若abc已知abc均为实数数且abc=1证明a×b+b×c+c×a<=3分之1

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-24 07:43 标签： 证明实数集不可数
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索与a+b-c的值之间的关系．
（1）填表：
三边a，b，c&
&5，12，13
&8，15，17
（2）分析后猜想：若设a+b-c=m（m为正实数），则=（用m表示）；
（3）请写出（2）中结论的推导过程．
解：（1）a+b-c的值依次为2，4，6；的值依次为，1，；
（3）由a+b+c=l及a+b-c=m，得（a+b+c）（a+b-c）=lm，
即a2+2ab+b2-c2=lm，因为a2+b2=c2，
所以2ab=lm，再由，得2ab=4s，所以4s=lm，故．
（1）按图中给出的信息进行计算即可；
（2）根据（1）中得出的结果，我们可看出m的值都是的4倍，因此=；
（3）可先从a+b+c=l及a+b-c=m入手，让两者相乘正好可以用平方差公式进行化简．可得出a2+2ab+b2-c2=lm，我们发现a2+b2正好符合勾股定理应等于c2．而2ab又正好是4s，因此原式最终可化简为4s=lm，就此可得出结论．& （2016o丹东一模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，
本题难度：0.46&&题型：解答题
（2016o丹东一模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．
来源：2016o丹东一模 | 【考点】不等式的证明．
已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，；②求a+b+c的值．
（1）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d≠0，a3+b3=c3+d3．求证：（a-c）（a-d）=0；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满21+a2=b，21+b2=c，21+c2=a，求△ABC的面积．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o丹东一模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：a+b+c≤1a+1b+1c．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（Ⅰ）利用1+a≥2a1+b≥2b1+c≥2c相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用1a+1b+1c=ab+bc+acab+bc≥2ab2c=2bab+ac≥2a2b&nbspc=2abc+ac≥2ab&nbspc2=2c相加证明即可．
【解答】证明：（Ⅰ）1+a≥2a1+b≥2b1+c≥2c相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．实数abc满足a＞0b＞0c＞0且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8------（5分）（Ⅱ）1a+1b+1c=ab+bc+acab+bc≥2ab2c=2bab+ac≥2a2b&nbspc=2abc+ac≥2ab&nbspc2=2c相加得：a+b+c≤1a+1b+1c------（10分）
【考点】不等式的证明．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o丹东一模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
不等式的证明
证明不等式的方法很多，有比较法、分析法、综合法，均值不等式法（公式法）、放缩法、反证法、换元法、构造法、判别式法等等。
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)不妨设a≥1，则原式等价于
(b+c)(a^2+ab+bc+ca≥4(a+b+c-1)
→(b+c)(a^2+1/a+1/b+1/c)≥4(a+b+c-1).
而1/a+1/b+1/c≥3(1/abc)^(1/3)=3，
故只需证明
(b+c)(a^2+3)≥4(a+b+c-1)
→(a^2-1)(b+c)≥4(a-1)
→(a+1)(b+c)≥4.
而(a+1)(b+c)≥2√a·2√bc=4，
∴原不等式成立。
1/(1-2a)+1/(1-2b)+1/(1-2c)=(1-2a-2b+4ab+1-2a-2c+4ac+1-2b-2c+4bc)/(1-2a)(1-2b)(1-...
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(a-b+c+d)(a+b+c-d)=(a+c-b+d)(a+c+b-d)=【（a+c)-(b-d)】【(a+c)+(b-d)】=(a+c)^2-(b-d)^2...
ab+bc+ac=1，所以1+a^2=(a+b)(a+c)√[(a+b)(a+c)]≤(2a+b+c)/2a√[(a+b)(a+c)]≤a^2+(ab+ca)/...
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＞＞＞已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一..
已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一个大于32o
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：∵a+b+c=0，∴a、b、c必有一个正数，不妨设c＞0，a+b=-c，ab=1c．这样a、b可看作方程x2+cx+1c=0的两实根．△=c2-4×1c≥0，即c3≥4＞278，∴c＞3278=32．所以a、b、c中至少有一个大于32o
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据魔方格专家权威分析，试题“已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一..”主要考查你对&&一元二次方程根的判别式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。定理1& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；定理2& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；定理3& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；定理5& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；定理6& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。③证明字母系数方程有实数根或无实数根。④应用根的判别式判断三角形的形状。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。⑧利用根的判别式解有关抛物线（△&0）与x轴两交点间的距离的问题。
发现相似题
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