绝对值-绝对值
绝对值-绝对值
一 : 绝对值教学目标& 1．了解的概念，会求有理数的； 2．会利用比较两个负数的大小； 3．在概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力．教学建议 一、重点、难点分析 概念&既是本节的教学重点又是教学难点&。关于的概念，需要明确的是无论是的几何定义，还是的代数定义，都揭示了的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的都是非负数，即无论a取任意有理数，都有 。 教材上的定义是从几何角度给出的，也就是从数轴上表示数的点在数轴上的位置出发，得到的定义。这样，数轴的概念、画法、利用数轴比较有理数的大小、相反数，以及，通过数轴，这些知识都联系在一起了。此外，0的是0，从几何定义出发，就十分容易理解了。 二、知识结构 的定义 的表示方法 用比较有理数的大小 三、教法建议 用语言叙述的定义，用解析式的形式给出的定义，或利用数轴定义，从理论上讲都是可以的．初学用语言叙述的定义，好像更便于学生记忆和运用，以后逐步改用解析式表示的定义，即
在教学中，只能突出一种定义，否则容易引起混乱．可以把利用数轴给出的定义作为的一种直观解释． 此外，要反复提醒学生：一个有理数的不能是负数，但不能说一定是正数．“非负数”的概念视学生的情况，逐步渗透，逐步提出． 四、有关的一些内容 1．的代数定义 一个正数的是它本身；一个负数的是它的相反数；零的是零． 2．的几何定义 在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的． 3．的主要性质 (2)一个实数的是一个非负数，即|a|≥0，因此，在实数范围内，最小的数是零． (4)两个相反数的相等． 五、运用比较有理数的大小 1．两个负数大小的比较,因为两个负数在数轴上的位置关系是：较大的负数一定在较小的负数左边，所以，两个负数，大的反而小. 比较两个负数的方法步骤是： （1）先分别求出两个负数的； （2）比较这两个的大小； （3）根据“两个负数，大的反而小”作出正确的判断． 2．两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，大的较大．教学设计示例（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．能根据一个数的表示“距离”，初步理解的概念． 2．给出一个数，能求它的． （二）能力训练点 在把的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力． （三）德育渗透点 1．通过解释的几何意义，渗透数形结合的思想． 2．从上节课学的相反数到本节的，使学生感知数学知识具有普遍的联系性． （四）美育渗透点 通过数形结合理解的意义和相反数与的联系，使学生进一步领略数学的和谐美． 二、学法引导 1．教学方法：采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现“教为主导，学为主体”的教学要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律． 2．学生学法：研究＋6和－6的不同点和相同点→概念→巩固练习→归纳小结（代数意义） 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：给出一个数会求出它的． 2．难点：的几何意义，代数定义的导出． 3．疑点：负数的是它的相反数． 四、课时安排 2课时 五、教具学具准备 投影仪（电脑）、三角板、自制胶片． 六、师生互动活动设计 教师提出＋6和－6有何相同点和不同点，学生研究讨论得出概念；教师出示练习题，学生讨论解答归纳出代数意义． 七、教学步骤& （一）创设情境，复习导入&& 师：以上我们学习了数轴、相反数．在练习本上画一个数轴，并标出表示－6，，0及它们的相反数的点． 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画． 【教法说明】的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习． （二）探索新知，导入&&新课 师：同学们做得非常好！－6与6是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？ 学生活动：思考讨论，很难得出答案． 师：在数轴上标出到原点距离是6个单位长度的点． 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上做． 师：显然A点（表示6的点）到原点的距离是6，B点（表示－6的点）到原点距离是6个单位长吗？ 学生活动：产生疑问，讨论． 师：＋6与－6虽然符号不同，但表示这两个数的点到原点的距离都是6，是相同的．我们把这个距离叫＋6与－6的． ［板书］2.4（1） 【教法说明】针对“互为相反数的两数只有符号不同”提出问题：“它们什么相同呢？”在学生头脑中产生疑问，激发了学生探索知识的欲望，但这时学生很难回答出此问题，这时教师注意引导再提出要求：“找到原点距离是6个单位长度的点”这时学生就有了一个攀登的台阶，自然而然地想到表示＋6，－6的点到原点的距离相同，从而引出了的概念，这样一环紧扣一环，时而紧张时而轻松，不知不觉学生已获得了知识． 师：－6的是表示－6的点到原点的距离，－6的是6； &&& 6的是表示6的点到原点的距离，6的是6． 提出问题：（1）－3的表示什么？ &&&&&&&& （2）的呢？ &&&&&&&& （3）的呢？ 学生活动：（1）（2）题根据教师的引导学生口答，（3）题讨论后口答． ［板书］一个数a的是数轴上表示数a的点到原点的距离． 数a的是|a| 【教法说明】由－6，6，－3，这些特殊的数的引出数的，逐层铺垫，由学生得出的几何意义，既理解了一个数的的含义也训练了学生口头表达能力，突破了难点． （三）尝试反馈，巩固练习 师：数可以表示任意数，若把换成，9，0，－1，－0.4观察数轴，它们的各是多少？ 学生活动：口答：，，，， 师：你在自己画的数轴上标出五个数，让同桌指出它们的． 学生活动：按教师要求自己又当“小老师”又当“学生”． 教师找一组学生回答，并及时纠正出现的错误． （出示投影1） 例& 求8，－8，，的． 师：观察数轴做出此题． 学生活动：口答 ，，，． 师：由此题目你能想到什么规律？ 学生活动：讨论得出—互为相反数的两数相同． 【教法说明】这一环节是对的几何定义的巩固．这里对于定义的理解不能空谈“5的、－7的是多少”？而是与数轴相结合，始终利用表示这数的点到原点的距离是这个数的这一概念．教师先阐明这个字母可表示任意数，再把换成一组数，学生自己又把换成了一些数，指出它们的，这样既理解了数所表示的广泛含义，又巩固了的定义．然后，通过例题总结出了互为相反数的两数的相等这一规律，既呼应了前面内容，又升华了的概念． 师：观察数轴，在原点右边的点表示的数（正数）的有什么特点？ 在原点左边的点表示的数（负数）的呢？ 生：思考，不能轻易回答出来． 师：再看前面我们所求的，，，，．你能得出什么规律吗？ 学生活动：思考后一学生口答． 教师纠正并板书： ［板书］正数的是它本身． &&&&&&& 负数的是它的相反数． &&&&&&& 0的是0． 师：字母可表示任意的数，可以表示正数，也可以表示负数，也可以表示0． 教师引导学生用数学式子表示正数、负数、0，并再提问：这时的分别是多少？ 学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生互相补充回答． 教师板书： ［板书］ 若，则 若，则 若，则 师强调：这种表示方法就相当于前面三句话，比较起来后者更通俗易懂． 【教法说明】用字母表示规律是难点．这时教师放手，让学生有目的地考虑、分析，共同得出结论． 巩固练习： （出示投影2） 1．化简：，，． ，，； 2．计算：①． ②． ③． 学生活动：1题口答，2题自己演算，三个学生板演． 【教法说明】1题的前四个旨在直接运用的性质，后两个略有加深，需要讨论后回答；2题（3）小题让学生区别符号和括号的不同含义． （四）归纳小结 师：这节课我们学习了． （1）一个数的是在数轴上表示这个数的点到原点的距离； （2）求一个数的必须先判断是正数还是负数． 回顾反馈： （出示投影3） 1．－3的是在_____________上表示－3的点到__________的距离，－3的是____________． 2．是3的数有____________个，各是___________； && 是2.7的数有___________个，各是___________； && 是0的数有____________个，是____________． && 是－2的数有没有？ （总结：） 3．（1）若，则； & （2）若，则． 【教法说明】教师在总结完本节课的知识要点后，再回头对本节重点内容进行反馈练习，并且注意把知识进行升华． 八、随堂练习 1．判断题 （1）数的就是数轴上表示数的点与原点的距离（&& &&&） （2）负数没有（&&&&& ） （3）最小的数是0（&&&&& ） （4）如果甲数的比乙数的大，那么甲数一定比乙数大（&&&&& ） （5）如果数的等于，那么一定是正数 2．填表原数3&&& 相反数&&& &&0& 倒数&&& 3．填空 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）若，则；（6）． 九、布置作业& 课本第66页2、4． 十、板书设计& 随堂练习答案 1．√ × √ × × 2．略 3．（1），（2）7，（3）－7，（4）2，（5）3或－3，（6） 作业&答案 2．＋7，－7，－0.35， 4．＜，＞ ，＞，＝&绝 对 值（二） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 会利用比较两个负数的大小． （二）能力训练点 利用概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． （三）德育渗透点 不断加深对有理数比较大小方法的认识，渗透数形结合的思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，学生会发现利用比较两个负数大小与利用数轴比较任意两个数的大小是和谐统一的，学生会进一步感受到数学的和谐美． 二、学法引导 1．教学方法：采用引导发现法总结规律，并辅之以变式训练进行扎实巩固，以复习提问作为铺垫，突破难点． 2．学生学法：观察→讨论→归纳→练习 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：利用比较两个负数的大小． 2．难点：利用比较两个异分母负分数的大小． 四、教具学具准备 投影仪（或电脑）、自制胶片． 五、师生互动活动设计 教师提出问题，学生讨论归纳；教师出示练习题，学生练习巩固． 六、教学步骤& （一）创设情境，复习提问 师：我们前面学习了，我相信大家学得都非常好．一定能做好下面这个题． ［板书］ 比较大小 && （1）与&&&&&& 与 && （2）4与－5&&&&&&&&& 0.9与1.1 &&&&&& －10与0&&&&&&&& －9与－1 学生活动：（1）题在练习本上演算，两个学生板演，（2）题学生抢答． 【教法说明】（1）题是为了分散利用比较两个负分数的大小这一难点埋下了伏笔，在这个题目中用最简单的“∵，∴”的形式训练学生简单的推理能力．（2）题是复习利用数轴比较两个数的大小，让学生体会出这四个题中觉得难度较大的题目是最后小题两个负数比较大小，从而引出课题． 教师板书课题 ［板书］& 2.4&& （2） （二）探索新知，讲授新课 1．规律的发现 在比较－9与－1时，教师订正的同时要求学生说出比较－9与－1的根据（数轴上的两个数右边的总比左边的大），同时在黑板上（学生在练习本上）画出数轴． 提出问题：在数轴上任意取两个负数，比较大小，观察较小的数有什么特点？ 学生活动：尝试举例，讨论得出结果—两个负数，大的反而小，或两个负数小的反而大．（师板书） 强调：今后比较两个负数的大小又多了一种方法，即两个负数，大的反而小． 【教法说明】教师注意“放”时要让学生带着针对性的问题去思考、分析，既给学生一片自己发挥想象的天地，又使学生不至于走偏． 巩固练习： （出示投影1） 比较大小： （1）－3与－8；&&&&&&&&&&&&& （2）－0.1与－0.2； （3）与；&&&&&&&&&&&& （4）与． 学生活动：讨论后抢答． 【教法说明】（1）题让学生讨论时注意写好比较大小的格式，运用“∵”、“∴”的格式初步训练学生逻辑推理能力．（2）（3）（4）题通过数的变化，巩固对规律的认识． ［板书］ 解： &&& ∴&&&&& &∴ 2．出示例题（出示投影2） 比较大小 （1）与． 提出问题：对于异分母的两个负分数怎样利用比较大小？ 学生活动：讨论后自己尝试写． 师：我们在复习时已比较出了与的，可以在此基础上直接得出结论． ［板书］ 解：&&& &&&&&&&&& &&& ∴&&&&&&& ∴ 【教法说明】由于复习时学生对与已进行了比较，会非常轻松的完成此题目．教师设置了一级一级的台阶，让学生自己攀登，既发挥了学生的主体作用，又从题目的解决过程中训练了学生的推理能力． 巩固练习：（出示投影3） 比较大小： （1）与，（2）与． 学生活动：两个学生板演，其他学生自己练习． 【教法说明】比较两个负分数的大小是这节的重点也是难点，利用这两个小题让学生从整体上把握一下方法，达到熟练掌握的程度． （三）归纳小结 师：我们今天主要学习的是两个负数比较大小． （1）两个负数，大的反而小． （2）利用数轴可以比较任意两个数的大小，包括两个负数． 【教法说明】教师的小结必须把今天的所学纳入知识系统，明确说明利用数轴可以比较任意两数的大小，而利用比较大小只适用于两个负数． 七、随堂练习 1．判断题 （1）两个有理数比较大小，大的反而小 （2） （3）有理数中没有最小的数 （4）若，则 （5）若，则 2．比较大小 （1）－2__________5，，－0.01__________－1 （2）和（要有过程） 3．写出不大于4的所有整数，并把它们表示在数轴上． 八、布置作业& （一）必做题：课本第67页A组7． （二）选做题：课本第68页B组3． 九、板书设计& 随堂练习答案 1．× × √ × √ 2．（1）＜，＜& ＞；（2）＞． 3．±1，±2，±3，±4，0． 作业&答案 （一）必做题：7．（1）&&&&&&&& （2） （3）&&&&&&&&&&&&& （4） （二）选做探究活动 填空： (1)若|a|＝6，则a＝______； (2)若|-b|＝0.87，则b＝______； (4)若x+|x|＝0，则x是______数． 分析：已知一个数的求这个数，则这个数有两个, 它们是互为相反数．由 解： (1)∵|a|＝6，∴a＝±6； (2)∵|-b|＝0.87，∴b＝±0.87； & (4)∵x+|x|＝0，∴|x|＝-x． ∵|x|≥0，∴-x≥0 ∴x≤0，x是非正数． 点评：“”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对的代数定义，至少要认识到以下四点： (1)任何一个数的一定是正数或0，即|a|≥0； (2)互为相反数的两个数的相等，|a|=|-a|； (3)如果一个数的是它本身，那么这个数一定是正数或0；如果一个数的是它的相反数，那么这个数一定是负数或0； (4)求一个含有字母的代数式的值，一定要根据字母的取值范围分情况进行讨论．题：3．第2二 : 绝对值一、教学目标：1.知识目标：①能准确理解的几何意义和代数意义。②能准确熟练地求一个有理数的。③使学生知道是一个非负数，能更深刻地理解相反数的概念。2.能力目标：①初步培养学生观察、分析、归纳和概括的思维能力。②初步培养学生由抽象到具体再到抽象的思维能力。3.情感目标：①通过向学生渗透数形结合思想和分类讨论的思想，让学生领略到数学的奥妙，从而激起他们的好奇心和求知欲望。②通过课堂上生动、活泼和愉快、轻松地学习，使学生感受到学习数学的快乐，从而增强他们的自信心。二、教学重点和难点教学重点：的几何意义和代数意义，以及求一个数的。教学难点：定义的得出、意义的理解及求一个负数的。三、教学方法启发引导式、讨论式和谈话法四、教学过程(一)复习提问问题：相反数6与－6在数轴上与原点的距离各是多少？两个相反数在数轴上的点有什么特征？(二)新授1.引入结合教材P63图2－11和复习问题，讲解6与－6的的意义。2.数a的的意义①几何意义一个数a的就是数轴上表示数a的点到原点的距离。数a的记作|a|。举例说明数a的的几何意义。(按教材P63的倒数第二段进行讲解。)强调：表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝0。指出：表示“距离”的数是非负数，所以是一个非负数。②代数意义把有理数分成正数、零、负数，根据的几何意义可以得出的代数意义：一个正数的是它本身，一个负数的是它的相反数，0的是0。用字母a表示数，则的代数意义可以表示为：&?xml:namespace prefix =v ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" />&?xml:namespace prefix =o ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />指出：的代数定义可以作为求一个数的的方法。3.例题精讲例1. 求8,－8, ,－ 的。按教材方法讲解。例2. 计算：|2.5|＋|－3 |－|－3|。解：|2.5|＋|－3 |－|－3|＝2.5＋3 －3＝6－3＝3例3. 已知一个数的等于2 ，求这个数。解：∵|2 |＝2 ，|－2 |＝2∴这个数是2 或－2 。五、巩固练习练习一：教材P641、2，P66习题2.4 A组 1、2。练习二：1.小于4的整数是＿＿＿＿。2.最小的数是＿＿＿＿。3.已知|2x－1|＋|y－2|＝0，求代数式3x2y的值。六、归纳小结本节课从几何与代数两个方面说明了的意义，由的意义可知，任何数的都是非负数。的代数意义可以作为求一个数的的方法。七、布置作业教材P66习题2.4 A组 3、4、5。三 : 1.2.4 绝对值1.2.4& 绝对值教学目标1，掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则．2，学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小．3．体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想．教学难点两个负数大小的比较知识重点绝对值的概念教学过程（师生活动）设计理念设置情境引入课题星期天黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到朱家尖，下午她又向西行30千米，回到家中（学校、朱家尖、家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示黄老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油0.15升，计算这天汽车共耗油多少升？学生思考后，教师作如下说明：实际生活中有些问题只关注量的具体值，而与相反意义无关，即正负性无关，如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格，而与行驶的方向无关；&观察并思考：画一条数轴，原点表示学校，在数轴上画出表示朱家尖和黄老师家的点，观察图形，说出朱家尖黄老师家与学校的距离．&学生回答后，教师说明如下：&数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关；&一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a| &例如，上面的问题中|20|=20，|－10|=10显然，|0|=0这个例子中，第一问是相反意义的量，用正负数表示，后一问的解答则与符号没有关系，说明实际生活中有些问题，人们只需知道它们的具体数值，而并不关注它们所表示的意义．为引入绝对值概念做准备．使学生体验数学知识与生活实际的联系．&&& 因为绝对值概念的几何意义是数形转化的典型模型，学生初次接触较难接受，所以配置此观察与思考，为建立绝对值概念作准备．合作交流探究规律例1求下列各数的绝对值，并归纳求有理数a的绝对有什么规律？、&&& －3，5，0，＋58，0.6 &&& 要求小组讨论，合作学习．&&& 教师引导学生利用绝对值的意义先求出答案，然后观察原数与它的绝对值这两个数据的特征，并结合相反数的意义，最后总结得出求绝对值法则（见教科书第15页）．&&& 巩固练习：教科书第15页练习．&&& 其中第1题按法则直接写出答案，是求绝对值的基本训练；第2题是对相反数和绝对值概念进行辨别，对学生的分析、判断能力有较高要求，要注意思考的周密性，要让学生体会出不同说法之间的区别．求一个数的绝时值的法则，可看做是绝对值概念的一个应用，所以安排此例．&& 学生能做的尽量让学生完成，教师在教学过程中只是组织者．本着这个理念，设计这个讨论．结合实际发现新知引导学生看教科书第16页的图，并回答相关问题：把14个气温从低到高排列；把这14个数用数轴上的点表示出来；观察并思考：观察这些点在数轴上的位置，并思考它们与温度的高低之间的关系，由此你觉得两个有理数可以比较大小吗？应怎样比较两个数的大小呢？学生交流后，教师总结：14个数从左到右的顺序就是温度从低到高的顺序：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．在上面14个数中，选两个数比较，再选两个数试试，通过比较，归纳得出有理数大小比较法则想象练习：想象头脑中有一条数轴，其上有两个点，分别表示数一100和一90，体会这两个点到原点的距离（即它们的绝对值）以及这两个数的大小之间的关系．要求学生在头脑中有清晰的图形．让学生体会到数学的规定都来源于生活，每一种规定都有它的合理性。数在大小比较法则第2点学生较难掌握，要从绝对值的意义和数轴上的数左小右大这方面结合起来来了解，所以配置想象练习 ，加强数与形的想象。课堂练习例2，比较下列各数的大小（教科书第17页例）比较大小的过程要紧扣法则进行，注意书写格式练习：第18页练习小结与作业课堂小结怎样求一个数的绝对值，怎样比较有理数的大小？本课作业1，& 必做题：教产书第19页习题1，2，第4，5，6，102，& 选做题：教师自行安排本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）1，& 情景的创设出于如下考虑：①体现数学知识与生活实际的紧密联系，让学生在这些熟悉的日常生活情境中获得数学体验，不仅加深对绝对值的理解，更感受到学习绝对值概念的必要性和激发学习的兴趣．②教材中数的绝对值概念是根据几何意义来定义的（其本质是将数转化为形来解释，是难点），然后通过练习归纳出求有理数的绝对值的规律，如果直接给出绝对值的概念，灌输知识的味道很浓，且太抽象，学生不易接受．2，& 一个数绝对值的法则，实际上是绝对值概念的直接应用，也体现着分类的数学思想，所以直接通过例1归纳得出，显得非常紧凑，是教学重点；从知识的发展和学生的能力培养角度来看，教师应更重视学生的自主学习和探究的过程，关注学生的思维，做好教学的组织和引导，留给学生足够的空间。3，& 有理数大小的比较法则是大小规定的直接归纳，其中第（2）条学生较难理解，教学中要结合绝对值的意义和规定：“在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序”，帮助学生建立“数轴上越左边的点到原点的距离越大，所以表示的数越小”这个数形结合的模型．为此设置了想象练习．4， 本节课的内容包括绝对值的概念和数的绝对值的求法、有理数大小比较的法则，教学内容很多，学生接受起来可能会有困难，建议把有理数的大小比较移到下节课教学。附板书：1.2.4& 绝对值
下页更精彩： 1君，已阅读到文档的结尾了呢~~
绝对值 例题解析
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
绝对值 例题解析
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口绝对值的定义和性质: ;——精英家教网——
成绩波动大？难提高？听顶级名师视频辅导，
&& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1. 绝对值的定义和性质：;　 　　　　　　　　
2.掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路;掌握去掉绝对值符号的方法;会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
1.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│, 能利用绝对值的定义的性质分析解题;
9．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.
　 ⑴求CD的长度；　 ⑵求CD与平面所成的角解：⑴因为，故有，∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴.(2)过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，则∠CDE就是CD与平面α所成角。
8. 如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点求：(1)与所成的角；(2)P点到平面EFB的距离；(3)异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、M(0，0，a)、E(a，0，a)、F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P(,0,)、Q(,,0)(1)∴=(－，0，)，=(，－，－a)，·=(－)×+0+×(－a)=－a2，且||= a，||= a.∴cos〈，〉===－.故得两向量所成的角为150°(2)设=(x，y，z)是平面EFB的法向量，即⊥平面EFB，∴⊥，⊥.又=(－a，a，0)， =(0，a，－a)，即有，取，则.∵ 　=(，0，).∴ 设所求距离为d，则= a.(3)设=(x1，y1，1)是两异面直线的公垂线的方向向量，则由=(－，0，)，=(，－，－a)，得,而 =(0，a，0)所求距离=a.
7.(2004全国·河北)如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小.解(1)：如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.∵PA=PD，∴OA=OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，∴PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为.(2)解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P(0，0，)，B(0，，0)，PB中点G的坐标为(0，，)，连结AG.又知A(1，，0)，C(－2，，0).由此得到 =(1，－，－)，　=(0，，－)，=(－2，0，0).于是有·=0，·=0，∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角.于是cosθ==－，∴所求二面角的大小为π－arccos.解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== .又∠AGF=π－∠GAE，∴所求二面角的大小为π－arctan.
6．(2004浙江文)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.(Ⅰ)求证AM∥平面BDE；(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF；(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小；
　 　解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.　　 设，连接NE，　　 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),　∴=(,　　 又点A、M的坐标分别是 、(.　 ∴ =(∴ =且与AM不共线，∴NE∥AM.又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF.(Ⅱ)　 (Ⅲ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF.
5. 设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，求D到平面ABC的距离.解：∵A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，∴;设平面ABC的法向量=(x，y，z)，则·=0，·=0，∴即令z=－2，则=(3，2，－2)由点到平面的距离公式：==.∴点D到平面ABC的距离为.
4．二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，则CD的长为　　 ．◆答案提示：1.A;　 2. A;　 3.120°; 4. 2[解答题]
3.已知空间三点A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是_________.
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！
请输入姓名
请输入手机号