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10．3二重积分的换元积分法
在一元函数定积分的计算中，我们常常进行换元，以达删繁就简的目的，当然，二重积分也有换元积分的问题。
首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。
设换元函数&，视其为一个由定义域到的映射．点的象点为，点x的象点为，记
则由到点的线段长为，到的线段长为，称为映射在点到点的平均伸缩率。若在点处可导，则
即称是映射在点处的伸缩率。
对于由平面区域到的映射我们有如下结论：
引理&若变换在开区域存在连续偏导数，且雅可比行列式，。变换将平面上开区域变为平面上开区域。，其象点为，则包含点的面积微元及与之相对应的包含点的面积微元之比是，即=
下面给出引理3.1的说明，严格的证明从略。由图3。1所示，在内作以点为顶点的矩形,而变换，将分别变为平面上的四点，矩形变为曲边四边形。而曲边四边形的四个顶点的坐标由泰勒公式表示为：
忽略高阶无穷小与，曲边四边形近似平行四边形，其面积
===其中是矩形的面积。于是
在引理条件下，函数组，在的某邻域具有连续的反函数组
再根据9.1节性质1.2有=于是==
定理3.1&&若函数在有界闭区域连续，函数组将平面上区域一一对应地变换为平面上区域，且该函数组在存在连续的偏导数，，则
证&用任意分法将区域分成个小区域，其面积分别记为；变换，将分法变为上的分法，将分割成个小区域，其面积分别记为，由引理可知，对于，有
于是，在上对应唯一点且，于是
在定理3.2的条件下，变换在有界闭区域上存在连续的反函数组，他们必在上一致连续，所以当时，必有又注意到函数在的连续性，因而他在上可积，于是在中令，有=完成定理3。2的证明。
在二重积分的计算中，若被积函数为的形式，或积分区域为所谓的圆形区域时，通常采用极坐标变换它能使前者化简为一元函数。
后者若为图3.2所示的区域，利用极坐标变换能化为平面上的型区域。则积分==
特别，极点在边界上的扇形区域，即，则积分
极点在区域的内部，边界线是的区域，即则积分
例3.1&&计算
&解&作极坐标变换&将圆域D变换为矩形区域，
&，于是用公式（3.5）得
&例3.2&&计算，D是由
和所围的区域。
解&积分区域如图3.5所示，作极坐标变换，则D化为区域，其边界曲线为=，，于是得
例3．3&其中D是由所围成的平面区域
解&区域D及如图3.6所示，有=-而=4
在极坐标系下，有, 因此=于是=4－．
例3．4&计算，其中D是由曲线所围成的有界区域．
解由于积分区域D可表示为故替换
，则积分区域变为，在极坐标下
例3．5&&&计算
解&由对称性，原积分
其中。作广义极坐标变换：
则变换为矩形区域（图3.7）
例3．6&&&求曲线与所围成区域的面积
解由二重积分的性质可知，区域的面积
则这个变换平面上曲线变为平面
上的曲线、变为，于是它将区域变为
平面上由和所未成的区域（图3.8 ）。且
例3．7&&&计算
解& 作变换：则，将变换为闭圆域，且
例3．8&&计算，是由、、和所围成的区域。
解&作变换：，，则这个变换将变换为平面上的正方形区域（图3.9）。由于
又注意到，于是
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第九章 二重积分
【本章逻辑框架】
【本章学习目标】
⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质
【学习方法导引】
1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”―平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域的分法要任意，二是在每个小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域D上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
若在D上≥0，则表示以区域D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当＝1时，表示平面区域D的面积。
若在D上≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
3 若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积 .
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二重积分学习总结
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高等数学论文《二重积分学习总结》姓名：徐琛豪班级：安全工程02班学号：完成时间：日二重积分【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。1二重积分的概念与性质1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域的分法要任意，二是在每个小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域D上的二重积分存在。2．明确二重积分的几何意义。(1)若在D上≥0，则表示以区域D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当＝1时，表示平面区域D的面积。(2)若在D上≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割用任意两组曲线分割D成n个小区域同时用表示它们的面积，其中任意两小块和除边界外无公共点。既表示第i小块,又表示第i小块的面积.近似、求和对任意点,作和式取极限若为的直径，记,若极限存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，为面积微元(或面积元素).2.二重积分的几何意义(1)若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质3若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则性质4若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有推论性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点,使【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。2在直角坐标系中二重积分的计算本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似或的形式来表示，则我们可以将D分成若干块，并由积分性质对右端各式进行计算。(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数的特点。如果按
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第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。9.1二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域的分法要任意，二是在每个小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域D上的二重积分存在。2．明确二重积分的几何意义。(1)若在D上≥0，则表示以区域D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当＝1时，表示平面区域D的面积。(2)若在D上≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割用任意两组曲线分割D成n个小区域同时用表示它们的面积，其中任意两小块和除边界外无公共点。既表示第i小块,又表示第i小块的面积.近似、求和对任意点,作和式取极限若为的直径，记,若极限存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，为面积微元(或面积元素).2.二重积分的几何意义(1)若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质3若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则性质4若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有推论性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点,使【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1．，其中2．设D是由轴，轴与直线所围成的区域，则的大小关系是.【巩固拓展提高】1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有，试证明在D内恒有f(x,y)＝02．估计的值，其中3．设f(x,y)是有界闭区域D：上的连续函数，则的值为多少？【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。9.2在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y
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