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第21章 一元二次方程单元测试题A卷(含答案)
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第一课时 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式 ax +bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元 二次方程概念解决一些简单题目． 方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概 念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的 概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次2问题（1） 《九章算术》 “勾股”章有一题： “今有户高多于广六尺八寸，?两隅相去适 一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，?那么门的高和 宽各是多少？ 如果假设门的高为 x?尺， ?那么， ?这个门的宽为_______?尺， ?根据题意， ?得________． 整理、化简，得：__________． 问题（2）如图，如果AC CB ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点． ? AB AC1A.cnCB如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________． _________．整理得：问题（3）有一面积为 54m 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成 一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题 意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动： 请口答下面问题． （1） 上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）2按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ 式一样只有式子？（3）有等号吗？或与以前多项老师点评： （1）都只含一个未知数 x； （2）它们的最高次数都是 2 次的； （3）?都有等 号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高 次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地， 任何一个关于 x 的一元二次方程， ?经过整理， ?都能化成如下形式 ax +bx+c=0 （a≠0） ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax +bx+c=0（a≠0）后，其中 ax 是二次项，a 是二 次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 例 1．将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次 项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是 ax +bx+c=0（a≠0） ．因此，方程（8-2x）?（?5-2x） =18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．22 2 2 2解：去括号，得：40-16x-10x+4x =182移项，得：4x -26x+22=02其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22． 例 2． （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） +（x-2） （x+2）=?1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数； 常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） +（x-2） （x+2）=1 化成 ax +bx+c=0 （a≠0）的形式． 解：去括号，得： x +2x+1+x -4=12 2 2 2 2 2移项，合并得：2x +2x-4=02其中：二次项 2x ，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4． 三、巩固练习 教材 P32 练习 1、2 四、应用拓展 例 3．求证：关于 x 的方程（m -8m+17）x +2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元 二次方程． 分析： 要证明不论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程， 只要证明 m -8m+17?≠0 即可． 证明：m -8m+17=（m-4） +12 2 2 2 2 2 2∵（m-4） ≥0 ∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．2∴（m-4） +1&0，即（m-4） +1≠0五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念； （2）一元二次方程的一般形式 ax +bx+c=0（a≠0）?和二 次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 六、布置作业 1．教材 P34 习题 22．1 作业设计 一、选择题321、2．2．选用作业设计．1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） ． ①3x +7=0 A．1 个2 2②ax +bx+c=0 B．2 个 C．3 个2③（x-2） （x+5）=x -1 D．4 个2④3x -25 =0 x2．方程 2x =3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（ ） ． A．2，3，-62 2B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px -3x+p -q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） ． A．p=1 二、填空题 1．方程 3x -3=2x+1 的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为 _________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于 x 的方程（a-1）x +3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x +x）= 3 x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于 x 的方程（2m +m）x +3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？2 m+1 2 2 2B．p&0C．p≠0D．p 为任意实数22．1教学内容 1．一元二次方程根的概念；一元二次方程第二课时2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们 解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出4根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体 问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是 实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题 1．如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直 距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为 xm，那么， 得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? 根据题意，可得方程为___________． 整理，810问题 2．一个面积为 120m 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为_______m． ________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据题意，得________． 整理，得2老师点评（略） 二、探索新知 提问： （1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？5老师点评： （1）问题 1 中 x=6 是 x -36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x +2x-120=0 的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x -36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理， 问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是 实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例 1．下面哪些数是方程 2x +10x+12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一 元二次方程 2x +10x+12=0 的两根． 例 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x -64=02 2 2 222（2）3x -6=02（3）x -3x=02分析： 要求出方程的根， 就是要求出满足等式的数， 可用直接观察结合平方根的意义． 解： （1）移项得 x =64 根据平方根的意义，得：x=±8 （2） 移项、 整理， x =2 得 （3）因为 x -3x=x（x-3） 即 x1=0，x2=3 三、巩固练习 教材 P33 思考题 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．要剪一块面积为 150cm 的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，?这块铁片应该怎 样剪？2 2 2 2即 x1=8，x2=-8 即 x1= 2 ， 2=- 2 x 所以 x=0 或 x-3=0根据平方根的意义， x=± 2 得 所以 x -3x=0，就是 x（x-3）=026设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 请根据列方程回答以下问题：列方程 x（x-5）=150，即 x -5x-150=02（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由． （2）完成下表： x x -5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？ 分析：x -5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的 整式中的分解因式的方法去求根，?但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出 该方程的根． 解： （1）x 不可能小于 5．理由：如果 x&5，则宽（x-5）&0，不合题意． x 不可能等于 10．理由：如果 x=10，则面积 x -5x-150=-100，也不可能． （2） x x -5x-150 （3）铁片长 x=15cm 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： （1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处； 一个数是否是一元二次方程的根； 六、布置作业 1．教材 P34 复习巩固 3、4 综合运用 5、6、7 2．选用课时作业设计． 作业设计 一、选择题 拓广探索 8、9． （2）要会判断2 2 2 21011121314151617?10 -10011 -8412 -6613 -4614 -2415 016 2617 54?? ??（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．1．方程 x（x-1）=2 的两根为（ ） ． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=272．方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（ ） ． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 aC．x1=a，x2=1 aD．x1=a ，x2=b223．已知 x=-1 是方程 ax +bx+c=0 的根（b≠0） ，则 A．1 二、填空题 B．-1 C．0 D．22a c ? =（ ） ． b b1．如果 x -81=0，那么 x -81=0 的两个根分别是 x1=________，x2=__________． 2．已知方程 5x +mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 3．方程（x+1） + 2 x（x+1）=0，那么方程的根 x1=______；x2=________． 三、综合提高题 1．如果 x=1 是方程 ax +bx+3=0 的一个根，求（a-b） +4ab 的值． 2．如果关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等 于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根．2 2 2 2 222x2 ?1 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ ） x2-2xx2 ?1 x2 ?1 2 +1=0，?令 =y，则有 y -2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法） ，解决 x x2 2 2 2 2 2小明给出的问题：在（x -1） +（x -1）=0 中，求出（x -1） +（x -1）=0 的根．22.2.1 直接开平方法教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个 一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．8提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax +c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex+f） +c=0 型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m） =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学 思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x =n，知识迁移到根据平方根2 2 2 22的意义解形如（x+m） =n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1．填空 （1） -8x+______= x （x-______）； 9x +12x+_____= （2） （3x+_____）； x +px+_____= （3） （x+______） ． 问题 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s? 的速度移动， Q 从点 B 开始， BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动， 点 沿 如果 AB=6cm， BC=12cm，?P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm ？ 老师点评： （3） （ 问题 1：根据完全平方公式可得： （1）16 4； （2）4 2；2 2 2 2 2 2 2Cp 2 ） 2p ． 22Q则 PB=x，BQ=2x 依题意，问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm 得：APB1 x?2x=8 2x =82.cn根据平方根的意义，得 x=±2 2即 x1=2 2 ，x2=-2 2可以验证，2 2 和-2 2 都是方程1 x?2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值． 22所以 2 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm ． 二、探索新知 上面我们已经讲了 x =8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±2 2 ，如果 x 换元92为 2t+1，即（2t+1） =8，能否也用直接开平方的方法求解呢？2（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2 2 即 2t+1=2 2 ，2t+1=-2 2 例 1：解方程：x +4x+4=1 分析：很清楚，x +4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2） =1． 解：由已知，得： （x+2） =12 2 2 2方程的两根为 t1= 2 -1 1 ，t2=- 2 2 2直接开平方，得：x+2=±1即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m 提高到 14.4m，求每年人均住 房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为 x．?一年后人均住房面积就应该是 10+?10x=10 （1+x） ；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x） 解： 设每年人均住房面积增长率为 x， 接开平方，得 1+x=±1.2 则： （1+x）=14.4 102 2 2（1+x）=1.442直即 1+x=1.2，1+x=-1.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 的，因此，x2=-2.2 应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思 想称为“降次转化思想” ． 三、巩固练习 教材 P36 练习． 四、应用拓展 例 3．某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、 三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，?那么二月份的营业额就应该是10（1+x） ，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x） ． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x． 把（1+x）当成一个数，配方得： x+ （1+x+ 那么 1+（1+x）+（1+x） =3.31221 2 3 2 ） =2.56，即（x+ ） =2．56 2 23 3 3 =±1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6 2 2 2方程的根为 x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数， 五、归纳小结 本节课应掌握：所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%．由应用直接开平方法解形如 x =p（p≥0） ，那么 x=±22p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） =p（p≥0） ，那么 mx+n=± 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 1、2． 一、选择题 1．若 x -4x+p=（x+q） ，那么 p、q 的值分别是（ ） ． A．p=4，q=22 2 2p ，达到降次转化之目的．2．选用作业设计:B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程 3x +9=0 的根为（ ） ． A．3 B．-32C．±3D．无实数根3．用配方法解方程 x -2 x+1=0 正确的解法是（ ） ． 3B． （x-A． （x-1 2 8 1 2 2 ） = ，x= ± 3 3 9 31 2 8 ） =- ，原方程无解 3 9D． （x-C． （x-5 2? 5 2 2 5 2 ） = ，x1= + ，x2= 3 9 3 3 32 2 5 1 ） =1，x1= ，x2=3 3 3二、填空题 1．若 8x -16=0，则 x 的值是_________． 2．如果方程 2（x-3） =72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果 a、b 为实数，满足 3a ? 4 +b -12b+36=0，那么 ab 的值是_______．2 2 211三、综合提高题 1．解关于 x 的方程（x+m） =n． 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ，?另三边用木栏围 成，木栏长 40m． （1） 鸡场的面积能达到 180m 吗？能达到 200m 吗？ 吗？ 3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一 个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，?并说明你制作的理 由吗？2 2（2） 鸡场的面积能达到 210m222.2.2 配方法第 1 课时 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 通过复习可直接化成 x =p（p≥0）或（mx+n） =p（p≥0）的一元二次方程的解法，? 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重难点关键 1．重点：讲清“直接降次有困难，如 x +6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤． 2．?难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法 与技巧． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x -1=52 2 2 2（2）4（x-1） -9=02（3）4x +16x+16=9212老师点评： 上面的方程都能化成 x =p 或 （mx+n）=p （p≥0） 的形式， 那么可得 x=± 或 mx+n=±222pp （p≥0） ．2如：4x +16x+16=（2x+4） 二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题 1：印度古算中有这样一首诗： “一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，?八分之一 再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴 子在一起” ． 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？ 问题 2：如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上，?修筑同样宽的两条平行且与另 一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为 5000m ，道 路的宽为多少？21 的平方，另一队猴子数是 8老师点评：问题 1：设总共有 x 只猴子，根据题意，得： x= （1 2 x）+12 8整理得： -64x+768=0 x.cn2问题 2：设道路的宽为 x，则可列方程： （20-x） （32-2x） =500 整理，得：x -36x+70=02（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是 含有 x 的完全平方式而后二个不具有． （2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直 x -64x+768=02接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：移项→13x=2-64x=-768 两边加（?64 2 2 2 2 2 ） 使左边配成 x +2bx+b 的形式 → x -64x+32 =-768+1024 左边写成平 22方形式 → （x-32） =?256 ?降次→x-32=±16 即 x-32=16 或 x-32=-16 x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16 都是方程的根，所以共有 16 只或 48 只猴子． 学生活动： 例 1．按以上的方程完成 x -36x+70=0 的解题．2解一次方程→老 师 点 评 ： x -36x=-70 ， x -36x+18 =-70+324 ， x-18 ） =254 ， x-18= ± （ x-18= 254 或 x-18=- 254 ，x1≈34，x2≈2． 根，但 x≈34 不合题意，所以道路的宽应为 2． 例 2．解下列关于 x 的方程 （1）x +2x-35=022222254 ，可以验证 x1≈34，x2≈2 都是原方程的（2）2x -4x-1=02分析： （1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平 方式； （2）同上． 解： （1）x -2x=35 x1=7，x2=-5 可以，验证 x1=7，x2=-5 都是 x +2x-35=0 的两根． （2） -2xx2 2 2x -2x+1 =35+122（x-1） =362x-1=±6x-1=6，x-1=-61 1 2 =0 x -2x= 2 2x -2x+1 =221 2 3 +1 （x-1） = 2 2x-1=±6 2即 x-1=6 6 ，x-1=2 2x1=1+6 6 ，x2=12 2可以验证：x1=1+6 6 ，x2=1都是方程的根． 2 2三、巩固练习 教材 P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材 P39 练习 1 2． 、 ． （1）（2）14四、应用拓展 例 3．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B?两点出 发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，?几秒后△ PCQ?的面积为 Rt△ACB 面积的一半．A P分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角 三角形．?根据已知列出等式． 解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 根据题意，得：2CQ.cnB1 1 1 （8-x） （6-x）= ? ?8?6 2 2 2（x-7） =25 即 x1=12，x2=22整理，得：x -14x+24=0x1=12，x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去． 所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握： 左边不含有 x 的完全平方形式，?左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 2． 2．选用作业设计． 一、选择题 1．将二次三项式 x -4x+1 配方后得（ ） ． A． （x-2） +32 2 2B． （x-2） -32C． （x+2） +32D． （x+2） -322．已知 x -8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） ． A．x -8x+（-4） =31 C．x +8x+4 =12 2 2 2 2B．x -8x+（-4） =1 D．x -4x+4=-112223．如果 mx +2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m 等15于（ ） ． A．1 二、填空题 B．-12C．1 或 9D．-1 或 9 2．代数式1．方程 x +4x-5=0 的解是________．x2 ? x ? 2 的值 x2 ?1为 0，则 x 的值为________． 3．已知（x+y） （x+y+2）-8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为_______， ?所以求出 z 的值即为 x+y 的值，所以 x+y 的值为______． 三、综合提高题 1．已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x -4x+3=0 的解，求这个三角形的 周长． 2．如果 x -4x+y +6y+ z ? 2 +13=0，求（xy） 的值．2 2 z 23．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500?元，?市场调研表明：?当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降 50 元时，平均每天就能多售出 4 台， 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 答案: 一、1．B 2．B 3．C 二、1．x1=1，x2=-5 2．2 三、1． （x-3） （x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为 9（∵x2=1，∴不能构成三角形） 2． （x-2） +（y+3） + z ? 2 =0，∴x=2，y=-3，z=-2， （xy） =（-6） =2 2 z -23．设每台定价为 x，则： （x-2500） （8+ 得 x=27502900 ? x 2 ?4）=5000，x -0=0，解 501 3622.2.2 配方法第 2 课时 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．16教学目标 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题 目． 重难点关键 1．重点：讲清配方法的解题步骤． 2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，?两边加上的常数是一次项系数一半的平 方． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程： （1）x -8x+7=02（2）x +4x+1=02老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有 x 的完全平方形式，?右边是 非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行 解题． 解： （1）x -8x+（-4） +7-（-4） =0 （2）x +4x=-1 x +4x+2 =-1+22 2 2 2 2 2 2 2（x-4） =92x-4=±3 即 x1=7，x2=1（x+2） =3 即 x+2=± 3 二、探索新知x1= 3 -2，x2=- 3 -2像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例 1．解下列方程 （1）x +6x+5=02（2）2x +6x-2=02（3） （1+x） +2（1+x）-4=02分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配 一个含有 x 的完全平方． 解： （1）移项，得：x +6x=-52配方：x +6x+3 =-5+3 （x+3） =42222由此17可得：x+3=±2，即 x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x +6x=-2 配方 x +3x+（2 2二次项系数化为 1，得：x +3x=-123 2 3 2 3 2 5 ） =-1+（ ） （x+ ） = 2 2 2 4由此可得 x+5 5 3 5 3 3 =± ，即 x1= - ，x2=2 2 2 2 2 22（3）去括号，整理得：x +4x-1=02移项，得 x +4x=12配方，得（x+2）=5 x+2=± 5 ，即 x1= 5 -2，x2=- 5 -2 三、巩固练习 教材 P39 练习 2． 、 、 、 ． （3）（4）（5）（6） 四、应用拓展 例 2．用配方法解方程（6x+7） （3x+4） （x+1）=6 分析：因为如果展开（6x+7） ，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数2 2y，那么（6x+7） =y ，其它的 3x+4=221 1 1 1 （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就 6 6 2 2 1 1 1 1 y+ ，x+1= y6 6 2 2 1 1 y+ ） 2 2转化为 y?的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 解：设 6x+7=y （ 则 3x+4= 依题意，得：y （21 1 y- ）=6 6 6去分母， 得： （y+1） y （y-1） =722y （y -1） =72， y -y =722242（y -21 2 289 ）= 4 2y-21 17 =± 2 2y =9 或 y =-8（舍）2 2∴y=±3 x=-当 y=3 时，6x+7=3 6x=-4 x=-当 y=-3 时，6x+7=-3 6x=-10 五、归纳小结 本节课应掌握：5 32 3 2 5 所以，原方程的根为 x1=- ，x2=3 318配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 3． 2.作业设计 一、选择题 1．配方法解方程 2x A． （x21 2 8 ）= 3 94 x-2=0 应把它先变形为（ ） ． 3 2 2 1 2 8 B． （x- ） =0 C． （x- ） = 3 9 3D． （x-1 2 10 ）= 3 92．下列方程中，一定有实数解的是（ ） ． A．x +1=02 2 2 2B． （2x+1） =02C． （2x+1） +3=02D． （1 2 x-a） =a 23．已知 x +y +z -2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是（ ） ． A．1 二、填空题 1．如果 x +4x-5=0，则 x=_______． 2．无论 x、y 取任何实数，多项式 x +y -2x-4y+16 的值总是_______数． 3．如果 16（x-y） +40（x-y）+25=0，那么 x 与 y 的关系是________． 三、综合提高题 1．用配方法解方程． （1）9y -18y-4=0 2．已知：x +4x+y -6y+13=0，求2 2 2 2 2 2 2B．2C．-1D．-2（2）x +3=2 3 x2x ? 2y 的值． x2 ? y23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，?为了扩大销 售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，?如果每件衬 衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件． ①若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？19②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案． 答案: 一、1．D 2．B 3．B 二、1．1，-5 2．正 3．x-y= 三、 2． （x+2） +（y-3） =0，x1=-2，y2=3，∴原式=2 25 4?2 ? 6 8 ?? 13 1323． （1）设每件衬衫应降价 x 元，则（40-x） （20+2x）=1200，x -30x+200=0，x1=10，x2=20 （2）设每件衬衫降价 x 元时，商场平均每天赢利最多为 y， 则 y=-2x +60x+800=-2 x -30x） （ +800=-2[ x-15） （ -225]+800=-2 x-15） （ +1250 -2（x-15） ≤0， ∴x=15 时，赢利最多，y=1250 元．2 2 2 2 2∵22.2.3 公式法教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一 元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax +bx+c=0（a≠0）?的求根 公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程2022．公式法的概念；3．利用公式法2．难点与关键：一元二次方程求根（1）6x -7x+1=02（2）4x -3x=5222（老师点评） （1）移项，得：6x -7x=-1 配方，得：x 22二次项系数化为 1，得：x 27 1 x=6 67 7 2 1 7 x+（ ） =- +（ ） 6 6 12 12 5 7 7?5 + = =1 12 12 127 25 2 ） = 12 144 5 7 7?5 1 x2=- + = = 12 12 12 6（ x（2）略x-7 5 = ± 12 12x1=总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） ． （1）移项； 半的平方； （4）原方程变形为（x+m） =n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一 元二次方程无解． 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax +bx+c=0（a≠0） ，你能否用上面配方法的步骤 求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题： 已知 ax +bx+c=0 （a≠0） b -4ac≥0， 且 试推导它的两个根 x1=2 2 2 2（2）化二次项系数为 1；（3）方程两边都加上一次项系数的一?b ? b 2 ? 4ac ， 2ax2=?b ? b 2 ? 4ac 2a分析： 因为前面具体数字已做得很多， 我们现在不妨把 a、 c?也当成一个具体数字， b、根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax +bx=-c2二次项系数化为 1，得 x +2b c x=a a配方，得：x +2b b 2 c b 2 x+（ ） =- +（ ） 2a 2a a a即（x+b 2 b 2 ? 4ac ）= 4a 2 2a21∵b -4ac≥0 且 4a &022∴b 2 ? 4ac ≥0 4a 2直接开平方，得：x+b 2 ? 4ac b =± 2a 2a?b ? b 2 ? 4ac 即 x= 2a?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ∴x1= ，x2= 2a 2a2由上可知，一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax +bx+c=0，当 b-4ac≥0 时， ?将 a、b、c 代入式子 x= 二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元 二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x -4x-1=02 2?b ? b 2 ? 4ac 就得到方程的根． 2a（2）这个式子叫做一元（2）5x+2=3x2（3） （x-2） （3x-5）=0（4）4x -3x+1=02分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解： （1）a=2，b=-4，c=-1 b -4ac=（-4） -4?2?（-1）=24&02 2x=?(?4) ? 24 4 ? 2 6 2 ? 6 ? ? 2? 2 4 2∴x1=2? 6 2? 6 ，x2= 2 23x -5x-2=0 b -4ac=（-5） -4?3?（-2）=49&0 x1=2，x2=2 2 2（2）将方程化为一般形式 a=3，b=-5，c=-2 x=?(?5) ? 49 5 ? 7 ? 2?3 61 3（3）将方程化为一般形式 3x -11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b -4ac=（-11） -4?3?9=13&0222 2 2∴x=?(?11) ? 13 11 ? 13 ? 2?3 6∴x1=11 ? 13 11 ? 13 ，x2= 6 6（3）a=4，b=-3，c=1 b -4ac=（-3） -4?4?1=-7&0 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材 P42 练习 1． 、 、 （1）（3）（5） 四、应用拓展 例 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） xm2 ? 22 2+（m-2）x-1=0 提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能． （1）要使它为一元二次方程，必须满足 m +1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①?2?m 2 ? 1 ? 1 ?(m ? 1) ? ( m ? 2) ? 02或② ??m 2 ? 1 ? 0 ?m ? 2 ? 0或③ ??m ? 1 ? 0 ?m ? 2 ? 0解： （1）存在．根据题意，得：m +1=2 m =1 m=±1 当 m=1 时，m+1=1+1=2≠0 ∴当 m=1 时，方程为 2x -1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b -4ac= （-1） -4?2?（-1）=1+8=92 2 2 2当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）x=?(?1) ? 9 1 ? 3 ? 2? 2 4x1=，x2=-1 2因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=（2）存在．根据题意，得：①m +1=1，m =0，m=02 21 ． 2因为当 m=0 时， （m+1）+（m-2）23=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意． ②当 m +1=0，m 不存在． 所以 m=-1 也满足题意． 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得：x=-1 解得 x=2③当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3≠01 3因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-?1 时，其一元一次方程的根 为 x=-1 ． 3本节课应掌握： （2）公式法的概念； （3）应用公式五、归纳小结（1）求根公式的概念及其推导过程； 法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 4． 一、选择题2．选用作业设计:1．用公式法解方程 4x -12x=3，得到（ ） ． A．x=2?3 ? 6 22B．x=3? 6 2C．x=?3 ? 2 3 2D．x=3? 2 3 22．方程 2 x +4 3 x+6 2 =0 的根是（ ） ． A．x1= 2 ，x2= 32 2 2 2B．x1=6，x2= 2 C．x1=2 2 ，x2= 22 2D．x1=x2=- 63． -n ） -n -2）-8=0，则 m -n 的值是（ ） （m （m ． A．4 二、填空题 1．一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2B．-2C．4 或-2D．-4 或 2242．当 x=______时，代数式 x -8x+12 的值是-4． 3．若关于 x 的一元二次方程（m-1）x +x+m +2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于 x 的方程：x -2ax-b +a =0．2 2 2 2 2 222． x1， 2 是一元二次方程 ax +bx+c=0 a≠0） 设 x （ 的两根， 1） （ 试推导 x1+x2=（2）?求代数式 a（x1 +x2 ）+b（x1 +x2 ）+c（x1+x2）的值．3 3 2 2b c ， 1? 2= ； x x a a3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，?那么这户居 民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10?元用电费外超过部分 还要按每千瓦时A 元收费． 100（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？ （?用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 3 4 用电量（千瓦时） 80 45 交电费总金额（元） 25 10根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 答案: 三、1．x=2a ? 4a 2 ? 4b 2 ? 4a 2 =a±│b│ 22 2 2（2）∵x1，x2 是 ax +bx+c=0 的两根，∴ax1 +bx1+c=0，ax2 +bx2+c=0 原式=ax1 +bx1 +c1x1+ax2 +bx2 +cx2 3． （1）超过部分电费=（90-A） ? A1=30（舍去） 2=50 ，A3 2 3 2=x（ax1 +bx1+c） （ax2 +bx2+c） +x2 122=0A 1 2 9 A =A+ A （2）依题意，得： （80-A） ? =15， 100 100 10 10022.2.4 判别一元二次方程根的情况教学内容25用 b -4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax +bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标 掌握 b -4ac&0，ax +bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b -4ac=0， ax +bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b -4ac&0，ax +bx+c=0（a≠0）没 实根，反之也成立；及其它们关系的运用． 通过复习用配方法解一元二次方程的 b -4ac&0、b -4ac=0、b -4ac&0 各一题，?分析它 们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点：b -4ac&0 ? 一元二次方程有两个不相等的实根；b -4ac=0 ? 一元二次方程2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222有两个相等的实数；b -4ac&0 ? 一元二次方程没有实根．22．难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程 ax +bx+c=0 （a≠0） b -4ac 的情况与根的情况的关 的 系． 教学过程 一、复习引入 （学生活动） 用公式法解下列方程． 4x +x+1=0 老师点评， （三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b -4ac=9&0，?有两个不相等的 实根； （2）b -4ac=12-12=0，有两个相等的实根； （3）b -4ac=│-4?4?1│=&0，?方程没 有实根 二、探索新知 从前面的具体问题，我们已经知道 b -4ac&0（&0，=0）与根的情况，现在我们从求根 公式的角度来分析： 求根公式：x=2 2 2 2 2 2 2（1） -3x=0 2x2（2） -2 3 x+1=0 3x2（3）?b ? b 2 ? 4ac 2 2 ，当 b -4ac&0 时，根据平方根的意义， b ? 4ac 等 2a26于一个具体数，所以一元一次方程的 x1=2?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ≠x1= ，即有两 2a 2a2个不相等的实根．当 b -4ac=0 时，?根据平方根的意义 b ? 4ac =0，所以 x1=x2=2?b ，即 2a有两个相等的实根；当 b -4ac&0 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数 解． 因此， （结论） （1）当 b -4ac&0 时，一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）?有两个不2 2相等实数根即 x1=2?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ，x2= ． 2a 2a（2）当 b-4ac=0 时，一元 （3）当 b -4ac&0 时，2二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 x1=x2= 一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）没有实数根． 例 1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x +8x=-32 2?b ． 2a（2）9x +6x+1=02（3）2x -9x+8=02（4）x -7x-18=02分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b-4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0?的情况 进行分析即可． 解： （1）化为 16x +8x+3=0 这里 a=16，b=8，c=3，b -4ac=64-4?16?3=-128&0 （2）a=9，b=6，c=1， （3）a=2，b=-9，c=8 相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18 不相等的实根． 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: 3x +6x-5=0 （4） -x+ 4x2 2 2 2 2所以，方程没有实数根．b -4ac=36-36=0，22∴方程有两个相等的实数根． ∴方程有两个不b -4ac=（-9） -4?2?8=81-64=17&0b -4ac=（-7） -4?1?（-18）=121&022∴方程有两个（1） +10x+26=0 x2（2） -xx23 =0 4（3）1 =0 16（5） - 3 xx21 =0 4（6） -6x=0 4x2（7）（2x-4） x27=5-8x 四、应用拓展 例 2．若关于 x 的一元二次方程（a-2）x -2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+3&0 的解集 （用含 a 的式子表示） ． 分析：要求 ax+3&0 的解集，就是求 ax&-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、 负或 0．因为一元二次方程（a-2）x -2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a） -4（a-2） （a+1） &0 就可求出 a 的取值范围． 解：∵关于 x 的一元二次方程（a-2）x -2ax+a+1=0 没有实数根．∴（-2a） -4（a-2） （a+1） -4a +4a+8&0 =4a 解集为 x&2 2 2 2 2 2 2a&-2∵ax+3&0 即 ax&-3∴x&-3 a∴所求不等式的3 ab -4ac&0 ? 一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实2 2五、归纳小结 本节课应掌握： 根；b -4ac=02 2? 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac&0 ? 一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用． 六、布置作业 1．教材 P46 复习巩固 6 综合运用 9 拓广探索 1、2． 第五课时作业设计 一、选择题 1．以下是方程 3x -2x=-1 的解的情况，其中正确的有（ ） ． A．∵b -4ac=-8，∴方程有解 C．∵b -4ac=8，∴方程有解2 2 2 22．选用课时作业设计．B．∵b -4ac=-8，∴方程无解 D．∵b -4ac=8，∴方程无解222．一元二次方程 x -ax+1=0 的两实数根相等，则 a 的值为（ ） ． A．a=0 B．a=2 或 a=-2 C．a=22D．a=2 或 a=03．已知 k≠1，一元二次方程（k-1）x +kx+1=0 有根，则 k 的取值范围是（ ） ． A．k≠2 B．k&2 C．k&2 且 k≠1 D．k 为一切实数28二、填空题 1．已知方程 x +px+q=0 有两个相等的实数，则 p 与 q 的关系是________． 2．不解方程，判定 2x -3=4x 的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相 等实根或没有实根”． ） 3．已知 b≠0，不解方程，试判定关于 x 的一元二次方程 x -（2a+b）x+（a+ab-2b ） ?=0 的根的情况是________． 三、综合提高题 1．不解方程，试判定下列方程根的情况． （1）2+5x=3x2 2 2 2 2（2）x -（1+2 3 ）x+ 3 +4=0222．当 c&0 时，判别方程 x +bx+c=0 的根的情况． 3．不解方程，判别关于 x 的方程 x -2kx+（2k-1）=0 的根的情况． 4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的 8%作为新产 品开发研究资金，该集团 2000 年投入新产品开发研究资金为 4000 万元，2002 年销售总额 为 7.2 亿元，求该集团 2000 年到 2002 年的年销售总额的平均增长率． 答案: 一、1．B 2．B 3．D2 2二、1．p -4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根 b -4ac=（-5） -4?3?（-2）=49&0，有两个不等实根．2 22三、1． （1）化为 3x -5x-2=02（2）b -4ac=1+4 3 +12-4 3 -16=-3&0，没有实根． 2．∵c&0 ∴b -4?1?c&0，方程有两个不等的实根． 3．b -4ac=4k -4（2k-1）=4k -8k+4=4（k-1） ≥0，?∴方程有两个不相等的实根或相等的 实根． 4．设平均增长率为 x，2 2 2 2 2 2 （1+x） =，即 50（1+x） =72 解得 x=20%， 8%∴年销售总额的平均增长率是 20%．22.2.5 因式分解法29教学内容 用因式分解法解一元二次方程． 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分 解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解 题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x +x=0（用配方法） （2）3x +6x=0（用公式法） 将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为 同时减去（2 2老师点评： （1）配方法1 1 1 1 2 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ） ， 2 2 4 41 2 ）． （2）直接用公式求解． 4二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问） （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答， 老师解答） 上面两个方程中都没有常数项； 左边都可以因式分解:2x +x=x （2x+1） ，3x +6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=02 2因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是（1）x=0 或 2x+1=0， 所以 x1=0，x2=-1 ． 230（2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2． 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分 解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现 降次，这种解法叫做因式分解法． 例 1．解方程 （1）4x =11x2（2） （x-2） =2x-42分析： （1）移项提取公因式 x； （2）等号右侧移项到左侧得-2x+4 提取-2 因式，即-2 （x-2） ，再提取公因式 x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为 0 的形式 解： （1）移项，得：4x -11x=0 或 4x-11=0 x1=0，x2=2因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=011 42（2）移项，得（x-2） -2x+4=0 （x-2-2）=0 整理，得： （x-2） （x-4）=0 例 2．已知 9a -4b =0，求代数式2 2（x-2） -2（x-2）=02因式分解，得： （x-2）于是，得 x-2=0 或 x-4=0x1=2，x2=4a b a 2 ? b2 ? ? 的值． b a ab分析：要求a b a 2 ? b2 ? ? 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 b a aba 与 b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 2b ?? 解：原式= ab a3a+2b=0 或 3a-2b=0， a=-∵9a -4b =022∴（3a+2b） （3a-2b）=02 2 b 或 a= b 3 3当 a=-2 2b b 时， 原式==3 2 3 ? b 3当a=2 b 时，原式=-3． 3三、巩固练习31教材 P45 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．我们知道 x -（a+b）x+ab=（x-a） （x-b） ，那么 x -（a+b）x+ab=0 就可转化为 （x-a） （x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程． （1）x -3x-4=02 2 2（2）x -7x+6=022（3）x +4x-5=022分析：二次三项式 x -（a+b）x+ab 的最大特点是 x 项是由 x?x 而成，常数项 ab 是 由-a? （-b）而成的，而一次项是由-a?x+（-b?x）交叉相乘而成的．根据上面的分析， ?我们可以对上面的三题分解因式． 解（1）∵x -3x-4=（x-4） （x+1） x1=4，x2=-1 （2）∵x -7x+6=（x-6） （x-1） x1=6，x2=1 （3）∵x +4x-5=（x+5） （x-1） x1=-5，x2=1 上面这种方法，我们把它称为十字相乘法． 五、归纳小结 本节课要掌握： （1）用因式分解法，即用提取公因式法、?十字相乘法等解一元二次方程及其应用． （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别： 联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，?再分别使各一次因式 等于 0．322 2 2∴（x-4） （x+1）=0∴x-4=0 或 x+1=0∴∴（x-6） （x-1）=0∴x-6=0 或 x-1=0∴∴（x+5） （x-1）=0∴x+5=0 或 x-1=0∴六、布置作业 教材 P46 复习巩固 5 综合运用 8、10 拓广探索 11． 第六课时作业设计 一、选择题 1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ） ． A． （x-3） （x-5）=10?2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B． （2-5x）+（5x-2） =0，∴（5x-2） （5x-3）=0，∴x1= C． （x+2） +4x=0，∴x1=2，x2=-22 2 22 3 ，x2= 5 52D．x =x2两边同除以 x，得 x=12．下列命题①方程 kx -x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x =1 是同解方程；③方 程 x =x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1） （x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3，其中正确的 命题有（ ） ． A．0 个 B．1 个 C．2 个2 2D．3 个3．如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x -mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（ ） ． A．-1 2B．-1C．1 2D．1二、填空题 1．x -5x 因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 2．方程（2x-1） =2x-1 的根是________． 3．二次三项式 x +20x+96 分解因式的结果为________；如果令 x +20x+96=0，那么它 的两个根是_________． 三、综合提高题 1．用因式分解法解下列方程． （1）3y -6y=02 2 2 2 2（2）25y -16=02（3）x -12x-28=02（4）x -12x+35=022．已知（x+y） （x+y-1）=0，求 x+y 的值． 3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场， 建一个面积为 150m 的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙332长 am， 另三边用竹篱围成， 如果篱笆的长为 35m， 问鸡场长与宽各为多少？ （其中 a≥20m） 答案:2．x+y=0 或 x+y-1=0，即 x+y=0 或 x+y=1 3．设宽为 x，则长为 35-2x，依题意，得 x（35-2x）=150 2x -35x+150=0 （2x-15） （x-10） =0， 1=7.5， 2=10， x x 当宽 x1=7.5 时， 长为 35-2x=20， 当宽 x=10 时，长为 15，因 a≥20m，两根都满足条件．222.3 实际问题与一元二次方程(1)教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际 问题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型， 并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价 格） ： 星期 甲 乙 一 12 元 13.5 元 二 12.5 元 13.3 元 三 12.9 元 13.9 元 四 12.45 元 13.4 元 五 12.75 元 13.75 元某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手34续费、税费等） ，则在他帐户上，星期二比星期一增加 200 元，?星期三比星期二增加 1300 元，这人持有的甲、乙股票各多少股？ 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 x 或 y 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 200 元，星 期三比星期二增加 1300 元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张． 则??0.5 x ? (?0.2) y ? 200 ?0.4 x ? 0.6 y ? 1300解得 ?? x ? 1000(股) ? y ? 1500(股)答： （略）二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模 型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模 型解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）问题 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产 电视机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x．?因为一月份是 1 万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长 的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x） ，那么就很容易从第一季度总台数列 出等式． 解： 设二月份、 三月份生产电视机平均增长的百分率为 x， 1+ 则 （1+x）（1+x）?=3.31 + 去括号：1+1+x+1+2x+x =3.31 （略） 以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组） 、分式方程等为背景 建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问 题和解决问题的类型． 例 1．某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、?二月、352 2 2整理，得：x +3x-0.31=02解得：x=10%答：三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业 额，又由三月份的总营业额列出等量关系． 解： 设平均增长率为 x 解得：x=50% 三、巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林 场有木材多少立方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第 一季度共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方 程为__________． 四、应用拓展 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩 下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和 利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率． 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利 息是 x?80%；第二次存，本金就变为 x?80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则 ： x ? 80%+ （ x ? 8% ） x ? 80%=x +800x+，即 8x +15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去） 2= ，x 五、归纳小结 本节课应掌握： 当方法解它． 六、布置作业 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰2 2则 200+200 1+x） （1+x） （ +200 =9502整理， x +3x-1.75=0 得：2答：所求的增长率为 50%．整理，得：1 =0.125=12.5% 8答：所求的年利率是 12．5%．361．教材 P53 复习巩固 1 综合运用 1． 作业设计 一、选择题2．选用作业设计．1．2005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡 场共 250 家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ） ． A．100（1+x） =250 C．100（1-x） =2502 2B．100（1+x）+100（1+x） =250 D．100（1+x）222．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，?所以就按销售价 的 70%出售，那么每台售价为（ ） ． A． （1+25%） （1+70%）a 元 D． （1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即 降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ） ． A． B．70%（1+25%）a 元 C． （1+25%） （1-70%）a 元p 100 ? pB．pC．100 p 1000 ? pD．100 p 100 ? p二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，?第二年的产量 为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2． 某糖厂 2002 年食糖产量为 at， 如果在以后两年平均增长的百分率为 x， ?那么预计 2004 年的产量将是________． 3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在 1999 年 涨价 30%?后，?2001?年降价 70%?至 a?元，?则这种药品在 1999?年涨价前价格是 __________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林” ，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002 年一年退耕还林 1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长37率 2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16 台，?从二 月份起，甲型每月增产 10 台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙 两型的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台，?求乙型拖拉机每月的增 长率及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当 年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为 p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式 来表示） （注：年获利率=年利润 ?100%） 年初投入资金（2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利 率与 10%的和） ，第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率． 答案: 一、1．B 2．B 3．D 2．a（1+x） t 3．2二、1．6（1+x） 6（1+x）26+6（1+x）+6（1+x）2100a 392三、1．平均增长率为 x，则 1600（1+x） =1936，x=10% 2．设乙型增长率为 x，甲型一月份产量为 y：3 ? y ? 10 ?16(1 ? x) ? 2 则? ?( y ? 20) ? 16(1 ? x) 2 ? 65 ?即 16x +56x-15=0，解得 x=2? y ? 24 x ? 14 ? 2 ?16 x ? y ? 32 x ? 29 ? 01 =25%，y=20（台） 4（2）（1+P）1+P+10%） 50 （ =66， 整理得： +2.1P-0.22=0， P23．1） （ 第一年年终总资金=50 1+P） （ 解得 P=10%22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容38建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方 法． 重难点关键 1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况． 2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目． 问题： 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡， 一种贺年卡平均每天可售出 500 张， 每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这 种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，?商场要想平均每天 盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润?总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，?则每件平均 利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ 解：设每张贺年卡应降价 x 元 答：每张贺年卡应降价 0.1 元． 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减 少库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年 卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关 系呢?即绝对量与相对量之间的关系． 例 1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出39x ?100） 0.1 100 x ）=120 0.1解得：x=0.1则（0.3-x） （500+500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽 快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施， 调查发现， 如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元，?那么商 场平均每天可多售出 34?张．?如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺 年卡每张降价的绝对量大． 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元；0.3 0.75 100 ， ? ? 0.1 0.25 34从这些数目看，?好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明 这个问题． 解： （1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡 应降价 0.1 元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元， 34）=120 即（ 则： （0.75-y） （200+y ? 0.253 -y） （200+136y）=120 4整理：得 68y +49y-15=0 y≈0.23 元2y=?49 ? 6481 2 ? 68∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变 化规律． （学生活动）例 2．两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t?乙种药品的 成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t? 乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评： 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（）÷2=1000 元，?乙种药品成本 的年平均下降额为 （） ÷2=1200 元， 显然， ?乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品40成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x， 则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元． 依题意，得 5000（1-x） =30002解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 则：6000（1-y） =36002设乙种药品成本的平均下降率为 y．2整理，得： （1-y）=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当 销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多 售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，?平 均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，?商场要想使 这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展 例 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，?据市场分析，?若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水 产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应为多少? 分析： （1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5 元，因此，销售量就减 少 5?10kg． （2）销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）?销售量[500-10（x-50）]41（3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过 下，?求月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少．1kg，在这个提前 40解： （1）销售量：500-5?10=450（kg） ；销售利润：450?（55-40）=450?15=6750 元 （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x + （3）由于水产品不超过 1kg，定价为 x 元，则（x-400）[500-10 （x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg&250kg，满足题意． 当 x2=60 时，进货 500-10（60-50）=400kg&250kg， （舍去） ． 五、归纳小结 本节课应掌握： 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问 题． 六、布置作业 1．教材 P53 复习巩固 2 综合运用 7、9． 2．选用作业设计： 一、选择题 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ） ． A．12 人 B．18 人 C．9 人 D．10 人22．某一商人进货价便宜 8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前 x 增 加到（x+10%） ，则 x 是（ ） ． A．12% B．15% C．30% D．50%3．育才中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年四年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如果 1996 年和 1997 年植树的年增长率相同，42那么该校 1997 年植树的棵数为（ ） ． A．600 二、填空题 1．一个产品原价为 a 元，受市场经济影响，先提价 20%后又降价 15%，现价比原价多 _______%． 2．甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后 又将这手股票返卖给甲，但乙损失了 10%，?最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票 卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元． 3．一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，?第二次又倒出同样 多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL，?则列 出的方程是________． 三、综合提高题 1．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 2．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，?现准备多种一些桃树以提高产 量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，?如果要使产量增 加 15.2%，那么应多种多少棵桃树? 3．某玩具厂有 4 个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（a&0）个成品，且每 个车间每天都生产 b（b&0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、?周二检验其中 两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有 的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员 1 天共检验多少个成品?（用含 a、b 的代数式表示） B．604 C．595 D．6054 b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 5 2a ? 2 ? 2b 2a ? 2 ? 5b 答案：三、3． （1） =a+2b 或 2 3 2a ? 10b （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同． 所以 a+2b= ，解得： 3（2）若一名检验员 1 天能检验43a=4b 所以（a+2b）÷4 4 30 b=6b÷ b= =7.5（人） 4 5 5所以至少要派 8 名检验员．22.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1．?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解 决实际问题． 2．?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教学过程 一、复习引入 （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，5．平行四边形的面积公式是什么？ 老师点评） 二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m ，?上口 宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m ，需要多少443 2天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，?渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解： （1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 整理， 得： +6x-8=0 5x2依题意， 得： （x+2+x+0.4） x=1.6 x2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2）1 2解得： 1= x4 =0.8m， 51.6 ? 750 =25 天 48答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，?正中央是一 个与整个封面长宽比例相同的矩形，?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 分之一， 下边衬等宽， 右边衬等宽， 上、 左、 ?应如何设计四周边衬的宽度 （精确到 0.1cm） ？九 年 级 数 学 同 步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之 比＝9：7，?由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设 上、下边衬的宽均为 9xcm，?则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意， 得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 所以（27-18x） （21-14x）=练 习1 ，则中央矩形的面积是封面面积的． 423 ?27?21 4整理，得：16x -48x+9=0解方程，得：x=6?3 3 ， 4x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去） 2=1.8cm，7x2=1.4cm ，9x因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm． 三、巩固练习45有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且 铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 0．1 尺） 四、应用拓展 例 3．如图（a）（b）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A?开 、 始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运 动． （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S△PBQ=8cm ． （2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C? 后又继续在 CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6cm ． （友情提示：过点 Q?作 DQ⊥CB，垂足为 D，则：2 2DQ CQ ） ? AB ACCCQQA B (a) .cn2D PPB (b) .cnA分析： （1）设经过 x 秒钟，使 S△PBQ=8cm ，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便 可得到一元二次方程的数学模型． （2）设经过 y 秒钟，这里的 y&6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm ．因为 AB=6，BC=8，由 勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8） ，又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模． 解： （1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 的面积为 8cm ． 则：2 21 （6-x） ?2x=8 2整理，得：x -6x+8=02解得：x1=2，x2=4∴经过 2 秒，点 P 到离 A 点 1?2=2cm 处，点 Q 离 B 点 2?2=4cm 处，经过 4 秒，点 P46到离 A 点 1?4=4cm 处，点 Q 离 B 点 2?4=8cm 处，所以它们都符合要求． （2） y 秒后点 P 移到 BC 上， 设 且有 CP= （14-y） 点 Q 在 CA 上移动， cm， 且使 CQ= （2y-8） cm，过点 Q 作 DQ⊥CB，垂足为 D，则有2 2DQ CQ ? AB AC∴DQ=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：AC= 6 ? 8 =10 （14-y） ?6 y4 ( ) ? 526(2 y ? 8) 6( y ? 4) ? 10 5则：1 2=12.6 解得：y1=7，y2=11整理，得：y -18y+77=0即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7） ，点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处 （CQ=?2y-8=6） ，使△PCD 的面积为 12.6cm ． 经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm&10， ∴点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解 y1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问 题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） ． A． 37 B．5 C． 38 D．722．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m ，这两块木板的长和宽分别是（ A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m;2） ．47B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm ，则原来的正方形铁片 的面积是（ ） ． A．8cm 二、填空题 1．矩形的周长为 8 2 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2．长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm ，则它的周长为________． 3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长 为 35m，所围的面积为 150m ，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．2 2 2B．64cmC．8cm2D．64cm2三、综合提高题 1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2， 迎水坡度为 1：1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m ，问水2DCCF 1 DE 1 坝的高应是多少?（说明：?背水坡度 = ，迎水坡度 （精 ? ） BF 2 AE 1确到 0.1m） 2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m ? 的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地 面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，?只有无刻度的足够长的绳子 一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．2AE F B .cn48D答案:3．20m 和 7.5m 或 15m 和 10m 三、1．设坝的高是 x，则 AE=x，BF=2x，AB=3+3x，依题意，得：C H G1 （3+3+3x）x?30=4500 2整理， x +2x-100=0 得：2解得 x≈?2 ? 20.10 即 x≈9.05 22F E B A .cn2． 设宽为 x， 12?8-8=2?8x+2 则 （12-2x） x （舍去） 2=5- 3 ，x整理， x -10x+22=0 得：解得： 1=5+ 3 x22.3 实际问题与一元二次方程(4)教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键 1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度?时间”来建立一元二次 方程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题．例 1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）?之间的关系为：49?s=10t+3t ，那么行驶 200m 需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200?代入求关系 t 的一元二次方程即可． 解： s=200 时， +10t=200， +10t-200=0 当 3t 3t 需2 22解得 t=20 （s） 3答： 行驶 200m20 s． 3例 2．一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，?紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间?（2）?从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析： （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．?因为刹车以 后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为20 ? 0 =10m/s，那么根据：路程=速度?时间，便可求出所求的时间． 2（2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因 为车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的 时间即可． （3） 设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs． ?由于平均每秒减少车速已从上题求出， 所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据： 路程=速度?时间，便可求出 x 的值． 解： 从刹车到停车所用的路程是 25m； （1） 从刹车到停车的平均车速是 那么从刹车到停车所用的时间是20 ? 0 =10 m/s） （ 225 =2.5（s） 10从刹车到停车每秒平均车速减少值是（2） 从刹车到停车车速的减少值是 20-0=2020 =8（m/s） 2.5（3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s50则这段路程内的平均车速为 整理得：4x -20x+15=0 解方程：得 x=220 ? (20 ? 8 x) =（20-4x）m/s 2所以 x（20-4x）=155 ? 10 2x1≈4.08（不合，舍去） 2≈0.9（s） ，x答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s． 三、巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间． （精确到 0.1s） （2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间． （精确到 0.1s） 四、应用拓展 例 3．如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，?在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：?小 岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航， 一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， ?那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里）A分析： 因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形， （1） △DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便 可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求， 因此，只要在 Rt△DEF 中，由勾股定理即可求． 解： （1）连结 DF，则 DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC=DB E F C .cn2 AB=200 2 海 里，∠ C=45°∴ CD=1 AC=100 2 海 里 2DF=CF ，512 DF=CD距 100 海里．∴DF=CF=2 2 CD= ?100 2 =100（海里） 2 2所以，小岛 D 和小岛 F 相（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 x =100 + （ 300-2x ） x1= 2在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 解这个方程，得：整 理 ， 得 3x -=0100 6 ≈118.4 3 100 6 （不合题意，舍去） 3所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里．x2=200+五、归纳小结 本节课应掌握： 一些实际问题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 9 P58 复习题 22 综合运用 9． 一、选择题 1． 一个两位数等于它的个位数的平方， 且个位数字比十位数字大 3， ?则这个两位数为 （ ） ． A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2．选用作业设计: 运用路程＝速度?时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决2．某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费） ；超 过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计） ，某人乘出租车从甲地到乙 地共支付车费 19 元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ） ． A．正好 8km 二、填空题 1．以大约与水平成 45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s（单位：m）?与标 枪出手的速度 v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= B．最多 8km C．至少 8km D．正好 7kmv2 +2 9.8如果抛出 40m，那么52标枪出手时的速度是________（精确到 0.1） 2． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动， ?通过仪器观察得到小球滚动的距离 s （m） 与时间 t（s）的数据如下： 时间 t（s） 距离 s（m） 1 2 2 8 3 18 4 32 ?? ??写出用 t 表示 s 的关系式为_______． 三、综合提高题 1．一个小球以 10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动 20m 后小球停 下来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到 5m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 2．某军舰以 20 节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30?节的速 度由南向北航行，它能侦察出周围 50 海里（包括 50 海里）范围内 的目标．如图，当该军舰行至 A 处时，电子侦察船正位于 A 处正南 方向的 B 处，且 AB=90 海里，?如果军船和侦察船仍按原速度沿原方 向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，? 最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由． 答案:三、1． （1）小球滚动的平均速度= （2）北A东B .cn10 ? 0 =2.5 （ m/s ） （ 3 ） 小 球 滚 动 到 5m 时 约 用 了 xs 平 均 速 度 4 10 ? (10 ? 2.5 x) 20 ? 2.5 x = = 2 2 20 ? 2.5 x 2 依题意， x? 得： =5， 整理得： -8x+4=0 x 解得： x=4±2 3 ， 所以 x=4-2 3 22．能．设侦察船最早由 B 出发经过 x 小时侦察到军舰，则（90-30x） +（20x） =50 整理，得：13x -54x+56=0，即（13x-28） （x-2）=0，x1=22 2 2 210 ? 0 20 =5（m/s） 小球滚动的时间： =4（s） 5 22 ，x2=2，∴最早再过 2 1353小时能侦察到．第 11 课时教学目标小结与复习（一）1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法――因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。 3、掌握本章的主要数学思想和方法。 重点难重 重点：一元二次方程解法。难点：选用适当的方法解一元二次方程。 教学过程 （一）复习引入 1、回顾本章的主要数学思想和方法。 本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通 过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题 得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的 基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要 把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求 根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁 琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求 根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数 中的重要方法，应熟练掌握这种方法。 2、理清本章的知识结构图。 请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。 整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供 选用： 方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步54完善。 方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。 方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本 P.29 的知识结构图） 。 说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养 学生的归纳总结能力。 （二）讲解例题 例1 选择题： （ ）（1）mx2-3x+x2=0 是关于 x 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m 为任意实数（2）用配方法解方程 4 x2+4 x-15=0 时将方程配方的结果是 A（x+2） =192 2（）B（2 x+1） =162C（x+） =42D（x+1）=4答案：BC评注： 1） （ 先把方程化成关于 x 的一元二次方程的一般形式 （m+1） 2-3x+2=0 x 然后确定 m+1≠0,即 m≠-1。 （2） 配方法虽然在解一元二次方程时很少用， 但配方法是一种很重要的数学 方法，不可忽视。 例2 选择适当的方法解下列方程： （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0 （4）x2+2 x-4=0（1） （x-1）2+2 x（x-1）=0 （3）-2y2+3= y评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方 程的通法。 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两 种方法适用的方程形式。 3、 一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解， 如不能用这两种 方法再考虑用公式法解。55（三）巩固练习 1 填空： （1） （k-1）x2-kx+1=0 是关于 x 的一元二次方程的条件是 （2）填写下表。 一元二次方程 3 x2-5=2 x （x+1）2=4 π x 2=0 x（x + ）=0 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项 。答案： （1）k≠1。 （2）见下表： 一元二次方程 3 x -5=2 x （x+1）2=4 x 2=0 x（x+ ）=02一般形式 3 x -2 x-5=0 x 2+-3=0 x 2=0 x 2+ x=02二次项系数 3 1 π 1一次系数 -2 2 0常数项 -5 -3 0 02、选做课本复习题一中 B 组第 1，2 题。 （四）课堂小结 1、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程的四种方法所适 用的方程的条件是什么？ 3、怎么选择适当的法解一无二次方程？ （五）思考与拓展 1、已知方程 mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当 m 时，为一元一次方程。答案：m≠1，m=1 组题。 布置作业 课本复习题一中 A 组第 1、2、3 题。 时，为一元二次方程；当 m 2、选做课本复习题一的 C56第 12 课时教学目标小结与复习（二）1、熟练运用一元二次方程解实际问题。2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ， 理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。 重点难点 重点：运用一元二次方程解实际问题。难点：找出问题中的等量关系，列 出一元二次方程。 教学过程 （一）复习引入 学生交流讨论下列问题。 运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什 1、 么？2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么？3、运用一元二次方程解实 际问题要注意什么？ （二）讲解例题 例 1．某工厂生产一种产品，今年产量为 200 件，计划通过技术改造，使 今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数， 这样三年的总产量达到 1400 件，求这个百分数。 分析：此题是增长率问题，运用复利公式：Q=a（1+x） ，通过列方程求出 x 的值。 [解]设这个百分数为 x。则今后第一年的产量为 200（1+x）件，今后第二 年的产量为 200（1+x）2 件，根据题意，得 200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 化简得 x2+3x-4=0，解得 x1=1，x2=-4（不合题意，舍去） 。所以 x1=1=100%答： 这个百分数为 100% 评注：1、题中 1400 件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。 2、 运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合57实际情况。 3、一般情况，增长率为百分数。 例2 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量 就减少 10 千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利； （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 之间的关系 式； （3） 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下， 使得月销售利润到达 8000 元，销售单价应定为多少？ （4）要使得月销售利润达到 9000 元销售单价应定为多少？ （5）有没有可能