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已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n∈N*时，
（1）xn2+xn=3xn+12+2xn+1；（2）
题型：证明题难度：偏难来源：浙江省高考真题
解：（1）因为f′（x）=3x2+2x所以曲线y=f （x）在（xn+1，f （xn-1））处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1因为过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线斜率是xn2+xn 所以xn2+xn= 3xn+12+2xn+1。（2）因为函数h（x）=x2+x 当x&0时单调递增， 而xn2+xn=3xa+12+2xn+1 ≤4xn+12+2xn+1所以，即因此又因为令yn=xn2+xn则因为y1=x21+x1=2所以因此故。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如..”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义，函数的单调性、最值，反证法与放缩法，求过两点的直线的斜率&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
导数的概念及其几何意义函数的单调性、最值反证法与放缩法求过两点的直线的斜率
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。反证法的定义：
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a&b,b&c，则a&c.
放缩法的操作：
若求证P&Q，先证P&P1&P2&…&Pn,再证恰有Pn&Q.需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn&Q.过两点的直线的斜率公式：
过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式：，即，&过两点的直线斜率公式的理解：
（1）k的值与P1,P2& 两点的顺序无关
求直线的斜率的方法：
确定直线的斜率一般有两种情况，即已知直线的倾斜角，由求斜率；已知两点，由斜率公式求斜率．在实际问题中，应注意结合图形分析，准确求解并注意斜率不存在的情况．
斜率公式的应用：
(1)三点共线的证明斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率可证三点共线的原因．三点共线的判定方法：已知三点，则判定三点A，B，C在一条直线上的常用方法是：&& （2）利用斜率公式构造斜率，灵活解决形如之类的问题。
发现相似题
与“已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如..”考查相似的试题有：
794911876472826955266105250553881826已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x?y1?xy），且数列x1=12，xn+1=2xn_百度知道
已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x?y1?xy），且数列x1=12，xn+1=2xn
xy）；（Ⅱ）求f（xn）的表达式，且数列x1=12，xn+1=2xn1+xn2．（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（Ⅲ）若a1=1，an+1=12n2nf（xn）-an已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x?y1
我有更好的答案
normal">f(x<span style="vertical-align:font-font-font-size:wordSpacing:1font-wordSpacing:sub，1）上为奇函数．（Ⅱ）因为f(xn+1)f(xx（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（)＝2，又1+xxn:90%">1)＝f(12)＝1，所以f（xn）}为等比数列:font-size:sub:90%">n))＝f(xn)?f(:wordSfont-size:wordSpacing:1px:90%">2xn)＝2f(xn);font-size，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）:90%">n2)＝f(<td style="border-bottom:1padding-bottom?y1?xy）:wordWrap:wordWfont-wordSpacing:normal">f(x<span style="vertical-align，所以当x=y=0时;font-font-size:90%">1?xn;font-size:1px，即f（x）在（-1:90%">n)n?1)＝f(<td style="border-bottom:1padding-bottom?x<td style="border-bottom:1padding-bottom?x<span style="vertical-align:1px，所以)＝f(x1)?2n?1＝2n?1．…..（6分）（3）因为+an+1=6n，所以an+1+an+2=6（n+1），两式相减，得an+2-=6，所以{a2n-1}与{a2n}均为公差为6&的等差数列，所以易求得=．…．（12分）:wordWrap
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数学分析(华东师大)第三章函数极限选编.docx 28页
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函 数 极 限
函数极限概念
x 趋于∞时函数的极限
设函数 f 定义在 [ a , + ∞ ) 上 , 类 似于 数列情 形 , 我们 研究 当自变 量 x 趋 于
+ ∞时 , 对应的函数值能否无 限地 接近 于某 个定 数 A .例如 , 对 于 函数 f ( x ) =
1
x , 从图象上可见 , 当 x 无限增大时 , 函数值无限 地接近 于 0; 而对 于函 数 g ( x)
x , 则当 x 趋于 + ∞时函数值无限地接近于 π
2
.我们称这 两个函数 当 x
趋于 + ∞时有极限 .一般地 , 当 x 趋于 + ∞时函数极限的精确定义如下 :
定义 1 设 f 为定义在 [ a , + ∞ ) 上的函数 , A 为定数 .若对任给的 ε& 0 , 存 在正数 M ( ≥ a) , 使得当 x &
M 时有
f ( x )
- A & ε, 则称函数 f 当 x 趋于 + ∞时以 A 为极限 , 记作
lim
x → + ∞
f ( x )
f ( x ) → A
( x → + ∞ )
在定义 1 中正数 M 的作用与数列 极限 定义 中的 N 相类似 , 表 明 x 充分 大 的程度 ; 但这里所考虑的是比 M 大的所有 实
数 x , 而不仅仅是正 整数 n .因 此 , 当 x → + ∞ 时函数 f 以 A 为极限意 味着 : A 的任 意小 邻 域内必含有 f 在 + ∞的某邻 域内的全 部函 数 值 .
定义 1 的几何意义如图 3 - 1 所示 , 对 任 给的 ε& 0 , 在坐标平面上平行于 x 轴的两 条 直线 y =
A + ε与 y =
A - ε, 围成 以直 线 y =

A 为中心线、宽为 2ε的带形区域 ; 定义中的“当 x &
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f ( x ) 在直线 x = M 的
函数极限概念 43
右边部分全部落在这更窄的带形区域内 .
现设 f 为定义在 U( - ∞ ) 或 U ( ∞ ) 上的 函数 , 当 x → - ∞ 或 x →∞ 时 , 若 函数值 f ( x ) 能无限地接近某定数 A , 则称 f 当 x → - ∞或 x → ∞时 以 A 为 极 限 , 分别记作
lim
x → - ∞
lim
x → ∞
f ( x )
f ( x ) → A
∞ ) ;
f ( x) = A
f ( x) → A
( x → ∞ )
这两种函数极限的精确定义与 定义 1 相 仿 , 只 须把 定义 1 中 的“ x &
M”分别 改 为“ x &
M”即可 .
读者不难证明 : 若 f 为定义在 U ( ∞ ) 上的函数 , 则
lim
x → ∞
f ( x) = A! lim
x → + ∞
f ( x )
= lim
x → - ∞
f (
= A . ( 1)
证明 lim 1

= 0 .
任给 ε& 0 , 取 M = 1
ε
, 则当 | x | &
0 = x &
 1
1) lim
arctan
π; 2) lim
x → - ∞
证
任给 ε& 0 , 由于
2 x → +
π
2
& ε ( 2)
等价于 - ε- π & arctan
x & ε- π , 而此不等式的左半部分对任 何 x 都 成立 , 所
2 2
以只要考察其右半部分 x 的变化范围 .为此 , 先限制 ε& π , 则有
2
ε - π
2
=
π
2
ε .
故对任给的正数 ε &
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函数与极限
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