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网上有害信息举报专区： |你正在使用的浏览器版本过低，将不能正常浏览和使用知乎。《一阶线性微分方程》_优秀范文十篇
范文一：第三节
一阶线性微分方程内容要点：一、一阶线性微分方程形如dydx?P(x)y?Q(x)
(3.1)的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数P(x)、Q(x)是某一区间I上的连续函数. 当Q(x)?0,方程(3.1)成为dydx?P(x)y?0
(3.2)这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解y?Ce??P(x)dx.
(3.3)其中C为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C变易为待定函数u(x)，并设一阶非齐次方程通解为y?u(x)e??P(x)dx,一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为y???Q(x)edydx?P(x)dxdx?Ce???P(x)dx
二、 伯努利方程：形如 ?P(x)y?Q(x)y
(3.7) n的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n?0,1.伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以y，得y?nndydx?P(x)y1?n?Q(x),1?n或于是，令z?y11?n1?n?(y1?n)??P(x)y?Q(x), ，就得到关于变量z的一阶线性方程dzdx?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x).利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解y1?n?(1?n)P(x)dx??(1?n)P(x)dxdx?C??e???Q(x)(1?n)e?.??例题选讲：一阶线性微分方程例1（讲义例1）求方程y??例2（讲义例2）求方程dydx?1xy?2yx?1sinxx的通解. 5/2?(x?1)的通解.例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.xlnxdy?(y?lnx)dx?0,
y例4 求解方程 dydx?yd?dx??(x)d?dxx?e?1. , ?(x)是x的已知函数.例5（讲义例3）求方程y3dx?(2xy2?1)dy?0的通解.例6
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线y?f(x)与y?x3(x?0)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线f(x).例7
求dydx?4xy?x2y的通解.伯努利方程例8（讲义例4）求方程dydxdydx?yx?(alnx)y的通解. 322例9（讲义例5） 求方程?x(y?x)?x(y?x)?1的通解.yx例10（讲义例6）求解微分方程课堂练习1. 求微分方程dydx?cosydydx?1xsin(xy)2?.cosysin2y?xsiny的通解.2. 设函数f(x)可微且满足关系式?[2f(t)?1]dt0x?f(x)?1,求f(x).雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。日生于瑞士巴塞尔；日卒于巴塞尔。雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人们高度评价的重力理论。回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于科技问题的文章，并且也继续研究数学著作。1687年，雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分方法”。1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。1685年出版了他最早的关于概率论的文章。由于受到活利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学。在这同时，他的弟弟约翰.伯努利一直跟其学习数学。1687年雅格布成为巴塞尔科学院的国外院士，直到1705年去世。在这段时间里，他一直与莱布尼兹保持着通信联系。1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701年被柏林科学协会（即后来的柏林科学院）接受为会员雅各布.伯努利是在17-18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家庭的重要成员之一，他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域。
范文二：第四节第六章一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程一、一阶线性微分方程dy + P( x) y = Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) ≡ 0, 称为齐次方程 ;若 Q(x) ≡ 0, 称为非齐次方程 . dy 未知函数与未知 + P( x) y = 0 1. 解齐次方程 dx 函数的导数都是 dy 一次 = - P ( x ) d x 分离变量 y 两边积分得 故通解为ln y = - ∫ P( x)d x + ln Cy = C e - ∫ P ( x )d xdy + P( x) y = Q( x) 2. 解非齐次方程 dx - ∫ P( x) d x , 用常数变易法: 设 y ( x) = u ( x) e+ P( x) u e - P( x) u e du P( x) d x ∫ = Q( x) e 即 dx - ∫ P ( x )d x yd = 对应齐次方程通解 P( x) x Ce ∫ 两端积分得 u = Q ( x) e dx + C则u′ e- ∫ P( x) d x- ∫ P( x) d x-∫ P( x) d x= Q( x)∫P( x) d x ∫ ? = + y e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 ? ?∫ ? ? - ∫ P( x) d x P( x) d x ∫ -∫ P( x) d x +e dx y = Ce ∫ Q( x) e 即-∫ P( x) d x ?齐次方程通解非齐次方程特解dy - x2 例1. 解方程 + 2 xy = 2 xe . dx dy + P ( x ) y = Q( x ) 解：套用公式 dx通解 y = e ∫∫ 则 y=ey=e y=e- P( x)d x? Q( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ? ∫ ? ? ? ?- 2xd x- x2- x2[∫ 2 xe ? e d x + C ] [∫ 2 x d x + C ] = e ( x- x2 x2 - x2? 2 xe - x 2 e ∫ 2 x d x d x + C ? ∫ ? ? ? ?2+ C)二、伯努利 ( Bernoulli )方程伯努利方程的标准形式: dy α + P ( x ) y = Q( x ) y ( α ≠ 0 , 1 ) dx y -α d y α 解法: 同除 y ，得 + P ( x ) y1-α = Q ( x ) dx 1- a 1 dy 1 -α 1-α z = y , ? + P ( x ) y = Q ( x ), 令 1-α dxdz + (1 - α ) P ( x ) z = (1 - α ) Q ( x ) dx(一阶线性方程)求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.dy y 2 + = a ( ln x ) y 的通解. 例2. 求方程 d x x解: 方程变形为d y -1 y -1 - + = a ( ln x ). dx x y -2 d y y -1 + = a ( ln x ). dx x-1dz z 令 z = y , 则 - = - a ln x dx x其通解为z=e∫1 dx x [∫ (-a ln x) e]-∫1 dx x dx + C]a = x [ C - ( ln x) 2 2-1 将 z = y 代入, 得原方程通解: y x [ C - a ( ln x) 2 ] = 1 2dy 1 例3. 解方程 = dx x cos y + sin 2 y dx = x cos y + sin 2 y. 解: 原方程可变为 dy dx 即 - （ cos y ) x = sin 2 y. （一阶线性非齐次） dy ? ∫ cos ydy ? ∫ -cos ydy 通解为 x = e dy + C ? . ? ∫ sin 2 y ? e ? ? x = e sin y ? ∫ 2 cos y ? sin y ? e -sin y dy + C ? . ? ? ? ? sin y ? - sin y x=e 2 ∫ sin y ? e d sin y + C ? . ? ? ? ? x = e sin y - 2 sin ye - sin y - 2e - sin y + C = Ce sin y - 2 sin y - 2.()内容小结dy 1. 一阶线性方程 + P( x) y = Q( x) dx 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式- ∫ P ( x )d xy=e[∫P ( x )d x ∫ Q( x) e dx + C ]dy α + P ( x ) y = Q ( x ) y , (α ≠ 0, 1 ) 2. 伯努利方程 dx令 u = y1-α , 化为线性方程求解.思考与练习判别下列方程类型: dy dy (1) x + y = x y dx dx dy (2) x = y (ln y - ln x) dx 提示: 可分离 y -1 dx dy = 变量方程 y x dy y y 齐次方程 = ln dx x x x 2 线性方程 dy 1 - y=- dx 2 x 2 2 y 线性方程 dx 1 - x=- dy 2 y 2dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x(3) ( y - x 3 ) dx - 2 x d y = 0 (4) 2 y dx + ( y 3 - x) d y = 0 (5) ( y ln x - 2) y dx = x d y备用题1. 求一连续可导函数 f ( x) 使其满足下列方程:f ( x) = sin x - ∫ f ( x - t )d t0x令 u = x-t提示: f ( x) = sin x - ∫ f (u )d u0x则有f ′( x) + f ( x) = cos x f ( 0) = 0利用公式可求出1 -x f ( x) = (cos x + sin x - e ) 2例. 设有微分方程 y ′ + y = f ( x) , 其中2 , 0 ≤ x ≤1 f ( x) = 0 , x >1 试求此方程满足初始条件 y x = 0 = 0 的连续解. y ′ + y = 2, 0 ≤ x ≤ 1 解: 1) 先解定解问题 y x=0 = 0 利用通解公式, 得 dx - dx y = e ∫ ( 2e ∫ d x + C )-x = 2 + C e = e ( 2 e + C1 ) 1 -x x∫1利用 y 故有x=0= 0 得 C1 = -2y = 2 - 2e - x (0 ≤ x ≤ 1)2) 再解定解问题y′ + y = 0 , x > 1 y-1 = y ( 1 ) = 2 - 2 e x =1此齐次线性方程的通解为 y = C2 e - x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e - 1) -x y = 2(e - 1) e ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为-x 2 ( 1 - e ), 0 ≤ x ≤ 1 y=? ? ? 2(e - 1) e - x , x ≥ 15 d y 2y - = ( x + 1) 2 . 例. 解方程 dx x + 1 d y 2d x d y 2y = - =0, 即 解: 先解 y x +1 dx x + 1 积分得 ln y = 2 ln x + 1 + ln C , 即 y = C ( x + 1) 2 2 ( ) ( 1 ) ,则 y = u x ? x + 用常数变易法求特解. 令 2 ′ ′ y = u ? ( x + 1) + 2 u ? ( x + 1)1u ′ = ( x + 1) 2 3 2 u = ( x + 1) 2 + C 解得 3 3 2? 2 ? 故原方程通解为 y = ( x + 1) ? ( x + 1) 2 + C ? ? ?3代入非齐次方程得x ? dx 2 ? - 3 d y = 0 的通解 . + 例. 求方程 xy ? ? ? y y ? dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x > 0 时, = 2 d x , 故方程可 x d x x 2 变形为 2 - =- 这是以 x 为因变量, y为 dy y y 自变量的一阶线性方程 由一阶线性方程通解公式 , 得 1 dy dy P( y ) = - - ∫ 2y ∫ 2y 2y 1 [∫ - e d x + ln C ] x=e 1 y Q( y ) = - y C 1 1 ? d y + ln C ] = y ln = y [- ∫ y y y所求通解为yexy= C (C ≠ 0)其中电源 电动势为 E = Em sin ω t , 电阻 R 和电 感 L 都是常量, 求电流 i (t ) . 解: 列方程 . 由回路电压定律:例. 有一电路如图所示,R LE ~K在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i di 经过 L的电压降为 L dt di Em sin ω t di R 因此有 E - L - R i = 0 , 即 + i= dt L dt L 初始条件: i t = 0 = 0Em sin ω t di R + i= L dt L i t= 0 = 0解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得-∫ R dt L ?R L E~Ki (t ) = eEm sin ω t ∫ ? L ?R∫ L dt edt +C ? ? ?-Em = 2 ( R sin ω t - ω L cos ω t ) + C e 2 2 R +ω L -∫ P( x) d x ? P ( x ) d x ω LE m ∫ ? C = 得 由初始条件 0 + y = e : i t =0 = Q ( x ) e d x C 2 2? 2 ? ?∫ ? R +ω LR t L因此所求电流函数为R L E~ω LEm i (t ) = 2 R + ω 2 L2R - t e LKEm + 2 ( R sin ω t - ω L cos ω t ) 2 2 R +ω L ωL ,则 解的意义: 令 ? = arctan Rω LEm e i (t ) = 2 R + ω 2 L2暂态电流-R t L +Em R +ω L2 2 2sin(ω t - ? )稳态电流
范文三：第5章 电容和电感讲授
板书1、掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法 2、掌握利用变量代换解微分方程的方法；一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程2.
5分钟一阶电路1. 组织教学
5分钟 3. 讲授新课
70分钟4. 巩固新课
5分钟 5. 布置作业
5分钟一、学时：2二、班级：06电气工程（本）/06数控技术（本） 三、教学内容：[讲授新课]：5.3 一阶线性方程dy1、定义
方程dx?P(x)y?Q(x)（1）称为一阶线性微分方程。特点 关于未知函数y及其导数y'是一次的。若Q(x)?0，称1）为齐次的；
若Q(x)?0，称1）为非齐次的。 52如：（1）y'?2xy?2xe?x（2）y'2yx?1?(x?22、解法当Q(x)?0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当Q(x)?0时，为求其解首先把Q(x)换为0，即 dydx?P(x)y?0
称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解y?Ce??P(x)dx?P(x)dx为求（1）的解，利用常数变易法，用u(x)代替C，即y?u(x)e?于是，dydx?u'e??P(x)dx?ue??P(x)dx[?P(x)]代入（1），得u??Q(x)e?P(x)dxdx?C故
y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)。3、例1
求方程2）3）
（（52yy'?(x?2x?1
（4）的通解.解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。dydx2yx?1?0，dyy?2dxx?1， lny?2ln(x?1)?lnC，y?C(x?1)2用常数变易法。把C换成u(x)，即令y?u(x?1)2，dy则有
dx?u'(x?1)2?2u(x?1)，代入（1）式中得1u'?(x?1)2，3两端积分，得
u23(x?12?C。再代入（4）式即得所求方程通解y?(x?1)2233(x?2?C]。方法二、
我们可以直接应用（3）式y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)得到方程的通解，其中，P(x)?25x?1，
Q(x)?(x?12 代入积分同样可得方程通解y?(x?1)22323(x??C]，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。5）（四、预习内容
全响应 五、作业
范文四：第七章一阶线性偏微分方程如果微分方程中的未知函数的自变量不止一个，那么就称其为偏微分方程。在许多领域的研究中，我们需要用偏微分方程来描述或者刻画某些现象或者状态的演变过程。7.11.一阶偏微分方程基本概念?u?u?u由未知函数u(x1,x2,···,xn)(n≥2)及其一阶偏导数构成的关系式,,···,n12???u?u?uFx1,x2,···,u,,,···,=0(7.1)?x1?x2?xn称为一阶偏微分方程。2.一阶线性偏微分方程?u?u?u是线性的（一次的），若F关于u,,,···,n12a0(x1,x2,···,xn)u+则称其为一阶线性偏微分方程。n?i=1ai(x1,x2,···,xn)?u=f(x1,x2,···,xn)?xi(7.2)3.一阶线性齐次偏微分方程若上式中的f(x1,x2,···,xn)≡0，即a0(x1,x2,···,xn)u+则称其为一阶线性齐次偏微分方程。4.非线性偏微分方程不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。5.拟线性偏微分方程若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程n?j=1n?i=1ai(x1,x2,···,xn)?u=0?xi(7.3)bj(x1,···,xn)?z=Z(x1,x2,···,z)?xj12其中函数ai,f,bj,Z是相应变元的已知函数。6.偏微分方程的解第七章一阶线性偏微分方程如果把空间{x1,x2,···,xn}内的某一区域D内有定义的连续可微函数u=?(x1,x2,···,xn)代入方程(7.1)中得到恒等式????????,,···,≡0Fx1,x2,···,?,?x1?x2?xn则称u=?(x1,x2,···,xn)是偏微分方程(7.1)的一个解，而D是该解的定义域。偏微分方程解的几何意义对于一阶偏微分方程(7.1)，当n=2时，其一般形式可以写为F???z?zx,y,z,,?x?y=0(7.4)若z=?(x,y),(x,y)∈D是它的解，那么我们称三维空间(x,y,z)中的曲面z=?(x,y)为方程(7.4)的积分曲面。更一般的，对于方程(7.1)的解u=?(x1,x2,···,xn)可以抽象地看成n+1维空间{x1,x2,···,xn,u}内的一张曲面，因此也称为偏微分方程(7.1)的积分曲面。7.27.2.1首次积分一阶线性偏微分方程的求解定义7.1含有n个未知函数的一阶常微分方程组?dy1??=f1(x,y1,y2,···,yn),???dx???????dy2????dx=f2(x,y1,y2,···,yn),?????······?????????dyn??=fn(x,y1,y2,···,yn).dx(7.5)如果存在不恒为零的连续可微函数?(x,y1,y2,···,yn)，使得方程组(7.5)（在某个区域G内）的任一解都满足：d?(x,y1(x),y2(x),···,yn(x))=0则关系式?(x,y1(x),y2(x),···,yn(x))=c称为方程组(7.5)的一个首次积分。有时也称?为方程组(7.5)的一个首次积分。(7.6)7.2一阶线性偏微分方程的求解3方程组(7.5)的n个首次积分?j(x,y1,y2,···,yn)=cj(j=1,2,···,n)称为是彼此独立的，如果Jacobi行列式????1?1???1?(?1,?2,···,?n)?2=??···?(y1,y2,···,yn)?????1?yn??21??22??2?yn·········?······??????···?????n???n1??n2?yn(7.7)在G内恒不为0。我们也可以用Jacobi矩阵?????12????···???1n?y1??1?y2?y1??2?y2???·········????2??n···nn······??n?y1??n?y2的秩为n来定义?j(j=1,2,···,n)的独立性。7.2.2常微分方程组与一阶线性偏微分方程dy=f(x,y)dx对于n=1的情形，常微分方程组退化为一阶常微分方程(7.8)假设其通解为y=ψ(x,c)，从中解得?(x,y)=c那么，这就是方程(7.8)的首次积分。用方程(7.8)的任一解y(x)代入，可得?(x,y(x))=c于是d?(x,y(x))=或者????dy+=0?x?ydx????+f(x,y)=0?x?y?u?u+f(x,y)=0?x?y这说明u=?(x,y)是一阶齐次线性偏微分方程(7.9)的解。反之，将方程(7.8)的任一解y(x)代入方程(7.9)的解u=u(x,y)中，再关于x求导，可得du?u?udy?u?u=+=+f(x,y)=0dx?x?ydx?x?y4即u(x,y(x))=常数这说明u(x,y)=c是方程(7.8)的首次积分。第七章一阶线性偏微分方程定理7.1ψ(x,y1,y2,···,yn)=c是方程组(7.5)的首次积分的充要条件是在G内成立?ψ?ψ?ψ?ψ+f1+f2+···+fn=0?x?y1?y2?yn(7.10)定理7.2(存在唯一性定理)如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，它们都在区间a≤t≤b上连续，则对于区间a≤t≤b上的任何数t0以及任一常数n维列向量η，方程组x?=A(t)x+f(t)存在唯一解φ(t)，定义于整个区间a≤t≤b上，且满足初始条件φ(t0)=η(7.11)〖证明〗先证必要性。00由定理7.2可知，对于任一点(x0,y1,···,yn)∈G，方程组(7.5)满足初始条件yj(x0)=yj,j=1,2,···,n的解yj=?j(x)(j=1,2,···,n)存在且唯一。若ψ(x,y1,···,yn)=c为首次积分，则ψ(x,?1(x),···,?n(x))=常数从而特别，当x=x0时，有??0000?00ψ(x0,y1,···,yn)+fi(x0;y1,···,yn)ψ(x0,y1,···,yn)=0?x?yii=100再由(x0,y1,···,yn)∈G的任意性，推知等式(7.10)在G内成立。ndψ(x,?1(x),···,?n(x))=0dx再证充分性。若等式(7.10)在G内成立，自然对于方程组(7.5)的解有意义之处也成立，因此???d?ψ?ψ??ψ?ψ(x,?1(x),···,?n(x))=+f1+···+fn=0dx?x?y1?yn?yj=?j(x),j=1,2,···,n或者ψ(x,?1(x),···,?n(x))=常数即ψ(x,y1,···,yn)=c是方程组(7.5)的首次积分。■7.2一阶线性偏微分方程的求解57.2.3利用首次积分求解常微分方程组定义7.2称方程组(7.5)的n个互相独立的首次积分全体?j(x,y1,···,yn)=cj，j=1,2,···,n为方程组(7.5)的通积分。分析：若能找到方程组(7.5)n个独立的首次积分?j(x,y1,y2,···,yn)=cj(j=1,2,···,n)，则通过求解函数方程组???1(x,y1,y2,···,yn)=c1?????(x,y,y,···,y)=c212n2?······?????n(x,y1,y2,···,yn)=cn(7.12)可以解得全部未知函数yj。这样方程组(7.5)的解便求出了。一般我们直接将隐式解(7.12)就称为方程组(7.5)的通解。由此看来，求解方程组(7.5)的问题就归结为寻求它的通积分。寻找首次积分的方法:首先，我们将方程组(7.5)改写为如下的对称形式dy1dy2dyndx===···=g0g1g2gn其中，gj=g0fj(j=1,2,···,n)。如果能求得n+1个不同时为零的函数u0,u1,···,un使得(1)u0g0+u1g1+···+ungn=0；(2)u0dx+u1dy1+···+undyn是某个函数?的全微分，则?=c就是方程的一个首次积分。【例1】求方程组dxdydz==xzyzxy的通积分。【例2】解方程组dxdydz==xyz+x2+y2+z27.2.4一阶齐次线性偏微分方程的求解n?i=1定义7.3形如Xi(x1,x2,···,xn)?u=0?xi(0)(0)(7.13)(0)的一阶齐次线性偏微分方程，假定其系数Xi(x1,x2,···,xn)在给定点(x1,x2···,xn)的某个邻域D中连续可微且不同时为零。构造如下形式的一阶常微分方程组：dx1dx2dxn==···=X1X2Xn(7.14)7.2一阶线性偏微分方程的求解57.2.3利用首次积分求解常微分方程组定义7.2称方程组(7.5)的n个互相独立的首次积分全体?j(x,y1,···,yn)=cj，j=1,2,···,n为方程组(7.5)的通积分。分析：若能找到方程组(7.5)n个独立的首次积分?j(x,y1,y2,···,yn)=cj(j=1,2,···,n)，则通过求解函数方程组???1(x,y1,y2,···,yn)=c1?????(x,y,y,···,y)=c212n2?······?????n(x,y1,y2,···,yn)=cn(7.12)可以解得全部未知函数yj。这样方程组(7.5)的解便求出了。一般我们直接将隐式解(7.12)就称为方程组(7.5)的通解。由此看来，求解方程组(7.5)的问题就归结为寻求它的通积分。寻找首次积分的方法:首先，我们将方程组(7.5)改写为如下的对称形式dy1dy2dyndx===···=g0g1g2gn其中，gj=g0fj(j=1,2,···,n)。如果能求得n+1个不同时为零的函数u0,u1,···,un使得(1)u0g0+u1g1+···+ungn=0；(2)u0dx+u1dy1+···+undyn是某个函数?的全微分，则?=c就是方程的一个首次积分。【例1】求方程组dxdydz==xzyzxy的通积分。【例2】解方程组dxdydz==xyz+x2+y2+z27.2.4一阶齐次线性偏微分方程的求解n?i=1定义7.3形如Xi(x1,x2,···,xn)?u=0?xi(0)(0)(7.13)(0)的一阶齐次线性偏微分方程，假定其系数Xi(x1,x2,···,xn)在给定点(x1,x2···,xn)的某个邻域D中连续可微且不同时为零。构造如下形式的一阶常微分方程组：dx1dx2dxn==···=X1X2Xn(7.14)6我们称(7.14)为偏微分方程(7.13)的特征方程。第七章一阶线性偏微分方程分析：方程组(7.14)是包含n-1个常微分方程的方程组，因此它具有n-1个互相独立的首次积分：?i(x1,x2,···,xn)=ci(i=1,2,···,n-1)。其中，ci为任意常数。可利用这n-1个首次积分来给出偏微分方程(7.13)的通解的结构。定理7.3设?i(x1,x2,···,xn)=ci(i=1,2,···,n-1)是方程(7.14)的通积分，则方程(7.13)的通解可以表示为u=Ψ(?1,?2,···,?n-1)其中Ψ是其变量的任意连续可微函数。〖证明〗首先，易证：如果?i(x1,x2,···,xn)=ci(i=1,2,···,n-1)是方程(7.14)?的通积分，?那么复合函数Ψ?1(x1,x2,···,xn),?2(x1,x2,···,xn),···,?n-1(x1,x2,···,xn)=c也是方程组的首次积分。具体证明如下：由假设Xi(i=1,2,···,n)在D内不同时为零，不妨假设Xn=0。于是，将xn视为自变量，方程(7.14)的解可以表示为xj=ψj(xn)(j=?1,2,···,n-1)。又因为?i=ci(?i=1,2,···,n-1)是方程组(7.14)的首次积分，因此有?iψ1(xn),ψ2(xn),···,ψn-1(xn),xn=ci,i=1,2,···,n-1。其中，ci是确定的常数，因此????Ψ?1(x1,···,xn),···,?n-1(x1,···,xn)?(7.15)xj=ψj(xn)j=1,2,···,n-1=常数??这就证明了Ψ?1(x1,···,xn),···,?n-1(x1,···,xn)=c是方程组(7.14)的首次积分。根??据定理7.1，u=Ψ?1(x1,···,xn),···,?n-1(x1,···,xn)是偏微分方程(7.13)的解。为了得到偏微分方程(7.13)的通解，以下我们需要证明：偏微分方程(7.13)的任意一??个解都可以由u=Ψ?1(x1,···,xn),···,?n-1(x1,···,xn)得到。由条件?i(x1,x2,···,xn)=ci(i=1,2,···,n-1)是方程(7.14)的首次积分，因此根据定理7.1，u=?i(i=1,2,···,n-1)是方程(7.13)的n-1个解。假设u=?(x1,x2,···,xn)是偏微分方程(7.13)的任一非平凡解，这样我们就得到了偏微分方程(7.13)的n个解。把这些解全部代入偏微分方程(7.13)中，即可得到如下的n个等式?n???(x1,x2,···,xn)??X(x,x,···,x)=0?i12n?xii=1n???j(x1,x2,···,xn)??Xi(x1,x2,···,xn)=0,j=1,2,···,n-1??xii=1写成如下的矩阵形式???????···???n-11?x1??1?x1(7.16)???x2??1?x2·········??n-12????X2(x1,x2,···,xn)???······???···n-1···??Xn(x1,x2,···,xn)n???xn??1?xn??X1(x1,x2,···,xn)????=0??7.2一阶线性偏微分方程的求解7由于Xi(i=1,2,···,n)在D内不同时为零，因此上述方程组有非零解。根据线性代数的知识可知，?????1???1?(?,?1,···,?n-1)?1=???(x1,x2,···,xn)?···???n-1?1??2??12···············??n-12??????≡0···?????n-1???n??1nn因此，n个函数?(x1,x2,···,xn),?1(x1,x2,···,xn),···,?n-1(x1,x2,···,xn)是相关的（非互相独立的）。但定理的条件告诉我们?i(i=1,···,n)是通积分，即互相独立的首次积分，因此?i(i=1,···,n-1)也是互相独立的。这样，便存在一个连续可微函数Ψ，使得???(x1,x2,···,xn)=Ψ?1(x1,x2,···,xn),···,?n-1(x1,x2,···,xn)另外，如果Ψ可以取常值函数，那么(7.15)显然也包含了偏微分方程(7.13)的平凡解。■注1由于定理7.3是在某点邻域内成立，故是局部的，因此偏微分方程(7.13)的通解表只有两个自变量的偏微分方程(7.13)的求解：在只有两个自变量的情况下，假设一阶齐次线性偏微分方程定解问题为??P(x,y)?u+Q(x,y)?u=0,x<x<∞,-∞<y<∞?x?y?u|x=x0=?(y),-∞<y<∞达式在理论上也是局部成立的。(7.17)其特征方程为dxdy=P(x,y)Q(x,y)(7.18)如果已经求得方程(7.18)的首次积分为ψ(x,y)=c那么偏微分方程(7.17)的通解为u=Φ(ψ(x,y))其中，Φ是一个任意一元连续可微函数。利用初值条件，可得Φ(ψ(x0,y))=?(y)令?=ψ(x0,y)ψ(7.22)(7.21)(7.20)(7.19)8从(7.22)解出?)y=ω(ψ第七章一阶线性偏微分方程(7.23)把(7.22)代入(7.21)等号左端，(7.23)代入(7.21)等号右端可得?)=?(ω(ψ?))Φ(ψ(7.24)这样，任意一元连续可微函数Φ的具体表达式就确定了。最后，再利用(7.20)可得偏微分方程(7.17)的解为u=Φ(ψ(x,y))=?(ω(ψ(x,y)))【例3】求方程x通过曲线x=0,u=y2的积分曲面。【例4】求解如下偏微分方程x1其中，x1=0。?u?u?u+x2+···+xn=0?x1?x2?xn?u?u-y=0?y?x(7.25)7.2.5一阶拟线性偏微分方程的求解n?i=1一阶拟线性偏微分方程:bi(x1,···,xn,z)?z=Z(x1,···,xn,z)?xi(7.26)n=2时的形式：a(x,y,z)?z?z+b(x,y,z)=Z(x,y,z)?x?y(7.27)其中，函数a(x,y,z)，b(x,y,z)，Z(x,y,z)关于(x,y,z)∈D?R3连续可微，并且a,b不同时为零。求解方法：假设(7.27)的解z=u(x,y)表为隐函数形式F(x,y,z)=0那么根据隐函数求导公式易得????z?F?F=-,?x?x?z代入(7.27)可得a(x,y,z)?F?F?F+b(x,y,z)+Z(x,y,z)=0?x?y?z(7.28)?z=-?y??F?y??F?z?7.2一阶线性偏微分方程的求解9以上推导结果表明：如果F(x,y,z)=0是拟线性方程(7.27)的隐式解，那么函数F=F(x,y,z)就是一阶齐次线性偏微分方程(7.28)的显式解。以下需要解决能否利用偏微分方程(7.28)的通解来确定拟线性偏微分方程(7.27)的通解。设?(x,y,z)=c1,是方程(7.28)的特征方程dxdydz==abZ的两个互相独立的首次积分。那么根据定理7.3，方程(7.28)的通解可以表示为??F=Φ?(x,y,z),ψ(x,y,z)其中Φ是关于其自变量的任意连续可微二元函数。?Φ以下首先说明当=0时，由?z??Φ?(x,y,z),ψ(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的确是方程(7.27)的解。同样利用隐函数求导公式可得???????z?Φ?Φ?Φ?Φ?z=-,=-?x?x?z?y?y?z再代入恒等式a(x,y,z)可得?Φ?Φ?Φ+b(x,y,z)+Z(x,y,z)=0?x?y?z(7.29)ψ(x,y,z)=c2???z???z??ax,y,z(x,y)+bx,y,z(x,y)=Zx,y,z(x,y)?x?y这就证明了z=z(x,y)的确是偏微分方程(7.27)的一个解。下面进一步证明：对于偏微分方程(7.27)的任何一个解z=ζ(x,y)，总存在二元函数Ψ，使得??????Ψ?x,y,ζ(x,y),ψx,y,ζ(x,y)≡0这里，?,ψ是特征方程(7.29)的互相独立的首次积分。这部分的证明可以参照定理7.3的????证明。这里，我们通过说明?x,y,ζ(x,y)和ψx,y,ζ(x,y)是相关的来给出证明。记?γ(x,y)=?x,y,ζ(x,y),???κ(x,y)=ψx,y,ζ(x,y)??则?????ζ?γ=+·,?x?x?z?x?γ?????ζ=+·?y?y?z?y于是???γ?γ?????ζ?ζ????????a+b=a+b+a+b=a+b+Z≡0?x?y?x?y?x?y?z?x?y?z10同理可得a?κ?κ+b≡0?x?y第七章一阶线性偏微分方程这样我们便得到了以下的线性代数方程组??γ+b=0a?γ?x?ya?κ+b?κ=0但函数a,b不同时为零，这说明上述方程组有非零解，因此根据线性代数理论，可知系数行列式??????γ?κ?γ?κ????≡0?(γ,κ)即Jacobi行列式?=0，这又说明了函数γ(x,y)和κ(x,y)是相关的。因此存在二元函?(x,y)数Ψ，使得??????Ψ?x,y,ζ(x,y),ψx,y,ζ(x,y)=Ψ[γ(x,y),κ(x,y)]≡0一阶拟线性偏微分方程(7.27)的通解的结构定理:定理7.4设?i(x1,···,z)=ci(i=1,2,···,n)是常微分方程组dx2dxndzdx1==···==b1b2bnZ的n个互相独立的首次积分，Φ是关于其自变量任意连续可微的n元函数。如果从Φ(?1,?2,···,?n)=0(7.31)(7.30)可以确定函数z=z(x1,x2,···,xn)，那么(7.31)即为一阶拟线性偏微分方程(7.26)的（隐式）通解。方程(7.30)称为一阶拟线性偏微分方程(7.26)的特征方程。【例5】求如下初值问题??z?zx?x+(y+x2)?y=zz(x,y)|x=2=y-4?z【例6】求解拟线性偏微分方程y=z。【例7】求解如下拟线性偏微分方程x1?z?z?z+x2+···+xn=ωz?x1?x2?xn其中，ω为大于零的正整数，x1=0。7.3CAUCHY问题117.37.3.1Cauchy问题一阶线性（拟线性）偏微分方程求解的几何解释考虑三维空间中的一个连续向量场??v=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)任意给定区域D中的一点(x,y,z)，便得到一个确定的方向。如果空间的一条曲线l上每一??点(x,y,z)的切向量τ=(dx,dy,dz)与该点的场向量vP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)共线，则称该曲线l为特征曲线。而由τ和v共线可得dydzdx==PQR(7.32)因此特征曲线l由微分方程(7.32)决定。由特征曲线组成的曲面称为特征曲面（后面将说明特征曲线的确可以编织成一个光滑曲面）。若记特征曲面上任一点处的法向量为n，那么在该点，n与v一定正交，即n·v=0然后我们有以下结果??z?zo当特征曲面的方程为显式z=z(x,y)时，n=,,-1，从而根据(7.33)有?(7.33)P?z?z+Q=R?x?y??u?u?u,,(7.34)?o当特征曲面的方程为隐式u(x,y,z)=0时，n=P，同样根据(7.33)有(7.35)?u?u?u+Q+R=0?x?y?z在本章一开始，就已经介绍了积分曲面的概念。即一阶线性（拟线性）偏微分方程的解可以想象成n维空间中的一张曲面。从(7.34)和(7.35)来看，一阶线性（拟线性）偏微分方程的解（积分曲面）就是特征曲面，记为π。那么现在就可以给出一阶线性（拟线性）偏微分方程求解的几何解释了：一阶线性（拟线性）偏微分方程（(7.34)，(7.35)）的解（积分曲面）是特征曲面，它是由特征曲线组成的。而特征曲线可以由常微分方程组（特征方程）(7.32)决定。这样，一阶线性（拟线性）偏微分方程的求解问题就归结为常微分方程组的求解问题了。这与前面所给的结论是完全一致的。以下说明特征曲线γ的确可以编织成光滑的特征曲面（积分曲面）。这句话的含义为：通过π上任何一点p0(x0,y0,z0)恰有一条特征曲线γ0，而且γ0?π。显然，只要π?D，则根据常微分方程组(7.32)解的存在唯一性，可以直接得到前半个结论，即通过π上任何一点p0(x0,y0,z0)恰有一条特征曲线γ0。现在说明后半个结论，即通过积分曲面π上每一点p0(x0,y0,z0)的特征曲线γ0完全落在积分曲面π上。12若特征方程(7.32)的两个互相独立的首次积分为ψ1(x,y,z)=c1,第七章一阶线性偏微分方程ψ2(x,y,z)=c2(7.36)它们共同确定了特征曲线族，因此特征曲线γ0满足ψ1(x,y,z)=c01,其中常数c01=ψ1(x0,y0,z0),c02=ψ2(x0,y0,z0)(7.38)ψ2(x,y,z)=c02(7.37)另一方面，根据定理7.4，积分曲面π可以表示为??Φψ1(x,y,z),ψ2(x,y,z)=0这里Φ是某个关于其自变量的二元连续可微函数。由于p0∈π，因此??Φψ1(x0,y0,z0),ψ2(x0,y0,z0)=0再根据(7.38)得到0Φ(c01,c2)=0(7.39)然后，由(7.37)推出，在特征曲线γ0上有??Φψ1(x,y,z),ψ2(x,y,z)=0这就证明了γ0?π。7.3.2Cauchy问题分析：给定一条光滑曲线Γ:x=α(σ),y=β(σ),z=ζ(σ),σ∈I其中σ为曲线的参数坐标，确定拟线性偏微分方程(7.35)的一张积分曲面π:z=f(x,y)，使之包含给定曲线Γ，即成立ζ(σ)=f[α(σ),β(σ)]这里α?(σ),β?(σ),ζ?(σ)都是连续的，并且α?2(σ)+β?2(σ)=0。定理7.5对于一阶拟线性偏微分方程(7.35)的上述Cauchy问题，(1)如果成立?Pα(σ),β(σ),ζ(σ)α?(σ)=?β(σ)Qα(σ),β(σ),ζ(σ)?那么上述Cauchy问题有惟一解；7.3CAUCHY问题(2)如果曲线Γ是特征曲线，即成立==Pα(σ),β(σ),ζ(σ)Qα(σ),β(σ),ζ(σ)Rα(σ),β(σ),ζ(σ)13α?(σ)β?(σ)ζ?(σ)那么上述Cauchy问题的解不惟一；(3)如果曲线Γ不是特征曲线，但成立?Pα(σ),β(σ),ζ(σ)α?(σ)≡β?(σ)Qα(σ),β(σ),ζ(σ)?那么上述Cauchy问题无解。【例1】求偏微分方程x的积分曲面，使得它通过初始曲线Γ:【例2】确定偏微分方程yx=t,y=3t,z=1+t2,(t>0)?z?z-y=z?x?y?z?z-x=0?x?y过曲线Γ:z=x,x2+y2=1的积分曲面。
范文五：第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。典型的偏微分方程：扩散方程ut?kuxx，ut?k?u；波动方程utt?c2uxx，utt?c2?u。这是本课程讨论的主要两类方程。偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是u(x,t)（即。如果流速是c，问题：u(x,t)满足什么样的方程？ x处在时刻t的污染物的密度）解 如图，在[x,x??x]内的流体，经过时间?t，一定处于[x?c?t,x??x?c?t]。所含污染物应相同，即x??xx??x?c?t?xu(?,t)d??x?c?t?u(?,t??t)d?，由此u(x,t)?u(x?c?t,t??t)，从而，ut?cux?0。【End】可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。例2 （扩散方程） 假设水流静止，在?t时间内，流经x处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k：dm(t)?k?udt?kuxdt， ?x所以，在时间段[t1,t2]内，通过[x1,x2]的污染物为t2?k[u(x,t)?u(x,t)]dt。x2x1t1x2x2在时刻t1和t2，在[x1,x2]内的污染物分别为u(x,t1)dx和u(x,t2)dx，由物质守恒定律x1x22x21x1t2x2x1??x1?u(x,t)dx??u(x,t)dx??k[u(x,t)?u(x,t)]dtx1t1由t1，t2的任意性，x2x1?u(x,t)dx?k[u(x,t)?u(x,t)]，tx2x1再由x1，x2的任意性，ut(x,t)?kuxx(x,t)。【end】例3 （弦振动方程）假设（1）弦的两端固定（非本质的假设），弦长为l，线密度为?； （2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振动；（3）弦上各点张力方向与弦的切线方向一致，大小服从Hooke定律。 问题：建立u(x,t)满足的方程。解 选定弦的一段[x,x??x]，（此处0?x?l），考虑其在时间段[t,t??t]内的运动情况。点x处的张力记为T(x,t)。 沿水平方向合力为T(x,t)cos?x?T(x??x,t)cos?x??x；沿垂直方向合力为T(x,t)sin?x?T(x??x,t)sin?x??x。显然，水平方向合力为零（假设2：弦只在垂直方向有运动），即T(x,t)cos?x?T(x??x,t)cos?x??x。垂直方向合力为?[tan?T(x??x,t)sin?x??x?T(x,t)sin?x?Tx??x?tan?x]?[?u(x??x,t)??u(x,t)] ?T?x?x2??u(x,t)?x?o(?x)。 ?T?x2由牛顿第二运动定理，?2u(x,t)??u(x,t)?T?x?o(?x)?[??x]， 2?x?t?t因此22?u(x,t)?u(x,t)?T??。 ?x2?t2记c?2?T?，则得到标准的波动方程，?2u(x,t)2?2u(x,t)?c?0。 22?t?x注：如果弦上有外力F(x,t)?x作用，则2??u(x,t)?x?F(x,t)?o(?x)??[??x?u(x,t)]， T?x2?t?t记f(x,t)?F(x,t)?，则非齐次的波动方程为?2u(x,t)2?2u(x,t)?c?f(x,t)。 ?t2?x2【end】§1.2 平面和空间上的偏微分方程例1 （三维空间中的扩散方程）假设污染流体充满三维空间的某区域，u(x,t)是其密度。任取简单区域D，相应的边界?D。假设，在dt时间内，流出dS的流与密度关于dS处的法向导数成正比，即dQ(t)?k?udSdt，因此在[t1,t2]流出曲面?D的流量为 ?nt2t2???dQ(t)????kt1?Dt1?D?udSdt； ?n同时，该区域在[t1,t2]的流量变化又可表示为???u(x.y,z,t)dxdydz????u(x.y,z,t)dxdydz。21DD利用守恒定律和时间的任意性，???ut(x.y,z,t)dxdydz???kD?D?u?dS???k?u?ndS。 ?n?DD由高斯公式推论，?k?u?ndS????k?(?u)dxdydz????k?udxdydz，所以 ???DD???u(x.y,z,t)dxdydz????k?udxdydz。tDD由D的任意性，ut?k?u。【end】热传导方程推导类似。例2 （二维膜振动方程）均匀鼓膜上任意截取区域?，在平面上的投影为D。作用于?的张力的垂直分量T?u?u近似等于沿D的法向张力T。因此垂直方向总合力为?n?n??D?T?uds。由此， ?n?D?T?uds????uttdxdy， ?nD?uds???T?udxdy。 ?nD由二维的高斯公式，?D?T因此utt?c2?u，这里c?【end】§1.3 方程的初始和边界条件对常微分方程，要完全确定方程的解就必须知道初始条件。而对偏微分方程，还必须给定适当的边界条件。以弦振动问题而言，方程是在弦之内部的点满足的条件，边界可能是固定的，也可能自由的，等等。假如边界是x?0，x?l，则可能的条件：1）u(0,t)?a，u(l,t)?b（固定边界）（Dirichlet 条件） 2）?u?u?u(0,t)?0，(l,t)?0（在端点的垂直方向自由滑动）(0,t)??(t)，或更一般?x?x?x（Neumann条件） 3）?T?u(0,t)?ku(0,t)（弦的一端固定在弹性支承上）（Robin条件） ?x在高维空间，相应的边界条件为1）Dirichlet 条件：[u(x,t)??(x,t)]??0（?是边界） 2）Neumann条件：[?u??(t)]?0 ?x?3）Robin条件：[?u??u(x,t)]?0 ?x?§1.4 一阶线性偏微分方程解的特征线方法 对一阶齐次线性偏微分方程aut?bux?0，从几何观点看，如果u满足该方程，则由函数u(x,t)确定的平面上的向量场(ut,ux)，与方程系数构成的向量场(a,b)正交。称由向量场(a,b)作为切向所确定的曲线dxb? dta为方程的特征线。例如，当a，b为常数，则过任意给定的点(t0,x0)的特征线为直线，方程为x?x0t?t0?。 ba之所以称其为特征线，是因为沿该直线函数u(x,t)取常数值。以a,b为常数为例，?x?x0?bs特征线上的任意一点可表示为?，其中s是参数，由此t?t?as0?du(x0?bs,t0?as)?bux?aut?0， ds即u(x0?bs,t0?as)?u(x0,t0)。利用特征线的该性质，在给定适当的初始或边界条件后就可确定方程的解。?4ut?3ux?0例1 求解方程?。 3u(x,0)?x?解 特征线dx?33?，即x?x0??(t?t0)，沿该直线，u(x,t)是常数。所以， dt44333u(x0,t0)?u(x0?(t?t0),t)?u(x0?t0,0)?(x0?t0)3，444或写为3u(x,t)?(x?t)3。4【end】例2 求解方程??ut?xux?0。?u(x,0)?f(x)dx?x，其解为x?x0et?t0。所以， dt解 特征线方程u(x0,t0)?u(x0et?t0,t)?u(x0e?t0,0)?f(x0e?t0)，或u(x,t)?f(xe?t)。【end】例3 （流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，程系数构成的向量场(a,b)正交。称由向量场(a,b)作为切向所确定的曲线dxb? dta为方程的特征线。例如，当a，b为常数，则过任意给定的点(t0,x0)的特征线为直线，方程为x?x0t?t0?。 ba之所以称其为特征线，是因为沿该直线函数u(x,t)取常数值。以a,b为常数为例，?x?x0?bs特征线上的任意一点可表示为?，其中s是参数，由此 t?t?as0?du(x0?bs,t0?as)?bux?aut?0， ds即u(x0?bs,t0?as)?u(x0,t0)。利用特征线的该性质，在给定适当的初始或边界条件后就可确定方程的解。?4ut?3ux?0例1 求解方程?。 3u(x,0)?x?解 特征线dx?33?，即x?x0??(t?t0)，沿该直线，u(x,t)是常数。所以， dt44333u(x0,t0)?u(x0?(t?t0),t)?u(x0?t0,0)?(x0?t0)3， 444或写为3u(x,t)?(x?t)3。 4【end】例2 求解方程??ut?xux?0。?u(x,0)?f(x)dx?x，其解为x?x0et?t0。所以， dt解 特征线方程u(x0,t0)?u(x0et?t0,t)?u(x0e?t0,0)?f(x0e?t0)，或u(x,t)?f(xe?t)。【end】例3 （流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，?ut?cux?0,(t?0,x?0) ?u(x,0)?f(x),u(0,t)?g(t)?解 特征线方程dx?c，过(t0,x0)的特征线x?x0?c(t?t0)。所以， dtu(x0,t0)?u(x0?c(t?t0),t)?u(x,t0?c?1(x?x0))。当x0?ct0时，u(x0,t0)?u(x0?ct0,0)?f(x0?ct0)；当x0?ct0时，u(x0,t0)?u(0,t0?c?1x0)?g(t0?c?1x0)。所以，方程的解为x?ct?u(x,t)?u(x?ct,0)?f(x?ct),。 ??1?1?u(x,t)?u(0,t?cx)?g(t?cx).x?ct【end】第一章 习题1. 对平面扩散方程utt?k?u，若u(x,y,t)的值仅依赖于r?t，证明：ut?k(urr?ur/r)。而对空间扩散方程，若u(x,y,t)的值仅依赖于r?t，证明：??2ut?k(urr?2ur/r)，或?ru??k2?ru?。 ?t?r2. 求解方程??2ut?3ux?0。 ?u(x,0)?sinx3. 求解方程??3ut?uxt?0。（提示：令v?ut）?u(x,0)?f(x),ut(x,0)?g(x)4. 求解方程ut?(1?x2)ux?0。5. 求解方程aut?bux?cu?0。?ut?ux?u?ex?2t6. 求解方程?。?u(x,0)?0
范文六：摘要：通过对一个一阶线性微分方程组的求解，既让学生能够掌握简单的一阶线性微分方程组求解方法，又可以让学生较好地体会到《线性代数》课程的重要性。 　　关键词：一阶线性微分方程组；特征值；特征向量；线性变换 　　中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：（8-01 　　本学期，由于课程设置的调整，部分新生第一学期就开始学习《线性代数》这门课程了。在和他们交谈的过程中，部分学生反映这门课程没有什么作用，内容上主要是一些具体的运算，比如：计算行列式的值，计算矩阵的和、积、逆，求方阵的特征值、特征向量以及将方阵对角化等等。好像与实际应用一点关联也没有。 　　事实上，《线性代数》是一门非常重要的课程，其在很多专业课程中都有广泛的应用，只是学生没有认识到这一点。因此，我们有必要选择一些较为合适的例题，通过这些例题的讲解，既能够让学生易于接受，又可以让学生认识到《线性代数》课程的重要性，从而更好地激发他们的学习热情。为此，在一阶线性微分方程的教学当中，可以通过下面这个例题的讲解来达到我们的目的。 　　例：求一阶线性微分方程组 　　■=-x1（t）+2x2（t）■=3x1（t）-2x2（t） （1） 　　满足初始条件x1（0）=1x2（0）=2的特解。 　　解：本题可以分解成如下几步完成。 　　1）将方程（1）改写成向量形式。 　　令A=-1 2 3 -2，x（t）=x1（t）x2（t），则有 　　■=Ax（t）。 （2） 　　2）求出矩阵A的特征值和特征向量。A的特征多项式为 　　|λE-A|=λ+1 -2-3 λ+2=（λ+1）（λ+2）-6=（λ+4）（λ-1）（3） 　　由A的特征方程|λE-A|得到A的特征值为λ1=1和λ2=-4，相应的特征向量分别是P1=11和P1=2-3。 　　3）将矩阵A相似对角化。令P1=1 21 -3，Λ=1 01 -4，则根据矩阵相似对角化的性质可得P-1AP=Λ，其中P-1=■3 21 -1。 　　4）利用线性变换对方程（1）进行恒等变形。由于P-1■=P-1AP·P-1x（t），所以我们可以令y（t）=P-1x（t），这样就得到方程组■=Λy（t），即■=y1（t）■=-4y2（t） （4） 　　这是两个变量可分离方程，其通解为 　　y1（t）=et+C1y2（t）=e-4t+C2。 　　5）求出方程组（1）的通解和特解。由线性变换x（t）=Py（t）可得方程组（1）的通解为 　　x（t）=Py（t）=1 21 -3et+C1e-4t+C2=et+2e-4t+C1+2C2et-3e-4t+C1-3C2 　　即x1（t）=et+2e-4t+C1+2C2x2（t）=et-3e-4t+C1-3C2 （5） 　　将初始条件x1（0）=1x2（0）=2代入式（5）得到C1=0.4C2=1.2，于是方程组（1）的特解为 　　x1（t）=et+2e-4t-2x2（t）=et-3e-4+4 （6） 　　6）对本题的求解方法进行小结。本题解法的基本思想是通过向量的线性变换以及矩阵的相似对角化，将一个耦合的一阶线性微分方程组，分解成两个独立的一阶线性微分方程，然后求出其通解和特解，最后再利用逆变换求出原方程组的通解和特解。实际上，利用同样的方法，也可以求解高维的一阶线性微分方程组的通解和特解。 　　本例题虽然比较简单，但求解过程中所涉及的知识学生都容易接受，而且可以较好地让学生认识到《线性代数》课程的重要性。另一方面，在基础课程的教学过程中，如果能够更多地涉及一些与专业课程有关知识的教学，则会更好地促进学生的学习。 　　参考文献： 　　[1]田原，沈亦一.线性代数[M].上海：华东理工大学出版社，2007. 　　[2]张学山.高等数学（上册）[M].上海：高等教育出版社，2011.
范文七：第4章
一阶线性微分方程组一
内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如?dy1?dx?f1(x,y1,y2,?,yn)??dy2?f(x,y,y,?,y)?212n（3.1）
的方程组，?dx?
???dyn?f(x,y,y,?,y)n12n??dx（其中y1,y2,?,yn是关于x的未知函数）叫做一阶微分方程组。若存在一组函数y1(x),y2(x),?,yn(x)使得在[a,b]上有恒等式dyi(x)?fi(x,y1(x),y2(x),?,yn(x))(i?1,2,?,n)dx成立，则y1(x),y2(x),?,yn(x)称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n任意常数C1,C2,?,Cn的解?y1??1(x,C1,C2,?,Cn)?y??(x,C,C,?,C)?2212n??
????yn??3(x,C1,C2,?,Cn)称为(3.1)通解。如果通解满方程组??1(x,y1,y2,?,yn,C1,C2,?,Cn)?0??(x,y,y,?,y,C,C,?,C)?0?212n12n??
?????n(x,y1,y2,?,yn,C1,C2,?,Cn)?0则称这个方程组为（3.1）的通积分。满足初始条件y1(x0)?y10,y2(x0)?y20,?,yn(x0)?yn0,的解，叫做初值问题的解。令n维向量函数?f1(x,y1,y2,?,yn)??y1(x)??f(x,y,y,?,y)??y(x)?12n?2?，F（x，Y）=?2Y(x)=??
?????y(x)f(x,y,y,?,y)12n??n??n?dy1??xf(x)dx??dx?1?x0?????x?dy2??xdY(x)??f(x)dx??dx?，?F(x)???x02 ?x0dx????
????x??dyn???fn(x)dx????x0??dx?则（3.1）可记成向量形式dY?F(x,Y),
(3.2) dx初始条件可记为?y10??y?20?Y(x0)=Y0,其中Y0???
?????yno?则初值问题为:?dY?F(x,Y)?(3.3) ?dx??Y(x0)?Y0?dy1?dx?a11(x)y1?a12(x)y2???a1n(x)?f1(x)??dy2?a(x)y?a(x)y???a(x)?f(x)?一阶线性微分方程组:形如?dx (3.4)?
???dyn?a(x)y?a(x)y???a(x)?f(x)n11n122nnn??dx的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令?f1(x)?a(x)
a(x)?11?1n?f(x)?2?
?A(x)=及F(x)=????
??????an1(x)
ann(x)??f(x)?n?则(3.4)的向量形式:dY?A(x)Y?F(x)
(3.5) dxdY?A(x)Y
(3.6) F(x)?0 时 dx称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。?a11
a?21222n?在（3．5）式A(x)的每一个元素都为常数即A(x)?A?? ，?
ann??n1n2dY?AY?F(x)
(3.7) dx叫做常系数线性非齐次微分方程组.dY?AY
(3.8) dx叫做常系数线性齐次微分方程组.2． 一阶线性微分方程组的通解结构.定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组dY?A(x)Y?F(x)中的A(x)及F(x)在区间I=?a,b?上连续，则对于?a,b?上任一点x0以dxdY?A(x)Y?F(x)的满足初始条件的解在?a,b?上存在且唯及任意给定的Y0，方程组
dx一。1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设Y1(x),Y2(x),?Ym(x)是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数C1,C2,?,Cm,使得C1Y1(x)?C2Y2(x)???CmYm(x)?0恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。 判别法则：①定义法②朗斯基（Wronski）行列式判别法： 对于列向量组成的行列式y11(x)
ynn(x)通常把它称为n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),?Yn(x)的朗斯基（Wronski）行列式。 定理1 如果n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),?Yn(x)在区间I线性相关，则们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：?x2??2x?Y1(x)???
Y 2 ( x)????0??0?朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零，但它们却是线性无关。定理2 如果n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),?Yn(x)的朗斯基（Wronski）行列式即W(x0)?0,则向量函数组Y1(x),Y2(x),?Yn(x)W(x)在区间I上某一点x0处不等于零，在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。但如果Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是一阶线性齐次微分方程组两定理及其逆定理均成立。即定理3 一阶线性齐次微分方程组dY?A(x)Y的解，则上述dxdY?A(x)Y的解Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是线性无dx关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处不等于零；解Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处恒等于零2).基本解组及其有关结论dY?A(x)Y的n个线性无关解称为它的基本解组 dxdY?A(x)Y的解Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是一个基本判别：一阶线性齐次微分方程组dx定义：一阶线性齐次微分方程组解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处不等于零。结论：①一阶线性齐次微分方程组
②基本解组有无穷多个。 3）一阶线性齐次微分方程组dY?A(x)Y必存在基本解组。 dxdY?A(x)Y通解的结构 dxdY?A(x)Y的基本解dx定理：如果Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是线性齐次微分方程组组，则其线性组合Y(x)?C1Y1(x)?C2Y2(x)???CnYn(x)是线性齐次微分方程组dY?A(x)Y的通解。 dxdY?A(x)Y的解的全体构成一n维线性空间。 dxdY?A(x)Y的解，则dx结论： 线性齐次微分方程组4）解与系数的关系，即刘维尔公式定理：如果Y1(x),Y2(x),?Yn(x)是线性齐次微分方程组这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组xdY?A(x)Y的系数的关系是：
dxW(x)?W(x0)ex0??a11(t)?a22(t)???ann(t)?dt此式称为刘维尔（Liouville）公式.由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式W(x)或者恒为零，或者恒不为零?ak?1nkk(x)称为矩阵A(x)的迹。记作trA(x)。一阶线性非齐次方程组的通解结构dY?A(x)Y?F(x)的通解等于对应的齐dxdYdY?A(x)Y
的通解与?A(x)Y?F(x)的一个特解之和。即 次微分方程组
dxdxdY~?AY?F(x)的通解为Y(x)?C1Y1(x)?C2Y2(x)???CnYn(x)?Y(x) dxdY?A(x)Y的通其中C1Y1(x)?C2Y2(x)???CnYn(x)为对应的齐次微分方程组dxdY~?A(x)Y?F(x)的一个特解。 解，Y(x)是dxdY?A(x)Y的一个求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组dx定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组基本解组Y1(x),Y2(x),?Yn(x)构成基本解矩阵?y11(x)
? ??yn1(x)
ynn(x)??齐次微分方程组dY?A(x)Y的通解为 dx?C1??C?2Y(x)??(X)C
?????Cn?dY?AY?F(x)的通解为 线性非齐次方程组dxY(x)??(x)C???(x)??1(t)F(t)dt。x0x结论：线性非齐次方程组dY?A(x)Y?F(x)解的全体并不构成n+1维线性空间。 dx3． 常系数线性微分方程组的解法常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）① 求特征根：即特征方程式a12
21222n??0 det(A-?E)???
a??n2nn?n1?的解。②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：①求相应的齐次微分方程组的基本解组； ② 用待定系数法求特解。（详略）二．典型例题及解题方法简介（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：d2ydy?p(x)?q(x)y?0 dxdx解：令y?y1,dy?y2则 dxdy1d2y1dy2dy2?y2
,2?,?p(x)y2?q(x)y1?0 dxdxdxdx∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：?dy1?y2??dx??dy2??p(x)y?q(x)y21??dx例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：?d2x?y?0??dt2??t3dy?2x?0??dt解：令x?x1
,y?x3,则有 dtdx1dydx3?x2
,? dtdtdt∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：?dx1?dt?x2??dx2?x3 ??dt?dx32x1?dt?t3?（一）一般线性微分方程组的求解问题对于一般线性齐次微分方程组dY?A(x)Y ，如何求出基本解组，至今尚无一般dx方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。消元法（化方程组为单个方程的方法） 例3 求解方程组?dxt??x?yt??dt??tdy??2x?yt??dt解：有前一个方程解出y并求导，有
tdtdyx1dxd2x??2??
dttdtdt2t代入后一方程化简得d2x?0
t2dt2假定t?0,则有d2xdt2?0，积分得x?C1?C2ty?C xdxC1?C2t???C2?2C2?1tdttt原方程组的通解为
??x?C1?C2t,(t?0)?y?C1?2C2常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。例4 解方程组?dx?y?1??dt?dy??x?1??dt解：由前一方程得y?x??1
?y??x??代入后一方程，得常系数二阶线性方程
x???x?1?0其通解为x?C1e?C2et?t?1?t从而
y?x??1?C1e?C2e所以通解为t?1t?t??x?C1e?C2e?1?t?t??y?C1e?C2e?1例5解方程组?x??3x?8y??y???x?3y?x(0)?6,
y(0)??2?解：由第二式得x??3y?y??
x???3y??y??代入第一式得y???y??0 从而可求得
y?C1et?C2e?t
代入x??3y?y?得
x??4C1et?2C2e?t 将t?0代入上述两式得?解得 C1?C2??1 所以原方程组的解为t?t??x?4e?2e?t?t??y??e?e?6??4C1?2C2??2?C1?C2（三）常系数线性齐次微分方程组虽然一般线性齐次微分方程组 但是常系数线性齐次微分方程组dY?AY的通解问题 dxdY?A(x)Y ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法，dxdY?AY通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，dx根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法步骤：①解特征方程式a12
21222n??0，得特征根； det(A-?E)???
a??n2nn?n1?②根据根的重数，求出对应于每一个根的解式
设λ是线性齐次微分方程组 方程组dY?AY是k重根（单根为k=1），则线性齐次微分dxdY?AY对应λ的解式为 dx?x1?(C11?C12t???C1ktk?1)e?t?k?1?t?x2?(C21?C22t???C2kt)e??
???x?(C?Ct???Ctk?1)e?tn1n2nk?n其中Cij(i?1,2,?,n,j?1,2,?,k)为待定常数，将此解式代入dY?AY中，比dx较两端同类项的系数，得一关于Cij的线性代数方程组，解之即可定出Cij。③ 把对应于每一个根的解式相加，即可得到dY?AY的通解。 dx例6 （均为单根的情形，教材170页例3.5.1）解方程组?x??3x?y?z??y???x?5y?z?z??x?y?3z?解：特征方程为3??
3??即?3?11?2?36??36?0解之得特征根?1?2,?2?3,?3?6（均为一重）=0?1?2时令待定解为x1??1e2t,y1??1e2t,z1??1e2t代入原方程组，化简得??1??1??1?0????1?3?1???0 ???????011?1解得?1???1,?1?0，若?1?C1为任意常数，?1??C1 对应于?1?2的解式为：?x1?C1e2t??y1?0?2t?z1??C1e同理对应于?2?3的解式为：?x2?C2e3t?3t
?y2?C2e?3tz?Ce22?对应于?3?6的解式为：?x3?C3e6t?6t
?y3??2C3e?6tz?Ce33??x?C1e2t?C2e3t?C3e6t?3t6t通解为：
?y?C2e?2C3e?2t3t6tz??Ce?Ce?Ce123?例7 （特征方程有复根的情形）解方程组：??x??x?5y ??y?2x?y解：特征方程为??
?1??即?2?9?0?1,2??3i都是单根象例6可得对应?1?3i的特解：x1?5e,y1?(1?3i)e因为原题是实系数的方程组，所以x2?1?5e是?2??3i的特解且Rex1,Rey1及Imx1,Imy1为原题的实线性无关解。（注：若z?a?bi则记Rez=a,Imz=b）所以复通解为3it?3it??x?5C1e?5C2e ?3it?3it??y?(1?3i)C1e?(1?3i)C2e3it3it?3it,y2?1?(1?3i)e?3it实通解为：?x?5C1cos3t?5C2sin3t ?Y?C(cos3t?3sin3t)?C(sin3t?3cos3t)12?例8 （特征方程有重根的情形）解方程组?x??2x?y ??y??4y?x解：特征方程为2??
4??=0即?2?6??9?0;解得λ=3是两重根 即k=2对应的待定解式为3t??x?(?1??1t)e ?3t??y?(?2??2t)e代入原方程并比较两边的同次幂的系数，得?3?1??1?2?1??2?3????4????2221 ??3?1?2?1??2??3?2?4?2??1解得，?2??1??1,
?2?令?1?C1
?1?C2 得通解为3t??x?(C1?C2t)e ?3t??y?(C1?C2?C2t)e?1。dY?AY?F(x)的通解问题 dxdY?AY?F(x)的通解等于对应的常系数齐次微分根据常系数线性非齐次方程组dxdYdYdY?AY
的通解与?AY?F(x)的一个特解之和。即 ?AY?F(x)方程组
dxdxdx~的通解为Y(x)?C1Y1(x)?C2Y2(x)???CnYn(x)+Y(x) （四）常系数线性非齐次微分方程组其中C1Y1(x)?C2Y2(x)???CnYn(x)为对应的齐次微分方程组面已经介绍了对应的齐次微分方程组出一个特解即可。例9解方程组?dY?AY的通解。前dxdY?AY的通解问题，只须用拉格朗日常数变易法求dx?x??2x?3y?5t?y??3x?2y?8et解：特征方程为2??
=?2?4??5?0
2??特征根为?1?5,?2??1易于求得对应的对应的齐次微分方程组的通解为5t?t??x?C1e?C2e
? 5t?t??y?C1e?C2e根据拉格朗日常数变易法，令原方程组的特解为5t?t~??x?C1(t)e?C2(t)e
? 5t?t~??y?C1(t)e?C2(t)e代入原方程组得5t?(t)e?t?5t??C1?(t)e?C2
? 5t?tt?(t)e?8e??C1?(t)e?C2解之得5?5t??4t?C(t)?te?4e1??2
? 5?C?(t)?tet?4e2t2?2?积分得11?5t??4tc(t)?(?t?)e?e1??210
? 55?C(t)?(t?)et?2e2t2?22?5t?t~??x?C1(t)e?C2(t)e代入
? 5t?t~??y?C1(t)e?C2(t)e即得一个特解13?~tx?2t??3e??5
? 12?~y??3t??et?5?所以，已知方程组的通解为13?5t?tx(t)?Ce?Ce?2t??3et12??5
??y(t)?Ce5t?Ce?t?3t?12?et12?5?说明：本章的理论相对来说不难理解，但在求解时非常繁琐，所以在求通解时要特别仔细，在实际解题时我们也只能求解未知函数个数较少的常系数线性微分方程组，两个或三个的情形。根据教学大纲的要求，本章的重点是：含有两个未知函数的常系数线性微分方程组且特征根是单根情形的通解。
范文八：一阶线性微分方程的解法班级：化工与制药类01班
姓名：陈佳 摘要：讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法：齐次方程，分离变量法；非齐次方程，常数变易法，公式法。 关键词：一阶，线性方程，解法。一阶线性线性微分方程：形如dydx+p(x)y=Q(x)的方程为一阶线性微分方程。（1）当Q(x)≡0时，为一阶线性齐次微分方程。（2）当Q(x)≠0时，则为一阶线性非齐次微分方程。（一）一阶线性齐次方程的解法分离变量法:齐次方程是可分离变量的方程，分离变量后得
dy=—P(x)dx y两边积分得
ln|y|=－?P(x)dx+C1y=Ce_?P(x)dx (C=?eC1)齐次方程的解法与可分离变量的微分方程的解法思路大体一致。常见的习题有求通解和求特解两种。a.求通解问题例1
求方程xdydx=y-3的通解dxdy= y?3x
齐次方程，分离变量得两边积分得
ln|y-3|=ln|x|+lnC即y=Cx+3b.求特解问题例2
求方程dydx+3y=0 在x=0,y=2时的特解dy=-3dx y
P(x)=3两边积分得
ln|y|=-3x+C1y=e?3x?C1代入初始值得
C1=ln2即所求微分方程的特解为y=e?3x?ln2（二）一阶非齐次线性方程的解法常数变易法：求其对应齐次方程通解y=Ce??P(x)再令C=C(x),即y=C(x)e??P(x)再把上式代入非齐次方程求得C（x）的微分方程，求出
C（x）;最后把C（x）代入便可得到非齐次方程的通解。齐次方程为非齐次方程Q(x)≡0的一种特例，因而两种方程的通解之间必然存在着联系。即非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。公式法：公式法是有常数变易法所求得的通解，利用齐次和非齐次线性方程关系整理变形出得到的一个求解非齐次线性方程的通式。即
y=Ce??P(x)dx?e??P(x)dx?Q(x)e?P(x)dxdx在实际计算时，对于两种方法应该根据需要合理选取。很多时候，两者可以通用。a.利用齐次与非齐次线性方程的通解间关系解题例 1
设y1(x)是y′+p(x)?y=q(x)的一个特解，求该方程的通解利用两者之间的关系可求得所求通解为y=y1+Ce??p(x)dxb.常数变易法求解通解的问题例 2
求方程y′+2xy=xe的通解。其对应齐次方程y′+2xy=0的通解为 y=Ce设原方程的通解为y=C(x)e求导得
y′=C′(x)e- 2xC(x)e将y和 y′代入原方程得C′(x)e-2xC(x)e+ 2xC(x)e=xe即C′(x)=x积分得C（x）=?xdx=x2?C 2代入原方程得通解为
y=(x?C)e 2?x2?x2?x2?x2?x2?x2?x2?x2?x21c.求特解的问题例 3
已知方程dy?2xy?4x dx求其在x=0,y=2的特解。
Q(x)=4x代入公式得y?Ce?x?e?x22x?x4xedx?Ce?2 ?22将初值代入求得
C=1所以所求方程的特解为
y=e+2 ?x2d.与一阶线性方程求解有关的证明问题p(x)?a?0,|例
设函数p(x),f(x)在[0,??)上连续，且xlim???f(x)|?b，a，b为常数。求证：方程dy?p(x)y?f(x)的一切解在[0,??)上有界。 dxp(x)?a?0因此存在X?0，使得当x?X时，有 证明：由于xlim???a/2?p(x)?3a/2，由连续性可知，只需证明y(x)在[X,??)上有界。x?p(r)drp(r)dry?y0e?X??f(s)e?sds?A?B ?Xxx其中， A?y0e??xXp(r)dr，B??Xxf(s)e?s?p(r)drxds?(x?X)p(r)dr|A|?|y0|e?X?|y0|e2?|y0| ?xa|B|?|?xXxf(s)e?sa?(x?s)2?p(r)drxds|?b?e?sxX?p(r)drxds
?b?eXa?(x?X)?2b?ds??1?e2?a??
?2bady?p(x)y?f(x)的一切解在[0,??)上有界。 dxf(x)?b，又a?0。求证： 所以方程例
5．设f(x)在[0,??)上连续，且xlim???方程
bdy?ay?f(x)的一切解均有limy(x)? x???dxa证明：由上题知y(x)在[0,??)上有界。由于xlim???f(x)?b因此，对任何??0存在X?0，使得当x?X时，有f(x)?(b??,b??)且y?y0eXe?ax??，所以当x?2X时 ?x0p(r)drxx?e?x0p(r)drx?xx0q(s)e??x0p(r)drsds?p(r)dr?Xp(r)dr?y0ex0e?e?x0p(r)drx ?x0p(r)drs{?q(s)ex0xX?ds??q(s)eXxx??x0p(r)drsds}xp(r)drp(r)dr?y(X)e?X??q(s)e?sdsXy?y(X)e?a(x?X)??f(s)e?a(x?s)dsXxb??
?y(X)??{1??}a 同理y??y(X)??y(x)? 所以xlim???bab??a一阶线性方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。因此，学好一阶线性方程对我们日后的学习和研究有着奠基作用。
范文九：第四节
一阶线性微分方程教学目的：使学生掌握一阶线性微分方程的解法，了解伯努利方程的解法 教学重点：一阶线性微分方程教学过程：一、 一阶线性微分方程方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一阶线性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做对应于非齐次线性方程?P(x)y?Q(x)的齐次线性方程?
dxdxdydy?y??1y?0是齐次线性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 则方程称为齐次线性方程? 否则方程称为非齐次线性方程?
下列方程各是什么类型方程？
(1)(x?2)(2) 3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齐次线性方程?(3) y??y cos x?e?sin x ? 是非齐次线性方程?(4)dy?10x?y? 不是线性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?
(5)(y?1)? 不是线性方程? dxdydx(y?1)2x
齐次线性方程的解法?齐次线性方程dy?P(x)y?0是变量可分离方程? 分离变量后得 dxdy??P(x)dx?
y两边积分? 得ln|y|??P(x)dx?C1??P(x)dx (C??eC1)?
y?Ce??这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）?例1
求方程(x?2)dy?y的通解?
这是齐次线性方程? 分离变量得dydx??
yx?2两边积分得两边积分得ln|y|?ln|x?2|?lnC?方程的通解为y?C(x?2)?非齐次线性方程的解法?将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)? 把?P(x)dx
y?u(x)e?设想成非齐次线性方程的通解? 代入非齐次线性方程求得?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
u?(x)e?化简得
u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?于是非齐次线性方程的通解为?P(x)dxP(x)dx
y?e?[Q(x)e?dx?C]?
??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或
y?Ce??e?Q(x)e?dx?
?非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和?5dy2y??(x?1)2的通解?
例2 求方程dxx?1解
这是一个非齐次线性方程?先求对应的齐次线性方程分离变量得dy2y??0的通解?
dxx?1dy2dx??
yx?1两边积分得ln y?2ln (x?1)?ln C?齐次线性方程的通解为y?C(x?1)2?用常数变易法? 把C换成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所给非齐次线性方程? 得52u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?121u??(x?1)2?两边积分? 得2
u?(x?1)2?C?
3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解为 32
y?(x?1)[(x?1)2?C]?
3232? Q(x)?(x?1)2??
解? 这里P(x)??x?12)dx??2ln(x?1)? ?因为
?P(x)dx??(?x?1?P(x)dx?e2ln(x?1)?(x?1)2??
e?5P(x)dxdx??(x?1)2(x?1)?2dx??(x?1)2dx?2(x?1)2??
?Q(x)e?3513所以通解为?y?e??P(x)dxP(x)dx[?Q(x)e?dx?C]?(x?1)2[2(x?1)2?C]?
33二、伯努利方程伯努利方程? 方程dy?P(x)y?Q(x)yn (n?0? 1) dx叫做伯努利方程?下列方程是什么类型方程？dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程?
(2)dxdxxy1
(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx
(1)(4)dy?2xy?4x? 是线性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x) dx
伯努利方程的解法? 以yn除方程的两边? 得
y?n令z ?y1?n ? 得线性方程dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?
dxdyy??a(lnx)y2的通解?
例3 求方程dxx解 以y2除方程的两端? 得y?2dy1?1?y?alnx?
dxxd(y?1)1?1?y?alnx?
?dxx令z?y?1? 则上述方程成为dz?1z??alnx?
dxxa2这是一个线性方程? 它的通解为
z?x[C?(lnx)2]?以y?1代z ? 得所求方程的通解为yx[C?(lnx)2]?1?经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程?
解方程a2dy?1?
若把所给方程变形为dx?x?y?
dy即为一阶线性方程? 则按一阶线性方程的解法可求得通解? 但这里用变量代换来解所给方程?
令x?y?u? 则原方程化为du?1?1? 即du?u?1?
dxudxu分离变量? 得udu?dx?
u?1两端积分得u?ln|u?1|?x?ln|C|?以u?x?y代入上式? 得y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?
范文十：第七章
一阶线性偏微分方程例7-1 求方程组 相等的常数。解 由第一个等式可得Axdx?BC?AxyzydyAdx?B?C?yz?Bdy?C?A?xz?Cdz?A?B?yz通积分，其中A,B,C为互不B?Cxyz，即有AB?Cxdx?BC?Aydy?0，两边积分得方程组的一个首次积分
Φ(x,y,z)?由第二个等式可得BydyC?A?BxyzzdzAB?Cx?2BC?Ay2?C1。C?Axyz即有BC?A，ydy?CA?Bzdz?0，两边积分得方程组的另一个首次积分
Ψ(x,y,z)?由于，雅可比矩阵?????x?(?,?)???(x,y,z)??????x???y???y????A?B?Cx?z???2?????0?y???BC?AB??? C?z?A?B?BC?Ay?2CA?Bz2?C2。?yyC?A的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为
B?CB?C1C?AC22y?z?C2 。C?AA?Bx?yA2B2评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n个独立的首次积分，n为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。?dx22?y?xx?y?1??dt例7-2 求方程组 ? 的通解。dy22???x?yx?y?1??dt????解 由原方程组可得
x即d(x?y)??2(x?y)(x?y?1)dt这个方程关于变量t和x?y是可以分离的，因此易求得它的通积分为x?y?1x?y22222tdxdt?ydydt??(x?y)(x?y?1)222222222222?(x,y,t)?e?C1这是原方程组的一个首次积分。
再次利用方程组，得到
x即有d?y?arctan????1 dt?x?dydt?ydxdt??(x?y)，22由此得到原方程组的另一个首次积分
?(x,y,t)?arctan由于，雅可比矩阵为????(?,?)??x???(x,y)??????x2x????2te?222?y?x?y???????y?22?y?x?y???2ye2tyx?t?C2 。???x2?yx22?2x?y2???， ???而det?(?,?)?(x,y)?2?x2?y2?2e2t?0，所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分。采用极坐标，令x?rcos?,y?rsin?，由这两个首次积分推得??1??1?2??r?θ?t???2t?e?C1?C2由此解得1?r???2t? 。 ?C1e??θ?C2?t因此微分方程组的通解为
x(t)?cos(C2?t)?C1e?2t，
y(t)?sin(C2?t)?C1e?2t，另外，方程组有零解x?0,y?0。评注：注意方程组的通积分与通解的关系，由通积分可以确定通解，但根据隐函数存在定理，通解不一定都能表示成显式形式。1?dy?1??dxz?例7-3
求解方程组
? 。dz1???dxy?x?解 把原方程组写为dx?dy?dx???z??dx??dz?y?x?以上方程组中的两式左右两边分别相乘，消去dx，得d?y?x?y?x?dzz?0，由此得到一个首次积分?y?x?z?C1。于是y?x?代入原方程组第二式，得
两边积分得lnz?即xdxC1?dzzC1z，C1?lnC2xz?C2eC1，将C1??y?x?z代入，得到另一个首次积分?xz?y?x?ze?C2。并且容易验证它与前一个首次积分是相互独立的，于是这两个首次积分构成方程组的通积分。评注：利用已得到的首次积分消去一部分未知函数，减少方程和未知函数的个数，以便得到另外的首次积分。例7-4 求解下列一阶线性齐次偏微分方程。 1）(4y?5x)?u?t2?(5t?3y)?u?x?(3x?4t)?u?y?02）x?u?x?(xylnx?y)?u?y??u?z?0解 1） 特征方程组为dt4y?5x?dx5t?3y?dy3x?4t，将三个分式作如下变化3dt12y?15x?4dx20t?12y?5dy15x?20t，则利用合比性质dt4y?5x?dx5t?3y?dy3x?4t?3dt?4dx?5dy，从而
d(3t?4x?5y)?0 ，由此得特征方程组的一个首次积分 ?(t,x,y)?3t?4x?5y?C1。 再将特征方程组三个分式作如下变化2tdt2t(4y?5x)2?2xdx2x(5t?3y)2?2ydy2y(3x?4t)?2tdt?2xdx?2ydy，从而
d(t?x?y)?0 ，由此可得另一首次积分 ?(t,x,y)?t?x?y?C2 。?????t?(?,?)因为矩阵 ???(t,x,y)??????t???x???x????y??3???????2t?y??222242x5?所以这两个首次?的秩为2，2y?积分相互独立，因此所求方程的通解为u??(3t?4x?5y,t?x?y)222其中?为任意二元连续可微函数。2）特征方程组为dxx?dyxylnx?y2?dz1由dxx?dz可得一个首次积分为lnx?z?C1。再由dxx?dyxylnx?y2得xdy?ydx?xylnxdx?0，2即d(xy)xy22?lnxxdx?0，两边积分，有 ?1xy1?ln2x2ln2??C2，得另一个首次积分xy?x2?C2。容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为u??(lnx?z,1xy?ln2x2)其中?为任意二元连续可微函数。评注：a)利用比例的性质是求首次积分的有效方法；b)求解一阶线性偏微分方程实际上归结为求解常微分方程（或方程组），此例正是利用积分因子转化为恰当方程而得到一个首次积分。例7-5 解方程 ?1?u?x??2?u?y??3?u?z?0，其中?k(k?1,2,3)是行列式?f1?x?f2?x?f3?x?f1?y?f2?y?f3?y?f1?z?f2?z?f3?z的第三行第k个元素对应的代数余子式，而f1,f2,f3为已知可微函数。解 原方程的特征方程组为dx?1?dy?2?dz?3，由行列式的性质，有?1?f1?x?f2?x??2?f1?y?f2?y??3?f1?z?f2?z?0，?1??2??3?0，将特征方程组的三个分式作如下变化?f1?x?f1?x?f2?x?f2?xdx??1?f1?y?f1?y?f2??y?f2?ydy?2?f1?z??f1?zdz，?3dx?1dy??2?f2?z?f2?zdz，?3由合比性质得?f1?x?f2?xdx??f1?ydy??f1?zdz?0dx??f2?ydy??f2?zdz?0，于是有df1?0,df2?0，由此得两个首次积分f1(x,y,z)?C1,f2(x,y,z)?C2，由所给方程知?k(k?1,2,3)不可能全为零，所以这两个首次积分还是独立的，因此所求方程的通解为u??(f1(x,y,z),f2(x,y,z))其中?为任意二元连续可微函数。评注：注意行列式的意义及性质。 例7-6 求解方程xz?z?x?yz?z?y?xy，并求通过曲线z?x,y?z的积分曲面。22解 这是拟线性偏微分方程，其特征方程组为dxxzdxx?dyyz?dzxy，由此得?dyy，解得一个首次积分为yx?C1。代入dxxzyx?dzxy中得，dxz?dzC1x，解得另一个首次积分为z?xy?C2。2易知?C1，z?xy?C2是两个独立的首次积分，所以原方程的通解是2?(yx,z?xy)?02其中?为任意二元连续可微函数。将z?x2,y?z2代入两个独立的首次积分C2?C1?C1，4353yx?C1，z?xy?C2中，得2从而所求的曲面为?y??y?2z?xy??????。?x??x?4353评注：求柯西问题的解时，关键是寻求任意常数之间的关系式，将首次积分代入即可得所求问题的解。例7-7 求以圆x?y?ax,z?2为准线，(0,0,0)为顶点的锥面方程。解 设以f(x,y,z)?0表示任一以原点为顶点的锥面方程，那么锥面在其上任一点(x,y,z)的法线应与过此点的向径垂直，因为向径全部位于锥面上。22这样，f(x,y,z)应满足方程?f?x?f?y?f?zx?y?z?0，它的特征方程组为dxx?dyy?yzdzz，它的两个独立的首次积分为xz?C1,?C2，故以原点为顶点的锥面的一般方程为?xy?f(x,y,z)???,??0?zz?其中?为任意二元连续可微函数。22要寻找过圆x?y?ax,z?2的锥面，先把z?2代入首次积分中，得到x?2C1,y?2C2；再以此代入x?y?ax，即得C1,C2所满足的关系式为2C1?aC1?2C2?0。2222最后，将首次积分代入此关系式中，得到所求的锥面方程为2xz22?axz?2yz22?0或2x?2y?axz?0 。22评注：先建立顶点在原点的锥面方程，再求满足一定条件的特解。求特解类似于前一题。 例7-8 求与椭圆面族x22?y24?z2?C2正交，且通过直线x?2y?4z的曲面。解 设与已知椭圆面族正交的曲面族为φ(x,y,z)?C，则任一交点(x,y,z)处它们的法线互相垂直，故φ应满足线性偏微分方程x?φ?x?y?φ2?y?2z?φ?z?0，它的特征方程组为dxx?2dyy?dz2z，它的通积分为xy2?C1,zy4?C2。要寻找通过直线x?2y?4z的曲面，以x?2y,z?C1y?2,C2y3y2代入首次积分中，得到?12，消去y得到C1,C2所满足的关系式为C1?16C2。3最后，将首次积分xy2?C1,zy4?C2代入上关系式中，得到所求的曲面方程为x?16yz 。评注：求解柯西问题有时直接从特征方程组的通积分入手得到任意常数之间的关系式，从而求得满足条件特解。32例7-8 一直线在运动时常与一固定直线相交成定角，求它运动时所成曲面的方程。 解 不妨设这一固定直线为z轴，所求曲面方程为u(x,y,z)?0，则过曲面上任一点(x,y,z)且与z轴夹角为常角α的直线一定在所求曲面上，此时若这条直线与z轴的交点为(0,0,z0)，则tanα??x?yz?z022。由于过该点的法线与此直线的互相垂直，即有x?u?x?y?u?y?x?ytanα22?u?z?0，它的特征方程组为dxx?dyy??dzx?ytanα22，它的通积分为xy?C1,x?y22?ztanα?C2，所以所求曲面u(x,y,z)??(xy,x?y22?ztanα)?0或z?φ(xy)?x?ytanα22其中?为任意二元连续可微函数，φ为任意的一元连续可微函数。评注：建立所求曲面满足的偏微分方程是关键。