杨辉三角形又称Pascal三角形，它的第i+1行是(a+b)i的展开式的系数。
它的一个重要性质是：三角形中的每个数字等于它两肩上的数字相加。
下面给出了杨辉三角形的前4行：
给出n，输出它的前n行。
输入包含一个数n。
输出杨辉三角形的前n行。每一行从这一行的第一个数开始依次输出，中间使用一个空格分隔。请不要在前面输出多余的空格。
1 &= n &= 34。
解题思路：1.根据杨辉三角的形式，不难看出是会用到二维数组；2.会用到杨辉三角的公式：a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]，也就是下面的数字等于肩上两个数字的和。3.二维数组的输出形式
#include&stdio.h&
int main()
& & int i,j,n;
& & //初始化
& & scanf(&%d&,&n);
& & int a[n][n];
& & for(i=0;i&n;i++)
& & &for(j=0;j&n;j++)
& & & a[i][j]=0;
& & &//给数组附值
& & for(i=0;i&n;i++)
& & &for(j=0;j&=i;j++)
& & & if(j&1)a[i][j]=1;//开头的第一个数为1
& & & else if(i==0)
& & & else
& & & a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
& & & & & & & & & //杨辉三角的规律
& & //输出
& & for(i=0;i&n;i++)
& & &for(j=0;j&=i;j++)
& & & printf(&%d &,a[i][j]);
& & &printf(&\n&);
& & &return 0;
代码中有两个要注意的地方：第一个是给数组赋初值为0，第二个是要设置第一个数字为1。为什么要对数组赋初值呢？是因为在定义数组的时候，如果没有赋值，编译器会自动赋值给数组，为了防止出现数据丢失和错乱的情况的发生，所以要在一开始要对数组赋初值。为什么要设置第一个数字为1，是因为要满足杨辉三角的形式，第一个数字是1，才可以继续向后计算。
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杨辉三角的多种解法
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杨辉三角综合测试题(含答案)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
杨辉三角综合测试题(含答案)
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
选修2-3& 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
一、1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)A．2n－1　　&B．2n－1　　C．2n＋1－1　　&D．2n[答案]　C[解析]　解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝1×(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是(　　)A．第4项& &&B．第4、5两项C．第5项& &&D．第3、4两项[答案]　B[解析]　(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于(　　)A．210& &&B．120& C．461& &&D．416[答案]　A[解析]　由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝Cr10•(x3)10－r&#r＝Cr10&#r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C610＝210.4．(;安徽•6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)A．2& &&&B．3& C．4& &&&D．5[答案]　A[解析]　∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝(　　)A．2n& &&&B．0& C．－1& &&D．1[答案]　D[解析]　原式＝(2－1)n＝1，故选D.6．设A＝37＋C27•35＋C47•33＋C67•3，B＝C17•36＋C37•34＋C57&#，则A－B＝(　　)A．128& &&B．129& C．47& &&&D．0[答案]　A[解析]　A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是(　　)A．16& &&&B．70& C．560& &&D．1120[答案]　D[解析]　考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r＝Cr8•2r&#r，∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C.8．(;广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)A．第9项& &&B．第10项C．第19项& &D．第20项[答案]　D[解析]　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45•11＋C46•12＋C47&#＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D.9．若n为正奇数，则7n＋C1n•7n－1＋C2n•7n－2＋…＋Cn－1n&#除所得的余数是(　　)A．0& &&&B．2& C．7& &&&D．8[答案]　C[解析]　原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n•9n－1＋C2n•9n－2－…＋Cn－1n•9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(;江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)A．－1& &&B．0& C．1& &&&D．2[答案]　B[解析]　(2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r•28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、题11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a＋a(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)[答案]　2009[解析]　令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝09.12．(;北京•11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案]　5　10[解析]　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5•(x2)5－r&#r＝Cr5&#r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.13．(;全国Ⅱ理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.[答案]　1[解析]　由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0―1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．&[答案]　2n－1　32[解析]　用不完全归纳法，猜想得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析]　令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．[分析]　分析题意→令x＝1求(1)式的值→令x＝－1求(2)式的值→令x＝－1求(3)式的值[解析]　(1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a0102.(3)∵Tr＋1＝Cr;12010－r•(－2x)r＝(－1)r•Cr;(2x)r，∴a2k－1&0(k∈N*)，a2k&0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a.17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.[证明]　∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，∴(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)•(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∵Cmn＝Cn－mn(0≤m≤n)，∴(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．[分析]　由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析]　方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，则Tr＋1＝Cr5•(x－2x2)r•(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k•(－2x2)k＝(－2)k•Ckr•xx＋k.令r＋k＝4，则k＝4－r.∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，∴r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.∴展开式中含x4的项为[C25•(－2)2•C22＋C35•(－2)•C13＋C45•(－2)0•C04]•x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5&#x)5，则展开式中含x4的项为C05(2x)4＋C15•(－x)(2x)3＋C25•(－x)2&#x)2＋C35•(－x)3(2x)＋C45•(－x)4(2x)0＝－15x4. 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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