数学思维训练教程(小升初)_甜梦文库
数学思维训练教程(小升初)
新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家数学思维训练教程小升初系统总复习目 录目 录 .............................................................................................................................................. 1 第 1 讲 计算（一） 速算与巧算 ................................................................................................ 2 第 2 讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算 .............................................................. 18 第 3 讲 数字谜、数阵图、幻方 ................................................................................................ 32 第 4 讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题 ...................................................................... 48 第 5 讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数 ...................................................... 61 第 6 讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 .................................................. 74 第 7 讲 几何（一） 平面图形 .................................................................................................. 87 第 8 讲 几何（二） 曲线图形 .................................................................................................111 第 9 讲 几何（三） 立体图形 ................................................................................................ 126 第 10 讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题 ........................................................ 139 第 11 讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 ................................................ 148 第 12 讲 牛吃草问题 ................................................................................................................ 158 第 13 讲 行程（一） 相遇追及（多次） 、电车问题 ............................................................ 167 第 14 讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯 ...................................................... 185 第 15 讲 行程（三） 行程中的比例 ...................................................................................... 198 第 16 讲 分数与百分数 ............................................................................................................ 214 第 17 讲 工程问题 .................................................................................................................... 224 第 18 讲 浓度与经济问题 ........................................................................................................ 239 第 19 讲 方程 ............................................................................................................................ 249 第 20 讲 排列组合 .................................................................................................................... 262 第 21 讲 容斥原理 .................................................................................................................... 274 第 22 讲 抽屉原理 .................................................................................................................... 289 第 23 讲 逻辑推理 .................................................................................................................... 297 第 24 讲 统筹与策略 ................................................................................................................ 316新锐教育学生开心家长放心1新锐教育新锐教育第1讲中小学课外辅导专家计算（一） 速算与巧算一、知识地图基本公式 平方、立方公式 整数计算 数列及特殊公式 特殊方法 速算与巧算 拆分与裂项分数计算几个常用拆分分数循环小数化分数二、基础知识 （一）整数计算 1、基本公式 （1） （2） （3） （4） （5） 加法交换律： a ? b ? b ? a 加法结合律： a ? b ? c ? a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c 减法的性质： a ? b ? c ? a ? (b ? c) 乘法交换律： a ? b ? b ? a 乘法结合律： a ? b ? c ? a ? ?b ? c ? ? ?a ? b? ? c 乘法分配律：（6）a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c（7）除法的性质： a ? b ? c ? a ? (b ? c)新锐教育学生开心家长放心2新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家2、平方、立方公式(a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? 2ab（1） 完全平方公式： (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab(a ? b ? c)2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac（2） 平方差公式： a ? b ? (a ? b)(a ? b)2 2（3）完全立方公式：(a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 (a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b33 2 2（4） （5）立方和公式： a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )3仅做了解立方差公式： a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )3 3 2 23、数列及特殊公式 （1） 等差数列： A) 通项公式： an ? a1 ? (n ? 1)d ??????为什么要“n-1”呢？(an ? a1 ) ? 1 ??????为什么要“+1”呢？ d (a ? an ) ? n C) 求和公式： S ? 1 ??????为什么要“÷2”呢？ 2B) 求项数公式： n ? 关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系 在一起呢？ “在数轴上植树” ，这可是带有一定的技术含量的?? 如图：47101316192225请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。 例如： a) 22 这个数是“第七棵树” ，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： ?3； b) 如果要求这个数列从 4 到 25，一共有多少个数，相当于把 4 看作第一棵树，问 25 是第几棵树？ 可以思考，从 4 到 25 一共有多少个“间隔” ， （25-4）÷3=7， 22=4+（7-1）新锐教育学生开心家长放心3新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家所以应该是“第 8 棵树” ，这里注意到了为什么求项数“加 1”了吧？ c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知： 法一：高斯“配对法” 。 例如，在计算 1+2+3+?+8+9 这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个 数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是 10，这里， 要注意还有一个“中间数”5， ，没有配上对，所以，这组数列 9 个数的和是 10?4+5=45。 法二：借来还去法。 例如，还是计算 1+2+3+?+8+9 这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+?+3+2+1” ， 这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串 数的和求出来，是一定要“除以 2”的！ 问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方， 就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了――“变异为同”了！ 如图：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3+ 2 + 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10=S =S =2S所以，可以得出，10?9÷2=45 回头再看，这里的 10 可以用（1+9）为代表，则得： （1+9）?9÷2=45 再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式： 和=（首项+末项）?项数÷2（2）等比数列： an ? a1 ? qn ?1a1 (1 ? q n ?1 ) S? (q ? 1) 1? q（3）1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ? (n ? 1) 2新锐教育学生开心家长放心4新锐教育新锐教育a)中小学课外辅导专家1 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? ? n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 613 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ n ? (n ? 1) 2 n 2 ? (n ? 1) 2 ] ? 2 4b)（4） （5）1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n2112 ? 1211112 ? 12321111?1 ? 12345? n?54321 （n?9） ? ? ?2 n个（6）ab ? 101 ? abab ab ? 10101 ? ababab abc ?1001 ? abcabc abcd ?10001 ? abcdabcd这一类的数不妨称之为“重码数” ，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位， 结合位值原则，我们可以得到上述结果。（7）4、特殊方法 （1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整 十整百再计算。 （2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如 a，b，c?? 达到化繁为简的目的。 （二）分数计算 1、拆分与裂项 （1）1 1 1 ? ? n ? (n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n ? (n ? k ) k n n ? k(k ? 1)（2）（3）1 1 1 1 ?[ ? ]? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) n ? (n ? 1) (n ? 1) ? ( n ? 2) 2 a a 1 1 ? ( ? ) n ? (n ? k ) k n n ? k（4）(a ? 1且k ? 1)新锐教育学生开心家长放心5新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家2、几个常用拆分分数1 1 1 ? ? 6 2 3 1 1 1 ? ? 12 3 4 1 1 1 ? ? 20 4 5 1 1 1 ? ? 30 5 6 1 1 1 ? ? 42 6 7? 3、循环小数化分数5 1 1 ? ? 6 2 3 7 1 1 ? ? 12 3 4 9 1 1 ? ? 20 4 5 11 1 1 ? ? 30 5 6 13 1 1 ? ? 42 6 7?? 0.a ?a 9abc 999? 0.0a ?a 90ab ?? 0.ab ? 99abcd ? ab ?? 0.abcd ? 9900? ab ? a 0.ab ? 90? ? 0.abc ?? ? abc ? a 0.abc ? 990请聪明的你，来比较 1 与 0.??的大小？ 你可能已经知道：0.9999999??=1? 也就是： 0.9 =1，可是这是为什么呢？铺垫：? 1 0.1 ? 9 ? ? 12 ? 4 0.12 ? 99 33 ? ? 123 ? 41 0.123 ? 999 333 ? ? 4 ? 9999? 12 ? 1 = 11 0 .1 2 = 90 90 ? 123 ? 12 = 37 0.123 = 900 300 1234 ? 123 1111 ? = 0.1234 = 34 ? 12 611 ?? = 0.1234 = ? ? 1234 ? 1 = 137 0.1234 = 以此题为例推导：? ? 1234 ? 12 ? 611 0.1234 ? 设?? ?? 0.1234 为 A，那么 100A= 12.34新锐教育学生开心家长放心6新锐教育新锐教育?? 10000A= 1234.34所以：1A=0A=1234-12中小学课外辅导专家A?1234 ? 12 611 ? 注意： 循环小数化分数， 分母中 9 的个数与其循环节的位数对应， 的个数与小数点后不循环的位数对应。 0 分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。 三：经典透析 【例 1】（☆☆☆） 11 ? 192 ? 1993 ? 19994 ? 199995 ? ： 审题要点： 1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？对了，每一个数都有一个小秘密：11 ? 10 ? 1 192 ? 200 ? 8? 2） 发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程：11 ? 192 ? 1993 ? 19994 ? 199995 ? (10 ? 1) ? (200 ? 8) ? (2000 ? 7) ? (20000 ? 6) ? (200000 ? 5) ? 222210 ? 1 ? 26 ? 222185专家点评： 这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！ 【例 2】 （☆☆☆） 3876543 ? 3876542 ? 3876544 ?2&恍然大悟& 原来平方差公式还可 以这么用！审题要点：a 2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)新锐教育学生开心家长放心7新锐教育新锐教育1） 2） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。中小学课外辅导专家3876543 ? 3876542 ? (3876543 ? 1) 3876543 ? 3876544 ? (3876543 ? 1)详解过程：原式 ?
? 3876543 ? 1） 3876543 ? 1） （ ? （ ?
? 12） （ ?1专家点评： 做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式 进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。【例 3】 （☆☆☆☆） 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 50 ?2 2 2 2审题要点： 1） 这题看着很熟悉→联想平方求和公式 2） 可是起始的数不是 1 ？ 没关系，缺什么补什么！ 详解过程：2&友情提示& ①12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 1 ? ? n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 6；②凑整； ③提取公因数； ④“借来还去”思想。212 ? 222 ? 232 ? ? ? 502 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ? 20 2 ? 212 ? 22 2 ? ? ? 50 2 ) ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? 20 2 ) 1 1 ? ? 50 ? 51? 101 ? ? 20 ? 21? 41 6 6 1 ? ? ?50 ? 51? ?100 ? 1? ? 20 ? 21? (40 ? 1) ? ? 6 ? ? 40055新锐教育学生开心家长放心8新锐教育新锐教育专家点评：中小学课外辅导专家&友情提示& ①提取公因数的两大特征： 一是要有“公因数”“疑似” ， 公因数也不错，我们可以借助下 面两招对它加工。 二是要有互补数。 ② a ? b ? (a ?10) ? (很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式 的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例 子。 【例 4】 （☆☆☆☆） 1995 ? 73 ? 审题要点： 1） “73”好像是关键。 2）如果可以提取 73，那不是很简单？ 试试吧！ 详解过程：1 26 ? 730 ? 153.3 ? 25b ) 10a ? b ? c ? a ? (b ? c)③变招a c ?c ? ?a b b原式 ? 1995.5 ? 73 ? 0.24 ? 73 ?10 ? 73 ? 2.1 ? 73 ? (1995.5 ? 2.4 ? 2.1) ? 73 ? 2000 ? 146000专家点评：此处利用了分拆法，将 730 分拆为 73?10，153.3 分拆为 73?2.1，目的都是为了构造出 “公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？ 【例 5】 （☆☆☆☆）1 1 1 1 ? ? ? ?? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100审题要点： 1） 分母很特别哦： 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 3,?,1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100n(n ? 1) 2 1 2 1 1 3） ? ? 2( ? ) n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 22） 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?详解过程：1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 = 2 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 3 100 101 1 = 2 ? (1 ? ) 101原式= 2 ? ( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? ? ? 2 ? ( ?1 n1 ) n ?1新锐教育学生开心家长放心9新锐教育新锐教育=中小学课外辅导专家200 101这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在专家点评：记住公式的同时做适当的综合应用。 【例 6】 （☆☆☆☆） 审题要点： 1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项； 2） 如果做一下变换呢？1 5 11 109 ? ? ??? ? ____ 2 6 12 1101 1 ? 1? 2 2 5 1 ? 1? 6 6? 试试吧。 详解过程： 原式= (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? = 10 ? ( ?1 21 61 1 ) ? ? ? (1 ? ) 12 1101 1 ??? ) 6 110 1 1 1 = 10 ? ( ? ??? ) 2 ?1 2 ? 3 10 ?11 1 1 1 1 1 = 10 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 3 10 11 1 = 10 ? (1 ? ) 11 1 =9 11专家点评： 这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。 【例 7】 （☆☆☆☆） 审题要点： 1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：1 2?5 ?344? 4 ? ? ? 74 ? 4 ? ? ?114 ? 4 ? ??? ? 47 4 ? 4 ?? 4 ? ? ? 94 ? 4 ? ? ?134 ? 4 ? ??? ? 494 ? 4 ?＝新锐教育学生开心家长放心10新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家54 ? 4 629 37 94 ? 4
， 4 （这两个利用辗转相除法） ，能够约掉 37，看来确实 ? ? ? ? 34 ? 4 85 5 7 ? 4 2405 37可以裂项。 详解过程： 观察到 5，37，101 以及约去的最大公约数 17 和 65 都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的49 4 ? 4 502 ? 1 2501 1 约分后等于 2 ，原式等于 ? 500 。 4 47 ? 4 46 ? 1 5 5专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但 是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观察法” 与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？ 【例 8】 （☆☆☆☆）621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 ( ? ? )?( ? ? )?( ? ? ? )?( ? ) 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947审题要点： 1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元； 2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换； 3）不妨设621 739 458 ? ? 126 358 947 739 458 b? ? 358 947 a?详解过程： 原式 ? a ? (b ?378 378 ) ? (a ? )?b 207 207 378 378 = ab ? a ? ? ab ? b ? 207 207 378 = ? ( a ? b) 207 378 621 = ? 207 126=9专家点评： “换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步 的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用换元法解题时有两种可能性：一，换元新锐教育学生开心家长放心11新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家的未知数最后都消去，可直接得出答案。二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原 式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得621 。 126? ? ? ? ? ? 【例 9】 （☆☆☆☆） 0.12 ? 0.23 ? 0.34 ? 0.45 ? 0.56 ? ? ? 0.89 ?审题要点： 1） ：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。 2） ：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？ 详解过程： 原式=12 ? 1 23 ? 2 34 ? 3 89 ? 8 + + +?+ 90 90 90 90 11 21 81 = + +?+ 90 90 90 (11 ? 81) ? 8 ? 2 = 90 368 = 90 4 =4 45专家点评： 循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到。? 另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道 0.9 =1，则可观察到：? 0.89 ? 0.9? ? ? 0.12 ? 0.67 ? 0.79 ? 0.8 ? ? ? 0.23 ? 0.56 ? 0.79 ? 0.8 ? ? ? 0.34 ? 0.45 ? 0.79 ? 0.8? 还有一个 0.78 ，所以总和为? 0.9 ? 0.8 ? 3 ? 0.78? ? 4.08 。8 4 ? 经验证， 4.08 ? 4 ?4 。 90 45四、拓展训练 1.1 1 1 1 = ? ? ??? 1? 3 ? 5 3 ? 5 ? 7 5 ? 7 ? 9
? 2005新锐教育学生开心家长放心12新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 这道题目不难，关键是考察对公式的应用1 1 1 1 1 ? ? ?[ ? ]； n(n ? k )(n ? 2k ) 2 k n(n ? k ) (n ? k )(n ? 2k )[深度提示] 注意哦，分母中 1 与 3，3 与 5 都是要差 2，所以在裂项时，括号外面要乘以 [全解过程] 原式=1 ； 41 1 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? ? ? ??? ? ) 2 2 1? 3 3 ? 5 3 ? 5 5 ? 7
1 = ?( ? ) 4 1? 3 2003 ? 6015 ? 3 = ? 4 3 ? 2003 ?
= 2. （1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＋ ?－ ＋ ）?（1－ ＋ － ＋ －?＋ ） 2 3 4 2 3 4 5 99 100 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 －（1－ ＋ － ＋ －?＋ － ）?（ － ＋ ?－ ）=_______。 2 3 4 5 2 3 4 99 100 99[初级点拨] 这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦。1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ， b ? 1 ? ? ? ? ?? ? ； 2 3 4 99 2 3 4 99 1 1 1 1 1 1 1 1 [全解过程] 设 a ? ? ? ? ? ? ， b ? 1? ? ? ??? 2 3 4 99 2 3 4 99 1 1 原式= (a ? ) ? b ? (b ? )?a 100 100 b a = ab + ? ab + 100 100 1 = ( a ? b) 100 1 = 100[深度提示] 换元时，可以设 a ?3.4726342 ? 4726352 ? 472633 ? 472635 ? 472634 ? 472636 =________。[初级点拨] 类似于例题 2； [深度提示] 运用平方差公式，你会了么？新锐教育学生开心家长放心13新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[全解过程] 原式? 4726342 ? 4726352 ? (472634 ? 1) ? (472634 ? 1) ? (472635 ? 1) ? (472635 ? 1) ?24.2 2 2 2 =________。 ? ? ??? 3? 4 ? 5 4 ? 5 ? 6 5 ? 6 ? 7 8 ? 9 ?10[初级点拨] 这题比较简单，利用1 1 1 1 ?[ ? ]? ； n ? (n ? 1) ? (n ? 2) n ? (n ? 1) (n ? 1) ? (n ? 2) 2[深度提示] 这道题目很简单，主要就是公式应用的问题； [全解过程] 原式= 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ?（ － + － +?+ － ） 2 3? 4 4? 5 4? 5 5? 6 8 ? 9 9 ? 10 1 1 = ? 3 ? 4 9 ?10 13 = 1805.1 1 1 1 1 =________。 ? ? ? ??? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 10 ?13 2005 ? 2008[初级点拨] 直接利用公式1 1 1 1 ? ?( ? )； n ? (n ? k) k n n ? k[深度提示] 公式的直接应用，但是要注意，分母拆开后，差值是 3； [全解过程] 原式=1 1 1 1 1 1 ?（1－ + － +?+ － ） 3 4 4 7
2007 = ? 3
= 20086.1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 =________。 2 6 12 20 30 42新锐教育学生开心家长放心14新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成假分数，聪明的同 学，想想这道题应该怎么处理呢？ [深度提示] 拆成你熟悉的形式：1 1 1 ? 1? 2 2 1 1 2 ? 2? ? 6 6[全解过程] 原式=（1+2+3+?+6）+(1 1 1 + +?+ ) 2 6 42 1 1 1 = 21 ? ( ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 6?7 6 = 21 ? 7 6 = 21 77.5 1 19 1 41 1 71 1 1 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 =________。 6 12 20 30 42 56 72 90 2[初级点拨] 类似于上面的第 6 题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你想的没错，写出来 试试。 [深度提示] 将带分数拆成整数和分数的和； [全解过程] 原式=(3－1 1 1 1 1 1 )－(3+ )+(5－ )+(5+ )－(7－ )+(7+ )－ 6 12 20 42 30 56 1 1 1 (9－ )+(9+ )－(1+ ) 72 2 90 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 7 ? 7 ? 9 ? 9 ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) 30 42 56 72 90 2 6 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =9?( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 2 3 3 4 4 5 2 1 =9?( ? ? 1) 5 10 3 =8 108.1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 =________。
? 新锐教育学生开心家长放心15新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦。 [深度提示] 记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里； [全解过程] 原式=82 82 ?321=1 3219.567 ? 345 ? 566 =________。 567 ? 345 ? 222[初级点拨] 提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下！ [深度提示] 1）找题目中的特殊之处。 2）如果分母中也是 566 ? 345 那多好啊！ 3）变变嘛！ 567 ? 345 ? 566 ? 345 ? 345 [全解过程] 原式=567 ? 345 ? 566 =1. 345 ? 566 ? 345 ? 22210. (1 ?19 19 19 19 ) ? (1 ? ? 2) ? (1 ? ? 3) ? ? ? (1 ? ?11) =________。 92 92 92 92[初级点拨] 第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？ [深度提示] 去括号，提取公因式，两项结合；? ??? [全解过程] 原式= (1 ? 1? ? ? ? 1) ? ( ?? 1 ?11个19 19 19 ? ? 2 ? ? ? ?11) 92 92 9219 ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? ? 11) 92 19 = 11 ? ? 66 92 29 = 24 46= 11 ?新锐教育学生开心家长放心16新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家? 11. (0.3 ? 0.1875 ?1 ) ? 65 ? ________。 400[初级点拨] 如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数。 [深度提示] 循环小数化分数的计算。 [全解过程] 原式= ( ? 0.1875 ?3 91 ) ? 65 400= (0.0625 ? 0.0025) ? 65 = 0.065 ? 65 = 4.225新锐教育学生开心家长放心17新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家第 2 讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算 一：知识地图：通分 比倒数 与1相减比较法 分数的大小比较 经典结论 放缩法 化成小数比较 小数的大小比较 两个数相除进行比较 对于分数的分子分母同时加上 或减去相同的数和原分数进行比较比较大小常用方法 估算 经典步骤定义新运算二：基础知识 （一） ：比较大小 1、分数的大小比较 1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小； b） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。 2）比倒数：倒数大的分数小。 3）与 1 相减比较法：a） 真分数：与 1 相减，差大的分数小； b） 假分数：与 1 相减，差大的分数大。 4）经典结论：a） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大； b） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：新锐教育学生开心家长放心18新锐教育新锐教育（ a ? b ，且 a, b, c 为非零自然数时） （1）中小学课外辅导专家b b?c b b?c ? , ? a a ?c a a ?c即“真分数越加越大，越减越小” a ? c ? 0 ）如 （ （2）a a ?c a a ?c 即“假分数越加越小，越减越大” 。 ? , ? b b?c b b?c3 3 ? 1 3 3 ?1 ； ? , ? 5 5 ? 1 5 5 ?15）放缩法。 6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！ 7）两个数相除进行比较。如： 2、小数的大小比较 常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0” ，使它们都变成小数位数相同的小 数，然后比较。 （二）估算问题 1、常用方法 1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出 结果。 2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。 2、经典步骤 估算和式整数部分：a） 令和式结果等于 A； b） 最小的数?个数＜A＜最大的数?个数； c） 求 A。 对于较简单的题目，使用“最小的数?个数＜A＜最大的数?个数”就可以确定整数部分。对于较复 杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）?个数÷2 的大小，以及与（中位数?个数）的大小（总共有偶数个数的时候， “中位数”视为中间两个数的平均数） 。 （三）定义新运算 这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。 三：经典透析 【例 1】 （☆☆☆☆）如果 a ?3 5 3 5 21 3 5 和 ， ? ? ? 1，所以 ? 。 4 7 4 7 20 4 7 ，b ? ，那么 a ， b 中较大的数是_________。 审题要点： 1°通分似乎太麻烦了，怎么办呢？新锐教育学生开心家长放心19新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家2°大小比较有 6 个经典方法，这个似乎与“4 经典结论” 相仿哦！ 3°发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等： 2006 ? 2005 ? 1 ， 2007 ? 2006 ? 1 详解过程：因为 a 与 b 都是真分数，且分母与分子差相同，并且 ＜ ，所以 a＜b。 专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑。 下面再介绍两种解题方法： 方法二： 1°a 与 b 都很接近“1” ； 2°聪明的你，发现秘密了吧！1 1 ， 1-b= 。
1 ＞ 且 a 和 b 为真分数， 1-a= 所以 a＜b。 方法（三） ：比倒数。1
2007 1 = =1 ， = =1 ， a
1 ＞ 所以 a＜b。 a b方法（四） ：两个数相除进行比较。05 ?
? 1 ? ? ? ? 1， 06 ? 所以： 。 ? 444443 ，A 与 B 中哪个数较大？ ,B ? 8888887同学们开动脑筋看还有没有更多的思路！ 【例 2】 （☆☆☆）如果 A ?审题要点：1°快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法？ 2°不妨先试试比倒数。 详解过程：1 1 1 1 ， ?2 , ?2 A
1 ? , 所以A ? B. A B解法二：专家点评： 同样是分数比大小的问题，你能做出几种解答过程呢？下面给出另外两个解题过程。新锐教育学生开心家长放心20新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家1°这么庞大的式子，如果能“4 经典结论”该多棒啊！ 2°开动脑筋做个小变换， A ? ? 4
， ? ? 4 变换后 A 与 B 分子分母相差相同的数“3” ， A 与 B 都为真分数且 A 的分子分母都较小， 所以 A&B。 解法三： 与1 比较法，聪明的你自己动手试试哦! 224 80 7 ? ? 在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么 31 9= 。【例 3】 （☆☆☆☆）审题要点：1°这类题目关键是对公式 活应用 详解过程： 因为 80 ? 24 ? 7 ? 8 所以a a?c c ? ? 的灵 b b?d d&友情提示& 这类题目解题方法： 1）a a?c c ? ? b b?d da A c ? ? b d24 80 7 ? 8 ? ? 31 9?82）3） a与c 通过适当相加组合为 A即24 80 56 ? ? 31 72? 31 ? 72 ? 103则专家点评： 这道题目比较简单， 聪明的你做出来了吧！ 下面再介绍另外一个解法希望对同学们日后解题有帮助。 利用公式：当 ad ? bc时, 那么： 24 ?a c ? b d? 31? 80 ? 9 ? 80 ? 103.37?可以得到 102.8 ? 所以? 103【例 4】 （☆☆☆☆）已知除法算式 1，它的计算结果的小数点后的前 三位数字分别是________。新锐教育学生开心家长放心21新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家审题要点： 1°毫无疑问，这是一道估算题。 详解过程： 1） 取除数的前两位： 12.345?÷32&原式&12.345?÷31 0.385?&原式&0.398? 在 0.385 到 0.398 之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩范围太大。 2） 再取除数的前三位： 123.456?÷313&原式&123.456?÷312 0.394?&原式&0.395? 仍无法确定。 3） 取除数的前四位。 ?÷3122&原式&?÷4?&原式&0.3955? 所以小数点后三位分别为 3，9，5。 专家点评：这道题目稍微有点难，但是只要是估算的问题，都不需要算出最终结果，通过这道题目，你有没有 学到什么呢？ 有些书上解这道题的时候是把被除数和除数都放缩： 12÷32&原式&13÷31， 123÷313&原式&124÷312， &原式&。 但是，对被除数的放缩只会徒增加放缩幅度，而不会简化计算。如果你认为，计算
比计算 ?÷3122 省事，那你一定是在用计算器！【例 5】 （☆☆☆☆）老师在黑板上写了 7 个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位） ，小明 算出的答数是 14.73，老师说： “除最后一位数字外其他都对了” ，那么正确的得数应是 审题要点：1°估算题目最直接的方法就是放缩。 2°这道题的关键点是，只有最后一位是错的，那么分数的取值范围是 14.70～14.79 详解过程：设这 7 个自然数之和为 A（A 为整数） 。14.70 ? 7 ? A ? 14.80 ? 7 102.9 ? A ? 103.6则A ? 103新锐教育学生开心家长放心22新锐教育新锐教育平均数为中小学课外辅导专家103 ? 14.71 7专家点评：关于平均数的估算，是经常会出的题目，所以同学们一定要学会如何去解答这类题目，下面再介绍 另外一种解题方法。 14.73 中前三位 14.7 是 正确的 所以总数肯定大于 14.7 ?7 ? 102.9 则总数只能是 103、104? 当和等于 103 时，平均数是 14.71 当和等于 104 时，平均数是 14.86（不符合） 所以七个自然数的和为 103，平均分是 14.71 事实上一个自然数被 7 除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的 顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：1 ? 7 ? 0.1428572 ? 7 ? 0. ? 7 ? 0.4 28571 4 ? 7 ? 0.5 71428 5 ? 7 ? 0. ? 7 ? 0.85714 2所以如果对被 7 除商数特征熟悉的话，一定能马上反应过来这个平均数是 14 【例 6】 （☆☆☆☆）? ? ? ? ? ? ? ? ? ???5 。 71 3 5 7 99 1 ? ? ? ? ?? 与 相比 ，哪个更大，为什么？ 2 4 6 8 100 10 2 3 4 , 后是 ?那么问题变简单多了 3 4 5审题要点：1°这道题比较难，式子比较庞大，我们不妨引入换元的思想。 设 a?1 3 5 99 1 ? ? ?? , 但是a的值却不好求. 如果 后是 2 4 6 100 2 2 4 6 8 100 ? ? ? ? ?? 3 5 7 9 1012°设 b ? 详解过程： 很明显 a ? b新锐教育学生开心家长放心23新锐教育新锐教育1 1 ? 101 100 1 所以 a 2 ? 100 1 a? 10 a2 ? a ? b ?中小学课外辅导专家专家点评：这道题目，可以说是估算里面比较难的题目，需要自己构建新的算式，同学们学会这个解题思路了 吗？ 【例 7】 （☆☆☆）数1 的整数部分是几? 1 1 1 1 ? ? ??? 10 11 12 19审题要点：1°这道题的难点集中在分母上 2°不妨把分母单独拿出来，设 A= 3°看明白了吧 详解过程：1 1 1 1 ? ? ? ?? 10 11 12 191 A 1 1 1 1 A ? ? ? ? ?? 10 11 12 19 1 1 ?10 ? A ? ?10 19 10 10 ? A ?1 19 1 19 所以 1 ? ? A 10原式= 即 1&原式&1.9 所以数1 的整数部分为1 。 1 1 1 1 ? ? ??? 10 11 12 19【例 8】 （☆☆☆） （第二届小学&希望杯&全国数学邀请赛） 如果 A # B ? 。 审题要点： 定义新运算，不妨试试经典三步法：阅读→理解→应用！ 详解过程： 原式=B? A ，那么 1#2 ? 2#3 ? 3#4 ?? ?
? A? B2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 2003 ?
? 2003 ? ? ?? ? ? 2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 2003 ?
? 2003新锐教育学生开心家长放心24新锐教育新锐教育=1 ?中小学课外辅导专家1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? 2 ? 2 3? ?3 4? ?
?=1 2004专家点评：这是一道综合性题目，首先要看明白定义的新运算，其次要学会用裂项法解题，总的来说，题目不 难，关键是要认真仔细。 【例 9】 （☆☆☆☆）两个用同样材料做成的球 A 和 B，一个实心，一个空心，A 的直径为 7，重量为 22，B 的 直径为 10.6，重量为 33.3。问哪一个球是实心球？ 审题要点：显然，两个球中单位体积重量大的球是实心球。所以第一步首先要求两个球的体积各是多少！ 详解过程：由球的体积公式 V ? 成正比。 即 V1：V2 = 7 ：10.63 34 3 ? R 可知，球的体积与半径的 3 次方成正比；显然球的体积与直径的 3 次方 3因为 22 ? 7 ? 3.1428 ? 3.142 ? 33.3 ?10.6 ，即可知： 所以22 33.3 ? 7 10.622 33.3 ? 73 10.63即 A 球为实心球 专家点评：比较大小，估算以及定义新运算，都不是只局限于现有的几个数的计算，很多时候是将知识点作了 综合，因此同学们在做题过程中，一定要在读懂题的前提下再动笔开始做！四、拓展训练 1. 在00 , , 中, 最小的分数是 ___. 01[初级点拨] 1）观察题目，找数之间的相似处 2）你是否发现了这个小秘密？8 ? 9 8 [深度提示] 1）发现了吗？ ? 92）因为
? [全解过程]8 9 0 ? , ? , ? 9 0 1新锐教育学生开心家长放心25新锐教育新锐教育显然中小学课外辅导专家00
，所以题中最小分数为 . ? ? 01 2.A ? 8.8 ? 8.98 ? 8.998 ? 8.9998 ? 8.99998 ，求 A 的整数部分.[初级提示] 这道题隐藏的知识点是估算，你发现了么？ [深度提示] “经典三步法”看行不行？ [全解过程] 8.8 ? 5 ? A ? 8.99998 ?5 ，适当扩展： 44 ? A ? 8.9998 ? 5 ? 9 ? 5 ， 44 ? A ? 45 ，所以 A 的整数部 分为 44。 （同学们想想，还有没有别的方法！ ）3. 已知： S ?1 1 1 1 ? ??? 06, 则S的整数部分是 ___ .[初级点拨] 问题的关键在分母，同于“例 7” （但是要小心，有一点小区别哦） [深度提示] 这道题目中，分母按照我们给出的估算方法，似乎不能做到最后，那怎么办呢？1 1 1 1 1 ? ? ? ? 82
? 1982 2 ? ? ? ? 81? ? 1 1980 ?
? 1982 2 ? ? ? ? 80 ? ?发现规律了么？ [全解过程] 设 A ?1 1 1 ? ??? 06 27 27 ? A? 80 1 2006 ? ? 27 A 27 1 1 8 73 ? ? 74 3 A 27 1 8 即 73 ? S ? 74 3 27不能确定 A 的整数部分，怎么办？先看看一个例子1 1 1 1 1 ? ? ? ? 82 新锐教育学生开心家长放心26新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家1 1 1981 ?
? 1982 2 ? ? ? ? 81? ? 1 1980 ?
? 1982 2 ? ? ? ? 80 ? ? 1 1 1 1 1 则 ? ? ? ? ? ?5 82 82聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律” ，那么让我们回到原题来看看吧！27 1 1 1 1 27 ? ? ? ??? ? 81 80
即 ?S? 27 27 1 22 73 ? S ? 73 3 27∴A 的整数部分为 73。? 4. 有 8 个 数 ， 0 .? 5 1 ,2 5 , 3 924 13 , ?0 . 5 1 , 是其中六个 如 果 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 时 ， 第 四 个 数 是 , , 47 25? 那么按从大到小排列时,第四个数是哪一个? 0 . 5 1,[初级点拨] 循环小数化分数。 [深度提示] 1）分数小数的大小比较首先要统一形式 2）两个未写出的数要确定它们的位置 [全解过程]2 ? 5 ? 24 ? 0.5106, 13 ? 0.52 ? 0.6, ? 0.5, 3 9 47 25? ? ?? ? 显然 0.5106 ? 0.51 ? 0.51 ? 0.52 ? 0.5 ? 0.6即24 ? ? ? 13 ? 5 ? 2 ? 0.51 ? 0.51 ? 47 25 9 3? ? 因为 8 个数由小到大排第 4 个是 0.51, 所以未写出的两个数必定小于 0.51. 所以从大到小第 4 个?? 是 0.51.5. 1）试比较 和 的大小 。 221 44443 2）如果 A= ,B ? .那么A与B中较大的数是 ___ . 新锐教育学生开心家长放心27新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 这两道题目可以参考例 1 和例 2 [深度提示] 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大 [全解过程] 1） ? 2）A&B6. 有 13 个自然数， 它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是 26.9。 那么精确到小数点后两位数是多少？[初级点拨] 估算问题参考例 5 [深度提示] 平均小数估算，关键确定最后两位是什么？平均数如果保留两位数，则范围为 26.85～26.94 [全解过程] 1）平均数如果保留两位数，则范围为 26.85～26.94。 （想想为什么？） 2）设 13 个自然数的和为 A26.85 ?13 ? A ? 26.95 ?13349.05 ? A ? 350.35 ，所以 A=350，平均数为350 ? 26.92 . 13? ? ?? 7. 1）比较以下小数，找最大的数： 1.121,1.121,1.12,1.?? 2）比较以下 5 个数，排列大小： 1, 0.42, ,1.667,3 75 3[初级点拨] 分数、小数之间大小的比较，首先要统一形式 [深度提示] 通常将分数化为循环小数，将各个数位都写出来，逐个数位作比较? ? [全解过程] （1） 1.121 ? 1.?1.121=1.?? 1.12 ? 1.?1..12=1. &友情提示& 与 大小比较 ?? 显然 1.12最大1)倒数法 2)与 1 相减法新锐教育学生开心家长放心 时,分子分母大的分数3)分子分母差值相同28新锐教育新锐教育?? （2） 0.42 ? 3 2 ? 1 ? 1 ? 1.667. 7 3中小学课外辅导专家8. 如果用 max ?a, b? 表示数a, b中较大的一个, max ??
? , ? ? _____ . ?
?[初级点拨] 1）这是一道典型的定义新运算的问题，经典三大步找出来 2）阅读---max，理解---找最大的数，应用吧！ [深度提示] max 的作用是找较大的数，所以首先要比较两个分数的大小 [全解过程] ?
? 2005 ，所以 max ? . , ? ??
? 20069. 假设有一种计算器，它由 A，B，C，D 四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置 的运算程序如下： 装置 A：将输入的数加上 6 之后输出； 装置 B：将输入的数除以 2 后输出； 装置 C：将输入的数减去 5 之后输出； 装置 D：将输入的数乘以 3 后输出； 这些装置可以互相连接，如在装置 A 后接装置 B 就记做：A→B。例如输入 1 后，经过 A→B 输出 3.5 1）若经过 A→B→C→D，输出 120。则输入的数是多少？ 2）若经过 B→D→A→C，输出 13，则输入的数是多少？[初级点拨] 1）好复杂的过程啊，但是聪明的同学肯定不会被吓倒 2）对啦，利用经典三步分析后，你会发现，这并不是一道难题 3）阅读→A，B，C，D 四个装置是关键 理解→明白这四个装置的运算特点 应用→逆向思维 [深度提示] 装置 A：将输入的数加上 6；新锐教育学生开心家长放心29新锐教育新锐教育装置 B：将输入的数除以 2； 装置 C：将输入的数减去 5； 装置 D：将输入的数乘以 3； 确定每个装置的作用后，从后往前计算结果。中小学课外辅导专家[全解过程] 1）经 A→B→C→D 后输出 120 按逆向思维后推 设最先输入的数为 x 经过 A 后变为 x1 ，经过 B 后变为 x2 ，经过 C 后变为 x3 ，如上图所示x3 ? 3 ? 120, x3 ? 40; x2 ? 5 ? x3 , x2 ? 45;即x1 ? 2 ? x2 , x1 ? 90; x ? 6 ? x1 , x ? 84 所以这个数为84.2）类似于 1）的解答，聪明的你试试吧。输入的数是 8。10. 有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：? ? ? ? ? ? 1.16 3 5 7求左边方框里的整数从左至右分别是什么？[初级点拨] 1）这道题目，入手比较难。开动你的小脑筋看能不能发现什么小秘密？ 2）近似值→估算？ [深度提示] 看似一道数字谜问题，其实也是估算的问题，既然结果约等于 1.16 那么原式可以做一个变换? ? ? ? ? ? 1.165 （看明白了么） 3 5 7 ? ? ? [全解过程] 将原式做一下变化， 1.155 ? ? ? ? 1.165 ，三个分数不妨先通分， 3 5 7 35??21??15? 即 1.155 ? ? 1.165 ，将式子扩大 105 倍得 1051.155 ?121.275 ? 35??21??15?? 122.325设 A= 35??21??15? ；A 为整数（想想为什么？） 121.275 ? A ? 122.325 ，A=122 即 35??21??15?? 122新锐教育学生开心家长放心30新锐教育新锐教育通过试验知 35 ?1 ? 21? 2 ? 15 ? 3 ? 122 所以左边方框里的值依次是 1，2，3。中小学课外辅导专家11. 用 ?a? 表示a的小数部分, ? a ? 表示不超过 a 的最大整数。 例如 ?0.3? =0.3； ? 0.3? ? 0; 记 f ? x? ??4.5? ? 0.5, ? 4.5? ? 4 ，? x?2 , 请计算 ? f 2x ?1 ?? 1 ?? ? ? ?? , ? f ? 3 ?? ?? 1 ?? ? ? ? , ? f ?1?? , ? f ?1? ? 的值. ? ? ? 3 ??[初级点拨] 1）这是一道综合题目，同学们千万不要被多变的符号给吓倒！ 2） “三步经典”来分析 [深度提示] 阅读→题中的符号有xy；[ ]； f ( x) ，理解→xy， 〕 f ( x ) 的意义及表示方法应用吧！ 〔 ；[全解过程]7 1 ?2 7 1? 3 ? = 3 = =1.4 f ? ?= ? 3 ? 2? 1 ?1 5 5 3 3 1? 2 =1 f (1) = 2 ?1 ? 1x f ? ? y=x1.4y=0.4?1? ?3?[ f ? ? ]=[1.4]=1 x f (1) y=x1y=0 [ f (1) ]=[1]=1?1? ?3?新锐教育学生开心家长放心31新锐教育新锐教育第3讲中小学课外辅导专家数字谜、数阵图、幻方一，知识地图? ? ? ?横式（一般转化为竖式） ? ? ?? ? ? ? ?竖式 ? ? ? ? ?分类 ? ?加减法 ?? ? ? ??乘除法 ? ? ?图形中数字规律 ? ? ? ? ? ? ? ?数字谜 ? ? ? ?个位数字分析法 ? ? ? ? ? ?高位数字分析法 ? ? ?数字估算分析法（结合数位） ? ? ? ?分析方法 ? ? ? ?进位借位分析法 ? ? ?分解质因数法 ? ? ? ? ? ?奇偶分析法 ? ? ? ? ?整体考虑 ? ? ? ?个体考虑 ? ? ?数阵图--(数字和相加法) ?列出等式 ? ?根据整除确定数字及数字和 ? ? ? ?数字分组及尝试 ? ? ? ? ?三阶 ? ? ? ?分类 ?四阶 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?幻方 ? ?1、中间数（性质2） ? ? ?2、对称配对（性质3） ? ? ? ?性质 ?3、幻和（性质4） ? ? ? ? ?4、配对位置关系（性质5） ? ? ? ? ? ? ?四角与行列中间数关系（性质6） ? ? ?5、其它两个性质 ? ? ? ? ?交错行列数关系（性质7） ? ? ? ? ? ?二，基础知识 趣题导引： 学而思教育的数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格” ， 问其他同学说： “你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说： “这还不简单啊，这是幻方，每行每 列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。 ”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字， 说： “那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们新锐教育学生开心家长放心32新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家可以补充完整吗？12 6 11（一）数字谜 1、 数字谜介绍 数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除四种数字谜。横式数字谜一般 可以转化为竖式数字谜，所以我们这里主要讨论竖式数字谜的一般解题技巧与思路。 2、数字谜常用的分析法介绍 解决数字迷问题最重要的就是找到突破口，突破口的寻找是需要一定的技巧，一般来说首先是观察题目中给出 数字位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，一般的突破顺序是，三位 分析（个位分析，高位分析，进位借位分析） ，另外加入三大技巧（估算技巧（结合数位） ，奇偶分析技巧，分解质 因数技巧）等。而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后再考察加法或减法的分析（并不完全是这样） 。 （1）个位数字分析法（加法个位数规律，减法个位数规律，乘法个位数规律） 若题目已知条件里面给出的主要是个位数字，那么我们就要考虑使用个位分析法，这是 大部分数字谜都要用的分析方法。 加减法的个位数字规律比较简单，这里要求重点掌握乘法个位数的规律。 A）加法个位数规律举例： 如右图：由 a+8 的结果个位数为 5 可推出 a=7，十位进位，9+1+b 结果个位为 7， 可推出 b=7，进而推出 c=1。B）减法个位数规律举例： 如右图：由 a-7 的结果个位为 9，可推出 a=6，且借一位，进而十位数 中 9-1-b 结果个位数为 4，可推出 b=4。注意：当个位数已经推导出来，那么十位数的推理也可以继续使用个位分析法进行推理，后面依次类推，高位新锐教育学生开心家长放心33新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家使用个位数字分析法时必须同时考虑进位或借位的情况。 C）乘法个位数规律归纳： 1、当结果为奇数，其中一个乘数也为奇数时，则另一个乘数也为奇数， 且只有一种答案（注意：数字 5 除外，5 和 0 的规律比较特殊，后面补充） 。 如右图：由 b?7 结果个位为 1，可推知 b=3，利用后面介绍的高位分析法可 继续推出 a=1，c=9。 2、当结果为偶数，其中一个乘数为奇数时，则另一个乘数为偶数，且只 有一种答案。 如右图：由 b?9 结果个位数为 8，可推知 b=2，由后面介绍的高位分析法 可继续推知 a=4，c=7。 3、当结果为偶数，其中一个乘数也为偶数时，则另一个乘数有两种可能 性，一奇一偶，且相差 5。 如右图：由 b?6 结果个位数为 4，可推知 b=4 或 9，当 b=4 时，进而推出 a=8 或 9，相对应 c=0 或 6。 当 b=9 时，进而推出 a=8 或 9，相对应 c=3 或 9。共有四种可能性，再根据 其他条件进行排除。 4、当结果为奇数，其中一个乘数为偶数时，另一个乘数无解，因为根据 奇偶性，偶数乘于任何数都不可能等于奇数。 如右图：由 b?8 结果为 7 可推知此题无解。 5、当结果为 5，则其中一个乘数必须为 5，另一个为奇数。 当结果为 0，则其中一个乘数为 5，另一个为偶数，或者一个乘数为 0 即可。 当一个乘数为 5，则结果为 0 或 5，另一个乘数为偶数时，结果为 0；另一个乘数为奇数时，结果为 5。 （2） 高位分析法（主要在乘法中运用） 如右图：由 a?7 结果为四十几，结合进位考虑，可知 a=5，6 或 7，再根 据其他条件进行排除。（3） 数字估算分析法（最大值与最小值的考量，经常要 结合数位考虑） 如右图：由 ba ?4=A，A 为三位数，可推知 ba ?25，由 ba ?3=B，B 为二位数，可推知 ba ?33，由 ba ?34=C，C 为三位数，可推 知 ba ?29，综合考虑可知 b=2，a=5，6，7，8 或 9。再根据其他条件排除。新锐教育学生开心家长放心34新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家（4） 加减乘法中的进位与借位分析 前面三种分析法都涉及到了进位与借位，这里再次强调进位与借位的重要性，千万不要忽视了（这是同学们非 常容易出错的地方。 ） 加法进位中，加数有 n 个，则最多向前进 n-1，乘法进位中，乘数是 n，则最多 向前进 n-1。 如右图：由百位可推知十位向百位进 2，而个位最多向十位进 2，则推知 a 至 少为 9，即就是 9，进而继续推知 b 也只能是 9，而 c=d=0。如右图：由 a?8 等于四十几而个位最多向前进 7，得知 a 只能为 5 或 6，而不能是 4。注意：此处也可以利用数字估算分析法得出 50? ab ?62，同学们知道为什么吗？ （5） 分解质因数分析法 当乘法数字谜中一个积全部已知或者只有一个数字未知而又没有其他办法判断 可考虑使用分解质因数。 由 ab ?c=206 可将 206 分解质因数，206=2?2?2?2?13，根据两个乘数分别 是一位数和两位数可推知两种可能性：52?4 与 26?8，又根据 ab ?3 为两位数 可确定 ab =26。 （6） 奇偶性分析（加减乘法） 数字谜中经常可以直接利用奇偶性进行排除选项。 （见乘法个位规律里面的第四点。 ） 复杂数字谜中不能直接确定某一数字时，经常需要使用假设法进行逐一排除，排除的判断一般是通过另外一个 数字或者题目中其他条件来进行。如带汉字的数字谜经常需要符合的条件是“相同汉字代表相同数字，不同汉字代 表不同数字”等。 （二）数阵图的一般解题思路与步骤 数阵图中的数字关系一般比较复杂，同学们注意一定不要一开始就使用尝试的方法，而应该使用一定的技巧求 出某些特殊位置的数字后再逐一分组尝试。 由于数阵图中没有填充之前各个数字的位置无法确定，所以从每一个单个数字上无法进行判断，所以我们采用 的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数字和全部相加法进行分析。 一般分为以下几个步骤： （注意：建议先学习完几个相关例题再回来进行总结） 1、从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为 n?S 的形式。 2、从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数 表示，全部相加，一般为（题目所给全部数字和）?一般位置数字相加次数±（特殊位置数字和）?多加或少加次 数 的形式。时，新锐教育学生开心家长放心35新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家3、根据整体与个体的关系，列出等式即：n?S=（题目所给全部数字和）?一般位置数字相加次数±（特殊位 置数字和）?多加或少加次数 4、根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的 S 值。 5、根据确定的特殊位置数字及 S 值进行数字分组及尝试。三：幻方 幻方中的各数互不相同，且横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质 的 3?3 的数阵称作三阶幻方，4?4 的数阵称作四阶幻方，5?5 的称作五阶幻方??8 11 21 7 1312 3 6我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记： 1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如 1，2，3， 6，7，8，11，12，13 中 1+13=2+12=3+11=6+8=7?2，一般为等差数列（不完全是） 。 2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的 7 必须位于幻方中心。 3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的 1， 13 与 4，10 的平均数均为 7。 4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为 21，等于中心数 7 的三倍。 5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第 二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。 6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如 2 等于 1，3 的平均，6 等于 1，11 的平均， 12 等于 11，13 的平均，8 等于 3，13 的平均。 7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中 有一个共同数 8，则其他两个数 1+12=11+2。 综合利用上面 7 个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。趣题解析： 学习完幻方的性质之后，开篇趣题就很好填了吧，首先根据性质 7，可知 a+6=10+4，a=8，根据性质 3，可知： d=（4+8）÷2=6，根据性质 4，可知幻和为 18，其他就全部根据每行相加等于幻和求出每一项，结果如图所示：f 12 a 6 d b 11 e c7 12 5 6 8 10 11 4 9三、经典透析新锐教育学生开心家长放心36新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家【例 1】 （☆☆☆）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的 乘积是 。审题要点： 此题为乘法数字谜，由于其中 A 中 4 出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。 详解过程： 解：1、由 c? 4a =A，A 百位数为 4，可知 c=8 或 9，若 c=8，则 c?a 必须向前进 8，不可能。所以 c=9。 2、c=9 时，a?9 至少向前进 4，即 a?9?40，知 a?5。 3、对 a=5，6，7，8，9 进行逐一验算，验算的主要方法是通过 c 中的 4 进行， 若 a=5，则 A=405，f=4，但 5?b 末位不可能为 4，排除。 若 a=6，则 A=414，f=3，但 6?b 末位不可能为 3，排除。 若 a=7，则 A=423，f=2，7?b 末位为 2，则 b=6， 所以乘积为 3243。 若 a=8，则 A=432，f=1，但 8?b 末位不可能为 1，排除。 若 a=9，则 A=441，f=0，但 9?b 末位不可能为 0， （因为乘数不能 0 开头） ，排除。专家点评： 此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步骤 1） ，进位分析法（步 骤 1） ，估算分析法（步骤 2） ，个位分析法（步骤 3） ，逐一尝试法（步骤 3） ，及排除法（步骤 3） ，注意寻找数字 谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够 使用的分析法最多。希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。【例 2】 （☆☆☆）已知右面的除法算式中，每个□表示一个数字， 那么被除数应是 。审题要点： 此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结 合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。 详解过程： 解：1、首先比较明显可得出 d=0，然后从 2 个数字的相关计算 进行突破，首先， 8 ? ab ? B ，由于 B 只有两位数，所以可估算 推知 ab =10，11 或 12。新锐教育学生开心家长放心37新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家2、又 c ? ab ? A ，A 为 3 位数，结合 ab =10，11 或 12 可知，c=9 且 ab ? 12 ，将其他各数补充完整即可。 专家点评： 此题是结合数位进行估算的一个典型数字迷，也利用了循环推理的原理。先是根据数字 8? ab 的乘积，利用 数位估算确定 ab 的可能值，再根据 c? ab 的乘积，利用数位估算确定 ab 为 12。所以在数字迷中，不仅有数字的 地方有突破口，没有数字的地方也可能有突破口，一般是利用数位估算，当然也有其他分析方法，例如利用进退位 的分析进行突破。 【例 3】 （☆☆☆☆☆）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字， 不同的中文字代表不同的数字，请问： “新年”两字代表什么数字？审题要点： 此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进 行突破。 详解过程： 解：1、A 行中末位为 1，可推知 a?b 有四种可能性，1?1，3?7， 7?3，9?9，又因为 A 行中为 5 位数，所以排除 1?1，若 a?b 为 9?9，则又结合 B，C，D 行中末位为 9，可推出 h，f，d 为 1，与 B， C，D 都为 5 位数矛盾，排除。3?7，7?3 暂时不能确定。2、假设 a=7，b=3，由三个末位数是 9，可推知 h=f=d=7，这样反复利用 乘法和加法的个位分析法，可推知 c=6，e=4，g 无法满足。假设排除。3、假设 a=3，b=7，由三个末位数为 9，可推知 h=f=d=3，同步骤 2 反 复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出 c ? 4, e ? 5, g ? 4 ，而且满1 足 新＝ ，年＝5 ，所以“新年”代表 15。专家点评：新锐教育学生开心家长放心38新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以 在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：个位分析法（乘法与加法） （步骤 1，2，3） ，结合数位考虑数字大 小估算分析法（步骤 1） ，循环推导（步骤 2，3） 。【例 4】（☆☆☆☆）2008 年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把 1―9 分别填入 五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？审题要点： 此题属于典型的数阵图，应该利用数字和全部相加的方法进行解答，从整体与个体的角度，同时考察应该填入 的数字。 详解过程： 解：1、首先由于一共 5 个圆圈的数字和相等，由于填入的数无法确认，将 5 个数字和全部相加，由于数字和 未知，设为 S，则 5 个圆圈全部数字和为 5S。 2、考虑全部数字和 5S 中的各个组成部分：可知 a，b，c， h，i 只加了一次，而 d，e，f，g 四个加了 2 次，即可以看 成 1 至 9 全部数字均加了一次，d，e，f，g 多加了一次，表示 为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g） 。 3、 整体等于部分之和， 列出方程： （1+2+3+4+5+6+7+8+9）（d+e+f+g） 化简为 5S=45+ 5S= + ， （d+e+f+g） d+e+f+g ， 的最小值为 1+2+3+4=10，此时 S=11，最大值为 6+7+8+9=30，此时 S=15，一共 5 种可能填法。 4、逐一进行试验： 当 S=11 时，d，e，f，g 为 1，2，3，4 时，可得出答案为： 当 S=12 时，经过试验无解。 当 S=13 时，d+e+f+g=20，取 2，4，6，8，得出答案： 当 S=14 时，d+e+f+g=25，取 3，6，7，9，得出答案： 当 S=15 时，经过试验无解。【例 5】 （☆☆☆）小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩， 上面写着：把 10 至 20 这 11 个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段 上 3 个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同 一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？新锐教育学生开心家长放心39新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家审题要点： 此题属于数阵图中的经典题型，同学们一定要利用数字和的规律来做，千万不要直接试，否则会浪费很多时间 的。 详解过程： 解：1、由于 5 条线段的和均相等，从整体考虑将其全部相加为 5S。 2、从个体考虑，除中间数加了 5 次外，其他数均加了 1 次，可看作所有数 10 至 20 均加了 1 次，中间数 a 多加了 四次，表示为（10+11+??+20）+4a， 3、列出等式为 5S=（10+11+??+20）+4a，化简为 5S=165+4a，要使等式成立，a 必须为 5 的倍数，得出三种答案， a=10 时，S=41，a=15 时，S=45，a=20 时，S=49。 4、将三种答案逐一尝试，得出三种答案分别如图：20 16 14 15 13 17 12 1816 13 1910 111915 1410 11 20 12 1718专家点评： 此题中个体考虑时中心数字 a 一共加了 5 次，在列式当中一定要注意：加上的是多加的次数，即 4a，而不是 5a，因为在全部数字里面 a 已经相加一次。对 a 进行取值时的原则是使右边总和能够被 5 整除，确定 a 值与 S 值后 进行简单的数字分组即可完成。有的题目在数字分组时需要同时满足多个条件，需要综合考虑，请看例 6。【例 6】（☆☆☆☆☆）右图中有三个正三角形，将 1～9 填入它们顶点处 的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○ 的每条直线上的四数之和也相等。审题要点： 此题与上题相类似，注意题目要求两组和相等，应该先由一组进行分析满足后，再在此基础上满足另外一组和 相等的条件。前面的分析方法一致，后面尝试部分数字分组时需要多考虑几个部分的和相等即可。 详解过程： 解 ： 1 、 先 考 虑 三 角 形 和 相 等 的 部 分 ， 由 于 无 重 复 数 字 ， 全 部 数 字 相 加 一 次 ， 直 接 列 出 等 式 ： 3S = （1+2+3+4+5+6+7+8+9） ，解出：S =15 将所有数字分成数字和为 15 的三组： （1，5，9）（2，6，7）（3，4，8） ； ； 任意选择其中一组填入最里面三角形，另外两组则不能随便填，需要再满足另一组和相等。 2、考虑三直线和相等。观察发现内部三角形三数相加两次，其他相加一次，列出等式为： 3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（a+b+c） 注意到内部三角形三数之和 a+b+c 已确定为 15，代入解出方程得：K =20。 先看有 5 和 9 的直线，其他两个数和为 20C5-9=6，即需要从其他两组数中分别选取两数和为 6，可为 4，2。 再看有 5 和 1 的直线，其他两个数和为 20C5-1=14，即需要从其他两组数中分别选取两数和为 14，可为 8，6。新锐教育学生开心家长放心40新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家最后看有 9 和 1 的直线，其他两个数和为 20C9-1=10，即需要从其他两组数中分别选取两数和为 10，可为 3， 7。 分别填入即得到答案如下左图。 如果一开始使用其他的分组法，还可得出下右图。2 4 5 1 8 6 9 3 72 6 5 3 8 4 7 1 9专家点评： 1、 此题中两组和均需要满足相等， 应该首先选择较为简单的一组进行分析， 三角形三数和相等由于无重复数字， 可以直接求出和为 15，对后面另一组分析有用。 2、步骤二的等式分析中，利用了第一组的结论三角形三数和为 15，a+b+c=15，此处的利用十分巧妙，大家要 注意其特点，还有很多题目中有此类使用。 3、步骤二中的尝试是在第一组分组的基础上进行，注意直线上其他两个数必须分别来自两组数字中，大家可以 想一想其中的原因。 4、步骤二中三组数（4，2） （8，6） （3，7）确定后，填入图中时，同时又要考虑步骤一中的分组情况，即须保 证（2，6，7）（3，4，8）在同一直线上。综合考虑，需要全面周到。 ，【例 7】 （☆☆☆）请你将 2～10 这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条 对角线上的三数之和相等。审题要点： 此题属于构造简单幻方题型，不能简单的直接尝试，而应该利用幻方的性质，按一定的顺序和步骤进行逐一填 入。 详解过程： 解：1、首先将 2，3，4，5，6，7，8，9，10 找出中间数 6，并把其他数按首尾顺序配好对 即（2，10）（3，9）（4，8）（5，7） ， ， ， ，根据幻方性质 4 知道幻和为 18。 2、根据幻方性质 2 将中间数填入幻方中心。 3、根据幻方性质 3 和 5 依次将配对填入。首先（2，10）填入（B，H） （或者（D，F）也可 以） 。其次（3，9）可填入（G，C） 注意： （3，9）不能填入（C，G） ，大家知道为什么吗？）下面两对就不能随便填入了。 4、根据每行每列三数相加等于幻和 18 将其他数依次填入。例如第一行中，A+2+9=18 推出 A=7，其他依次类推。 5、时间允许的情况下最好能够完全检验所有行列及对角线是否相加等于幻和。A 7 D 8 G 3B 2 E 6 H 10C 9 F 4 I 5专家点评： 构造幻方有很多的方法，这里介绍的是一种比较常用的方法，推荐使用，因为其构造的过程完全依赖于幻方的 性质，掌握此构造过程有利于对幻方性质的更深理解。新锐教育学生开心家长放心41新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家【例 8】 （☆☆☆☆）在右图的九个方格中填入不大于 12 且互不相同的九个自然 数（其中已填好一个数） ，使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都 等于 21。 审题要点： 此题也是属于幻方的构造， 只不过条件更为复杂， 但还是万变不离其宗， 利用幻方的基本性质按步骤进行构造。 详解过程： 解：1、由幻和为 21 首先确定数列中间数及幻方中心数为 7，进而确定 C 为 9。 2、根据数列不大于 12 的条件将数列按中间数为 7 依次列出为 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，发现 有五组可能的配对，所以应该排除一组。 3、采用假设法，设最大最小数组为（3，11） ，按照幻方的性质 5 将填入（B，H） ，进而确定（A，I）为（C,G） 为（9，5）（A,I）为（8，6） ， ，但是此时第一行三数之和 8+3+9=20 不等于幻和 21。 4、确定最大最小数组为（2，12） ，填入（B，H） ，进而根据幻和依次填入其他数组。满足条件。 A 8 D G 5 B 3 E 7 H 11 C 9 F I 6 A 10 D 6 G 5 B 2 E 7 H 12 C 9 F 8 I 4专家点评： 此题中根据已知无法直接确定数列，而且幻方中有一组配对已经确定，所以只能采用假设法，按照最大最小数 组的选择进行假设，很容易得出结论。假设法是奥数里面常用的一种方法，希望同学们在几种情况无法确定的时候 一定要采用假设法。【例 9】 （☆☆☆☆☆）如图所示，在 3?3 方格表内已填好了两个数 19 和 95，在其余的空格中填上适当的数，可 以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。 （1）求 x； （2）如果中间的空格内填入 100，试在上一 小题的基础上，完成填图。x 19 95100 9519审题要点： 此题第一问中给出的条件只有两个数字，无法确定中心数，也无法确定幻和，这里需要利用幻方性质中最为复新锐教育学生开心家长放心42新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家杂的一个即性质 6。第二问相对就简单得多了。 详解过程： 解：1、直接根据幻方性质 6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。 可知 95 即为 19 与 x 的平均数，所以可求出 x 为 171。A D G 95B x E HC F 19 I2、 由中心数为 100 确定幻和为 300， 然后由每一行列数相加为幻和依次计算出其他数组。 结果如图所示：A 24 D 181 G 95B 171 E 100 H 29C 105 F 19 I 176专家点评： 本题中使用的幻方性质 6 比较偏，同学们可以重点记忆，当然此问也可以用方程法直接解出，但是过程比较复 杂，这里就不作深入分析，有兴趣的同学可以自己去试试，得出的答案完全一样。第二问属于一般的幻方计算，综 合利用幻方性质就可以直接得出结论。四、拓展训练 1. 下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是 。[初级点拨] 此题与 进行分析。例 2 相类似，突破口一样，主要利用大小估值的方法11 [深度提示] 由 8 ? ab ? B, B为两位数, 可推知ab=10， 或12 。[全解过程] 由c ? ab ? A, A为三位数.可推知ab ? 12, c ? 9 。2. 右面的除法算式（1）中，每个□表示一个数字，那么商数是。[初级点拨] 此题根据已知数字 6，7，1，出现的位置可容易判断需要用到的分析法有高位分析法，个位分析法及根 据数位大小估值法。新锐教育学生开心家长放心43新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家而可知[深度提示] 由 a? 6cd =A， A 为三位数， 而 根据高位大小估值法可知 a=1。 进 d=7，继续考虑 B 中个位数利用个位分析法。 [全解过程] 容易看出 B 个位数为 1，由 b? 6cd =B，根据个位分析法知 b=3， 为 13。所以商数3. 在右面的算式中， 相同的汉字代表相同的数字， 不同的汉字代表不同的 字。那么， “努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 。数[初级点拨] 题目中唯一出现的个位数字 1，考虑使用个位分析法突破，注意 不同的汉 字代表不同的数字的限制条件进行排除。 [深度提示] A 个位数为 1，结合习与争为不同数，可知只有两种可能性：1，习＝3，争＝7；2，习＝7，争＝3。先 假设第一种情况， “习”＝3， “争”＝7 则 A 中十位数为学＝学?7+2（个位数）推知学＝3 或 8，又习 ＝3，所以学＝8，这样 A 百位数 8＝8?7+5（进位）不成立，排除。继续假设第二种情况。 [全解过程] 先确定力为 0，再假设习＝7，争＝3 ，则十位的学＝学?3+2 （ 个 位 数） ，推知学＝4 或 9，当学＝4 时百位 4＝4?3+1（进位）不成 立。所以 学＝9。千位数?3+2 不进位，推知数＝1 或 2，当数＝2 时，a ＝8，b＝ 1，7?努，个位为 1，则努＝3，与争＝3 重复，排除。所以数＝ 1，则 a＝ 5，b＝4，努＝2， “努力力争”＝2003。所以“努力力争”四个 汉字所代 表的数字和为 5。4. 将 1～6 填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于 k，请指 的取值范围。出 k[初级点拨] 此题属于典型数阵图填空，利用数字和全部相加的方法，找出每一个数字的相加次数，列出等式进行分 析取值。 [深度提示] 1、把三个要求相等的数字和相加为 3k。 2、计算每一个位置数字相加的次数，很明显，全部数字相加一次外，角上三个数字多加一次，表示为 （1+2+3+4+5+6）+（a+b+c） 。 3、列出等式 3k=（1+2+3+4+5+6）+（a+b+c）进行分析，计算 a+b+c 的所有可能取值及对应 k 的取值。 [全解过程] a+b+c 最小为 1+2+3=6，此时 k=9，最大为 4+5+6=15，此时 k=12，那么 k 可等于 10，11，对应 a+b+c=9 和 12，可取 1，3，5 和 2，4，6，经过尝试四种结果如下：1 6 2 4 5 33 6 2 1 4 54 5 1 2 3 64 3 5 1 2 6k=9 k=10 k=11 k=12 5. 1～9 分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数） ，要求靠近大三角 边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能 些？形三条 大 一新锐教育学生开心家长放心44新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 典型数阵图，利用全部数字和相加，从整体和个体同时考虑，列出等式进行分析取值。注意计算清楚数 阵图中每一个位置的相加次数。 [深度提示] 1、将三个要求相等的数字和相加为 3S。 2、计算每一位置的相加次数，可知 a，b，c 只加一次外，其他都相加两次，可以看成全部数字相加二 次，再减去（a+b+c） ，即为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-（a+b+c） 。 3、列出等式 3S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）?2-（a+b+c）=90-（a+b+c） 要使 S 尽可能大，则 a+b+c 可取 1+2+3=6，此时 S=28。 [全解过程] 取 a=1,b=2,c=3,再用尝试法完成其他数字：剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续 自然数，那么可选择：4+8＝12；6+7＝13；5+9＝14。结果如下：7 6 1 5 7 2 3 4 86. 海豚是很聪明的动物，它能将 1～9 填入下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等， 并且 7，8，9 依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？[初级点拨] 此数阵图中每一个数字都相加两次，根据等式可以直接确定 S，然后根据要求将数字分组并实验。 [ 深 度 提 示 ] 一 共 六 个 要 求 相 等 的 数 字 和 ， 而 每 一 个 数 字 都 相 加 两 次 ， 无 特 殊 数 字 。 列 出 等 式 为 6S ＝ （1+2+3+4+5+6+7+8+9）?2 解出 S＝15。将九个数字分为三组，每组三个数字和为 15。 [全解过程] 数字分组进行尝试：将全部数字分为三组，注意 7，8，9 必须分在不同组，无唯一分法，例如（951） ， （843）（762） ， ，又观察可知必须从每一组选一个组成数字和为 15，可选择为（942）（537） ， （186） ， 调换顺序可下列两种答案：7. 如图是一个三阶幻 是多少？方，那么标有＊的方格中所填的数*1810新锐教育学生开心家长放心45新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[初级点拨] 此幻方给出的已知条件比较少， 中心数与幻和均未知， 但是观察发现 第一行与第一列除共同的数字外 只有一个未知，考虑使用幻方性质 7 解决。 [深度提示] 幻方性质 7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等，可知 1+G=8+10，所以 G 为 17，再 根据幻方性质 3 可将中心数填出。 [全解过程] 幻方性质 3：幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数，可 知中心数为 10 与 17 的平均，即 13.5，确定幻和为 40.5，再根据第一行中幻和算出 A 为 22.5。 A D 1 G 17 B 8 E H C 10 F I A 22.5 D 1 G 17 B 8 E 13.5 H C 10 F I8. 把 1，2，3，4，6，9，12，18，36 这 9 个数分别填入 3?3 方格表的各方格内，使 行、每一列及两条对角线上的 3 个数的乘积都是 216。求位于正中间的方格中所填 [初级点拨] 此题是属于三阶乘法幻方，可利用加法幻方的性质及步骤类推得出结论进行解答。 [深度提示] 加法幻方步骤进行操作：1，确定中间数 6，配对数组（1，36）（2，18）（3，12） ， ， ， （4，9） ，按大小顺序依次填入幻方中对称位置。注意幻方性质 5 的利用。 [全解过程] 中心数为 6。我们继续填下去：幻积为 216，将配对依次填入： （1， 36）填入中间 （H，B）（2，18） ， ，填入四角（C，G） ，其他再全部根据幻积为 216 计算，依次填入， 答案如图： A 3 D 4 G 18每 一 的数。 B 36 E 6 H 1 C 2 F 9 I 129. 7 个圆内填入 7 个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填 的数是多少？10 6 ★ 14 119 128[初级点拨] 此题属于数阵图的变 形，应用数阵图的基本思路，将所有和相加，进 行分析。 [深度提示] 将所有和相加得 14+11+8+12+9+6+10=70，从个体考虑，可看出每个数相加两次，所以七个连续数和为 70÷2=35，所以七个连续数为：2，3，4，5，6，7，8。 [全解过程] （法 1）从最大和或最小和处开始尝试，14 只有唯一分解 14=8+6 假设★为 8，尝试发现不能完成，所新锐教育学生开心家长放心46新锐教育新锐教育以★为 6，逐一计算完成如图：10 6 2 9 7 4中小学课外辅导专家614 8 11 3 5 812（法 2）本题也可以用方程的方法可以先假设最顶端的圆圈中所填的数为 x，那么根据它与右邻的 和为 14 可以得到它右边的圆圈中的数为 14-x，如此按顺时针顺序得到各个圆圈的代数表达式：x-3， 11-x，1+x，8-x，x-2，所以最顶端的圆圈的左邻中的数是 x-2，根据最顶端圆圈与其左邻圆圈中的数 和为 10 可列方程 x-2+x=10，得到 x=6，其他圆圈中的数也就可以全部求出。10. 把 1.2，3.7，6.5，2.9，4.6 分别填在右下图的 5 个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的 3 个圆圈中的 数的平均值，再把 3 个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个 最小的数是多少？[初级点拨] 此题中数量关系不是很明显，也无法从整体上直接求和，应该设出未知数并表示出最后数，就能看出它 们的关系，再进行分析。 [深度提示] 设个小圆中的数依次为 a1、a2 、a3 、a4、a5 ，则三个正方形中的数依次为a1 +a 2 +a 3 a +a +a 、 2 3 4 、 3 3a 3 +a 4 +a 5 a +2a 2 +3a 3 +2a 4 +a 5 ，继而求出三角形中的数值为 1 。要使数值最小，a1、a2、a3、a4、a5 应 3 9该怎么样取值。 [全解过程] 很明显，a3 中应该填入最小的数 1.2，a2、a4 中应该填入次大的 2.9 和 3.7，a1、a5 中填入 4.6 和 6.5， 这样三角数等于 3.1。新锐教育学生开心家长放心47新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家第 4 讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题一、 知识地图：? ?概念 ? ? ?1. c a , c a ? c (a ? b) ? ? ? ? ? ? 2. b a , c b ? c a ? ? ? ? ? 3. bc a ? b a , c a ? ?整除性质 ? ? ? ? ? 4. b a , c a 且（b，c）=1 ? bc a ? ? ? ? ? ?5. a b ? am bm (m ? 0) ? ? ?6. a b 且c d ? ac bd ? ? ? ? ? ?1. 2, 5 ?整除 ? ? 2. 4,25 ? ? ? ? ? ?3. 8,125 ? ? ?整除特征 ? 4. 3,9 ? ? ? ? ?5. 11 ? ? ? ? ? 数论（一） ? ?6. 7(11,13) ? ? ?合数整除问题 ? ? ? ?整除应用 ? ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ?奇偶性 ?数的奇偶分析与应用 ? ?判断，反证 ? ? ? ? ? ?整数拆分中的最值问题 ? ? ? ?极值（最大最小离散） 面积 ?乘积（和一定差小乘积大） ? ? ? ? ?二、 基础知识： 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明， “很多数论 问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事” 。因而有人 说： “用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的 习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。 ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中， 数论显得 格外重要。数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数――整数及其内部关系，但是从这些简单的数 中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至 整世纪努力研究。 小学数学竞赛和小升初考试的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数新锐教育学生开心家长放心48新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家与偶数、整数的分解与分拆。（一）整除问题 数的整除 数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特征三方面来介绍。 1.整除的概念 在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果必定有一种成立。如果余数为零，我 们就说被除数能被除数整除。如 15÷3=5；24÷2=12。 一般地，如果用字母表示，可以这样说： 整数 a 除以整数 b（b≠0） ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除（也可以说 b 能整除 a） ， 记作 ba。如 15 能被 3 整除，记作 315；24 能被 2 整除，记作 224。 如果数 a 能被数 b（b≠0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。像在上面的算式中，因为 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。 由于 0÷b=0（b≠0） ，就是说零能被任何非零整数整除。因此，零是任意一个非零整数的倍数。 1 是任意一个整数的约数，也就是说，对于整数 a，都能保证 1a 成立。 同样，由于 a÷a=1（a≠0） ，也就保证一个非零整数必能整除它本身，也就是 aa（a≠0） 。2.整除的性质 （1）性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除。即如果 ca，cb，那么 c （a±b） 。在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和（a+b）或差（a-b）能被 c 整除，这 两个数不一定能被 c 整除。如 5 （26+24） ，但 5 26，5 24。再看下面这个问题：2O12，12O36。2 能否整除 36？显然，回答是肯定的。这是因为 36 是 12 的倍数，12 又 是 2 的倍数，那么 36 一定是 2 的倍数。由此我们又可以得出： （2）性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。即如果 bOa，cOb，那么 cOa。 用同样的方法，我们还可以得出： （3）性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除。即如果 bcOa，那么 bOa，cOa。 （4）性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除。 即如果 bOa，cOa，且（b，c）=1，那么 bcOa。 如：如果 3O12，4O12，且（3，4）=1，那么（3?4） O12。 （5）性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除。 如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数） ； （6）性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除。 如果 b｜a ，且 d｜c ，那么 bd｜ac；3.数的整除特征新锐教育学生开心家长放心49新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。 “特征”包含两方面的意义：一方面，个位数 字是偶数（包括 0）的整数，必能被 2 整除；另一方面，能被 2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括 0） 。下面 “特征”含义相似。 ②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。 ③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。 例如：123 的各位数字之和是 1+2+3=6，因为 6 能被 3 整除，所以 3O123。 再如：126 的各位数字之和是 1+2+6=9，因为 9 能被 9 整除，所以 9O126。 我们以三位数为例来证明被 9 整除只需看各位数字之和这一性质 假设该三位数为 abc ＝100a＋10b＋c＝（99a＋9b）＋（a＋b＋c） 很明显第一个括号里的数是 9 的倍数，因此只要 a＋b＋c，即各位数字之和能被 9 整除，那么这个三位数 abc 就能 被 9 整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。 注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧： （1） “弃九法” 。即看各位数字和能否被 9 整除，只要先把 9 划去，或者其它的和是 9 的几个数划去，剩下的数字 之和是否是 9 的倍数，则可以判定这个数能否被 9 整除。 （2）得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被 9 除的余数就是在弃 9 法以后的余数。 类似地，判断能否被 3 整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。 ④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。 例如：＋64，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800 是 4 与 25 的倍数。又因为 4｜64，所以 1864 能被 4 整除。但因为 25 64，所以 1864 不能被 25 整除。 。⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。 例如：2＋375，因为 1000 是 8 与 125 的倍数，所以 29000 是 8 与 125 的倍数。又因为 125｜375， 所以 29375 能被 125 整除。但因为 8 375，所以 8 29375。⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍 数。 例如：判断
这九位数能否被 11 整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是 9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是 8＋6＋4＋2＝20。因为 25―20 ＝5，又因为 11 5，所以 11 。再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是： （4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为 0 是任何整数的倍 数，所以 11｜0。因此 13574 是 11 的倍数。 ⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小） 能被 7（11 或 13）整除。 例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？ 解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数。因为 7，又 7｜777，所以 7｜1059282。因此 1059282 是 7 的倍数。 再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？ 解： 3546725 分为 3546 和 725 两个数。 把 因为 1。 再把 2821 分为 2 和 821 两个数， 因为 821―2＝819， 又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725。 特殊的，六位数 abcabc 是 7、11、13 的倍数。新锐教育学生开心家长放心50新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？ 仔细想一想我们会发现 7?11?13＝1001，正好比 1000 大 1，由此我们可以得到如下证明 我们设一个多位数的末三位是 abc，前面部分是 x 那么我们要证明的就是这个多位数能否被 7，11，13 整除决定于 abc-x 能否被 7，11，13 整除 该数＝1000x＋abc＝1001x＋（abc－x） 由于 1001 同时是 7，11，13 的倍数，所以这个多位数能否被 7，11，13 整除决定于 abc-x 能否被 7，11，13 整除。 希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一 些其他数论题目的时候是非常有效的。 上面介绍了能被 2、3、4、5、7、8、9、11、13 整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被 6、12、15??等 整数整除呢？ 显然 6=2?3，12=3?4，15=3?5?? 这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把 6， 12，15?? 这类数的整除问题转化为同时能被 2 和 3 整除或 3 和 4 整除??等简单的问题来做。4.奇数和偶数 整数可以分成奇数和偶数两大类。能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。 特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 奇数与偶数有许多的性质 奇数±奇数=偶数 奇数±偶数=奇数 偶数±偶数=偶数 奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数 偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数 加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作 0 或没有操作） 加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作 1） 奇数?奇数=奇数 偶数?偶数=偶数 奇数?偶数=偶数 奇数?奇数?奇数?奇数???奇数?偶数=偶数 a+b 与 a-b 同奇或同偶 奇数的平方=4K+1，偶数的平方=4K 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。5.最值分析（离散） 在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件 下的最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。最值分析问 题是数学中的一个难点和重点，可以融入到认识的题目中去考核，并因为他们的存在使题目变得更有难度。一般而 言，最大与最小问题包括数、式、方程（组）中的最大最小问题、统筹方法中教学思想方法的初步应用、几何中的 最大最小问题（周长、面积、最短的路线） 。新锐教育学生开心家长放心51新锐教育新锐教育中小学课外辅导专家重要结论：两数和一定时，这两数差越小（越接近）乘积越大 整数分拆中的最值问题 在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题。 例如： 试把 14 分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大。 解：把 14 分拆成两个自然数之和，共有 7 种不同的方式。对每一种分拆计算相应的乘积： 14=1＋13，1?13＝13； 14=2+12，2?12=24； 14=3＋11，3?11=33； 14=4＋10，4?10=40； 14=5＋9，5?9=45； 14=6+8，6?8=48； 14=7+7，7?7=49。 因此，当把 14 分拆为两个 7 之和的时候，乘积（7?7=49）最大。 说明：本例可以推广为一般性结论： “把自然数 n?2 分拆为两个自然数 a 与 b（a?b）之和，使其积 a?b 取 最大值的条件是 a=b 或 a-b=1 （a＞b）。 ” 事实上， 假设 a-b=1+m （其中 m 是一个自然数） 显然 n=a+b= ， （a-1）（b+1） + ， 而有（a-1）?（b+1）＝a?b＋a-b-1＝a?b＋m＞a?b。例如：试把 14