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高等代数第二章习题答案
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高等代数第二章习题答案
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3秒自动关闭窗口复习二（2）――矩阵的初等变换、矩阵的秩；重点：熟练掌握矩阵的初等行变换，能将矩阵化为行阶；一．矩阵的初等变换：；1．定义：（重点：初等行变换）；注意：（1）矩阵的初等变换与行列式的性质2、3、；（2）初等变换是等价运算；下面三种变换称为矩阵的初等行变换:；①对调两行；②用数k≠0乘以某一行所有元素；；③把某一行所有元素k倍加到另一行对应的元素上去；2．行阶
复习二（2） ―― 矩阵的初等变换、矩阵的秩
重点：熟练掌握矩阵的初等行变换，能将矩阵化为行阶梯形矩阵，并求矩阵的秩。
一．矩阵的初等变换：
1．定义：（重点：初等行变换）
注意：（1）矩阵的初等变换与行列式的性质2、3、6的不同之处
（2）初等变换是等价运算
下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
① 对调两行；② 用数k ≠ 0 乘以某一行所有元素；
③ 把某一行所有元素k倍加到另一行对应的元素上去
2．行阶梯形矩阵：
用矩阵的初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；
每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，
阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零
元，也就是非零行的第一个非零元
行最简形矩阵的特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．
0例如 ??0??0
二．初等矩阵： 0?104?1?103? 001?3?0000???
1．定义：由单位矩阵E经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的三种形式（类型）及其逆矩阵：
交换E的i,j两行（或两列），得初等矩阵Eij；
以k?0乘E的第i行（或第i列），得初等矩阵Ei(k)；
以k乘E的第j行加到第i行上（或以k乘E的第i列加到第j列上），得初等矩阵Eij(k)。
1?1=Eij，?Ei(k)??1=Ei()， ?Ei(k)??1=Ei(?k) Eijk
2. 初等矩阵与初等变换的关系：
用初等矩阵左(右)乘矩阵A，相当于对A作一次相应的初等行(列)变换。
3. 方阵A可逆的充要条件：方阵A可逆 ?A?E
方阵A可逆 ?存在有限个初等方阵P1,P2,?,Pl使A?P1,P2,?,Pl
三．矩阵的秩：
1．矩阵A的k阶子式及秩的定义；矩阵A的秩记为R(A)= r；规定R(0)=0
2. 性质：（1）设A为m?n矩阵，则0?R(A)?min(m,n)；（2）A?B?R(A)?R(B)；
（3）n阶矩阵A 可逆?R(A)= n?|A|≠0；
n阶矩阵A不可逆?R(A)& n?|A|=0。
故可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵。
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。
??A0??T?=R(A)?R(B)；（4）R?（5）R(A)= R(A)；（6）若k?0，则R(kA)=R(A)； ???0B?????
（7）设A为m?n矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，
则R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)（即用可逆矩阵乘某矩阵，不改变该矩阵的秩）；
（8）R(AB)?min(R(A),(R(B))；（9）R(A?B)?R(A)?R(B)；
（10）若Am?nBn?s=0，则R(A)?R(B)?n.
3．行阶梯形矩阵B的秩：R(B)= B的非零行的行数。
4．矩阵A的秩的求法：利用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵，
则A的秩R(A)= 行阶梯形矩阵的非零行的行数。
二．初等矩阵
?a11a12?（2008）一、6．设初等矩阵P满足：?a21a22?a?31a32a13??a12??a23?P??a22?aa33???32a11a13??a21a23?，则P=
。 a31a33??
解：对矩阵A施行初等列变换，相当于用相应的初等矩阵P右乘矩阵A：
?a11a12??a21a22?a?31a32a13??a12c1?c2??a23???a22?aa33???32a11a13??a11a12??a21a23???a21a22?a31a33???a31a32a13??a11a12??a23?E(1,2)??a21a22?aa33???31a32a13??a23?P； a33??
?100?c?c?010?12????E(1,2)?PE??010???100 ???001??001?????
?a1b1c1??a1c1b1?
（2007）一. 3.设A??a2b2c2?，P是3阶初等方阵，若AP??a2c2b2?，则P=
。 ?????acb??abc??333??333?
解：对矩阵A施行初等列变换，相当于用相应的初等矩阵P右乘矩阵A：
A???a2?a?3b1b2b3c1?c?c?a132?c2????a2?ac3???3c1c2c3b1??100?c?c?100?32?????b2??AE(2,3)?AP；E??010???001??E(2,3)?P ?001??010?b3??????
?a11a12a13??a21a22a23?????（2006）一、8．设初等矩阵P满足P?a21a22a23???a11a12a13?，则P= ?a????31a32a33??a31a32a33?
解：对矩阵A施行初等行变换，相当于用相应的初等矩阵P左乘矩阵A。
?a11a12??a21a22?a?31a32a13??a21a22a23??a11a12r1?r2????a23???a11a12a13??E(1,2)?a21a22?a??aa33???32a31a33??31a32a13??a11a12??a23??P?a21a22?aa33???31a32a13??a23?； a33??
?100?c?c?010?12????E(1,2)?PE??010???100 ???001??001?????
?abc??010?????（2004）一.（3）设A??a1b1c1?，P??100?，则PA?。 ?001??abc????222?
?010??abc??a1b1c1???????解一：PA??100??a1b1c1???abc? ?001??abc??abc????222??222?
解二：P= E(1,2)是初等矩阵，用初等矩阵P左乘矩阵A，相当于对A施行相应的初等行变换，
因此PA相当于对调了A的第1、2两行。
（2003）一.4．设P是n阶初等矩阵，对任一n阶方阵A，PA使得A的第3行元素改变符号，
解：∵初等矩阵P左乘矩阵A，相当于对A施行一次相应的初等行变换，
PA使得A的第3行元素改变符号，即用(-1)乘以A的第3行；
?1??1?????1O1O???r??31?1????En???????En(3(?1))?P,11????O?O????????1??1???
三．矩阵的秩
（2007）一.5. （2002）一.3.若n阶方阵A的秩小于n，则此方阵的行列式等于
。 解：∵R(A)& n，∴A为降秩矩阵(不可逆矩阵，奇异矩阵），即|A|= 0.
T（2007）一.6.已知A?(1,0,2)，B?(3,4,5)。C?AB，，则R(C)?
?1??345?r?2r?345?31??????解：C?AB?0?345??000?000，?R(C)?1 ??????????2???6810???000??
（2005）一、（5）设A、B为3阶方阵，A等价于B且|B|≠ 0，则R(A)
。 解：|B|≠ 0，则B可逆（满秩、非奇异），R(B)=3；A~B，则R(A)= R(B)=3；
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线性代数及其应用习题解答
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