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高一数学函数同步和单元试题11套
2.1 映射与函数、函数的解析式一、选择题： 1．设集合 A = {x | 1 ≤ x ≤ 2} ， B = { y | 1 ≤ y ≤ 4} ，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到 B 的映射的是（ ）2A． f : x → y = xB． f : x → y = 3 x ? 2 D． f : x →
y = 4 ? x2C． f : x → y = ? x + 42．若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[－1，2]，则函数 f (x) 的定义域是（ A． [ ?）5 ,?1] 2B．[－1，2]C．[－1，5]D． [ ,2]1 23，设函数 f ( x ) = ?? x ? 1( x ≥ 1) ，则 f ( f ( f ( 2))) =（ ( x & 1) ?1B．1 C．2 ））A．0D． 24．下面各组函数中为相同函数的是（ A． B．f ( x) = ( x ? 1) 2 , g ( x) = x ? 1f ( x) = x 2 ? 1, g ( x) = x + 1 x ? 1 ( x) = ( x ? 1) 2 , g ( x) = ( x ? 1) 2D． fC． f( x) =x2 ?1 , g ( x) = x+2x2 ?1 x+25. 已知映射 f ： A → B ，其中，集合 A = {? 3,?2,?1,1,2,3,4} 集合 B 中的元素都是 A 中元 , 素在映射 f 下的象，且对任意的 a ∈ A, 在 B 中和它对应的元素是 a ，则集合 B 中元素的个 数是( ) (A) 4 6．有下述对应：(B) 5(C) 6(D) 7①集合 A=R，B=Z，对应法则是?1 f :x→ y=? ?? 1( x ≥ 0) ( x & 0)，其中 x ∈ A ， y ∈ B .②集合 A 和 B 都是正整数集 N ，对应法则是 ③集合 A = {x | ④集合 A = {x |*f : x → y =| x ? 1 | ， x ∈ A ， y ∈ B .x ∈ Z }, B = { y | y = 2k , k ∈ Z } ，对应法则是 f : x → y = 2 x . x 是三角形}， B = { y | y & 0} ，对应法则是 f : x → y = x 的面积.，是集合 A 到集合 B 的一一映射的是第 1 页 共 31 页则其中是集合 A 到集合 B 的映射的是7．已知定义在 [0,+∞ ) 的函数 若 f ( f ( f ( k ))) =? x + 2 ( x ≥ 2) f ( x) = ? 2 ( 0 ≤ x & 2) ?x25 ，则实数 k = 48．已知 f (x ) 是二次函数，且满足 9．已知 f ( x ) =f [ f ( x)] = x 4 ? 2 x 2 , 求f ( x) .bx + 1 1 (a, b 是常数， ab ≠ 2 ） ，且 f ( x ) f ( ) = k （常数） ， 2x + a x k （1）求 k 的值； （2）若 f ( f (1)) = , 求a 、b 的值. 210．如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形 的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为 x，两圆的面积之和为 S，将 S 表示为 x 的函数，求函数 S = f ( x) 的解析式及 f ( x ) 的值域.2.2 函数的定义域和值域1．已知函数 f ( x ) =1+ x 的定义域为 M，f[f(x)]的定义域为 N，则 M∩N= 1? x.2.如果 f(x)的定义域为(0,1)， ?1 & a & 0 ，那么函数 2g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域为 . 2 3. 函数 y=x -2x+a 在[0,3]上的最小值是 4，则 a= ；若最大值是 4，则 . a= 2 4．已知函数 f(x)=3-4x-2x ,则下列结论不正确的是（ ） A．在（-∞，+∞）内有最大值 5，无最小值 B． 在[-3， 2]内的最大值 是 5，最小值是-13 C．在[1，2）内有最大值-3，最小值-13 D．在[0，+∞）内有最大值 3，无最小值 5．已知函数 y = A．p ? Q 6．若函数 y =2x+3 x 2 ? 9 的值域分别是集合 P、Q，则（ ,y= 2 x?4 x ? 7 x + 12B．P=Q C．P ? Q）D．以上答案都不对mx ? 1 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是（ ） mx + 4mx + 3 3 3 3 3 A． (0, ] B． (0, ) C． [0, ] D． [0, ) 4 4 4 4） D．[－ 2 ， 2 ] )7．函数 y = 2 ? ? x 2 + 4 x ( x ∈ [0,4]) 的值域是（ A．[0，2] 8.若函数 f ( x) = B．[1，2]C．[－2，2]3x ? 1 的值域是{ y | y ≤ 0} ∪ { y | y ≥ 4}, 则f ( x) 的定义域是( x ?1第 2 页 共 31 页A． [ 1 ,3]3B． [ 1 ,1) ∪ (1,3]3C． ( ?∞, 1 ]或[3,+∞)3D．[3,+∞ )9．求下列函数的定义域： ①y=1? x2 2x 2 ? x ? 11 1+ 1 1+ 1 1+ x②y=( x ? 1)( x ? 2)(3 ? x)( x ? 4) x?5③ y = 1+10．求下列函数的值域： ①y=3x + 5 ( x & 1) 5x ? 3②y=|x+5|+|x-6| ⑤y=2③ y = 4?? x2 + x + 2④ y = x + 1 ? 2xx x ? 2x + 4211．设函数 f ( x ) = x + x ?1 . 4（Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求 f ( x ) 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为 [ a, a + 1] 时， f ( x ) 的值域为 [ ? 12．若函数 f ( x ) =1 1 , ] ，求 a 的值. 2 16x 2 + ax ? 2 的值域为[－2，2]，求 a 的值. x2 ? x +12.3 函数的单调性1．下述函数中，在 ( ?∞,0) 上为增函数的是（ A．y=x －22） C．y= 1 ? ）2B．y=3 x2?xD． y = ?( x + 2) 22．下述函数中，单调递增区间是 ( ?∞,0] 的是（ A．y=－1 xB．y=－(x－1) ）C．y=x －2D．y=－|x|3．函数 y = ? x 2 在( ?∞， ∞) 上是（ + A．增函数B．既不是增函数也不是减函数C．减函数D．既是减函数也是增函数 4． 若函数 f(x)是区间[a,b]上的增函数， 也是区间[b,c]上的增函数， 则函数 f(x)在区间[a,b] 上是（ ） A．增函数 B．是增函数或减函数 C．是减函数 D．未必是增函数或减 函数 2 2 ) 5．已知函数 f(x)=8+2x-x ，如果 g(x)=f(2-x )，那么 g(x) (第 3 页 共 31 页A.在区间（-1，0）上单调递减 C.在区间（-2，0）上单调递减 6．设函数 f ( x ) =B.在区间（0，1）上单调递减 D 在区间（0，2）上单调递减ax + 1 在区间(?2,+∞) 上是单调递增函数，那么 a 的取值范围是（ ） x+2 1 1 A． 0 & a & B． a & C．a&-1 或 a&1 D．a&－2 2 227．函数 f ( x) = 2 x ? mx + 3,当x ∈ [ ?2,+∞) 时是增函数，则 m 的取值范围是（ A． [－8，+∞） B．[8，+∞） C． （－∞，－ 8] 2 8．如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(4-t)=f(t),那么（ A ． f(2)&f(1)&f(4) B ． f(1)&f(2)&f(4) D．f(4)&f(2)&f(1)3 9． 若函数 f ( x) = 4 x ? ax + 3 的单调递减区间是 (?）D． （－∞，8] ） C ． f(2)&f(4)&f(1)1 1 , ) ，则实数 a 的值为 2 2.10．(理科)若 a&0，求函数 f ( x ) = 11．设函数 f ( x ) =x ? ln( x + a )( x ∈ (0,+∞)) 的单调区间.x 2 + 1 ? ax(a & 0) ，（I）求证：当且仅当 a≥1 时，f(x)在 [0,+∞) 内为单调函数； （II）求 a 的取值范围，使函数 f(x)在区间 [1,+∞) 上是增函数.2.4 函数的奇偶性1．若 f ( x) = x A．奇函数n 2 + n +1(n ∈ N ), 则f ( x) 是（） D．非奇非偶函数B．偶函数C．奇函数或偶函数2． f(x)为定义域在 R 上的偶函数， f(x)在 [0 + ∞)为增函数, 则f ( ?2), f ( ?π ), f (3) 的 设 且 大小顺序为（ ） B． f ( ?π ) & f ( ?2) & f (3) D． f ( ?π ) & f ( ?2) & f (3)A． f ( ?π ) & f (3) & f ( ?2) C． f ( ?π ) & f (3) & f ( ?2)3．如果 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是减函数，那么下述式子中正确的是 （ ） A． f ( ? ) ≥ f ( a ? a + 1)3 2 4 3 2 C． f ( ? ) = f ( a ? a + 1) 4B． f ( ? ) ≤ f ( a ? a + 1)23 4D．以上关系均不成立4．函数 f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当 x∈[0，2]时，f(x)是减函数，设 a = f (log 81 ), b= 2第 4 页 共 31 页f(7.5)，c= f(－5)，则 a、b、c 的大小关系是（ ） B．a& c & b C．b&a& c A．a&b&c5．下列 4 个函数中：①y=3x－1，② y = log a ④ y = x(D．c& a&b1? x x3 + x2 (a & 0且a ≠ 1); ③ y = ， 1+ x x +1）1 a?x1 + )(a & 0且a ≠ 1). ?1 2B．②③其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ C．①③ D．①④A．①6．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足： f ( x + 2) = ?1 ，当 2≤x≤3，f(x)=x，则 f ( x)D．2.5f(5.5)=（A．5.5） B．－5.5 C．－2.57．设偶函数 f(x)在 [0,+∞) 上为减函数，则不等式 f(x)& f(2x+1) 的解集是 8． 已知 f(x)与 g(x)的定义域都是{x|x∈R， x≠±1}， f(x)是偶函数， x)是奇函 数， 若 g( R 且 且 f(x)+ g(x)=1 ，则 f(x)= 1? x，g(x)=.9．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数 f(x)是偶函数，并且在（－∞，0）上是 增函数，若 f(－3)=0，则不等式x &0 的解集是 f (x).10．设定义在 R 上的偶函数 f(x)又是周期为 4 的周期函数，且当 x∈[－2，0]时 f(x)为增 函数，若 f(－2)≥0，求证：当 x∈[4，6]时，| f(x)|为减函数. 2 11．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足 f(－a +2a－ 2 5)&f(2a +a+1), 求实数 a 的取值范围.2.5 反函数1、下列函数中，有反函数的是（ A．y =3 + x + 52） B．y =32x ? 1 + 21 C．y = 2 x +1? x 2 ? 3( x ≥ 0) ? D．y= ? ?3 x ( x & 0) ?－1 －2、设点(a，b)在函数 y=f(x)的图象上，那么 y= f (x)的图象上一定有点（ ） －1 －1 －1 A．(a, f (a) ) B．(f (b)，b) C．( f (a)，a) D ． (b, f 1 (b)) 2 －1 3、若 f(x－1)= x －2x+3 (x≤1)，则 f (4)等于（ ） A． 2 B．1－ 2 C．－ 2 D． 2 －2－14、与函数 y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（ －1 －1 C．y =－f (x) D．y =－f A．y=－f(x) B．y= f (x)第 5 页 共 31 页） (－x)5、函数 f(x)= x ? 1 +2 (x≥1)的反函数是（ A．y= (x－2) +1 (x∈R) 2 C．y= (x－2) +1 (x≥2) 6．函数 y = f (x ) 有反函数 y = f?12） B．x= (y－2) +1 (x∈R) 2 D．y=(x－2) +1 (x≥1)2( x) ，将 y = f (x) 的图象绕原点顺时针方向旋转 90°后）?1得到另一个函数的图象，则得到的这个函数是（ A． y = f?1( x)B． y = ? f?1( x)C． y = f(? x)D． y = ? f?1(? x)7．若点（4，3）既在函数 y = 1 +ax + b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式 －1 －1 －1 8、 若函数 f(x)存在反函数 f (x)，则 f (f(x))=____ ； f(f (x))=______. 9．关于反函数给出下述命题： ① 若 f (x ) 为奇函数，则 f (x ) 一定有反函数. ② 函数 f (x ) 有反函数的充要条件是 f (x ) 是单调函数. ③ 若 f (x ) 的反函数是 g (x ) ，则函数 g (x ) 一定有反函数，且它的反函数是 f (x ) ④ 设函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f?1( x) ，若点 P（a，b）在 y = f (x) 的图象上，则点Q (b, a ) 一定在 y = f则其中错误的命题是 10、己知 f(x)= (?1( x) 的图象上.⑤若两个函数的图象关于直线 y = x 对称，则这两个函数一定互为反函数.x ?1 2 ) (x≥1) x +1－1①求 f(x)的反函数 f(x)，并求出反函数的定义域； ②判断并证明 f－1(x)的单调性.11．已知函数 y = f ( x ), x ∈ A, y ∈ C 存在反函数 y = f ?1 ( x ) ， （1）若 y = f ( x) 是奇函数，讨论 y = f ?1 ( x ) 的奇偶性； （2）若 y = f ( x) 在定义域上是增函数，讨论 y = f ?1 ( x ) 的单调性．2.6 .指数式与对数式1．若 n ∈ N ，则*4 ? n + 21? n + 1 + 4 ? n ? 21? n + 1 = （B． 2 ? n2） D． 2 ?2 n ）A．2C． 21? n2．若 log 9 x ? log 4 3 = (log 3 4 + log 4 3) ? (log 4 3 log 3 4 + ) ，则 x = （ log 3 4 log 4 3第 6 页 共 31 页A．4B．16C．256 ） C．1 或 4? 1 3 ? 3D．813. 已知 2lg(x－2y)=lgx+lgy，则 x 的值为（ y A．1 4．已知 x + x?1B．41D．4 或-1 ）= 3 ， A = x 2 + x 2 ， B = x 2 + x 2 ，则 A, B 的值分别为（B． ±2 5 ， ± 5 D． 5 ， 2 5A． ± 5 ， ±2 5 C． 2 5 ， 5 5．设 3 = 4 = 6 = t & 1 ，则x y z1 1 1 ? 与 的大小关系为（ z x 2yB．）A．1 1 1 ? & z x 2y 1 1 1 ? & z x 2y?21 1 1 ? = z x 2y 1 1 1 ? 与 的大小关系不确定 z x 2yC．D．?0.756．计算： ( 0.25 )? 1 ? +8 ?? ? ? 16 ?2 3= _____________47．计算： (log 4 3 + log 8 3)(log 3 2 + log 9 2) ? log 12b32 =. .8．已知 log18 9 = a ， 18 = 5 ，则 log 36 45 用 a, b 表示为 9．计算 lg 2 5 + lg 2 ? lg 50 + 4log 2 3=.10．已知 a +1 = 3, 求 a(a a +1 a a4+ 2)(a 2 +1 + 3) a21 a+4 a的值.2.7 .指数函数与对数函数1．当 0 & a & 1 时， a, a A． a C． aa,aaa的大小关系是（ B． a D． aa a）& aa & aaaaa& aa & a & a & aaaa& a & aa2．已知 f ( x ) =| log a x | ，其中 0 & a & 1 ，则下列不等式成立的是（）第 7 页 共 31 页A． f ( ) & f (2) & f ( )1 1 4 3 1 1 C． f ( ) & f ( ) & f (2) 4 31 4 1 1 D． f ( ) & f (2) & f ( ) 3 4B． f (2) & f ( ) & f ( )1 33．函数 y = f ( 2 x ) 的定义域为[1，2]，则函数 y = f (log 2 x) 的定义域为（ A．[0，1]2）B．[1，2]3C．[2，4]D．[4，16] ）4．若函数 f ( x) = log 1 ( x ? ax)在( ?3,?2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ A．[9，12]xB．[4，12]x ?yC．[4，27]D．[9，27] ） D． x + y ≤05．若 ( log 2 3) ? ( log 5 3) ≥ ( log 2 3) A． x ? y ≥0? ( log 5 3) ，则（?yB． x + y ≥0C． x ? y ≤06．若定义在(―1，0)内的函数 f ( x) = log 2 a ( x + 1) 满足 f (x) ＞0，则 a 的取值范围是 7．若 log (1+ k ) (1 ? k ) & 1 ，则实数 k 的取值范围是 8．已知函数 f ( x ) = log a ( x + 是 9．已知函数 （1）求 . .a ? 4)(a & 0, 且a ≠ 1) 的值域为 R，则实数 a 的取值范围 xf ( x) = lg(a x ? b x )(a & 1,0 & b & 1) ，f (x) 的定义域；（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于 x 轴？ （3）当 a、b 满足什么条件时 f (x ) 恰在 (1,+∞) 取正值.10．求函数f ( x) = log 2x +1 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) 的值域. x ?111．在函数 y = log a x ( a & 1, x & 1) 的图象上有 A、B、C 三点， 它们的横坐标分别为 m 、m + 2 、m + 4 ，若△ABC 的面积为 S， 求函数 S = f ( m) 的值域. 12．已知函数 f ( x ) = log a (1 + x ) ? log a (1 ? x)( a & 0且a ≠ 1) （1）讨论 f ( x ) 的奇偶性与单调性； （2）若不等式 | f ( x ) |& 2 的解集为 {x | ? （3）求 f ( x ) 的反函数 f?11 1 & x & }, 求a 的值； 2 2( x) ；第 8 页 共 31 页（4）若 f?1(1) =1 ?1 ，解关于 x 的不等式 f ( x) & m(m ∈ R）. 32.8 .二次函数1．设函数 f ( x) = 2 x + 3ax + 2a ( x, a ∈ R）的最小值为 m（a） ，当 m（a）有最大值时 a 的2值为（ A．）4 3B．3 4C．8 9D．9 82 2． 已知 x1 , x 2 是方程x 2 ? ( k ? 2) x + ( k 2 + 3k + 5) = 0 为实数） （k 的两个实数根， x12 + x 2 则的最大值为（ A．19） B．18 C． 55 9D．不存在3．设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ，对任意实数 t 都有 f ( 2 + t ) = f ( 2 ? t ) 成立，则函 数值 f ( ?1), f (1), f ( 2), f (5) 中，最小的一个不可能是（ A．f(－1) B．f(1) C．f(2) ） D．f(5)4．设二次函数 f(x)，对 x∈R 有 f ( x ) ≤ f ( ) =25，其图象与 x 轴交于两点，且这两点的横 R 坐标的立方和为 19，则 f(x)的解析式为 5．已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + 2ax + 1 在区间[－3，2]上的最大值为 4，则 a 的值为 6．一元二次方程 x 的取值范围是 7．已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ R）满足 f ( ?1) = 0, f (1) = 1, 且对任意实数 x 都有 f ( x) ? x ≥ 0, 求f ( x) 的解析式. 8．a&0，当 x ∈ [?1,1] 时，函数21 2+ (a 2 ? 1) x + a ? 2 = 0 的一根比 1 大，另一根比－1 小，则实数 af ( x) = ? x 2 ? ax + b 的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值时相应的 x 的值. 9．已知f ( x) = ?4 x 2 + 4ax ? 4a ? a 2 在区间[0，1]上的最大值是－5，求 a 的值.= f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0时, f ( x) = 2 x ? x 2 ， f (x) 的解析式； （Ⅱ） 问是否存在这样的正数 a， 当 x ∈ [ a, b]时, f ( x ) b，10．函数 y（Ⅰ） x&0 时 求的值域为 [ , ] ？若存在，求出所有的 a，b 的值；若不存在，说明理由.1 1 b a第 9 页 共 31 页11．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时 间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本 与上市时间的关系用右图的抛物线段表示。 （Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系 P=f(t)；写出右图表示的种植成本与时间的函数关系 式 Q=g(t)； （Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大. 2 （注：市场售价和种植成本的单位：元/10 kg，时间单位：天）2.9 .函数的图象1．函数 f ( 2 x ? 3) 的图象，可由 f ( 2 x + 3) 的图象经过下述变换得到（ A．向左平移 6 个单位 B．向右平移 6 个单位 C．向左平移 3 个单位 D．向右平移 3 个单位 2．设函数 y = f (x ) 与函数 所示，则函数 y ）y = g ( x ) 的图象如右图）= f ( x) ? g ( x) 的图象可能是下面的（3 ． 已 知 f ( x) =2x + 3 , 函 数 y = g (x) 的 图 象 与 函 数 与 x ?1）y= f?1( x + 1) 的图象关于直线 y = x 对称，则 g (11) 等于（A．3 2B．5 2C．7 2D．21 84．如图，点 P 在边长的 1 的正方形的边上运动，设 M 是 CD 边的中点，当 P 沿 A→B→C→M第 10 页 共 31 页运动时，以点 P 经过的路程 x 为自变量， ?APM 的面积为 y ，则函数 y 大致是（ ）= f (x) 的图象5．已知函数 y=x , 给出下列四个命题：①函数的图象关于点（1，1）对称； x ?1②函数的图象关于直线 y = 2 ? x 对称； ③函数在定义域内单调递减； ④将函数图象向左平移一 个单位，再向下平移一个单位后与函数 y =1 重合. x则其中正确命题的序号是6．设函数 f (x ) 的定义域为 R，则下列命题中： ①若 y = f (x ) 为偶函数，则 y = f ( x + 2) 的图象关于 y 轴对称； ②若 y = f ( x + 2) 为偶函数，则 y = f ( x ) 的图象关于直线 x ③若= 2 对称；f ( x ? 2) = f (2 ? x) ，则 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 2 对称； = f ( x ? 2) 与函数 y = f (2 ? x) 的图象关于直线 x = 2 对称.④函数 y则其中正确命题的序号是 7．作出下述函数图象： （1） y= x 2 ? | 2x ?1 | .（2） y=1 . | x | ?1（3） y1 =| ( ) |x|?1 ? 1 | . 28．指出函数f (a ? x) 与 f (b + x)(a 、 b 为常数）的对称性，并证明你的结论.9．设? x ? 1( x ≥ 1) f ( x) = ? , 作出下述函数的图象： ?1 ? x( x & 1) f ( x ? 1) ；（2）（1）f ( x 2 ? 2 x ? 2).8 ? x 2 + 1 有两个公共点？有一个公共10． m 为何值时，直线 l : y = ? x + m 与曲线 y = 点？无公共点？ 11．设函数 f ( x) = x +1 ( x ∈ (?∞,0) ∪ (0,+∞)) 的图象为 C1 、 C1 关于点 A（2，1）的对称 x的图象为 C 2 ， C 2 对应的函数为 g (x) ， （Ⅰ）求函数 y = g (x) 的解析式，并确定其定义 域； （Ⅱ）若直线 y = b 与 C 2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点的坐标.第 11 页 共 31 页2.10 函数的综合应用1．某商品零售价 2002 年比 2000 年上涨了 25%，欲控制 2003 年比 2000 年只上涨 10%，则 2003 年应比 2002 年降价（ ） A．15% B．12% C．10% D．5% 2．某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数 T (t ) = t ? 3t + 60 ，时间单位是小时，温度单位3为摄氏度，t=0 表示中午 12：00，其后 t 取值为正，则下午 3 时的温度为（ ）摄氏度. A．8 B．18 C．78 D．112 3．从 1999 年 11 月 1 日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为 20%，即储蓄利息 的 20%由各银行储蓄点代收，某人在 1999 年 11 月存入人民币 1 万元，存期一年，年利率为 2.25%，则到期可净得到的本金和利息共计（ ） A．10225 元 B．10180 元 C．11800 元 D．12250 元 3 4．水箱中有水 20m ，如果打开出水孔，水箱中的水 5 分钟可以流完，当打开出水孔时，水 箱中的水的剩余量 V ( m 3 ) 是时间 t（秒）的函数，则函数 V = f (t ) 的解析式是 5．按国家统计局资料，到 1989 年初，我国大陆人口总数达到 11 亿，人口自然增长率约为 年初 （填写年号） ， （用 14%， 按此自然增长率计算， 我国大陆人口达到 13 亿时是 下面数据帮助计算：lg13=1.1139，lg11=1.0414，lg1.14=0.0060） 三、解答题： 6． （理科）A、B 两镇相距 50 公里，A 镇位于一直线形河岸旁，B 镇离河岸的距离 BD=30 公里. 两镇准备在河岸 C 处合建一个水厂， 从水厂 C 到 A、 两镇的水管费用每公里分别为 500 元和 1000 元， B 问水厂 C 应建在何处才能使水管总费用最省，并求出最小水管总 费用. 7．有两个煤矿用汽车供应三个城镇的用煤，第一个煤矿月产煤 120 万吨，第二个煤矿月产煤 200 万吨. 第一个城镇每月用煤 90 万吨，第二个城镇每月用 煤 150 万吨，第三个城镇每月用煤 80 万吨，又知第一个煤矿与三城镇的中心供应站的距离 分别为 20 公里、10 公里和 12 公里；第二个煤矿与三个城城镇的中心站的距离分别为 8 公 里、16 公里和 30 公里，问怎样调配煤才能使总的运输费用最少？ 8．某工厂生产一种机器的固定成本为 5000 元，且每生产 100 台需要增加投入 2500 元，对 销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 台，已知销售收入函数为：H ( x) = 500 x ?1 2 x , 其中 x 是产品售出的数量，且 0 ≤ x ≤ 500 .（I）若 x 为年产量，y 2为利润，求 y = f (x ) 的解析式； （II）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是 多少？ 9． 我国是水资源比较贫乏的国家之一， 各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某 市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量 am3 3时，只付基本费 8 元和每户的定额损耗费 c 元；若用水量超过 am 时，除了付同上的基本 费和损耗费外， 超过部分每 1m 付 b 元的超额费. 已知每户每月的定额损耗费 c 不超过 5 元. 该市某家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付的费用如下表所示：第 12 页 共 31 页3月份用水量 9 15 22水费一月份 二月份 三月份 根据表格中的数据，求 a、b、c.9元 19 元 33 元10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距 s (km) ，水流速度为常数 p ( km / h) ， 船在静水中的最大速度为 q ( km / h)( q & p ) ，已知轮船每小时的燃料费用与船在静水中的速 度 v( km / h) 的平方成正比，比例系数为常数 k. （I）将全程燃料费用 y（元）表示为静水 中速度 v( km / h) 的函数； （II）为了使全程的燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？第二章 函数单元测试卷一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．函数 y= ? A 、 y= y= ?x ?1(x≥1)的反函数是（ B 、 y=） C 、 y=x 2 + 1( x ∈ R)x 2 + 1 ( x ≤ 0)x2 +1(x ＞ 0)D、x 2 + 1( x ≤ 0)） D、[－1，0]2．函数 y = x 2 ? 2 x ， x ∈ [0，3]的值域是（ A、 [? 1,+∞ ) B、[－1，3]C、[0，3]3．某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过 3 小时这种细菌由 1 个可繁殖成 ( ) A、511 个 B、512 个 C、1023 个 D、1024 个 4．拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中 m＞0， [m]是大于或等于 m 的最小整数（例如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4） ，则从甲地到乙地通 话时间为 5.5 分钟的话费为 （ ） A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77 5．已知 a = log 5 4 ，那么 log 5 64 ? 2 log 5 20 用 a 表示是（ A． a ? 2 B． 5a ? 2 C． 3a ? (1 + a ) 2 ）2D． 3a ? a ? 1 ）6．设 0& a &1，实数 x, y 满足 x + log a y = 0 ，则 y 关于 x 的函数的图像大致形状是（第 13 页 共 31 页A 7．不等式 x | x |& A． （0，1）BC ） C． (?1, 0) ∪ (0,1) ）Dx 的解集是（B． ? 1，1） （D． ( ?∞, ?1) ∪ (0,1)8．关于 x 的不等式 x + log 2 x & x + log 2 x 的解为（ A．0& x &2 B．0& x &1 C． x &2D． x &19．如果函数 f ( x) = x 2 + bx + c 对任意实数 t ，都有 f ( 2 + t ) = f ( 2 ? t ) ，则（ ） A、 f ( 2) ＜ f (1) ＜ f ( 4) C、 f ( 2) ＜ f ( 4) ＜ f (1) 10．已知 f ( x ) = （ ） A．2 B、 f (1) ＜ f ( 2) ＜ f ( 4) D、 f ( 4) ＜ f ( 2) ＜ f (1)a?x ?1 的反函数 f ( x) 的图像的对称中心是（－1，3） ，则实数 a 等于 x ? a ?1B．3 C．－2 D．－411．集合 M= {?2,0,1}, N = {1,2,3,4,5} ，映射 f : M → N ，使得对任意 x ∈ M ，） D．11 个都有 x + f ( x ) + xf ( x ) 是奇数，则这样的映射共有（ A．60 个 B．45 个 C．27 个12．已知定义在实数 R 上的函数 y = f ( x ) 不恒为零，同时满足 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), 且当x&0 时，f(x)&1，那么当 x&0 时，一定有（A． f ( x ) & ?1 B． ? 1 & f ( x ) & 0） C． f ( x ) & 1 D． 0 & f ( x ) & 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，请把答案填在题中横线上. 13．若 f 14．函数?1( x) 为函数 f ( x) = lg( x + 1) 的反函数，则 f?1( x) 的值域是.f ( x) = 3ax + 2b ? 2 ? a, x ∈ [?1,1], 若f ( x) ≥ 1 恒成立，则 b 的最小值是 . 15．老师给出一个函数 y＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质： 甲：对于 x∈R，都有 f(1＋x)＝f(1－x)； 乙：在 (? ∞,0] 上函数递减；丙：在（0，＋∞）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。 如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .第 14 页 共 31 页16．关于函数f ( x) = lgx2 +1 ( x ≠ 0, x ∈ R ) ，有下列命题： | x|① 函数 y= f (x ) 的图像关于 y 轴对称； ② 当 x&0 时 f (x ) 是增函数，当 x&0 时 f (x ) 是减 函数； ③ 函数 f (x ) 的最小值是 lg2； 其中正确命题的序号是 ④ 当 x&1，时 f (x ) 没有反函数。 （注：把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本题共 6 小题，满分 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （满分 12 分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元， 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装 的出厂单价就降低 0.02 元. 根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件. (Ⅰ) 设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P = f (x) 的表达式； (Ⅱ) 当销售商一次订购了 450 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价－成本） 18． （满分 12 分）设定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 满足下面三个条件： （1）对于任意正实数 a、b，都有 f ( a ? b) = f ( a ) + f (b) ? p ，其中 p 是正的实常数； （2） f (2) = p ? 1 ； （3）当 x & 1 时，总有 f ( x ) & p . （Ⅰ）求 f (1)及f ( ) 的值（写成关于 p 的表达式）（Ⅱ）求证： f ( x)在(0,+∞) 上是减函 ； 数. 19． （满分 12 分）某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的总任务，已知 每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工 6 个 G 型 装置或 3 个 H 型装置. 现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置。设加工 G ．．．． 型装置的工人有 x 人，他们加工完 G 型装置所需时间为 g (x ) ，其余工人加工完 H 型装置所 需时间为 h(x ) （单位：小时，可以不是整数）. （Ⅰ）写出 g ( x ), h( x ) 解析式； （Ⅱ）比较1 2g (x) 与 h(x) 的大小，并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f (x) 的解析式； （Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 20． （满分 12 分）设函数 f ( x ) = 且 f ( x ) 在 [1,+∞ ) 上递增。ax 2 + 1 ( a, b, c ∈ Z ) 为奇函数，又 f (1) = 2, bx + cf ( 2) & 3 ，⑴求 a 、 b 、 c 的值；⑵当 x & 0 时，讨论 f ( x ) 的单调第 15 页 共 31 页性. 21． （满分 12 分）已知 f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数。 当 a， b∈[－1，1]， 且 a+b≠0 时，有f (a ) + f (b) & 0 成立。 （Ⅰ）判断函 f(x)的的单调性，并证明； a+b2（Ⅱ）若 f(1)=1，且 f(x)≤m －2bm+1 对所有 x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数 m 的取值范围。22． （满分 14 分） 已知二次函数f ( x) = ax 2 + bx + c 中 a, b, c 均为实数，且满足a ? b + c = 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? x ≥ 0 ，并且当 x ∈ (0,2) 时有f ( x) ≤ (x +1 2 1 ) 成立。 （Ⅰ）求 f(1)的值； （Ⅱ）证明： ac ≥ ； （Ⅲ）当 x∈[－2， 16 2 f ( x) ? mx （ m为实数）是单调函数，求证：2]且 a+c 取最小值时，函数 F ( x) =1 3 m ≤ ? 或m ≥ . 2 2第二章函数参考答案或解答过程2.1 映射与函数、函数的解析式 1．D（提示：作出各选择支中的函数图象）. 2．C（提示：由 ? 1 ≤ x ≤ 2 ? ?1 ≤ 3 ? 2 x ≤ 5 ）. 3．B（提示：由内到外求出）.4．D（提示：考察每组中两个函数的对应法则与定义域）.5.A 6．①、③、④；③.（提示：对照“映射”“一一映射”的定义）. 7． 、 里，逐步求得 k）. 8．设 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ， ∴ f [ f ( x)] = a (ax 2 + bx + c) 2 + b( ax 2 + bx + c) +c3 （提示：由外到 2= a 3 x 4 + 2a 2 bx 3 + (ab 2 + 2a 2 c + ab) x 2 + (2abc + b 2 ) x + (ac 2 + bc + c)= x 4 ? 2x 2 ， 这是一个恒等式?a 3 = 1 ? 2 ?a = 1 ?2 a b = 0 ? 2 ? 2 ∴ ?ab + 2a c + ab = ?2 ? ?b = 0 ,∴ f ( x) = x 2 ? 1 . ? ?c = ?1 2 ? ?2abc + b = 0 2 ?ac + bc + c = 0 ?9． （1）∵ f ( x ) f ( ) =1 xbx + 1 b + x ? =k， 2 x + a 2 + ax? (b ? 2ak ) x 2 + (b 2 + 1 ? a 2 k ? 4k ) x + (b ? 2ak ) = 0第 16 页 共 31 页上式是关于 x 的恒等式，∴ ??b = 2ak ?b + 1 ? a k ? 4k = 02 2? 4a 2 k 2 + 1 ? a 2 k ? 4k = 0? (4k ? 1)(a 2 k ? 1) = 0 ? a 2 k = 1或k =若 a k = 1得b = 2a ?21 4，1 1 ? ab = 2, 不合,∴ k = ， 2 4 a（2）∵ f ( f ( x )) = 而 b = 2a ×(b 2 + 2) x + (a + b) b2 + 2 + a + b 1 ,∴ f ( f (1)) = = 2 2 2( a + b ) x + ( a + 2) 2a + 2b + a + 2 81 ? a = 2b ，代入上式得 2b 2 + 9b + 7 = 0 ， 4 7 7 解得 b = ?1或b = ? ;当b = ?1时a = ?2, 此时ab = 2 ，不合，∴ b = ? , a = ?7 . 2 210．设另一个圆的半径为 y，则 2 x + x +2 y + y = 2 ? ( 2 + 1)( x + y ) = 2? x+ y =2 2 +1= 2 ? 2 ， ∴ S = f ( x ) = π ( x 2 + y 2 ) = π [ x 2 + ( 2 ? 2 ? x) 2 ]= π [2 x 2 ? 2(2 ? 2 ) x + (6 ? 4 2 )] = π [2( x ?3 1 ? 2 ≤ x ≤ （注意定义域为闭区间） 2 22? 2 2 ) + (3 ? 2 2 )] ， 2∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，∴函数的定义域为∵2? 2 3 1 3 1 3 ∈ [ ? 2 , ],∴ S min = π (3 ? 2 2 );∵ f ( ? 2 ) = f ( ) = (3 ? 2 2 ), 2 2 2 2 2 2 3π 3π (3 ? 2 2 ) ，∴函数 S = f (x) 的值域为 [π (3 ? 2 2 ), (3 ? 2 2 )] . 2 2∴ S max =2.2 函数的定义域和值域 1． {x | x ≠ 0,且x ≠ 1} 2． ( ? a,1 +a)3．5；14．C5.C6. D 8. B7．A（提示：∵ u = ? x 2 + 4 x = ?( x ? 2) 2 + 4,∴ 0 ≤ u ≤ 4 ，然后推得）. 9 ． ①1 1 x ∈ [?1,? ] ∪ (? ,1) ② (?∞,1] ∪ [2,3] ∪ [4,5） ③ 2 2 3 x ∈ {x | x ≠ ?1且x ≠ ?2且x ≠ ? } 2 3 5 1 1 10．① y ∈ ( ,4) ② y ∈ [11,+∞) ③ y ∈ [ ,4] ④ y ∈ (?∞,1] ⑤ y ∈ [? , ] 5 2 6 2 1 2 1 1 11．∵ f ( x ) = ( x + ) ? ，∴对称轴为 x = ? ， 2 2 2第 17 页 共 31 页（Ⅰ）∵ 3 ≥ x ≥ 0 & ? （Ⅱ）∵ [ f ( x)] min1 1 47 ，∴ f (x ) 的值域为 [ f (0), f (3)] ，即 [ ? , ] ； 2 4 4 1 1 = ? ,∴ 对称轴 x = ? ∈ [a, a + 1] ， 2 21 ? ?a ≤ ? 2 3 1 1 ? ? ? ≤ a ≤ ? ， ∵区间 [a, a + 1] 的中点为 x0 = a + ， ∴? 2 2 2 ?a + 1 ≥ ? 1 ? ? 2 1 1 1 ≥ ? , 即 ? 1 ≤ a ≤ ? 时， 2 2 2 1 1 1 [ f ( x)] max = f (a + 1) = ,∴ (a + 1) 2 + (a + 1) ? = ， 16 4 16 3 9 ∴16a 2 + 48a + 27 = 0 ? a = ? (a = ? 不合） ； 4 4 1 1 3 1 （2）当 a + & ? , 即 ? ≤ a & ?1 时， [ f ( x)] max = f ( a ) = ， 2 2 2 16 1 1 5 1 ∴ a 2 + a ? = ,∴16a 2 + 16a ? 5 = 0 ? a = ? (a = 不合） ； 4 16 4 4 3 5 综上， a = ? 或a = ? . 4 4（1）当 a + 12．∵ x ? x + 1 的判别式恒小于零，∴函数的定义域为 R，∴原函数等价于2( y ? 1) x 2 ? ( y + a ) x + ( y + 2) = 0, ? = ( y + a ) 2 ? 4( y ? 1)( y + 2) ≥ 0 ，即 3 y 2 ? ( 2a ? 4) y + ( a 2 + 8) ≤ 0 的解集为[－2，2]（其中包含 y=1） ，∴ y1 = ?2, y 2 = 2 是方程 3 y ? ( 2a ? 4) y + ( a + 8) = 0 的根，2 2?a 2 ? a + 7 & 0 ?? & 0 ? ? ∴ ? y1 + y 2 = 0 ? ?a = 2 ? a = 2. ? y ? y = ?4 ? 2 ? 1 2 ?a = 42.3 函数的单调性 1．C 2． D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A 9．3 10． f′( x) =1 2 x?1 , x+a令f ′( x) & 0, 得1 2 x&1 ? 2 x & x + a ? 4 x & ( x + a) 2 , x+a∴ f ′( x) & 0 ? x 2 + (2a ? 4) x + a 2 & 0,同样, f ′( x) & 0 ? x 2 + (2a ? 4) x + a 2 & 0, ∵ ? = (2a ? 4) 2 ? 4a 2 = 16(1 ? a),第 18 页 共 31 页（1）当 a.&1 时，对 x∈（0，+∞）恒有 f ′(x ) &0， ∴当 a.&1 时，f(x)在（0，+∞） 上为增函数； （2）当 a=1 时，f(x)在（0，1）及（1，+∞）都是增函数，且 f(x)在 x=1 处连续，∴ f(x)在（0，+∞）内为增函数； 2 2 （3）当 0&a&1 时，△&0，解方程 x +(2a－4)x+a =0得x1 = 2 ? a ? 2 1 ? a , x 2 = 2 ? a + 2 1 ? a , 显然有x 2 & 0, 而x1 = a2 2 ? a + 2 1? a & 0,∴ f ( x)在(0,2 ? a ? 2 1 ? a )与(2 ? a + 2 1 ? a ,+∞)内都是增函数, 而在(2 ? a ? 2 1 ? a ,2 ? a + 2 1 ? a )内为减函数.11． （I）∵ f ′( x) =x x +12?a，①当 a ≥ 1 ,∵ 时x x +12≤| x| x +12& 1 ≤ a,∴ f ( x)在[0,+∞)上单调递减2②当 0&a&1 时，由 f′(x)&0,得 0 ≤ x & a x + 1 ? 0 ≤ x &a 1? a2;由 f′(x)&0 得 x & a x + 1 ? x &2a 1? a2; a 1? a2∴当 0&a&1 时，f(x)在 [0,a 1? a2)为减函数, 而在(,+∞) ，为增函数，∴当 0&a&1 时，f(x)在 [0,+∞) 上不是单调函数； （另证）令 f(x) =1 ? x 2 + 1 = 1 + ax ? x[(1 ? a 2 ) x ? 2a ] = 0 ? x1 = 0, x 2 = 2a 21? a当 0&a&1 时， (x)在 [0,+∞) 上存在两点 x1=0 或 x 2 = f 不是单调函数.2a ， f(x1)= f(x2)=1， f(x) 使 故 1? a2综上，当且反当 a≥1 时，f(x)在 [0,+∞) 上为单调函数. （II）由（I）①知当 a≥1 时 f(x)单调递减，不合； 由②知当 f(x)在 [1,+∞) 上单调递增 等价于：a 1? a2≤ 1,∴0 & a ≤2 2 ，即 a 的取值范围是 (0, ]. 2 2第 19 页 共 31 页2.4 函数的奇偶性 1.A 2.A 3．A 4．A 5．C 6．D 7．x&－1 或 x&－1 ; 38．1 x , ; 2 1? x 1? x29．(－3,0)∪（3，+∞） 10．[证明] 这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取 x1、x2，设 4≤x1&x2≤6,∴ ?2 ≤ ? x 2 + 4 & ? x1 + 4 ≤ 0, ∵ f ( x)在[?2,0]内为增函数,∴ f (? x1 + 4) & f (? x 2 + 4) ≥ f (?2) ≥ 0, ∵ f ( x + 4) = f ( x), ∵ f (? x) = f ( x), ∴ f (? x1 ) & f (? x 2 ) ≥ 0, ∴ f ( x1 ) & f ( x 2 ) ≥ 0,∴当4 ≤ x1 & x 2 ≤ 6时, 有 | f ( x1 ) | ? | f ( x 2 ) |= f ( x1 ) ? f ( x 2 ) & 0, 即 | f ( x1 ) |&| f ( x 2 ) |, 故当x ∈ [4,6]时, | f ( x) | 为减函数.12．∵ f (x ) 为 R 上的偶函数，∴ f (? a 2 + 2a ? 5) = f [?(?a 2 + 2a ? 5)] = f (a 2 ? 2a + 5), ∴不等式等价于f (a 2 ? 2a + 5) & f (2a 2 + a + 1), 1 7 ∵ a 2 ? 2a + 5 = (a ? 1) 2 + 4 & 0, 而2a 2 + a + 1 = 2(a + ) 2 + & 0, 4 8∵ f (x ) 在区间 (?∞,0) 上单调递增， 而偶函数图象关于 y 轴对称， ∴ f (x ) 在区间 （0， +∞）上单调递减，∴由f (a 2 ? 2a + 5) & f (2a 2 + a + 1)得a 2 ? 2a + 5 & 2a 2 + a + 1 ? a 2 + 3a ? 4 & 0 ? ?4 & a & 1,∴实数 a 的取值范围是（－4，1）. 2.5 反函数 1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6．B（提示：作一个示意图，如令f ( x) = 2 x ）.7． y = 1 + y=? 5 x + 24 （提示：将（4，3）与（3，4）分别代入原函数解9．①、②（提示：奇函数不一定是单调函数；例如析式，不必求出反函数）. 8. x ，x1 它不是单调函数（∵它有两个单调区间） ，但它是一一对应的，有反函数，∴②错）. x1+ y 1+ y x ?1 2 ) ?x= ,∵ x ≥ 1,∴ ≥ 1 ? 0 ≤ y & 1. x +1 1? y 1? y10① 设y = (即f ?1 ( x) =1+ x ，f 1? x－1（x）的定义域为 [0,1).第 20 页 共 31 页②设 0 ≤ x & x & 1,∴ 0 ≤ x & x & 1,∴ f ?1 ( x ) ? f ?1 ( x ) = 1 2 1 2 1 2 所以 f (x)在 [0,1) 上单调递增.－12( x1 ? x 2 ) (1 ? x1 )(1 ? x 2 )& 0,11．证明 （1）∵ y = f ( x) 是奇函数，定义域关于原点对称， y = f ( x) 的值域也关于原点 证明： 证明 对称。y = f ?1 ( x) 的定义域关于原点对称， x ∈ C ， 设 存在 t ∈ A 使 f (t ) = x ， f ?1 ( x) = t ， 则∵ y = f ( x) 是奇函数， f (?t ) = ? x ， f ?1 (? x) = ?t ， f ?1 (? x) = ?t = ? f ?1 ( x) ，所以 y = f ?1 ( x ) 也是奇函数． （2）设 x1 , x2 ∈ C ，且 x1 & x2 ，存在 t1 , t2 ∈ A ，使 f (t1 ) = x1 ， f (t2 ) = x2 ，由于 y = f ( x) 在定义域上是增函数，所以 t1 & t2 ，即 f 调增函数．?1( x1 ) & f ?1 ( x2 ) ， y = f ?1 ( x) 在定义域上也是单2.6 .幂、指数式与对数式 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.12 7．解：原式 = (log 22 3 + log 23 3)(log 3 2 + log 32 2) ? log 1 22 5 41 1 1 5 = ( log 2 3 + log 2 3)(log 3 2 + log 3 2) + 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 = log 2 3 ? log 3 2 + = + = 6 2 4 4 4 2 18 8．解：∵ log18 9 = a ，∴ log18 = 1 ? log18 2 = a ，∴ log18 2 = 1 ? a ， 2又∵ 18 = 5 ，∴ log18 5 = b ，b∴ log 36 45 =log18 45 log18 9 + log18 5 a + b = = log18 36 1 + log18 2 2?a1 =7， a9．1010．∵ a +1 a=3?( a +1 a)2 = 9 ? a +1 1 ∴ (a + ) 2 = 49 ? a 2 + 2 = 47 ， a a ∴a a + 1 a a3= a2 + a?3 21= (a 2 + a 2 )[(a 2 ) 2 ? a 2 ? a第 21 页 共 31 页?111?1 21+ (a 2 ) 2 ]=( a+11 )(a ? 1 + ) = 3 × 6 = 18 ， a a= (4 a + 14而4 a +14aa)2 =a +2+1 a= 5，∴ 原式 =(18 + 2) × (47 + 3) 5=20 × 50 5= 200 5 .2.7 .指数函数与对数函数 1.B 2.C 3.D 4.Ax x5.Bx6． (0 ,x1 ) 27． ( ?1,0) ∪ 0， （ 1）8． 0， ∪ 1，] （ 1）（ 49． （1）∵ a ? b & 0 ? a & b ( & 0) ? ( ) & 1 ，xa b又∵ ??a & 1 a ? & 1,∴ x & 0 ，故函数的定义域是 (0,+∞) . ?0 & b & 1 b（2）问题的结论取决于 f ( x ) 的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法： ①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好. （解一）求导得： f ′( x ) =?a & 1 lg e (a x ln a ? b x ln b), ∵ ? ， x a ?b ?0 & b & 1x?ln a & 0 ∴? ，∴ a x ln a ? b x ln b & 0, 而 lg e & 0, a x ? b x & 0 ， ?ln b & 0∴ f ′( x) & 0, f ( x) 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；a x2 ? b x2 ， （解二）任取 x 2 & x1 & 0 ，则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) = lg x a 1 ? b x1x ? x ?a & 1 a x2 ? b x2 ?a 2 & a 1 ∴? ?? x ? a x2 ? b x2 & a x1 ? b x1 & 0 ? x1 & 1， x a ? b x1 ?0 & b & 1 ?b 2 & b 1 ?∴ f ( x 2 ) & f ( x1 ), 即 f (x) 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（3）∵ f (x ) 在 (1 + ∞） ， 单调递增，∴命题等价于： f (1) = 0 ，∴ a ? b = 1 10．∵1 & x & p ( p & 1),∴ f ( x) = log 2 [( x + 1)( p ? x)]= log 2 [? x 2 + ( p ? 1) x + p ] = log 2 [?( x ?p ? 1 2 ( p + 1) 2 ) + ]， 2 4第 22 页 共 31 页（1）当 1 &p ?1 p +1 & p ，即 p & 3 时， f ( x)值域为(?∞,2 log 2 ]； 2 2 p ?1 ≤ 1 ，即 1 & p ≤ 3 时， f ( x)在x ∈ (1, p) 上单调递减， （2）当 2∴ f ( x) & f (1) = log 2 [2( p ? 1)] ，∴ f (x) 值域为 ( ?∞,1 + log 2 ( p ? 1)) .11．设 A、B、C 在 x 轴上的射影分别为 A1、B1、C1，∴ S = f (m) = S 梯形AA1B1B + S 梯形BB1C1C ? S 梯形AA1C1C= [log a m + log a (m + 2)] + [log a (m + 2) + log a (m + 4)]? 2[log a m + log a (m + 4)] = log a令u =(m + 2) 2 4 = log a [1 + ](m & 1) ， m(m + 4) m(m + 4)4 4 = ， m ( m + 4) ( m + 2) 2 ? 44 9 ∵ (m + 2) 2 ? 4 & (1 + 2) 2 ? 4 = 5,∴ 0 & u & ,∴1 & 1 + u & ， 5 59 ∵ a & 1,∴ S = f (m) 的值域为 (0, log a ). 512． （1）∵ ??1 + x & 0 ,∴ f ( x) 定义域为 x ∈ (?1,1); f ( x) 为奇函数； ?1 ? x & 01+ x 1? x 1+ x 2 ，求导得 f ′( x ) = ? log a e ? ( )′ = log a e ， 1? x 1+ x 1? x 1? x2∵ f ( x) = log 2①当 a & 1 时， f ′( x ) & 0,∴ f ( x ) 在定义域内为增函数； ②当 0 & a & 1 时， f ′( x ) & 0,∴ f ( x ) 在定义域内为减函数； （2）①当 a & 1 时，∵ f (x ) 在定义域内为增函数且为奇函数，1 ∴ 命题 ? f ( ) = 1, 得 log a 3 = 2,∴ a = 3 ； 2②当 0 & a & 1时,∵ f ( x) 在定义域内为减函数且为奇函数，1 1 3 ∴ 命题 ? f (? ) = 1, 得 log a = 2,∴ a = ； 2 3 3（3）∵ y = log a1+ x 1+ x ? ay = ? a y ? 1 = x(a y + 1) 1? x 1? x?x=e y ?1 a x ?1 ,∴ f ?1 ( x) = x ( x ∈ R） ； ey +1 a +1第 23 页 共 31 页（4）∵ f?11 1 a ?1 2x ?1 (1) = ,∴ = ? a = 2,∴ f ?1 ( x) = x & m， 3 3 a +1 2 +1? 2 x (1 ? m) & 1 + m ；①当 m ≥ 1 时，不等式解集为 x ∈ R；②当 ? 1 & m & 1 时，得 2 &x1+ m 1+ m ，不等式的解集为 {x | x & log 2 }； 1? m 1? m③当 m ≤ ?1, x ∈?2.8 .二次函数 1.C 2.B 3.B 4． ? 4 x + 4 x + 24 ； 5．－3 或23 ； 6．－2&a&0； 87．由 ?? f (1) = a + b + c = 1 1 1 ? b = , a + c = , ∵对 x ∈ R， 2 2 ? f (?1) = a ? b + c = 02?a , c & 0 ?a & 0 ? 1 f ( x) ? x = ax ? x + c ≥ 0 ? ? ?? 1 2 ?? ≤ 0 ?ac ≥ 16 ?而1 1 1 = a + c ≥ 2 ac ? ac ≤ ,∴ ac = 且a = c 2 16 16，∴1 2 1 1 ( x + 1) 2 f ( x) = x + x + = 4 2 4 48．∵a&0，∴f(x)对称轴 x ①当 ?a = ? & 0,∴[ f ( x)]min = f (1) = ?1 ? a = 2a ≤ ?1即a ≥ 2时, [ f ( x)] max = f (?1) = 1 ? a = 1, 不合; 2 a a ② 当 ? 1 & ? & 0, 即0 & a & 2时, [ f ( x )] max = f ( ? ) = 1 ? a = ?2 + 2 2 , 2 2 a x = ? = 1? 2 . 2综上，当 x = 1时, [ f ( x)] min = ?1;当x = 1 ? 9．∵f(x)的对称轴为 x 0 =∴2时, [ f ( x)] max = 1.a , ①当 0 ≤ a ≤ 1,即0 ≤ a ≤ 2时[ f ( x)] max = f ( a ) = ?5 ? a = 5 ; 2 2 2 42②当 a & 0时[ f ( x )] max = f (0) = ?4a ? a = ?5, ? a = ?5; ③当 a & 2时[ f ( x )] max = f (1) = ?4 ? a = ?5,∴ a = ±1 不合；2综上， a =5 或 a = ? 5. 4第 24 页 共 31 页10． （Ⅰ）当 x & 0时, f ( x) = 2 x + （Ⅱ）∵当 x & 0时, f ( x) = ?( x ? 1) + 1 ≤ 1, 若存2 2在这样的正数 a，b，则当 x ∈ [ a, b]时, [ f ( x )] max = 减，1 ≤ 1 ? a ≥ 1, ∴f(x)在[a，b]内单调递 a?1 2 ? b = f (b) = ?b + 2b ? ∴? ? a, b 是方程 x 3 ? 2 x 2 + 1 = 0 的两正根， ? 1 = f ( a ) = ? a 2 + 2a ?a ?∵ x 3 ? 2 x 2 + 1 = ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) = 0,∴ x1 = 1, x 2 =11． （Ⅰ） f (t ) = ?1+ 5 1+ 5 ,∴ a = 1, b = . 2 2?300 ? t ,0 ≤ t ≤ 200 ; 设g (t ) = a (t ? 150) 2 + 100, 将（50，150）代入 ?2t ? 300,200 & t ≤ 300得a=1 2001 (t ? 150) 2 + 100,0 ≤ t ≤ 300; 200所以 g (t ) =（Ⅱ）设时刻 t 的纯收益为 h(t ) = f (t ) ? g (t ), ①当 0 ≤ t ≤ 200时, h(t ) = ? ∴当 t=50 时 [ h(t )] max = 100; ②当 200 & t ≤ 300时, h(t ) = ?1 2 1 175 1 t + t+ =? (t ? 50) 2 + 100, 200 2 2 2001 2 7 1025 1 t + t? =? (t ? 350) 2 + 100, 200 2 2 200∴当 t=300 时取最大值 87.5&100；故第 50 天时上市最好. 2.9 .函数的图象 1．D.（提示：变换顺序是 f [ 2( x + 3 )] ? f (2 x ) ? f [2( x ? 3 )] . 2 2 2．A.（提示：∵ f ( x ) ? g ( x) 为奇函数，且 x = 0 时无定义，故只有 A）.3．A.（提示：设3 g (11) = a,∴ f ?1 (a + 1) = 11 ? a + 1 = f (11) ? a = ). 4．A.（提示：分三段分析 ）. 2 1 5．①、②、④.（提示：∵ y = 1 + , 只有③错，∵它有两个单调区间）. 6．②、④. x ?17． （1） （2） （3）第 25 页 共 31 页8．∵ f ( a ? x ) = f [?( x ? a )],∴它的图象是由 f (x ) 图象绕 y 轴翻转，然后向右平移 | a | 个 单位得到； f ( x + b) 的图象是由 f ( x ) 图象向左平移 | b | 个单位得到， 而 可断定f (a ? x) 与f ( x + b) 的图象关于直线 x =点，∴ v = f ( a ? u ) ①，a ?b 对称. 2证明： P (u , v ) 是 y = f ( a ? x ) 图象任意一 设?x + u a ?b = ?u = a ? b ? x a?b ? 设 P 关于直线 x = 对称的点 Q ( x, y ),∴ ? 2 代入①得 2 ,∴ ? 2 ?v = y ?y = v ? y = f [a ? (a ? b ? x)], 即 y = f ( x + b) ， ∴ f (a ? x) 与 f ( x + b) 的 图 象 关 于 直 线 x= a?b 对称. 2（2）9． （1）10．作出 y ? 1 =8 ? x 2 的图象（如图半圆）与 y = ? x + m 的图象（如图平行的直线，将 A(?2 2 ,1) 代入 l 得 m = 1 ? 2 2 ，将B (2 2 ,1) 代入 l 得 m = 1 + 2 2 ，当 l 与半圆相切于 P 时可求得 m = 5,则①当 1 + 2 2 ≤ m ≤ 5 时， l 与曲线有两个公共点；第 26 页 共 31 页②当 1 ? 2 2 ≤ m & 1 + 2 2 或 m = 5 时，有一个公共点； ③当 m & 1 ? 2 2 或 m & 5 时，无公共点； 11． （Ⅰ）设 p (u , v ) 是 y = x + 的 点 为1 1 上任意一点，∴ v = u + ① x u设 P 关于 A（2，1）对称?u + x = 4 ?u = 4 ? x Q( x, y ),∴ ? ?? ?v + y = 2 ?v = 2 ? y代入①得1 1 ? y = x?2+ 4?x x?4 1 ∴ g ( x) = x ? 2 + ( x ∈ (?∞,4) ∪ (4,+∞)); x?4 2? y = 4?x+?y = b ? 2 （Ⅱ）联立 ? 1 ? x ? (b + 6)x + 4b + 9 = 0, ?y = x ? 2 + x ? 4 ? ∴ ? = (b + 6) 2 ? 4 × (4b + 9) = b 2 ? 4b = 0 ? b = 0 或 b = 4,（1）当 b = 0 时得交点（3，0） （2）当 b = 4 时得交点（5，4）. ； 2.10 函数的综合应用 1．B 2．C 3．B 4． V = 20 ?1 x(m 3 ) 155．2001 年6． 设CD = x,∵ AD = 50 2 ? 30 2 = 40, ∴ 0 ≤ x ≤ 40 ，则水管总费用y = 500 × (40 ? x) + 1000 × x 2 + 900 , 记f ( x) = 40 ? x + 2 x 2 + 900 , 2x 求导得f ′( x) = ?1 + 2 ? = 0, x = 2 15 (km), x 2 + 900 [ f ( x)]min = 40 + 14 15 ,∴ y min = 1000(20 + 7 15 )(元)7．设第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为 x、y、z 万吨，∴第二个煤矿供应三个城镇 的用煤量分别为 90 ?x,150 ? y,80 ? z 万吨，又设每万吨煤运输 1 公里的费用为 1，∴ 总费用 W = 20 x + 10 y + 12 z + 8 ( 90 ? x ) + 16 × (150 ? y ) + 30 × ( 80 ? z ) = 5520 + 12 x ? 6 y ? 18 z ,∴ x + y + z = 120 , ∴ W = 4800 + 18 x ? 12 z ,∵ 0 ≤ x ≤ 90 , 0 ≤ z ≤ 80 , ∴ 当 x = 0 , z = 80 时 , W 最小 ,故，第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为 0 万吨、40 万吨、80 万吨，第二个煤矿供应 三个镇的用煤量分别为 90 万吨、110 万吨、0 万吨时总运输费用最小. 8． （I） 当0 ≤ x ≤ 500时 ，产品全部售出；当 x & 500 时，产品只能售出 500 台，第 27 页 共 31 页1 2 ? ?500 x ? x ? (5000 + 25 x) 故 f ( x) = ? 2 ?125000 ? (5000 + 25 x) ?（II）当 0 ≤ x ≤ 500时(0 ≤ x ≤ 500) ; ( x & 500)1 f ( x) = ? ( x ? 475) 2 + ;当x & 500时, f ( x) = 120000 ? 25 x 2 & 120000 ? 12500 = 107500; 故当年产量为475时最大, 最大利润为 9．设每月水量为 xm ，支付水费为 y 元； 则y3(0 & x ≤ a ) ?8 + c =? ?8 + b( x ? a ) + c ( x & a )，∵ 0 & c ≤ 5,∴ 8 + c ≤ 13,将 x=15，x=22 分别代入②得 b=2， 2a=c+19③，假设一月份用水量超过最低限量，即∴ 9 & a, 将x = 9 代入②得 2a = c + 17 与③矛盾，∴ a ≤ 9,∴ 8 + c = 9, 得c = 1,代入③得 a = 10, b = 2, c = 1. 10． （I）∵船在全程行驶的时间 t =s , v? p∴y =ksv 2 ( p & v ≤ q), v? pks (v 2 ? 2vp ) （II）∵ y ′ = = 0, 得v = 2 p,∵ 当0 & v & 2 p时, y ′ & 0; (v ? p ) 2当 v & 2 p时y ′ & 0,∴ y极小 = 4ksp,①当 2 p ≤ q 时，函数唯一的极小点在定义域 ( p, q ] 内，∴ 当v = 2 p时y 取最小值，此时轮 船的实际前进速度为 p ( km / h); ②当 2 p & q 时，函数在定义域内单调递减，∴ 当v = q时y 取最小值，此时轮船的实际前进 速度为 q ? p ( km / h).函数单元测试参考答案 一、选择题： 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 C 14、 5 A 6 A 7 D 8 B 9 A 10 A 11 B 12 D二、填空题：13、 ( ?1,+∞ ) ；3 2 ； 15、 y = ( x ? 1) 等； 16、①③ 2第 28 页 共 31 页三、解答题： 解： 当 P=60； 100 & x ≤ 500 时， 当 P=60－0.02 x ? 100) = 62 ? （ 17． （Ⅰ） 0 & x ≤ 100 时， 50所以0 & x ≤ 100, ?60, ? P = f ( x) = ? (x ∈ N ) x ?62 ? 50 ,100 & x ≤ 500. ?（Ⅱ）设销售商的一次订购是 x 件时，工厂获得的利润为 L 元，则0 & x ≤ 100, ?20 x, ? L = ( P ? 40) x = ? (x ∈ N ) x2 22 x ? ,100 & x ≤ 500. ? 50 ?当 x = 450 时，L=5850. 因此，当销售商一次订购了 450 件服装时，该厂获得的利润是 5850 元. 18．解： （1）取 a=b=1，则 f (1) = 2 f (1) ? p. 故f (1) = p ……2 分 又 f (1) = f ( 2 ? 1 ) = f ( 2) + f ( 1 ) ? p . 且 f (2) = p ? 1 .2 2得： f ( 1 ) = f (1) ? f (2) + p = p ? ( p ? 1) + p = p + 1 ……5 分2（2）设 0 & x1 & x 2 , 则： f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) = [ f ( x2 ) + f ( x1 ) ? p ] ? f ( x1 ) x1 x1= f(x2 ) ? p ………8 分 x1依 0 & x1 & x 2 , 可得x2 &1 x1 x2 ) & p ………10 分 x1再依据当 x & 1 时，总有 f ( x ) & p 成立，可得 f (即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) & 0 成立，故 f ( x)在(0,+∞) 上是减函数。………12 分 19．解： （Ⅰ）由题意知，需加工 G 型装置 4000 个，加工 H 型装置 3000 个，所用工人分别 为 x 人， 216 ? x 人.∴ g ( x) = , h( x ) = . 6x ( 216 ? x) ? 3即 g ( x) = （ Ⅱ (0 & x & 216, x ∈ N *). ……3 分 , h( x) = 3x 216 ? x）g ( x ) ? h( x ) = 00 ? (432 ? 5 x) ? = . 3x 216 ? x 3 x(216 ? x )……4分∵ 0 & x & 216,∴ 216 ? x & 0.当0 & 当 87x ≤ 86时,432 - 5x & 0, g(x) - h(x) & 0, g(x) & h(x) ；≤ x & 216时,432 - 5x & 0, g(x) - h(x) & 0, g(x) & h(x). ……6 分第 29 页 共 31 页? ∴ f (x) = ? 3x ,0 & x ≤ 86, x ∈ N *; ? 2000……8 分? ? 1000 ,87 ≤ x & 216, x ∈ N * . ? 216 ? x ?（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求 f (x ) 的最小值. 当 0 & x ≤ 86 时，f (x) 递减，∴ f ( x) ≥f (86) = = , 3 × 86 129∴ f ( x) min = f (86), 此时 216 ? x = 130,∴ f ( x) ≥ f (86) =当 87 ≤ x & 216 时， f (x ) 递增，……10 分 ∴ f ( x) 此时 216 ? = , min = f (87), 216 ? 87 129x = 129,∴ f ( x) min = f (86) = f (87) =1000 , 129∴加工 G 型装置，H 型装置的人数分别为 86，130 或 87，129。 20．解：⑴∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f (? x) = ? f ( x) ，∴ (ax 2 + 1)(bx + c ? bx + c ) = 0.∵ ax 2 + 1 ≠ 0,∴ c = 0. ( ?bx + c )(bx + c ) 4a + 1 又 ∵ f (1) = 2, f (2) & 3, ∴ a + 1 = 2b且 & 3, 2b 将2b = a + 1代入上式得 : ?1 & a & 2, ∵ a ∈ Z ∴ ax 2 + 1 ax 2 + 1 =? ?bx + c bx + c∴ a =0 或 a =1。而 a =0 时 b = ⑵由⑴ f ( x ) = x +1 ， 与b ∈ Z 矛盾 2∴ a =1， b =1， c =01 ,设 xx1 x2 ? 1 x1 x2x1 & x2 & 0, f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ( x2 ? x1 ) 当x1 & x2 & ?1时x1 x2 & 1, x1 x2 ? 1 & 0,同理 : 当 ? 1 & x & 0时,f ( x ) 为减函数.又x2 ? x1 & 0 ∴ f ( x2 ) & f ( x1 )即当x & ?1时, f ( x)为增函数.注意：第（2）小题理科同学可用导数来处理。 21、 （Ⅰ）证明：设 x1 , x2 ∈[―1，1]，且 x1 & x2 ，在 f (a) + f (b) & 0 中，令 a=x1,b=―x2，a+bf ( x1 ) + f (? x 2 ) &0， x1&x2,∴x1－x2&0 ∵ x1 ? x 2有又∵f(x)是奇数， ∴f(－x2)=－f(x2)∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) &0x1 ? x 2∴f(x1)－f(x2)&0，即 f(x1)& f(x2). 故 f(x)在[－1，1]上为增函数……6 分 （Ⅱ）解：∵f(1)=1 且 f(x )在[－1，1]上为增函数，对 x∈[－1，1]，有 f(x)≤f(1)=1。 2 由题意，对所有的 x∈[－1，1]，b∈[―1，1]，有 f(x)≤m －2bm+1 恒成立， 2 2 2 应有 m －2bm+1≥1 ? m －2bm≥0。 记 g(b)=－2mb+m ，对所有的 b∈[－1，1]，g(b)≥0 成立. 只需 g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零……8 分 2 若 m＞0 时，g(b)=－2mb+m 是减函数，故在 [－1，1]上，b=1 时有最小值，第 30 页 共 31 页且[g(b)]最小值=g(1)=－2m+m ≥0 ? m≥2； 若 m=0 时，g(b)=0，这时[g(b)]最小值=0 满足题设，故 m=0 适合题意； 2 若 m&0 时，g(b)=－2mb+m 是增函数，故在[－1，1]上，b=－1 时有最小值， 2 且[g(b)]最小值=g(－1)=2m+m ≥0 ? m≤－2.2综上可知，符合条件的 m 的取值范围是：m∈（－ ∞ ，－2 ] ∪{0}∪[2，+ ∞ ) 。 22．解： （Ⅰ）∵对于任意 x∈R，都有 f（x）―x≥0，且当 x∈(0,2)时， 有 f（x）≤(x +1 2 ) ?令 x=1 2∴1≤f(1)≤(1+1 2 ) .即 f（1）=1.……4 分 2（Ⅱ）由 a―b+c=0 及 f（1）=1. 有??a ? b + c = 0, ?a + b + c = 1可得 b=a+c=1 .……6 分 22又对任意 x，f（x）―x≥ 0,即 ax ― 即1 x+c≥0. ∴a＞0 且△≤0. 21 1 ―4ac≤0。解得 ac≥ .……9 分 4 16a+c≥2 ac ≥2?（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 a＞0,c＞0.1 1 = .……10 分 16 2a=c，当且仅当1 1 时等号成立。此时 a=c= ……11 分 2 4 1 2 1 1 1 2 ∴f(x)= x + x+ , F(x)=f(x)－mx= [x +（2－4m）x+1]……12 分 4 2 4 4a+c=当 x∈[－2,2]时，F(x)是单调的，所以 F(x)的顶点一定在[－2,2]的外边. ∴|2 ? 4m |≥2 2解得 m≤－1 3 或 m≥ ……14 分 2 2第 31 页 共 31 页
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