函数的单调性说课稿
　　一、教学内容的分析
1．教材的地位和作用
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为的学习奠定基础．
其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
2．教学的重点和难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对的学生来说比较困难.
其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.
根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重点是函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标：
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
三、教学方法的选择
1．教学方法
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.
2．教学手段
教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握证法，适当延展；归纳小结，提高认识.具体过程如下：
&(一)创设情境，引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从具体材料&&――有关奥运会天气的例子出发，而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性，明确本课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．
在课前，我给学生布置了两个任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上我引导学生观察日的气温变化曲线图，引导学生体会在某些时段温度升高，某些时段温度降低.
然后，我指出中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子（如燃油价格等）. 随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
&(二)归纳探索，形成概念
在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.
1．借助图象，直观感知
本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.
在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：
问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.
而后两个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2.
问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
教学中，我引导学生用自己的语言描述增函数的定义：
如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．
然后让学生类比描述减函数的定义.至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识．
2．探究规律，理性认识
在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．
问题1：右图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
对于问题1，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.
问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数？
在前边的铺垫下，问题2是形成单调性概念的关键.在教学中，我组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈，评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.
对于问题2，学生错误的回答主要有两种：
(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为,所以在上为增函数．
(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以在上为增函数．
对于这两种错误，我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上，引导学生从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答:
&任意取,有,即，所以在为增函数．
这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明单调性的方法，为后续用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此，学生对函数单调性有了理性的认识.
3．抽象思维，形成概念
本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.
教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.
同时我设计了一组判断题：
②若函数满足f(2)&f(3),则函数在[2,3]上为增函数.
③若函数在和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．
④因为函数在上都是减函数，所以在上是减函数.
通过对判断题的讨论，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学.
（三）掌握证法，适当延展
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展.
例证明函数在上是增函数．
在引入导数后，用定义证明单调性的作用已经有所降低，我选择一个较难的例子，主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有一个比较深刻的认识.
证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤.
1．难点突破
对于函数单调性的证明，由于前边有对函数在上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:
证明：任取,
因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.
针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数在上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式,提取后即可考虑判断符号.
2．详细板书
在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.
证明：任取,&& 　　　　　设元
　　　　求差
　　　　变形　　
由得　　　　 　　&断号
所以，函数在上是增函数．定论
3．归纳步骤
在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论).通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．
为了巩固用定义证明函数单调性的方法，强化解题步骤，形成并提高解题能力，我设计了课堂练习：
证明：函数在上是增函数．
教学过程中，我对学生的完成情况进行及时评价和有针对性的指导.同时考虑到我校学生数学基础较好，思维较为活跃的特点，为了加深学生对定义的理解，并对判断单调性的方法做适当延展，我设计了下面的问题.
问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且，有，能断定函数在上是增函数吗?
教学过程中，我引导学生分析这种叙述与定义的等价性．然后，让学生尝试用这种定义等价形式证明之前的课堂练习.这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
（四）归纳小结，提高认识
本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础．
1．学习小结
在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.
在方法层面上，首先引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.
2．布置作业
在布置书面作业的同时，为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.
(1) 证明：函数在上是增函数的充要条件是对任意的，且有．
目的是加深学生对定义的理解，而且这种方法进一步发展同样也可以得到导数法．
(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程，体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性，加深对数形结合的认识．
以上就是我对《函数的单调性》这节课的教学设想.
各位专家、评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念.
本文来自：逍遥右脑记忆 /gaozhong/149574.html
相关阅读：
下一篇：没有了3．． 分析:利用导数可以研究函数的单调性.一般应先确定函数的定义域.再求导数.通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号.来确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时.分类讨——精英家教网——
暑假天气热？在家里学北京名师课程，
3．． 分析:利用导数可以研究函数的单调性.一般应先确定函数的定义域.再求导数.通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号.来确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时.分类讨论难于避免.不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同.应注意分类讨论的准确性． 解: 1．函数定义域为R． 当时. ∴函数在上是增函数． 当时. ∴函数在上是减函数． 【】
题目列表(包括答案和解析)
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6&m&2解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c依题意又f′(0)＝－3∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x(2)设切点为(x0，x03－3x0)，∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)又切线过点A(2，m)∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)∴m＝－2x03＋6x02－6令g(x)＝－2x3＋6x2－6则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)由g′(x)＝0得x＝0或x＝2∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2画出草图知，当－6&m&2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，所以m的取值范围是(－6,2)．&
已知函数 R)．（Ⅰ）若 ，求曲线&在点 &处的的切线方程；（Ⅱ）若 &对任意 &恒成立，求实数a的取值范围．【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用当时，．因为切点为（），则，&&&&&&&&&&&&&&&&&所以在点（）处的曲线的切线方程为：第二问中，由题意得，即即可。Ⅰ）当时，．，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&因为切点为（），则，&&&&&&&&&&&&&&&&&所以在点（）处的曲线的切线方程为：．&&& ……5分（Ⅱ）解法一：由题意得，即．&&&&& ……9分（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分），&&&&&&&&&&& 因为，所以恒成立，故在上单调递增，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&……12分要使恒成立，则，解得．……15分解法二：&&&&&&&&&&&&&&&&……7分&&&&&（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增， 即．&&&&&&&&&&&&&&&&&……10分（2）当时，令，对称轴，则在上单调递增，又&&&& ① 当，即时，在上恒成立，所以在单调递增，即，不合题意，舍去&& ②当时，，不合题意，舍去 14分综上所述：& &
已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若函数在区间上存在递减区间，求实数m的取值范围．【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的最值。第一问中，利用导数求解函数的最值，首先求解导数，然后利用极值和端点值比较大小，得到结论。第二问中，我们利用函数在上存在递减区间，即在上有解，即，即可，可得到。解：（1），& 令，解得&&&&&&&&&&&&&&&&……………3分，在上为增函数，在上为减函数，&&&&&&&&&&&&&&&&&．&&&&&&&&&…………6分（2）在上存在递减区间，在上有解，……9分在上有解，，所以，实数的取值范围为&& &
汕头二中拟建一座长米，宽米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔米（，为正常数）需打建一个桩位，每个桩位需花费万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的米墙面需花万元，在不计地板和天花板的情况下，当为何值时，所需总费用最少？【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。先求需打个桩位．再求解墙面所需费用为：，最后表示总费用，利用导数判定单调性，求解最值。解：由题意可知，需打个桩位．…………………2分墙面所需费用为：，……4分∴所需总费用（）…7分令，则&当时，；当时，．∴当时，取极小值为．而在内极值点唯一，所以．∴当时，（万元），即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．&
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！
请输入姓名
请输入手机号【图文】3.3函数的单调性、凹凸性与极值_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
3.3函数的单调性、凹凸性与极值
&&高等数学(微积分) 第三张 导数的应用
大小：3.80MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢当前位置： >>
第二节函数的单调性及其极值
第三章 导数的应用第二节 函数的单调性及其极值一、函数单调性的充分条件 二、函数的极值及其求法一、函数单调性的充分条件定理 1 设函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内可微， ) 内可微，则 (1)若当 x ∈ (a, b)时，f ′(x) & 0， f (x) 在 ) ) ， (a, b)内单调递增； ) 单调递增； (2)若当 x ∈(a, b)时， f ′(x) & 0， 则 f (x) 在 ) ) ， (a, b)内单调递减. ) 单调递减.证设 x1，x2 为(a, b)内的任意两点，且 x1& x2， )内的任意两点，则由拉格朗日中值定理有f ( x 2 ) ? f ( x1 ) = f ′(ξ ) , x 2 ? x1其中 ξ ∈ (a, b). . (1)若当 f ′(x) & 0，则 f ′(ξ) & 0，于是 ) ， ，f ( x 2 ) ? f ( x1 ) & 0， x 2 ? x1即当 x2 & x1 因为 x2 C x1 & 0， 所以 f (x2) C f (x1) & 0， ， 时，有 f (x2) & f (x1)， ， 可知 f (x) 在 (a, b)内递增. ) )内递增. 的情形,其证法与( )的类似. (2)对于 f ′(x) & 0 的情形,其证法与(1)的类似. )确定某个函数的单调性的一般步骤是： 确定某个函数的单调性的一般步骤是： (1)确定函数的定义域； )确定函数的定义域； 不存在的点， (2)求出使 f ′(x) = 0 和 f ′(x) 不存在的点， ) 并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间； 并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间； 在各个子区间内的符号， (3)确定 f ′(x) 在各个子区间内的符号， 从而判 ) 的单调性. 定出 f (x) 的单调性例1的单调区间． 求函数 f (x) = x3 - 3x 的单调区间．的定义区间为( 解 (1)该函数的定义区间为(? ∞, + ∞)； )该函数的定义区间为 令 ， 2) 1)， (2) f ′(x) = 3x2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)， f ′(x) = 0， 得 x = - 1，x = 1，它们将定义区间分为三个子区间： ， ，它们将定义区间分为三个子区间： (? ∞, - 1)，(- 1, 1)， (1, + ∞)； ) )(3)因为当 x ∈ (? ∞, - 1)时，f ′(x)& 0， ) ) ) ， x ， x ∈(?1, 1)时，f ′(x) & 0， ∈ (1, + ∞)时 f ′(x) & 0， ) ， 所以( 的递增区间， 所以(? ∞, -1)和(1, + ∞)是 f (x) 的递增区间， ) 是 的递减区间. (-1, 1)是 f (x) 的递减区间. , ) 为简便直观起见， 为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳 为如下的表格： 为如下的表格：x f ′(x) f (x) 其中箭头 递减. 递减. ， 分别分表示函数在指定区间递增和 (? ∞, - 1) )+(- 1,1) , )(1, + ∞)?+例 2 讨论函数 f ( x ) = ( x ? 1) x 的单调性 . 解 (1)该函数的定义区间为 (? ∞，+ ∞)； )该函数的定义区间为2 5x ? 2 (x ( 2 ) f ? ) = x ( x ? 1) + x = 1 . 3 3x 3 2 此外， ) 令 f ′( x ) = 0 得 x = , 此外，显然 x = 0 为 f (x) 5 2 的不可导点， 的不可导点， 于是 x = 0 , x = 分 定 义 区 间 为 三 5 个子区间 ? 2? ?2 ? (? ∞, 0)， ? 0, ? , ? , + ∞ ?. ) ? 5? ?5 ?? 1 3 2 32 3?2 ? ( 3) 因为 x ∈ ( ?∞ ,0) 和 ? ,+∞ ?时 , f ′( x ) & 0, ?5 ? ? 2? x ∈ ? 0, ? 时 , f ′( x ) & 0, 所以 f ( x ) 在 ( ?∞ ,0) 和 ? 5? ? 2? ?2 ? ? ,+∞ ? 内单调递增 , 在 ? 0, ? 内单调递减 . ?5 ? ? 5?那样， 亦可如例 1 那样，以下表表示 f (x) 的单调性： ) 的单调性：? 2? ? 0, ? ? 5?x f ′(x) f (x)(? ∞, 0) ? +?2 ? ,+∞ ? ? ?5 ?－+二、函数的极值及其求法定义 1 的一个邻域内有定义， 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) & f (x)， ) ， 的极大值， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值， x0 称为 f (x) 的极大值点； 的极大值点； (2) f (x0) & f (x)， ) ， 的极小值， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值， x0 称为 f (x) 的极小值点； 的极小值点； 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大 统称为函数的极值 值点、极小值点统称为极值点 统称为极值点. 值点、极小值点统称为极值点显然， 在图中， 显然 ， 在图中 ， x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， 大值点， x2，x5 的极小值点. 为 f (x) 的极小值点y y = f (x)x1 Ox2x3x4x5 x极值的必要条件) 定理 2 (极值的必要条件) 处可导， 设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 且 f (x0) 为极 为值点) 值(即 x0 为值点)，则 f ′(x0) = 0.证 有则由定义 1 可知， 必 可知， 为极大值， (1)设 f (x0) 为极大值， )当 存在 x0 的一个邻域 N(x0 , δ )， x0 + ?x ∈N (x0 , δ ) 时， ， f (x0 +?x ) - f (x0) & 0 (?x ≠ 0 )， ? ， 因此，当 ?x & 0 时，有 因此，当 ?x & 0 时，有f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) & 0, ?x f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) & 0. ?x处可微， 因为 f (x) 在 x0 处可微，所以 f (x) 在该点处 的左、右导数存在且相等， 的左、右导数存在且相等，即 f ′- (x0) = f ′+ (x0)， ， 由于f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) f ?′ ( x0 ) = lim? ?x ? 0 ?x≥0，f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ≤ 0. f +′ ( x0 ) = lim+ ?x ? 0 ?x因此， 因此， f ′(x0) = 0 . 为极小值情形的证明是类似的，从略. (2) f (x0) 为极小值情形的证明是类似的，从略 )的几何意义是： 定理 2 的几何意义是：可微函数的图形在极值 点处的切线与 Ox 轴平行. 轴平行 定理 2 的重要意义在于： 对于可微函数来讲 ， 的重要意义在于： 对于可微函数来讲， 其极值点必在导数为零的那些点之中. 其极值点必在导数为零的那些点之中 称导数为零的点为驻点. 导数为零的点为驻点 函数可能在其导数为零的点， 函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但 不可导的点处取得极值. 不可导的点处取得极值 今后， 我们 今后 ，极值的第一充分条件) 定理 3 (极值的第一充分条件) 的一个邻域内可微( 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续) 处可以不可微，但必须连续)， 若当 x 在该邻域内 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 其导数 f ′(x) 改变 符号， 符号， 则 f (x0) 为函数的极值 为函数的极值. 并且 由正值变成负值， (1)若导数 f ′(x) 由正值变成负值，则 x0 为极大 ) 值点， 值点，f (x0) 为 f (x) 的极大值； 的极大值； 由负值变成正值， (2)若导数 f ′(x) 由负值变成正值， 则 x0 为极小 ) 值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值 值点， 的极小值. x0 为函数的极值点， 为函数的极值点，证设所述邻域为 N (x0, δ ) ，且 x ∈ N(x0, δ )， ，由正变负， (1)若 f ′(x) 由正变负， 即当 x ∈(x0- δ, x0) 时， ) f ′(x) & 0， x ∈ (x0, x0 + δ ) 时， f ′(x) & 0 ， 则在 ， 当 (x0 - δ, x0) 内 f (x) 递增，在 (x0, x0 + δ ) 内递减， 递增， 内递减， f (x0) & f (x)， ， 的极大值， 的极大值点. 即 f (x0) 为 f (x) 的极大值， x0 为 f (x) 的极大值点 由负变正的情形可类似地证明. 从略. (2) f ′(x) 由负变正的情形可类似地证明 从略 ) 若 f (x) 在 x0 处可导且 f ′(x0) = 0 ，但 f ′(x)在 x0 在 的两侧同号， 的两侧同号， 则 x0 不是 f (x) 的极值点， f (x) 在 x0 的极值点， 处不是极值. 处不是极值 所以当 x ∈ N(x0 , δ ) 时恒有 处连续， 又因为 f (x) 在 x0 处连续，定理 4( 极值的第二充分条件 )处的二阶导数存在， 设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在， 若 f ′(x0) = 0，且 f ″(x0) ≠ 0， 则 x0 是函数的极值点， ， ， 是函数的极值点， f (x0) 为函数的极值， 并且 为函数的极值， 为极小值点， (1)当 f ″(x0) & 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0) ) 为极小值； 为极小值； 为极大值点， (2)当 f ″(x0) & 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0) ) 为极大值. 为极大值求函数极值的一般步骤是： 运用定理 3 求函数极值的一般步骤是： (1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导 )确定定义域， 数不存在的点； 数不存在的点； (2)考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； )考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； (3)求出极值点处的函数值，得到极值 )求出极值点处的函数值，得到极值.求函数极值的一般步骤是： 运用定理 4 求函数极值的一般步骤是： (1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点； )确定定义域，并求出所给函数的全部驻点； (2)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确 )考察函数的二阶导数在驻点处的符号， 定极值点； 定极值点； (3)求出极值点处的函数值，得到极值 )求出极值点处的函数值，得到极值.例3 解的极值. 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值 (1)定义域为 (- ∞,+ ∞). ) f ′(x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7).7 x 的三个驻点： 所以由 f ′(x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点： = 1, x = , x = 2, 5该函数在定义区间内无不可导的点， 该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义7 区间分为四个子区间 ( ?∞ , 1), ? 1, ?, ? ? ? 5? ?7 ? ? , 2 ?, ( 2, + ∞ ). ?5 ?? 7? (2) 当 x ∈ (-∞, 1)时， f ′(x) & 0；当 x ∈ ? 1, ? 时, ) 时 ； ? 5? 7 当 f ′( x ) & 0; 当 x ∈ ? , 2 ? 时 , f ′(x) & 0； x ∈ (2, + ∞) ； ? ? ?5 ?时， f ′(x) & 0. 因此，由定理 3 可知， x = 1 为极大 因此， 可知， 值点， 值点， x = 7 为极小值点 ,5x = 2 不是极值点(因为在 不是极值点(x = 2 的两侧 f ′(x) 同为正号). 同为正号)(3)计算极值 ) ， 极大值 f (1) = (1 ? 1)2 (1 ? 2)3 = 0，108 ?7? ?7 ? ?7 ? . 极小值 f ? ? = ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? = ? 3125 ? 5? ? 5 ? ? 5 ? 2 3有时，可以将整个解题过程以表格形式表示： 有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x f ′(x) f (x) (-∞, 1) ) + 1 0 极大值0 极大值? 7? ? 1, ? ? 5?7 5?7 ? ? , 2? ?5 ?2 0 无极值(2, + ∞) +-0极小值 ? 108 3125+例4 解的极值. 求函数 f (x) = (x - 1) 3 x 2 的极值 中已讨论过. 所给函数的单调性在例 2 中已讨论过可得到本题表格形式的解答： 可得到本题表格形式的解答：(-∞, 0) ) +? 2? ? 0, ? ? 5?x f ′(x) f (x)0 不存在 极大值0 极大值2 5033 4 极小值 ? 5 25? 2 ? ,+ ∞? ? ?5 ?-+例5 解 因为的极值. 求函数 f (x) = x4 C 10x2 + 5 的极值 (1)定义域为 (- ∞, + ∞). ) f ′(x) = 4x3 C 20x = 4x(x2 - 5)， ，所以， 所以，由 f ′(x) = 0 可得该函数的三个驻点x = ? 5 , x = 0, x = 5 .(2)因为 ) f ″(x) = 12x2 C 20， ， 所以有f ″( ? 5 ) = 12( ? 5 ) 2 ? 20 & 0; f ″(0) = ?20 & 0;f ″( 5 ) = 12( 5 ) 2 ? 20 & 0.可知： 由定理 4 可知： x = ? 5 和 x = 5 为极小值点 ，x = 0 为极大值点 .(3)计算极值： )计算极值：极小值 f ( ? 5 ) = ( ? 5 )4 ? 10( ? 5 ) 2 + 5 = ?20 ;极大值 f (0) = 0 4 ? 10 ? 0 2 + 5 = 5 ;极小值 f ( 5 ) = ( 5 )4 ? 10( 5 ) 2 + 5 = ?20 .