dx100为什么停产∫(+∞,0) dx/(1+x^2)(1+x^a)收敛

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-07 17:11 标签： 定积分∫e x 2 dx
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求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+1/(x^2)+1/(1+x) ) dx 这一步是怎么想出来的?
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lim(a→+∞) ∫(1→a) 1/[x²(1 + x)] dx= lim(a→+∞) ∫(1→a) [x² - (x² - 1)]/[x²(1 + x)] dx这步其实可用待定系数法解的,不过这个拆解也算简单,为了方便才做这个形式,熟练就想到了.= lim(a→+∞) ∫(1→a) [1/(1 + x) - (x - 1)/x²] dx,分子(x² - 1) = (x + 1)(x - 1)与分母约掉(1 + x)= lim(a→+∞) ∫(1→a) [1/(1 + x) - 1/x + 1/x²] dx,这样就可以求结果了= lim(a→+∞) [ln((1 + x)/x) - 1/x] |[1→a]= lim(a→+∞) [ln((1 + a)/a) - 1/a] - [ln((1 + 1)) - 1]= lim(a→+∞) [ln(1/a + 1) - 1/a] - ln(2) + 1= ln(0 + 1) - 0 - ln(2) + 1= 1 - ln(2)= ln(e/2)定积分结果有具体面积,即为收敛.用待定系数法的话：(除非题目特别要求,否则通常对于非常复杂的部分分式才真正有需要用到这个)令1/[x²(1 + x)] = A/x² + B/x + C/(1 + x),通分得1[x²(1 + x)] = [A(1 + x) + Bx(1 + x) + Cx²]/[x²(1 + x)],即1 = A(1 + x) + Bx(1 + x) + Cx²1 = A + Ax + Bx + Bx² + Cx²1 = (B + C)x² + (A + B)x + A{ A = 1{ A + B = 0{ B + C = 0B = - A = - 1C = - B = 1所以1/[x²(1 + x)] = 1/x² - 1/x + 1/(1 + x)很详细吧,谢谢☆⌒_⌒☆
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分母为多项式的倒数时，可用待定系数法：1/( (x^2)(1+x) ) =
A/x + B/x^2 + C/(1+x)这样，通分后，分母就是(x^2)(1+x)，而分子是(A+C)x^2 + (A+B)x + B = 1比照1/( (x^2)(1+x) )，可知 {B=1，A+B=0 →A=-1，A+C=0 →C=1
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设I=∫（1->+∞)dx/[x^2(x+1)] 求I
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求定积分【1,+∞】∫dx/[x²(x+1)]原式=【1,+∞】∫[1/(x+1)-(x-1)/x²]dx=【1,+∞】{∫[dx/(x+1)-∫(1/x)dx+∫dx/x²}=[ln(x+1)-lnx-1/x]【1,+∞】={ln[(x+1)/x]-1/x}【1,+∞】=a➔+∞lim{ln[(a+1)/a]-1/a}-ln2+1=a➔+∞limln[(1+1/a)-1/a}-ln2+1=1-ln2
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求定积分:∫（上标是+∞ ,下标是0）1/[(x^2+1)*(x^2+4)] dx=
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先裂项：1/[(x^2+1)*(x^2+4)] =1/3*[1/(x²+1)-1/(x²+4)]∴:∫(0-->+∞）1/[(x^2+1)*(x^2+4)] dx=∫(0-->+∞）1/3*[1/(x²+1)-1/(x²+4)]dx=1/3*∫(0-->+∞)1/(x²+1)dx-1/6*∫(0-->+∞)1/[(x/2)²+1) d(x/2)=1/3 arctanx|(0-->+∞)-1/6arctan(x/2)|(0-->+∞)=1/3(π/2)-1/6*(π/2)=π/12
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