圆内接正多边形
圆内接正多边形
范文一：圆内接正多边形学习目标：1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角=
，每个外角=
。 2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题（1）
都在同一个圆上的正多边形叫做
，这个圆如上图，五边形ABCDE是☉O的
，☉O是五边形ABCDE的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，
是正五边形ABCDE的中心角，中心角是OM⊥BC，垂足为MABCDE的边心距。 （3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形 以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为因此它的边长和外接圆的半径R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 作法如下：（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。当堂训练：1、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是。 2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为4、求半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距5、如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积。6、如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F在劣弧AB上，求∠CFD的大小7、在圆中利用尺规做一个圆内接正八边形原文地址：圆内接正多边形学习目标：1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角=
，每个外角=
。 2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题（1）
都在同一个圆上的正多边形叫做
，这个圆如上图，五边形ABCDE是☉O的
，☉O是五边形ABCDE的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，
是正五边形ABCDE的中心角，中心角是OM⊥BC，垂足为MABCDE的边心距。 （3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形 以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为因此它的边长和外接圆的半径R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 作法如下：（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。当堂训练：1、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是。 2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为4、求半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距5、如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积。6、如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F在劣弧AB上，求∠CFD的大小7、在圆中利用尺规做一个圆内接正八边形
范文二：第16讲
多边形与圆内接正多边形一、选择与填空：１、若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________，将n边行分割成
个三角形。一共可以作
条对角线。2、八边形的内角和为
）A．180°
D．1440°3、若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（
）A．五边形
D．八边形4、一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（
）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D七边形5、如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的个数是(
D.66、一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_______．7、如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是(
D . 630 00008、下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（
）A、正三角形
C、正五边形
D、正六边形9、（2011o岳阳市）6．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的．便向她推荐了几种形状的地砖。你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是()10、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（
）．A．0根
D．3根11、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误．．的是(
)A．四边形EDCN是菱形
B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似
D．△AEN与△EDM全等12(
C．D．13、（2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（
）A. 100°
D. 130°14．如图，将边长为a的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（
）．A.15．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（－1，0），则点C的坐标为如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=_____36_______．4?4?8?4a
D.3633l (第8题)16、如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是___
。17、（2015o辽宁铁岭）（第16题，3分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为
19题18、 （2015o福建第14题
4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=19、 （2015o天津,第17题3分）（2015o天津）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有20、 （2015o黑龙江省大庆,第14题3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为二、解答题：21、（2011o常州）已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．（1）图形①中∠B=
，图形②中∠E=
；（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片
张；②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝（”如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）22．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案.（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？(结果保留二位小数）23．（本题满分8分）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解） ED
范文三：正方形的内接圆与外接圆教学内容：五年级数学奥林匹克自编教材学习主体：四年级数学奥林匹克兴趣小组成员教学目标：1．学生通过演算推理，自主发现正方形与内接圆、正方形与外接圆的面积关系。2．在探索过程中，渗透整体思想解题、用特殊值法解题、图形变换解题等思想，提升思维层次3．能利用探究到的知识合理地、灵活地解决数学问题。4．培养学生解题时要有整体把握的习惯，善于发现题中隐含着的丰富知识。 教学重点：整体思想解题、归纳运用知识解答新问题教学准备：发给每人印有组合图形的练习纸教学过程一、复习引入1．前面我们已经学习了圆的面积，圆的面积公式是（生：S=лr）正方形的面积公式是（生：S=a2，S=l2÷2）2．口算正方形的面积是36平方厘米，边长（）cm，他的对角线的平方是（）平方厘米。 正方形的对角线长是6厘米，面积是（）平方厘米。2r×2r=
（2r）2÷2=圆的直径是6cm，面积是（）3．引入今天我们将圆与正方形组合在一起，得到内接圆、外接圆。研究一下它们与正方形的面积关系。（展示：正方形的内接圆、正方形的外接圆）二、新课教学1．出示例题2正方形与内接圆的面积关系
正方形与外接圆的面积关系2．用特殊值法计算它们各自的面积，推导出面积关系1） 学生上台板演第一题（优秀学生用特殊值法和假设法两种方法计算）2） 推导出正方形与内接圆的面积关系正方形面积÷内接圆面积=4 ππ4正方形面积=内接圆面积×=正方形面积× π43） 用特殊值法计算第二个图正方形的面积是2×2=4，设圆的半径为r，正方形面积=2r×2r÷2=4，r=22圆的面积是S=πr=2π4）推导出正方形与外接圆的面积关系学生表达：π2正方形面积=外接圆面积×=正方形面积× π25）如何记住这两个公式3．应用1）口答：正方形面积96，内接圆的面积是（）；圆面积628，内接正方形面积（）。 正方形面积16，外接圆面积是（）。 22）求阴影部分的面积π过程：4×4×-4×4= 2重点：怎么求最后两个图形的阴影部分面积（怎么确认大正方形面积是小正方形面积的2倍——移位法）推想：下图大圆、小圆之间的关系会是怎样的？怎样验证？三、小结今天学到的知识同桌之间互相说说。师：今天我们用到的数学思想有“整体思想解题、用特殊值法解题、图形变换解题”，另外还有推想、验证等。四、作业将练习纸上的作业完成在练习簿上。（前面三个图中小正方形的边长是4厘米）思考题：如图阴影部分的面积是6.84平方厘米，求圆环的面积。
范文四：探究2、正多边形的中心角、边长和边心距的计算： 第78课时
课题：圆内接正多边形
时间： (二)
主备人王中民
学科组长 王中民
. 一、知识回顾：1、什么叫正多边形？2、矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 例、如图3－8－10，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．二、学习目标：1.掌握正多边形和圆的关系.2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念. 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 4.会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形． 三、新课探究： （一）自主学习：探究1、圆内接正多边形的定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．2、圆内接正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．3、圆内接正多边形的有关元素：如图3－8－9，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．
正多边形的中心：正多边形的半径：正多边形的中心角：
图3－8－9正多边形的边心距：图3－8－10强调：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.当堂练习：分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距．探究3圆内接正多边形的画法：（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形.你是如何做的？你有几种做法？（2）:你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形？你是怎么做的？四、巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3、如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于(
D．60°4、如图把边长为6的正三角形ABC剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积．5、求出半径为6 cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积．6、各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例．7、⊙O半径为r，其内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c. (1)求a，b，c；(2)以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的是什么三角形？如果不能，请说明理由．
范文五：课题：3.8圆内接正多边形
课型：新授课
年级：九年级
姓名：姜芳
单位：滕州市官桥中学电话：
能否提供录像课：能 教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形； 3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形； 4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形. 教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、 创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念
叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢? 师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形. 活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB?BC?CD?DE?EA
∴AB?BC?CD?DE?EA
BAD?CAE?3AB
∴ ?C??D同理可证：?A??B??C??D??E ∴ 五边形ABCDE是正五边形．
∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限. 说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形； (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图????????360?形，且绕中心旋转n，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．A【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨. 【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．360?解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于6=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的边长为4．1在Rt△OAM中，OA=4，AM=2AB=2利用勾股定理，可得边心距2222OA?AM
OM==4?2=2【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨. 【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．
在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图． 师生归纳出等分圆周的方法： 1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．
2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（
）．A．60°
D．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（
D,1:2:33．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（
D．108°4．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，o则这段弧所对的圆心角为（
D．144°(1)
(2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为
.7．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．8．如图所示，已知⊙O的周长等于6?cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M，N分别为⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，,,正n边形ABCDE,,的边 AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON， ⑴ 求图⑴中∠MON的度数 ⑵ 图⑵中∠MON的度数是
.⑶ 请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为
⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：
范文六：第1讲 线段的切分点人教版八下P49页第10题：1、如图，线段AB的长为1，在线段AB上的点C满足AC2?BC?AB，求线段AC的长。但是题目并没有给出点C是如何作出来的？在《历史数学命题赏析》P399中给出了这个点的两种作法：?如图1，以AB为边作正方形ABDE取AE的中点F，以F为圆心FB为半径画弧交EA延长线于G，以AG为边作正方形AGHC，则C为所求的点：（《几何原本》第四次印刷版，P97第二卷命题11）AC2?BC?AB。?如图2，过B作BD?AB, 且 BD?1AB,连接AD，以D为圆心，DB为半径2?1这个数叫做黄金2画弧交AD于E；以A为圆心AE为半径画弧交AB于C，则点C为所求。 以上作法中给出的点C，人们称之为黄金分割点，而分割数。第2讲 弦切角、切割线定理1、弦切角及弦切角定理顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知：?BAC是⊙O的弦切角，AC与⊙O相切，?BAC所夹的弧是弧AB，?APB是弧AB所对的圆周角求证：?BAC=?APB分析：类似于圆周角与圆心的三种位置关系，弦切角与圆心得位置关系也有三种：圆心在弦AB上；圆心在弦切角?BAC的外部；圆心在弦切角?BAC的内部。2、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。已知：如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。求证：PA2?PB?PC切割线定理的逆定理如图，P为⊙O外一点，A是⊙O上一点，，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。PA2?PB?PC求证：PA是⊙O的切线第3讲 底角为72?的等腰三角形作一个等腰三角形，两个底角都等于顶角的两倍作法：取任意线段AB，C为黄金分割点，以A为圆心，AB为半径作圆A，在圆内作线段BD=AC，连接AD，CD则?ABD为所求。求证：?ABD是底角为72?的等腰三角形第四讲 圆内接正五边形作法在圆内作底角为72?的等腰?ACD，使得?ACD??ADC?2?CAD， 作?ACD、?ADC的平分线DB、CE交圆于点B、E，连接各点即得到正五边形ABCDE第1讲 线段的切分点人教版八下P49页第10题：1、如图，线段AB的长为1，在线段AB上的点C满足AC2?BC?AB，求线段AC的长。但是题目并没有给出点C是如何作出来的？在《历史数学命题赏析》P399中给出了这个点的两种作法：?如图1，以AB为边作正方形ABDE取AE的中点F，以F为圆心FB为半径画弧交EA延长线于G，以AG为边作正方形AGHC，则C为所求的点：（《几何原本》第四次印刷版，P97第二卷命题11）AC2?BC?AB。?如图2，过B作BD?AB, 且 BD?1AB,连接AD，以D为圆心，DB为半径2?1这个数叫做黄金2画弧交AD于E；以A为圆心AE为半径画弧交AB于C，则点C为所求。 以上作法中给出的点C，人们称之为黄金分割点，而分割数。第2讲 弦切角、切割线定理1、弦切角及弦切角定理顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知：?BAC是⊙O的弦切角，AC与⊙O相切，?BAC所夹的弧是弧AB，?APB是弧AB所对的圆周角求证：?BAC=?APB分析：类似于圆周角与圆心的三种位置关系，弦切角与圆心得位置关系也有三种：圆心在弦AB上；圆心在弦切角?BAC的外部；圆心在弦切角?BAC的内部。2、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。已知：如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。求证：PA2?PB?PC切割线定理的逆定理如图，P为⊙O外一点，A是⊙O上一点，，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。PA2?PB?PC求证：PA是⊙O的切线第3讲 底角为72?的等腰三角形作一个等腰三角形，两个底角都等于顶角的两倍作法：取任意线段AB，C为黄金分割点，以A为圆心，AB为半径作圆A，在圆内作线段BD=AC，连接AD，CD则?ABD为所求。求证：?ABD是底角为72?的等腰三角形第四讲 圆内接正五边形作法在圆内作底角为72?的等腰?ACD，使得?ACD??ADC?2?CAD， 作?ACD、?ADC的平分线DB、CE交圆于点B、E，连接各点即得到正五边形ABCDE
范文七：3.7
圆的内接正多边形教学目标 ：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； 教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点 ：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解． 【知识要点】1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理
把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……An-1An都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……An-1、An其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的有关计算公式注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比。这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 【例题分析】1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ）D．6A．12
C．122．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。3．如图，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.4. 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M。求证：BE·BM=EM2。5．(1)已知：如图1，是⊙ 是⊙ 是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：
(2)如图2，四边形
(3)如图3，六边形请探究的内接正方形，点为弧BC上一动点，的内接正六边形，点为弧BC上一动点，三者之间有何数量关系，并给予证明.图1
图3【基础训练】 一、选择题1．下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（
(D)等腰梯形 2．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（
(D)54° 3．下列命题正确的是（
）(A)正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；
(B)正六边形的边长等于其外接圆的半径；(C)圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；
(D)各边相等的圆的外切四边形是正方形。 4．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（
(D)7 5．⊙O的内接正三角形与正六边形面积之比为（
(B)1(C)1：2
(D)16．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（
） (A)1：1
(C)3：2：1
(D)1：2：3 二、填空题图20-1867．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为．8．边长为a的正六边形的边心距是，周长是，面积是． 9．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为
．10．如图20-186，正六边形与正三角边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为
．11．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______． 12．如图20-187，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转? 40o，再沿直线前进10米后，又向左转40o，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了
米．40?三、解答题13．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．图20-18714．如图20-188，o已知⊙Oo的周长等于6?cm，o求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．A?图20-18815．已知：如图20-189，⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC，弦B(D)CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形．16．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？17．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、o边心距和面积．18．如图20-190 (1)有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24m的正六边形ABCDEF(如图20-191 (2))，点O为中心（下面各题结果精确到0.1m)．（1）求地基的中心到边缘的距离；（2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？图20-190【能力提高】图20-1891．如图20-191，△PQR是?O的内接正三角形，四边形ABCD是?O的内接正方形，BC∥QR，则?AOQ?（
(D)75?2．如图20-192是对称中心为点O的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是
．PA D图20-192 R
图20-193 B图20-1913．如图20-193，在边长为1的小正三角形组成的图形中，正六边形的个数共 有
个．4．已知正n边形的周长为60，边长为a．5．（1）当n?3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n?7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．5．如图20-194(1)、图20-195(2)、图20-195 (3)、…、图20-195 (n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON． （1）求图 (1)中∠MON的度数；（2）图 (2)中∠MON的度数是
，图 (3)中∠MON的度数是
； （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．图20-1946．某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。
请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）7．已知下列图形20-195分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角?4、?5、?6的大小．探究它们存在什么规律？你能证明吗？图20-195
8．（1）如图20-196，计算边长为a的正方形中的阴影部分面积分别为（2）通过计算观察阴影部分面积的求法规律是
．（3）请你再设计一个使阴影部分面积与图形中阴影部分面积值相等的一个图形（只需用尺规画图，不写作法）．图20-196
范文八：作圆的内接正方形和正六边形教学目标：1、知识目标：使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接正方形和正六边形；使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形。2、能力目标：通过画图培养学生的画图能力；培养学生观察、抽象、迁移能力。3、情感目标：通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力。教学重点：(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接正方形和正六边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形。教学难点：准确作图。教学方法：本节课主要采用启发式教学和引导发现的体验教学法。教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．二、新课讲解：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形． n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．(三)重点、难点的学习与目标完成过程复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°．∴ DE是⊙O内接正12边形一边．三、课堂小结：这堂课你学了哪些知识？四、布置作业
范文九：42中学数学　　　　　　　　　　2003年第9期课外园地圆内接正三角形的一个结论的推广430050　武汉市第三初级中学　桂文通的值.PA如图1,等边△ABC内接于⊙O,劣弧BC上取一点P,连结PA、BP、PC,求证:PB+PC=PA.猜想1　问题的证明(1)如图2,将△BCP绕点B逆时针旋转60°,使点C和点A重合,点P落在AP上点D处,则AD=PC,又易证△BDP是等边三角形,故BP=PD,从而PB+PC=PA.图5　　　图6　　　图7　　　图8可以用极端化的思想进行猜想,在图5中,当点P运动到B点时,==PABA2cos45°=2;在图6中,当点P运动到B点时,==2cos30°=3.PAAB图1　　　图2　　　图3　　　图4(2)如图3,将△ABP绕点B顺时针旋转60°,使点A和点C重合,点P落在CP的延长线上点D处,则PA=DC,又易证△BDP是等边三角形,故BP=PD,从而PB+PC=PA.(3)如图4,过点A作AE⊥PC于点E,再将Rt△ACE绕点A顺时针旋转60°,使点C和点B重合,点E落在BP的延长线上点D处∴　BD=CE,又∵　∠PAD=∠PAE=30°,∴　PD=PE=PA,2∴　PB+PC=PD-DB+PE+CE=2PD=PA.方法(1)实质是截长,方法(2)实质是补(2)的基础上一种短,方法(3)实质是在(1)、折中的方法,取两条线段的平均长.此外,还可以用正弦定理、余弦定理或托勒密定理来证,此处略.根据以上的猜想,进一步可以得到一般性的结论.7,正n边形A1A2A3…An内接于⊙O,劣弧A2APA2、PAn,则PA上取一点P,连结PA1、=2cos31n这个的猜想都可以借助于原问题的解决方法进行证明,证明略.其实,上面的结论,在一般图形中也成立.如图8,设∠PAB=∠PAC=Α,则=2cosΑ,显然在图7中的Α=PAn3　问题的再推广我们由原问题可知,点P到正三角形的三个顶点的距离满足PB+PC=PA,下面再探讨两个问题.(1)9,正五边形ABCDE内接于的⊙O,劣弧AE上取一点P,点P到五个顶点的距离满足PA+PC+PE=PB+PD.运用托勒密定理证明设正五边形的边长和对角线分别为a、b,在圆内接四边形PABE中,PA阅读详情：b+PE阅读详情：a=PB阅读详情：a①在圆内接四边形PADE中,PA阅读详情：a+PE阅读详情：b=PD阅读详情：a②①+②得PA阅读详情：b+PE阅读详情：a+PA阅读详情：a+PE阅读详情：b　=a(PB+PD)③在圆内接四边形PACE中,PA阅读详情：b+PE阅读详情：b=PC阅读详情：a④将④代入③得,a(PA+PC+PE)=a(PB+PD),2　问题的推广将原问题结论PB+PC=PA改为比式,则为=1我们讨论下面两个问PA题:11如图5,正方形ABCD内接于⊙O,劣弧BC上取一点P,连结PA、PB、PC,猜想的值.PA216,正六边形ABCDEF内接于⊙O,劣弧BC上取一点P,连结PA、PB、PF,2003年第9期　　　　　　　　　　中学数学∴　PA+PC+PE=PB+PD.PAPA1243=2Rsin∠PA2A1=2RsinΑ,图9　　　　　图10　　　　　图11(2)10,正七边形ABCDEFG内接于⊙O,劣弧AG上取一点P,点P到七个顶点的距离满足PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF同样用托勒密定理证明:设正七边形的边长、较短的对角线和较长对角线分别为a、b、c,在圆内接四边形PABG中,PA阅读详情：b+PG阅读详情：a=PB阅读详情：a①在圆内接四边形PAFG中,PA阅读详情：a+PG阅读详情：b=PF阅读详情：a②①+②得　PA阅读详情：b+PG阅读详情：a+PA阅读详情：a+PG阅读详情：b=PB阅读详情：a+PF阅读详情：a③在圆内接四边形PABD中,PA阅读详情：b=PB阅读详情：c-PD阅读详情：a④将④代入③得,PB阅读详情：c+PG阅读详情：a+PA阅读详情：a+PG阅读详情：b=a(PB+PD+PF)⑤在圆内接四边形PBDG中,PB阅读详情：c+PG阅读详情：b=PD阅读详情：b⑥将⑥代入⑤,得PA阅读详情：a+PG阅读详情：a+PD阅读详情：b=a(PB+PD+PF)⑦在圆内接四边形PCDE中,PC阅读详情：a+PE阅读详情：a=PD阅读详情：b⑧将⑧代入⑦,得　a(PA+PC+PE+PG)=a(PB+PD+PF)∴　PA+PC+PE+PG　　=PB+PD+PF根据两例,我们可以得到更一般性的结论:如图11,正2k+1(k为正)边形A1A2A3A4…A内接于⊙O,劣弧A1A2k+1上取一点P,点P到2k+1个顶点的距离满足PA1+PA3+…+PA2k+1=PA2+PA4+…+PA2k.很显然再利用托勒密定理证明是难以解决的..设⊙O的2k+1半径为R,弧PA1的度数为2Α,则∠PA2A1=Α,∠PA3A2=Α,∠PA4A3=+2k+12k+1Α,…,∠PA2k+1A2k=+Α,2k+1∠PA2kA2k+1=-Α,由正弦定理得:2k+1),+Α2k+1),PA3=2Rsin∠PA4A3=2Rsin(+Α2k+1……,PA2k=2Rsin∠PA2k+1A2k=2Rsin[+Α],2k+1PA2k+1=2Rsin∠PA2kA2k+1=2Rsin(2k+1)=2Rsin(),-Α+Α2k+1而　(PA1+PA3+…+PA2k+1)　　-(PA2+PA4+…+PA2k))+…=[2RsinΑ+2Rsin(+Α2k+1)]-{2Rsin(+2Rsin(+Α+2k+12k+1)+…+2Rsin[Α+Α]}2k+1=2R[sinΑ+sincosΑ+2k+1cossinΑ+…+sincosΑ+2k+12k+1cossinΑ]-2R[sincosΑ+2k+12k+1cossinΑ+…+sinΠcosΑ+2k+12k+1cossinΑ]2k+1=2RsinΑ{(1+cos+…+2k+1)-[coscos+…+2k+12k+1cos]}+2RcosΑ{(sin+…2k+12k+1)-[sin+sin+…+2k+12k+1sin]}2k+1=2Rsina[1+cos+…+2k+1cos+cos+…+2k+12k+1cos]+2RcosΑ[sin+…+2k+12k+1sin+sin+…+2k+12k+1sin]=0,2k+1∴　PA1+PA3+…+PA2k+1=PA2+PA4+…+PA2k.很易发现,上面结论对圆的内接正2k边形不成立.这由圆内接正方形可以否定之.=2Rsin∠PA3A2=2Rsin(4　问题结论的运用411　如图12,已知P为正三解形外接圆44中学数学　　　　　　　　　　2003年第9期EF∥BC,=;　=FCCTCFCT弧AB上一点,连结PC交AB于D,求证:+=(1990年山西省初中数学竞PAPBPD⑥从而④、⑤成为=,=CPCTCPCT赛题)PAPB由结论知　PC=PA+PB,⑦证明　∵+=PA阅读详情：PB将⑦中两式相加,得=CPCT=,PA阅读详情：PBPD只要证　△PAD∽△PCB即可.要证明的问题变为由原问题的结论和AT+BT=CT,∴CP=AM+BN.图12　　　　　　图13412　如图13,设等边△ABC的外接圆半径为R,P为外接圆上任一点,求证PA2+PB2+PC2=6R2.证明　不妨设点P在劣弧BC上,过点C作CD⊥BP,交BP的延长线于点D,则∠CPD=∠BAC=60°,2PD=PC,BC2=BD2+CD2=(BP+PD)2+CD2=BP2+2BP阅读详情：PD+PD2+CD2=PB2+PC2+2BP阅读详情：PC222=PB+PC+BP阅读详情：PC,∵　PA=PB+PC,∴　PA2=PB2+PC2+2PB阅读详情：PC.∴　PA2+PB2+PC2=2(PB2+PC2+BP阅读详情：PC)=2BC2∵　等边?ABC的外接圆半径为R,∴　BC=3R.∴　PA2+PB2+PC2=6R2.413　如图14,已知两圆内切于T,△ABC是大圆的内接正三角形,过A、B、C作小圆的切线AM、BN、CP,M、N、P为切点,求证:CP=AM+BN.证明　由切割线定理得　　AM2=AD阅读详情：AT①　　BN2=BE阅读详情：BT②　　CP2=CF阅读详情：CT③用③除①、②得2∴　2=CF阅读详情：CTCP22=CF阅读详情：CTCP又由两圆内切于T,可证DF∥AC,图14　　　　　　图15414　如图15、AD、BE、CF分别是正三角形ABC的三条高,P是△ABC所在平面上任一点,作PL⊥AD与L,作PM⊥BE于M,作PN⊥CF于N,求证:PL、PM、PN中,较长的一线段等于其他两线段的和.分析　观察图形就是要证PN=PM+PL,由结论联想到原问题中的两个条件,即要证△LMN是正三角形,且点P是△LMN的外接圆上一点.易证O、L、N、P四点共圆则∠MLN=∠MON=60°,由P、M、N、O四点共圆∴　∠MPN=∠MON=60°,∴　∠MLN=∠MPN=60°,∴　L、M、N、O四点共圆从而P、M、N、O、L五点共圆,∴　∠LNM=∠MOL=60°=∠MLN,∴　△LMN是正三角形.参考文献1　樊恺.解决数学问题中直觉1中学数学,1998,32　肖果能1数学奥林匹克讲与练(1)1中学数学,1998,3(收稿日期:)④⑤
范文十：《圆内接正多边形》教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.教学设计第一环节
课前准备活动内容：社会调查（提前一周布置）以4人合作小组为单位，开展调查活动：（1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片.（2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究.第二环节
情境引入活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从中获取的知识（选3—4个小组代表讲解）第三环节
圆内接正多边形的概念活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分（n?3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.如图3－35，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；?AOB是这个正五边形的中心角；OM?BC，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.第四环节
例题学习例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC?4，OG?BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴?COD?360??60? 6∴?COD为等边三角形.∴CD?OC?4在Rt?COG中，OC?4，CG?2 ∴OG?2∴正六边形ABCDEF中心角为60?，边长为4，边心距为23.第五环节
尺规作图活动内容：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形.2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.3、思考：作正多边形有哪些方法？第六环节
练习与提高活动内容：1、分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距.活动目的：对本节知识进行巩固练习.第七环节
课堂小结师生互相交流总结正多边形和圆的关系、正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念、如何计算正多边形的半径、边心距及边长，社会调查时学到的课外知识及切身感受等.第八环节
布置作业课本习题3.10四、教学设计反思1．要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过课前小组合作社会调查、课堂展示正多边形的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.3．在教学中注意的方面本节新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高.在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习.通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情景，通过问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索知识的能力.4．注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.