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用代数方法研究几何图形线性代数与解析几何 - 爱问共享资料
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线性代数与解析几何.pdf
简介：解析几何
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所需积分：2*原基数63本文原载于《荷思》第08期代数几何是一门有着非常悠久历史的学科，同时也是当今数学中非常活跃的领域之一。代数几何的历史涉及了太多精彩的内容，这些内容既包括其自身的发展，也包括了代数几何与其它的数学分支的相互影响。下面我简单总结一下代数几何的发展历史，由于篇幅所限，这里只能总结那些最为重要的内容，而其它很多有趣的话题只能被省略掉了。粗略地讲，经典的代数几何是一门研究仿射空间或射影空间中多项式方程组解的学科。从这个意义上来讲，代数几何的兴起至少应该发生在坐标系以及解析几何的概念被提出之后。然而，在这之前的希腊数学家们仍然为之后代数几何的兴起打下了一定的基础。在这个时期（十七世纪之前），对于代数几何的研究主要集中在代数曲线上。实际上，早在古希腊时期，人们就已经用纯几何的方法构造了很多的代数曲线，特别是对于圆锥曲线的研究已经非常成熟。而对于高维的代数几何，那个时期的研究还比较少，主要限于对二次曲面的一些研究。另一方面的问题在于，用这种方法研究的是实数域上的代数几何，而实数域不是代数闭域。对于这个问题，后文中会继续涉及到。在十七、十八世纪，随着坐标系和解析几何的诞生，代数几何有了新的发展。人们终于可以用多项式方程组的零点来描述代数几何的研究对象。但是，这个时期人们对代数几何的研究仍然是非常有局限性的。我认为这种局限性主要体现在以下的几个方面：首先在这个时期，不仅是代数几何，整个几何的研究都限制在三维欧氏空间当中。这样一来，代数几何就被限制在以下条件中：实数域上的、仿射的、曲线和曲面的代数几何。尽管如此，这个时期对于代数几何的研究仍然有着重要的作用，其中对很多问题的研究（或对某些现象的观察）起到了指导性的作用，为今后代数几何的发展指明了方向。其中之一就是代数曲线的参数表示。举一个例子，平面代数曲线有参数表示。并不是所有的代数曲线都有这种参数表示，有这种参数表示的曲线被称作有理曲线。Euler在当时得到了一系列有理曲线的例子。有理曲线的概念可以被看作后来代数几何中双有理几何的开端。另一个重要的发现就是奇点的概念。在这个时期，微积分以及微分几何已经发展了起来，这为奇点的研究打下了基础。举例来说，设平面曲线在点处满足F对x和y的偏导数均为零，则就称为该曲线的奇点。平面代数曲线（看作复数域上的曲线）的奇点有两类，一类就是结点(node)，另一类就是尖点(cusp)。之前提到的曲线在原点就是个结点，而曲线在原点是一个尖点。在今天，奇点理论（特别是奇点消去理论）在代数几何中仍然占有非常重要的地位。在这个时期，人们还发现了平面上两条代数曲线的交点个数与它们的次数之间的关系。我们在中学学解析几何时都曾经注意过这样的问题，那就是两个圆锥曲线最多有四个交点。而这种情况出现的时候，两条圆锥曲线都处于一个“一般”的位置上。于是人们猜测，一条次的曲线和一条次的曲线在“一般”的位置上会有个交点。但是这个结论非常不“整齐”，所谓的“一般”位置难以描述。如果要以一个漂亮的定理来描述这个结论，就要完成三个大的变革：第一，要在复数域而不是实数域上来讨论代数曲线；第二，要在射影空间而不是仿射空间中讨论代数曲线；第三，要以一种合理的方式描述交点的重数。第三个变革是在后来把交换代数的工具引入代数几何才比较好地解决的，而前两个问题十九世纪前期就得到了解决。现在我们就来讨论这个时期的代数几何。在十九世纪前半叶，射影几何迅速发展，与此同时人们也开始重视研究复数域上的几何。这两种几何都是关注到了之前的几何当中，人们忽略掉的一些点。射影几何相比较之前的仿射几何，关注到了无穷远点。而复数域上的几何则关注到了被以前的人们称为虚构（imaginary）的点。另外，在1845年，Grassmann和Cayley就已经提出了“维空间”的想法，这使得人们开始讨论维射影空间中的代数簇。与仿射空间不同，讨论射影空间的代数簇要考虑齐次的多项式方程组。由于维射影空间可以被个仿射空间所覆盖，所以将其中的一个变量取为1，就得到了相应的仿射簇的方程。这种思想已经开始突破以前的只在欧氏空间中研究几何的做法，而真正革命性的突破要数Riemann所作的贡献。现在我们就来讨论这个时期的代数几何。在讨论Riemann的工作之前，首先值得一提的就是Abel对于椭圆积分和椭圆函数的研究。Abel发现了椭圆函数的双周期性，从而为椭圆曲线以及更高次曲线的研究奠定了基础。而谈到Riemann的工作，我们只能用伟大来形容。不仅是代数几何，Riemann对整个几何学有着革命性的影响，他将几何学从古典时期带到了现代时期。Riemann的工作彻底突破了欧氏几何的限制，创立了流形的概念以及Riemann几何。流形的思想对整个数学都非常重要，特别地，它也对后来抽象代数几何的发展提供了思想上的帮助。说到Riemann对代数几何最直接的帮助，其中之一就是Riemann曲面的概念。这个概念的建立当然也与流形的思想有着紧密的关系。之所以说Riemann曲面与代数几何有着紧密的关系，是因为紧Riemann面与复数域上的代数曲线基本上是一回事。利用Riemann曲面的概念，Riemann定义了代数曲线的非常重要的离散不变量——亏格。之前提到的椭圆曲线就是亏格为1的代数曲线。之所以说亏格是代数曲线的离散不变量，是因为还有一个相应的连续不变量，这就是模空间（moduli
space）的概念。我个人感觉模空间理论是一个极其美丽的学科，例如在给定亏格的情况下，所有代数曲线的同构类的集合竟然会有代数簇的结构，这确实是一个非常漂亮的结论。这样，代数曲线就被一个离散不变量（亏格）和一个连续不变量（模空间）完全分类。有关模空间的理论在代数几何中占有非常重要的地位，在后文中我们还将继续讨论这个问题。此外，Riemann对于双有理几何的贡献也非常的大。实际上，Riemann几乎没有提到过“代数曲线”这个概念，他研究的是Riemann曲面上的代数函数和它们的积分。这些研究成为了后来双有理几何发展的基础，起到了指导性的作用。Riemann的这种研究方式实际上反映了几何研究当中的一个重要的特点，那就是在几何的研究当中很多时候不是研究几何对象本身，而是研究定义在该几何对象上的函数。在十九世纪末二十世纪初的时候，代数几何出现了众多的学派。这些学派各有自己的侧重点，但都希望通过自己的语言来奠定代数几何的基础。其中有代数学派，这个学派由Kronecker,
Dedekind和Weber建立。这个学派当时已经意识到了复数域上的代数簇与多项式环中的理想的对应关系，并且从代数的角度定义了除子并证明了Riemann-Roch定理。但是当时的代数工具发展得还不够完善，所以当时在代数概念上，他们也犯过一些错误。另一个学派就是意大利的纯几何学派。这个古典的学派重视几何的直观，用纯几何的方法得到了很多漂亮的结果。最有名的例子就是三次曲面上的27条直线，用纯几何的方法得到这些精细的结果，直到今天也很令人赞叹。他们也对代数曲面在双有理等价的意义下做了分类。但是几何学派由于缺乏有力的代数工具，所以很多的结果都是不严格的，当然也会犯一些错误。而且纯几何的方法对于高维的问题或是比较复杂的问题就显得比较吃力。在二十世纪二十年代之后，随着其它数学领域的发展，代数几何也迎来了进一步发展的机会。一方面，随着代数工具（特别是交换代数）的发展，抽象的代数几何逐渐形成。这个方向得到了Hilbert的支持，并且取得了不错的成绩。根据Hilbert零点定理，代数闭域上代数簇与相应的多项式环中根式理想是一一对应的，而且不可约的代数簇对应的是素理想。于是人们终于意识到代数闭域在研究代数几何时的重要性。在这个阶段，人们利用代数的工具弥补了之前代数几何中的一些错误或是不严谨之处，并且可以开始比较有效地研究高维的代数几何和比较复杂的情形。另一方面，微分几何和复几何在这个阶段取得了重要的发展，这对代数几何也有非常大的帮助。在这个时期，Poincaré和Cartan发展了外微分式的理论，将微分几何带入了现代时期。其中，对代数几何影响最大的应该是K?hler流形的发现和Hodge理论的发展。从而以复解析理论为主的复代数几何迅速发展了起来，这个代数几何的分支与复流形的研究紧密相关，直到今天也是研究代数几何的重要方法。在二十世纪的前半叶，代数几何的学派众多，除了上文提到的几个之外，还有很多其它的学派从不同的角度来研究代数几何，也都或多或少地取得了一些成果。但是，所有的学派都没有能够很好地给出一个最为合适的基础语言，使得代数几何能够在这个基础的平台上来进行发展。这个时候的代数几何似乎稍微显得有一些“乱”，尽管取得的成就是明显的，但是人们仍然没有能够以一种行之有效的理论，来刻画出代数几何的深刻内涵以及它的与众不同之处。这个人们期盼已久的代数几何的理论基础马上就要到来了。但在这之前，我们必须要提到一个重要的人物，那就是Andre
Weil。在历史上，几何与数论似乎总是有一定的联系。在古希腊时期，平面几何与初等数论就有着千丝万缕的联系，而代数几何与数论之间的联系也正在逐步地发展起来。Weil通过考虑抽象域（特别是有限域）上的代数几何，使得抽象代数几何有了进一步的发展，也是代数几何与数论之间的联系更为明显。他的书 Foundation
of Algebraic
Geometry 建立了抽象域上的代数几何理论。在二十世纪五十年代，Serre将层这个重要的工具引入了代数几何，并且建立了凝聚层（coherent
sheaf）的上同调理论。 有了以上的这些基础，最振奋人心的时刻终于要到来了。Alexandre Grothendieck
创立了以概形（scheme）为基础的代数几何理论，彻底改变了代数几何没有一个统一的语言基础的局面。概形理论的建立标志着现代代数几何的开端，是代数几何的一场革命。Grothendieck奠基性的著作《代数几何原理》（EGA）已经成为了代数几何领域的权威性参考文献。概形理论使得代数几何在多个方面取得了突破。首先，仿射概形考虑了整个交换环范畴，而之前人们研究的仿射代数簇实际上是代数闭域上的、有限型的（finite type）既约的（reduced）代数。因此，如果从代数角度来看，概形理论扩大了代数几何的研究范畴。然而，最重要的突破是下面的两点。第一，概形理论终于使得研究代数几何的内蕴几何成为了可能。具体来说，由于概形成为了人们研究代数几何的基础平台，而概形是由仿射概形粘接而成的。这样一来，概形所起的作用就如同微分几何中微分流形的作用一样。在古典微分几何中，人们研究三维欧氏空间中的曲线和曲面，而Riemann创立的微分流形彻底改变了这个局限性，使得流形成为了微分几何的基本研究对象。而在古典的代数几何中，人们研究的是仿射空间或射影空间中的代数簇，所以这个时期代数几何所研究的对象依赖于坐标的选取。而如果以概形为基本研究对象，那么代数几何的研究将摆脱坐标的限制。第二，也是最为天才的一点，那就是仿射概形中的点是交换环中的所有素理想而不是极大理想。在古典的代数几何中，（定义在代数闭域上的）仿射簇中的点与其仿射坐标环中的极大理想是一一对应的。对应于其仿射坐标环中素理想的是仿射簇的子簇。因此在概形理论中，人们考虑了比以前更多的点，而以前的点对应于概形当中的“闭点”。之所以在概形理论中考虑环中所有的素理想，其实来源于很简单的技术原因，那就是对于一个环同态，极大理想的原像不一定是极大理想，而素理想的原像一定是素理想。这样一来，概形理论处在了一个良好的范畴当中，特别地，仿射概形范畴等价于交换环范畴的反范畴。概形的定义虽然与微分流形的思想比较接近，但是概形与微分流形有一点是非常不同的：在微分流形中，任意两个点从局部上看地位都是一样的；而在概形中，由于有大量非闭点的存在，两个不同的点的邻域可能有着非常大的差别。概形理论使得代数几何取得了快速的发展和巨大的成功。概形理论相比较古典代数几何是比较抽象，而且要求代数几何学家必须要精通大量的交换代数与同调代数，因此概形理论在开始的时候并没有被所有的人所接受。但是经过了大约25年的时间，人们逐渐承认概形理论确实是一个使人们能够最深入理解和研究代数几何的理论，同时它也是一种最适宜人们操作的平台。实际上，概形理论虽然涉及了大量的技术细节，但是实际上，概形理论使得代数几何的问题变得简单。很多古典代数几何中比较散乱的结论，在概形理论中被很好地统一了起来。概形理论逐渐成为了被大家广泛接受的基础语言。在概形理论创立之后，代数几何越来越多地引入了现代的技术工具。其中，范畴的语言和理论是被应用得最为广泛的。按照Grothendieck的观点，关注概形之间的态射要比关注单个概形的结构更为重要。在代数几何中，人们常常固定一个“基概形”，然后考虑-概形范畴中的态射。在经典的代数几何中，经常为，其中是一个域。如果固定一个-概形，那么对于任意的-概形，就是一个-概形。这种方法在代数几何中被称为基变换（base
change）。基变换的方法在代数几何中非常有用，是一个有力的工具。另外，如果我们固定一个-概形，对于任意的-概形，对应了一个集合（称为的-值点），从而对应了一个从-概形范畴到集合范畴的反变函子。这样的函子称为一个可表函子，一个函子是否可表是代数几何中非常重要的问题。两个最为重要的可表函子应该是Hilbert函子和Picard函子，对应的概形称为Hilbert概形和Picard概形。Hilbert概形是研究模空间问题的重要工具。利用范畴理论中群对象的一般概念，我们还可以得到群概形、代数群等一些代数几何中非常重要的概念。概形理论与经典的代数几何有一个非常不一样的地方。在经典代数几何中，仿射簇的仿射坐标环都是既约的（无幂零元），而仿射概形中，A是可以有幂零元的。这一不同使得概形理论与无穷小现象密切相关。代数几何的一个重要分支是形变理论（deformation
theory），它致力于研究一个域上给定的概形的形变。而无穷小形变在整个形变理论中很重要，占有基础的地位。形变理论与模空间问题的关系非常密切，模空间问题是人们试图对代数簇进行分类，并将它们置于一个代数族中。而形变理论关注的是与给定的代数簇“靠近”的那些簇。关于形变理论，Schlessinger的文章Functors
of Artin rings有着重要的作用。有关模空间和不变量问题，Mumford在几何不变量理论（geometric invariant
theory）上有着重要的贡献。现在这个理论已经被广泛运用到了代数几何的各个领域。在概形理论中，一个概形作为拓扑空间而言，它的拓扑是Zariski拓扑。有些时候，这个拓扑显得过于“粗糙”。Grothendieck推广了通常的拓扑空间的概念，给予了概形一个新的结构，称为étale拓扑，它比Zariski拓扑要更为精细。由étale拓扑，人们发展了étale上同调这个有力的工具，Deligne运用étale上同调于1973年证明了Weil猜想，这再次反映了代数几何对于数论所起的重要作用。随着代数几何与数论之间的关系越来越密切，算术代数几何也越来越成熟。这门学科主要关注的是特征（是素数）上的代数几何以及如何运用代数几何的工具解决数论中困难的问题。在算术代数几何中，Abel簇（abelian
variety）是一个重要的研究对象，它是一个具有群结构的射影代数簇。Abel簇是椭圆曲线的高维推广，它们对数论都有着重要的作用。其中，Wiles在证明Fermat大定理时，椭圆曲线以及模曲线就起到了很重要的作用。随着代数几何的快速发展，越来越多的更为高级、更为抽象的概念被引进了代数几何。例如，如果将概形进一步推广，就会出现叠（stack）和代数空间（algebraic
space）等概念，这些也都已经成为了代数几何的基本语言。此外，导出范畴（derived
category）的作用也越来越重要，它将代数几何与其它的很多数学领域联系在一起。今天，代数几何仍然是数学当中最活跃的领域之一，并且它和很多其它的数学领域已经紧密地结合在了一起。让我们共同来关注代数几何这个美丽而深刻的学科的发展吧！荷思(thuhesi)
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thuhesi清华大学数学科学系学术杂志热门文章最新文章thuhesi清华大学数学科学系学术杂志&&&&违法和不良信息举报电话：183-
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17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡尔对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何问题的新方法。解析几何的发明过程说明
A．分析、综合的方法具有重要意义
B．实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性
C．综合的方法在认识事物的本质规律过程中具有重要意义
D．分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素，分别加以研究的思维方法和思考过程
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科目：高中政治
来源：2011年重庆市高二下学期期中考试政治题
题型：单选题
17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何这一新学科。回答问题。1.解析几何的发明过程说明( )A.分析与综合相结合的思维方法具有重要意义B.实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性C.综合的思维方法在认识过程中具有重要意义 D.分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素，分别加以研究的思维方法和思考过程2.笛卡儿对几何和代数各自优点的研究和把代数运用于几何的研究，分别属于( )A.两者都是分析也都是综合 B.前者是综合，后者是分析C.前后是两种互不相干的方法 D.前者是分析，后者是综合&
科目：高中政治
17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡尔对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何。解析几何的发明过程说明（　　） A.分析、综合的方法具有重要意义 B.实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性 C.综合的方法在认识事物的本质规律过程中具有重要意义 D.分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素，分别加以研究的思维方法和思维过程
科目：高中政治
来源：2011年重庆市西南师大附中高二下学期期中考试政治卷
题型：单选题
17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何这一新学科。回答问题。 【小题1】解析几何的发明过程说明( )A．分析与综合相结合的思维方法具有重要意义B．实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性C．综合的思维方法在认识过程中具有重要意义 D．分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素，分别加以研究的思维方法和思考过程【小题2】笛卡儿对几何和代数各自优点的研究和把代数运用于几何的研究，分别属于( )A．两者都是分析也都是综合B．前者是综合，后者是分析C．前后是两种互不相干的方法D．前者是分析，后者是综合
科目：高中政治
17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何这一新学科。回答问题。
解析几何的发明过程说明( ) A.分析与综合相结合的思维方法具有重要意义 B.实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性 C.综合的思维方法在认识过程中具有重要意义
D.分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素，分别加以研究的思维方法和思考过程 笛卡儿对几何和代数各自优点的研究和把代数运用于几何的研究，分别属于( ) A.两者都是分析也都是综合 B.前者是综合，后者是分析 C.前后是两种互不相干的方法 D.前者是分析，后者是综合
科目：高中政治
来源：2011年重庆市九龙区杨家坪中学高二下学期第二次月考政治卷
题型：单选题
17世纪70年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是相互分离的两个学科。笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优点和缺点，主张采取代数和几何中一切最好的东西。他把代数运用于几何，使图形的几何关系在方程的性质中表现出来，创立了解析几何这一新学科。解析几何的发明过程说明( ) A．分析与综合相结合的思维方法具有重要意义B．实现感性认识到理性认识的飞跃必须发挥人的主观能动性C．综合的思维方法在认识过程中具有重要意义 D．分析就是把事物的整体或过程分解为各个要素分别加以研究的思维方法和思考过程
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