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求助一道三重积分的题
开国大老, 积分 13069, 距离下一级还需 2931 积分
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♂东方不败♀
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不客气，不过我突然感觉2楼的兄台说的很有道理，而且楼主画的图也给我很大的启示，还望楼主别介意我对一 ...
真是太好学了，还在纠结这道题，数三又不考。
时而是疯狂的容嬷嬷，
时而是高冷的桂嬷嬷；
曾经是大明湖畔的夏雨荷，
现在是未名湖畔的夏士莲。
中级战友, 积分 533, 距离下一级还需 2467 积分
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jackson23sun 发表于
不客气，不过我突然感觉2楼的兄台说的很有道理，而且楼主画的图也给我很大的启示，还望楼主别介意我对一 ...
大师和楼主难道不是一个意思？楼主的做法是取曲面投影dxdy对应的ds作微元，您是取曲面上的圆环作微元，归根结底，错误的做法算出的是曲面积分，不是二重积分。
开国大老, 积分 8942, 距离下一级还需 7058 积分
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删繁就简啊 发表于
大师和楼主难道不是一个意思？楼主的做法是取曲面投影dxdy对应的ds作微元，您是取曲面上的圆环作微元，归 ...
多谢兄台一语道破，非常感谢！PS:你们都学到这么晚啊，实在佩服…
开国大老, 积分 8942, 距离下一级还需 7058 积分
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容桂双嬷 发表于
真是太好学了，还在纠结这道题，数三又不考。
没办法，说了有喜欢钻牛角尖的坏毛病，还望不要介意-_-#
一般战友, 积分 250, 距离下一级还需 250 积分
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jackson23sun 发表于
不客气，不过我突然感觉2楼的兄台说的很有道理，而且楼主画的图也给我很大的启示，还望楼主别介意我对一 ...
嘿嘿，我理解你说的意思了，应该是你说的意思，谢谢你*^_^*感觉把一个问题弄懂才是关键，只要会了，就是不钻牛角尖
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删繁就简啊 发表于
大师和楼主难道不是一个意思？楼主的做法是取曲面投影dxdy对应的ds作微元，您是取曲面上的圆环作微元，归 ...
(⊙o⊙)…越来越高深了，我只要记住，二重积分不能带边界就好了！！！
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删繁就简啊 发表于
大师和楼主难道不是一个意思？楼主的做法是取曲面投影dxdy对应的ds作微元，您是取曲面上的圆环作微元，归 ...
是不是，积分号里面的是一个函数，而x2+y2+z2=4是对x,y的范围做一个限定，这个函数是另一种定义，如图
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jackson23sun 发表于
没办法，说了有喜欢钻牛角尖的坏毛病，还望不要介意-_-#
不知道你能不能看到，想求助一道高数题*^_^*
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高数 三重积分的计算【PPT】
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高数 三重积分的计算【PPT】
官方公共微信第三节三重积分；教学目的和要求：；1．了解三重积分的概念和性质；2．会在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算较简单；重点：；三重积分的计算方法；难点：；积分区域的图形及积分限的确定；主要知识点：；一．三重积分的概念；1．三重积分的定义；2．三重积分的存在性；3．三重积分物理定义（与二重积分相区别）；4．三重积分的性质；二．三重积分的计算方法；1．直角坐标下：；
第三节 三重积分
教学目的和要求：
1．了解三重积分的概念和性质。
2．会在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算较简单的三重积分。
三重积分的计算方法。
积分区域的图形及积分限的确定。
主要知识点：
一． 三重积分的概念
1． 三重积分的定义
2． 三重积分的存在性
3． 三重积分物理定义（与二重积分相区别）
4． 三重积分的性质
二． 三重积分的计算方法
1． 直角坐标下：
1）对积分域的要求。
2）可以看作是“先二后一”的积分，也可化为三次积分。
3）直角坐标适合的类型：积分域为在某坐标面投影为三角形，矩形等带“棱”、“角”的图形，被积函数的特点为一般不带高次的项或高次项的平方和。
4） 积分限的确定方法：
第一步：先往某坐标面投影（如xoy面），得一平面图形，按二重积分的积分限的
方法确定x和y。
第二步：在区域内沿z轴方向穿线，穿入的为下限，穿出的为上限；或从边界面方
程中去解z，小的放下限，大的放上限。
5） 可利用对称性和奇偶性。比如，若积分区域关于xoy面对称，被积函数关于z的奇
函数，则积分值为0，其它两种情况同理。
2、利用柱面坐标计算三重积分
1）柱面坐标的特点：
I．可以看成平面上的极坐标又加上一个z轴，可按此定积分限。
II．规定r,?,z的范围
2）利用柱面坐标适合的类型
I．积分本身为圆柱域，或投影域为圆域或圆域的一部分。
2222II．被积函数有形如fx?y，或含x?y的因子。 ??
3）柱面坐标计算时应注意的问题 I．关键是变量z积分限的定法。 II．被积表达式中dv要换成rdrd?dz。r不要丢掉
3、利用球面坐标计算三重积分
1）球坐标变换公式及r,?,?的含义和范围。
2）球坐标适合的类型：
I．积分域为球域或部分球域。
．被积函数有f的形式。 3）球坐标计算应注意的问题：
I．此处的r与柱坐标中的r不同。但?是一样的。
II．计算时dv要换成r2sin?d?d?dr，r2sin?不要丢掉。
三、典型例题分析：
例1：化三重积分I?
II． ???f?x,y,z?dxdydz为三次积分，其中?分别为： ?由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域。 由曲面z?x2?y2,y?x2,y?1,z?0所围空间闭区域。
解：1）由于立体图不易画出，故采用投影法。在xoy面的投影域为：?
消掉z2?z?2?x
得：x2?y2?1。所以?1?x?1,??x2?y??x2，取投影域内x?0,y?0，则易看出z?2?x的值大，故 2
I????f?x,y,z?dxdydz=??1dx???11?x21?x2dy?22?x2x?2y2f(x,y,z)dz
222 0?x?1,x?y?1,0?z?x?y，故 2）在xoy面的投影域为由x?0,
1y?1 所围成，则 I????f?x,y,z?dxdydz=?dx?2dy?
?0x1x2?y20f(x,y,z)dz
注：此题重在强调在空间区域不直观，不易画出时，积分限的确定方法。
例2：计算I?22222?，其中是由球面所围成的空间闭区域。 x?y?z?kzdxdydz????
解：此题具备“先二后一”的特征，所以用“先二后一”的方法。
I????zdxdydz=?zdz??dxdy??z2?(k2?z2)dz?
??kDz?k2k2k45?k 15
注：1）说明什么样的题型是“先二后一”好。
2）“先二后一”法计算时应注意些什么问题。
3）若?改为椭球面2?2?2?1所围成的空间区域又如何呢？ abc
4）若要求???zdxdydz或???(xcosy?z)dxdydz又如何呢？
例1：设I?????f?x,y,z?dv，f为连续函数，?由x2?y2?z2?4R2与
2x2?y2??z?2R??4R2所确定，试将I化为柱坐标下的三次积分。
注：1）投影域的求法。
2）z积分限的确定。
22222?，其中是球面与抛物面x?y?z?4x?y?3z所围立体。 zdv???例3：计算I?
解：方法一：可采用“先二后一”法，此时注意要分区域为两部分（思考为什么要分）
方法二：采用柱面坐标：在xoy面投影域为：消z，得x2?y2?3，故
?z?4?r2，所以
0???2?,0?r?3，3
2?34?r217?
I????zdv=?d??rdrr2zdz?00243?
注：1）投影域的解法。也可根据积分区域图形。
2）z积分限的确定。
3）若?改为由z?
例4：计算I?所围成的立体时又如何？ ????x
?2?y2?dxdydz，其中?试锥面x2?y2?z2与平面z?a?a?0?所围成立
解：此积分域图形易画出。
方法一：采用球面坐标：在xoy面投影域为：消z，得x2?y2?a2，故0???2?, 0????
2,0?r?2a，所以 cos?2?I?????x?y?dxdydz=?0d??04sin?d????acos?0rrsin?dr?222?a510
注：1）用球坐标好。（分析用柱面坐标也可，麻烦在何处。）
2）此题关键是r的范围确定。
3）具体计算时的技巧和注意的问题。
思考题：求曲面x?y?z?
2a与z?2222
注：1）用三重、二重积分求体积时的不同之处。
2）此题用三重积分求时，积分限的确定问题。
3）比较用两种方法求的难易之处。
四、练习题
2、 计算?，其中?为球体x2?y2?(z?1)2?1 ?
z?，其中由球体和 (x?z)dv????
设I??dx?1121f(x,y,z)dz，试将其化为柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并求当f(x,y,z)?x?y时的值。
4、 计算2???(x?y?z)dv，其中?由平面x?y?z?1和三个坐标面所围成的区域。
5、 设f(x)在区间 [0,??)上连续， F(t)?222?z?f(x?y)??????dxdydz，其中
Vt:0?t?h,x2?y2?t2,求limt?0F(t) t2
五、练习题答案
?02?0d??rdr?f(rcos?,rsin?,z)z， 0?r10r11?2?d??4sin?d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2dr ? 101 8?3h2??hf(0)
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