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第七章 向量代数与空间解析几何
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第七章 向量代数与空间解析几何
官方公共微信积分的意义
积分的意义
范文一：不定积分的意义微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。列如在F’( x) = f ( x)于闭区间[ a, b ]连续的条件下, F ( x)的微分与f ( x)的积分构成的矛盾,通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一,从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式。那么这两个中值定理又是如何建立的呢? 我们沿波讨源,便得到实分析的理论体系,这就是刻划实数连续性的一些定理,即实分析的理论之源。微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1) ) 定理1 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]上必有上下界。此定理可由下边定理推出。 定理2 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]一致连续。原文地址：不定积分的意义微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。列如在F’( x) = f ( x)于闭区间[ a, b ]连续的条件下, F ( x)的微分与f ( x)的积分构成的矛盾,通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一,从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式。那么这两个中值定理又是如何建立的呢? 我们沿波讨源,便得到实分析的理论体系,这就是刻划实数连续性的一些定理,即实分析的理论之源。微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1) ) 定理1 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]上必有上下界。此定理可由下边定理推出。 定理2 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]一致连续。
范文二：§5. 5
L积分的几何意义，Fubini定理教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理.本节要点 乘积测度的构造利用了测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.到目前为止，我们所讲的测度与积分，都是就同一个q维空间来考虑的.现在我们将考虑不同维空间的可测集的测度，并研究它们之间的关系.这样不仅可以得到L积分的几何解释，还可以导出重积分化累次积分的重要公式.定义 5. 5. 1
设A?R，B?R为两个非空点集，则Rpqp+q中的点集{(x,y)x∈A,y∈B}称为A与B的直积，记作A×B.注意，一般来说，A×B≠B×A 例1
Rp+q=Rp×Rq例2
二维区间{(x,y)}a1≤x≤b1,a2≤x≤b2}=[a1,b1]×[a2,b2]例3
二维柱体{(x,y,z)}x2+y2≤1,0≤z≤1}={(x,y)x+y≤1}×[0,1].定义5. 5. 2
设E?Rp+q22,x0∈Rp,Rq中的点集 {y∈Rq(x0,y)∈E}称为E关于x0的截面，记为Ex0.当然也可以定义E关于y0∈Rq的截面
E容易验证：直积与截面具有下列简单性质： （1）如果A1?A2，则A1×B?A2×B；y0={x∈Rp(x,y0)∈E}.107（2）如果A1∩A2=φ，则(A1×B)∩(A2×B)=φ （3）(∪A)×B=∪(A×B)； (∩A)×B=∩(A×B)；iiiiiiii（4）(A1-A2)×B=(A1×B)-(A2×B)； （5）如果E1?E2，则(E1)x?(E2)x； （6）如果E1∩E2=φ，则(E1)x∩(E2)x=φ； （7）(∪E)iix=∪(Ei)x；(∩Ei)x=∩(Ei)x；iii（8）(E1-E2)x=(E1)x-(E2)x.G1×G2F2?R为闭集，G1?R，G2?R为开集，例4
设F1?R，则F1×F2，分别为Rp+qpqpq中的闭集和开集.证明
1°?x=(x1,x2)∈G1×G2，则x1∈G1,x2∈G2由于G1与G2为开集，所以存在r>0.使O(x1,r)?G1,O(x2,r)?G2，从而O(x,r)?O(x1,r)×O(x2,r)?G1×G2，故G1×G2为开集.2°又因(R×R)-(F1×F2)=[(R-F1)×R]∪[R×(R-F2)]，所以由1°知pqpqpq(Rp×Rq)-(F1×F2)为开集，于是F1×F2为闭集.例5
设E?Rp+q为非空开（闭）集，x0∈Rp，则Ex0?R为开（闭）集.q证明
1°设E为开集，Ex0≠φ，?y0∈Ex0，则x=(x0,y0)∈E.由E为开集，存在r>0，使O(x,r)?E，又由于O(x0,×O(y0,)?O(x,r)?E，所以r2r2rO(y0,)?Ex0，故Ex0为开集.22°设E为闭集，则R集，故Ex0为闭集.108p+q-E为开集，由1°知(Rp+q-E)x0=Rq-Ex0是Rq中的开下面的重要定理给我们提供了一个由低维测度求高维测度的工具. 定理5. 5. 1
（截面定理）
设E?Rpp+q是可测集，则(1) 对于R中几乎所有点x，Ex∈Lq；(2) mEx作为x的函数是R上a.e有意义的可测函数； (3) mE=q∫RpmExdx.证明
设E为有界集；1°设E=Δ×Δ1，其中Δ,Δ1分别是R及R中左开右闭区间，则pq??Δ1,当x∈Δ,Ex=???φ,当xΔ.故Ex0为R中可测集，且qmEx=Δ1?χΔ(x)，mE=Δ×Δ1=Δ?Δ1=∫pmExdxR2°设E为开集情形 由定理2.1.12，E=∞∪Ii=1∞i，其中各Ii是Rp+1中互不相交的左开右闭区间，则Ex=∪(Ii)x.由1°知(Ii)x∈Lq，所以Ex∈Lq.i=1又因各(Ii)x互不相交，所以mEx=∑m(Ii)x=lim∑m(Ii)x.i=1n→∞i=1∞∞由1°知m(Ii)x是R上可测函数，所以mEx是R上可测函数（由定理4.1.7）.再由逐项积分定理得ppmE=∑mIi=lim∫pm(Ii)xdxi=1n→∞R∞109=3°E是Gδ情况 设E=∞∫∑m(I)dx=∫Rpixi=1∞RpmExdx∩Gi=1∞i，其中各Gi是Rp+q中开集，且G1?G2?阅读详情：，G1有界，则Ex=∩(Gi)x，由2°知(Gi)x∈Lq，所以Ex∈Lq.i=1又因m(Gi)xpmE=limmGi=lim∫pm(Gi)xdxiiR=4° E是Rp+q∫Rplimm(Gi)xdx=∫pmExdxiR中的零测度集.p+q由定理3.2.8，存在R中的Gδ型集G?E，使mE=mG=0. 由3°有0=mG=∫RpmGxdx.再由定理5.2.8的（3）知，mGx=0a.e于Rp.又因Ex?Gx，所以mEx=0a.ep于R，且0=mG=∫RpmExdx.5°
E为一般有界可测集由定理3. 2. 8知，存在Gδ型集G及零测度集N，使E=G-N，Ex=Gx-Nx，由3°及4°知Ex∈Lqa.e于R.又mEx=mGx-mNx=mGxa.e于R，故由3°知mEx是ppRp上a.e有定义的可测函数，且mE=mG=∫pmGxdx=∫pmExdx.RR如果E∈Lp+q为一般可测集，则存在可测集列{Ei}，使E=∪E，Eii=1∞1?E2?阅读详情：，110每个Ei有界.于是Ex=∪(E)i=1∞ix，由前面证明知，每个(Ei)x∈Lqa.e于R，m(Ei)x是Rpp上a.e有定义的可测函数，mEi=n∫Rpm(Ei)xdx.从而Ex∈Lqa.e于RpmEx=limm(En)x（因为(E1)x?(E2)x?阅读详情：）.所以mEx是R上a.e有定义的可测函数，再由Levi定理，有pmE=limmEn=lim∫pm(En)xdx=∫pmExdx.
证毕.nnRR注
把定理5.5.1的结论中的“x”换成“y”，“R”换成“R”，所得的结论仍然成立.定理5. 5. 2
设A∈Lp，B∈Lq，则A×B∈Lp+q且m(A×B)=mA?mB. 证明
1° 如果A×B∈Lp+q，则由定理5.5.1对?x∈Rppq?B,当x∈A,?(A×B)x=??φ,当xA.?所以m(A×B)=∫Rpm(AB)xdx=∫mBdx=mA?mB.A**2° 不妨设A，B均为有界可测集，A?I,B?I(I,I为有限区间).由于A，B可测，根据定理3.2.7，?ε>0存在R中的开集G及闭集F和R中的开集pqG*及闭集F*使F?A?G?I，F*?B?G*?I*且m(G-F)于是ε2I*及 m(G-F)**ε2I.F×F*?A×B?G×G*因为111G×G*-F×F*?G×(G*-F*)∪(G-F)×G*，由本节例4知上式中的各直积均为Rp+q中的可测集，从而由1°有m[G×G*-F×F*]≤m[G×(G*-F*)]+m[(G-F)×G*] =mG?m(G*-F*)+m(G-F)?mG*ε2I+ε2I*?I*=ε.再根据定理3.2.7知，A×B∈Lp+q.
证毕.定义5. 5. 3（下方形图）
设f(x)是E?R上的非负函数，则Rqq+1中的点集{(x,z)x∈E,称为f(x)在E上的下方形图，记为G(E,f).容易验证：下方形图有如下简单性质： (1) 若E=0≤z∪Eii，则G(E,f)=∪G(E,f).ii(2) 若{?n(x)}是E上的非负函数列，且?n(x)f(x)，则G(E,?1)?G(E,?2)?阅读详情：，且G(E,f)=∪G(E,?n).n=1∞(3) E?R，x∈Rq，则q?[0,f(x)),当x∈E,?(G(E,f))x=?φ,当xE.??定理5. 5. 3
（非负函数积分的几何意义）
设f(x)为E∈Lq上的非负函数，则 (1) f(x)∈M(E)G(E,f)∈Lq+1，112(2) 当f∈M(E)时∫Ef(x)dx=mG(E,f).证明
(1)“=>”1°设f(x)=c（常数）≥0，则?E×[0,c),当c>0,?G(E,f)=?φ,当c=0.??所以由定理5.5.2知G(E,f)∈Lq+1.2°设f(x)为E上的简单函数，这时f(x)=分划，由于∑αχii=1nEi,{E1,E2,阅读详情：,En}是E的可测G(E,f)=∪G(Ei,f)，i=1n由1°知G(E,f)∈Lq+1.3°设f(x)为非负可测函数，由定理4.1.7总存在一列简单函数0≤?1(x)≤?2(x)≤阅读详情：，使lim?n(x)=f(x)
（x∈E）.n从而 G(E,f)=∪G(E,?n=1∞n).由2°知，G(E,?n)∈Lq+1，所以G(E,f)∈Lq+1.q“<=”若G(E,f)∈Lq+1，由定理5.5.1知，m(G(E,f))x是在R上a.e有定义的可测函数，且?f(x),x∈E,?m(G(E,f))x=?0,xE.??所以f(x)在E上可测且113∫Ef(x)dx=∫qm(G(E,f))xdx=mG(E,f).
证毕.R推论5. 5. 4
设f(x)在E∈Lq上积分确定，则∫Ef(x)dx=mG(E,f+)-mG(E,f-).推论5. 5. 5
f(x)是E∈Lq上可测函数，则f(x)∈L(E)mG(E,f+)由上面的两个定理立即可以导出Fubini定理.它说明了高维积分与低维积分之间的关系，也就是数学分析中重积分累次积分的推广.定理5. 5. 6（Fubini定理） （1）设f(P)=f(x,y)在A×B(A∈Lp,B∈Lq)上非负可测.则对a.e的x∈A,f(x,y)作为y的函数在B上可测.又上可测，且∫Bf(x,y)dy作为x的函数在A∫A×Bf(P)dP=∫dx∫f(x,y)dy.
（5.5.1）AB则对a.e的x∈A,f(x,y)作（2）设f(P)=f(x,y)在A×B(A∈Lp,B∈Lq)上可积，为y的函数在B上可积.又∫Bf(x,y)dy作为x的函数在A上可积且（5.5.1）式成立.证明
（1）由f(P)∈M(A×B)及定理5.5.3知，G(A×B)，f∈Lp+q+1，且mG(A×B,f)=∫由定理5.5.1，可得A×Bf(P)dP.
（5.5.2）mG(A×B,f)=∫pm(G(A×B,f))xdx，
（5.5.2）R其中被积函数是R上a.e有意义的可测函数.由于pRq+1?(G(A×B,f))x?{(y,z)y∈B.0≤z?=?φxA,??所以对于x∈A这截面实际上就是将x固定后，f(x,y)看作是y的函数fx(y)时，fx(y)在114B上的下方图形G(B,fx(y)).又因对a.e的x∈A,G(B,fx(y))∈Lq+1，根据定理5.5.3，f(x,y)作为y的函数在B上可测且m(G(A×B,f))x=mG(B,fx)=∫χA(x)?f(x,y)dy，
（5.5.4）B从公式（5.5.2），（5.5.3）和（5.5.4）即得公式（5.5.1）.（2） 设f(P)在A×B上可积，则f(P)，f(P)在A×B上也可积，由（5.5.1）式+-∫由于A×Bf+(P)dP=∫dx∫f+(x,y)dy，
（5.5.5）AB∫A×Bf-(P)dP=∫dx∫f-(x,y)dy，
（5.5.6）AB∫dx∫ABf+(x,y)dy所以∫Bf+(x,y)dy作为x的函数在A上可积.从而+∫Bf+(x,y)即对a.e的x∈A，f(x,y)作为y的函数在B上可积.类似可以说明，对a.e的x∈A，f-(x,y)作为y的函数在B上可积，又∫f-(x,y)dy作为x的函数在A上可积.（5.5.5）式B与（5.5.6）式相减得∫A×Bf(P)dP=∫dx∫f(x,y)dy.
证毕.AB注意
公式（5.5.1）换成∫A×Bf(P)dP=∫dx∫f(x,y)dy
照样成立.BA在R积分理论中重积分化成累次积分所要求的条件比L积分理论中要多，这是L积分的另一个成功之处.从Fubini定理，我们看到，只要重积分有限，它就和两个累次积分相等.x2-y2例6
设f(x,y)=2定义在E=(0,1)×(0,1)上则可算出 22(x+y)1π, =∫(0,1)(0,1)01+x241-1π. dyfdx==-∫(0,1)∫(0,1)∫01+x24dx∫fdy=∫1由Fubini定理，肯定f(x,y)在E上不可积.115
范文三：在不少人眼中，卷积这个数学概念是很神秘很难懂的。由于其在数学、物理学、电子工程、信号处理、计算机科学中极为重要，所以在本文中试图讲解卷积的概念，力求易读易懂，让尽可能多的人理解卷积。如果您已经对此非常了解，那完全可以忽略本文了。本文的目标读者是那些见了卷积这两个字就头大，又迫于工作需要，必须弄懂的人。假设您已经通过了大学一年级的高数考试，但现在已经忘得差不多了?。很多教科书一上来就会给出卷积的定义，接着就是一串推导、证明、例子，如果你不太适应这种方式，那本文可能会非常适合你。卷积在信号处理领域中尤为常用，就以此慢慢引入卷积概念吧。日常生活中到处都是信号系统，它们接受一定的输入后，会给出一定的输出：手机受到对方来电的信号就会响铃或震动；电脑接到一串按键信号，屏幕就会输出一串对应的字符；女友在收到男友送的一束玫瑰后也许会送上一个热吻,,,,现在，我们把这些信号系统抽象成“黑匣子”，不管它的内部构造，而只关注它对输入的响应。数学化一点儿，将一个给定的信号系统记为S，设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，t可以代表时间，也可以是其它什么。那么：y(t) = S{ x(t) }就表示系统S将x(t)这个输入信号转化为输出信号y(t)。太一般化的信号系统不容易研究，那就加入一些“合理的”限制条件。S是连续（continuous）的，如果t可以连续变化；特别的，x(t)和y(t)都是定义在实数域上的函数。物理世界中的信号系统大多是连续的。S是离散（discrete）的，如果t只能取一些分立的值；特别的，x(t)和y(t) 都是定义在整数域上的函数。离散的信号系统可以比较方便的被计算机分析处理。S是线性（linear）的，如果对任意两个输入信号x1、x2和任意的常数c1和c2有：S{ c1x1(t) + c2x2(t) } = c1S{ x1(t) } + c2S{ x2(t) }拿超市作比喻，去买2斤萝卜和3斤白菜，即c1=2，c2=3，x1是萝卜，x2是白菜。如果超市是“线性的”，那么无论是合一块结帐，还是各拿一样菜从两个收银通道分别结帐，最终花的钱是一样多的。更一般的，对任意n个输入信号xn，有：ci为任意常数。S是时间不变（time-invariant）的，如果对任意的常数t0，有y(t – t0) = S{ x(t - t0) }。意思是说，如果输入信号迟到t0的时间，那么我们还是会得到相同的输出，只是输出也晚了t0的时间。还拿超市作比喻，今天花了40块钱买桶食用油。如果超市是“时间不变”的，那过两天再去买同样的东西照样是花40块钱，只不过是晚了两天才拿到而已。如果S同时具备线性和时间不变性，则称之为线性时不变系统，记作LTI，它满足：其中xi为任意输入，ci，ti为任意常数。（如果某个延迟ti信号提前影响系统。我们并未要求系统是因果性（causal）的，即允许未来的信号对当前的系统输出产生影响。）本文将对比讨论离散的和连续的线性时不变系统。前者更容易理解，就先讲离散的线性时不变系统吧。有了前文给系统加入的约束，我们就凭空获得了一些已知条件。为了进一步简化问题，这次我们拿输入信号开刀，将之限定为一个最简单的单位强度的脉冲输入。说白了就是轻轻碰你一下，看看有啥反映。这个输入叫做离散冲击函数（impulse function）：t是整数。它只在原点处有非零值，其余地方全是0。由定义显然：t0是任意整数常数。这个函数具有筛选特性（sifting property）：这看起来是很显然的。你可能会问：“这玩意儿有什么用？我们可以从已知函数x和?来构造新函数x，这简直是循环论证，而且还引入了如此复杂的额外步骤。”其实，上式的含义是把x(t)看作是一系列常数，就像ci那样，不再依赖于t。于是我们就把输入信号x(t)分解成了一串带有不同系数的冲击信号的叠加。LTI系统对冲击函数的响应（即输出）叫做冲击响应（impulse response）：h(t) = LTI{ ?(t) }。可以证明，对于一个LTI系统，只要我们知道了冲击响应函数h(t)，就可以计算出它对任意输入的响应。换句话说，如果我们能够分析出一个LTI系统对单位强度的脉冲信号所做出的响应，那么我们就可以完全（至少是从输入输出的角度）描述此系统的行为了。下面来证明看看。一个LTI系统对于任意输入的响应为：由于系统是线性的，所以上式可变为：仔细看看，其中的LTI{ ?(t – t0) }就是系统对冲击函数的响应，只不过推迟了t0而已。由于系统是时间不变的，所以LTI{?(t - t0)} = h(t – t0)。（顺带提一句，如果系统是因果性的，则任何的输出都必须起因于现在和过去的输入，与将来无关，那么对于所有的t这就是卷积（convolution）！值得注意的是，上述推倒过程只用到了线性和时间不变性公理，与傅利叶变换无关（那是在这以后的理论了）。对于连续的LTI系统，证明的步骤跟离散的情况如出一辙，只不过冲击函数需要重新定义了。我们要构造这样一个脉冲输入，它只持续极短的时间（这在离散情形下是自然而然的），但其这个输入又要足够的强，以便系统会做出反应。这个输入的数学形式就是Dirac delta函数?(t)（严格说来它不是一个真正的函数，而是一个分布（distribution）。当初很多数学家对这个由物理学家和工程师们草草引入的东西非常反感[注1]）。Dirac delta函数没法直接定义，只能从侧面给出它的两个性质：对于任意的t ≠ 0，有?(t) = 0，而且
（此处也是数学家们认为最具争议之处） 可见Dirac delta函数除t = 0以外处处为0，但其函数曲线与t轴所围成的面积为1。Dirac delta函数可以看成是一个积分面积为1的，仅在原点附近有非零值的函数，被逐渐从两侧挤扁，同时保持积分面积不变。当它被挤成在t = 0的一条高高的直线时，就得到了真正的Dirac delta函数。Dirac delta函数的筛选特性为：于是，对于连续的LTI系统，其对任意输入的响应为：因为系统是线性的，所以：再由时间不变性，LTI{?(t - t0)} = h(t – t0)，代入上式就得到了连续LTI系统下的卷积：只要做一个简单的积分变量替换，就会得到另一个等价形式：无论离散的还是连续的LTI系统，其滤波特性完全由h(t)描述，不同的LTI系统拥有不同的h(t)。举些例子吧。当你输入函数为x(t) = ?(t)时，算出的y(t) = h(t)，正好是冲击响应函数，这也验证了前面的推导是自洽的。假如已知h(t) = 3?(t)，那么y(t) = 3x(t)，即这是一个理想放大器，信号增益为3倍；而h(t) = ?(t)的系统则相当于导线。假如已知：即这是个积分系统，输出为之前输入信号的强度的累积。可以求得此系统的冲击响应函数为：正好是一个在原点的单位阶梯函数。至此，我们比较完整的推导了线性时不变系统的输入输出的关系式。只要获得冲击响应函数，就可求出系统对任意输入的响应，而这个输出函数正好等于冲击响应函数与输入函数的卷积。[注1：Dirac delta函数是极限情况下的渐进函数，在真实世界中是无法构造一个真正的Dirac delta函数形式的输入信号的。另外Dirac delta函数只有在积分时才有意义。虽然工程师们大大咧咧的在非积分表达式中也使用Dirac delta函数，但最终这些表达式都会以积分的方式被真正的求值。也许理解Dirac delta函数的最好方式是理解黎曼积分（Riemann Integral）与勒贝格积分（Lebesgue Integral）的不同。但对于真实的物理系统，二者得到同样的结果，只不过数学上的处理手法大相径庭而已。]
范文四：面积与面积单位教学内容：义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学三年级下册第80-82页信息窗1： 面积和面积单位。教学课型： 新授课教材简析：信息窗呈现的是一家人看新房的情况。画面上提供的是新房的平面图，以爸爸提出的问题“餐厅和厨房哪个大”，引入对面积意义和面积单位的学习。作为本单元的第一个教学内容，重点是让学生建立面积单位的表象，知道什么是面积，正确理解“面积”这一概念，让学生充分感知面积是有大小的，为面积计算的教学打下扎实的基础。
教学目标：1、在解决问题的过程中，理解面积的意义，认识常用的面积单位，建立1平方米，1平方分米，1平方厘米的表象。2、经历观察、操作、归纳等探索物体和图形大小的过程，体验统一面积单位的必要性，发展空间观念。3初步学会交流解决问题的过程和结果，体验数学和生活的密切练习。教学重点：理解面积的意义，认识常用的面积单位，建立1平方米，1平方分米，1平方厘米的表象教学难点及解决措施：经历观察、操作、归纳等探索物体和图形大小的过程，体验统一面积单位的必要性，发展空间观念。教学方法：动手操作、启发引导、小组合作教学用具：多媒体课件、一平方厘米、一平方分米的正方形教学过程：一、 情景导入:师：（出示课件）小明家买了新房子，周末他们全家去新房看了看，大家看看他们的新房好不好？（实物和平面图展示）大家觉得他们的房子怎么样？学生根据画面可能提出各种问题；房子很大，很漂亮，房间什么形状的。。。师：我们发现他们家房子很大，那大家说的“大”指的是什么呢？ 生：房子的面积。师：真聪明！这个同学提到了“面积”这个词，那这节课我们就一起来研究“面积”。板书：面积二、 合作探究，理解面积的意义1、 师：物体都有表面，课本有课本的表面（指示课本整个表面），请用手抚摸一下课本上面的表面（生用手抚摸）橡皮也有表面，请抚摸一下它所有的表面。师：（指着课桌）课桌也有它的表面，请用手抚摸一下课桌的上表面。师：物体表面有大有小，请比较课本与书桌的上表面，那个比较大？哪个比较小？生：书桌上表面比较大，课本上表面比较小。师：书桌上表面比较大，我们就说书桌上表面的面积比较大；课本上表面比较小，我们可以怎么说呢？生：课本上表面面积比较小。师：很好！咱们再来看看平面图，客厅什么形状？餐厅什么形状？ 生：长方形和正方形师：像长方形和正方形这样用线段围成的图形的大小也是面积。那比较一下客厅和餐厅哪个比较大？哪个比较小？客厅
餐厅生：客厅比较大，餐厅比较小。师：客厅比较大，我们可以说客厅面积比较大；那餐厅比较小，可以怎样说？生：餐厅面积比较小。师：这样看来，什么叫“面积”？生：（经过引导）面的大小，就是面积。（板书）师：请你任意举个例子，说说他们的面积。2、 认识面积和面积单位。师：大家都知道什么是面积，那你是怎么判断出来客厅面积大，餐厅面积小的？生：客厅那么大，餐厅很小，一下就能看出来。师：真聪明！客厅、餐厅面积是指它们地面的大小，一眼就能看出来。师：那餐厅和厨房哪个面积大？大多少？餐厅
厨房生有争议师：哦，大家有不同意见了，而且不敢肯定了。说明只靠我们眼睛观察不能比较出它们的大小了。我们得想个办法。来大家看，（出示平面图）师：如果我们把它们划分成大小相同的正方形方格，就能看出来一些了。图形变成：正方形3×3=9格，长方形2×5=10格生：餐厅有9个正方形方格，厨房有10个正方形方格，厨房比餐厅大一个正方形方格。师：对！这里还有一个平面图形，（出示）数一数有几个正方形方格？捎大点的正方形，上5格，下5格生：有10格。师：能不能说厨房图形与这个图形面积一样大呢?生：不能！师：为什么？生：因为正方形方格大小不同。师：那么要比较面积大小，应该怎样？生：应该用大小相同的正方形方格去度量，比较。师：对！也就是说要用统一的标准去度量，比较。这个统一的标准，就是国际通用的面积单位。（板书：面积单位）（1）、师：我们先来学习一个面积单位，叫做平方厘米，（板书：平方厘米）用字母表示就是cm2。什么是平方厘米？请大家翻开课本第81页，下半部分，自己看书，边看边想；1平方厘米有多大？（学生自己看书）师：什么是1平方厘米？生：边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。师：（出示1平方厘米的模型）请同学们仔细观察，这里的1平方厘米是什么形状？生：是正方形。师：有多大？用手比画一下。生：有边长1厘米的正方形这么大。师：看清楚了吗？看清楚了就把眼睛闭起来，在脑子里回想：1平方厘米有多大?(生闭眼回想)师：请把信封里的平面图形拿出来，把1平方厘米从里面挑出来。 （生挑出举起）师：请用1平方厘米模型分别度量作业纸那3个平面图形的面积。 生度量后汇报：分别是9平方厘米，6平方厘米，4平方厘米。（2）、师：(故意)请大家用1平方厘米模型度量一下课桌上表面的面积。（生度量时）这样量，你们感到怎么样？生：这样量太慢了，平方厘米这个面积单位太小了。师：那怎么办呢？生：用大一点的面积单位。师：想得真好！这大一点的面积单位，数学家也早就为我们创造好了，叫平方分米。字母表示就是dm2（板书：平方分米）师：什么是1平方分米呢？请看课本82页。自己弄懂。生：（看书后）边长是1分米的正方形，面积是1平方分米。师：（出示1平方分米模型）仔细观察，这里的1平方分米是什么形状？有多大？（一会）请闭眼，想一下1平方分米的大小，在脑子里留下来。（生闭眼回想）师：请睁开眼，在刚才一组图形中，找到1平方分米。（生挑出举起）师：谁来用１平方分米模型度量黑板上两个图形的面积吗？哪个大？大多少？生：图形（１）面积为8平方分米，图形（2）面积为6平方分米，图形（1）比图形（2）大2平方分米的面积。师：请用1平方分米模型度量课桌上表面的面积。生：（度量后）课桌上表面的面积为
平方分米。师：用1平方分米模型去度量，剩下的零星部分怎么办？生：用1平方厘米的模型去度量。师：真好！现在问题都被我们解决了。（3）、师：如果让大家用1平方分米模型去度量教室地面面积，你们感怎么样?你会怎么想？生：平方分米这个面积单位太小，有没有更大的面积单位呢？ 师：很会想问题。这个更大的面积单位就请你们来创造一个，叫什么呢？生：平方米。师：真棒！你们创造的这个面积单位跟数学家创造的一个样，叫平方米。（板书：平方米）你能根据平方厘米、平方分米的意义，想一想什么是1平方米吗？生：边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米；边长是1分米的正方形，面积是1平方分米；那么，边长是1米的正方形，面积就是1平方米。师：真会想问题！（出示1平方米的模型）请大家观察一下，脑子里记下1平方米的大小。师：用1平方米模型可以度量哪些地方的面积呢？生：可以度量教室地面面积。生：可以度量操场地面面积。…….大量举例三、 巩固练习。1、 想一想，下面情况应括号里填上什么单位才合适？一张邮票的面积是6（
）一张报纸的面积约为22（
）一间教室的面积约为48（
）………四、 回顾总结师：今天这节课我们学习了面积与面积单位。什么是面积？生：面的大小，叫做他们的面积。师：度量面积与计算面积要用面积单位，我们还学习了三个面积单位。 生：平方厘米、平方分米、平方米。师：他们有什么不同？生：大小不同。师：（指）平方厘米是——生：边长是1厘米的正方形。师：（指）平方分米是——生：边长是1分米的正方形。师：（指）平方米是——生：边长是1米的正方形。师：下课，再见。
范文五：在中国，几乎每个网站都有积分的概念，人人、微博、QQ、淘宝等等，即使名目不同，但实质亦然，都是为了鼓励用户长时间在线和连续登录，但是外国网站像Facebook、Twitter、MSN、亚马逊等却没有这些东西。这是由国情和文化决定还是因为其他因素呢？这些看得见摸不着的积分对于我们的意义又何在呢？ 　　1 互联网积分制度的现状 　　网站积分制度的由来很难考证，然而盛大和腾讯是最早做积分的互联网公司却是毋庸置疑的。腾讯目前除了原本已经变成鸡肋的QQ积分之外，还多了一个返利用的彩贝积分；支付宝积分经历了积分、积分宝、集分宝三次名称变更，是目前值得关注的积分之一；网易有返利的有道积分。此外还有电信、移动、联通等运营商的积分，以及各银行的信用卡积分。然而，目前国内还没有一家真正意义上的通用积分。 　　可以说积分和等级对所有网站都是有意义的，所以基本每个网站都会有类似积分等级的体系。但是可惜并不是所有的网站都有这个财力和思维理念能够玩转积分。坦白说，积分体系（有价值的积分）从根本上说，是一套金融系统，而且是一套很难驾驭的系统。 　　就目前来说，对用户有实际意义的积分除了返利积分外都显得很飘渺，用户积分获得的方式和难度与收益相比差距也太大。而就整个互联网来说，积分系统也还在摸索中慢慢前行。 　　2 国外网站的积分制度 　　由于GFW的缘故，我们还是只谈谈跟亚马逊有关的那些事。亚马逊美国从来没有实行过积分制，主要原因是亚马逊创造了比传统积分制更适合电商模式的“用户福利”——Amazon Prime项目。Prime会员一年缴纳79美元，可以享受免费隔日达（中国用户对此可能不屑一顾，但在美国，网购通常都要付运费，而且3-5个工作日才能送达），外加免费数字影视、免费借阅Kindle电子书等福利。这个项目对消费者非常有吸引力，尤其是经常在亚马逊购物的顾客。反过来对亚马逊也很棒：一方面通过这个项目加强用户忠诚度，另一方面可以将公司相对较新的新业务（比如数字影视、Kindle电子书等）介绍给用户。用户尝到甜头后，会更频繁地购买商品。因为消费者的心理是：我既然已经付了79刀，当然是买得越多越划算了！ 　　而亚马逊对Amazon Prime高度重视。大家可以去亚马逊美国首页（http：//）看下，会发现其首页上有非常显眼的地方在推这个项目。显然，亚马逊作为商家，也从中尝到了甜头。可以这么认为，亚马逊觉得，对自己的客户是不需要使用会员分级和积分计划来进行管理的，它可以通过产品本身的推荐、愿望单（wishlist）等其他功能让用户很好地重复活跃与黏着，当然，竞争对手少采用或不采用这种方式，也是原因之一。 　　不过国外大电商使用客户管理，把会员、积分都上全的也不少，日本乐天、韩国Gmarket、美国沃尔玛，都用足了客户管理。 　　3 用户与网站都欲罢不能的积分体系 　　对互联网公司来说，积分等级设计的目的是为了增加用户的黏度，那表象上可以从哪些维度体现出用户黏度的增加呢？答案是：时间、频次。网站通过对用户积分数的识别，从而挖掘出更有价值的用户。而积分也是用户营销的手段，是忠诚度系统的一部分。从这个层面上来说，积分制度一定会成为所有电子商务网站和所有会员制网站的标配。 　　积分是从传统行业延伸出来的，我们知道最广泛的积分是零售业、航空业和银行业的积分体系。他们是对用户行为的一种回馈，用户通过积分可以获得更多更好的服务。而网站利用积分，在简单层次上说，是为了培养用户习惯，刺激用户二次消费，增加黏度，从而更好地服务忠诚用户；从复杂的层次上说，它是会和CRM与数据分析协同的一整套会员营销手段。然而对于公司，积分是一种事实上的债务。 　　对用户来说，在某种程度上积分是一种游戏化手段，让本来没有太大意义的刷网站行为变得有趣。所以积分体系的晋级制度往往伴随着用户激励。它通过满足人们在自我价值实现、虚荣方面的心理需求，对用户实现一个动态的引导。互联网产品通过这套“用户导向体系”来鼓励产品中受欢迎的用户行为，其实这在一定意义上和老一辈的小学老师使用“小红花”排名贴在墙上的概念一样。从这个角度来说，用户是需要积分的。 　　参考很多知名论坛的用户等级和积分设置，会发现它们都非常有中国特色，而且用户也已经习以为常，登录、互动、保持在线都是常见的积分获得方式。而在获得相应积分提升等级之后，也会因此获得更多的权限，比如一些用于展示和炫耀性的标志（常用于等级制度）、高级用户的独特标识，而且还有一些会根据用户等级提供增值服务或者有类似积分商城的概念让用户兑换积分，而在用户等级制度上QQ会员产品是做得相当不错的。 　　4 积分对我们的作用 　　当你辛苦地在论坛登录回帖，在各种百科知道里边认真提问和回答之后，是否需要一些东西来对你的辛勤劳动安慰和奖励呢？我想很多人都会有这种心理的需要，那么积分就可以让你感到一种成就感了。同时积分增加还可以提升你在网站里的会员等级，级别高了，除了增加权限之外，也会提供一种自我安慰的心理需求。 　　积分种类繁多，其实大多数积分都是大同小异的，不妨以新浪爱问的iask积分为例说明一下。 　　首先，iask积分可以让你参加网站举办的各种活动，可以参与抽奖，兑换虚拟物品甚至实物；积分高了，你还可以用来悬赏问答，一般来说，悬赏越高就越有可能得到更满意的答案；iask积分还可以用来下载iask上网友上传的资料，虽然有些资料是免积分的，但仍然有一些标明了下载所需的积分，当你下载时，需要扣除相应的积分才能下载；iask积分还曾经有过一个将积分折算成捐款，捐给爱滋遗孤的公益活动，如果以后还有这样的活动，积分也算是为公益事业做出了一点贡献。 　　说到底，积分系统是网站为了增加用户黏性和忠诚度的手段之一，然而用户希望得到的东西首先应该是网站提供的产品和服务，对网站来说，先做好产品提高产品的用户价值，积分系统才有意义。而对用户来说，除了增加自己对网站的依赖和微薄的一些带有返利性质的积分之外，积分并不是一个非要不可的东西。
范文六：面积的含义[教学内容]教材第74-77页。[教学简析]结合具体的问题情境，通过比较黑板表面和课本封面的大小，引出面积的初步含义，获得初步的面积概念。再通过用不同方法比较正方形和长方形图形的面积，使学生进一步丰富对面积概念的理解，并体会到计量面积最基本的方法。[教学目标]1．通过观察、操作等活动认识面积的含义，初步学会比较物体表面和平面图形的大小。2．在学习活动中，体会数学与生活的联系，锻炼数学思考能力，发展空间观念，激发进一步学习和探索的兴趣。[教学重点]认识面积的含义。[教学难点]掌握计量面积最基本的方法。[教学准备]多媒体课件[教学过程]一、借助直观，领悟新知。1．师：(出示中国地图)今年暑假老师准备去四川旅游，谁能帮我在地图上找到四川省？我们属哪个省？在地图上找一找。提问：江苏省和四川比，哪个大一些，哪个小一些？我们所比的大小指的是这两个省什么？(面积)师：你还在哪儿听过面积？预设：生：我们国家的面积很大。生：水库的面积。,,,,2．师：到底什么是面积？今天我们就来认识面积的含义。(板书课题：面积的含义)二、观察体验，感悟面积。1．教师摸粉笔盒的表面。师：生活中到处都有物体，老师拿的物体是粉笔盒，注意看老师是怎么摸是粉笔盒表面的？(老师示范用手掌心摸粉笔盒的表面)2．学生活动：要求：拿起课本，像老师那样摸一摸数学课本的封面，再摸一摸文具盒的上面和课桌的桌面以及身边很多物体的表面吗。小组同学摸一摸，看一看。3．交流说说：刚才，同学们摸了数学课本的封面，文具盒的上面课桌的桌面,,,,感觉怎样？预设生：平平的，一片一片的,,,,4．小结：同学们摸的这些面都是物体的表面。(板书：物体的表面)5．教师介绍：物体表面的大小就是它们的面积。6．举例：你能举例说说物体表面的面积，并比比它们的大小吗？预设：课桌面的大小就是课桌面的面积，数学课本封面的大小就是数学课本封面的面积。课桌面的面积比数学课本封面的面积大。,,,,（顺便完成想想做做1）7.师生小结：从上面的例子中，我们知道，物体的表面是有大小的。物体表面的大小就是它们的面积。三、认识平面图形的面积。1.出示封闭图形进行大小比较，发现：封闭图形也有大有小，封闭图形的大小就是它的面积。2．比较个图形面积的大小。3.教学“试一试”。（1）出示“试一试”第1题。师生讨论：你能一眼看出下面这两个图形的面积，哪个大一些，哪个小一些吗？提问：怎样比较这两个图形面积的大小呢？（2）学生活动。师：请同学们按自己的想法来比较这两个图形面积的大小。学生活动，教师巡视，并进行适当的指导。（3）出示“试一试”第2题要求。学生按要求操作：画一画、比一比、再说一说。四、组织练习，深化认识1．做“想想做做”第2题。回归导入情境，学生按要求练习。并再到中国地图上找一些省份，比一比面积的大小。2. “想想做做”第5题。说说从图中你知道些什么？图上可以看到校园里有哪些建筑、有哪些场地，它们分别在什么位置，还能看出什么占地面积大些、什么占地面积小些，是一道比较开放的题。3．“想想做做”第3题。出示题目要求，学生独立思考再交流比较方法。预设：学生先分别数出每个图形的面积各有多少个小方格，再说一说哪个图形的面积大一些。指导学生具体地说一说怎样数出梯形面积，把两个半格拼成整格。用相同的方格量是比较面积大小的一种方法，用图形有几个方格那么大的方式描述图形的面积，一方面能使学生更好地体会图形的面积是它的大小，另一方面又为以后用面积单位计量面积作了极好的铺垫。追问：哪个图形的周长最长。引导学生将周长与面积进行对比，明确周长与面积是不同的两个概念。4．“想想做做”第4题。出示图形，指出各图形的面积与周长，进行认知巩固。与同桌进行交流。5．思考题。学生先在小组里说一说解决办法，再组织交流。独立完成。（课作）四、总结评价，拓展延伸。今天这节课我们一起学习了什么知识？你掌握了哪些方法？你还有哪些收获和疑问？板书设计：面积的含义物体表面的大小平面图形的大小（教材没有对面积下概括的定义，只要求学生结合实例体会面积的意义，在表象的层面上认识面积。适当进行板书）面积的含义[教学内容]教材第74-77页。[教学简析]结合具体的问题情境，通过比较黑板表面和课本封面的大小，引出面积的初步含义，获得初步的面积概念。再通过用不同方法比较正方形和长方形图形的面积，使学生进一步丰富对面积概念的理解，并体会到计量面积最基本的方法。[教学目标]1．通过观察、操作等活动认识面积的含义，初步学会比较物体表面和平面图形的大小。2．在学习活动中，体会数学与生活的联系，锻炼数学思考能力，发展空间观念，激发进一步学习和探索的兴趣。[教学重点]认识面积的含义。[教学难点]掌握计量面积最基本的方法。[教学准备]多媒体课件[教学过程]一、借助直观，领悟新知。1．师：(出示中国地图)今年暑假老师准备去四川旅游，谁能帮我在地图上找到四川省？我们属哪个省？在地图上找一找。提问：江苏省和四川比，哪个大一些，哪个小一些？我们所比的大小指的是这两个省什么？(面积)师：你还在哪儿听过面积？预设：生：我们国家的面积很大。生：水库的面积。,,,,2．师：到底什么是面积？今天我们就来认识面积的含义。(板书课题：面积的含义)二、观察体验，感悟面积。1．教师摸粉笔盒的表面。师：生活中到处都有物体，老师拿的物体是粉笔盒，注意看老师是怎么摸是粉笔盒表面的？(老师示范用手掌心摸粉笔盒的表面)2．学生活动：要求：拿起课本，像老师那样摸一摸数学课本的封面，再摸一摸文具盒的上面和课桌的桌面以及身边很多物体的表面吗。小组同学摸一摸，看一看。3．交流说说：刚才，同学们摸了数学课本的封面，文具盒的上面课桌的桌面,,,,感觉怎样？预设生：平平的，一片一片的,,,,4．小结：同学们摸的这些面都是物体的表面。(板书：物体的表面)5．教师介绍：物体表面的大小就是它们的面积。6．举例：你能举例说说物体表面的面积，并比比它们的大小吗？预设：课桌面的大小就是课桌面的面积，数学课本封面的大小就是数学课本封面的面积。课桌面的面积比数学课本封面的面积大。,,,,（顺便完成想想做做1）7.师生小结：从上面的例子中，我们知道，物体的表面是有大小的。物体表面的大小就是它们的面积。三、认识平面图形的面积。1.出示封闭图形进行大小比较，发现：封闭图形也有大有小，封闭图形的大小就是它的面积。2．比较个图形面积的大小。3.教学“试一试”。（1）出示“试一试”第1题。师生讨论：你能一眼看出下面这两个图形的面积，哪个大一些，哪个小一些吗？提问：怎样比较这两个图形面积的大小呢？（2）学生活动。师：请同学们按自己的想法来比较这两个图形面积的大小。学生活动，教师巡视，并进行适当的指导。（3）出示“试一试”第2题要求。学生按要求操作：画一画、比一比、再说一说。四、组织练习，深化认识1．做“想想做做”第2题。回归导入情境，学生按要求练习。并再到中国地图上找一些省份，比一比面积的大小。2. “想想做做”第5题。说说从图中你知道些什么？图上可以看到校园里有哪些建筑、有哪些场地，它们分别在什么位置，还能看出什么占地面积大些、什么占地面积小些，是一道比较开放的题。3．“想想做做”第3题。出示题目要求，学生独立思考再交流比较方法。预设：学生先分别数出每个图形的面积各有多少个小方格，再说一说哪个图形的面积大一些。指导学生具体地说一说怎样数出梯形面积，把两个半格拼成整格。用相同的方格量是比较面积大小的一种方法，用图形有几个方格那么大的方式描述图形的面积，一方面能使学生更好地体会图形的面积是它的大小，另一方面又为以后用面积单位计量面积作了极好的铺垫。追问：哪个图形的周长最长。引导学生将周长与面积进行对比，明确周长与面积是不同的两个概念。4．“想想做做”第4题。出示图形，指出各图形的面积与周长，进行认知巩固。与同桌进行交流。5．思考题。学生先在小组里说一说解决办法，再组织交流。独立完成。（课作）四、总结评价，拓展延伸。今天这节课我们一起学习了什么知识？你掌握了哪些方法？你还有哪些收获和疑问？板书设计：面积的含义物体表面的大小平面图形的大小（教材没有对面积下概括的定义，只要求学生结合实例体会面积的意义，在表象的层面上认识面积。适当进行板书）
范文七：刚看完《初恋那件小事》，想，让我对你的爱更有些积极意义。盼望着你的生日---3.19，想着跑到你们学校去，晚上。最好通过你的室友，叫你下楼。在你走到楼下，捧着小蛋糕，点亮插在小蛋糕上的蜡烛，为你唱生日歌。决定了，在你和她结婚之前，我不放手了。为了你，我要让自己变得更加美好。要变美丽，要变聪明，要学好自己的专业，以为你画一幅画为动力而从现在开始学素描。给你带来快乐，为你做温馨浪漫的事。不再想太多，不去酿醋，变得更美好。不去想结果到底是怎样，一败涂地也好，我认了，毕竟，我的一生中，还会有几个人能让我如此迷恋，为了你，遍体鳞伤我也认了。像你一样有健康的作息时间，像你一样有认真的态度，像你一样追求美好的未来（无比希望美好的未来会是你）。
范文八：体积与容积的意义教学内容：教科书第19—20页的例6、例7以及相应的“试一试”，“练一练”和第23页练习五第1—4题。教学目标：1、使学生通过动手试验和对具体实例的观察，了解体积和容积的意义。2、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思维。3、使学生进一步体会图形学习和实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。教学重、难点：重点：了解体积和容积的意义。难点：了解体积和容积的意义。教具准备：教学光盘、长方体和正方体容器。教学过程：一、情境引入师：今天我们所学的内容，在生活中经常能看到，天天能看到，只是平时大家没思考“为什么”。我希望经过这节课的看、动手，大家能在实践中学到知识。二、教学新课1、教学例6。（体积的意义）（1）
实践操作，初步感知体积的意义。师取出一个空杯，问：可以干吗？（倒水）师给空杯倒满水，再取出一个同样大的空杯，问：这两个杯同样大，装的水是否相同？（相同）师倒水验证。师将空杯中放入一个桃，问：如果将满杯水往这个杯中倒，会出现什么情况？ 生：水会溢出来。生：会剩一些水。师倒水验证：将满杯水往装桃的杯中倒，直到倒满。师问：杯中为什么还剩下一些水？学生讨论后回答：因为桃占去了一定的空间。师可以追问：这个桃所占的空间与剩下的水所占的空间有什么关系吗？（一样大）（2）
操作比较，感知体积的大、小。师将杯中分别放入桃和荔枝。师问：①如果继续往这两个杯中倒水，你认为倒满后，哪个杯中的水会多一些？（装荔枝的杯）②是这样吗？师倒水验证。师问：为什么装荔枝的杯的水多？生：因为荔枝比桃小，桃占的空间大，杯中的水就少。生：荔枝占的空间小，所以水倒得多。师追问：这说明什么呢？引导归纳：物体所占的空间有大有小。（3）
比较物体所占空间的大小，得出体积意义。师出示三个水果，问：哪一个占的空间大？把它们放在同样大的杯中，再倒满水，哪个杯里所占的空间大？倒水验证。师追问：你观察到了什么？（桃占的空间最大，所以水占的空间就最小） 你们知道每一个物体所占的空间叫什么吗？揭示体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（板书：体积的意义） 师问：在教室里找出两种物体，比一比它们的体积哪个大？2、教学“练一练”。(1)
学生理解题意后，指名口答，并说说想法。(2)
操作验证。3、教学例7。（1）
观察比较，感知容积的意义。取出装了27个和8个小正方体的盒子。（从外面看不出有几个小正方体） 师问：你知道哪个盒子里装的小正方体体积大吗？观察：27个小正方体＞8个小正方体师指出：哪个盒子装的体积大，我们就说它的容积大，这个盒子就叫做容器。 师追问：说说什么是容器的容积？（2）
揭示容积的意义：容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积。4、教学“试一试”。（1）师问：①什么是玻璃杯的容积？②你准备怎么比较它们的容积呢？（2）学生发表方法，可操作比较。5、教学“练一练”。师问：哪个盒子的容积大？为什么？（装了6个物体的容积大）三、巩固练习1、完成练习五第1题。（1）
指名回答：体积相等吗？为什么？（2）
指出：都是由同样大小的8盒饼干堆成，所以所占的空间大小一样。2、完成练习五第2、3题。在小组中完成，指名汇报。3、完成练习五第4题。（1）
指名口答。（2）
师追问：①体积和容积分别指什么？②体积和容积有什么不同？③为什么这两个箱子体积相等，容积不一样大吗？四、课堂总结师：通过今天的学习，你有什么收获？你能说说什么是体积？什么是容积吗？它们有区别吗？五、布置作业选用课时作业设计。
范文九：“体积和容积的意义”教学方案连云港市灌云县圩丰中心小学 程洪奎 简要提示：本课教学内容是课程标准江苏教育版《数学》六年级上册第19、20页例6、例7以及相应的试一试、练一练和练习五第1—4题。通过操作活动引导学生初步认识体积和容积的意义，能借助实物或直观图比较物体的体积（或容积）的大小。引导学生在解决实际问题的过程中，进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，增强数学应用意识，进一步培养自主探索、合作学习的意识。教具准备：两个纸杯、两罐茶叶教学流程：第一段：教学例6流程1：教学例6第一层次出示两个纸杯。师：同学们，这两个纸杯同样大，如果两个杯都装满水，装的水同样多吗？
两个杯子同样大，都装满水，装的水同样多。课件出示例6两个玻璃杯。师：这两个玻璃杯也同样大。现在老师在左边杯中倒满水，右边杯中放一个桃子。然后将左边杯中的水往右边杯中倒，猜猜看，会出现什么情况？（停顿） 生猜测后课件演示。师；为什么左边杯中会剩下一些水？（停顿）师：因为右边杯中的桃子占去了一定的空间，所以左边杯中剩下了一些水。 （课件出示：2号杯中有一部分空间被桃占去了。）流程2：教学例6第二层次师：还是这两个同样大的玻璃杯，先在左边杯中放一个桃，右边杯中放一个荔枝，然后再往这两个杯中倒水，你知道倒进哪个杯里的水多一些？为什么？ 课件倒水，生判断并说明理由。师小结：桃子占的空间大，因而相应杯中的水就少；荔枝占的空间小，因而相应杯中的水就多。可见，物体所占的空间是有大有小的。课件出示：右边杯中的水多一些，因为荔枝占的空间小。流程3：教学例6第三层次出示圣女果、荔枝、桃子和三个同样大的杯子，标上数字1、2、3。师：同学们，圣女果、荔枝、桃子这三个水果，哪一个占的空间大？把它们放在同样大的杯中，再倒满水，哪个杯里水占的空间大？为什么？（停顿）师：圣女果占的空间最小，因而相应杯中的水就最多。通过这些活动，我们发现，物体会占据一定的空间，而且不同大小的物体所占的空间有大有小，物体所占空间的大小就叫做物体的体积。课件出示：物体所占空间的大小叫做物体的体积。流程4：举例比较物体的体积课件出示文字：你能举例来比比两个物体体积的大小吗？师手举连个罐子。师：了解了体积的意义，你能举例比比两个物体体积的大小吗？比如：老师这儿有两个罐子，左手罐子的体积比右手罐子的体积大。请你也找些物体比比它们的体积吧。学生举例。第二段：教学例7流程5：教学例7师出示两罐茶叶，师边说边拿出茶叶比较。师：同学们，这儿有两罐茶叶，你能看出哪个罐子里茶叶的体积大一些吗？
师：我们把茶叶拿出来看一看，左边罐子里装的茶叶的体积大一些，也可以说，左边罐子的容积大一些。容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。课件出示：容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。第三段：针对练习流程6：教学试一试师出示一个玻璃杯，课件同步。师：玻璃杯是一个物体，它也是一个容器，你知道玻璃杯的容积指什么吗？ 师：玻璃杯的容积就是指玻璃杯所能容纳物体的体积，比如，能装多少水、能装多少牛奶等。再出示一个形状不同的玻璃杯，课件同步。师：这两个杯子，形状不一样，大小看上去差不多，哪个玻璃杯的容积大一些，你能想办法比一比吗？把你的想法在小组里说一说。（停顿）小组讨论，汇报，师边说边演示。师小结：我们可以将其中一个玻璃杯倒满水，水的体积就是这个玻璃杯的容积，再将这杯水倒入另一个玻璃杯中，这样，就可以比较出它们容积的大小。流程7：教学“练一练”1课件出示练一练1。师读题：同学们，把你的想法和同桌说一说。（停顿）师：大石子的体积大，所以放大石子的杯中溢出的水多。同学们，你知道溢出的水的体积分别相当于哪个物体的体积吗？（停顿）课件出示：溢出的水的体积分别相当于哪个物体的体积？师：左边杯中溢出的水的体积相当于小石子的体积，右边杯中溢出的水的体积相当于大石子的体积。流程8：教学“练一练”2课件出示练一练2。师：有两个盒子，装了一些同样的玻璃杯，你知道哪个盒子的容积大？为什么？师：第一个盒子正好能容纳4个杯子，第二个盒子正好能容纳6个杯子，所以第二个盒子的容积比较大。第四段：综合练习流程9：完成“练习五”第1题课件出示第1题。师：数一数，每堆饼干有几盒？比一比，它们的体积，谁能把自己的想法告诉大家。师：这三堆饼干都是由同样大小的8盒饼干堆成，它们所占的空间大小也就一样，所以它们的体积相等。流程10：完成“练习五”第2题课件出示第2题。师：谁来说说想法？师：同样的饮料，倒的杯数不同，说明小芳和小军所用杯子的容积是不同的，小军没有倒满3杯，小芳倒满了3杯，说明小军所用杯子的容积大一些。流程11：完成“练习五”第4题课件出示第4题。师：它们的体积相等吗？容积呢？同学们，把你比较的结果和同桌说一说。 师：通过比较，你知道物体的体积和容积有什么不同吗？（停顿）师：体积是指整个物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。因为制作容器的材料有一定的厚度，所以，一般来说，容器本身的体积要比它的容积大。师借助茶叶罐讲解区别。流程12：完成“练习五”第3题（1）课件出示第（1）题。师：请大家先用小正方体摆一摆。课件演示第一题答案。师：我们先用8个小正方体摆一个较大的正方体，再用剩下的4个小正方体摆成一个长方体。这个长方体可以这样摆，也可以这样摆。（课件演示。）师：同学们，至少需要几个小正方体才能摆一个较大的正方体？流程13：完成“练习五”第3题（2）课件出示第（2）题。师：请大家先用小正方体摆一摆，在小组中交流摆法。师：有的同学是这样摆的，第一个长方体用了2个小正方体，第二个长方体用了3个小正方体，第三个长方体用了7个小正方体，这样正好将12个小正方体用完,,,,
同学们的摆法可能有所不同，但研究大家的摆法，三个长方体所用小正方体的个数就是上面三种情况。同学们，看看自己摆的三个长方体，所用小正方体的个数属于哪一种情况呢？流程14：完成“练习五”第3题（3）课件出示第（3）题。师：请大家先用小正方体摆一摆，在小组中交流摆法。师：同学们摆出了形状不同的物体。这些物体都是由4个同样大的正方体摆成，所以它们的体积同样大。第五段：课堂总结流程15：课堂总结师；同学们，这节课，我们学习了关于体积和容积的知识。谁来说说它们的含义，它们之间有什么不同？师：物体所占空间的大小叫做物体物体的体积；容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。一般来说，同一个容器，它本身的体积要比它的容积大。课件逐一出示：
范文十：一、 填空1、(
)叫做物体的体积，大的物体（
）大，小的物体（
）小；容器所能容纳物体的体积叫做容器的（
）。2、长方体有（
）条棱，相对的棱的长度（
）个面，（
）的面的面积相等。3、棱长2分米的正方体，一个面的面积是(
)，表面积是(
)。二、判断1、一个厚度为5毫米的铁皮箱的体积和容积完全相等。（
）2、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（
）3、面积单位比体积单位小。（
）4、冰箱的容积就是它的体积。（
）三、选择题填空1、装满沙子的沙坑，（
）的体积就是（
）的容积。A、沙子
B、沙坑2、求一个桶能装多少升，是求油桶的（
）。A、体积
C、表面积3、求一个书柜占空间多大，就是求书柜的（
）。A、棱长总和
D、表面积四、解决问题1、有一根长0.5米的方木料，横截面的边长为2厘米，这根方木横放时占地面积有多大？2.一个长方体，长4米，宽3米，高2.4米，它的占地面积最大是多少平方米?表面积是多少平方米？3．一个长方体长1.25米，宽0.8米，高0.5米，求它的表面积。4．做一个棱长12厘米的正方体无盖纸盒，至少需要多少平方厘米的纸板？错题改正：