“圆内随机地取一条弦”就转化成：“在平面随机任作；而直线又如何作呢？这又需要引出直线的作图定义：“；18楼第一解将两点选点区域限定在圆周上，是不符合；通过以上讨论，我们就找到了“圆内随机地取一条弦”；我作出的结果是：6π分之(3倍根号3加2π)；6π分之(3倍根号3加2π)计算的结果≈0.60；其实这个答案早就有人给出来了，就在第四楼！；作者：钟七珍2008
“圆内随机地取一条弦”就转化成：“在平面随机任作一条直线，且与圆相交”。
而直线又如何作呢？这又需要引出直线的作图定义：“经过两点可以作出唯一的直线”（两点过一定点并确定方向，可以作出唯一的直线”（点斜式）。这两个定义是等效的。有了直线的定义能进行“在平面随机任作一条直线，且与圆相交”的操作了。为便于操作，我们选用“点斜式”。
因为此题是一个平面问题，所以画线选点的范围应该是在平面上的某个区域内。为保证是“割以第一点必须选在圆内，而“两点式”的第二个点则可以是圆内和圆外的整个无限平面。
18楼第一解将两点选点区域限定在圆周上，是不符合“任意取”这一要求的。同理，第二解域限定在直径上也不能满足“任意取”这一要求。第三解虽然将选点的范围放到了整个圆内，但是了直线的方向（只能与过此点的直径相垂直），不是任意方向，仍然不符合“任意取”这一要求。
通过以上讨论，我们就找到了“圆内随机地取一条弦”的操作方法：先在圆内随机地任选一个意确定一个方向（360度或180度范围内），这样就能作出一条弦。然后再用积分算出这条弦长大正三角形边长的概率。
我作出的结果是：6π分之(3倍根号3加2π)。
6π分之(3倍根号3加2π)计算的结果≈0.6＞1/2 。
其实这个答案早就有人给出来了，就在第四楼！
作者： 钟七珍
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61 回复：经典概率驳论
60楼的朋友：请你按照LZ在51楼的要求，“给一个圆O，在圆上任意做条弦”。详细叙述你过程。作完图，你就能真正理解什么叫做“随机地取”。
作者： 钟七珍
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63 回复：经典概率驳论
2，在圆上任取两点，连接
作者： wzg644
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66 回复：经典概率驳论
回63楼：你的回答不符合“LZ在51楼的要求，“给一个圆O，在圆上任意做条弦”。详细叙述你过程”。不够详细、不够具体。
其中，“1，画圆”这一步是多余的，因为已经“给一个圆O”。
“2，在圆上任取两点，连接”，存在多处疑问：
一、“在圆上任取两点”，为什么将取点范围限制在圆周上（“圆上”用语不准确）？这满足的要求吗？
二、即使在圆周上取了一点，那为什么取第二点的范围仍然限制在圆周上呢？为什么不能将范些呢？
三、是否不在圆周上取点就不能保证得到一条弦呢？
四、“连接”，靠边什么来连接？是用徒手吗？还是需要借助别的画图工具呢？如果需要借助么直尺在这里起什么作用呢？再进一步问：直尺的基本功能是什么？
作者： 钟七珍
-------------------------------------------------------------------------------- 72 回复：经典概率驳论
回答70楼：我在58楼的解法只是讲明了我的解题思路，而到具体积分时，却感到很难，无从许是我的数学知识不够。经过仔细分析，发现可以作适当变换，将积分计算转换成面积计算，从而程变得比较简单。关键是这个转换过程要合乎逻辑、要合理。但我今天暂不讲这个求解过程，以后
今天先来谈一谈，为什么说58楼的解法是正确的、是合乎题意要求的，而其他解法又为什么是
我们先从在平面上画一条直线这一最基本的作图方法说起。先在平面上找两个点，然后用直尺点上，最后才能画出一条直线来。注意：这里的平面是无限的，直线长度也是无限的。两个点是为位置和方向的依据，直尺的作用是依据已知的两个点确定直线的位置和方向。如果是随机任作一条首先是在平面上随机任取两个点。
而线段则是直线上某两个点之间的那一段。先作一条直线，再在直线上确定两个点（往往要用才能确定一段线段。通常，根据已知条件作一个三角形（如条件为边边边、边角边、角边角）时，图操作往往就是上述过程。
弦的基本定义：“直线与圆相割，在圆内那一段线段叫做弦”。这个定义同时也说明了弦的画一条直线与圆相割，再找到直线与圆周相交的两个点，然后才能确定一条线段并计算它的长度。这过程，也回答了LZ在51楼提出的问题：“给一个圆Ｏ，在圆上任意做条弦。请问，该怎么做？
60楼的分析和63楼的画弦方法是错误的。“圆周上两点间的连线（线段）叫做弦”。这条定弦的基本定义，而且这条定义并没有说明弦的基本作图操作。
LZ在18楼的解法一，将两点选点区域限定在圆周上。这两个点起到了身兼二职的作用：既是线所需的两个点，又是确定弦长所需的两个点。而作为画割线所需的点，将其选点范围限定在圆周符合“随机”、“任意取”这一要求的。即使在圆周上取了一点，那为什么取第二点的范围仍然限上呢？为什么不能将取点范围放宽一些呢？所以我说解法一是错误的。
解法二，将选点区域放在圆内任意直径整个长度上，与过此点的直径相垂直作割线。这种画法错误：错误一，“圆内任意直径整个长度上取点”，粗看似乎取点范围是整个圆内平面。但是，如内均匀作十条直径，再在每条直径上均匀画十个点，你就会发现：这一百个点在圆内分布是不均匀近圆心处，点的密度越大。解法二的取点区域是一个不均匀平面！错误二，它选定了一个点，这条向也就确定了，而不能任意选方向，只能与过此点的直径相垂直作割线。解法二同样是不符合“随“任意取”这一要求的。
解法三，虽然它把取点范围均匀地放在了整个圆内平面上，但与解法二犯了同样的错误：只能与直径相垂直作割线。
我在58楼的解法（就叫做解法四吧），为了最大限度地满足“随机取”、“任意取”这一要取点范围放到无限平面上。但为了保证作出的直线与圆相割，所以必须至少把其中一个点放在圆平把另一个点的取点范围放在包括圆内和圆外的整个无限平面上（两点式）；或者先在圆内任取一点点的任意方向作直线（点斜式）。这两种画线方式是等效的。解法四最大限度地满足了LZ在１楼
“在半径为1的圆内随机地取一条弦”。顺带提一句：前面三种解法都没有考虑到圆外也是取点区
我还想到了另一种解法（姑且叫做解法五），将作割线所需的两个点的取点区域都放在圆平面所作的弦“其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率”肯定又是另一种结果。究竟是多少？我没过。但与解法四相比，取点范围受到了限制，同样不能最大限度地满足了“随机”、“任意取”这
回答64楼：解法四与其他解法相比，取弦的方法从理论上、取点范围、作图操作方法上都是所以其结果当然不会相同，怎么可能会有“
6π分之(3倍根号3加2π)计算的结果=1/3”呢？
回答71楼：“取法不对！有重复！”当然有重复！在一条直线上有无穷多对两点。或者说，对“两点”通过的直线可以互相重迭在一起。而这样的直线有无穷多条。 但这不能证明“取法不
作者： 钟七珍
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73 回复：经典概率驳论
将原题该改为互补问题
在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度不超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？ 那LS的答案应该是
1-6π分之(3倍根号3加2π)=2/3-2π分之根号3
在距圆心位于半径为1/2的同心圆之内的任意点所作的弦肯定长度超过圆内接等边三角形的边长 所以开始取点的概率是3/4
然后假设该点到圆心的距离为X,过点做某直线垂直与过该点的半径
易知满足条件的弦的概率是1-arcsin(1/2/x)/(π/2)
此时应该可计算了吧?
但问题是:既然是按定义来的,而且根据我上面的方法会发现:随着取点的距离的变化,答案会变化
作者： 59.172.152.*
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76 回复：经典概率驳论
假设过点A做半径1/2的切线交小圆与点B,连接OA、OB
∠OAB=arcsin(1/2/x)
如果旋转在OA-OB中的直线皆不满足条件
那么过点A做直线垂直OA，易知道满足条件的概率为
1-arcsin(1/2/x)/（π/2)
然后根据这个结论，距离越远其概率越高
假设按72L中反驳解法2的观点，应该是：距离圆心越远的圆周上的点的数量越多（PS：我是坚决应该是无论距离多远，圆周上的点的数量都一样！！！证明方法很多，但要注意圆周上的点是无限但不论是按72L还是我的观点，都会得到相同的结果：随着距离的增加，点A的范围扩大，那么满
概率就增加
作者： 59.172.152.*
-------------------------------------------------------------------------------- 78 回复：经典概率驳论
73楼、76楼分析正确！可以在此基础上推出定积分公式。
我们可以将原题改为互补问题，求弦长度不超过圆内接等边三角形的边长的概率。
参看下图：在圆内随机任取一点P，P点离圆心O的距离为x。可知，当x＜1/2时，围绕P点所其长度都大于圆内接等边三角形的边长。我们取r=0.5为半径作一小圆。要使弦长度不超过圆内接形的边长，P点只能取在小圆之外。
过P点作过小圆的切线PA（另一边切线PB）。设角θ=∠OPA。则有sinθ=r/x，可知θ=arcs
在过P点所作的弦之中，只有处于角∠APC之内的弦（C为BP延长线上的点），其弦长才符合过P点所作的所有弦之中，符合要求的弦的比例为(π/2-θ)/(π/2)=1-2arcsin(r/x)/π。
以OP为半径(=x)作一圆。将x增加一个微小增量dx，以x+dx为半径再作一圆。这样我们就个圆环（图中涂色部分）。在此圆环内所有的点，其所作弦的长度不超过圆内接等边三角形的边长为：1-2arcsin(r/x)/π。圆环的面积为：2πx*dx。那么，在此圆环内取点，弦长符合要求与整个比的概率为：2πx(1-2arcsin(r/x)/π)dx/(πR^2)=2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx。
将2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx对x在区间(1/2,1)上作定积分：
∫2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx
(x下限0.5,上限1.式中r=1/2)
非常抱歉！本人不会作这个定积分。吧内哪位高手能作一下，看看结果是否等于1-6π分之(加2π)=2/3-2π分之根号3 ？
我是将积分计算转换成面积计算而取得结果的。下次再讲我的转换过程。
贴子相关图片:
作者： 钟七珍
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81 回复：经典概率驳论
51 L的意思应该是:给一个圆O，在圆上任意做条弦~使其长度等于圆内接等边三角形的边长~
这个大家都会吧?~
那么就有种方法~....
假设是过圆周上一点A作射线~射线A以点A为轴心匀角速度运动~且与圆周交于B~
问题就可以转化为~AB大于√3 的概率是多少~
当然~因为是要作弦...~所以当射线A和圆周没有第二个交点B的时候~不予以考虑~
设射线A切于圆周起到转动180度角时间为T~
那么就很清晰了~当射线转动60度时也就是时间为T/3时~直到转动120度角也就是时间为2T/3时于圆内接等边三角形的边长的~
所以AB大于圆内接等边三角形的边长的概率为:
(2T/3 - T/3)/T=1/3
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如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积和（ ）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．πcm2
由于⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，其圆心的连线构成三角形，所以形成的这三个扇形的圆心角的和为180度，图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和等于半径是0.5cm的半圆的面积．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴S阴==πcm2，
考点分析：
考点1：三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
考点2：扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S=π（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
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