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All Rights Reserved关于恒成立问题的解题策略
整理人：凌彬
一、恒成立问题的基本类型
在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．
函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：
①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；
③某不等式的解为一切实数；
④某表达式的值恒大于a，等等 ┅
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像．
二、恒成立问题解决的基本策略
A、两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1：m?f(x)在x?D上恒成立?m?[f(x)]max；
思路2：m?f(x)在x?D上恒成立?m?[f(x)]min．
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数f(x)的最值．
此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．
B、赋值型——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?(x?1)4?b1(x?1)3?b2(x?1)2?b3(x?1)?b4； 定义映射f：(a1, a2, a3, a4)?b1?b2?b3?b4，则f：(4,3,2,1)?_____ 解：取x?0，则a4?1?b1?b2?b3?b4，又由已知a4?1，所以b1?b2?b3?b4?0． 例2．如果函数y?f(x)?sin2x?acos2x的图像关于直线x??
解：取x?0及x???8对称，那么a?____ ??，则f(0)?f(?)，即a??1． 44
此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．
C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
1、一次函数型
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．
给定一次函数y?f(x)?ax?b
(a?0)，若y?f(x)在[m, n]内恒有f(x)?0，则等价于：?f(m)?0?f(m)?0；同理，若在内恒有，则等价于：． [m, n]f(x)?0??f(n)?0f(n)?0??
例3．对于满足a?2的所有实数a，求使不等式x2?ax?1?2a?x恒成立的x的取值范围． 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个
作为常数；显然可将a看作自变量，则上述问题即可转化为在[?2, 2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题．
解：原不等式转化为：(x?1)a?x2?2x?1?0在a?2时恒成立，
设f(a)?(x?1)a?x2?2x?1，则f(a)在[?2, 2]上恒大于0，
?x2?4x?3?0?x?3或x?1?f(?2)?0?故有：?即?2，解得：?； f(2)?0x?1或x??1????x?1?0
∴x??1或x?3，即x?(－∞,－1)∪(3,+∞)．
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m, n]上的图像是一条线段，故只须保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可．
2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点，要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用．
（1）若二次函数y?ax2?bx?c (a?0)大于0恒成立，则有a?0且??0；
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解． 例4．
若函数f(x)?R，求实数a的取值范围． 分析：该题就转化为被开方数：(a2?1)x2?(a?1)x?
二次项系数的讨论．
解：由题意可知，当x?R时，(a2?1)x2?(a?1)x?2?0在R上恒成立问题，并且注意对a?12?0恒成立， a?1
①当a2?1?0且a?1?0时，a?1；此时，(a2?1)x2?(a?1)x?
2?1?0，适合； a?12
?a2?1?02??a?1?2?1?a?9； ②当a?1?0时，有?即有?2222?0??a?10a?9?0???(a?1)?4(a?1)a?1?
综上所述，f(x)的定义域为R时，a?[1, 9]．
例5．已知函数f(x)?x2?ax?3?a，在R上f(x)?0恒成立，求a的取值范围． 分析：y?f(x)的函数图像都在x轴及其上方，如右图所示：
略解：??a2?4?3?a??a2?4a?12?0，??6?a?2．
变式1：若x???2,2?时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围．
分析：要使x???2,2?时，f(x)?0恒成立，
只需f(x)的最小值g(a)?0即可．
解：f(x)?(x?)??a?3，令f(x)在??2,2?上的最小值为g(a)； 24
①当?a7 ??2，即a?4时，g(a)?f(?2)?7?3a?0；?a?，而?a?4，?a不存在；23
②当?2???2，即?4?a?4时，g(a)?f()???a?3?0，??6?a?2； 242
又??4?a?4，??4?a?2； ③当?a?2，即a??4时，g(a)?f(2)?7?a?0，?a??7； 2
又?a??4，??7?a??4；
综上所述，?7?a?2．
变式2：若x???2,2?时，f(x)?2恒成立，求a的取值范围．
法一：分析：题目中要证明f(x)?2在??2,2?上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转
化成左边二次函数在区间??2,2?时恒大于等于0的问题．
略解：f(x)?x?ax?3?a?2?0，
即f(x)?x2?ax?1?a?0在??2,2?上成立；
①??a2?4?1?a??0，
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