于人们在分配 东西时， 按一种分配方案分， 东西有余， 按另一种方法分， 东西不足， 求分配的人数及总量，该类问题叫做盈亏问题。 【例题精讲】 兔妈妈给兔子们分胡萝卜。如果每只兔子分 3 个，则多 17 个，如 果每只兔子分 5 个，还少 13 个。问：有多少兔子？有多少胡萝卜？方法小结：【基础练习】 1、幼儿园老师给小朋友分果冻，如果每人分 7 个，则多 15 个果 冻，如果每人分 5 个，则少 3 个果冻。问：幼儿园有多少小朋友？有 多少果冻？- 105 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、小羽带了一些钱去买香蕉，如果买 4 千克，则还剩下 8 元钱； 如果买 6 千克， 则少 4 元， 问： 香蕉每千克多少元？小羽带了多少元？3、绿化队一次植树。如果每人栽 15 棵树，则还剩下 27 棵没有人 栽；如果每人栽 18 棵，就少 3 棵树苗。问：绿化队一次要栽多少棵 树苗？【拓展提高】 1、学校组织春游，租了几辆车。如果每车座 55 人，则有 15 人乘 不上车；如果每车多坐 5 人，恰好可多出一辆车。问：学校一共租了 几辆汽车？有多少学生？2、学校舞蹈队同学排队。如果每行站 8 人，则多出 3 人；如果每 行站 9 人，就少一行。问：学校舞蹈队一共站了多少行？舞蹈队有多 少人？- 106 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、老师给同学发练习本。如果每人发 8 本，则少 124 本；如果每 人发 6 本，则少 2 本。问：有多少名学生？有多少练习本？4、商店卖一批小收音机。如果每台 58 元，则可盈利 1200 元；如 果每台卖 55 元，则可盈利 600 元。问：商店原有多少台收音机？进 价多少元？5、学校给新生安排宿舍。如果男生 5 人住一间，则有 12 人无法 安排；如果 6 人住一间，则刚好安排完。问：学校共有男生宿舍多少 间？住宿的男生有多少人？- 107 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十讲 鸡兔同笼【专题精析】 古代有一道趣题：鸡与兔在同一笼中，上有 35 头，下有 94 足。 问：鸡、兔各有多少只？这就是鸡兔同笼问题。 【例题精讲】 今有鸡兔同笼，上有头 180 个，下有脚 430 只。问：笼中鸡、兔 各有几只？方法小结：【基础练习】 1、笼子里面关有一些鸡和兔，从上面数有 90 个头，从下面数共 有 240 只脚。问：笼子中鸡、兔各有多少只？2、动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有 220 只眼睛， 360 只脚。 问：动物园里鸵鸟和长颈鹿各有多少只？- 108 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、小豪有 1 元 2 角和 8 角的邮票共 100 张，总价值 106 元。问： 问小豪 1 元 2 角和 8 角的邮票各有多少张？【拓展提高】 1、学校师生 120 人去植树，教师每人植树 3 棵，学生每人植树 1 棵，共植树 180 棵。问：该校老师和学生各有多少人？2、鸡兔同笼，鸡比兔多 54 只，共有 612 条腿。问：笼中鸡、兔 各有多少只？3、操场上方有 47 辆车，有三轮车和自行车两种车子，两种车子 共有轮子 116 个。问：操场上三轮车和自行车各有多少辆？- 109 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、146 名师生去划船，一共坐 30 条船，其中大船坐 6 人，小船 坐 4 人。问：师生租大船和小船各几条？5、学校进行数学竞赛，共有试题 15 道，每做对一题得 10 分，做 错一道或者不做倒扣 4 分，小羽得了 94 分。问：他做对多少题？- 110 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十一讲 平均数（一）【专题精析】 要想知道两个班的考试成绩哪一个好些，就会分别计算出两个班 的平均成绩，比较哪班的平均分数高一些，那个班的成绩就好。这类 问题就是平均数问题。 【例题精讲】 小李 5 月份 1~10 日内完成了一批零件的加工任务， 他每天加工的 个数分别是：93,87,95,97,96,89,87,94,93,89 个。问：小李 5 月份上旬 平均每天加工多少个零件？方法小结：【基础练习】 1、水果店有 5 箱苹果，每箱的重量分别是：32,40,24,36,33 千克。 问：平均每箱苹果重多少千克？- 111 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、寒假里面小雨用 14 天看完一本书，前 6 天她看了 150 页。后 8 天她每天看了 32 页。问：小羽平均每天看多少页？2、王师傅 4 月份上半月共加工零件 4320 个，下半月每天加工320 个。问：王师傅 4 月份平均每天加工多少个零件？【提高拓展】 1、小豪同学期末考试语文和数学的平均成绩是 93 分，科学考了 94 分，英语考了 100 分。问：他 4 门功课的平均成绩是多少分？2、星期天小菲和同学去登山，上山每分钟走 50 米，36 分钟到达 山顶，然后按原路下上，每分钟走 75 米。问：小菲她们上、下山的 平均每分钟走多少米？- 112 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、学校排练舞蹈节目，在三年级以上同学中选演员，选出的 18 位女生平均身高 150 厘米，12 位男生平均身高 160 厘米，求舞蹈队 员的平均身高？4、小羽期中考试语文、数学、英语三科平均成绩是 93 分，其中 语文、英语两科的平均成绩是 91 分。问：小羽数学得了多少分？5、连续 7 个单数的和是 175。问：这 7 个单数各是几？- 113 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十二讲 平均数（二）【专题精析】平均数的含义就是将数量多的移给数量少的，最终使各个数量相等，所以在 求出甲队队员的平均身高大于乙队队员的平均身高时， 并不表示甲队中所有人的 身高都超过乙队队员，这就是平均数与个别数的问题。【例题精讲】 小羽前 4 次数学测试的平均成绩是 92 分， 前 5 次数学测试的平均 成绩是 93 分。问：第 5 次测试她得了多少分？方法小结：【基础练习】 1、小豪期末考试语文、科学、英语的平均成绩是 82 分，数学的 成绩公布后，他的平均成绩提高了 3 分。问：小豪数学考了多少分？2、小豪参加 4 次数学测验，平均成绩是 81 分，他想通过第 5 次 测验，将 5 次平均成绩提高到不低于 83，那么第 5 次测验他至少要 得多少分？- 114 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、 7 个数的平均数是 32， 如果将这 7 个数按从小到大的顺序排列， 那么前 4 个数的平均数是 27，后 4 个数的平均数是 37.问中间的一个 数是多少？【提高拓展】 1、 3 个连续的自然数的和是 291， 这三个数中最大的一个是多少？2、5 个数的平均值是 65，若把其中一个数改为 92，平均值为 78。 问：这个数原来是多少？3、小羽前几次英语测验平均分为 86 分，这一次要考 100 分，才 能把平均成绩提高到 88 分。问：这次是小羽的第几次英语测验？- 115 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是 93 分，其中语文、 数学的平均分是 91 分，语文、英语的平均分是 94 分。问：该同学三 门功课的成绩各是多少？5、有 5 个数的平均数是 29，如果把其中的一个数该为 14，那么 这 5 个数的平均数就变为 27.问：这个改动的数原来是多少？- 116 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十三讲 和倍问题（一）【专题精析】 有这样一类问题：已知三（1）班有 54 人，其中男生的人数是女 生人数的 2 倍， 求男女生各有多少人？这类已知两个数量的和与两个 数量的倍数关系，求这两个数量分别是多少的题就是“和倍问题” 。 【例题精讲】 书架上一、二层共有数 762 本，第一层数的本书比第二层数的本 数的 2 倍还少 42 本。问：第一、二层各有多少本书？方法小结：【基础练习】 1、被除数与除数的和是 448，商为 7。问：被除数、除数各是多 少？2、长方形的周长是 42 厘米，长是宽的 2 倍。问：这个长方形的 长和宽各是多少？- 117 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3 甲、乙两人 3 分钟共行 720 米，已知甲每分钟走的路程是乙每 分钟走的路程的 3 倍。问：甲每分钟比乙每分钟多行多少米？【拓展提高】 1、禽养场有鸡和鸭共 2520 只，其中鸡的只数比鸭的只数的 2 倍 还多 720 只。问：禽养场鸡、鸭各有多少只？2、小羽和小豪共有邮票 162 张，小羽的邮票比小豪的邮票的 3 倍 少还 6 张。问：小羽、小豪各有邮票多少张？3、一个减法算式中，被减数、减数与差的和是 240，而减数是差 的 5 倍。问：被减数、减数、差各是多少？- 118 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、甲、乙、丙三人共有钱 480 元，甲的钱数是乙的 2 倍，乙的钱 数是丙的 3 倍，那么甲、乙、丙三人各有多少钱？5 甲、乙、丙三人共加工 1800 个机器零件，任务完成时，甲加工 的零件的个数是乙的 2 倍，又知乙比丙多加工 200 个。问：甲、乙、 丙三人各加工多少个机器零件？- 119 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十四讲 和倍问题（二）【专题精析】 有些应用题中，原来的两个量之间并没有倍数关系，但总量是确 定的。将两个数量相互调正移动后，就成了倍数关系，这样可根据这 种关系来进行求解。这一讲我们就来学习这种复杂的“和倍问题” 。 【例题精讲】 甲仓库存有大米 102 吨，乙仓库存有大米 138 吨，要使乙仓库的 大米是甲仓库的 3 倍。问：甲仓库应运多少大米到乙仓库？方法小结：【基础练习】 1、姐妹俩集邮，姐姐有邮票 78 张，妹妹有邮票 120 张。问：姐 姐给多少张邮票后，妹妹的邮票是姐姐的 2 倍？2、三（1）班原来有学生 45 人，现在有转来了 3 名男生，那么男 生的人数就是女生人数的 2 倍。问：三（1）班原来有多少男生？- 120 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、甲桶有油 320 千克，乙桶有油 180 千克，要使甲桶的油比乙桶 多 3 倍。问：要从乙桶倒多少千克的油到甲桶？【拓展提高】 1、两数相除，商为 7，余数为 17，被除数、除数、商和余数的和 是 233，那么被除数、除数分别是多少？2、师、徒两人共生产零件 960 个，其中师傅有 11 个不合格的零 件，徒弟有 14 个不合格的零件，已知师傅合格的零件比徒弟合格的 零件多 3 倍。问：师、徒各生产零件多少个？3、被除数、除数、商和余数的和是 963，已知除数是 23，余数是 2。问：被除数比除数多多少？- 121 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、甲、乙、丙三人共有 278 元。如果甲用去 5 元，就与乙的钱一 样多；如果乙给丙 3 元，丙的钱就是乙的 3 倍。问：三人原来各有多 少钱？5、某校三年级甲、乙、丙、丁四个班共有图书 378 本。如果甲班 增加 2 本，乙班减少 2 本，丙班的本数乘以 2，丁班的本数除以 2， 四个班的图书就相等。问：四个班原来各有多少本图书？- 122 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十五讲 差倍问题（一）【专题精析】 已知小鸡比小鸭多 12 只，又知小鸡的只数是小鸭的 3 倍。问：小 鸡、小鸭各有多少只？这是一道已知两数之差和两数的倍数关系，求 这两个数各是多少的典型“差倍问题” 。这一讲我们来研究差倍问题 的解法。 【例题精讲】 白兔和灰兔一起采蘑菇，白兔比灰兔多采 198 个蘑菇，并且白兔 采的蘑菇数是灰兔采的 3 倍。问：白兔、灰兔各采了多少蘑菇？方法小结：【基础练习】 1、师傅和小陈加工一批机器零件，小陈比师傅多加工 279 个，小 陈加工的零件数是师傅的 4 倍。问：师傅和小陈各加工零件多少个？2、学校美术兴趣小组的女同学人数是男同学人数的 3 倍，女同学 比男同学多 78 人。问：学校美术兴趣小组共有多少同学？- 123 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、哥哥的钱比弟弟的钱多 99 元，哥哥的钱正好比弟弟的钱的 3 倍还多 1 元。问：哥哥与弟弟各有钱多少元？【拓展提高】 1、姐妹俩有同样多的邮票，后来姐姐送给妹妹 120 张，这时妹妹 的邮票是姐姐的 4 倍。问：姐、妹俩原来有多少张邮票？2、水果店有两箱相同重量的橘子，第一筐卖出 23 千克，第二筐 卖出 2 千克后，此时第二筐的橘子正好是第一筐的 4 倍。问：两筐橘 子原来各有多少千克？3、甲煤场存煤是乙煤场存煤的 3 倍，从甲煤场运走 8500 千克， 从乙煤场运来 500 千克，两煤场所剩煤相等。问：各煤场原来有多少 千克煤？- 124 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、 把数字 9 写在一个两位数的左边， 再把得到的三位数加上 400， 它们的和是这个两位数的 27 倍。问：这个两位数时多少？5、学校图书馆购进一批箱装文艺书和辅导书。每箱都有 75 本， 购进的辅导书是文艺书的 4 倍，其中文艺书比辅导书少 15 箱。问： 图书馆购进的文艺书和辅导书各多少本？- 125 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十六讲 差倍问题（二）【专题精析】 解答倍数问题是必须要认真分析题意，努力找到两个数量的差和 两个数量的倍数关系，利用公式求大数与小数。这一讲我们来研究复 杂的差倍问题。 【例题精讲】 一个书架的上、下两层的图书一样多，从上层取出 44 本，下层放 入图书 18 本，这时下层的图书是上层的 3 倍。问：上、下两层原各 有图书多少本？方法小结：【基础练习】 1、哥哥有课外书 56 本，弟弟有 38 本课外书，两人捐出同样多的 课外书后，哥哥剩下的课外书是弟弟剩下的 3 倍。问：两人各捐出课 外书多少本？- 126 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、 （1）在一个数字的末尾添上一个零，就会比原来的数多 72。 问：这个新数是多少？（2）在一个自然数的末尾添上 2 个零，就成了一个新数，这个 数比原来的数多 693。问：这个数是几？3、甲、乙两位同学去买文具，甲带了 56 元，乙带了 34 元，两人 花了同样多的前后，甲剩余的钱时乙剩余钱的 3 倍。问：甲、乙各剩 下多少钱？【拓展提高】 1、一道除法算式题，商是 12，被除数比除数多 979，请写出这个 除法算式。- 127 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、甲、乙两人去书店买书，甲带的钱时乙带的钱的 3 倍，甲用去 240 元，一用去 60 元后，两人余下的钱一样多。问：甲原来有多少 钱？3、食堂有两桶重量相等的油，如果甲桶倒出 36 千克油，乙桶倒 出 8 千克油，这时乙桶里余下的油是甲桶余下油的 3 倍。问：甲、乙 两桶原来共有多少千克油？4、有甲、乙两个车间，如果从甲车间调 3 人到乙车间，则两车间 的人数相等。如果从乙车间调 19 人到甲车间，则甲车间的人数是乙 车间的 3 倍。问：甲、乙两车间原来各有多少人？5、甲、乙、丙三人加工服装，甲加工的服装比乙多 72 件，丙加 工的服装比甲多 34 件，丙加工的服装是乙的 2 倍。问：甲、乙、丙 分别加工服装多少件？- 128 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十七讲 和差问题（一）【专题精析】 姐妹两合做纸花 192 朵，姐姐比妹妹多做 16 朵。问：姐、妹各做 多少朵？这道应用题已知数两的和与差，求两数，叫做和差问题。这 一讲我们来研究和差问题的解法。 【例题精讲】 果园里面有柿子和苹果共 870 棵，柿子树比苹果树多 50 棵。问： 果园里的苹果树和柿子树各是多少棵？方法小结：【基础练习】 1、三（2）班有学生 48 人，男生比女生多 6 人。问：三（2）班 男、女生各多少人？2、两个数的和是 23，其中一个加数比另一个加数多 7。问：这两 个数各是多少？- 129 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、两筐水果共重 176 千克，第一筐比第二筐多 12 千克。问：两 筐水果各重多少千克？【拓展提高】 1、甲、乙两数的平均数是 133，甲数比乙数少 26。问：甲、乙两 数分别是多少？2、两个水桶共盛水 98 千克，如果把第一桶的水倒出 8 千克，两 个水桶的水酒一样多。问：第一桶原盛水多少千克？3、一个两位数，十位数字与个位数字的和是 13，十位数字比个 位数字多 3，求这个两位数。4、甲、乙两个班共有学生 102 人，如果从甲班调出 3 人到乙班， 两班学生一样多。问：甲、乙两班原各有学生多少人？5、小羽和小豪共有邮票 120 张，如果小豪给小羽 24 张，那么小 豪还比小羽多 2 张。问：小羽和小豪原各有多少张邮票？- 130 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十八讲 和差问题（二）【专题精析】 复杂的和差问题，没有明显的和或差，需要通过分析，才能演算 出结果；也有些问题中会出现三个量的和与差。那有该如何求解呢？ 【例题精讲】 学校艺术节两个舞蹈队共 52 人排练节目，如果从甲队调 10 人到 乙队，甲队就比乙队少 4 人。问：甲、乙两队原来各有多少人？方法小结：【基础练习】 1、师傅和徒弟一起加工一批零件，两人合干 2 小时工加工零件 180 个，如果分别加工 6 小时，师傅就比徒弟多加工零件 48 个。问： 师傅和徒弟每小时各加工多少个零件？2、两个加数只和比一个加数大 43，比另一个加数大 34，求这两 个数的和与差。- 131 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、吴老师买回 90 个球，其中篮球比足球多 14 个，足球比排球多 8 个。问：吴老师买篮球、足球、排球个多少个？【拓展练习】 1、两堆水果糖相差 94 粒，如果将两堆混合在一起，可以重新分 成数量都是 84 粒的三堆。问：原来两堆水果糖各是多少粒？2、兄妹两人共有 91 本书，兄送给妹 7 本书，妹自己又买了 4 本， 现在兄比妹少 3 本书。问：兄妹两人原各是多少本？3、期末考试中，小羽数学成绩比语文成绩多 9 分，比英语成绩少 5 分，已知语文、英语两门总分是 186 分。问：小羽数学、语文、英 语分别考了多少分？- 132 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、甲、乙两个打字员，合打一份稿件，平均每人每小时打 17 页， 6 小时可完成。当两人打完稿件时，乙比甲多打了 12 页。问：这份 稿件甲、乙各打了多少页？5、有三桶饮料共重 120 千克，从甲桶倒出 16 千克给乙桶，从乙 桶倒出 18 千克个丙桶，从丙桶倒出 5 千克个甲桶，这时三通饮料的 重量正好相等。问：原来三桶饮料各重多少千克？- 133 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第四十九讲 逆推问题【专题精析】 数学上有些问题顺着题目条件的叙述寻找解题方法往往会有一定 的困难，但按照题目叙述的最后结果，由后往前推算反而比较简单。 这种倒着推的思考方法，在数学上叫逆推法。 【例题精讲】 有一个数加上 13 以后，得到的乘再乘以 8，所得的积减去 28，再 将差除以 4，最后得到 43。问：这个数是多少？方法小结：【拓展提高】 1、一个数加上 5，乘以 6，再减去 9，等于 27，求该数。2、一段花布，第一次用去 3 米，第二次用去剩下的一半后剩下 6 米。问：这段花布原来长多少米？- 134 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、一个数先减去 12，再将差扩大 12 倍，再加上 12，再将结果缩 小 12 倍，最后结果是 25，求该数。【基础练习】 1、 小乌龟看小山羊胡子一大把， 问小山羊： “你今年多大岁数了？” 小山羊摸摸胡子，笑着说： “把我的年龄加上 100，再乘以 100，再减 去 100，再除以 100，结果比 100 多 1。 ”小乌龟吃惊地说： “原来你 比我还小 3 岁！ ”问：小乌龟今年多少岁呢？2、小芳去超市购物，她先用去所带钱的一半多 8 元，又用去剩下 钱的一半少 8 元，这时还剩下 20 元。问：小芳去超市带了多少钱？3、王婆婆卖鸡蛋，第一次卖出篮子里鸡蛋的一半又一个，第二天 又卖出了剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还有 3 个鸡蛋。问：王 婆婆的篮子里原来有多少个鸡蛋？- 135 -起航学校全国首家幸福教育倡导者4、有一捆电线，第一次用去全长的一半多 8 米，第二次用去余下 的一半少 18 米，第三次用去 20 米，最后还剩下 19 米。问：这捆电 线原来有多少米？5、甲、乙、丙三个笼子共养兔子 90 只，如果从甲笼子里面取出 15 放入乙笼子里面，从乙笼子里面取出 20 只放入丙笼子里面，从丙 笼子里面取出 17 只放入甲笼子里面，这时 3 个笼子一样多。问：甲、 乙、丙笼子原各有多少只兔子？- 136 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第五十讲 行程问题【专题精析】 人们生活中“行”的问题也是至关重要的。 “行”的问题有三个基 本量：路程（行的远近） ，速度（行的快慢） ，时间（行的时间长短） 。 涉及路程、速度、时间的典型应用题叫做行程问题。行程问题数量关 系是：路程÷速度＝时间。 【例题精讲】 乙两辆客车同时从东城开往西城，甲客车每小时行 60 千米，4 小 时到达西城，乙客车比甲客车迟 1 小时到达。问：乙客车的速度是多 少？如果要使乙客车比甲客车提前一小时到达西城， 那么乙客车的速 度是多少？方法小结：【拓展提高】 1、小豪骑自行车去郊外外婆家，他每小时行 15 千米，原计划 4 个小时可到达，可路上因各种原因耽误了，结果迟了 1 小时才到外婆 家。问：小豪骑自行车的速度实际是多少？- 137 -起航学校全国首家幸福教育倡导者2、小羽以每分钟 60 米的速度从家里步行去学校，出发 3 分钟后， 发现练习本丢在家中，立即返回家中去取，然后又赶往学校，这样一 来共用了 14 分钟才到学校。小羽的家离学校多少米？3、小豪和哥哥从家里出发，小豪去离家 500 米的学校，哥哥去比 学校远 280 米的图书馆，小豪每分钟走 50 米，哥哥每分钟走 60 米。 问：小豪到学校后，哥哥还要走几分钟才能到图书馆？【基础练习】 1、一辆货车从甲城开往乙城每小时行 50 千米，预计 6 小时到达， 行了一半路程，货车发生故障，花了 1 小时进行修理。如果仍要求在 预定时间到达，那么余下的路程货车每小时应行多少千米？2、小羽每天上学坐公交车，放学回家步行，共用 80 分钟。如果小羽 往返都做公交车要 40 分钟，那么小羽上学往返都步行要多少时间？- 138 -起航学校全国首家幸福教育倡导者3、丁丁和东东同时同地背向而行，丁丁每秒钟行 3 米，东东每秒 钟行 2 米。当东东行了 1500 米时，这时两人相距多少米？4、一辆货车从甲地进过乙地到丙地，从甲地到乙地每小时行 40 千米，共行了 280 千米，从乙地到丙地每小时提速 5 千米，到达丙地 时一共行了 12 小时。求甲地到丙地的距离。5、甲、乙两车从某日上午 7:00 整由南京出发到外地，甲车每小 时行 60 千米，10 小时到达目的地，乙地每小时行 50 千米。如果要 上乙车与甲车同时到达，那么乙车要几时出发？- 139 -起航学校全国首家幸福教育倡导者第五十一讲 归一问题【专题精析】 买 2 千克苹果要 12 元， 那么买 5 千克苹果要多少钱？解这一类应 用题归结为求一个单位量，即“苹果的单价” 。解题时，必须先求出 单位量，以这个单位量为标准，再依据有关条件来求出结果。 【例题精讲】 织布厂要织布 7200 米，3 台织布机 8 小时织布 576 米，那么照这 样的速度，12 台同样的织布机，再织布几小时就能完成方法小结：【基础练习】 1、小悦在超市买硬壳练习本 4 本共付 12 元，那么要为同学代买 24 本同样的练习本要付多少元？如果小悦带了 135 元，那么可以买