矩陣導數 | 線代啟示錄
If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.
本文的閱讀等級：中級
為一個多變量可導函數，或記為 ，其中 。我們定義
的梯度 (gradient) 為下列
的一階偏導數。如果給定
個多變量函數 ，，則有
個梯度 ，。將這
梯度合併成一個矩陣，取轉置，可得
稱為 Jacobian 矩陣。另一方面，如果
是二階可導函數，我們可以計算
的梯度，如此可得
稱為 Hessian 矩陣。請注意，梯度
的 Jacobian 矩陣即為
的 Hessian 矩陣 (見“”)。以上三種涉及純量對向量求導的結果經常出現於線性代數的相關應用領域，但線性代數課程卻鮮少討論。本文介紹一般性的矩陣導數 (matrix calculus)，包括下列數種類型：
代表自變數， 代表應變數；小寫斜體表示純量，小寫粗體表示向量，大寫斜體表示矩陣。針對每一種類型，底下列舉一些常用的恆等式並給出證明。
首先說明本文使用的符號。如果不特別指定，假設
維向量， 是一個
維向量， 和
階矩陣。矩陣導數存在兩種佈局慣例 (layout convention)：分子佈局與分母佈局[1]。以向量—向量導數
為例說明。分子佈局，也稱為 Jacobian 形式，根據
將結果置於一個
階矩陣，如下：
或明確地寫成
分母佈局，也稱為 Hessian 形式或梯度形式，根據
將結果置於一個
階矩陣，如下：
或明確地寫成
如果採用分子佈局， 是
維列向量 (row vector)， 是
維行向量 (column vector)；如果採用分母佈局， 是
維行向量，
維列向量。(在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列。) 請注意，對於純量—向量導數、向量—純量導數和向量—向量導數，本文採用分母佈局；對於純量—矩陣導數和矩陣—純量導數，本文採用混合佈局， 採用分母佈局，但
採用分子佈局。如此一來，矩陣導數與原矩陣有相同的尺寸：
向量—向量恆等式
假設純量 、向量
的函數；， 和
是可導函數[2]。
使用定義，。
使用定義，。這裡
是 Kronecker 記號： 若 ； 若 。
使用定義，
使用定義，
另外，因為轉置是一個線性函數，使用 (VV-3)，
使用定義，
使用定義，
使用定義，
使用定義與鏈式法則，
純量—向量恆等式
假設純量 、向量
的函數；， 和
是可導函數。
使用 (VV-1)，將向量
使用 (VV-5)，將向量函數
使用 (VV-7)，將向量函數
使用定義，
使用 (VV-8)，將向量函數
使用 (SV-4)，
使用 (SV-6) 和 (VV-6)，
使用 (SV-6)，(VV-1) 和 (VV-2)，
使用 (SV-8)，將
使用 (SV-7) 和 (VV-2)，
使用 (SV-10)，將
使用 (SV4) 和 (SV8)，
有些作者將二次求導
寫為 。使用 (SV-10) 和 (VV-3)，
在線性代數中，最小平方近似問題是純量對向量求導的一個經典應用。考慮
階係數矩陣， 是
維常數向量， 是
維未知向量。寫出
利用 (SV-1)，(SV-8) 和 (SV-10)，
設上式等於零向量，即得正規方程式 (normal equation) 。相關討論請見“”。
向量—純量恆等式
假設純量 、向量
的函數；， 和
是可導函數。
使用 (VV-1)，將向量
使用 (VV-5)，將向量
使用 (VV-6)，將向量
使用 (VV-7)，將向量
都是線性函數，故可置換。
使用 (VV-8)，將向量
取代，將向量函數
純量—矩陣恆等式
假設純量 、向量
的函數；， 和
是可導函數。恆等式 (SM-1) 至 (SM-5) 與前述恆等式類似，證明省略。
使用定義，
取轉置，使用 (SM-6)，
使用 (SM-6) 和 (SM-7)，將
使用定義，
另一個快捷的作法將
視為一個常數矩陣，使用微分乘法規則，(SM-6) 和 (SM-7)，
矩陣—純量恆等式
假設純量 、矩陣
的函數； 和
是可導函數。恆等式 (MS-1) 至 (MS-3) 與前述恆等式類似，證明從略。
使用定義，
使用定義，
考慮 ，使用 (MS-1) 和 (MS-4)，
上式左乘 ，即得證。
根據矩陣指數定義 (見“”)，
使用 (MS-2) 和 (MS-3)，
除了本文介紹的基本型態矩陣導數，還有許多涉及跡數 (trace) 和行列式的矩陣導數恆等式。不過這些恆等式的推導程序較為繁瑣，日後再另文詳細解說。
參考來源：
[2] 本文選取的恆等式主要來自和。
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官方公共微信& 高二数学矩阵与变换
高二数学矩阵与变换
[导读]内容解析 教学建议 内容解析 通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。 主要内容 2.1 二阶矩阵与平面向量 2.2 几种常见的平面变换 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.4 逆矩阵...
通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
学习总结报告
具体内容? 定位低起点——以初中数学知识为基础；
低维度——以二阶矩阵为研究对象；
形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。? 意图在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。
本专题的定位和意图
? 主要数学思想
（1）数学化思想；
（2）数学建模；
（3）数形结合的思想；（4）算法思想。? 重点通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。? 难点切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。
本专题重点、难点及主要数学思想? 主线通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩阵的意义和作用。
? 技术与内容的整合
（1）几何变换； （2）变换与矩阵的乘法；
（3）逆矩阵。
? 几何画板、Excel
? 教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循从具体到一般，从直观到抽象的教学原则。
本专题的教学思路
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
二阶矩阵与平面向量
建议课时:2课时
1.了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题.
2.了解矩阵的相关知识.
3.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.
4.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.
二阶矩阵与平面向量
2.在本章中点和向量不加区分.如:
1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:
二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向
量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩
阵的概念和表示方法.如:
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：
从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；
从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。
二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列
矩阵通常用希腊字母α、β等表示.
5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.
6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
几种常见的平面变换
建议课时:6课时
1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换.
2.掌握恒等
切变变换的矩阵表示及其几何意义.
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,并证明二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线.
几种常见的平面变换
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:
几种常见的平面变换
3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
伸压变换不是简单地把平面上的点(向量) “向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.
几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.
几种常见的平面变换
5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点2.2
几种常见的平面变换
6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
几种常见的平面变换
几种常见的平面变换
7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.
7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.
几种常见的平面变换
8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.
几种常见的平面变换
9.切变变换矩阵
把平面上的点P(x,y)沿x轴方
10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
变换的复合与矩阵的乘法
建议课时:2课时
1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法.
2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来两个矩阵对应的连续两次变换.
3.通过几何变换,使学生理解一般情况下,矩阵乘法不满足交换率.
4.会验证矩阵乘法满足结合率.
5.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去率.
变换的复合与矩阵的乘法
1.矩阵乘法的法则是:
2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.
变换的复合与矩阵的乘法
4.要求学生从几何变换角度理解AB.
5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率.
变换的复合与矩阵的乘法
6.有关转移矩阵.
变换的复合与矩阵的乘法
变换的复合与矩阵的乘法
变换的复合与矩阵的乘法
7. 转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
逆变换与逆矩阵
建议课时:2课时
1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.
2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质.
3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.
4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率.
5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.
逆变换与逆矩阵
6.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的含义.
7.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组.
8.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性.
逆变换与逆矩阵
2．课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中
引入了逆矩阵和逆变换．这样安排让学生在轻松氛围中掌
握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个
矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结
果相同．也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺
利解决打下基础．
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是
学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答
案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆
矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．
1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为
A的逆矩阵.
逆变换与逆矩阵
4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在
逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更
贴近学生实际．
逆变换与逆矩阵
7.逆矩阵的求解
逆变换与逆矩阵
9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生可能
会出现的认知障碍．学生可以借助于此更好地理解公式
（AB）-1=B-1A-1．
10．新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通
过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩
阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间的呼应，
又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满
足消去率．
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识
理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识
两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵12.2.4
逆变换与逆矩阵14.2.4
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
特征值与特征向量
建议课时:2课时
1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.
2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
3.利用矩阵A的特征值,特征向量给出Anα的简单表示.
特征值与特征向量
1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换
，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感
性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学生
学习特征值和特征向量打下坚实基础．
3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的
乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式．课
本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将
之作为一个工具．
特征值与特征向量4.2.5
特征值与特征向量
特征值与特征向量
6.一个特征值对应着多个特征向量.
7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算多次变换的结果.
特征值与特征向量
特征值与特征向量
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
具体内容解析
矩阵的简单应用
建议课时:2课时
1.初步了解高阶矩阵.
2.了解矩阵的简单应用.
矩阵的简单应用
1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.
2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.
3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的应用.
矩阵的简单应用
5.课本介绍了“七桥问题”,这个问题的解决既符合学生的实际,又能够引导学生了解更多的数学史内容(选修3-1)
4.课本介绍了网络图、一级路矩阵和二级路矩阵,意图在于介绍高阶矩阵和激发学生学习图论的兴趣,为其它选修专题的开设打下基础.
矩阵的简单应用
6.本节的难点在于种群问题的解决.(例6)
矩阵的简单应用
矩阵的简单应用
矩阵的简单应用
二阶矩阵与平面向量
几种常见的平面变换
变换的复合与矩阵的乘法
逆矩阵与逆变换
特征值与特征向量
矩阵的简单应用
学习总结报告
学习总结报告
报告分三个方面的内容:
1.知识的总结.理解本专题的整体思路、结构和内容.进一步认识变换的思想.
2.拓展.通过查阅资料、调查报告、访问求教、独立思考,对矩阵及其应用作进一步探讨.
3.学习本专题的感受和体会.
1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩阵以及(aij)形式的矩阵.
2.矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.
3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率.
4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.
5.应通过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换,这样会让学生感到生动,单纯的平面几何变换比较抽象.
6.可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来,体现知识的螺旋上升.
7.注意伸压变换和伸缩变换的异同.
8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学生可能会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关知识.自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地理解线性变换把直线变成直线(或点).
9.切变变换从几何上可以这样理解:保持图形面积大小不变,而点间距离和线间角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换.这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形,用书上的方式直观描述.
10.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.
11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工
具来使用，不作为重点，不应展开讨论．
12.对二元一次方程组来说，用求逆矩阵的方法来解方程
组并不简便，这里强调的是其思想，无需做大量练习．
13.从具体伸压变换引入“不变性”不可缺少，只有在建立感
性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式
地理解特征值和特征向量．
14.课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的
一个工具使用，不需要展开讨论．但是对如何得到这个公
式要作出解释，即要向学生说明为何
有不全为零的解时要D=0．
15.将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特
征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研
究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，
用数的严谨求解问题．
16.网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学习
选修4-8，在此不要展开与扩充有关知识．对于例5，我们
也可以引导有兴趣的学生去学习选修4-6中的公开密钥．
17.讲解例6种群问题时可以适当变换问题背景（例如两个
商场间的顾客量等），通过这个变化来说明特征值和特征
向量应用的多样性、多方位．
高二数学矩阵与变换
品德与社会
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