最后大题数列和函数团结 高考数学试题猜测.
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主持人：酷爱的腾讯网友各人下战书好，接待来到腾讯视频直播谈天室，我是主持人小燕。在前两天的节目傍边我们为各人带去了高考文综以及生物科目标答题能力和出题热门猜测，本日我们继承为各人奉上科目2009年总体的测验趋向和应试能力。本日的高朋英华学校数学调研组组长王晓泳教师，接待王教师。
王晓泳：酷爱的网友们各人好，很兴奋在这个紧急的时候跟各人分享一下我这么多年解说上的履历，，但愿对各人有所辅佐。
高考前最后几天冲刺提分能力
王晓泳：最后的4天着实是很要害的，有人提议嗣魅这4天是放松的，但按照我这么多年的履历我认为这4天应该抓紧。我在一所复读学校教书，打仗的都是复读生，我知道一个女孩子，她说我第一年做应届生没怎么好勤进修，由于教师说要放松，我也认为本身很累，就回家放松了。但她复读的这6天认为本身必需全力学了，在家里认当真真的学，最后测验也很乐成。以是我认为最后这几天必然要很求助，假如这几天绷的不紧，往后也许就会受影响。从常识方面来嗣魅照旧应该以本身较量认识的常识方面为复习的重点，不要去找漏、缺，假如教师用了一年多来举办复习，测验中还没有涉及到的也许性不大，以是考生必然要把本身纯熟的常识好好复习。
我在北京教书这么多年，我自己并不是北京的学生，但我认为北京的学生跟外地学生最大的区别是眼好手低，认为我会了，不消去写，着实测验是笔答，你必必要写。不是说每天不写，拿过来写就没有题目，不是如许的，照旧得练，以是最后这几天必然要动笔。有些分数较量高的孩子都存在着运算手段低的短处，以是最后这几天必然要动笔去算、动笔去做，学生偶然有一个短处，尤其是困难有思绪的，认为算的时刻可以做更多的题，这是差池的，用这个时刻就是做一道也是起到事倍功半的浸染。由于是第一次经验，手的状态也许就比不了平常。
以我的履素来说，大大都考生是你把高中5本书给他，他也许就是走马观花，抓不住重点，我的履历是两个团结去看，可以把已往的错题本可能做过的卷子拿出来，好比说一摸、二摸，把五个区的五套卷子看一看，每看到一道错题你就会想我其时的错因是什么，假如你想不到可能想的时辰不是那么纯熟，这时你就要专门针对这方面的常识做做题。有前提的环境照旧要跟教师交换一下，谈谈你本身的熟悉，也许会起到很好的结果。
王晓泳：不要用题海战术。别嗣魅这个阶段不要举办题海战术，就恒久的进修来说题海战术都是无效的。你做一万道题，假如不去归纳总结，你也许只会最后一道题。以是但愿各人没有须要做题海战术，但要把你已往做过的题做出归纳和总结，找出它们之间的配合点，找出办理题目的通法，可能把它的易错点做个归纳总结。
数学解题考究通法原则
王晓泳：完备的说法是一些题的通例的、通用的、常用的一些要领，好比诵皂会几何，作为一样平常都是求曲线方程和轨迹方程，轨迹方程就有一些较量常用的要领，好比界说法，有的教师也叫待定系数法。学生读完题，已经知道了求什么曲线，好比知道求椭圆了，起首判定它的核心在什么轴，长轴是多长，短轴是多长，焦距是几多。并且A、B、C的探求较量轻易。
尚有一种要领是代入法。这个题读完了我能猜出来，但未必能明晰，我读完题之后会获得关于这个点的等量相关，这时我就可以代入坐标，对整个式子举办化简。
尚有两个要领，一个叫相干点代入法，一个叫参数法，这些就是理会几何求曲线方程最常用的，这四个要领在书上都有响应的例题和训练题。尚有其他的要领，好比点差、交轨，着实他们照旧在适才四个要领的基本上。在北京的题都不会出格的怪、偏，它首要注重的是学生的根基常识的把握，以是首要照旧齐集在常用的要领上 ，也许题型会很机动。
这些要领教师一向在练习，要害是在最后这几天必然要有固定和归纳，许多学生是拿过来就做。我偶然给学生举个活跃的例子，就好象你很认识这个同窗，但他平常老是穿校服，高考这一天他想改变一下本身的形象，他也许换了一身衣服，这时你能不能担保还能熟悉他。以是你要熟悉他的本质，真正的纪律，纪律是在于归纳，不能每天只看外表，必需归纳这种题型有什么特点。把你曾经做过的题拿过来，找它们的配合特点，抓住纪律，做题的时辰就不会由于题的小小改变就不会变通了。
出题热门猜测
王晓泳：2009年的高考对付北京来说是纲要课本的最后一年，来岁就是新课标的第一年测验了。以是作为一次竣事的测验，起首从题的配置难度来说必定不会很难。北京此刻用的这本课本加上本年一共用了五年，前面四年除了2005年北京均匀分数是69分，剩下这三年的均匀分都是过了85分，客岁根基靠近88分了。如许数学的出卷可以说从最近这三年来说难度上长短常不变的，这方面各人不要想会不会很是难，起首它是最后一年，其次北京近三年从数学角度来看出题难度都很不变。
从出题的特点来看，北京选择的特点是很注重基本常识、根基观念的考查。像客岁的选择题，按理说以我们的设法第6题的得分应该是低于第4题、第3题，最后下来的试卷说明一看第6题的得分反而很高，3、4题均匀得分反而低。着实缘故起因很简朴，6题考的是数列的递推相关，它自己不是行使数学的公式，学生在做这道题的时辰留意力很齐集，做的就较量齐集，着实并不难，但3、4题考的是根基观念。尤其像4题，说的是点到直线的间隔比它到其它一个点的间隔大1，我们有个叫曲线的第二界说到一个点比到直线的比大于1那就叫双曲线。许多学生想节减选择题的做题时刻，他认为第4题不是很难，想的不是很仔细，读的很快，认为这不就是第二界说吗，有的选了椭圆，有的选了双曲线，着实那是一个抛物线。以是各人平常的复习照旧要好好的重视基本常识。
填空和选择最后一道题会有所创新，跟数列、团结的较量多，其他章节像立体几何、理会几何照旧较量根基的，不会出一些创新题。我想这也是有缘故起因的，由于高考的选拔是为了大学，然则上了大学从理科、工科包罗经济学的学生来说，个体专业未来还必要学几何常识，更多的专业，像经济类、工科、理科要学高档数学，而高档数学成立在的、数列常识基本上，也许从这个角度来说创新题在函数、数列团结的较量多。
解答题一共6道，我的学生他们也跟专家似的，像此刻用的课本考的四年，2005年和2007年都没有考三角函数，而2006年和2008年都考了，三角函数在高中阶段是很重要的章节部门，但它的难度不是很高，学生根基上城市做，尤其通过高三的复习往后，正确率也长短常高的，以是许多学生都但愿能考三角函数。但按照纪律，已往的单数年都没有考，本年又是个单数年，是不是必然不考我也不敢担保，我认为考照旧也许的。
最后一道困难也是数学的创新题，照旧一再我在选择和填空上的设法，包罗北京这四年也是跟数列和函数团结的，我想不会把理会几何作为最后的一道。那些较量不错的学生，分数奔着140分以上走的同窗，要想在最后一道题上能有所示意，就应该把数列的根基纪律和函数的基天性子再固定一下。并且我信托这些学生他们一样平常都是齐集在很是不错的学校，像北京四重、人大附如许的学校，我信托教师在平常的解说中也会把高档数学里这部门涉及到的纪律和公式、设法有所渗出，以是想在最后一道大题上有所示意的同窗，在最后这几天归纳归纳，立理一个思绪就好了。
中间这几道题我认为还应该跟往年差不多，立体几何应该照旧在前三道，理会几何、导数加函数它们照旧首要在中间，在4、5题次序上。
由于来岁是新课标了，以是我认为从出题人的角度来说，他是但愿本年可以或许承上启下，对放学期高三教师的解说有必然的指导浸染，以是他在某些章节的出题上也许会跟新课标团结。函数部门在这本书里是必修1―1，应该叫方程的根与零点，在已往的课本是一向在讲的，但新课本改成了零点。假如一个函数在这个区间里会有零点，可能这个方程在区间内会有根，区间端点的函数值就必然有核心。着实它跟老课本是一样的，只不外换了一个名字，可能说把它当成一个内容体系的去讲。各人不消担忧，这些内容教师都讲过，你不会认为很生疏的。
数学科场应试答题时刻布置
王晓泳：起首各人不要太求助了，正式测验是下战书3点，一样平常声名是提前5分钟发卷。考生拿到卷子的时辰必然要赏识一下，岂论你是什么条理的考生，必然要明晰在这张卷子上哪些题目可能你明晰哪些对象对你是不纯熟的，可能明晰哪些对你来说长短常纯熟的。你虽然可以顺做，但顺做的同时必然要担保会做，而且能做完。有的题你也许看上去很认识，这是最可骇的，每每跟已往做的题很相象，现实它却有本质的区别，有的学生就想虽然的去做了，也许就做贫困了。这就要看你的时刻了，假如你的时刻照旧较量丰裕的，我提议你安静下来，深呼吸，越是看上去很面熟的题，跟平常做的题越是有很大的区别，这时要当真的审题，安静的去做。
假如测验已经已往一个小时了，后头也许尚有必然量的可以或许拿分的题，这时你能不能安静下来要看你本身了，临场的抉摘要很敏捷。假如深呼吸照旧不能安静下来，就可以放弃这道题，去做后头的。看起来差不多，也许由于很小的缘故起因整道题做起来差池路了，由于较量相似嘛，以是你写的对象有的点照旧可以得分的。万万不要一盲目，先做后头的题，等神色安静了再返来做，等你真正找到基础的时辰再去做修改了。不要认为错了，就全涂抹了。
应先从轻易题入手
王晓泳：虽然应该做轻易的了，但万万别欢快，大意失荆州，越是看着轻易，越是看着早年做的较量多的题，它就会在小的前提上有所区别。以是各人在做题的时辰先做轻易的题，但不要太欢快。仔细、耐性、岑寂、扎实一些。
什么叫简朴题？着实做完了才说明怎么怎么样，着实对学生来说什么是简朴题？看着面熟的就是简朴，看着生的就难，那你就先去做面熟的题，再去做难的题，着实你会发明许多面生的题看起来并没有那么难，假如已经有必然的分值做铺垫了，这时你就应该兴焕发来，让大脑转的快一些。不要由于外貌的变革就被吓倒了，着实在北京的考卷上只有20分的题也许存在创新，包罗最后一道14分的题，前5分对一些考生来说也是可以或许获得的。以是各人没须要每一道题都那么求助，有的题看着生疏，每每考的都是平常的常识。
好比2005年的题，2006年的时辰给了一个抛物线的图象，它是导函数的图象，许多同窗就求助了。导函数不要看增减，要看正负，如许这道题左边的点是先增后减就是极大值，右边的就是极小值。其拭魅如许的题比其他的题在处理赏罚上要轻易得多，但出题的情势让学生们感受仿佛有了很大变革。
什么是极大，左增右减，什么是极小，就是左减右增。许多同窗老是拿过题就想这道题应该怎么做，而不思量它考的是什么常识。例如嗣魅这道题考极值，假如你是这么想的，就不会认为2006年的题怪了。
数形团结是答选择题的最好要领
王晓泳：我也认为数形团结是最好的答选择题的要领，好比代数部门，方程、函数和图象之间的对应相关你要很纯熟，全部的数学题目 几何寄义你要很纯熟的转换，假如做不到万万不能强求，强求反而揠苗助长。各人万万不要在选择题上节减时刻，尤其北京的高考，选择题根基上每年的均匀得分是快要30分，就是说它想让绝大大都考生不在选择题上失误，只有1、2道有难度。但北京的选择题没有白给的，就像客岁3、4题很简朴，学生就是想节减时刻，审题欠妥真一下就已往了，以是轻易出一些很稚子的错误。
我偶然给学生举例子就是人偶然不爱惜对你好的人，由于认为分是白给的，你就欠妥真的看待，就轻易失分，而这种失分会让你很反悔。许多中、基层的考生，乃至于中、上层的考生节减出来时刻去做最后一道题是不正确的，准往后再快，不能上来就快。常识学的较量机动，用答案代入去搜查也可以，可能换种思想去做也可以，总之是必要搜查的。
数学卷最后六道答题的时刻掌控
王晓泳：这6道大题要看你想得几多分，好比你想考到140分，那后头这6道大题最后一道最少要给它留出快要20分钟时刻去研究，但每每想考到140分的孩子，，前面的常识是很纯熟的。如许的学生前5道大题假如能争取在不到一个小时内做出来就可以了。
对付一样平常的学生来说，在90到120分这个区间的学生，大题照旧应该首要齐集在前5道。这5道大题立体几何花的时刻会相对多一点，由于它必要写的较量多。北京这四年立体几何出的难度不是很高，不像我们偶然模拟练的题是不太好想的，以是从思索的时刻来说用的不多，只是写起来较量多。以是立体几何连思索带写，均匀时刻应该在15分钟阁下。
其他的题应该说想起来也不难，写起来也不费时刻，那些题根基10分钟以内节制下来就可以。每每较量考后的这些题在思索上必要时刻，尤其第一题出格贫困，是想让一大部门人得分的，第二问是必要当真思索的。有两种环境，一种是不想的话基础不知道怎么做，尚有一种环境是你能做但你会错，后者学生在生理上还能接管。前者是我不会，看了也不知道怎么做，这种环境在科场的时辰心分析受影响，但你要想这种题目不是你小我私人的。我们较量畏惧的是后一种环境，拿过来他认为没有题目能做，但他会错。
我又想起2006年概率那道题，着实很简朴，但得分率出格低。很重要的缘故起因是三个方案选两个方案假如通过就算通过，起首你选的这两个方案并不必然会产生，包罗一些后果在中上等的学生也许城市忽略，但这种错误每每不影响测验情感。那些拿过来思绪较量难的，也许会影响测验情感。以是当题在这个位置，不管是拿过来就会做的题，照旧拿过来有点难度的题，你都要当真思量，时刻不要太短。根基后头剩的时刻都是属于它的，必然要当真思索。假如这道题你看着很难，你要抱着能得一分是一分的心态，把前提写下来就有2分，不要由于拿不到7分而放弃2分。
做题慢的人掌控时刻能力
王晓泳：这跟孩子的性格也有相关，如许的学生我也教过，其拭魅如许的学生每每考的不是很差，由于他的得分率很高，经常是落笔就能得分。之以是你会有那么高的得分率，你的慢是由于你当真，假如你写快了，也许有些对象你就会忽略，也许每题城市丢分，像填空错一题就是5分，以是你没有须要改变什么。并且我们的高考就是一场去得分的“战役”，最后的题施展不施展都没重要，有的人也许做到最后一道题，前面130多分他都做了，但只有50%的得分率，就算最后一道题能得一泰半分加起来他也是不合格。
较量可骇的是逐步做得分率还低的学生，这些学生也许常识还不足纯熟，你所办理的不是变快，变快也许得分会更低，应该办理的是不要错。又慢又好的学生不要有什么承担，没做最后一道题你也未必得分不高。
函数、数列、理会几许么常识应答要领
王晓泳：这名学生提的是函数、数列、理会几何，这根基上属于高考中困难的部门，起首你要固定根基要领。函数会跟导数团结在一路，对一些性子的判定。不等式这部门，放到大题里首要是不等式的证明息争不等式，北京更多考的是解不等式，尤其像函参的不等式。你可以找出较量典范的，最最少要有一元二次不等式的函参题目。理会几何一样平常是求轨迹方程，以是必然要对四种通例要领很纯熟，做必然量的题。第二问每每会跟直线团结，也会有所创新，假如只跟直线团结，解题的进程根基有一个套路，但学生谋面对很大的预算，亏得北京出的不是很贫困，各人只要当真去做应该是没有题目的。套路已往再往下的部门更多的照旧跟函数、代数有所接轨，这时就要看你的心态，假如你的函数学的较量好就继承做，假如处理赏罚不下去，我倒认为你可以放下来。假如把套路走完，根基上第二问小一半分你都拿到了，后头你看看有没有比拿这个分还值的处所。
此刻出题的特点，包罗几张模拟卷下来，还喜好出一些不是跟曲线团结的。如许的只要求你对理会几何的性子要纯熟，甚职苄些性子会跟初中阶段的基本常识团结，只要基本常识纯熟就行。理会几何方面各人当真的做，我感受北京的理会几何没有想象中的那么难。
不等式其拭魅照旧要跟函数放在一路的，至于证明方面也许会考，其实没步伐就记着左边大于右边。各人对不等式的章节公式纯熟一下就可以了。
主持人：很是感激英华学校数学教研组组长王教师。在本日的节目傍边王教师给各人带去了许多有关数学的应试能力，信托电脑前的宽大网友也是收益颇多。最后您给各人奉上一些祝福。
王晓泳：但愿各人在测验的进程中必然要信托本身，这么多年只要全力了，考卷是会给你一个合理的回报的。必然要信托本身的手段，要当真的、踏扎实实的去做每一道题。我曾经写过一篇文章，许多学生没看的时辰就想的很可骇，一看你会从内心感受到数学会让你有许多惊喜，许多都是你认识的对象。我信托你支付了几多，就必然会有应有的回报。祝各人测验舒畅。
主持人：本日很是感激王教师，也许此刻的许多考生和家长城市碰着如许那样的题目，但要领总比坚苦多，就像王教师说的，信托本身一往无前，必然会考上抱负的大学。感激王教师，也很是感激宽大网友的起劲参加，下期节目再会。
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& 2014届高考数学（理，浙江专版）一轮复习：5.5《数列的综合问题》
2014届高考数学（理，浙江专版）一轮复习：5.5《数列的综合问题》
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数列与不等式的综合应用
[例4]　(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%。预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 解决数列实际应用题的方法
解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力． 4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米 是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) (2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85. 当n＝5时，a50.85b6， 即满足上述不等式的最小正整数n为6. 故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
等比数列中处理分期付款问题的注意事项：
(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．
(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．
(1)数列与解析几何结合时注意递推．
(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．
(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). 创新交汇——数列的新定义问题
1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．
2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．
[典例]　(2011·北京高考)若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an.
(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；
(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2 011；
(3)对任意给定的整数n(n≥2),
是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由． [解]　(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列， 所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1 999)． 所以An是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a2 000－a1 999≤1， a1 999－a1 998≤1， … a2－a1≤1， 所以a2 000－a1≤1 999，即a2 000≤a1＋1 999. 又因为a1＝12，a2 000＝2 011， 所以a2 000＝a1＋1 999. 故ak＋1－ak＝1＞0(k＝1,2，…，1 999)， 即An是递增数列． 综上，结论得证． (3)令ck＝ak＋1－ak(k＝1,2，…，n－1)，则ck＝±1. 因为a2＝a1＋c1，a3＝a1＋c1＋c2， …
1．本题具有以下创新点：
(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．
(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．
2．解决本题要注意以下几个问题：
对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口． 1．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，如果数列{bn}：b1， b2，b3，…bn满足b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，其中k＝2,3，…，n，则称{bn}为{an}的“衍生数列”.若数列{an}:a1, a2,a3,a4的衍生数列是5，－2,7,2，则{an}为________；若n为偶数，且{an}的“衍生数列”是{bn}，则{bn}的“衍生数列”是________． 解析：由b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{an}为2,1,4,5. 由已知，b1＝a1－(a1－an)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－an)，….因为n是偶数，所以bn＝an＋(－1)n(a1－an)＝a1.设{bn}的“衍生数列”为{cn}，则ci＝bi＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i·(a1－an)＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i(a1－an)＋(－1)i·(an－a1)＝ai，其中i＝1,2,3，…，n.则{bn}的“衍生数列”是{an}． 答案：2,1,4,5　{an} 2．(2012·上海高考改编)对于项数为m的有穷数列{an}， 记bk＝max{a1，a2，…，ak}(k＝1,2，…，m)，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{an}； (2)设{bn}是{an}的控制数列，满足ak＋bm－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：bk＝ak(k＝1,2，…，m)． 解：(1)数列{an}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)证明：因为bk＝max{a1，a2，…，ak}，bk＋1＝max{a1，a2，…，ak，ak＋1}， 所以bk＋1≥bk. 因为ak＋bm－k＋1＝C，ak＋1＋bm－k＝C， 所以ak＋1－ak＝bm－k＋1－bm－k≥0，即ak＋1≥ak. 因此，bk＝ak. 演练知能检测见 “限时集训限时集训（三十一）” (1)求数列{an}的通项公式及Sn； 2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)， 其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6) 3．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝kSn＋2(n∈N*)，且 a1＝2，a2＝1. (1)求k的值和Sn的表达式； [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 　　能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题. 2011·解答题T19 [归纳·知识整合]
1．数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答． 具体解题步骤如下框图：
2．常见的数列模型
(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．
(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．
(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．
[探究]　银行储蓄单利公式及复利公式分别属于什么模型？
提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差数列模型． 复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比数列模型． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3， a4成等比数列，则a2的值为
(　　) A．－4　　　　　　　 B．－6 C．－8
D．－10 答案:
B　 2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图 象为
(　　) 解析：由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A. 答案：A　 3.
在如图所示的表格中，如果每格 填上一个数后，每一行成等差数 列，每一列成等比数列，那么x ＋y＋z的值为
(　　) A．1
2 4 1 2 x y z 答案：C　 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2， a3成等差数列，则S4＝________. 答案：15
答案：4 等差数列、等比数列的综合问题
[例1]　在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. 在本例(2)的条件下，试比较an与Sn的大小． 解答数列综合问题的注意事项
(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．
(2)对于等差、等比数列综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法. 1．(2013·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差大于零，且a2， a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b3＝a3，S3＝13. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 数列与函数的综合应用 —————
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解决函数与数列的综合问题，应该注意的问题
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. (1)求α，β的值； 数列与不等式的综合应用
[例3]　(2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式； [自主解答]　(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，　① 当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，　② 又a1，a2＋5，a3成等差数列， 所以a1＋a3＝2(a2＋5)，　③ 由①②③解得a1＝1. (2)由题设条件可知n≥2时，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，④ 2Sn－1＝an－2n＋1.⑤ ④－⑤得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n， 即an＋1＝3an＋2n，整理得an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)， 则{an＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以an＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n， 即an＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式， 故an＝3n－2n. 数列与不等式相结合问题的处理方法
解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了． (1)求数列{bn}的前n项和Sn；
解析：由题意知：a＝a1a4.
则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.
解析：由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝；
第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y＝，从而x＋y＋z＝3.
解析：设数列{an}的公比为q，4a2＝4a1＋a3，4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.S4＝＝15.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意nN*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(kN*)，则k的值为________．
解析：由Sn＝an－得
当n≥2时，Sn＝(Sn－Sn－1)－，
即Sn＝－2Sn－1－1.
令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)得
Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝.
故数列是以－为首项，以－2为公比的等比数列．
则Sn＋＝－×(－2)n－1，
即Sn＝－×(－2)n－1－.
由1＜－×(－2)k－1－＜9，kN*得k＝4.
[自主解答]　(1)证明：bn＝log2an，
bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，
数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)∵b1＋b3＋b5＝6，b3＝2.
a1>1，b1＝log2a1>0.
b1b3b5＝0，b5＝0.
∴Sn＝4n＋×(－1)＝.
∴an＝25－n(nN*)．
解：显然an＝25－n>0，
当n≥9时，Sn＝≤0，
n≥9时，an>Sn.
a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，
a6＝，a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，
当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn.
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(2)若数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
由x2－18x＋65＝0，解得x＝5或x＝13.
因为d>0，所以a20，解得b1＝1，q＝3.
所以bn＝3n－1.
(2)当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝n＋×4＝2n2－n；
当n>5时，Tn＝T5＋(b6＋b7＋b8＋…bn)
＝(2×52－5)＋＝.
[例2]　(2012·安徽高考)设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为Sn，求sin Sn.
[自主解答]　(1)令f′(x)＝＋cos x＝0，即cos x＝－，解得x＝2kπ±π(kZ)．
由xn是f(x)的第n个正极小值点知，
xn＝2nπ－π(nN*)．
(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sin Sn＝sin.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，
所以sin Sn＝－sin .
当n＝3m－2(mN*)时，sin Sn＝－sin＝－；
当n＝3m－1(mN*)时，sin Sn＝－sin＝；
当n＝3m(mN*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0.
综上所述，sin Sn＝
2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－(n＝1,2，…)．
(2)已知对任意的正整数n，都有an>α，记bn＝ln(n＝1,2，…)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为
x1＝，x2＝，
又α，β是方程的两个实根，且α>β，
α＝，β＝.
(2)∵f′(x)＝2x＋1，
an＋1＝an－＝an－＝.
an>α>β(n＝1,2,3，…)，且a1＝1，
b1＝ln＝ln＝4ln.
bn＋1＝ln＝ln
＝ln＝ln＝2ln＝2bn.
即{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．
故数列{bn}的前n项和
Sn＝＝(2n－1)·4ln＝(2n＋2－4)ln.
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(3)证明：＝＝·≤
＋＋…＋≤3
＝3×＝0成立的最小值n.
解：(1){an}是等比数列，设其公比为q，
两式相除得，＝，q＝3或q＝，
{an}为递增数列，q＝3，a1＝.
an＝a1qn－1＝·3n－1＝2·3n－5，
bn＝log3＝n－5，
数列{bn}的前n项和Sn＝＝(n2－9n)．
(2)Tn＝b1＋b2＋b22＋…b2n－1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n－1－5)＝－5n>0，
即2n>5n＋1.
245×5＋1，nmin＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).
[自主解答]　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝2an－2－d－d…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，am＝4 000，即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
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解：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，
即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，
解得n≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
?1个问题——分期付款问题
?3个注意——递推、放缩与函数思想的考查
an＝a1＋c1＋c2＋…＋cn－1，
所以S(An)＝na1＋(n－1)c1＋(n－2)c2＋(n－3)c3＋…＋cn－1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)]＝－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)]．
因为ck＝±1，所以1－ck为偶数(k＝1，…，n－1)．
所以(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)为偶数，所以要使S(An)＝0，必须使为偶数，
即4整除n(n－1)，亦即n＝4m或n＝4m＋1(mN*)．
当n＝4m(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)时，有a1＝0，S(An)＝0；
当n＝4m＋1(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)，a4m＋1＝0时，有
a1＝0，S(An)＝0；
当n＝4m＋2或n＝4m＋3(mN*)时，n(n－1)不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a1＝0，S(An)＝0.
1．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(aR)．设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．
(2)设An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋.当n≥2时，试比较An与Bn的大小．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．
因为d≠0，所以d＝a1＝a.
所以an＝na，Sn＝.
(2)因为＝，
所以An＝＋＋＋…＋＝.
因为a2n－1＝2n－1a，
所以Bn＝＋＋＋…＋＝·＝.
当n≥2时，2n＝C＋C＋C＋…＋C>n＋1，即
1－0时，An<Bn；当aBn.
解：(1)第1年末的住房面积为a·－b＝1.1a－b(m2)，第2年末的住房面积为·－b＝a·2－b＝1.21a－2.1b(m2)．
(2)第3年末的住房面积为·－b＝a·3－b(m2)，
第4年末的住房面积为
a·4－b(m2)，
第5年末的住房面积为
a·5－b＝1.15a－b＝1.6a－6b(m2)．
依题意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为 m2.
(2)是否存在正整数m，n，使得<成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．
解：(1)由条件Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，得S2＝kS1＋2，
即a1＋a2＝ka1＋2，
a1＝2，a2＝1，2＋1＝2k＋2，得k＝.
于是，Sn＋1＝Sn＋2，设Sn＋1＋x＝(Sn＋x)，
即Sn＋1＝Sn－x，令－x＝2，得x＝－4，
Sn＋1－4＝(Sn－4)，
即数列{Sn－4}是首项为－2，公比为的等比数列．
Sn－4＝(－2)·n－1，即Sn＝4(nN*)．
(2)由不等式<，
令t＝2n(4－m)，则不等式变为<，
解得2<t<6，即2<2n(4－m)<6.
假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数，
则只能是2n(4－m)＝4，或
于是，存在正整数m＝2，n＝1或m＝3，n＝2，
使得<成立．
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