导读：?r(A)=n?A的列（行）向量线性无关?，A=0??A的列（行）向量线性相关，②e1,e2,???,en线性无关，⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.，①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子，同列的n个元素的乘积的代数和），Aij为A中各个元素的代数余子式.??，Ax=ci的解?A(β1,β2,???,βs)=(Aβ1,Aβ2
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确
?A的列（行）向量线性无关
?A的特征值全不为0
??Ax=ο只有零解 ? ?x≠ο，Ax≠ο
??β∈R,Ax=β总有唯一解
?ATA是正定矩阵
???存在n阶矩阵B,使得AB=E 或 AB=E
注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○
A=0??A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值
???Ax=ο有非零解,其基础解系即为A关于λ=0的特征向量?r(aE+bA)&n
注 aE+bA=ο??(aE+bA)x=ο有非零解 ○
向量组等价?
矩阵等价(?)?具有
→反身性、对称性、传递性 ????
矩阵相似( )?矩阵合同( )??
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en=1； ④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
a12 a1na22 a2n
∑(-1)τ(j1j2 jn)a1j1a2j2 anjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
（拉普拉斯展开式）
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
n(n-1)a1na2n an1 （即：所有取自不同行不
同列的n个元素的乘积的代数和）
⑤范德蒙德行列式：x12
=∏(xi-xj)
n-1n-1x2 xn
a21 由m?n个数排成的m行n列的表A=
?A11 A12 =
A21 A22 A2n
a12a22 am2
称为m?n矩阵.记作：A=(aij)或Am?n
，Aij为A中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
主 换位?ab?1?d-b?A
注： =① A-1=
ad-bc?-ca?A副 变号?cd?
初等行变换
②(A E)????→(E A-1)
(Am)n=(A)mn
√ 方阵的幂的性质：AA=A
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为α1,α2,???,αn,B的列向量为β1,β2,???,βs，
?b11b12 b1s? ?bb b21222s?=(c,c, ,c)?Aβ=c ，(i=1,2, ,s)?β为?(α1,α2,???,αn) 12siii
? ?bb bns??n1n2
Ax=ci的解?A(β1,β2,???,βs)=(Aβ1,Aβ2,???,Aβs)=(c1,c2, ,cs)?c1,c2, ,cs可由α1,α2,???,αn线性表
示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.
a12a22 an2
a1n??β1??c1??a11β1+a12β2+ +a1nβ2=c1
??? ??aβ+aβ+ +aβ=c a2n??β2? c2??
???? ?? amn??βn??cm??am1β1+am2β2+ +amnβ2=cm
√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵： ?= T
分块矩阵的逆矩阵： ?=
?A-1?AC? ?= OB???O
?A-1A-1CB-1?O??AO?=
CBB?B????-BCA
分块对角阵相乘：A=
???B11,B=? A22????A11B11
?n?A11?,A= A22B22???
分块对角阵的伴随矩阵： ?=
? AB*??BA??
(-1)mnAB*?
√ 矩阵方程的解法(A≠0)：设法化成(I)AX=B
(I)的解法：构造(A B)????→(E X)
初等行变换
(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT=BT，
用(I)的方法求出X，再转置得X
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
（向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
（向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组α1,α2,???,αn中任一向量αi(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组α1,α2,???,αn线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示. 向量组α1,α2,???,αn线性无关?向量组中每一个向量αi都不能由其余n-1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组α1,α2,???,αn线性相关?r(A)&n；
m维列向量组α1,α2,???,αn线性无关?r(A)=n.
⑨ 若α1,α2,???,αn线性无关，而α1,α2,???,αn,β线性相关,则β可由α1,α2,???,αn线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为
1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
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为了使得楼主看的清楚些,不惜大段笔墨解释,别嫌啰嗦,其实熟悉后,就是简单的想一下而已.四阶以上（含四阶）行列式计算展开不再适用对角线法和沙路法,对于本题,应从n阶行列式的严格定义出发分析,以下是知识回顾,可跳过[[n阶行列式展开后为n!项乘积的代数和,每项乘积为行列式不同行不同列n个元素之积,该乘积的正负号由其各因子（就是那n个不同行列的行列式元素）列标的排列的逆序数决定.前提是因子按照行标标准顺序（从小到大自然数顺序）排列.]]注意F(x)中含x^3项必然是4!=24项中某一项或某几项的代数和看看符合什么条件,才能出现含x^3项,含x^3项中,从第四行取一个元素,如果选取的不是a44=x,比如是a43=2,那么与这个2同行行列的a44、a33这两个x都不能进入此项了（始终注意因子来自不同行不同列）第一行虽然有两个x,但是同一行中只能选取一个x进入一个乘积,所以选取了a43=2,行列式5个x元素中最多只能挑到2个,凑不够x^3所以 ,第四行只能取a44=x,同理第三行取a33=x,（1）此时,已有x^2了,还差一个x,如果第二行取a22=x,那么第一行必须取a11=x,该项为x^4,嗯哦,冒泡了.再回头看第二行的取法（2）因为第三四列已取了（a44、a33）,刚才从第二列取(a22)也不行,就看a21=1,取了它,第一行就只能取a12=x,这样恰好能凑够x^3,系数为1?先别急,刚才只分析了此项（再没有其他含x^3的项了）的绝对值,符号呢?行标排列为1234,列标排为2134,其逆序数为1,奇数,从而符号为(-1)^1=-1最后结果系数为-1
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如果C正确,不妨设A的秩为n,B的秩小于n,那么A可逆,AB=0两边左乘A的逆,得B=0；与B非零矛盾.另一种情况也一样.
证明:D1 = 2a假设 n 再问： 第二种看的不是很懂呢.老师可说详细点不?我是14年考研学生 再答： 因为递归关系不仅涉及Dn-1, 还涉及Dn-2 所以,归纳假设时 不是设n=k-1成立推出Dk成立 而是要设 n
考虑(A+B)/2与（A-B）/2,其中B是A的转置前一个就是对称矩阵,后一个是反对称矩阵.加起来是A你做做看
因为BA=E所以r(BA)=r(E)=n又因为r(BA)=n也就是说,r(A)>=n,r(B)>=n既然r(A)>=n,而A的列向量有n个,显然A的列向量是无关的.
（1）r(A)=n,则方程组Ax=0只有零解.由AB=0知B的列向量都是Ax=0的解,所以B的列向量都是零向量,所以B=0（2）由AB=A得A(B-I)=0,由（1）得B=0,所以B=I
定理若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的行列式相等;首先算左边矩阵的特征值,一共有三个,其中两个为0,一个为3,也符合左边矩阵秩为1的性质.那么右边矩阵也应该是秩为1,既然a不等于0,那么a肯定是3,因为b和c必须是0
初等矩阵的记法不统一, 所以看不同参考书时注意它们的记法就可以了考研题用到初等矩阵时, 并不用这些记号 再问： 谢谢你，但是我还是想搞清楚默认的是哪种记法 再答： 记法不统一 没有默认的记法 你看看11年的考研题, 它给出的是具体的矩阵, 并不用这类记号
这个比较麻烦构造一个辅助行列式 D倒数第2行 插入 x1 到 xn 的 n-1 次幂最后加入一列 1,y,y^2,...,y^n则D是范德蒙行列式 结论你知所求行列式 是 D 中元素 y^n-1 余子式比较上结论中 y^n-1 的系数即得 Dn 再问： 倒数第2行 插入 x1 到 xn 的 n-1 次幂最后加入一列 1
有个定理是,如果向量组I可以由向量组II线性表示,那么向量组I的秩≤向量组II的秩.或者说,一个向量组的部分组的秩≤整个向量组的秩. 再问： 请问如何记忆线性代数的证明题，你有什么学习方法么？？？？ 再答： 线性代数的一个特点是各个概念之间的关系很大，一个题目有很多种方法，比如一个向量组a1,a2,...,ak的线性相
第一步(-1)^n错了,只要交换[n/2]次后面b和d对应的三角形形状反了,这个会影响结果!如果你把后n列做相应的列交换,转化到图片里的形状,那么(-1)^k形式的项就消掉了最后那张图里Laplace展开的时候符号项漏了就这些错这么简单的题居然能搞成这么复杂,你应该先把答案里的思想学会 再问： 谢谢指导！！不过我这种做
Ax=0 有非零解 A的列向量组线性相关你给的那个方程组的的系数矩阵 A 是以 αi 为行向量构成的所以 r(A) = r < n所以 Ax=0 有非零解.另:β是齐次线性方程组Ax=0 的解的充要条件是 β 与A的行向量正交所以 β 与 αi 正交故向量组线性无关.
这题可把两个问题合并一起处理对 (a1,a2,a3,b1,b2) 用初等行变换化为行最简形一方面,可得左边A的秩,r(A)=3 (非零行数) 则说明 a1,a2,a3 是基另一方面可得b1,b2的坐标
1逐行相减,得第一行（--x x 0 00000）,第二行(0 -x x 00 0000).末行)(a1 a2 a3 an)_对末行展开得(a1+a2+.an)(-x)n-1次方.2XA=B XAA-1=BA-1 X=BA-1 即B乘以A的逆矩阵.3(1 -2 3 -1)一(3 -1 5 -3)二(5 0 7 -5)三
AB=AA(B-E)=0r(A)+r(B-E)≤n又因为r(A)=n所以r(B-E)
1.已知实矩阵A=（aij）3*3满足条件aij=Aij（i,j=1,2,3）,其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.由已知得：A^T=A*AA^T=AA*=|A|E|AA^T|=|A|^3|A|^2=|A|^3由a11≠0,|A|≠0,所以|A|=12.设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵
A(BC)=E => (BC)A=E 再问： 请问是不是只要是相乘等于E的都可以互换顺序 再答： 这一题基于MN=E，则=>NM=E,其他的选项不符合，如A选项：上面 => (BC)A=E ，但， (BC)不一定=(CB) ,,(BC)A也不一定=(CB)A 再答： 对于两个矩阵可以互换，三个或以上不能互换， A(BC
对角阵只有主对角线上元素不为0,你把单位阵行交换了怎么还能是对角阵.
a,b,c线性相关&#8660;k1a+k2b+k3c=0必有非0解下面用反证法证k1≠0,k2≠0若k1=0,则a=-k2/k1b-k3/k1c,即a是b,c的线性组合,与已知矛盾,所以k1≠0同理,k2≠0所以,必有k3=0,即c=-k1/k3a-k2/k3b,c一定是a,b的线性组合概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ?A可逆
?A的列（行）向量线性无关
??A的特征值全不为0
??Ax=ο只有零解
?x≠ο，Ax≠ο
n??β∈R,Ax=β总有唯一解
?ATA是正定矩阵
p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB=E 或 AB=E
注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○n
??A=0?A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值
???Ax=ο有非零解,其基础解系即为A关于λ=0的特征向量
?r(aE+bA)&n
?注 aE+bA=ο?(aE+bA)x=ο有非零解 ○
向量组等价??矩阵等价(?)?具有→反身性、对称性、传递性 ?---矩阵相似( )?
矩阵合同( )??
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量p教材87；
②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en=1；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. nn
a12 a1na22 a2n
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√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
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③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
n(n-1)a1na2n an1 （即：所有取自不同行不
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⑤范德蒙德行列式：x12
=∏(xi-xj)
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?A11 A12 =
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a12a22 am2
称为m?n矩阵.记作：A=(aij)或Am?n
，Aij为A中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
主 换位?ab?1?d-b?A
注： =① A-1=
ad-bc?-ca?A副 变号?cd?
初等行变换
②(A E)----→(E A-1)
(Am)n=(A)mn
√ 方阵的幂的性质：AA=A
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为α1,α2,???,αn,B的列向量为β1,β2,???,βs，
?b11b12 b1s? ?bb b21222s?=(c,c, ,c)Aβ=c ，(i=1,2, ,s)β为(α1,α2,???,αn) 12siii
? ?bb bns??n1n2
Ax=ci的解A(β1,β2,???,βs)=(Aβ1,Aβ2,???,Aβs)=(c1,c2, ,cs)c1,c2, ,cs可由α1,α2,???,αn线性表
示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.
a12a22 an2
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???? ?? amn??βn??cm??am1β1+am2β2+ +amnβ2=cm
√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵： ?= T
分块矩阵的逆矩阵： ?=
?A-1?AC? ?= OB???O
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???B11,B=? A22????A11B11
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