4．. ∴ 说明:对于函数求导.一般要遵循先化简.再求导的基本原则．求导时.不但要重视求导法则的应用.而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时.首先必须注意变换的等价性.避免不必要的运——精英家教网——
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4．. ∴ 说明:对于函数求导.一般要遵循先化简.再求导的基本原则．求导时.不但要重视求导法则的应用.而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时.首先必须注意变换的等价性.避免不必要的运算失误． 根据点和切线确定抛物线的系数 例 已知抛物线通过点.且在点处与直线相切.求实数a.b.c的值． 分析:解决问题.关键在于理解题意.转化.沟通条件与结论.将二者统一起来．题中涉及三个未知参数.题设中有三个独立的条件.因此.通过解方程组来确定参数a.b.c的值是可行的途径． 解:∵曲线过点. ∴① .∴ ∴② 又曲线过点.∴③． 联立解①.②.③得 说明:利用导数求切线斜率是行之有效的方法.它适用于任何可导函数.解题时要充分运用这一条件.才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点在曲线上这一关键的隐含条件． 利用导数求和 例 利用导数求和． 【】
题目列表(包括答案和解析)
给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．（1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由；（2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=5x-ax+2在D2上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围．②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围．
（;顺义区一模）对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．（Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；（Ⅱ）求f（3k-1）（k∈N*）的值；（Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．
某研究性学习小组研究函数f（x）=ax3+bx（a≠0，a，b为常数）的&性质：（Ⅰ）甲同学得到如下表所示的部分自变量x及其对应函数值y的近似值（精确到0.01）：
0.08请你根据上述表格中的数据回答下列问题：（i）函数f（x）在区间（0.4，0.44）内是否存在零点，写出你的判断并加以证明；（ii）证明：函数f（x）在区间（-∞，-0.3）上单调递减；（Ⅱ）乙同学发现对于函数f（x）图象上的两点A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰为直线AB的斜率，请你判断乙同学的结论是否正确？若正确，请给出证明并确定m的个数，若不正确，请说明理由．
给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：f1（x）=2x-1，f2（x）=-12x2-12x+1，f3（x）=2x-1；（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=5x-ax+2在D2上封闭？若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．
（;顺义区二模）对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．（Ⅰ）判断函数f（3x）=2×3x（x∈N）是否是N上的严格增函数；（Ⅱ）证明：f（3k）=3f（k）；（Ⅲ）是否存在正整数k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在请说明理由．
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基于2个网页-
both algorithm
基于2个网页-
hybrid differentiation
本文给出了两种算法的计算机程序框图，并就结果与直接求导方法进行了对比。
In the paper, algorithm block diagrams are given, and results are compared with that by direct derivation method.
采用遗传算法作为预测控制的滚动优化策略，避免了梯度算法中的多次求导运算的问题，从而使得求解过程简化。
Using the genetic algorithm as the online optimizing algorithm, it escape the problem of account the derivative repeatedly at gradient algorithm, and it predigest the problem.
结果表明：该算法降低了基于求导方法对噪声的敏感，提高了定标模板拐角检测的鲁棒性，减小了误判率、丢失率并且提高了检测精度。
According to the simulation results which are gotten by using the calibration palette images, the suggested method improves the robustness and reduces the error ratios in corner detection.
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- 来自原声例句
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第三周课程中，逻辑回归代价函数的求导过程没有具体展开，在此推导并记录：
逻辑回归的代价函数可以统一写成如下一个等式：
$J(\theta ) = -\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log(h_\theta (x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta (x^{(i)})) \right]$
其中：$h_\theta (x^{(i)}) = \frac{1}{1+e^{-\theta^\mathrm {T} x}}$
为了避免求导过程太冗长复杂，我们做一些显示的简化：
$J(\theta ) =&-\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m}K(\theta)\right]$
其中：$K(\theta) =&y^{(i)}log(h_\theta (x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta (x^{(i)}))$
$h_\theta (x^{(i)}) = \frac{1}{1+e^{-\theta^\mathrm {T} x}}$
OK，下面开始我们的推导过程：如果要求$J(\theta)$对某一个参数$\theta$的偏导数，则：
（1）根据求导公式，可以先把常数项$-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}$提取出来，这样就只需要对求和符号内部的表达式求导，即：
$J(\theta ){}' = -\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m}K(\theta){}'\right]$
$K(\theta){}' = \left(ylog(h_\theta (x))+(1-y)log(1-h_\theta (x))\right ){}'$（为方便显示，先把右上角表示第i个样本的上标去掉）&
（2）根据对数复合求导公式，$log(x){}' = \frac{1}{x}x{}'$，对$K(\theta)$继续求导可得：
$K(\theta){}' =&y\frac{1}{h_\theta (x)}h_\theta (x){}'+(1-y)\frac{1}{1-h_\theta (x)}(1-h_\theta (x)){}'$
（3）根据幂函数复合求导公式，$(y^{x}){}' = xy^{x-1}x{}'$，及以e为底的指数求导公式，对$h_\theta(x)$继续求导可得：
$h_\theta (x){}' = \left( \frac{1}{1+e^{-\theta^\mathrm {T} x}} \right){}'=-\frac{(1+e^{-\theta^\mathrm {T} x}){}'}{(1+e^{-\theta^\mathrm {T} x})^{2}} = \frac{e^{-\theta^\mathrm {T}x}(\theta^\mathrm {T} x){}'}{(1+e^{-\theta^\mathrm {T} x})^{2}} = \left(\frac{1}{1+e^{-\theta^\mathrm{T}x}}(1-\frac{1}{1+e^{-\theta^\mathrm{T}x}})\right)(\theta^\mathrm{T}x){}' = h_\theta(x)(1-h_\theta(x))(\theta^\mathrm{T}x){}'$
同理，$(1-h_\theta (x)){}'= -\frac{e^{-\theta^\mathrm {T}x}(\theta^\mathrm {T} x){}'}{(1+e^{-\theta^\mathrm {T} x})^{2}} = -h_\theta(x)(1-h_\theta(x))(\theta^\mathrm{T}x){}'$
（4）把步骤3的结果带入步骤2，化简后可得：
&$K(\theta){}' = (y-h_\theta(x))(\theta^\mathrm{T}x){}'$
再把上面结果带入步骤1，化简后可得：
&$J(\theta){}' = \frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x)-y)(\theta^\mathrm{T}x){}'\right]$
最后$(\theta^\mathrm{T}x){}'$，对第j个$\theta$求偏导，结果即$X_{j}$（j表示样本中第几项），得到最终结果：
&$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{j}} = \frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_{j}^{(i)}\right]$
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