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将函数离散化 MATLAB1、在（-1,1）上将sinx/x离散化,要求不出现NaN2、选择适当区间将下列函数离散化：y=1/(1+e^x)y=[(1-x^2)^(1/2)]cos2x我们的作业,什么是离散化,用什么函数,区间怎么选,最好给出详细作答,
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%1x=-1:0.011:1y=sin(x)./x%2y=1./(1+exp(.^x)) y=[(1-x.^2).^(1/2)].*cos(2*x)
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扫描下载二维码数据离散化方法综述
摘要:数据离散化是一个训练集预处理的方法，用于将连续的数值属性转化为离散的数值属性。离散数值属性在数据挖掘的过程中具有重要的作用。本文首先介绍了离散化方法的分类，同时还按照分类介绍几种具有代表性的离散化方法。然后比较各种离散化方法在特定应用环境下的优势和不足，提出需根据具体应用特征选取离散化方法。
关键字：连续属性； 离散属性； 数据离散化
数据的特征按照其取值可以分为连续型和离散型。连续型数据也叫定量特征，通常用间隔的尺度和比例尺度来衡量，其值取自于某个连续的区间，通常具有较多或者无穷多个可能的取值，例如气温、身高、价格等等。离散型数据也叫定性特征，一般以名义尺度或者有序尺度定义，其值取自于某个有限的集合当中，如人的性别只能在{男、女}中取值。此类特征的值域只限定于较少的取值。数据离散化作为训练集的预处理过程，其输出直接被用作随后进行的数据挖掘算法，如分类和预测算法的输入。这些算法大多数是针对离散型数据的，对于连续型数据不适用；有些算法即使能够处理连续型数据，效果也不如处理离散型数据好。在数据库系统中连续型受占多数，要更好地分析处理这些数据就有必要对这些数据进行离散化。
离散化的方法有很多，本文第2节介绍离散化方法的分类以及离散化的一般过程第3节按类别具体介绍几种代表性的离散化方法。第4节提出要根据具体应用环境选择合适的离散化方法。
2.离散化过程及分类
2.1数值离散化的一般过程
对连续特征进行离散化处理，一般经过以下步骤：（1）对此特征进行排序。特别是对于大数据集，排序算法的选择要有助于节省时间，提高效率，减少离散化的整个过程的时间开支及复杂度。（2）选择某个点作为候选点，用所选取的具体的离散化方法的尺度来衡量候选选点是否满足要求。（3）若候选点满足离散化的衡量尺度，则对数据集进行分裂或合并，再选择下一个候选点，重复步骤（2）
（3）。（4）当离散算法存在停止准则时，如果满足停止准则，则不再进行离散化过程，从而得到最终的离散结果。
其中“候选点”指的是一个数值属性取值范围内的值，这个值将属性的取值范围分为两个部分，其中一个范围中的值小于等于“候选点”的值，另一个范围中的值大于“分割点”的值。例如，一个连续的区间[a,b]被分割成[a,c]和(c,b],其中c是分割点。不同的算法根据不同的标准来衡量候选点的优劣，其中一种衡量候选点优劣程度的标准是根据一个分割或合并与类别标号的关联，如基于熵的衡量标准和基于统计的衡量标准。“停止准则”指出何时停止离散化过程，它实质上是一个精确性与易理解性的折中。离散化程度越高，数据的精确性越差，丢失信息量越大，但是使得离散分类跟容易归纳和理解。离散化程度越低，数据保
有的信息量越大，但是不容归纳出数据与分类的关系和对数据的理解。此外，停止准则还需要考虑数据不一致性的问题，即两个数据对象所有属性的值都相同，但是所属类别不同。离散化过程导致的数据不一致性不应该比离散化之前原有数据的不一致性高。
2.2离散化方法的分类及特点
离散化方法依据不同的需求沿着不同的主线发展至今，目前已存在很多不同离散化方法的分类体系。不同的分类体系强调离散化方法间的区别的不同方面。主要的分类体系有有监督的和无监督的、动态的和静态的、全局的和局部的、分裂式的（从上至下）和合并式的（从下至上）、单变量的和多变量的以及直接的和增量式的。
根据离散化方法是否在离散化过程当中使用数据集的类别标注信息，离散化方法可以分为有监督的离散化方法和无监督的离散化方法。其中无监督的离散化方法在离散化过程当中无需使用类别信息，这类方法的典型代表是分箱方法，包括等宽度分箱和等频率分箱。分箱方法使用箱均值或箱中位数替换箱中的每一个值来将数据离散化。实际应用中，分箱方法效果不佳，特别是当数值数据分布不均匀的时候。有监督的离散化方法在离散化过程当中需要使用类别信息。以前的研究表明，有监督的方法比无监督的方法效果要好。
离散化方法也常以动态或静态的分类方法来区分。动态的离散化方法就是在建立分类模型的同时对连续特征进行离散化，如分类算法C4.5。静态的离散化方法就是在进行分类之前完成离散化处理。
根据离散化过程是否是针对整个训练数据空间的，离散化方法又可分为全局的和局部的。全局的离散化方法使用所有的实例，而局部的离散化方法只是用一部分的实例。
离散化方法还可分为从上至下的和从下至上的，也可称为分裂式的和合并式的。分裂的离散化方法起始的分裂点列表是空的，通过离散化过程逐渐往列表中加入分裂点，而合并的离散化方法则是将所有的连续值都看作可能的分裂点，再逐渐合并相邻区域的值形成区间。
单变量的离散化方法是指一次只对数据集的一个特征进行离散化，而多变量的离散化是同时考虑数据集的多个特征及其相互关联关系进行离散化，需要考虑更多的因素，算法更加复杂。
另外一种离散化方法的分类是直接式的和增量式的。直接式的离散化方法就是根据额外给定的参数（离散化所需得到的区间数等）一次性形成所有的分裂点，而增量式的离散化方法是根据某个准则逐渐的将离散化结果进行改进，直到满足准则的停止条件为止。
2.3离散化结果的评价
不同的离散化方法会产生不同的离散化结果。优良的离散化，应使划分尽可能简约，又尽可能多的保留由样本数据代表的对象的固有特性。
离散化结果的好坏可以从以下几方面来考虑：(1)区间的个数。这也是对模型简洁性的要求。理论上来说，离散得到的区间数越少越好，便于理解，但区间数的减少另一方面也会导致数据的可理解性变差; (2) 离散化所导致的不一致性。离散化之后数据的不一致性不能比离散化之前更高。这一点是对模型一致性的要求。（3）预测准确性。即对模型准确性的要求。这一点通常通过交叉检验模式
建立分类树来衡量。
3.常用的离散化方法
3.1 基于熵的离散化方法
3.1.1基于熵的一般化方法
熵(Entropy)是最常用的离散化度量之一。基于熵的离散化是一种监督的、自顶向下的分裂技术。它在计算和确定分裂点时利用分布信息。例如，为了离散化属性A，该方法选择A的具有最小熵的值作为分裂点，并递归地划分结果区间，得到分层离散化。这种离散化形成A的概念分层。
设D由属性集和类标号属性定义的数据元组组成。类标号属性提供每个元组的类信息。该集合中属性A的基于熵的离散化基本方法如下：A的每个值都可以看作一个划分A的值域的潜在的区间边界或分裂点（记作split_point）。也就是说，A的分裂点可以将D中的元组划分成分别满足条件A≦split_point和A≥split_point的两个子集，这样就创建了一个二元离散化。选择分裂点对数据集进行划分的目的是为了将数据更清晰地分类。理想的状态下，我们希望每一个分类中的元组所属类别尽可能地少，即分类后各类中的元组的类别尽可能地一致，也就是说在属性A上按照split_point划分D后为了得到完全的分类所需要的信息越少。为了度量某一划分之后得到完全的分类还需要信息，引入期望信息需求的概念，期望信息需求由下式给出:
D2 InfoA D =Entropy D1 +Entropy(D2) 其中，D1和D2分别对应于D中满足条件A≤split_point和A≥split_point的元组， D 是D中的元组的个数，如此等等。集合中的熵函数根据下式来计算，假设集合D1中的元素分别属于m个类，它们分别为C1，C2，…,Cm,D1的熵是
Entropy D1 =- pilog2pi
其中，pi是D1中元组属于Ci的概率，由D1中的Ci类元组数除以D1中的元组总数 D1 确定。这样在选择属性A的分裂点时，我们希望产生使得期望信息需求最小的属性值split_point作为分裂点，使得用A≤split_point和A&split_point划分之后，对元组完全分类还需要的信息量最小.
确定分裂点的过程递归地作用于所得到的每个划分，直到满足某个终止标准，如当所有候选点上的最小信息需求小于一个阈值，或者当区间的个数大于阈值max_interval时终止。
3.1.2 CAIM方法
CAIM（class-attribute interdependence maximization）方法是一种基于熵、自顶向下的数值属性离散化方法，大致过程和基于熵的一般化方法类似。也是选择一个分裂点split_point，将属性的取值区间划分为A≤split_point和A﹥split_point两个子区间。不同的是度量按分裂点分裂以后，度量分裂优劣的方法。
CAIM方法采用类-属性相互依赖来度量一个分裂结果的优劣。CAIM标准的计算需要如下一张二维表：
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■ 热门推荐对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使他不仅；总之，Matlab语言的设计思想可以说代表了当前；2.3Matlab软件的可视化功能；通常的课堂学习由于单纯的文字教材无法让我们学生接；(1)利用可视化在数学课程中进行教学，帮助学生理；(2)可视化教学能展现运动过程、动静搭配，以弥补；(3)为记忆提供了一个新的方式；(4)可视化不仅仅给予更高水平推理以直觉支
对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使他不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），Matlab同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，Matlab也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。
总之，Matlab语言的设计思想可以说代表了当前计算机语言的发展方向，用户在不断使用中，会发现它的巨大潜力。在我们大学数学的学习过程中，可以结合Matlab软件，做一些简单的编程应用，达到一定的可视化效果。[2]
2.3 Matlab软件的可视化功能
通常的课堂学习由于单纯的文字教材无法让我们学生接触真实的教学情境，教学的及时性、反馈性、全面性一定意义上受到限制。运用可视化手段可以把时间和空间有效地结合起来，使课堂情景化远为近、化静为动、化抽象为形象，激发学生兴趣和思维活动，发展其心理素质的非智力因素。可视化教学能够使学生对抽象与直观、静态到动态、平面与立体等关系有更形象的理解。同时，也可使学生从死记硬背、死读书、读死书的学习方法中解脱出来，更快地掌握学科的主要内容。主要功能如下:
(1)利用可视化在数学课程中进行教学，帮助学生理解抽象性的内容，使内容直观、生动、易于理解。可视化可以帮助学生理解抽象的概念，无法直接观察的现象，多维抽象空间中的函数等。
(2)可视化教学能展现运动过程、动静搭配，以弥补数学课本中插图和文字说明的局限性。
(3)为记忆提供了一个新的方式。一个映像或一个实体可视化以后，由于在头脑中它们几乎成为有形的物体因而对它们的理解与记忆就变得更容易。
(4)可视化不仅仅给予更高水平推理以直觉支持，它还含有生动数学的本质。
(5)适当的可视化是解决数学问题的有力工具
(6)可视化的应用可以给我们学生提供数学探索和创新的机会
可视化应用可以为我们创设一个数学实验室，提供了一个理想的“做”数学的环境。学生可以从“想”数学转变到“做”数学，它打破了通常的用尺规教学的方法，把动态的图形展现在学生面前。把可视化的“交互性”体现在数学教学中，能帮助学生组织自己的学习过程，以求发现问题、分析问题、解决问题。[3]
3. 探究Matlab软件可视化功能在大学数学中的应用
Matlab软件可视化技术的应用十分广泛,几乎可以应用于自然科学、工程技术、金融、通信和商业等各种领域。正是因为可视化技术能作用于各个领域，对可视化技术的发展和需求也提出了一个更好的要求。从可视化技术的诞生之日起，便受到了各行各业的欢迎。在过去的十年里，可视化的应用范围已从最初的科研领域走到了生产领域，到今天它几乎涉及到了所有能应用计算机的部分。而对于我们大学生来说更是一种必不可少的学习工具，它应用于大学数学中的几乎各项课程里。[4]
3.1 Matlab在《数学分析》中的应用
在《数学分析》课程中有相当一部分内容对于我们来说很抽象难以理解，如果把有的内容如能以图形的形式表达出来，或许就好理解多了，现取课本中的一些实例来探究说明。
3.1.1一元符号函数的直接可视化[7]
在学习数学分析中我们对一些一元函数很陌生，在理解题目或解题方面造成了很大的困难，但是如果知道这些函数的图形，对我们的解题会有很大的帮助。
：一元符号函数y?e的直接可视化。 3Matlab的程序如下：
&&ezplot('2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t)',[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7])
知道了一些复杂一元函数的图形，使我们在做题目过程中一目了然，也增加了学们学习数学分析的信心。
3.1.2导数和极限教学中的可视化[4]
数学分析中微积分的导数和极限是很抽象的知识，通过Matlab软件能以几何图形很好地表达导数的内涵和性质。
?xsin(1/x)例2：证明：函数f(x)???0x?0在x?0连续，但不可导。 x?0
此题只需考虑函数f(x)在点x?0有极限，但sin(1/x)在点x?0极限不存在即可。 先用Matlab语言来求函数f(x)在x?0的极限：
&& y=x*sin(1/x)
&& limit(y,x,0)
通过上述结果可知函数f(x)在x?0的极限值等于f(0)的值，也就是说明函数f(x)在x?0连续。下面我们用图形来观察sin(1/x)在点x?0是否有极限。
在Matlab中，利用绘图命令如下：
&& ezplot('x*sin(1/x)',[-0.6,0.6,-0.4,0.5]),grid on
&& hold on
&&legend('x*sin(1/x)')
通过观察以上图可知：当x?0时，sin(1/x)在-1与1之间是无限次震动的，不存在极限，即函数f(x)在点x?0不可导。
3.1.3求函数极小值的应用[5]
对于函数极值问题，数学分析教科书给出的求解方法是：先对函数f(x)求导函数，然后解方程f'(x)?0得到满足方程的x0，进而通过分析f(x)在x0领域内凹凸性，确定出f(x)是否在x0取得极值。这种极值确定法概念清晰、易于理解和接受。因此，这种
极值确定法不但在许多理论演绎中常被采用，而且在相当一些导函数比较简单的实际极值问题中也不少采用。
但是这种极值确定法应用于实际时遇到两个大障碍：一是，待求极值函数的导函数未必处处存在；二是，即使导函数存在，但是f'(x)?0的求解绝非轻而易举。利用Matlab的图形法求极小值使这些问题大大简化。
例3：求函数y?(x??)?esin(x??)在区间??/2?x??/2的极小值。
&& x=-pi/2:pi/200:pi/2;
&& y=(x+pi).*exp(abs(sin(x+pi)));
&& plot(x,y)
&& xlabel('x'),grid on
&& [x,y]=ginput(1)
x =-0.0138
本例函数的特点：一是导函数不连续；二是在x=-1附近，导数存在，且为0，是一个极大值。对于这样的函数，教科书方法不适用。借助Matlab图形窗的交互能力，可以相当准确地求解一元函数的极值问题。
3.1.4连续函数的可视化
连续函数的可视化包含三个重要环节：一是从连续函数获得一组采样数据，即选定一组自变量采样点（包含采样点的起点、终点和采样的步长），并计算相应的函数值；二是，离散数据的可视化；三是，图形上离散点的连续化。
显然，图形上的离散点不能很好地表现函数连续性。进一步表示离散点之间的函数性状，有两种处理方法：
(1)对区间进行更细的分割，计算更多的点，以近似表现函数的连续变化。这种方法的优点是：所画的每个点都反映真实的函数关系；缺点是：为了使图形上离散点密集到产生“连续感”，所需离散点的数量很大，从而大大增加计算负担。因此，在实际应用中，这种依靠增加离散点数量去获得“连续感”的方法较少采用。
(2)在离散采样点的基础上，采用“线性插值”迅速算出离散点间连线上所经过的每个像素，从而获得“连续曲线”的效果。这种方法的优点是：曲线有良好的连续感，并且计算量小，绘图速度快：缺点是：除离散采样点外，所有的连线都只是真实曲线的近似。此外，采用插值连线画图时，自变量采样点必须按单调增或单调减次序排列。
Matlab绘制连续曲线时，会根据指定的离散采样点，自动的进行插值计算，进而绘制出连续的曲线，倘若自变量的采样点数不足够多，则无论哪种方法都不能真实地反映出原函数。
例4：用图形表示连续调制波形y?sin(t)sin(9t)
t1=(0:11)/11*
&& t2=(0:400)/400*
&& t3=(0:50)/50*
&& y1=sin(t1).*sin(9*t1);
&& y2=sin(t2).*sin(9*t2);
&& y3=sin(t3).*sin(9*t3);
&& subplot(2,2,1),plot(t1,y1,'r.')
&& axis([0,pi,-1,1]),title('(1)点过少的离散图形')
&& subplot(2,2,2),plot(t1,y1,t1,y1,'r.')
&& axis([0,pi,-1,1]),title('(2)点过少的连续图形')
&& subplot(2,2,3),plot(t2,y2,'r.')
&& axis([0,pi,-1,1]),title('(3)点密集的离散图形')
&& subplot(2,2,4),plot(t3,y3,)
&& subplot(2,2,4),plot(t3,y3)
axis([0,pi,-1,1]),title('(4)点足够的连续图形
3.1.5在级数分解中的应用
例5：在讲解麦克劳林公式中的例子：
e?1?x??????xn?1 2!3!n!(n?1)!x
其中0???1,x?(??,?)
很多学生是不能理解这样的展开式的，如能用图形来说明，大部分学生就能理解。于是在Matlab环境下，依次输入如下的命令：
&& figure(1);
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