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3、感谢您使用本站，1秒后自动跳转概率论与数理统计1-8章全部答案(魏宗舒版)
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。 (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白 球，()得红球。 解 (1)记 9 个合格品分别为 正1 , 正 2， ， 正9 ，记不合格为次，则 ?( ?( ( ? ? {(正1， 正2 )，正1， 正3 )， ，正1， 正9 )，正1， 次)，(正 2， 正 3 )，正 2， 正 4 )， ，正 2， 正 9 )，正 2， 次)， ( ?( ( (正 3， 正 4 )， ，正 3， 正 9 )，正 3， 次)，?，正8， 正 9 )，正8， 次)，正 9， 次)} ?( ( ( ( (A ? {(正1， 次) ，正 2， 次)，?，正 9， 次)} ( ((2)记 2 个白球分别为 ?1 ， ? 2 ，3 个黑球分别为 b1 ， b2 ， b3 ，4 个红球分别 为 r1 ， r2 ， r3 ， r4 。则 ? ? { ?1 ， ? 2 ， b1 ， b2 ， b3 ， r1 ， r2 ， r3 ， r4 } () A ? { ?1 ， ? 2 } () B ? { r1 ， r2 ， r3 ， r4 }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。 (1) 叙述 ABC 的意义。 (2)在什么条件下 ABC ? C 成立？ (3)什么时候关系式 C ? B 是正确的？ (4) 什么时候 A ? B 成立？ 解 (1)事件 ABC 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC ? C 等价于 C ? AB ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了 n 个零件，以事件 Ai 表示他生产的第 i 个零件是合格品 （1 ? i ? n ） 。用 Ai 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)? Ai ?1n(2)? Ai ? ? Ai ?1 i ?1nn(3)?[ Ai (? A j )] ;i ?1 j ?1 j ?inn(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为 ? Ai A j ；i , j ?1 i? jn1.4 证明下列各式： (1) A ? B ? B ? A ; (2) A ? B ? B ? A (3) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) ; (4) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) (5) ( A ? B) ? C ? ( A ? C) ? ( B ? C ) (6) ? Ai ? ? Ain n i ?1 i ?1证明 （1）―（4）显然， （5）和（6）的证法分别类似于课文第 10―12 页 （1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡 片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为 A82 ? 8 ? 7 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、 13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以1 1 事件 A “所得分数为既约分数”包含 A32 ? 2 A3 ? A5 ? 2 ? 3 ? 6 个样本点。于是2 ? 3? 6 9 ? 。 8? 7 14 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条， 求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 P( A) ??5? 解 样本点总数为 ? ? ? 10 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必 ?3? ? ?须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 A “所取三条线段能构成一 3 个三角形”包含 3 个样本点，于是 P ( A) ? 。 10 1.7 一个小孩用 13 个字母 A, A, A, C, E, H , I , I , M , M , N , T , T 作组字游戏。如 果字母的各种排列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词 的概率为多大？ 解 显然样本点总数为 13 ! ，事件 A “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2! 48 ? 13! 13! 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们 正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 9 ?10 ? 1 ? 89 个不同位置，当3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 个样本点。所以 P( A) ?它处于和红“车”同行或同列的 9 ? 8 ? 17 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所 求概率为 17 P ( A) ? 89 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一 层都停， 乘客从第二层起离开电梯， 假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的， 求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所 以样本点总数为 9 7 。事件 A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于 “从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯” 。所以包含 A97 个样本点，于是P( A) ? A97 。 971.10 某城市共有 10000 辆自行车， 其牌照编号从 00001 到 10000。 问事件 “偶 然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？94 ?9? ? ? ? ，所以 解 用 A 表示“牌照号码中有数字 8” ，显然 P ( A) ? 10000 ? 10 ?4P( A) ? 1 - P ( A) ? 1 ?94 ?9? ? 1? ? ? 10000 ? 10 ?41.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答 4 2 案为 ? 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样 本空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ， 则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后 两位数字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a ? 7 ，因此 A 所包 含的样本点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人 把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的 概率。并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取 另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 5 ? 3 ? 1 种接法，同样对尾也有 5 ? 3 ? 1 种接法，所以样本点总数为 用 “6 根草恰好连成一个环” 这种连接， ， 对头而言仍有 5 ? 3 ? 1 种 (5 ? 3 ? 1) 2 。 A 表示 连接法， 而对尾而言， 任取一尾， 它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。 再取另一尾， 它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾 连接成环，故尾的连接法为 4? 2 。所以 A 包含的样本点数为 (5 ? 3 ? 1)(4 ? 2) ，于是P( A) ? (5 ? 3 ? 1)( 4 ? 2) 8 ? 15 (5 ? 3 ? 1) 2(2) 2n 根草的情形和(1)类似得 1.13 把 n 个完全相同的球随机地放入 N 个盒子中（即球放入盒子后，只能 区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨 的） 。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 k 个球? N ? n ? k ? 2? ? ? ? 的概率为 ? n ? k ? ? ，0 ? k ? N ? n ? 1? ? ? ? ? n ? ??n? N ?? n ? 1 ? ? ?? ? (2)恰好有 m 个盒的概率为 ? m ?? N ? m ? 1? ， N ? ?? ? ? N ? n ? 1? ? ? ? n ? ? ?? n ? m ? N ?1(3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为? m ? j ? 1?? N ? m ? n ? j ? 1? ? ? ? m ? 1 ?? ?? ? n? j ? ?? ? ? N ? n ? 1? ? ? ? ? n ? ?，1 ? m ? N ,0 ? j ? N .解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是 任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。 3 解 所求概率为 P( A) ? 5 n ?1 1.15 在 ?ABC 中任取一点 P ，证明 ?ABP与?ABC 的面积之比大于 的概 n 1 率为 2 。 n 1 解 截取 CD? ? CD ，当且仅当点 P 落入 ?CA?B? 之内时 ?ABP与?ABC 的面 n n ?1 积 之 比 大 于 ， 因 此 所 求 概 率 为 n2 1 2 CD ? 2 ?B ?C有面积 CD ? ?A 1 P ( A) ? ? ? n ? 2 。 2 2 ?ABC的面积 n CD CD1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。 设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时， 求有一艘船停靠泊位时必须等待 一段时间的概率。 解 分别用 x, y 表示第一、 二艘船到达泊位的时间。 一艘船到达泊位时必须等 待 当 且 仅 当 0 ? x ? y ? 2,0 ? y ? x ? 1 。 因 此 所 求 概 率 为1 1 24 2 ? ? 23 2 ? ? 22 2 2 2 P( A) ? ? 0.121 2 241.17 在线段 AB 上任取三点 x1 , x 2 , x3 ，求： (1) x 2 位于 x1与x3 之间的概率。 (2) Ax1 , Ax2 , Ax3 能构成一个三角形的概率。1? 3? ? 1 3 2 ?1 解 (1) P( A) ? (2) P( B) ? 3 1 2 1.18 在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形， 1 1该三角形的边长为 a, b, c （均小于 d ） ，求三角形与平行线相交的概率。 解 分别用 A1 , A2 , A3 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线 相合，两条边与平行线相交，显然 P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0. 所求概率为 P( A3 ) 。分别用Aa , Ab , Ac , Aab , Aac , Abc 表 示 边 a, b, c ， 二 边 ab, ac, bc 与 平 行 线 相 交 ， 则 P( A3 ) ? P( Aab ? Aac ? Abc ). 显然 P( Aa ) P( Aab ) ? P( Aac ) ， P( Ab ) ? P( Aab ) ? P( Abc ) ， P( Ac ) ? P( Aac ) ? P( Abc ) 。所以P( A3 ) ?2 1 1 (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) [ P( Aa ) ? P( Ab ) ? P( Ac ) ] ? 2? d ?d 2（用例 1.12 的结果） 1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可 能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投 点。则事件 A “该点命中 AB 的中点”的概率等于零，但 A 不是不可能事件。 1.20 甲、 乙两人从装有 a 个白球与 b 个黑球的口袋中轮流摸取一球， 甲先取， 乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一 随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。b个 ??? 解 ?1 表示白， ? 2 表示黑白， ? 3 表示黑黑白，? ?b?1表示黑?黑 ， 白 a 则样本空间 ? ? { ?1 ， ? 2 ，?， ? b ?1 }，并且 P({?1}) ? ， a?b b a b b ?1 a ， P({?3 }) ? ，?， P({? 2 }) ? ? ? ? a ? b a ? b ?1 a ? b a ? b ?1 a ? b ? 2P({?i }) ?b b ?1 b ? (i ? 2) a ? ??? ? a ? b a ? b ?1 a ? b ? (i ? 2) a ? b ? (i ? 1) b!a (a ? b)( a ? b ? 1) ? aP({?b ?1 }) ?甲取胜的概率为 P({?1 }) + P({? 3 }) + P({? 5 }) +? 乙取胜的概率为 P({? 2 }) + P({? 4 }) + P({? 6 }) +? 1.21 设事件 A, B 及 A ? B 的概率分别为 p 、 q 及 r ，求 P(AB) ， P( AB) ，P( AB) ， P( AB)解 由 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 得P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? p ? q ? rP( AB) ? P( A ? AB) ? P( A) ? P( AB) ? r ? q ， P( AB) ? r ? pP( AB) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? r1.22 设 A1 、 A2 为两个随机事件，证明： (1) P( A1 A2 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 ) ; (2) 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) . 证 明 (1)P( A1 A2 ) ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 ? A2 ) = 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 )(2) 由(1)和 P( A1 A2 ) ? 0 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别 得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件 A 、 B 、 C ，证明： P( AB) ? P( AC) ? P( BC) ? P( A) 证明 P( A) ? P[ A( B ? C)] ? P( AB) ? P( AC) ? P( ABC)? P( AB) ? P( AC) ? P( BC)1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订 甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%， 同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%， 求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件 A 表示订甲报，事件 B 表示订乙报，事件 C 表示订丙报。 (1) P( ABC ) ? P( A ? ( AB ? AC )) = P( A) ? P( AB ? AC) =30% (2) P( ABC ) ? P( AB ? ABC) ? 7% (3) P( B AC ) ? P( B) ? [ P( AB) ? P( BC ) ? P( ABC)] ? 23%P(C AB) ? P(C ) ? [ P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC)] ? 20%P( A BC ? + B AC + C AB) = P( ABC ) + P( B AC ) + P(C AB) =73%(4) P( ABC ? AC B ? BC A) ? P( ABC ) ? P( AC B) ? P( BC A) ? 14% (5) P( A ? B ? C ) ? 90% (6) P( ABC ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 90% ? 10% 1.26 某班有 n 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回， 在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用 Ai 表示“第 i 张考签没有被抽到” i ? 1,2,?, N 。要求 P (? Ai ) 。 ，i ?1 N? N ?1? P ( Ai ) ? ? ? ? N ?Nn， P( Ai A j ) ? ? N ? 2 ? ，??， P( A1 ? AN ) ? ? N ? N ? ? ? ? ?nn? Nn??N??0? N ? ? N ?1? ? N ?? N ? 1 ? ? P( Ai ) ? ?1 ? ? ? N ? ? (?1)1?1 ?1 ?? N ? ? ? ? ? ? ? i ?1 ? ? ? ? ??nn?? N ?? N ? 2 ? ? N ?? N ? 2 ? ? NP( Ai A j ) ? ?? 2 ?? N ? ? (?1) 2?1 ? 2 ?? N ? ，?? ? ? ? ? ? ? 1? i ? ? ?? ? ??nN N ? N ?i? 所以 P (? Ai ) ? ? (?1) i ?1 ? ? ? N ? i ?1 i ?1n1.27 从 n 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的 概率是多少？ 解 n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 a1i1 a 2i2 ? a nin ，当 且仅当 1,2,?, n 的排列 (i1i2 ?in ) 中存在 k 使 ik ? k 时这一项包含主对角线元素。 用 Ak 表示事件“排列中 ik ? k ”即第 k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。 则P( Ai ) ? (n ? 1)! 1? i ? n n!P( Ai A j ) ?(n ? 2)! (1 ? i ? j ? n) ，?? n!N n ? n ? (n ? i )! n i ?1 1 所以 P(? Ai ) ? ? (?1) i ?1 ? ? ? i ? n! ? ? (?1) i! i ?1 i ?1 i ?1 ? ?1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩 的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的） 。 解 用 b, g 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：? ? {(b, b, b), (b, b, g ), (b, g , b)( g , b, b), (b, g , g ) g , b, g}( g , g , b)( g , g , g )}其中样本点依年龄大小的性别排列。 A 表示“有女孩” B 表示“有男孩” ， ，则P( B | A) ? P( AB) 6 / 8 6 ? ? P( A) 7/8 71.30 设 M 件产品中有 m 件是不合格品，从中任取两件， (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 解（1）设 A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品” B 表示“所取产 ， 品都是不合格品” ，则? m ? ? m ?? M ? m ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? 1 ?? 1 ? ? ? P ( A) ? ? ? ? ?? ?M ? ? ? ?2? ? ? ?m? ? ? ? 2? P( B) ? ? ? ?M ? ? ? ?2 ? ? ?P( B | A) ?P( AB) P( B) m ?1 ? ? P( A) P( A) 2M ? m ? 1(2)设 C 表示“所取产品中至少有一件合格品” D 表示“所取产品中有一 ， 件合格品，一件不合格品” 。则? m ?? M ? m ? ? M ? m ? ? ?? ? 1 ?? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? P (C ) ? ? ?? ?M ? ? ? ?2? ? ? ? m ?? M ? m ? ? ?? ? 1 ?? 1 ? ? ? P ( D ) ? ? ?? ?M ? ? ? ?2? ? ?P( D | C ) ?P(CD) P( D) 2m ? ? P(C ) P(C ) M ? m ? 11.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前 k ? 1 (k ? n) 个人都没摸到，求第 k 个人摸到的概率； (2)第 k (k ? n) 个人摸到的概率。 解 设 Ai 表示“第 i 个人摸到” i ? 1,2,?, n 。 ， (1) P( Ak | A1 ? A k ?1 ) ?1 1 ? n ? (k ? 1) n ? k ? 1(2) P( Ak ) ? P( A1 ? A k ?1 Ak ) ?n ?1 n ? 2 1 1 ? ??? ? n n ?1 n ? k ?1 n1.32 已知一个母鸡生 k 个蛋的概率为?kk!而每一个蛋能孵化成小 e ? ? ( ? ? 0) ，(? p ) r ? ?p 鸡的概率为 p ，证明：一个母鸡恰有 r 个下一代（即小鸡）的概率为 e 。 r!解 用 Ak 表示“母鸡生 k 个蛋” B 表示“母鸡恰有 r 个下一代” ， ，则P( B) ? ? P( Ak )P( B | Ak ) ? ?k ?rk ?r???k e ? ? ? k ?? ? ? ? p r (1 ? p) k ? r k! ? r ? ? ?(? p) r ?? ? [? (1 ? p)] k ? r (? p) r ?? ? (1? p ) ? e ?e ? e ? r! r! (k ? r )! k ?r( ? p ) r ? ?p ? e r!1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三 级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率 分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进 入决赛的概率。 解 用 Ak 表示“任选一名射手为 k 级” k ? 1,2,3,4 ， B 表示“任选一名射手 ， 能4进入决赛”，则P( B) ? ? P( Ak )P( B | Ak ) ? 4 ? 0.9 ? 8 ? 0.7 ? 7 ? 0.5 ? 1 ? 0.2 ? 0.645k ?1202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%， 35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品， 问此不合格品是机器甲、 丙生产的概率分别等于多少？ 乙、 解 用 A1 表示“任取一只产品是甲台机器生产”A2 表示“任取一只产品是乙台机器生产”A3 表示“任取一只产品是丙台机器生产”。 B 表示“任取一只产品恰是不合格品” 则由贝叶斯公式：P( A1 | B) ? P( A1 ) P( B | A1 )? P( A ) P( B | A )k ?1 k k3?25 69P( A2 | B) ?P( A2 ) P( B | A2 )? P( Ak ?13?k) P( B | Ak )28 69P( A3 | B) ?P( A3 ) P( B | A3 )? P( Ak ?13?k) P( B | Ak )16 691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一 定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机 床是车床的概率是多少？ 9 3 2 1 解 则 P( A1 ) ? ， P( A2 ) ? ， P( A3 ) ? ， P( A4 ) ? 15 15 15 15 1 2 3 1 P( B | A1 ) ? ， P( B | A2 ) ? ， P( B | A3 ) ? ， P( B | A4 ) ? 7 7 7 7 P( A1 ) P( B | A1 ) 9 由贝时叶斯公式得 P( A | B) ? ?1? P( Ak ?14k) P( B | Ak )221.36 有朋友自远方来访， 他乘火车、 轮船、 汽车、 飞机来的概率分别是 0.3、 1 1 0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 、 、 4 3 1 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 12 解 用 A1 表示“朋友乘火车来” A2 表示“朋友乘轮船来” A3 表示“朋友乘 ， ， 汽车来” A4 表示“朋友乘飞机来” B 表示“朋友迟到了” ， ， 。 则P ( A1 | B) ? P ( A1 ) P( B | A1 )? P( Ak ?14?k) P( B | Ak )1 21.37 证明：若三个事件 A 、 B 、 C 独立，则 A ? B 、 AB 及 A ? B 都与 C 独 立。 证明 （1） P(( A ? B)C ) ? P( AC) ? P( BC) ? P( ABC) = P( A ? B) P(C ) （2） PABC) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( AB) P(C )（3） P(( A ? B)C ) ? P(( A ? AB)C) ? P( AC ? ABC) = P( A ? B) P(C ) 1.38 试举例说明由 P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ) 不能推出 P( AB) ? P( A) P( B) 一 定成立。 解 设 ? ? {?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 } ， P({?1 }) ?P({? 2 }) ? P({? 3 }) ? P({? 4 }) ?1 18 ， P({?5 }) ? ， 64 6415 ，A ? {?1 , ? 2 } ，A ? {?1 , ?3 } ，A ? {?1 , ? 4 } 64 1 15 1 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ， 64 64 4 1 P( ABC) ? P({?1}) ? ? P( A) P( B) P(C ) 64 1 但是 P( AB) ? P({?1}) ? ? P( A) P( B) 641.39 设 A1 , A2 ,?, An 为 n 个相互独立的事件，且 P( Ak ) ? pk (1 ? k ? n) ，求下 列事件的概率： (1) n 个事件全不发生； (2) n 个事件中至少发生一件； (3) n 个事件中恰好发生一件。 解 (1) P(? A k ) ? ? P( A k ) ? ? (1 ? p k )nnnk ?1k ?1k ?1(2) P(? Ak ) ? 1 ? P(? A k ) ? 1 ? ? (1 ? p k )k ?1 k ?1 k ?1nnn(3) P[? ( Ak ? A j )] ? ? ( Ak ? A j ) ? ?[ pk ? (1 ? p j )] .k ?1 j ?1 j ?k k ?1 j ?1 j ?k k ?1 j ?1 j ?knnnnnn1.40 已知事件 A, B 相互独立且互不相容，求 min( P( A), P( B))（注：min( x, y) 表示 x, y 中小的一个数） 。 解 一方面 P( A), P( B) ? 0 ，另一方面 P( A) P( B) ? P( AB) ? 0 ，即 P( A), P( B) 中 至少有一个等于 0，所以 min( P( A), P( B)) ? 0. 1.41 一个人的血型为 O, A, B, AB 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03， 现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为 O 型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为 O 型，两个人为 A 型； (3)没有一人为 AB 。?5? 解 (1)从 5 个人任选 2 人为 O 型，共有 ? ? 种可能，在其余 3 人中任选一人 ? 2? ? ?为 A 型，共有三种可能，在余下的 2 人中任选一人为 B 型，共有 2 种可能，另一?5? 人为 AB 型，顺此所求概率为： ? ? ? 3 ? 2 ? 0.46 2 ? 0.40 ? 0.11 ? 0.13 ? 0.0168 ? 2? ? ? ? 5? (2) ? ? ? 0.46 2 ? 0.40 2 ? 0.1557 ? 3? ? ?(3) (1 ? 0.03) 5 ? 0. 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮 弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击 中它，问至少需要多少门高射炮。 解 用 Ak 表示“第 k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机” k ? 1,2,? ， B 表 ， 示“击中飞机” 。则 P( Ak ) ? 0.6 ， k ? 1,2,? 。 (1) P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 A2 ) ? 1 ? 0.4 2 ? 0.84 (2) P( A1 ? ? An ) ? 1 ? P(? A k ) ? 1 ? 0.4 n ? 0.99 , n ?k ?1 nlg 0.01 ? 5.026 lg 0.4取 n ? 6 。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中 飞机。 1.43 做一系列独立的试验， 每次试验中成功的概率为 p ， 求在成功 n 次之前 已失败了 m 次的概率。 解 用 A 表示“在成功 n 次之前已失败了 m 次” B 表示“在前 n ? m ? 1 次试 ， 验中失败了 m 次” C 表示“第 n ? m 次试验成功” ，? n ? m ? 1? n ?1 ? p (1 ? p) m ? p 则 P( A) ? P( BC ) ? P( B) P(C ) ? ? ? m ? ? ? ? n ? m ? 1? n ? p (1 ? p ) m ?? ? m ? ? ?1.45 某数学家有两盒火柴， 每盒都有 n 根火柴， 每次用火柴时他在两盒中任 取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 r 根火柴（ 1 ? r ? n ）的 概率。 解 用 Ai 表示“甲盒中尚余 i 根火柴” 用 B j 表示“乙盒中尚余 j 根火柴” ， ， ， ， C, D 分别表示“第 2n ? r 次在甲盒取”“第 2n ? r 次在乙盒取” A0 Br C 表示取了 2n ? r 次火柴，且第 2n ? r 次是从甲盒中取的，即在前 2n ? r ? 1 在甲盒中取了n ? 1 ，其余在乙盒中取。所以? 2n ? r ? 1?? 1 ? P( A0 Br C ) ? ? ? n ? 1 ?? 2 ? ? ? ?? ?n ?1?1? ?? ? ?2?n?r?1 2由对称性知 P( Ar B0 C ) ? P( A0 Br D) ，所求概率为：? 2n ? r ? 1?? 1 ? P( A0 Br C ? Ar B0 D) ? 2 P( A0 Br C ) ? ? ? n ? 1 ?? 2 ? ? ? ?? ?2 n ? r ?1第二章 离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？3 5 ? ? 1 (1) ? ? 0.5 0.3 0.2 ? ? ? ? 2 3 ? ? 1 (2) ? ? 0.7 0.1 0.1? ? ? ?n ?? n ? 1 ?1? ? ? ? ?? ? 2 ?3? ? ?2 ? (4) ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ? ?2? ?2?(3) ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ??2 ? ? ? 2 ?3? ? ? 2 ? 3??012?1 ?2?n?? ?解 （1）是 （2） 0.7 ? 0.1 ? 0.1 ? 1，所以它不是随机变量的分布列。 （3） 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 3 ,所以它不是随机变量的分布列。 ? ? ? ? ? ?2 2 ?3? 2 ?3? 2 ? 3??2 n4（4） ? 1 ? ? 0, n 为自然数，且 ? ? 1 ? ? 1 ，所以它是随机变量的分布列。 ? ? ? ??2?n ?1nn?2?2.2 设 随 机 变 量 ? 的 分 布 列 为 ： P(? ? k ) ? (1) P(? ? 1或? ? 2) ;1 5 (2 P( ? ? ? ) ) ； 2 2k , k ? 1,2,3,4,5 ， 求 15(3) P(1 ? ? ? 2) 。1 2 1 ? ? ; 15 15 5解 (1) P(? ? 1或? ? 2) ?1 5 1 (2) P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ; 2 2 5 1 (3) P(1 ? ? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? . 52.3 解 设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i) ? C ? ? 2 ? , i ? 1,2,3 。求 C 的值。 ? ??3?i解? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?3 ? ，所以 C C? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?3? ? ?3 ? 3 ? ? ??27 。 382.4 随机变量 ? 只取正整数 N ，且 P(? ? N ) 与 N 2 成反比，求 ? 的分布列。2 ? 解 根据题意知 P(? ? N ) ? C2 ，其中常数 C 待定。由于 ? C2 ? C ? ? ? 1 ，所NN ?1N6以 C ? 62 ，即 ? 的分布列为 P(? ? N ) ??6 ? N22， N 取正整数。2.5 一个口袋中装有 m 个白球、 n ? m 个黑球，不返回地连续从袋中取球， 直到取出黑球时停止。设此时取出了 ? 个白球，求 ? 的分布列。 解 设“ ? ? k ”表示前 k 次取出白球，第 k ? 1次取出黑球，则 ? 的分布列为：P(? ? k ) ? m(m ? 1) ? (m ? k ? 1)( n ? m) , k ? 0,1, ? , m. n(n ? 1) ? (n ? k )2.6 设某批电子管的合格品率为3 1 ，不合格品率为 ，现在对该批电子管进 4 4行测试，设第 ? 次为首次测到合格品，求 ? 的分布列。 解 P(? ? k ) ? ? 1 ? ? ??4?k ?13 , k ? 1,2, ? . 42.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 只球，以 ? 表示取出球的取大号码，求 ? 的分布列。? k ? 1? ? ? 2 ? ? ? 解 P(? ? k ) ? ? , k ? 3,4,5 . ? 5? ? ? ? 3? ? ?2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 p (0 ? p ? 1) ，设 ? 为一直 掷到正、反面都出现时所需要的次数，求 ? 的分布列。 解 P(? ? k ) ? q k ?1 p ? p k ?1 q , k ? 2,3, ? ，其中 q ? 1 ? p 。 2.9 两名篮球队员轮流投篮， 直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率 为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。 解 设 ? ， ? 表示第二名队员的投篮次数，则P(? ? k ) ? 0.6 k ?10.4 k ?10.4 + 0.6 k 0.4 k ?10.6 ? 0.76 ? 0.24 k ?1 , k ? 1,2, ? ； P(? ? k ) ? 0.6 k 0.4 k ?10.6 ? 0.6 k 0.4 k 0.4 ? 0.76 ? 0.6 k 0.4 k ?1 , k ? 1,2, ? 。2.10 设随机变量 ? 服从普哇松分布，且 P(? ? 1) ? P(? ? 2) ，求 P(? ? 4) 。解 P(? ? k ) ??kk!e ?? (? ? 0)k ? 0,1,2,? 。由于 ? e ?? ? 2 4 ?2 2 ?2 e ? e 。 4! 3?22e ?? , 得 ? 1 ? 2, ? 2 ? 0（不合要求） 。所以 P(? ? 4) ?2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问 在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。 解 设 ? 为该种商品当月销售数， x 为该种商品每月进货数，则 。查普哇松分布的数值表，得 x ? 16 。 P(? ? x) ? 0.9 9 9 2.12 如果在时间 t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与 t 成 正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内 有多于一辆汽车通过的概率。 解 设 ? 为时间 t 内通过交叉路口的汽车数，则P(? ? k ) ? (? t ) k ? ? t e (? ? 0), k ? 0,1,2,? k!t ? 1 时， P(? ? 0) ? e ? ? ? 0.2 ，所以 ? ? ln 5 ； t ? 2 时， ? t ? 2 ln 5 ，因而P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? (24 ? ln 25) / 25 ? 0.83 。2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上 （每一页的印刷符号超过 500 个） 。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 1 解 在指定的一页上出现某一个错误的概率 p ? ，因而，至少出现三个 500 错误的概率为? 500 ?? 1 ? ? 499 ? ? ? k ?? 500 ? ? 500 ? ? ? ? ? ? k ?3 ? ??500 k 500? k 2 ? 500 ?? 1 ? ? 499 ? ?? ? 1? ?? ? ? ? ? ? k ? 0 ? k ?? 500 ? ? 500 ? k 500? k利用普哇松定理求近似值，取 ? ? np ? 500 ?2 1 5 1 ? ? e ?1 ? 1 ? ? 0.e k ? 0 k!1 ? 1 ，于是上式右端等于 5002．14 某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？ 解 设每箱至少装 100 ? x 个产品，其中有 k 个次品，则要求 x ,使x ?100 ? x ? ?0.03 k 0.97 100? x ? k ， 0.9 ? ? ? ? k ? k ?0 ? ?利用普哇松分布定理求近似值，取 ? ? (100 ? x) ? 0.03 ? 3 ，于是上式相当于0.9 ? ?3 k ?3 e ，查普哇松分布数值表，得 x ? 5 。 k ? 0 k!x2.15 设二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布列为：P(? ? n,? ? m) ??n p m (1 ? p) n ?mm!(n ? m!)e ??(? ? 0 , 0 ? p ? 1) m ? 0,1,?, nn ? 0,1,2,?求边际分布列。n ?? 解 P(? ? n) ? ? P(? ? n,? ? m) ? ? enm ?0n!m ?0? m!(n ? m)! pnn!m(1 ? p ) n ? m?? n e ??n!n ? 0,1,2, ??m ?? P(? ? m) ? ? P(? ? n,? ? m) ? p en ?0m!n?m? m!(n ? m)! p?n!m(1 ? p) n ? m?(? p ) m e ? ? p m!m ? 0,1,2, ? 。2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别为 ? 、? 、 ? ，求 (? ,? , ? ) 的联合分布列与各 自的边际分布列。 解 P(? ? m,? ? n, ? ? k ) ?4! 0.5 m 0.3n 0.2 k ， m, n, k ? 0,1,2,3,4 m ? n ? k ? 4. m!n!k!?4 ? P(? ? m) ? ? ?0.5 m 0.5 4 ? m ， m ? 0,1,2,3,4 ； ?m? ? ??4? P(? ? n) ? ? ?0.3 n 0.7 4? n ， n ? 0,1,2,3,4 ； ?n? ? ? ?4? P(? ? k ) ? ? ?0.2 k 0.8 4? k ， k ? 0,1,2,3,4 。 ?k ? ? ?2.18 抛掷三次均匀的硬币，以 ? 表示出现正面的次数，以 ? 表示正面出现 次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (? ,? ) 的联合分布列及边际分布列。 2.21 设随机变量 ? 与 ? 独立，且 P(? ? 1) ? P(? ? 1) ? p ? 0 ， 又 P(? ? 0) ? P(? ? 0) ? 1 ? p ? 0 ，定义 ? ? ?1 若? ? ?为偶数 ，问 p 取什么值 ??0 若? ? ?为奇数时 ? 与 ? 独立？ 解 P(? ? 1) ? P(? ? 0) P(? ? 0) ? P(? ? 1) P(? ? 1) = (1 ? p) 2 ? p 2P(? ? 0) ? P(? ? 0) P(? ? 1) ? P(? ? 0) P(? ? 1) ? 2 p(1 ? p)而 P(? ? 1, ? ? 1) ? P(? ? 1,? ? 1) ? p 2 ，由 P(? ? 1, ? ? 1) ? P(? ? 1) P(? ? 1) 得 p ? 1 2.22 设随机变量 ? 与? 独立，且 P(? ? ?1) ? P(? ? ?1) ? 证明 ? , ? ,? 两两独立，但不相互独立。 证明 P(? ? 1) ? P(? ? 1) P(? ? 1) ? P(? ? ?1) P(? ? ?1) ?P(? ? ?1) ? P(? ? 1) P(? ? ?1) ? P(? ? ?1) P(? ? 1) ? 1 2 1 221 ，定义 ? ? ?? ， 2因为 P(? ? 1, ? ? 1) ? P(? ? 1,? ? 1) ?1 ? P(? ? 1) P? ? 1) 4 1 P(? ? 1, ? ? ?1) ? P(? ? 1,? ? ?1) ? P(? ? 1) P? ? ?1) 4 1 P(? ? ?1, ? ? 1) ? P(? ? ?1,? ? ?1) ? P(? ? ?1) P(? ? 1) 4 1 P(? ? ?1, ? ? ?1) ? P(? ? ?1,? ? 1) ? P(? ? ?1) P(? ? ?1) 4所以 ? , ? 相互独立。同理 ? 与 ? 相互独立。 但是 P(? ? 1,? ? 1, ? ? 1) ? P(? ? 1) P(? ? 1) P(? ? 1) ，因而 ? , ? ,? 不相互独立。 2.23 设随机变量 ? 与 ? 独立， ，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明 ? ? ? 不服 从均匀分（即不可能有 P(? ? ? ? k ) ?1 ） , k ? 2,3,?,12 。 11证明 设 P(? ? k ) ? p k , P(? ? k ) ? q k , k ? 1,2,?,6 。 若 P(? ? ? ? k ) ?1 , k ? 2,3,?,12 ，则 11 1 P(? ? ? ? 2) ? p1q1 ? 11 P(? ? ? ? 7) ? p1q6 ? p2 q5 ? ? ? p6 q1 ? P(? ? ? ? 12) ? p6 q6 ? 1 11 1 11(2) (3)(1)将（2）式减去（1）式，得： ( p6 ? p1 )q1 ? 0 ，于是 p 6 ? p1 。同理 q 6 ? q1 。 因此 p6 q6 ? p1 q1 ?1 ，与（3）式矛盾。 11? ?0 2.24 已知随机变量 ? 的分布列为 ? ?1 ? ?4?2 1 2??? ，求? ? ? ? 2 与 ? ? cos? 的分 3 1? ? 4??2布列。 解 ? 分布列为 P(? ? 2) ?1 ? 1 2? 1 ， P(? ? 2 ? ) ? ， P(? ? 2 ? )? ； 4 3 2 3 4 1 1 1 ? 的分布列为 P(? ? ?1) ? ， P(? ? 0) ? ， P(? ? 1) ? 。 4 2 4? ? 2 ?1 0 1 1 1 1 ? 6 5 15 ? 5 3? 2 11 ? ，求? ? ? 的分 ? 30 ?2.25 已知离散型随机变量 ? 的分布列为 ? 1 布列。 解 P(? ? 0) ?1 7 1 11 , P(? ? 1) ? , P(? ? 4) ? , P(? ? 9) ? 5 30 5 301 3 8 3? 1? ， ? 8??0 2.26 设离散型随机变量 ?与? 的分布列为 ? ： ? 1 ? ?2?0 ? ：? 1 ? ?31? 2 ?， ? 3?且 ?与? 相互独立，求 ? ? ? ? ? 的分布列。 解?0 ?1 ? ?6 1 11 24 2 1 4 3 1 24 4? 1? ? 12 ?2.27 设独立随机变量 ?与? 分别服从二项分布： b( n1 , p) 与 b( n2 , p) ，求? ? ? 的分布列。解 设 ? 为 n1 重贝努里试验中事件 A 发生的次数（在每次试验中 P( A) ? p ） ， ，而 ? 为 n 2 重贝努里试验中事件 A 发生的次数（在每次试验中 P( A) ? p ） ?与? 相 互独立，所以 ? ? ? 为 n1 ? n2 重贝努里试验中事件 A 发生的次数，因而? n ? n2 ? k n1 ? n2 ? k P(? ? ? ? k ) ? ? 1 ? k ?p q ? ? ? , k ? 0,1, , ? , n1 ? n2 。2.28 设 ?与? 为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为P(? ? n) ? P(? ? n) ? 1 , n ? 1,2,? 2n求 ? ? ? 的分布列。 解 P(? ? ? ? n) ? ? P(? ? k )P(? ? n ? k ) ? ?k ?1 n ?11 1 n ?1 ? n?k ? n k 2 2 k ?1 2n ?11 2.29 设随机变量 ? 具有分布： P(? ? k ) ? , k ? 1,2,3,4,5 ，求 E? 、 E? 2 及 5E (? ? 2) 2 。1 1 解， E? ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3 ， E? 2 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 5 2 ) ? 11 5 52 E (? ? 2) 2 ? E? +4 E? +4=272.30 设随机变量 ? 具有分布： P(? ? k ) ? 解 E? ? ?k 1 ? ?1? ? ? k? ? k 2 k ?1 ? 2 ? k ?1 2? k ?11 , k ? 1,2,? ，求 E? 及 D? 。 2kk2 1 ? 2? 1 ? ? ?k ? ? k 2 k ?1 ? 2 ? k ?1 2? k ?1? 2 ， E? 2 ? ??6D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? 22.31 设离散型随机变量 ? 的分布列为：P[? ? (?1) k 是否有数学期望？ 解2k 1 ] ? k , k ? 1,2, ? ，问 ? k 2? | (?1) kk ?1?? ? 2k 1 1 1 | ? k ? ? ，因为级数 ? 发散，所以 ? 没有数学期望。 k 2 k ?1 k k ?1 k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中） ，物品的重量 以相同的概率为 1 克、2 克、?、10 克，现有三组砝码： （甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？ 解 设 ? 1 、 ? 2 、 ? 3 分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数， 则有 物品重量度 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 4 2 1 3 5 1 2 1 6 2 2 2 7 2 2 2 8 3 3 3 9 3 3 4 10 1 1 1?1?2?3于是 E?1 ?1 (1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1) ? 1.8 10 1 E? 2 ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1) ? 1.7 10 1 E? 3 ? (1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1) ? 2 10所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33 某个边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为： 0 米的概率是 0.49, ? 10 米的概率各是 0.16， ? 20 米的概率各是 0.08， ? 30 米 的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。 解 设 场 地 面 积 为 S 米 2 ， 边 长 的 误 差 为 ? 米 ， 则 S ? (? ? 5 0 02 且 )E? ? 0 E? 2 ? 2(10 2 ? 0.16 ? 20 2 ? 0.08 ? 30 2 ? 0.05) ? 186所以 ES ? E (? ? 500 ) 2 ? E? 2 ? 1000 E? ? 250000 ? 250186 (米 2 ) 2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为 p1 、p 2 、 p 3 。试证发生故障的仪器数的数学 p1 + p 2 + p 3 。?1 第i架仪器发生故障 i ? 1,2,3 证 令? i ? ? ?0 第i架仪器未发生故障? 为发生故障的仪器数，则 E? i ? P(? i ? 1) ? pi , i ? 1,2,3 ，所以 E? ? E?1 ? E? 2 ? E? 3 ? p1 + p 2 + p 3 。 2.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取 150 件进行 检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设， ?1 0? 1 则 ? i 的分布列为 ? 1 14 ? ，因而 E? i ? 。设 ? 为查得的不合格品数， ? ? 15 ? 15 15 ? 则? ? ?? i ，所以 E? ? ? E? i ? 10 。i ?1 i ?11501502.38 从数字 0，1，?，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝 对值的数学期望。 解 设 ? 为所选两个数字之差的绝对值，则 P(? ? k ) ?n ? k ?1 , k ? 1,2, ? , n ， ? n ? 1? ? ? 2 ? ? ? ?于是 E? ? ? kk ?1nn n ? k ?1 2 n?2 ? ? [(n ? 1)k ? k 2 ] ? 3 。 n(n ? 1) k ?1 ? n ? 1? ? ? ? 2 ? ? ?2.39 把数字 1,2,?, n 任意在排成一列， 如果数字 k 恰好出现在第 k 个位置上， 则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。?1 数字k出现在第k个位置上 解 设? k ? ? ?0 数字k不在第k个位置上0 ? ?1 1? 则 ? k 的分布列为： ? 1 1? ? ? n? ?n于是 E? k ? P(? k ? 1) ?n n 1 ，设匹配数为 ? ，则 ? ? ? ? k ，因而 E? ? ? E? k ? 1 。 n k ?1 k ?12.40 设 ? 为取非负整数值的随机变量，证明： (1) E? ? ? P(? ? n) ;n ?1 ?(2) D? ? 2? nP(? ? n) ? E? ( E? ? 1).n ?1?证明 (1)由于 E? ? ? nP(? ? n) 存在，所以该级数绝对收敛。从而n ?0?E? ? ? nP(? ? n) ?n ?1???n ?1 i ?1?nP(? ? n) ? ?? P(? ? n) ? ? P(? ? i) 。i ?1 n ?i i ?1 ????(2) D? 存在，所以级数 E? 2 ? ? n 2 P(? ? n) 也绝对收敛，从而n ?0D? ? E? 2 ? E? ? E? ( E? ? 1) ? ? n(n ? 1) P(? ? n) ? E? ( E? ? 1)n ?1?? 2?? iP(? ? n) ? E? ( E? ? 1) ? 2?? iP(? ? n) ? E? ( E? ? 1)n ?1 i ?1 ? i ?1 n ?i?n??? 2? nP(? ? n) ? E? ( E? ? 1).n ?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为 p ，试验进行到成功与失败 均出现时停止，求平均试验次数。 解 设成功与失败均出现时的试验次数为 ? ，则P(? ? 1) ? 1 ， P(? ? n) ? p n?1 ? q n?1 , n ? 2,3,?(q ? 1 ? p)利用上题的结论， E? ? P(? ? 1) + ? P(? ? n) =1+ ? ( p n ?1 ? q n ?1 )n?2 n?2 ? ?? 1?p q p2 ? p ?1 ? ? 1? p 1? q p(1 ? p)2.42 从一个装有 m 个白球、 n 个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。 如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取 出黑球数的数学期望。 解 略。 2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第 n 0 件仍未发现不合格品就认为这 批产品合格，如在尚未抽到第 n 0 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认 为这批产品不合格。 设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p ，问平均每批要检查多少件？解 略。 2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率 p ，当生产出 k 个 不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。 解 设第 i ? 1 个不合格出现后到第 i 个不合格品出现时的产品数 为 ? i ，i ? 1,2,?, k. 又在两次检修之间产品总数为 ? ，则 ? ? ? ? i .i ?1 k因 ? i 独立同分布， P(? i ? j ) ? q j ?1 p, j ? 1,2,?(q ? 1 ? p) ，由此得：E? i ? ? jq j ?1 p ?j ?1?1 ? 2? p 2 ， E? i ? ? j 2 q j ?1 p ? ， p p2 j ?1D? i ? E? i2 ? ( E? i ) 2 ? E? ? ? E? i ?i ?1 k1? p 。 p2k k (1 ? p ) k ， D? ? ? D? i ? 。 p p2 i ?12.46 设随机变量 ? 与? 独立，且方差存在，则有D(?? ) ? D? ? D? ? ( E? ) 2 ? D? ? D? ? ( E? ) 2 （由此并可得 D(?? ) ? D? ? D? ）证明 D(?? ) ? E? 2? 2 ? ( E?? ) 2 ? E? 2 E? 2 ? ( E? ) 2 ( E? ) 2? E? 2 E? 2 ? E? 2 ( E? ) 2 ? E? 2 ( E? ) 2 ? ( E? ) 2 ( E? ) 2 ? E? 2 D? ? ( E? ) 2 D? ? D? ? D? ? ( E? ) 2 ? D? ? D? ? ( E? ) 22.47 在整数 0 到 9 中先后按下列两种情况任取两个数，记为 ? 和? ：(1)第 一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在? ? k (0 ? k ? 9) 的条件下 ? 的分布列。解 (1) P(? ? i | ? ? k ) ? (2) P(? ? i | ? ? k ) ?1 10 i ? 0,1,?,9 .1 (i ? 0,1,?,9, i ? k ) , P(? ? k | ? ? k ) ? 0 92.49 在 n 次贝努里试验中，事件 A 出现的概率为 p ，令?i ???1 在第i次试验中A出现 ?0 在第i次试验中A不出现i ? 1,2, ? , n求在 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? r (0 ? r ? n) 的条件下， ? i (0 ? i ? n) 的分布列。 解P(?i ? 0 | ? 1 ? ?2 ? ? ? ?n ? r ) ?? n ? 1? r n ?1? r q? ? q ?p q ? n?r ? ? ? ? n ? n ? r n?r ? ?p q ?r ? ? ?P(?i ? 0, ?1 ? ? ? ?i ?1 ? ?i ?1 ? ? ? ?n ? r ) P(?1 ? ? 2 ? ? ? ? n )P(? i ? 1 | ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? r ) ? 1 ? n ? r ? r 。 n n? 2.50 设随机变量 ? 1 ， 2 相互独立， 分别服从参数为 ? 1 与 ? 2 的普哇松分布，试证：? n ?? ? 1 ? ? P(?1 ? k | ? 1 ? ?2 ? n) ? ? ?? ? k ?? ? ? ? ? ? ?? 1 2 ?证明k? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ?? ? 1 2 ? ?n?kP(?1 ? k | ? 1 ? ? 2 ? n) ? ? P(?1 ? k ) P(? 2 ? n ? k ) P(?1 ? ? 2 ? n)P(?1 ? k , ?1 ? ? 2 ? n) P(?1 ? ? 2 ? n)由普哇松分布的可加性知 ? 1 + ? 2 服从参数为 ? 1 + ? 2 的普哇松分布，所以? n ?? ? 1 ? k! (n ? k )! ? ? ? ?? P (?1 ? k | ? 1 ? ? 2 ? n) ? ? k ?? ? ? ? ? (? 1 ? ? 2 ) n ? ( ? 1 ? ? 2 ) ? ?? 1 2 ? e n!?k1e?? 1??n2? ke?? 2k? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ?? ? 1 2 ? ?n?k2.51 设 ? 1 ，? 2 ，?，? r 为 r 个相互独立随机变量，且 ? i (1 ? i ? r ) 服从同一 几何分布，即有 P(? i ? k ) ? qp k ?1 , k ? 1,2,?, (1 ? i ? r ), 其中q ? 1 ? p 。试证明在? ? ? 2 ? ? ? ? r ? n 的条件下， (? , ? 2 ,?, ? r ) 的分布是均匀分布，即1 1P(?1 ? n1 , ?, ? r ? nr | ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r ? n ?1 ，其中 n 1 ? n2 ? ? ? nr ? n . ? n ? 1? ? ? r ? 1? ? ? ?证明P(?1 ? n1 ,?, ? r ? nr | ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r ? P(?1 ? n1 ,?, ? r ? nr , ?1 ? ? ? ? r ? n) P(?1 ? ? ? ? r ? n) P(? 1 ? n1 , ? , ? r ? n r ) ? P(? 1 ? ? ? ? r ? n)由于 ? 1 ， ? 2 ，?， ? r 相互独立且服从同一几何分布，所以P(? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r ? n) ?r ? n ? 1? r n ? r (? q ? p ki ?1 ) ? ? ?k ?n i?1 ? r ? 1 ?q p 。 ? k1 ??? r ? ?ki ?1, 2 ,? i ?1,?, r从而 P(?1 ? n1 , ?, ? r ? nr | ? ? ? 2 ? ? ? ? r ? n) ?1q r p n?r 1 ? 。 ? n ? 1? r n ? r ? n ? 1 ? ? ? ? r ? 1 ?q p ? ? r ? 1? ? ? ? ? ?第三章 连续型随机变量3.1 设随机变数 ? 的分布函数为 F (x) ，试以 F (x) 表示下列概率： （1） P(? ? a) ； （2） P(? ? a) ； （3） P(? ? a) ； （4） P(? ? a) 解： （1） P(? ? a) ? F (a ? 0) ? F (a) ； （2） P(? ? a) ? F (a ? 0) ； （3） P(? ? a) =1- F (a) ； （4） P(? ? a) ? 1 ? F (a ? 0) 。1 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 1? x2 （1） ? ? ? x ? ? ? （2）0 ? x ? ? ，在其它场合适当定义； （3）- ? ? x ? 0 ，在其它场合适当定义。3.2 函数 F ( x) ? 解： （1） F (x) 在（- ?, ? ）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2） F (x) 在（0， ? ）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；（3） F (x) 在（- ?,0) 内单调上升、连续且 F (??,0) ，若定义? F ( x) ? ? ? x ? 0 ~ F ( x) ? ? x?0 ? 1则 F ( x ) 可以是某一随机变量的分布函数。 3.3 函数 sin x 是不是某个随机变数 ? 的分布密度？如果 ? 的取值范围为 （1） [0,~?3 （2） [0, ? ] ； （3） [0, ? ] 。 ]； 2 2解： （1）当 x ? [0, 布密度； （2）因为?2] 时， sin x ? 0 且 ? 2 sin xdx =1，所以 sin x 可以是某个随机变量的分0?? sin xdx =2 ? 1，所以 sin x 不是随机变量的分布密度；0x（3）当 x ? [? , ? ] 时， sin x ? 0 ，所以 sin x 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数 ? 具有对称的分布密度函数 p (x) ，即 p( x) ? p(? x), 证明：对任意的3 2a ? 0, 有（1） F (?a) ? 1 ? F (a) ?（2）P（ ? ? a) ? 2 F (a) ? 1 ； （3） P ( ? ? a ) ? 2?1 ? F (a )? 。 证： （1） F (?a) ?1 ? 2?a0p( x)dx ；??a??p( x)dx ? 1 ? ? p( x)dx?a ?? a?=1 ??ap(? x)dx ? 1 ? ? p( x)dx??a= 1 ? F ( a) ? 1 ??0??p( x)dx? ? p( x)dx ?01 a ? p( x)dx ； 2 ?0a 0（2） P( ? ? a ??a?ap( x)dx ? 2? p( x)dx ，由（1）知1- F (a) ?1 a ? p( x)dx 2 ?0故上式右端=2 F (a) ? 1 ； （3） P( ? ? a) ? 1 ? P( ? ? a) ? 1 ? [2 F (a) ? 1] ? 2[1 ? F (a)] 。 3.5 设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 都是分布函数，又 a ? 0, b ? 0 是两个常数，且 a ? b ? 1 。证明F ( x) ? aF1 ( x) ? bF2 ( x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证 ： 因 为 F1 ( x) 与F2 ( x) 都 是 分 布 函 数 ， 当 x1 ? x2 时 ， F1 ( x1 ) ? F1 ( x2 ) ，F2 ( x1 ) ? F2 ( x2 ) ，于是F ( x1 ) ? aF1 ( x1 ) ? bF2 ( x1 ) ? aF1 ( x2 ) ? bF2 ( x2 ) ? F ( x2 )又x ? ??lim F ( x) ? lim [aF1 ( x) ? bF2 ( x)] ? 0x ? ?? x ??lim F ( x) ? lim [aF1 ( x) ? bF2 ( x)] ? a ? b ? 1x ??F ( x ? 0) ? aF1 ( x ? 0) ? bF2 ( x ? 0) ? aF1 ( x) ? bF2 ( x) ? F ( x)所以， F (x) 也是分布函数。 取a ? b ?1 ，又令 2?0 x ? 0 F1 ( x) ? ? ?1 x ? 0 x?0 ?0 ? F2 ( x) ? ? x 0 ? x ? 1 ? 1 x ?1 ?这时? 0 ?1 ? x F ( x) ? ? ? 2 ? 1x?0 0 ? x ?1 x ?1显然，与 F (x) 对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故 F (x) 不是离散型的，而F (x) 不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6 设随机变数 ? 的分布函数为?1 ? (1 ? x)e ? x F ( x) ? ? ?0求相应的密度函数，并求 P(? ? 1) 。 解：x?0 x?0d [1 ? (1 ? x)e ? x ] ? xe ? x ，所以相应的密度函数为 dx? xe ? x p( x) ? ? ?0 x?0 x?02 P(? ? 1) ? F (1) ? 1 ? 。 e3.7 设随机变数 ? 的分布函数为? 0 ? F ( x ) ? ? Ax 2 ? 1 ?求常数 A 及密度函数。x?0 0 ? x ?1 x ?1解：因为 F (1 ? 0) ? F (1) ，所以 A ? 1，密度函数为?2 x 0 ? x ? 1 p( x) ? ? 其它 ?03.8 随机变数 ? 的分布函数为 F ( x) ? A ? Barctgx，求常数 A 与 B 及相应的密度函 数。 解：因为 lim F ( x) ? A ? B(?x ????2)?0x ???lim F ( x) ? A ? B?2?1 1 1 ,B ? 2 ?所以A?因而F ( x) ?1 1 1 ? arctgx, p( x) ? F ?( x) ? 。 2 ? ? (1 ? x 2 )3.9 已知随机变数 ? 的分布函数为?x ? p ( x ) ? ?2 ? x ?0 ?（1） 求相应的分布函数 F (x) ；0 ? x ?1 1? x ? 2 其它（2） 求 P(? ? 0.5), P(? ? 1.3), P(0.2 ? ? ? 1.2) 。x?0 ? 0 ? x 1 2 0 ? x ?1 ? ?0 ydy ? x ? 2 解： F ( x) ? ? 1 x 1 ?? ydy ? ? (2 ? y )dy ? 2 x ? x 2 ? 1 1 ? x ? 2 0 1 2 ? ?1 x?2 ?1 8 P(? ? 1.3) ? 1 ? P(? ? 1.3) ? 1 ? F (1.3) ? 0.245 P(? ? 0.5) ? F (0.5) ? P(0.2 ? ? ? 1.2) ? F (1.2) ? F (0.2) ? 0.663.10 确定下列函数中的常数 A ，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1） p( x) ? Ae?x；（2） p ( x) ? ?? ? ? ? A cos x ? ? x ? 2 2 ? 0 其它 ?1? x ? 2 2? x?3 其它? 0（3）? Ax 2 ? p( x) ? ? Ax ? 0 ?解： （1）????Ae?xdx ? 2 A? e ? x dx ? 2 A ? 1所以A ??1 ； 21 ; 2（2）??2 ? 2?A cos xdx ? 2 A? 2 cos xdx ? 2 A ? 1 ，所以 A=0(3)?21Ax 2 dx ? ? Axdx ?2829 6 。 A ? 1 ,所以 A ? 29 63.12 在半径为 R,球心为 O 的球内任取一点 P,求 ? ? oP 的分布函数。 解：当 0 ? x ? R 时4 3 ?x x F ( x) P(? ? x) ? 3 ? ( )3 4 3 R ?R 3所以0 ? ? x F ( x) ? ?( ) 3 ? R ? 1x?0 0? x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以 ? 表示每天的耗电率（即用电量除以一万 度） ，它具有分布密度为?12 x(1 ? x) 2 0 ? x ? 1 p( x) ? ? 0 其它 ?若该城市每天的供电量仅有 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量 90 万度又是怎样呢？解：P(? ? 0.8) ? ? 12 x(1 ? x) 2 dx ? 0.02720.8 11P(? ? 0.9) ? ? 12 x(1 ? x) 2 dx ? 0.00370.9因此，若该城市每天的供电量为 80 万度，供电量不够需要的概率为 0.0272,若每 天的供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。 3.14 设随机变数 ? 服从（0，5）上的均匀分布，求方程4 x 2 ? 4?x ? ? ? 2 ? 0有实根的概率。 解：当且仅当(4? ) 2 ? 16(? ? 2) ? 02（1）成立时，方程 4 x ? 4?x ? ? ? 2 ? 0 有实根。不等式（1）的解为： ? ? 2 或 ? ? ?1 。 因此，该方程有实根的概率51 3 p ? P(? ? 2) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 2) ? ? dx ? 。 2 5 53.17 某种电池的寿命 ? 服从正态 N (a, ? ) 分布，其中 a ? 300 （小时） ? ? 35 （小时） ，2(1) 求电池寿命在 250 小时以上的概率； （2）求 x ，使寿命在 a ? x 与 a ? x 之间的概率不小于 0.9。 解： （1） P(? ? 250 ) ? P( = P(? ? 30035? ?1.43)? ? 30035? 1.43) ? ?(1.43) ? 0.9236 ； x ? ? 300 x ? ? 35 35 35（2） P(a ? x ? ? ? a ? x) ? P(? = ?( 即x x x ) ? ?(? ) ? 2?( ) ? 1 ? 0.9 35 35 35 ?( x ) ? 0.95 35所以x ? 1.65 35即x ? 57.753.18 设 ?(x) 为 N (0,1) 分布的分布函数，证明当 x ? 0 时，有1 2?e?x2 21 . ? 1 ? ? ( x) ? x1 2?e?x2 21 1 ( ? 3) x x证：1 ? ? ( x) ? 1 ?1 2? 1? x2 21 2??x??e?y2 2dy ?y21 2???xe?y2 2dy=e1 1 . ? x 2???x1 ?2 e dy y21 1 1 e ( ? 3)? = x x 2? 2?所以x2 2x2 2??x3 ?2 e dy y4y21 2?3.21 证明：二元函数e?1 . ? 1 ? ? ( x) ? x1 2?e?x2 21 1 ( ? 3)。 x x?1 x ? y ? 0 F ( x, y ) ? ? ?0 x ? y ? 0对每个变元单调非降，左连续，且 F (??, y) ? F ( x,??) ? 0 ， F (??,??) ? 0 ，但是F ( x, y ) 并不是一个分布函数。证： （1）设 ?x ? 0 ， 若 x ? y ? 0 ，由于 x ? ?x ? y ? 0 ，所以 F ( x, y) ? F ( x ? ?x, y) ? 1 ， 若 x ? y ? 0 ，则 F ( x, y) ? 0 。当 x ? ?x ? y ? 0 时， F ( x ? ?x, y) ? 0 ； 当 x ? ?x ? y ? 0 时， F ( x ? ?x, y) ? 1 。所以 F ( x, y) ? F ( x ? ?x, y) 。 可见， F ( x, y ) 对 x 非降。同理， F ( x, y ) 对 y 非降。 （2） x ? y ? 0 时lim F ( x ? ?x, y ) ? lim F ( x, y ? ?y ) ? 0 = F ( x, y ) ，?x ? 0 ?y ? 0x ? y ? 0 时，lim F ( x ? ?x, y ) ? lim F ( x, y ? ?y ) ? 1 = F ( x, y ) ，?x ? 0 ?y ? 0所以 F ( x, y ) 对 x 、 y 左连续。 （3） F (??, y) ? F ( x,??) ? 0 ， F (??,??) ? 0 。 （4） P(0 ? ? ? 2,0 ? ? ? 2) ? F (2,2) ? F (2,0) ? F (0,2) ? F (0,0) ? ?1 ，所以 F ( x, y ) 不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数 (? ,? ) 的密度?1 ? sin(x ? y ) p ( x, y ) ? ? 2 ?0 ?求 ? ,?） 的分布函数。 （ 解：当 0 ? x ?0? x? 其它?2,0 ? y ??2?2，0 ? y ??2时，F ( x, y) ? P(? ? x,? ? y)=??0xy01 sin(t ? s)dsdt 21 x [cot? cos(t ? y )]dt 2 ?0 1 = [sin x ? sin y ? sin(x ? y )], 所以 2=( x ? 0 ) ? ( y ? 0) ?0 ?1 ? ? ? [sin x ? sin y ? sin(x ? y )] 0 ? x ? ,0 ? y ? 2 2 ?2 1 ? ? ? (sin x ? 1 ? cos x) 0? x? ,y ? F ( x, y ) ? ? 2 2 2 ?1 ? ? x ? ,0 ? y ? ? 2 (1 ? sin y ? cos y ) 2 2 ? ? ? ?1 x? ,y ? 2 2 ?3.24 设二维随机变数 (? ,? ) 的联合密度为?k e?3 x ? 4 y p ( x, y ) ? ? ? 0（1） 求常数 k ； （2） 求相应的分布函数； （3） 求 P(0 ? ? ? 1,0 ? ? ? 2) 。 解： （1）x ? 0, y ? 0 其它? ?0??0ke?3 x ?4 y dxdy ?所以 k ? 12 ； （2） x ? 0, y ? 0 时，k ? ?3 x k ?0 e dx ? 12 ， 4F ( x, y) ? ?x0? 12ey?3 xy?3t ? 48dtds ? 12(? e ?3t dt)( ? e ?48 ds)0 0xy= (1 ? e)(1 ? e ?4 y ) ，所以?(1 ? e ?3 x )(1 ? e ?4 y ) F ( x, y ) ? ? ? 0（3） P(0 ? ? ? 1,0 ? ? ? 2)x ? 0, y ? 0 其它= F (1,2) ? F (0,2) ? F (1,0) ? F (0,0) =1 ? e?3? e ?8 ? e ?11 。3．25 设二维随机变数 (? ,? ) 有密度函数p ( x, y ) ?求常数 A 及 (? ,? ) 的密度函数。A ? (16 ? x )( 25 ? y 2 )2 2? ?解：???? ?? ?p ( x, y )dxdy? 2 2A dxdy ? (16 ? x )( 25 ? y 2 ) 4 A ? dx ? dy A ? 2? ? ?1 0 16 ? x 2 ? 25 ? y 2 0 20 ? ???? ???所以， A ? 20 ；F ( x, y ) ? ? ? 202x?? ???yp (t , s )dtds2dtds ? ?? ?? (16 ? t )( 25 ? s 2 ) y 20 x dt ds ? 2 (? )( ? ) ? ? 16 ? t 2 ? ? 25 ? s 2 ? 1 x ? y ? ? 2 (arctg ? )( arctg ? ) 4 2 5 2 ?? ?xy3.26 设二维随机变数 (? ,? ) 的密度函数为?4 xy 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 p ( x, y ) ? ? 其它 ?0求（1） P(0 ? ? ?1 1 , ? ? ? 1); (2) P(? ? ? ); (3) P(? ? ? ); (4) P(? ? ? ) 。 2 4解：(1) P (0 ? ? ?1 1 1 1 15 , ? ? ? 1) ? ? 2 ?1 4 xydxdy ? 4 ? 2 xdx?1 ydy ? ; 0 0 2 4 64 4 411(2) P (? ? ? ) ? (3) P (? ? ? ) ? (4) P (? ? ? ) ?x? y?? 4 xydxdy ? 0;1 1 1 2 0 x 0x? y?? 4 xydxdy ? ? ? 4 xydydx ? ? 2( x ? x1 21 )dx ? ; 23.28 设 (? ,? ) 的密度函数为?1 ? 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 p ( x, y ) ? ? 2 ?0 其它 ?求 ? 与? 中至少有一个小于 解：1 的概率。 21 1 1 1 P[(? ? ) ? (? ? )] ? 1 ? P(? ? ,? ? ) 2 2 2 2 ? ? 1 11 5 ? 1 ? ?1 ?1 p ( x, y )dxdy ? 1 ? ?1 ?1 dxdy ? 8 2 2 2 2 23.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以 ? 和? 表示这两个组件的寿命（以小时计） ， 设 (? ,? ) 的分布函数为? 1 ? e ?0.01x ? e ?0.01y ? e ?0.01( x ? y ) F ( x, y ) ? ? ?0求两个组件的寿命都超过 120 的概率。 解：x ? 0, y ? 0 其它P (? ? 120 ,? ? 120 ) ? 1 ? P[(? ? 120 ) ? (? ? 120 )] ? 1 ? P (? ? 120 ) ? P (? ? 120 ) ? P (? ? 120 ,? ? 120 ) ? 1 ? F (120 ? 0, ?) ? F (?,120 ? 0) ? F (120 ? 0,120 ? 0) ? 1 ? (1 ? e ?1.2 ) ? (1 ? e ?1.2 ) ? (1 ? 2e ?1.2 ? e ? 2.4 ) ? e ? 2.4 ? 0.093.31 设 p1 ( x), p 2 ( x) 都是一维分布的密度函数，为使p( x, y) ? p1 ( x) p2 ( y) ? h( x, y)成为一个二维分布的密度函数，问其中的 h( x, y) 必需且只需满足什么条件？解：若 p( x, y) 为二维分布的密度函数，则p( x, y) ? 0, ?所以条件 (1)h( x, y) ? p1 ( x) p2 ( y); (2)??? ? ?? ???p( x, y)dxdy ? 1? ???? ??h( x, y)dxdy ? 0 得到满足。?反之，若条件（1）（2）满足，则 ，p( x, y) ? 0, ?p( x, y) 为二维分布的密度函数。? ? ???p( x, y)dxdy ? 1因此， 为使 p( x, y) 成为二维分布的密度函数，h( x, y) 必需且只需满足条件 （1） （2） 和 。 3.32 设二维随机变数 (? ,? ) 具有下列密度函数，求边际分布。? 2e ? y ?1 ? （1） p ( x, y ) ? ? x 3 ? 0 ?x ? 1, y ? 1 其它 x ? 0, y ? 0或x ? 0, y ? 0 其它 0? x? y 其它? 1 ? 1 ( x2 ? y2 ) ? e 2 （2） p ( x, y ) ? ?? ? 0 ?1 ? x k1 ?1 ( y ? x) k2 ?1 e ? y ? （3） p ( x, y ) ? ? ?(k1 )?(k 2 ) ? 0 ?解： （1） p? ( x) ???12e ? y ?1 2 dy ? 3 , ( x ? 1) 3 x x 2e ? y ?1 dx ? e ? y ?1 , ( y ? 1) 3 xx2 2p? ( x) ? 0, ( x ? 1)p? ( x ) ? ?（2） x ? 0 时，?1p? ( x) ? 0, ( y ? 1)p? ( x ) ? ?01???e1 ? ( x2 ? y 2 ) 2dy ?1 2?e?x ? 0 时，p? ( x ) ? ?所以， p? ( x) ??10?1e1 ? ( x2 ? y2 ) 2dy ?1 2?e?x2 22?e?x2 2。同理， p? ( y ) ?1 2?e?y2 2。（3） p? ( x) ?? x k1 ?1 1 k ?1 ? y k ?1 ? x ?x ( y ? x) 2 e dy ? ?(k1 ) x 2 e , ( x ? 0) ? ( k1 ) ? ( k 2 )p? ( x) ? 0, ( x ? 0)p? ( y ) ?y e?y 1 k ?1 k ?1 k ? k ?1 ?0 x 1 ( y ? x) 2 dx ? ?(k1 ? k 2 ) y 1 2 , ( y ? 0) ? ( k1 ) ? ( k 2 )p? ( y ) ? 0, ( y ? 0)3.34 证明：若随机变数 ? 只取一个值 a ，则 ? 与任意的随机变数? 独立。 证： ? 的分布函数为?0 x ? a F? ( x) ? ? ?1 x ? a设 ? 的分布函数、 (? ,? ) 的联合分布函数分别为 F? ( y ), F ( x, y ) 。 当 x ? a 时 ， F ( x, y ) ? P(? ? x,? ? y ) ? 0 ? F? ( x) F? ( y ) 。 当 x ? a 时 ，F ( x, y ) ? P(? ? x,? ? y ) ? P(? ? y ) ? F? ( x) F? ( y) 。 所 以 ， 对 任 意 实 数 x, y ， 都 有F ( x, y ) ? F? ( x) F? ( y ) ，故 ? 与 ? 相互独立。3.35 证明：若随机变数 ? 与自己独立，则必有常数 c ，使 P(? ? c) ? 1 。 证 ： 由 于 P(? ? x) ? P(? ? x, ? ? x) ? P(? ? x) P(? ? x) ， 所 以 F ( x) ? [ F ( x)] ，2F ( x) ? 0或1。由于 F (??) ? 0, F (??) ? 1 ， F (x) 非降、左连续，所以必有常数 c ，使得?0 x ? c F ( x) ? ? ?0 x ? c故 P(? ? c) ? 1 。 3.36 设二维随机变量 (? ,? ) 的密度函数为?1 ? p ( x, y ) ? ? ? ?0 ?问 ? 与? 是否独立？是否不相关？x2 ? y2 ? 1 其它解： p? ( x) ??1? x 2dy? 1? x 2??2 1? x2?, (| x |? 1); p? ( x) ? 0, (| x |? 1) 。同理， p? ( y ) ?2 1? y2?, (| y |? 1); p? ( y ) ? 0, (| y |? 1) 。由于 p( x, y ) ? p? ( x) p? ( y ) ，所以 ? 与? 不相互独立。 又因 p( x, y ), p? ( x), p? ( y ) 关于 x 或关于 y 都是偶函数， 因而 E? ? E? ? E (?? ) ? 0 ， 故 cov( ,? ) ? 0 ， ? 与? 不相关。 ? 3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：?100 ? p ( x) ? ? x 2 ?0 ?x ? 100 x ? 100一台电子管收音机在开初使用的 150 小时中， 三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？ 三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为 ? ，则100 2 dx ? 2 150 x 3 3 所以三个这类管子没有一个要替换的概率为 ( 2 ) ? 8 ；三个这类管子全部要替换的概 3 27 P(? ? 150 ) ? ?3 率是 (1 ? 2 ) ? 1?327 。3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间 [a, b] 内，求球体积的密度函数。 解 ： 设 球 的 直 径 为 ? ， 则 其 体 积 为 ??1 3 1 ?? 。 y ? ?x 3 的 反 函 数 6 6x ? 3 6 y ? , dx ? 2密度函数为336?y 2 dy 。由 ? 的密度函数 p? ( x) ? 1 (b ? a) ， a ? x ? b ，得? 的2 ? ? p? ( y ) ? ? (b ? a ) ? 3 36?y 2 ? 0 ??6a3 ? y ??6b3 ,其它。3.45 设随机变数 ? 服从 N (0,1) 分布，求 ? 的分布密度。 解：在 x ? 0 时，P( ? ? x) ? P(? x ? ? ? x) ? ?x1 2??xe?t2 2dt 。所以 ? 的分布密度p ? ( x) ? 2 / ? ? e ? x22/2, ( x ? 0); p ? ( x) ? 0, ( x ? 0) 。?3.46 设随机变数 ? 服从 N (a, ? ) 分布，求 e 的分布密度。 解：y ? e x 的反函数 x ? ln y, dx ? 1 / y ? dy 。由 ? 服从 N (a, ? 2 ) 分布，推得? ? e ? 的分布密度为? 1 ? 1 ? ? oxp?? (ln y ? a) 2 ? y ? 0, ? 2 p? ( y ) ? ? 2? ?y ? 2? ? ?0 y ? 0. ?3.47 随机变数 ? 在任一有限区间 ?a, b ? 上的概率均大于 0 （例如正态分布等） ，其分布函数 为 F? (x) ， ? 服从 ?0,1? 上的均匀分布。 又 证明 ? ? F? (? ) 的分布函数与 ? 的分布函数相同。?1解： 因为 ? 在任一有限区间 ?a, b ? 上的概率均大于 0 ， 所以 F? (x) 是严格上升函数。 由于 ?0,1? 上 的 均 匀 分?1布，所以?的分布函数F? ( x) ? P(? ? x) ? P( F? (? ) ? x) ? P(? ? F? ( x) ? F? ( x) ，对任意的 x 都成立。所以 ?与 ? 的分布函数相同。 3.48 设随机变量 ? 与 ? 独立， ? ? ? 的分布密度。 （1）? 与? 分布服从 (a, b) 及 (? , ? ) 求 若 上的均匀分布，且 a ? ? ? b ? ? ； （2） ? 与 ? 分别服从 (?a,0) 及 (0, a) 上的均匀分布，a ? 0。解（1） p? ( x) ? 1 /(b ? a), a ? x ? p? ( x) ? 0, 其它。p? ( x) ? 1 /(? ? ? ), ? ? x ? ? ; p? ( y ) ? 0 ，其它。p? ?? ( x) ? ? p? ( x ? y) ? p? ( y)dy???=?1 dy man ( x ?b ,? ) (b ? a )( ? ? ? )min( x ? a , ? )= ?min( x ? a, ? ) ? max( x ? b, ? )? /?(b ? a)( ? ? ? )?, a ? ? ? x ? b ? ? ; p? ?? ( x) ? 0 ， 其 它。 （2） p? ( x) ? 1 / a,?a ? x ? 0; p? ( x) ? 0 ，其它，p? ( x) ? 1 / a,0 ? x ? p? ( x) ? 0 ，其它。p? ?? ( x) ? ? p? ( x ? y) ? p? ( y)dy ? ????m in(x ? a ,? )m ax(x , 0 )21 / a 2 dy= ?min( x ? a, a) ? max( x,0)? / a=a? x a2,?a ? x ? p? ?? ( x) ? 0 ，其它3.49 设随机变量 ? 与 ? 独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为p( x) ?求 ? +? 的密度函数。 解：1 ? x /a ?e , (a ? 0) 2ap? ( x) ? p? ( x) ?? ??1 ? x /a ， ?e 2ap? ?? ( x) ? ? p? ( x ? y) ? p? ( y)dy ，当 x ? 0 时，p? ?? ( x) ? ?1 ? | x ? y | ? | y |? exp ?? ?dy 2 ? ? 4a a ? ?? x? y? y x? y? y a0 ? x ? 1 ? 2 [ ? e a dy ? ? e 0 4a ?? 1 x ?x ? (1 ? )e a 4a ady ? ? ex??y? x? y ady]当 x ? 0 时，x ? 1 p? ?? ( x) ? 2 [ ? e 4a ? ? x? y? y ady ? ? ex0?y? x? y ady ? ? e0??y? x? y ady] ?1 x x (1 ? )e a 4a a所以p? ?? ( x) ?1 ?| x| (a ? | x |) e a 4a 23.50 设随机变量 ? 与 ? 独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为p( x) ?证明： ? ? 证：1 ? (1 ? x 2 )1 (? ? ? ) 也服从同一分布。 21 1 dx 2 ? 1 ? x 1 ? ( y ? x) 2 ? 2x ? y 1 2( x ? y ) ? y ? 2 2 ??? [ x 2 ? 1 ? ( x ? y) 2 ? 1 ]dx ? y ( y ? 4) 1 ? 2 [ln( x 2 ? 1) ? yarctgx ? ln(( x ? y ) 2 ? 1) ? yarctg( x ? y )] | ?? ? ? y ( y 2 ? 4) 2 ? 2 ? ( y ? 4) p? ?? ( y ) ? ??? 2?1所以p12(? ?? )( z) ?2 1 2? 2 ? [( 2 z ) ? 4] ? (1 ? z 2 )即? ?1 (? ? ? ) 也服从相同的柯西分布。 23.51 设随机变量 ? 与 ? 独立，分别具有密度函数??e ? ?x p? ( x ) ? ? ?0 ??e ? ?x p? ( x) ? ? ?0（其中 ? ? 0, ? ? 0 ） ，求 ? + ? 的分布密度。 解： x ? 0 时，x?0 x?0 x?0 x?0p? ?? ( x) ? ? ?e ? ? ( x ? y ) ?e ??y dy0x? ?? e ? ?x ? e ?( ? ? ? ) y dy0x??? [e ? ?x e ??x ], ? ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? ?2 xe ??x , ??? ?x ? 0 时，p? ?? ( x) ? 03.53 设随机变量 ? 与 ? 独立，都服从 (0,1) 上的均匀分布，求 | ? ? ? | 的分布。 解： ? ? 服从 (?1,0) 上的均匀分布，据 3.48(2)知，?x ? 1 ? 1 ? x ? 0 p? ?? ( x) ? [min( x ? 1,1) ? max( x,0)] ? ? 0 ? x ?1 ?1 ? x在 0 ? x ? 1 时， | ? ? ? | 的分布函数F ( x) ? P(| ? ? ? |? x) ? P(? x ? ? ? ? ? x) ? ? (t ? 1)dt ? ? (1 ? t )dt ? 2 x ? x 2?x 0 0 x所以 | ? ? ? | 的分布密度为?2(1 ? x) 0 ? x ? 1 p|? ?? | ( x) ? ? 其它 ?03.54 设随机变量 ? 与 ? 独立，分别服从参数为 ? 与 ? 的指数分布，求 ? ? ? 的分布密 度。 解：由 p? ( x) ? ?e? ?x, x ? 0 得 p ?? ( x) ? ?e ?x , x ? 0 ，所以p? ?? ( x) ? ? p? ( y) p?? ( x ? y)dy???在 x ? 0 时，p? ?? ( x) ? ? ?e ??y ?e ? ( x ? y ) dy ? ?? e? 0?x(? ? ? )在 x ? 0 时，p? ?? ( x) ? ? ?e ??? ?e ? ( x ? y ) dy ? ?? e? x? ?x(? ? ? )所以? ?? e ?x x?0 ? (? ? ? ) p? ?? ( x) ? ? ? ?x ??? e x?0 (? ? ? ) ?3.56 设随机变量 ? 与? 独立，且分别具有密度函数为1 ? ? p? ( x ) ? ? ? 1 ? x 2 ?0 ?| x |? 1 | x |? 1? ?x ? p? ( y) ? ? xe ?0 ?证明 ?? 服从 N (0,1) 分布。 证：由 p? ( x) ? xe?x222x?0 x?02, x ? 0 得 p 1 ( x ) ? x ?3 e??12 x2, x ? 0 。故p?? ( y ) ? p令 1?1?( y ) ? ? | x | p? ( yx) p? ( x)dx???2x2?u? y22，则p?? ( y ) ?所以 ?? 服从 N (0,1) 分布。1 2?e?y22??0u 2 e ?u du ??11 2?e?y223.58 设随机变量 ? 与 ? 独立，都服从 (0, a) 上的均匀分布，求 ? 解： p ? ( x) ???的密度函数。????p? ( xz) p? ( z ) | z | dz ?1 ? zp? ( xz)dz a ?0当 0 ? x ? 1 时，p ? ( x) ??1 a2?a xa0zdz ?1 2当 x ? 1时p ? ( x) ??1 a2?0zdz ?1 2x 2所以 ??的密度函数为? x?0 ? 0 ?1 p ? ( x) ? ? 0 ? x ?1 2 ? ? 1 x ?1 ? 2x 2 ?3.59 设随机变量 ? 与 ? 独立，都服从参数为 ? 的指数分布，求 解：在 x ? 0 时，??的密度函数。p ? ( x) ? ? p? ( xy) p? ( y ) | y | dy????? ? ?2 e ??xy e ??y ydy ?0?1 ( x ? 1) 2在 x ? 0 时， p ? ( x) ? 0 。?3.60 设二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布密度为?1 ? xy ? | x |? 1, | y |? 1 p ( x, y ) ? ? 4 ? 0 其它 ?证明： ? 与? 不独立，但 ? 与? 独立。2 2证：由于 p( x, y ) ? p? ( x) p? ( y ) ，所以 ? 与? 不独立。由于x ?1 ? 1 ? x 1 1 ? ty P(? 2 ? x) ? ?? ( ? dy)dt ? x 0 ? x ? 1 ? x ?1 4 ? x?0 ? 0 y ?1 ? 1 ? y 1 1 ? tx P(? 2 ? y ) ? ?? ( ? dx)dt ? y 0 ? y ? 1 ? y ?1 4 ? y?0 ? 0 x, y ? 1 ?1 ? x 0 ? x ? 1, y ? 1 ? ? 2 2 P(? ? x,? ? y ) ? ? y x ? 1,0 ? y ? 1 ? xy 0 ? x, y ? 1 ? ?0 其它 ?所以对一切的 x, y ， 都有 P(? ? x,? ? y) ? P(? ? x) P(? ? y) ， ? 与? 相互独立。 故2 2 2 2 2 23.61 设随机变量 ? 具有密度函数? ? ?2 ? cos2 x ? ? x ? p( x) ? ?? 2 2 ? 0 其它 ?求 E? , D? 。 解： E? ?????2 2x2?cos2 xdx ? 0?D? ? E? ? ? ? x2 2 ? 222?cos xdx ?2?212?1 23.62 设随机变量 ? 具有密度函数?x ? p ( x) ? ? 2 ? x ?0 ?求 E? 及 D? 。 解0 ? x ?1 1? x ? 2 其它E? ? ? x 2 dx ? ? x(2 ? x)dx ? 1 ，0 112E? 2 ? ? x 3 dx ? ? x 2 (2 ? x)dx ? 7 / 6 ，0 112D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? 1 / 6 。3.63 设随机变量 ? 的分布函数为?0 ? F ( x) ? ? a ? b arcsin x ?1 ?试确定常数 (a, b) ，并求 E? 与 D? 。 解：由分布函数的左连续性，x ? ?1 ?1 ? x ? 1 x ?1? a ? b ? arcsin1 ? 1, ? ?a ? b ? arcsin 0 ? 0,故 a ? 1 / 2, b ? 1 / ? 。1 1 1 E? ? ? x ? d ( ? arcsin x) ?1 2 ?=?1x?1? 1? x21dx ? 0 ，x 2 x 2 dx 1? x2D? ? E? ? ?3.64?1? 1? x2dx ???10???2? /20sin 2 tdt ? 1 / 2 。随机变量 ? 具有密度函数? A ? x? ? e ? x / ? , x ? 0 p( x) ? ? x?0 ? 0,其中 ? ? 1, ? ? 0, 求常数 A, E? 及 D? 。 解： 1 ???0A ? x? ? e ? x / ? dx ? A ? ? ? ? ?1 y ? e ? y dy0?= A? 故? ?1T (? ? 1) ，A???? ?11 。 ? T (? ? 1)E? ? ? A ? x ? ?1 ? e ? x / ? dx ? A ? ? ? ? 2 ? T (? ? 2) ? (? ? 1) ? ,0E? ? ? A ? x ? ? 2 ? e ? x / ? dx ? A ? ? ? ?3 ? T (? ? 3)0?= (? ? 1)(? ? 2) ?2D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? (? ? 1) ? 23.66 设随机变量 ? 服从 (?1 2 1 ? 21 1 ) 上的均匀分布，求? ? sin ?? 的数学期望与方差。 2, 2解： E? ??sin ?xdx ? 0,1D? ? E? 2 ? ? 21 sin 2 ?xdx ? 1 / 2 。? 23.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间 的数学期望与方差。 解：设旅客候车时间为 ? （秒） ，则 ? 服从 ?0,300 ? 上的均匀分布，则1 ， ? x ? dx ? 150 （秒） 0 300 300 1 ， E? 2 ? ? ? x 2 ? dx ? 30000 (秒2） 0 300 E? ? ?300D? ? 30000 ? 150 2 ? 7500 (秒2） 。3.71 设 ?1 , ? 2 , ?? n 为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型） ，证明：对 任意的 k (1 ? k ? n) ，有? ? ? ? ? ?k E? 1 ?? ???? n ? 1nn? k ?? 。 ? n ?证： ? j / ? ? i 同分布 ( j ? 1,?, n) ，又 ? j / ? ? i ? 1 ，所以 E ?? j / ? ? i ? 都存在且相等i ?1i ?1? ?n? ?i ?1n n ? n ? ? ? ( j ? 1,?, n) 。由于 1 ? E ?? ? i / ? ? i ? ? n ? E ??1 / ? ? i ? ，所以 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? ?? ? ? ? ? ?k E? 1 ?? ???? n ? 1n ? ? ? k ? ? k ? E ??1 / ? ? i ? ? 。 ? i ?1 ? ? n ?3.72 设 ? 是非负连续型随机变量，证明：对 x ? 0 ，有P(? ? x) ? 1 ?证： P(? ? x) ?E? 。 x?x0p? (t ) ? 1 ? ? p? (t )dtx? x?? 1? ?t 1 ? ? p? (t )dt ? 1 ? ? t ? p? (t )dt x x 0? 1?E? 。 xr3.73 若对连续型随机变量 ? ，有 E ?? ?(r ? 0) ，证明有 P ( ? ? ? ) ?E?r?r。证： P ( ? ? ? ) ???x ??p? ( x)dx ? ?? rxx ??r?r? p? ( x)dxr?1r???x ? p? ( x) ? E ? / ? r 。3.75 已知随机变量 ? 与? 的相关系数为 ? ，求 ?1 ? a? ? b 与?1 ? c? ? d 的相关系数，其 中 a, b, c, d 均为常数， a, c 皆不为零。 解： ? ?1? 1 ?E ?(?1 ? E?1 ) ? (?1 ? E?1 )? E (?1 ? E? 2 )1 ? E (?1 ? E?1 ) 2=ac ? cov(? ,? ) a ? D? ? c ? D??? ? ac ? 0 ac ?? ? ? ac ?? ? ac ? 03.81 设随机变量 ?1,? 2 , ?, ? n 中任意两个的相关系数都是 ? ，试证： ? ? ? 证： 0 ? E??n nni ?1(? i ? E? i )?1 。 n ?12? ?i ?1 D? i ? 2?1?i ? j ? n?D?1 ? D? ji? ?i ?1 D? i ?1 ? ? ?=!?i ? j ? n? ( D?? D? j )?n i ?1D?1 ?1 ? ? (n ? 1)? ，故 1 ? ? (n ? 1) ? 0, ? ? ?1 。 n ?13.84 证明下述不等式（设 ? ,? 都是连续型或离散型随机变量） ： （1）若 ? 与 ? 都有 p ? 1 阶矩，则有[ E ? ? ? ]1 / p ? [ E ?pp 1/ p]? [ E ? ' p ]1 / p? E? )pE ? ??(2)若 ? 与? 都具有 p ? 0 阶矩，则p? 2 p ?1 ( E ?pE ? ? ? p ? 2 p (E ?证： （1） p ? 1 时， [ E ? ? ? ] 证明略。 在 p ? 1 时， x 是 x 的下凸函数，故p p 1/ p pp? E? )p p? [ E ? ]1 / p ? [ E ? ]1 / p 即所谓的明可夫斯基不等式，x? y 2即p?| x |p ? | y |p 2| x ? y | p ? 2 p ?1 (| x | p ? | y | p故E ? ??pp? 2 p ?1 ( E ?p pp? E?p（2）在 p ? 0 时， | x ? y | ? (| x | ? | y |) ?| 2 x | ? | 2 y | ? 2 (| x | ? | y | ) ，故p p p pE ? ? ? p ? 2 p (E ?3.88 设二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布密度为p? E? )p? (n ? 1)( n ? 2) ? p( x, y ) ? ? (1 ? x ? y ) n ? 0 ?其中 n ? 2 。求 ? ? 1 条件下? 的条件分布密度。 解： p? ( x) ?x ? 0, y ? 0 其它??0(n ? 1)( n ? 2) n?2 dy ? , x ? 0 。故 n (1 ? x ? y ) (1 ? x) n ?1?2 n ?1 (n ? 1) (2 ? y ) n y ? 0 p? |? ( y | 1) ? ? 其它 ?03.89 设随机变量 ? 服从 N (m,? ) 分布，随机变量 ? 在 ? ? x 时的条件分布为 N ( x, ? ) ，2 2求 ? 的分布及 ? 关于? 的条件分布。 解： p ( x, y ) ? p? ( x) ? p? |? ( y | x) ?? ( x ? m) 2 ( y ? x ) 2 ? exp ?? ? ? 2??? 2? 2 2? 2 ? ? 1p? ( y ) ? ? p ( x, y )dx ????? ? 2 ?? 2 ? ( y ? m) 2 ? ? ? exp ?? ? ? exp ?? 2 2 ? 2 2 2??? ? 2(? ? ? ) ? ?? ? 2? ? 1? m? 2 ? y? 2 ? ? ? ?x ? ? ?dx ? 2 ? ? 2 ?? ??故? ( y ? m) 2 ? ? exp ?? ， 2 2 ? 2? (? 2 ? ? 2 ) ? 2(? ? ? ) ? 1? ~ N (m, ? 2 ? ? 2 ). p? |? ( x | y )2 2? p ( x, y ) p? ( y ) ? ? ? ?? (? 2 ? ? 2 ) ? ? 2 m ? ? 2 y ? 2 ? ? ? ( 2? ?? ) ? exp ?? ， ? ?x ? 2 2 2 2 ? ? ? ?? ? ? ? 2? ? ? ? ?? 2m ? ? 2 y ? 2 ? ? 2 , )。 故在? ? y 时， ? 的条件分布为 N ( ?? ? 2 ?? 23.90 设 ?1 , ? 2 ?, ? n ,? 为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量? 只取正整数值，? 且与 ? n , n ? 1?独立，证明：E ? ? k ? ? E? k ? P(? ? k )k ?1 k ?1??证： E? ? k ? E ? E (? ? k ? ) ?k ?1?? ??? ?k ?1? ? s ? ? ? E ? ? ? k ? ? P(? ? s ) s ?1 ? k ?1 ? ? ? s ? ? ? ? ? E? k ? ? P(? ? s ) s ?1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? E? k ? ? ? P(? ? s ) ? k ?1 ? s ?k ?? ? E? k ? P(? ? k )k ?1?3.91 求下列连续型分布的特征函数： （1） (?a, a) 上的均匀分布 (a ? 0) ， （2）柯西分布，其密度函数为p( x) ?（3） T ? 分布，其密度函数为1 , (a ? 0) ? ( x ? b) 2 ? a 2 ?a? ?? ? ? x ? ?1 ? e ? ?x p ( x) ? ?T (? ) ?0 ?解： （1） ? (t ) ?ax?0 x?0(? ? 0, ? ? 0)?a?ae itx ?a ?1 sin at ? dx ? 2a atitx （2）? (t ) ? ? e ? ?a? 1 a e itu 2a itb ? cos tu dx ? ? e itb ? ? 2 du ? ?e ? 2 du ?? u ? a 2 0 u ? a2 ? ( x ? b) 2 ? a 2 ? ?由拉普拉斯积分??0cos ?x ? ??? ibt ? a t dx ? e , (? , ? ? 0), 得 ? (t ) ? e 2 2 2? ? ?x（3）? ? it ? (t ) ? ? eitx ? ? ? / ? (? ) ? x? ?1 ? e? ?1dx ? ? ? / ? (? ) ? ? e(it ?? ) x ? x? ?1dx ? ? ? / ? (? ) ?? (? ) /(? ? it)? ? (1 ? )?? 0 0 ?? (1 ?it?) ??2 23.93 若 ? (t ) 是特征函数， 证明下列函数也是特征函数：1） ? (?t ); (2) ? (t ) ; (3)?? (t )? （ n （ 为正整数） 证： （1）若 ? (t ) 是随机变量 ? 的特征函数，则 ? (?t ) 是随机变量? ? ?? 的特征函数； （2）若 ? 与 ? 独立同分布，其特征函数为 ? (t ) 。则 ? (t )2? ? (t ) ? ? ( ?t ) 是随机变量? ? ? ? ? 的特征函数；（3）若 ?1 , ?, ? n 独立分布，其特征函数为 ? (t ) 。则 ?? (t)? 是随机变量? ?n?n i ?1? i 的特征函数。 3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数： （1） cost ； （2） cos t ； （3） 证： （1） cost ?21 1 ? sin t ? ； （4） ? （5） ?it 。 ? ； 1 ? it 2e ? 1 ? t ?21 it 1 ?it ? e ? ? e ，所以 cost 是两点分布 2 2?P的特征函数。 （2） cos t ?2-1112121 1 2it 1 ?2it ? ? e ? ? e ，所以 cos2 t 是三点分布 2 4 4?P的特征函数。?214012214（3）密度函数为 p( x) ? e , x ? 0; p( x) ? 0, x ? 0 的指数分布的特征函数为?x1 ，所以 1 ? it1 x 是密度函数为 p( x) ? e , x ? 0; p( x) ? 0, x ? 0 的分布的特征函数。 1 ? it sin t （4） [?1,1] 上均匀分布的特征函数为 ，所以互相独立且同为 [?1,1] 上均匀分布的两个 t sin t 2 sin t 2 随机变量和的特征函数为 ( ) ，即 ( ) 是密度函数为 t t ?(2 ? x) ?2? x?0 4 ? ? p ( x) ? ? (2 ? x) 0? x?2 4 ? 0 其它 ? ?的分布的特征函数。 （5）1 2e?it?1??1 ikt 1 是几何分布 e ，所以 ?it k 2e ? 1 k ?1 2?P(? ? k ) ?的特征函数。1 , k ? 1,2,3,? 2k3.95 试举一个满足（1） ? (?t ) ? ? (t ) ， （2） | ? (t ) |? ? (0) ? 1 ，但是 ? (t ) 不是特征函数的 例子。 解：令? (t ) ? ??1 t ? 0 ?0 t ? 0则 ? (t ) 满足（1）（2） ， ，但 ? (t ) 在 t ? 0 点不连续，故 ? (t ) 不是特征函数。 3.96 证明函数? |t | ?1 ? | t |? a ? (t ) ? ? (a ? 0) a ?0 | t |? a ?是特征函数，并求出它的分布函数。 解：由于????? (t ) dt ? ? ?1 ? ??aa? ?t? ?dt ? a ? ? a? ?故欲证 ? (t ) 是特征函数，仅须验证p( x) ?1 2?????e? itx? ? (t )dt ?1 2??a?a? t? 1 e ?itx ? ?1 ? ?dt ? ? ? a? ? ??a0t? 1 1 ? cos ax ? ?1 ? ? cos txdt ? ? 2 ? ? a? ax是密度函数由于 p( x) ? 0 ，a ? 2 ax ? ax ? 2 ? sin 2 y ??? p( x)dx ? x ?0 sin 2 ? 2 ? dx ? ? ?0 y 2 dy ? 1 ， ? ??2所以 ? (t ) 为特征函数，其分布函数为F ( x) ? ?1 1 ? cos at ? dt 。 ?? ? at 2x3.97 设 ? (t ) 是一个特征函数。 h ? 0 ，证明：? h (t ) ? p(t ) ?也是特征函数。sin th th证：设 ? 与 ? 相互独立， ? 的特征函数为 ? (t ) ， ? 服从 ?? h, h? 上的均匀分布，? 的特征函 数为sin th sin th ，则 是 ? ? ? 的特征函数。 th th1 n ? ? i 与 ? 1 有相同的分布。 n i ?13.98 设 ?1 , ? 2 ,?, ? n 为 n 个独立同柯西分布的随机变量，证明证： 柯西分布 p ( x) ?n1 1 n ibt ? a t . 故 ? ? ? i 的特征函数为 的特征函数 ? (t ) ? e ? ( x ? b) 2 ? a 2 n i ?1 a ?? ? t ?? 1 n ibt ? a t . 所以 ? ? ? i 与同分布。 ?? ? n ?? ? e n i ?1 ? ? ??3.99 设 ?1 , ? 2 ,?, ? n 为独立同 T ? 分布的随机变量，求??i ?1ni的分布。解 ： T ? 分 布 p ( x) ?? ? ? ?1 ? ?x x e ， x ? 0 ； p ( x) ? 0 ， x ? 0 的 特 征 函 数 T (? )的特征函数为? it ? ? (t ) ? ? 1 ? ? ? ?? ? ???。故??i ?1ni?? (t )?n? it ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ?? n?，所以? ? i 也是 T ? 分布，其密度函数为 p( x) ?i ?1n? n? ? x n? ?1 ? e ? ?x ， x ? 0 ； p( x) ? 0 ， T ( n? )x ? 0。3.100 设二维随机变量 ?? ,? ? 具有联合密度函数为?1 ? 1 ? xy( x 2 ? y 2 ) p ( x, y ) ? ? 4 ?0 ???x ? 1, y ? 1 其它证明： ? ? ? 的特征函数等于 ?，? 的特征函数的乘积，但是 ?与? 并不相互独立。 证： p ? ?? ( z ) ?????p( x, z ? x)dx? (2 ? x) 4 ? 2 ? x ? 0 ? ? ?( 2 ? x ) 4 0? x?2 ?0 其它。 ?? sin t ? ? ? ? 的特征函数为 ? ? 。 ? t ?p? ( x) ? 1 2,?1 ? x ? 1; p? ( x) ? 0, x ? 1. p? ( y ) ? 1 2,?1 ? y ? 1; p? ( y ) ? 0, y ? 1 。故 ? 与 ? 的特征函数皆为2sin t ，所以 ? ? ? 的特征函数等于 ? 、 ? 的特征函数的乘积。由 tp( x, y ) ? p? ( x) ? p? ( y ) ，故 ? 与? 不互相独立。3.101 设随机变量 ? 服从柯西分布， 其特征函数为 e?t， 又令 ? ? a? (a ? 0) ， 证明 ? ? ? 的特征函数等于 ? 、 ? 的特征函数的乘积，但 ? 与? 不独立。 证：由 ? 的特征函数 ? ? (t ) ? e?t推得，? ? a? 与 ? ? ? 的特征函数分别为 ?? (t ) ? e?a t与? ? ?? (t ) ? e ? ( a ?1) t ，故 ?? ?? (t ) ? ?? (t ) ? ?? (t ) 。倘 若 ? 与? 相 互 独 立 ， 令 ? 的 分 布 函 数 为 F (x) ， 则2F ( x) ? P(? ? x,? ? ax) ? P(? ? x) ? P(? ? ax) ? P(? ? x) ? P(? ? x) ? ?F ( x)? ，故 F ( x) ? 0 或 1 ，此与 ? 服从柯西分布相矛盾，故 ? 与? 互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由） ： （1） sin t ； （2）1 1 1? t ； （3） ln(e ? t ) ； （4） ； （5） 。 2 1? i t 1? t ?1 ? t 2 ?2解： （1）不是，因为 sin 0 ? 1 。 （2）不是，因为当 ? 1 ? t ? 0 时，1? t ? 1。 1? t 2（3）不是，因为 ln(e ? t ) ? 1 不成立 （4）不是，因为 ? (t ) ?1 ? ? (?t ) 。 1? i t1 1 ?x 1 ，所以 也是特征 ? e 的特征函数为 2 2 1? t ?1 ? t 2 ?2（5）是的，拉普拉斯分布 p( x) ? 函数。第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设 D(x) 为退化分布：?1 x ? 0 D( x) ? ? ?0 x ? 0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ 1 1 (1) {D( x ? n)}; (2) {D( x ? )}; (3) {D( x ? 0}, 其中n ? 1,2,? n n 解： （2）不是； （1） （3）是。 4.2 设分布函数 Fn (x) 如下定义：? 0 ?x ? n Fn ( x) ? ? ? 2n ? 1 x ? ?n ?n? x ? n x?n问 F ( x) ? lim Fn ( x) 是分布函数吗？n ??解：不是。 4.3 设分布函数列 {Fn ( x)} 弱收敛于分布函数 F (x) ，且 F (x) 为连续函数，则{Fn ( x)} 在 (??, ?) 上一致收敛于 F (x) 。证：对任意的 ? ? 0 ，取 M 充分大，使有1 ? F ( x) ? ? , ?x ? M ; F ( x) ? ? , ?x ? ?M对上述取定的 M ，因为 F (x) 在 [?M , M ] 上一致连续，故可取它的 k 分点：x1 ? ?M ? x2 ? ? ? xk ?1 ? xk ? M ， 使 有 F ( xi ?1 ) ? F ( xi ) ? ? ,1 ? i ? k ， 再 令x0 ? ??, xk ?1 ? ? ，则有 F ( xi ?1 ) ? F ( xi ) ? ? ,0 ? i ? k ? 1（1） 这时存在 N ，使得当 n ? N 时有| Fn ( xi ) ? F ( xi ) |? ? ,0 ? i ? k ? 1（2） 成立，对任意的 x ? (??, ?) ，必存在某个 i(0 ? i ? k ) ，使得 x ? ( xi , xi ?1 ) ，由（2） 知当 n ? N 时有Fn ( x) ? Fn ( xi ?1 ) ? F ( xi ?1 ) ? ?（3）Fn ( x) ? Fn ( xi ) ? F ( xi ) ? ?（4） 由（1）（3）（4）可得 ， ，Fn ( x) ? F ( x) ? F ( xi ?1 ) ? F ( x) ? ? ? F ( xi ?1 ) ? F ( xi ) ? ? ? 2? ， Fn ( x) ? F ( x) ? F ( xi ) ? F ( x) ? ? ? F ( xi ) ? F ( xi ?1 ) ? ? ? ?2? ，即有 Fn ( x) ? F ( x) ? 2? 成立，结论得证。 4.5 设随机变量序列 ?? n ? 同时依概率收敛于随机变量 ? 与 ? ，证明这时必有P(? ? ? ) ? 1 。?? ? ?? 证：对任意的 ? ? 0 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ? ? ? ?? ，故 2 ?? ???? ?? ? ? 0 ? P?? ? ? ? ? ? ? P? ? ? ? n ? ? ? P? ? n ? ? ? ? ? 0, n ? 0 2? 2? ? ?即对任意的 ? ? 0 有 P? ? ? ? ? ? ? ? 0 成立，于是有?? ? 1 ?? ? ? 1? P?? ? ? ? ? P ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? P? ? ? ? ? ? ? 0 k ?? k ?1 ? k? ? k ?1 ?从而 P(? ? ? ) ? 1 成立，结论得证。? 4.6 设随机变量序列 ?? n ? ， ? n ?分别依概率收敛于随机变量 ? 与? ，证明：?? ?? （1） ? n ? ? n ?P ? ? ? ； （2） ? n ? ? n ?P ? ? ? 。?? ?? ? ? ?? 证： （1）因为 ?? ? ? ? ? n ? ? n ? ? ? ? ?? ? ? ? n ? ? ? ? ? ? ? n ? ?? 故 2? ? 2 ?? ???? ?? ? ? 0 ? P( ? ? ? ? ? n ? ? n ? ? ) ? P? ? ? ? n ? ? ? P? ? ? ? n ? ? ? 0, n ? ? 2? 2? ? ??? 即 ? n ? ? n ?P ? ? ? 成立。 ?? （ 2 ） 先 证 明 这 时 必 有 ? n2 ?P ? 2 。 对 任 给 的 ? ? 0, ? ? 0 取 M 足 够 大M ?1? ? ? ? ? ? 1? ，使有 P? ? ? ? ? ? ? 成立，对取定的 M ，存在 N ，当 n ? N 时有 2 ? ?M ? ?? ? ? P?? n ? ? ? 1? ? P? ? n ? ? ? ? ? ? 成立这时有 M? ?P?? n ? ? ? M ? ? P?? n ? ? ? 2? ? M ? ? P??? n ? ? ? 2? ? M ? ? ?? n ? ? ? 1??? P{(| ? n ? ? | ? | 2? |? M ) ? (| ? n ? ? |? 1)} ? P(| 2? |? M ? 1) ? P(| ? n ? ? |? 1) ? 2?从而有P (| ? n2 ? ? 2 |? ? ) ? P (| ? n ? ? || ? n ? ? |? ? ) ? P{(| ? n ? ? || ? n ? ? |? ? ) ? (| ? n ? ? |? M )} ? P{(| ? n ? ? || ? n ? ? |? ? ) ? (| ? n ? ? |? M )} ? P (| ? n ? ? |?P?M) ? P (| ? n ? ? |? M ) ? 3?P2 由 ? , ? 的任意性知 ? n2 ?? 2 ，同理可证? n ?? 2 ，由前述（1）有 2 2? n? n ? (? n ? ? n ) 2 ? ? n2 ? ? n ?(? ? ? ) 2 ? ? ? ? 2 ? 2?? P?? 故 ? n ? ? n ?P ? ? ? ，结论成立。?? 4.7 设随机变量序列 ? n ?P a ，a ? 0 是一个常数，且 ? n ? 0 ，证明1?n?P ??1 。 a证 ： 不 妨 设 a ? 0 对 任 意 的 0 ? ? ? a ， 当 ?n ? a ? ? 时 有? n a ? a 2 ? a (? n ? a ) ? a 2 ? a? ，? ? ?a ? ? ?n ? a ? ? ? ? 因而 ? n ? ? a ? ? ? ? ? a 2 ? a? ? ? ? 。于是有 ? ? n ? ? ? 1 1 ? 0 ? P? ? ??? ?? ? ? n a ??? ? ? a ? ?? ? ? a ? ? ? ? ? ? ? ? P?? n ? ? ? ? ?? n ? a ? ? ?? ? P?? n ? ? ? ? ?? n ? a ? ? ?? ? ? a ? ? ? a ? ?? n ? ?? n ? ? ? ? ? ? ?? ? ?a ? ? P? 2n ? a ? a? ? ? ? ? P? ? n ? a ? ? ? ? 0, n ? ? 。 ? ? ?结论成立。 4.9 证明随机变量序列 ?? n ? 依概率收敛于随机变量 ? 的充要条件为：E?n ? ? ? 0, n ? ? 1? ?n ? ?证： 充分性， f ( x) ? 令1 x ? 0, x ? 0 ， f (x) 是 x( x ? 0) ， ? 0 ， f ' ( x) ? 则 故 x 1? x (1 ? x) 2? ? ，于是有 ? ? ? ? ? ?? ?n ? ? ? 的单调上升函数，因而 ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? 1? | ? ? ? | ? 1 ? ? n ?? ?n ? ? ? P ? ? n ? ? ? ? ? ? P? ?1? ? ? ? ? 1? ? n ??1? ??E?n ? ? ? 0, n ? ? 1? ?n ? ?对任意的 ? ? 0 成立，充分性得证。? ?? 必要性，对任给的 ? ? 0 ，令 A? ? ? : ? n ? ? ? ? ?，因为 ? n ?P ? ，故存在充分大的 N 使得当 n ? N 时有 P ( A? ) ? ? ，于是有E ? ?n ? ? ? ?n ? ? ?n ? ? )I ? E? I A? ? ? E ( ?1? ? ? ? ? 1? ?n ? ? 1 ? ? n ? ? A? n ? ?? P( A? ) ? ? ? 2? ，由 ? 的任意性知 E?n ? ? ? 0, n ? ? ，结论为真。 1? ?n ? ?4.10 设随机变量 ? n 按分布收敛于随机变量 ? ，又数列 a n ? a ， bn ? b ，证 明 an? n ? bn 也按分布收敛于 a? ? b 。 证：先证明 a? n 按分布收敛于 a? 。 a ? 0 时为显然，不妨设 a ? 0 （ a ? 0 时 的修改为显然） ，若 a? ，? ， a? n ，? n 的分布函数分别记作 Fa? ??? ， F? ??? ， Fa?n ???x ? x? 与 Fn ??? ，则 Fa? ?x ? = F? ? ? ，当 x 是 Fa? ??? 的连续点时， 是 F? ??? 的连续点，于是 a ?a?有? x? ? x? lim Fa?n ( x) ? lim Fn ? ? ? lim F? ? ? ? Fa? ( x) n ?? n ?? ? a ? n ?? ? a ?成立，结论为真。由 4.12 知 ? n (an ? a) ? 0 ，再由 4.6(1)知 ? n (an ? a) ? bn ?b ， 于是由前述结论及 4.11 知 ? n a n ? bn ? a? n ? (a n ? a)? n ? bn 按分布收敛于 a? ? b ， 结论得证。 4.11 设随机变量序列 {? n } 按分布收敛于随机变量 ? ， 随机变量序列 {? n } 依概率收 敛于