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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
小学奥数数字迷求解如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数。如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数。②1991可以分解称一个两位质数和一个三位质数回文数的积。在1000年到2000年之间的一千年中，除1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？
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21,51,81其中自己算
21 51 81 1991
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扫描下载二维码回文数多还是质数多，谈USACO回文质数题Prime Palindromes
题意是求出a到b的回文质数，b最大可为1亿。
& &先判断是回文数还是质数是很有意思的！如果是1亿，则用得到前一半，反转它，得到后一半，让两者结合在一起的方法的话，那么可以通过1到1万，得到1亿以内的所有回文数。例如9876，反转后是6789，拼在一起，得到。看看三位数有多少个回文数。
& &三位数的回文数都是aba的形式，a可以为1到9，b可以为0到9，则有90个。四位数的回文数为abba的形式，ab可以为10到99，则有90个。一亿以内的回文数，假如0不算的话，那么最小的为1，最大的为，即为1位数到8位数的所有回文数，记为s。
现要求n位数的回文数个数，f(n)=9*10^[(n-1)/2],则显然s=f(n),(n=1,2,&&，8).s=9+9+&&。s=2*(9+90+900+000-1)=19998。
那有大约有多少个质数呢？
根据素数定理，a以内的质数个数约为a/ln(a)。1亿/ln(1亿)约为5428681。
可见质数远多于回文数！
实际情况如何？用isPrime(i)&&palindrome(i)作为判断语句的话，输出1亿以内的全部回文质数，要35秒，而用palindrome(i)&&isPrime(i)，只用19秒！而把palindrome(i)，isPrime(i)先计算保存起来，再判断的话，要54秒。
有趣的是，打表的时候发现，除了11，没有偶位数的回文质数！采用直接构造回文数再判断是否为质数的方法更快，而且只用构造奇数位的回文数，像这样求出所有构造所有n位数的回文数：
void getPali(int n)
int len=n/2+1;
int minN=getMin(len);
char s[12];
for(int i=minN;i&minN*10;i++)
sprintf(s,&%d&,i);
for(j=2*len-2;j&=j--)
s[j]=s[2*len-2-j];
s[2*len-1]='\0';
sscanf(s,&%d&,&ans);
else if(ans&a)
if(isPrime(ans)) printf(&%d\n&,ans);
& &这样就能AC这题了！
完整代码为：
ID: lzwjava1
PROG: pprime
#include&cstdio&
#include&cstring&
#include&math.h&
#include&stdlib.h&
#include&algorithm&
#include&ctime&
const int maxn=10000;
bool vis[maxn];
int prime[1300];
void get_prime()//素数表
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(int i=2;i&i++)
if(!vis[i])
prime[pn++]=i;
for(int j=i*i;j&j+=i)
bool palindrome(int x)
char s[12];
sprintf(s,&%d&,x);
int len=strlen(s);
for(int i=0;i&len/2;i++)
if(s[i]!=s[len-1-i])
bool isPrime(int x)
int m=(int)(sqrt(x)+0.5);
for(int i=0;i&i++)
if(prime[i]&=m)
if(x%prime[i]==0)
int getLen(int x)
char s[12];
sprintf(s,&%d&,x);
return strlen(s);
int getMin(int n)//得到最小的n位数
for(int i=0;i&n-1;i++)
void getPali(int n)
int len=n/2+1;
int minN=getMin(len);
char s[12];
for(int i=minN;i&minN*10;i++)
sprintf(s,&%d&,i);
for(j=2*len-2;j&=j--)
s[j]=s[2*len-2-j];
s[2*len-1]='\0';
sscanf(s,&%d&,&ans);
else if(ans&a)
if(isPrime(ans)) printf(&%d\n&,ans);
int main()
freopen(&pprime.in&,&r&,stdin);
freopen(&pprime.out&,&w&,stdout);
scanf(&%d%d&,&a,&b);
get_prime();
int na=getLen(a),nb=getLen(b);
for(int i=i&=i++)
if(i%2==0)
if(i==2) printf(&%d\n&,11);
}else getPali(i);
//printf(&%.2lf&,(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);简介/回文数
回文数是指一个像16461这样“对称”的，即：将这个数的数字按相反的顺序重新排列后，所得到的数和原来的数一样。这里，“回文”是指像“，我爱妈妈”这样的，正读反读都相同的单词或句子。回文数在休闲数学领域备受关注。一个典型的问题就是，寻找那些具有某种特性，并且符合回文特征的数。例如：：2,&3,&5,&7,&11,&101,&131,&151,… A002385回文完全平方数：0,&1,&4,&9,&121,&484,&676,&1,… A002779Buckminster&Fuller（Buckminster&Fuller）在其著作《协同学》（Synergetics）中把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade&Numbers），沙拉扎是中那位讲故事的王妃、即宰相的女儿的名字。直观地，在任意的基下都存在着无穷多个回文数。可以这样说明：在任意的基下，一个象101,&,…&（即由一个1后接n个0再后接一个1）这样的数可组成一个无穷多项的序列，其各项全部都是回文数，因此这个基下的回文数有无穷多个（其中包括但不限于该序列中的无穷多个项）。
十进制回文数/回文数
10基数下,所有单个数字{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}都是回文数。两位数的回文数有9个：{11,&22,&33,&44,&55,&66,&77,&88,&99}.三位数中有90个回文数：{101,&111,&121,&131,&141,151,&161,&171,&181,&191,&...,&909,&919,&929,&939,&949,&959,&969,&979,&989,&999}四位数中也有90个回文数：{,&,&,&,&,&...,&,&,&,&,&},因此总共有199个小于104的回文数。小于105的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10n来说，分别有：,&1,&99998,&...&（OEIS中的数列A070199）个回文数。
其它的基数下的回文数/回文数
也可在十进制以外的其它数系中考虑回文数。例如，在二进制中的回文数有：0,&1,&11,&101,&111,&,&1,&1,&100001,…以上这些数在十进制中即：0,&1,&3,&5,&7,&9,&15,&17,&21,&27,&31,&33,…（OEIS中的数列A006995）。梅森素数构成了二进制回文素数的一个子集。通常在一个基数下的回文数在另一个基数下就不再是回文数。例如：1646110&=&404D16。（下标的数字表示的是基数，即n16表示以十六进制写出的n）。然而，有些在几个基数中都是回文数（称为“协回文的”，copalindromic），例如10510在五个不同的基数下都是回文数：12214&=&1518&=&7714&=&5520&=&3334；十进制数1991在十六进制中为7C7，也是回文的。在以18为基时，7的一些幂是回文的：73&=&11174&=&77776&=&1232179&=&1367631对任意数n，在所有b&≥&n&+&1的基数b下都是回文的（因为这时n是一个单位数）；在基为n-1时同样也是回文数（因为这时n就成了11n-1）。如果对于2&≤&b&≤&n&-&2，某数在基b下都是非回文数，则称其是一个（Strictly&non-palindromic&number）。例如6在二进制是110，是20，四进制是12，都不是回文数，因此它是严格非回文数。这样的数其中一个特质是6以上的数都是质数。首几项：1,&2,&3,&4,&6,&11,&19,&47,&53,&79,&103,&...&(OEIS:A016038)
1000以内的回文数/回文数
在自然数中，最小的回文数是0，其次是
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.
平方回数/回文数
定义：一个回文数，它同时还是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数。例如：121。100以上至1000以内的平方回数只有3个，分别是：121、484、676。其中，121是11的平方。484是22的平方，同时还是121的4倍。676是26的平方，同时还是169的4倍。
举例/回文数
任意某一个数通过以下方式相加也可得到如：29+92=121&还有&194+491=685，586+685=+不过很多数还没有发现此类特征（比如196,下面会讲到）另外个别平方数是回文数&1的平方=111的平方=121111的平方=123211111的平方=1234321
。。。。依次类推3×51=1536×21=1260349×7×533=33579上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回式”。还有一些回文算式，等号两边各有两个因数。请看：12×42=24×2134×86=68×43102×402=204×201=不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是：42×12=21×24这仍是一个回文算式。还有更奇妙的回文算式，请看：12×231=132×21（积是2772）12××21（积是48384）这种回文算式，连乘积都是回文数。四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数。设它为abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，b。能被11整除。六位的也一样，也能被11整除还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3==14641……都是回文数。
国内外研究现状　/回文数
人们迄今未能找到五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在nk(k≥5;n、k均是自然数)形式的回文数。&在电子的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。&这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重复了数十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。
用visual basic6.0 计算回文/回文数
for&i&=&100&to&99999&'这里从100开始&后面可以随便填，我这里填99999&表示所有3位数到五位数之间的回文数if&(i)=i&then&print&i&'用StrReverse函数&判断倒序后的数和原来数是否相同，如果相同者表示此数为回文数next
&|&相关影像
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